PEVNOSTNÍ NÁVRH PŘÍHRADOVÉ PRUTOVÉ KONSTRUKCE

Transkript

1 VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV MECHAIKY TĚLES, MECHATROIKY A BIOMECHAIKY FACULTY OF MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE OF SOLID MECHAICS, MECHATROICS AD BIOMECHAICS PEVOSTÍ ÁVRH PŘÍHRADOVÉ PRUTOVÉ KOSTRUKCE STREGTH DESIG OF THE TRUSS COSTRUCTIO BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR HAA RAŠOVSKÁ VEDOUCÍ PRÁCE prof. RDr. Ing. JA VRBKA, DrSc., dr. SUPERVISOR h. c. BRO

2

3

4

5 ABSTRAKT Bakalářská práce se zabývá pevnostní, napjatostní a deformační analýzou rovnné příhradové konstrukce. Cílem práce je výpočet velkost osových sl pro dvě uložení soustav s následným návrhem geometre průřezu. Uvažována je rovněž různá poloha břemene. Dále je posouzen vlv gravtačního pole Země a stanovena velkost posuvů v charakterstckých místech konstrukce. ABSTRACT Bachelor thess deals wth strength, stress and stran analss of the plan truss constructon. The am of the thess s calculaton the sze of forces for two storage of the sstem wth resultant suggeston of the cross- secton geometr. The dfferent poston of the load s also consdered. Further the nfluence of gravtatonal feld of the Earth s revewed as well as dsplacements n characterstc places, n constructon s defned.

6 KLÍČOVÁ SLOVA apjatost, Deformace, Pevnostní kontrola, Prut, Příhradová konstrukce, Statcká rovnováha, Stčník, Výztuha KEYWORDS Stress, Stran, Strength analss, Beam, Truss constructon, Statc balance, Framework jont, Renforcement

7 BIBLIOGRAFICKÁ CITACE RAŠOVSKÁ, H. Pevnostní návrh příhradové prutové konstrukce. Brno: Vsoké učení techncké v Brně, Fakulta strojního nženýrství,. 45 s. Vedoucí bakalářské práce prof. RDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc., dr. h. c.

8 PROHLÁŠEÍ Prohlašuj, že jsem bakalářskou prác vpracovala samostatně, pod vedením vedoucího bakalářské práce a s použtím odborné lteratur a pramenů, jež jsou uveden v seznamu použté lteratur Hana Rašovská

9 PODĚKOVÁÍ Těmto řádk bch ráda poděkovala panu prof. RDr. Ing. Janu Vrbkov, DrSc., dr. h. c. za věnovaný čas, vědomost, přpomínk a rad př vpracovávání bakalářské práce. Dále mé poděkování patří Ondřej Bílkov za pomoc př prác s výpočetním software.

10 3

11 OBSAH. Úvod.... Potřebné znalost Prut a prutové soustav Prut Prutové soustav Statcká určtost prutových soustav Metod řešení prutových soustav amáhání prostým tahem a tlakem Geometrcké vztah Rozložení napětí v příčném průřezu Energe napjatost Pops deformační charakterstk střednce Castglanova věta Mezní stav Mezní stav pružnost Mezní stav vzpěrné stablt Analýza konstrukce Charakterstka řešeného problému Analýza konstrukce Provedení I Provedení II Provedení III Porovnání výsledků ávrh rozměrů příčného průřezu Vjádření a výpočet nejmenší ploch průřezu Vjádření a výpočet nejmenšího kvadratckého momentu průřezu ávrh normalzovaného rozměru proflu Shrnutí výsledků Výpočet kvadratckého momentu průřezu Kontrola platnost Eulerových vztahů Vlv gravtace na bezpečnost konstrukce Určení velkost tíhových sl ve stčnících Uvolnění soustav Soustava rovnc Řešení soustav rovnc Deformační analýza Závěr Seznam použtých zdrojů Seznam použtých velčn Seznam příloh

