MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

Transkript

1 MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1

2 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2

3 Mtemtik I. IV. Integrální počet IV.1. Primitivní funkce, neurčitý integrál IV.2. Výpočet neurčitého integrálu IV.3. Integrce substitucí IV.4. Integrce rcionální funkce IV.5. Vybrné speciální substituce IV.6. Riemnův integrál IV.7. Výpočet Riemnov integrálu IV.8. Aplikce Riemnov integrálu IV.9. Nevlstní integrál 1V.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 3

4 Mtemtik I. IV. Integrální počet IV.1. Primitivní funkce, neurčitý integrál Definice: Jsou-li F f funkce definovné n intervlu I s krjními body, b R* pltí, že ) F (x) = f (x) pro všechn x (,b), b) F+ (x) = f () pokud I, c) F- (x) = f (b) pokud b I, nzýváme funkce F(x) primitivní funkcí k funkci f (x) n intervlu I. Vět (o existenci primtivní funkce): Je-li funkce f spojitá v intervlu I, pk k funkci f existuje v intervlu I primitivní funkce. 4

5 IV.1. Primitivní funkce, neurčitý integrál je-li F(x) primitivní funkcí k funkci f (x) v intervlu I, potom i funkce G(x) = F(x) + C je primitivní funkí k f (x) n intervlu I jsou-li F(x) G(x) primitivní funkce k funkci f (x) v intervlu I, pk existuje reálná konstnt C tková, že C = G(x) F(x) jsou-li F(x) G(x) primitivní funkce k funkcím f (x) g (x) v intervlu I, potom je součet F(x) + G(x) primitivní funkce k funkci f (x) + g (x) v intervlu I Definice: Množinu všech primitivních funkcí k funkci f v intervlu I nzýváme neurčitým integrálem funkce f v intervlu I. f(x)dx, x 2 I f(x)dx fdx f(x)dx = F (x)+c, x 2 I 5 integrční konstnt

6 IV.2. Výpočet neurčitého integrálu Vět (o lineritě integrálu): Jsou-li f g funkce integrovtelné v intervlu I, b R jsou libovolné reálné konstnty, potom pltí.f(x)+b.g(x) dx = f(x)dx + b g(x)dx + C. Speciálně pltí, že:.fdx = fdx, (f + g)dx = fdx+ gdx. Vět (o integrci per-prtes): Jsou-li f g funkce spojitě diferencovtelné funkce v intervlu I, pk v tomto intervlu pltí f 0 (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g 0 (x)dx. (f.g) 0 = f 0 g + fg 0 ) f.g = f 0 gdx + fg 0 dx ) tvrzení věty 6

7 IV.2. Výpočet neurčitého integrálu log xdx = x log x 1 + C, ln c) Logritmické funkce: > 0, 1, x>0. e) Cyklometrické funkce: x dx = 1 +1 x+1 + C, 1 dx =ln x + C, x ) Mocninné funkce: -1, x R, b) Exponenciální funkce: x dx = x > 0, 1, x R. ln + C, d) Goniometrické funkce: x R, sin(x)dx = rcsin xdx = x rcsin x + p 1 x 2 + C, rccos xdx = x rccos x 7 x -1 cos(x)+c, cos(x)dx =sin(x)+c, x R. p 1 x2 + C, x (-1, 1).

8 IV.2. Výpočet neurčitého integrálu tbulky derivcí elementárních funkcí plynou dlší tbulkové integrály: ) b) d) 1 cos 2 dx =tgx + C, x 1 sin 2 dx = cotgx + C. x 1 p 1 x 2 dx = rcsin x + C = rccos x + D. 1 dx = rctgx + C = rccotgx + D. 1+x2 Příkldy: (x 2 +3x 2)e x dx, cos 2 xdx, e x sin xdx, 1 (1 + x 2 ) n dx, 8

9 IV.3. Integrce substitucí Vět (o integrci substitucí): Nechť f (x) je spojitá funkce v intervlu I funkce x = g(t) je spojitě diferencovtelná v intervlu J je g(j) I. Potom pltí pro x I, t J. f(x)dx = f g(t).g 0 (t)dt Tuto větu lze použít oběm směry: zlev doprv (substituční metod I) i zprv dolev (substituční metod 2): x p 4 x 2 dx Obvykle jednodušší, bývá vidět n první pohled. Musíme určit f(g), g(t) g (t). Uděláme substituci: g(t)=x, g (t)dt=dx. Nkonec provedeme zpětnou substituci: t=g -1 (x) p4 x2 dx Je komplikovnější v tom, že ji musíme nlézt. Musíme určit substituci ve tvru: x=g(t), dx=g (t)dt Po zintegrování provedeme zpětnou substituci: t=g -1 (x) 9

10 IV.2. Výpočet neurčitého integrálu Příkldy: sin 5 x cos xdx sin 5 xdx tgxdx f 0 (x) f(x) dx x 3 3x 2 2 2x +1 dx, 1 1 x dx cos p x p x dx e x dx 1+e2x p 2+ ln x x ln x dx (3 2x) 256 dx p x 1 dx x e x2 dx 10

11 IV.4. Integrce rcionální funkce Vět (o rozkldu polynomu): Nechť Qm(x) je mnohočlen stupně m > 1. Potom i) je-li α k-násobným reálným kořenem funkce Qm(x), pk Qm(x) = (x-α) k.um-k(x) ii) je-li β k-násobným komplexním kořenem funkce Qm(x), pk tto funkce má i k-násobným komplexně sdružený kořen γ pltí Qm(x) = (x-β) k (x-γ) k.um-2k(x) = (x 2 +px+q) k.um-2k(x), kde x 2 +px+q = (x-β)(x-γ). Je-li Q3(x) = rx 3 + sx + t polynom stupně 3, potom jsou pouze čtyři možnosti: i) Q3(x) = r(x-α)(x-β)(x-γ), ii) Q3(x) = r(x-α)(x-β) 2, iii) Q3(x) = r(x-α) 3, iv) Q3(x) = r(x-α)(x 2 +px+q) Příkld: Njděte kořeny rovnice x 3-2x 2-5x + 6 = 0 11

12 IV.4. Integrce rcionální funkce Rcionální (lomená) funkce: f(x) = P n(x) Q m (x) Pokud je n m, pk lze f(x) rozdělit n polynom stupně m-n ryze rcionální funkci: k < m. f(x) =R n 12 m (x)+ S k(x) Q m (x), Vět (o rozkldu rcionální funkce n prciální zlomky): Nechť f(x) = P n(x) Q m (x) je ryze rcionální funkce. i) je-li x0 k-násobným reálným kořenem funkce Qm(x), pk existují konstnty A1,,Ak polynomy P*n-k(x) Q*m-k(x) tk, že ii) je-li x1 k-násobným komplexním kořenem funkce Qm(x), pk existují konstnty B1,,Bk, C1,,Ck polynomy P*n-2k(x) Q*m-2k(x) tk, že f(x) = f(x) = A 1 x x 0 + B 1 + C 1 x x 2 + px + q + A 2 (x x 0 ) A k (x x 0 ) k + P n k (x) Q m B 2 + C 2 x (x 2 + px + q) B k + C k x k (x) (x 2 + px + q) k + P n 2k (x) Q m 2k (x)

13 IV.4. Integrce rcionální funkce Je-li jmenovtel stupně 2, lze rcionální funkci rozložit pouze v přípdě, že jmenovtel má reálné kořeny: x + b rx 2 + sx + t = A x + B x nebo x + b rx 2 + sx + t = Je-li jmenovtel stupně 3, jsou opět pouze čtyři možnosti: C (x ) 2 i) P 2 (x) Q 3 (x) = A (x ) + B (x ) + C (x ) (tři reálné různé kořeny) ii) P 2 (x) Q 3 (x) = A (x ) + B (x ) + C (x ) 2 (dv reálné různé kořeny, jeden dvojnásobný) iii) P 2 (x) Q 3 (x) = A (x ) + B (x ) 2 + C (x ) 3 (jeden reálný trojnásobný kořen) iv) P 2 (x) Q 3 (x) = A (x ) + Bx + C (x 2 + px + q) (jeden reálný dv komplexně sdružené kořeny) 13

14 IV.4. Integrce rcionální funkce 1 1 x 2 dx x 3 3 7x +6 dx 2x (x + 1) 3 dx x 1 4x 3 +4x 2 + 7x +2 dx x 3 +5 x 3 +2x 2 +3x dx 1 p 2x +1 dx 14