12 . Úvod V bakalářské prác je vpracována napjatostní analýza dvou základních provedení konstrukce- statck určtého a statck neurčtého. a základě dosažených výsledků je navržena změna konstrukce, pro nž je opět provedena napjatostní analýza. Podle maxmálních a mnmálních velkostí osových sl je vpočítána mnmální plocha průřezu a mnmální kvadratcký moment průřezu. Ze získaných hodnot je z katalogu výrobce vbrán vhodný průřez a pro něj je stanovena bezpečnost. Ze tří provedení konstrukce je vbráno jedno pro napjatostní analýzu s ohledem na vlastní tíhu konstrukce a opět je zkontrolována bezpečnost. V závěru práce jsou stanoven velkost posuvů konstrukce v místě působení zatěžující síl.

13 . Potřebné znalost.. Prut a prutové soustav... Prut Prut je v pružnost a pevnost chápán jako teoretcký model reálného tělesa, které splňuje prutové předpoklad: a) geometrcké - prut je určen středncí γ a příčným průřezem ψ - střednce je spojtá a hladká křvka konečné délk - příčný průřez je spojtá nebo vícenásobně souvslá oblast ohrančená obrsem - délka střednce je řádově mnmálně stejně velká jako největší rozměr příčného průřezu b) vazbové a zatěžovací - vazb omezují jen posuv a úhl natočení střednce - zatížení je soustředěno na střednc c) předpoklad deformační - střednce zůstává během zatěžování spojtá a hladká - příčné průřez zůstávají v průběhu deformace rovnné a kolmé k deformované střednc d) předpoklad napjatostní - napjatost v prutu je určena normálovým a smkovým napětím - smková napjatost. []... Prutové soustav Prutové soustav jsou nejjednodušší modelovou soustavou prutových a příhradových konstrukcí. Jsou tvořen prut a stčník. Spojení jednotlvých prutů v reálné soustavě je nepohblvé, nejčastěj pomocí svaru. V modelové soustavě jsou reálné vazb nahrazen rotační vazbou, jejímž středem je stčník. Dík rotačním vazbám je jednou nenulovou složkou výsledných vntřních účnků normálová síla, která je po celé délce prutu konstantní. Prut jsou namáhán pouze na tahtlak, ohbový moment je zanedbatelný. Abchom mohl o prutové soustavě prohlást, že je namáhána prostým tahem č tlakem, musí platt: - okolí prutové soustav působí slam pouze na stčník - soustava se po zatížení nepohbuje - jednotlvé prut musí být přímé a štíhlé Prut, jež jsou namáhán tlakem, je dále potřeba kontrolovat na bezpečnost vůč meznímu stavu vzpěrné stablt. Příhradová konstrukce je prutovou konstrukcí tvořenou přímým prut spojeným ve stčnících tak, ab tvořl trojúhelník. Spojení prutů je realzováno rotační vazbou. Prutové soustav se vužívají př návrhu jeřábů, mostních č střešních konstrukcí a dalších. Jsou význačné schopností přenosu velkých zatížení a vsokou pevností. Pro jejch konstrukc se užívají přímé prut s průřez L, H, T, mezkruhovým nebo kruhovým...3. Statcká určtost prutových soustav U prutových soustav rozlšujeme vnější, vntřní a celkovou statckou určtost. a) Vnější statcká určtost se vztahuje k určení vnějších neznámých stkových sl uvolněného prutového tělesa z použtelných podmínek statcké rovnováh. utná podmínka vnější statcké rovnováh je dána vztahem:, kde 3 ext ext