15 IV.5. Vybrné speciální substituce 1) 1 cos x dx, sin 5 (x) cos 2 (x) dx, cos 2 (2x) dx sin 2 (x) cos 4 (x) dx, sin m (x). cos n (x) dx 2) sin 3 x 3 + cos x dx, cotg x sin 2 x dx 1 sin x 1 + cos x dx, R sin(x), cos(x) dx t =tg x 2 cos x = 1 t2 1+t 2, sin x = 2t 1+t 2, dx = 2 1+t 2 dt 15

16 IV.5. Vybrné speciální substituce 3) 3x p 2x +1 dx, 1 p x(x 1) dx, r x +2 x 1 dx r x + b R x, n dx cx + d t = n r x + b cx + d 4) x 2p 4 x 2 dx, 1 p x2 + x +1+x dx R x, p x 2 + bx + c dx 16 >0 ) p x 2 + bx + c = t + p x c>0 ) p x 2 + bx + c = p c + tx r x <0 ) t = x (tzv. Eulerovy substituce)

17 IV.6. Riemnův integrál Určitý integrál (je jich celá řd: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, ) f(x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 xn-1 b 17

18 IV.6. Riemnův integrál Určitý integrál (je jich celá řd: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, ) f(x) Jk je velká ploch pod grfem funkce f? x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b Dělení intervlu,b : D = {x0, x1,, xn : = x0 < x1 < < xn = b} norm dělení D: D = mx{4x i : 4x i = x i x i 1 ; i =1,...,n} 18

19 IV.6. Riemnův integrál Určitý integrál (je jich celá řd: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, ) f(x) Jk je velká ploch pod grfem funkce f? x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 ξ6 ξ7 ξ8 ξ9 ξ10 ξ11 ξn-1 ξn Dělení intervlu,b : D = {x0, x1,, xn : = x0 < x1 < < xn = b} norm dělení D: D = mx{4x i : 4x i = x i x i 1 ; i =1,...,n} výběr z intervlu,b : V = {ξ1, ξ2,, ξn : ξi xi-1; xi, i=1,, n} 19

20 IV.6. Riemnův integrál Určitý integrál (je jich celá řd: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, ) f(x) Jk je velká ploch pod grfem funkce f? x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 ξ6 ξ7 ξ8 ξ9 ξ10 ξ11 ξn-1 ξn Dělení intervlu,b : D = {x0, x1,, xn : = x0 < x1 < < xn = b} norm dělení D: D = mx{4x i : 4x i = x i x i 1 ; i =1,...,n} výběr z intervlu,b : V = {ξ1, ξ2,, ξn : ξi xi-1; xi, i=1,, n} Riemnův součet: s(f,d,v )= nx f( i )4x i i=1

21 IV.6. Riemnův integrál Určitý integrál (je jich celá řd: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, ) f(x) Jk je velká ploch pod grfem funkce f? m lim s(f,d,v )= D!0 + b f(x)dx x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b m = minimum funkce f n intervlu,b => (b ).m pple b f(x)dx Riemnův součet: s(f,d,v )= nx i=1 f( i )4x i

22 IV.6. Riemnův integrál Určitý integrál (je jich celá řd: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, ) f(x) M Jk je velká ploch pod grfem funkce f? m lim s(f,d,v )= D!0 + b f(x)dx x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b m = minimum funkce f n intervlu,b => M = mximum funkce f n intervlu,b => (b ).m pple b b f(x)dx pple (b f(x)dx ).M Riemnův součet: s(f,d,v )= nx i=1 f( i )4x i

23 IV.6. Riemnův integrál Určitý integrál (je jich celá řd: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, ) f(x) M Jk je velká ploch pod grfem funkce f? µ m lim s(f,d,v )= D!0 + b f(x)dx x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b m = minimum funkce f n intervlu,b => (b ).m pple M = mximum funkce f n intervlu,b b f(x)dx =(b ).µ ) µ = 1 b b f(x)dx µ je tzv. střední hodnot integrálu funkce f n intervlu,b => b b f(x)dx pple (b f(x)dx ).M

24 b IV.6. Riemnův integrál f(x)dx = ploch mezi grfem funkce osou x nd intervlem,b f(x) řejmě pltí: b f(x)dx = b f(x)dx f(x)dx =0 + b pple c pple b ) b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx (linerit vzhledem k mezím) b r.f(x)+s.g(x) dx = r. b f(x)dx + s. b g(x)dx, r, s 2 R (linerit vzhledem k funkci)