14 ext - je počet použtelných statckých podmínek rovnováh, který je dán charakterem soustav: 6 pro úloh prostorové, ext ext 3 pro úloh rovnné, ext - je počet neznámých parametrů vnějších stkových sl Stupeň vnější statcké určtost: sext ext ext. b) Vntřní statcká určtost se vztahuje k určení osových sl v prutech. Podmínk statcké rovnováh prutové soustav jsou lneárně závslé na soustavě podmínek statcké rovnováh stčníků. Podmínka vntřní statcké rovnováh je pak dána vztah: 3 k 6 p pro úloh prostorové, k 3 p pro úloh rovnné, kde k je počet stčníků a p počet prutů. Pokud je tato podmínka splněna, je soustava vntřně statck určtá. Stupeň vntřní statcké určtost: s, kde p a k 3( 3k 6 ). nt nt nt nt nt nt c) Celková statcká určtost se vztahuje k určení všech neznámých nezávslých parametrů prutové soustav z použtelných podmínek statcké rovnováh. Celková podmínka statcké určtost je dána vztah 3 k p pro úloh prostorové, ext k p pro úloh rovnné. [3] ext..4. Metod řešení prutových soustav Pro analtcké řešení prutových soustav se nejčastěj používá obecná stčníková metoda č postupná stčníková metoda. a) Obecná stčníková metoda Všechn stčník se uvolní a sestaví se použtelné podmínk statcké rovnováh, které tvoří soustavu algebrackých rovnc. Soustava je následně řešena vužtím matcového počtu pomocí výpočetní technk. Je proto vhodná pro složté prutové soustav. b) Postupná stčníková metoda Stčník se uvolňují postupně a rovnce vtvořené z podmínek rovnováh se řeší okamžtě. Je možné řešt pouze stčník, u nchž známe dostatečný počet působících sl. Pořadí řešení stčníků ted není lbovolné a metoda je vhodná pro soustav tvořené malým počtem prutů... amáhání prostým tahem a tlakem amáhání prostým tahem (tlakem) je takové namáhání přímého przmatckého prutu, jestlže na dané rozlšovací úrovn: - jsou splněn prutové předpoklad - jednou nenulovou složkou výsledných vntřních účnků je normálová síla - příčné průřez se oddalují (přblžují) a následně deformují - pro řešení statcké rovnováh se prvek prutu uvolňuje ve výchozím nedeformovaném stavu [] 4

15 V tahu je normálová síla orentována směrem ven z tělesa, v tlaku je normálová síla orentována směrem dovntř.... Geometrcké vztah Geometrcké vztah udávají vztah mez přetvořením a posuv. Pokud je prut namáhán tahem (tlakem), průřez ψ, ψ prvku Ω se oddalují (přblžují) o deformační posuv du, který je shodný pro všechn bod příčného průřezu. Pravé úhl α, β prvku se nemění (vz obr..). Obr.. Deformace elementárního prvku Těmto deformacím odpovídají deformační charakterstk: - délkové přetvoření x ve směru os,,x (ve směru střednce prutu) du x dx, - úhlová přetvoření (zkos) jsou nulové- řez zůstávají kolmé na střednc, x xz - délková přetvoření ve směru os,, a,,z jsou funkcí přetvoření ve směru,,x. z x V prutu vznká trojosá deformace vjádřená tenzorem přetvoření T ε T x. z... Rozložení napětí v příčném průřezu Pro homogenní, lneárně pružný materál platí: E. Jednou nenulovou složkou příčného průřezu je normálová síla, která působí na průřezu o ploše S. Protože je normálová síla orentována do směru os,,x, můžeme podle Hookeova zákona psát x E x. 5

16 kde E je Youngův modul pružnost v tahu a x je délkové přetvoření. apětí je po průřezu rozloženo rovnoměrně, z prutových předpokladů vplývá, že. Závslost normálového napětí na výsledných vntřních účncích získáme z podmínek statcké ekvvalence mez soustavou elementárních sl d a jejch slovou výsledncí působící v těžšt průřezu (vz obr..). Z použtelných podmínek statcké ekvvalence získáme Protože konst x., potom z Fx xds. x ds S S, vztahů z xds M M, o M ds M. z Z defnce prostého tahu víme, že M M. Obě podmínk můžeme upravt do o zds U zds U. oz x oz Os,, a,,z souřadného sstému procházejí těžštěm, kde U, U. Podmínk statcké ekvvalence jsou splněn. [] z Obr.. Rozložení napětí v příčném průřezu V bodě tělesa vznká jednoosá napjatost popsaná tenzorem napětí T T x. 6

17 Pokud chceme posuzovat mezní stav, je třeba znát místa s nejvšší hodnotou napětí v příčném průřezu. U prostého tahu je však napětí po příčném průřezu rozloženo rovnoměrně, tzn. všechn bod průřezu jsou stejně nebezpečné a pro velkost extrémního napětí platí..3. Energe napjatost ex. [] S a trojnásobně elementární prvek Ω 3 uvolněný z prutu působí vntřní elementární síla o velkost df ds (vz obr..3). Obr..3 Uvolněný prvek prác Délka prvku se změní o deformační posuv du a vkonaná práce je rovna elementární da dudf duds. Dosazením vztahů du dx a E dostaneme vztah pro elementární prác da dsdx dsdx. E V lneární pružnost a pevnost se celá deformační práce projeví zvýšením energe napjatost da dw, tzn. da dw dsdx. E je Tento vztah platí obecně pro jednoosou napjatost určenou napětím. V prostém tahu, takže pro energ napjatost v prvku Ω platí: S W dxds dxds E ES dx ES. V prutu o délce l se pak akumuluje energe napjatost W l dx. [] ES 7

18 ..4. Pops deformační charakterstk střednce Posuv bodu střednce ve směru střednce je základní deformační charakterstkou prostého tahu. Ze splnění prutových předpokladů vplývá, že střednce zůstává během namáhání spojtá a ted její délkové přetvoření x je spojté. x Ze vztahů du xdx a x dostaneme vztah platící pro přímý prut, kde se posuv E od v lbovolném místě x, vzhledem k referenčnímu bodu x (předpokládá se, že v tomto bodě je posuv nulový) rovná u( x) x x x x x xdx dx x dx. E x ES Pokud je prut przmatcký a normálová síla je po celé délce prutu konstantní, pak l u( x). ES kde součn ES je označován jako tuhost příčného průřezu..3. Castglanova věta Pokud matematck formulujeme energ napjatost tělesa, pak Castglanova věta umožňuje výpočet deformačních charakterstk jakéhokolv lneárně pružného tělesa. Je proto jednou z nejdůležtějších vět lneární pružnost. Defnce Castglanov vět pro posuv zní: Posuv působště síl F po její nostelce je dán parcální dervací celkové energe napjatost tělesa (soustav) podle této síl W u. F Podobně pro úhel natočení: Úhel natočení v místě působení slové dvojce M v rovně jejího působení je dán parcální dervací celkové energe napjatost tělesa (soustav) podle této slové dvojce W. [] M Kladné znaménko je použto u posuvů (natočení), jež se uskutečňují ve směru působení síl (slové dvojce). Záporné znaménko se užívá, pokud posuv nastává prot směru působení síl (slové dvojce)..4. Mezní stav Mezní stav lze v pružnost a pevnost chápat jako stav, kd se porušení a deformace mění z funkčně přípustných na funkčně nepřípustné. Funkčně přípustné jsou taková porušení a deformace, kd nedochází ke změně funkčních vlastností soustav. Dosáhnou-l jsté velkost, charakter soustav se změní. Jsou překročen meze, za nmž je soustava nefunkční. Jsou ted funkčně nepřípustné. Schopnost soustav plnt požadované funkce za běžných některých mmořádných podmínek je dána spolehlvostí soustav. Př návrhu součást je důležté, ab blo provozní napětí, jímž je součást namáhána, menší jak napětí dovolené pro daný materál, kd 8