25 IV.6. Riemnův integrál Vět (o existenci Riemnov integrálu): Nechť f (x) je spojitá funkce v intervlu,b. Potom existuje Riemnův integrál b f(x)dx Říkáme, že funkce f je integrovtelná n intervlu,b. Vět: Nechť jsou funkce f g obě integrovtelné v intervlu,b. ) Je-li c,d,b, potom jsou tyto funkce integrovtelná tké v intervlu c,d. b) Liší-li se funkce f g v intervlu,b pouze v konečně mnoh bodech, potom je b b f(x)dx = c) Je-li f (x) g (x) pro všechn x,b, potom je tké b f(x)dx pple b g(x)dx g(x)dx

26 IV.6. Výpočet Riemnov integrálu Vět (Newtonov-Leibnitzov formule): Nechť f (x) je spojitá funkce v intervlu,b F je primitivní funkce k f v,b. Potom b f(x)dx = F (x) b = F (b) F () 1 1 (4x 3 +2x 5)dx, / sinx dx Vět (o integrci per prtes): Nechť funkce f g mjí spojité derivce v intervlu,b. Potom b f 0 (x)g(x)dx = f(x)g(x) b b f(x)g 0 (x)dx. 2 0 x.e 2x dx, 0 sin 2 (x)dx, 26

27 IV.6. Výpočet Riemnov integrálu Vět (o integrci substitucí): Nechť funkce g má spojitou derivci v intervlu,b zobrzuje,b do intervlu J. Nechť funkce f je spojitá v J. Potom b f g(x) g 0 (x)dx = g(b) g() f(s)ds. 1 1 x 2 2x 3 3x +8 dx /2 0 sin 4xdx, /2 0 p 4 x2 dx, /2 /2 sin 3 x cos 4 xdx, 1/2 0 rcsin x p (1 x2 ) dx 3 / sinx dx 27

28 IV.7. Riemnův integrál jko funkce horní meze Předpokládejme, že funkce f je integrovtelná n intervlu,b. Pro kždé x,b můžeme definovt funkci Pltí: Funkce P(x) je spojitá v,b. Ve všech bodech x,b ve kterých je funkce f spojitá je dp dx = d dx x f(t)dt = f(x). P (x) = x Je-li f(x) spojitá v intervlu I, potom funkce P(x) je její primitivní funkcí v I. f(t)dt Je-li f(x) spojitá, g(x) h(x) jsou diferencovtelné v intervlu I, potom pro x I pltí d dx h(x) g(x) f(t)dt = f h(x).h 0 (x) f g(x). 0 (x)

29 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Vět (plošný obsh oblsti ohrničené křivkmi): Nechť O je oblst v R 2 ohrničená grfy spojitých funkcí f g nd intervlem,b : O={[x,y] R 2 : g(x) y f (x), x,b }. Potom plošný obsh této oblsti je dán vzthem P (O) = b f(x) g(x) dx Příkld: Vypočtěte obsh oblsti ohrničené křivkmi f: y = 1 - x 2 g: y = x pple P = 4 3 p 2

30 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Hmotnost homogenní rovinné plochy: m = b Souřdnice těžiště homogenní rovinné plochy: f(x)dx Sttické momenty homogenní rovinné plochy: m x = 2 b f 2 (x)dx, m y = b xf(x)dx x T = m y m, y T = m x m. Momenty setrvčnosti homogenní rovinné plochy: J x = 3 b f 3 (x)dx, J y = b x 2 f(x)dx 30

31 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Příkld: Njděte souřdnice těžiště prvoúhlého trojúhelník s odvěsnmi o délce 1 4. Příkld: Njděte souřdnice těžiště homogenní rovinné desky vyříznuté z mteriálu s hustotou hmotnosti ρ=1,15 g/cm 2 ohrničené křivkmi f: y = 1 - x 2 g: y = x 2. 31

32 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Vět (objem rotčního těles): Nechť funkce f je spojitá nezáporná n intervlu,b. Uvžujme těleso T v R 3, které vznikne rotcí části grfu funkce f nd intervlem,b kolem osy x. Potom objem těles T je dán vzthem V (T )= Příkld: Odvoďte vzorec pro objem komolého rotčního kužele s poloměry podstv r1, r2 výškou h. b f 2 (x)dx pple V = h 3 r2 1 + r 1 r 2 + r 2 2 r1 f(x) r2 0 h x 32