19 dochází ke změně vlastností materálu. S jstým odchlkam u reálných součástí (vrub, svařování, bubln, ) oprot modelovým je třeba velkost napětí nepatrně nadhodnott. K tomuto účelu se užívá koefcent bezpečnost k, pro který musí platt, že k. Koefcent bezpečnost zahrnuje veškeré vlv, které nejsou v modelovém řešení zahrnut nebo bl během výpočtu zjednodušen. orm pro pevnostně- pružnostní výpočt obsahují velkost koefcentů bezpečnost pro jednotlvá odvětví použtí. Tto bl získán na základě zkoušek, expermentů č zkušeností. Velkost součntele bezpečnost se volí na základě způsobu užtí součást. ěkteré součást jsou provozován s menší bezpečností, jejíž zvýšení b mělo za následek pouze zbtečné navýšení cen. Součást, u nchž potřebujeme mít jstotu, že nedojde k jejch poškození (výtah, letadla) je však nutné používat hodnot k mnohem všší. ení ale vhodné se př návrhu ohlížet pouze na cenu součást, protože pokud bude bezpečnost přílš nízká a dojde k poškození součást, která má za následek např. zastavení výrob nutné pro její výměnu nebo dokonce poškození celého stroje, mohou být náklad na pokrtí tohoto selhání mnohem všší, než částka, kterou bchom zaplatl za,,bezpečnější součást. Př zatěžování prutové konstrukce prostým tahem může dojít k překročení mezního stavu pružnost a mezního stavu vzpěrné stablt..4.. Mezní stav pružnost Př zatěžování tělesa může po ukončení zatěžovacího cklu ke dvěma stuacím: a) Deformace jsou po odlehčení přílš malé a dostupným prostředk nezjsttelné. Je možné je ted považovat za vratné a deformace je elastcká (vz obr..4). Obr..4 Elastcká deformace b) Deformace jsou po odtížené zjsttelné dostupným prostředk. Vznklé deformace jsou nevratné a deformace bla plastcká (vz obr..5). Obr..5 Plastcká deformace Mezní stav pružnost tělesa je takový jeho stav, př jehož překročení vznkají plastcké deformace. [] Hodnota, která udává hranc pro překročení tohoto stavu je mez kluzu materálu K získaná z tahového dagramu (vz obr..6). Po jejím překročení dojde k pohbu dslokací, což je jeden z mechansmů vznku plastcké deformace. 9

20 Obr..6 Tahový dagram Ab k danému meznímu stavu nedošlo, musí být hodnota zatěžujícího napětí ležet v ntervalu Kd; Kt, kde Kd je mez kluzu v tlaku a Kt je mez kluzu v tahu. Protože u houževnatého materálu platí Kd Kt K, je možné psát K. Se zavedením součntele bezpečnost do výpočtu dostáváme vztah pro bezpečnost vzhledem k meznímu stavu pružnost.4.. Mezní stav vzpěrné stablt K kmsp. Začneme-l namáhat relatvně tenkou tč (rozměr příčného průřezu jsou v porovnání s délkou zanedbatelné) tlakem, začne se od určtého okamžku prohýbat. V průběhu zatěžování se změnl charakter deformace- z prostého tlaku na ohb. V počáteční fáz je podstatné stlačování střednce a nepodstatný její průhb, př větších slách je tomu naopakprůhb je podstatný a stlačování střednce nepodstatné. [] Mezní stav vzpěrné stablt je defnován jako stav, př jehož dosažení se mění charakter podstatné deformace. Síla, př níž dojde ke změně je krtcká síla, nebo také Eulerova síla. Velkost krtcké síl podle Eulera je pro vázaný prut dána vztahem EJ F kr, l kde je velčna daná uložením prutu (vz obr..7) a J je menší ze dvou kvadratckých momentů průřezu. [] Pro volný prut je. Obr..7 Uložení prutů a hodnot Uvedený vztah, platný pro deální a deálně zatížený prut, je použt př vjádření bezpečnost vůč meznímu stavu vzpěrné stablt

21 Fkr kkrt. F Podle rozdílů mez reálným a modelovým prutem je volena velkost koefcentu bezpečnost - obvkle k 3; 6. krt U prutu z reálného materálu je zapotřebí určt aktuální mezní stav a vůč němu stanovt bezpečnost. apětí na mez vzpěrné stablt je rovno kr F EJ E kr, S Sl l l j kde je štíhlost prutu a je poloměr kvadratckého průřezu prutu. J S S Závslost f (vz obr..8) pro materál ve stavu tvárném ukazuje, že kr aktuálním mezním stavem je mezní stav vzpěrné stablt pouze v případě, že ted k. a K kr Obr..8 Závslost σ kr = f (λ) Pokud k mezní stav vzpěrné stablt nastane př zatěžování dříve než mezní stav pružnost. V případě k nastane dříve mezní stav pružnost. K meznímu stavu vzpěrné stablt však stále může dojít, ncméně prut b se choval pružně plastck a odvozené vztah b neplatl.

22 3. Analýza konstrukce 3.. Charakterstka řešeného problému V této část budou vpočten neznámé osové síl a také velkost vazbových sl po uvolnění prutové konstrukce. Analýza bude provedena pro dvě základní provedení. Podle získaných výsledků bude navržena úprava konstrukce. Základní tvar a rozměr prutové konstrukce jsou na obr. 3.. Obr. 3. Tvar a rozměr prutové konstrukce Prutová konstrukce je tvořena dvojtým L proflem. Charakterstcké rozměr proflu jsou na obrázku 3.. Svar ve stčnících jsou dealzován rotačním vazbam, jež nepřenáší ohbové moment. Prut jsou ted namáhán pouze na prostý tah a tlak, případně na vzpěr. Obr. 3. L - profl Výpočtový model prutové příhradové konstrukce je zatížen slou G = 5, jejíž působště je možné umístt v rozsahu stčníků K-O. Poněvadž je prutová soustava souměrná, bude síla G umístěna pro výpočet pouze do stčníků K, M a doprostřed prutu mez těmto stčník.

23 Materálem konstrukce je konstrukční ocel ČS 373 s materálovým charakterstkam: mez pevnost v tahu mez kluzu R m 37 R e MPa MPa 3.. Analýza konstrukce 3... Provedení I. První uvažovanou varantou bude prutová soustava uložená podle obrázku (vz obr. 3.3). Pro tuto soustavu bude provedeno uvolnění, posouzení statcké určtost, a výpočet neznámých sl ve vazbách a osových sl. Obr. 3.3 Schéma provedení I. Uvolnění Prutovou soustavu uvolníme jako celek (vz obr. 3.4). Jednotlvé prut nahradíme osovým slam - 49, jež mají působště ve stčnících a působí ve směru prutu. Rotační vazba ve stčníku A je nahrazena dvěma slam F ax a F a, obecná podpora ve stčníku Z slou F z. 3

24 Obr. 3.4 Uvolnění Statcká určtost - Posouzení vnější statcké určtost - počet použtelných podmínek vnější statcké rovnováh ext 3, - počet vnějších neznámých parametrů ext 3, - stupeň vnější statcké určtost sext ext ext 3 3, - nutná podmínka vnější statcké určtost ext ext 3 3 nutná podmínka vnější statcké určtost je splněna. Posouzení vntřní statcké určtost - počet vntřních neznámých parametrů (počet prutů) nt p 49, - počet stčníků k 6, - počet použtelných podmínek vntřní statcké rovnováh nt k 3 49, - stupeň vntřní statcké určtost s nt nt nt 49 49, - nutná podmínka vntřní statcké určtost 4

25 p k nutná podmínka vntřní statcké určtost je splněna. Soustava je vntřně vně statck určtá. Soustava rovnc Pro výpočet neznámých osových sl a sl v reakcích je nutné sestavt soustavu rovnc podle obecné stčníkové metod. V každém stčníku jsou sepsán podmínk statcké rovnováh ve směru os,,x a,,. Moment je vžd nulový, protože všechn síl působí ve stčníku. Stčník A: F : F cos63 F x ax : F sn63 a Stčník B: : F 3 : 4 Stčník C: : cos8 cos63 cos63 F : sn8 sn63 sn Stčník D: : 7 cos63 F 5 : sn Stčník E: : cos8 cos56 cos8 F : sn8 sn56 sn8 9 6 Stčník F: : cos56 F 9 : sn Stčník G: : cos8 cos5 cos8 F 4 3 : sn8 sn5 sn8 4 3 Stčník H: : cos5 F : sn5 6 3 Stčník I: : cos45 cos8 F : 7 sn 45 sn8 4 Stčník J: : cos34 cos45 F 9 7 : sn34 sn Stčník K: : cos34 cos34 Stčník L: : F F : sn 34 sn 34 G 9 3 K 4 : Stčník M: : 6 F : G 5 M 5