33 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Hmotnost homogenního rotčního těles: m = Sttické momenty homogenního rotčního těles: m xx = m xy =0, b f 2 (x)dx m yz = b xf 2 (x)dx Souřdnice těžiště homogenního rotčního těles: x T = m yz m, y T = z T =0. Momenty setrvčnosti homogenního rotčního těles vzhledem k ose rotce: J x = 2 b f 4 (x)dx. 33

34 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Příkld (pokrčování): Njděte souřdnice těžiště komolého rotčního kužele s poloměry podstv r1, r2 výškou h. pple V = h 3 r2 1 + r 1 r 2 + r 2 2 r1 f(x) r2 pplem x = h2 12 r2 1 +2r 1 r 2 +3r 2 2 pple x T = h 4 (r r 1 r 2 +3r 2 2) (r r 1r 2 + r 2 2 ), y T = z T =0 0 h x 34

35 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Vět (délk části grfu funkce): Nechť funkce f je spojitá n intervlu,b. Délk grfu funkce f nd intervlem,b je rovn l = b q 1+ f 0 (x) 2 dx Hmotnost homogenní rovinné křivky: m = b q 1+ f 0 (x) 2 dx Sttické momenty homogenní rovinné křivky: m x = b q f(x) 1+ f 0 (x) 2 dx, m y = b q x 1+ f 0 (x) 2 dx Souřdnice těžiště homogenní rovinné křivky: x T = m y m, y T = m x m. 35

36 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Příkld: Řetězovk je křivk definovná grfem funkce cosh(x) = ex + e x, x 2 R 2 cosh x = 2 e x + e x Spočtěte délku řetězovky pro = 1 x -2, 2. 36

37 IV.8. Aplikce Riemnov integrálu Vět (povrch pláště rotčního těles): Nechť funkce f je spojitá nezáporná n intervlu,b. Uvžujme těleso T v R 3, které vznikne rotcí části grfu funkce f nd intervlem,b kolem osy x. Potom povrch pláště rotčního těles T je dán vzthem S(T )=2 b q f(x) 1+ f 0 (x) 2 dx Příkld (pokrčování): Odvoďte vzorec pro povrch pláště komolého rotčního kužele s poloměry podstv r1, r2 výškou h. pple V = h pplem x = h2 pple x T = h 4 3 r2 1 + r 1 r 2 + r r2 1 +2r 1 r 2 +3r 2 2 (r r 1 r 2 +3r 2 2) (r r 1r 2 + r 2 2 ), y T = z T =0 h S = (r 1 + r 2 ) p h 2 +(r 1 r 2 ) i r1 0 f(x) h r2 x 37

38 IV. 9. Porušení předpokldů, nevlstní integrál Předpokldy pro existenci Riemnov integrálu dle definice: (i) intervl,b je omezený, (ii) funkce f je v intervlu,b spojitá omezená. 1) Funkce f je v omezeném intervlu,b nespojitá, le omezená: Je-li funkce f v intervlu,b spojitá po částech, potom existuje dělení intervlu,b {c0, c1,, ck : = c0 < c2 < < ck = b} tkové, že funkce f je v kždém intervlu cj-1, cj, j =1,, k spojitá. Potom b f(x)dx = c1 c 0 f(x)dx + c2 c 1 f(x)dx + + ck c k 1 f(x)dx 2) Funkce f je v omezeném intervlu (,b) spojitá, le neomezená: V tkovém přípdě je funkce f v kždém intervlu u,v, < u < v < b, integrovtelná položíme b f(x)dx = lim u!+ lim v!b v pokud tyto limity existují výrz n prvé strně má smysl. u f(x)dx 38 = lim v!b F (v) lim F (u) u!+

39 IV. 9. Porušení předpokldů, nevlstní integrál Předpokldy pro existenci Riemnov integrálu dle definice: (i) intervl,b je omezený, (ii) funkce f je v intervlu,b spojitá omezená. 3) Funkce f je spojitá v neomezeném intervlu (,b): V tkovém přípdě je funkce f v kždém intervlu u,v, < u < v < b, integrovtelná položíme b f(x)dx = lim u!+ lim v!b v pokud tyto limity existují výrz n prvé strně má smysl. u f(x)dx 39 = lim v!b F (v) lim F (u) u!+ Poznámk: ) Pokud je hodnot funkce f(x) nevlstní v některém z krjních bodů omezeného intervlu,b, říkáme, že se jedná o nevlstní integrál vlivem funkce. b) Pokud je některý z krjních bodů intervlu,b nevlstní, říkáme, že se jedná o nevlstní integrál vlivem meze.