26 Stčník : : cos34 cos34 F : sn 4 sn Stčník O: : cos34 cos34 F : sn34 sn Stčník P: : 8 F 3 : 9 Stčník Q: : cos34 cos45 F : sn34 cos Stčník R: : cos5 F : sn Stčník S: : cos45 cos8 F : 34 sn 45 sn8 38 Stčník T: : 39 cos56 F 4 : sn Stčník U: : cos8 cos5 cos8 F : sn8 cos5 sn Stčník V: : 43 cos63 F 45 : sn Stčník W: : cos56 cos8 cos8 Stčník X: : F F : sn56 sn8 sn : Stčník Y: : cos8 cos63 cos63 F : sn8 sn63 sn Stčník Z: : cos63 Řešení soustav rovnc F 49 : sn63 F z Rovnce uvedené v předchozí část tvoří soustavu lneárních rovnc, která je matematckou smbolkou popsána vztahem K n 6 p, kde [K] je čtvercová matce koefcentů násobících neznámé, [n] je vektor neznámých parametrů a [p] je vektor pravých stran. Jelkož soustava obsahuje 5 rovnc, blo pro její efektvnější řešení použto programu Maple, kd bl rovnce vložen do proměnných r-r5 a následně vřešen pomocí příkazu,,fsolve (vz obr. 3.5). Tento a následující výpočt jsou pro svou obsáhlost ponechán v přílohách, v prác jsou uveden pouze výsledk.

27 Obr. 3.5 Zadávání příkazu fsolve" Poněvadž se břemeno, které namáhá konstrukc slou G, může pohbovat v rozsahu stčníků K-O, je nutné vpočítat největší a nejmenší osovou sílu pro každé umístění. Výsledk jsou uspořádán do tabulk na základě působště zatěžující síl G. K včíslení rovnc je nutné do výpočtu zadat proměnné. Zátěžná síla může působt ve stčnících K, M nebo mez nm. Její velkost bude pro každé z působšť označena příslušným ndexem: působště ve stčníku K působště ve stčníku M působště mez stčník K a M G K 5 G M G K G M 5 G K 5 G M 5 Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] F ax F ax F ax F a 5 F a 37 5 F a 3 5 F z 5 F z 5 F z

28 Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] Z vpočtených hodnot pro jednotlvá působště bl vbrán největší osové síl. Záporné hodnot značí zatížení prutu v tlaku, kladné hodnot v tahu. Extrémní hodnot v tlaku jsou důležté pro kontrolu mezního stavu vzpěrné stablt Provedení II. Toto provedení se lší od předchozího provedení změnou vazb ve stčníku Z, kd obecná podpora bla nahrazena vazbou rotační. V první část bude soustava uvolněna, následně se sestaví rovnce rovnováh a vpočte se velkost osových sl. 8

29 Obr. 3.6 Schéma provedení II. Uvolnění Prutovou soustavu uvolníme (vz obr. 3.7). Jednotlvé prut opět nahradíme osovým slam Rotační vazbu ve stčníku A nahradíme dvojcí sl F ax, F a, rotační vazbu ve stčníku Z dvojcí sl F zx a F z. Obr. 3.7 Uvolnění 9