40 IV. 9. Porušení předpokldů, nevlstní integrál Příkld: Rozhodněte výpočtem zd konvergují nevlstní integrály 1 0 x 3 ln xdx, 1 4 x 2 x 9 dx, x 2 dx. 40

41 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu Existují integrály, které nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí, nebo jejichž výsledek je velmi komplikovný. Příkldy: 1 0 sin x x dx, 1 0 p xe x dx, 1 1 e x2 dx, 5 2 dx ln x. Přibližný výpočet lze provést: ) rozvojem v Tylorovu řdu integrcí člen po členu, b) numerickou integrcí pomocí Lgrngeových interpolčních polynomů. 41

42 42 Monument Vlley, Nvjo, UT

43 (n) =n! (z + 1) = z (z) (z) (z + 1 p 2 )= lim (z) =+1 z!0 + lim z!+1 (z) =+1 (2z) 22z 1 ( 1) není definováno (1) = 0, (2) = 1, (1/2) = p, (3/2) =. p 2, Gm funkce: Bet funkce: B(z,q) = 1 0 (z) = 1 t z 0 1 e t dt t z 1 (1 t) q 1 dt = 1 0 t z 1 (z) (q) dt = (1 + t) z+q (z + q) 43

44 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 1) Obdélníková metod: 44

45 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 1) Obdélníková metod: f(x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b oznčme f(xi) = yi, h = (xi+1 - xi ): b f(x)dx L n = nx i=1 h.y i = h[y 0 + y y n 1 ] 45

46 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 1) Lichoběžníková metod: 46

47 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 1) Lichoběžníková metod: f(x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xn-1 b b f(x)dx L n = nx i=1 h (y i 1 + y i ) 2 = h 2 [y 0 +2y y n 1 + y n ] b f(x)dx L n pple b 12 h2 M 2, kde M2 je mx f (x) n,b 47

48 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 2) Simpsonov metod:

49 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 2) Simpsonov metod: (xi, yi) (xi+h, yi+1) L2 = x 2 + bx + c, x xi,xi+2h (xi+2h, yi+2) L2(xi) = xi 2 + bxi + c = yi L2(xi+h) = (xi+h) 2 + b(xi+h) + c = yi+1 L2(xi+2h) = (xi+2h) 2 + b(xi+2h) + c = yi+2 (2hxi+ h 2 ) + bh (2hxi+3h 2 ) + bh = yi+1 - yi = yi+2 - yi+1 => c = yi - xi 2 - bxi 2h 2 = yi+2-2yi+1 + yi b = y i+2 y i+1 h 2x i +3h 49 = 1 2h 2 y i+2 2y i+1 + y i

50 IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 2) Simpsonov metod: L2 = x 2 + bx + c, x xi,xi+2h P i = xi +2h x i L 2 (x)dx = pple x bx2 2 + cx xi+2h x i =2x 2 i h +4x i h h3 +2bx i h +2bh 2 +2ch L2(xi) = xi 2 + bxi + c = yi L2(xi+h) = (xi+h) 2 + b(xi+h) + c = yi+1 L2(xi+2h) = (xi+2h) 2 + b(xi+2h) + c = yi+2 (2hxi+ h 2 ) + bh (2hxi+3h 2 ) + bh = yi+1 - yi = yi+2 - yi+1 => c = yi - xi 2 - bxi 2h 2 = yi+2-2yi+1 + yi b = y i+2 y i+1 h 2x i +3h 50 = 1 2h 2 y i+2 2y i+1 + y i

51 f(x) IV.10. Numerický výpočet Riemnov integrálu 2) Simpsonov metod: b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x2n-1 b nx f(x)dx L 2n = h (y 2i 2 +4y 2i 1 + y 2i ) 3 i=1 = h 3 [y 0 +4y 1 +2y 2 +4y y 2n 2 +4y 2n 1 + y 2n ] b f(x)dx L 2n pple b 180 h4 M 4, kde M4 je mx f (4) (x) n,b 51

52 IV.11.. to je vše :) 52

53 IV.11.. to je vše :) 53

54 IV.11.. to je vše :) 54

55 IV.11.. to je vše :) Děkuji z pozornost přeji úspěšnou zkoušku. tké hezké Vánoce šťstný Nový rok! 55