30 Statcká určtost Posouzení vnější statcké určtost - počet použtelných podmínek vnější statcké rovnováh ext 3, - počet vnějších neznámých parametrů ext 4, - stupeň vnější statcké určtost/ neurčtost sext ext ext 4 3, - nutná podmínka vntřní statcké určtost/ neurčtost ext ext 4 3 nutná podmínka vnější statcké určtost není splněna. Posouzení vntřní statcké určtost - počet vntřních neznámých parametrů (počet prutů) nt p 49, počet stčníků k 6, počet použtelných podmínek vntřní statcké rovnováh k 3 49, nt stupeň vntřní statcké určtost s 49 49, nt nt nt nutná podmínka vntřní statcké určtost p k nutná podmínka vntřní statcké určtost je splněna. Soustava je jedenkrát statck neurčtá. Částečné uvolnění Poněvadž je prutová soustava jedenkrát statck neurčtá, je potřeba zavést ještě jednu rovnc, jež bude doplňovat soustavu rovnc vtvořenou z podmínek statcké rovnováh. Chbějící rovnce bude vtvořena zavedením deformační podmínk ve stčníku Z. Rotační vazba bude chápána jako obecná podpora a síla F zx bude slou, která způsobuje nulový posuv konstrukce ve směru os x. K určení velkost této síl a následně určení všech neznámých bude použta Castglanova věta pro nulový posuv ve směru os,,x od působící síl F zx u F zx n l E S F zx. Soustava rovnc Stčník A: F : F cos63 F x ax : F sn63 a Stčník B: : 3

31 F : 4 Stčník C: : cos8 cos63 cos63 F : sn8 sn63 sn Stčník D: : 7 cos63 F 5 : sn Stčník E: : cos8 cos56 cos8 F : sn8 sn56 sn8 9 6 Stčník F: : cos56 F 9 : sn Stčník G: : cos8 cos5 cos8 F 4 3 : sn8 sn5 sn8 4 3 Stčník H: : cos5 F : sn5 6 3 Stčník I: : cos45 cos8 F : 7 sn 45 sn8 4 Stčník J: : cos34 cos45 F 9 7 : sn34 sn Stčník K: : cos 34 cos 34 Stčník L: : F F : sn 34 sn 34 G 9 3 K 4 : Stčník M: : F 6 : G 5 M Stčník : : cos34 cos34 F : sn 4 sn Stčník O: : cos34 cos34 F : sn34 sn Stčník P: : 8 F 3 : 9 Stčník Q: : cos34 cos45 F : sn34 cos Stčník R: : cos5 F : sn Stčník S: : cos45 cos8 F : 34 sn 45 sn8 38

32 Stčník T: : 39 cos56 F 4 : sn Stčník U: : cos8 cos5 cos8 F : sn8 cos5 sn Stčník V: : 43 cos63 F 45 : sn Stčník W: : cos56 cos8 cos8 Stčník X: : F F : sn56 sn8 sn : Stčník Y: : cos8 cos63 cos63 F : sn8 sn63 sn Stčník Z: F : cos63 F Řešení soustav rovnc F x 49 zx : sn63 F z Rovnce jsou opět řešen pomocí programu Maple. Protože zde máme o jednu neznámou více, než je rovnc a v rovncích jsou přítomn gonometrcké funkce, je nutné pro vpočet velkost sl v závslost na F zx použít příkaz,,lnear (vz obr. 3.8). Obr. 3.8 Příkaz Lnear" Pro výpočet velkost síl F zx je použta Castglanova věta. Do rovnce pro posuv je kromě velkost osových sl nutno znát dervace těchto sl podle F zx (vz. kap ). Po stanovení velkost síl F zx je možné vpočítat velkost osových sl a sl ve vazbách. Pro lustrac obsáhlost výpočtů je zde uvedena jedna z dervací (vz obr. 3.9).

33 Obr. 3.9 Dervace Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] F ax 4 F ax 69 F ax 755 F a 5 F a 37 5 F a 3 5 F zx - 4 F zx - 69 F zx F z 5 F z 5 F z

34 Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] Ze získaných řešení je patrné, že nejvíce jsou namáhán prut v horní část konstrukce, podobně jako v proveden I.. Tto výsledk dále ovlvní návrh změn konstrukce za účelem snížení napjatost Provedení III. Podle výsledků dosažených v analýze předchozích dvou konstrukcí je prutová soustava doplněna o čtř výztuh V, V, V 3, V 4, jejchž účelem je snížení napjatost v konstrukc v místech, kde blo dosaženo největších velkostí osových sl. Dřívějším 4

35 výpočtem bl jako nejvíce namáhané prut zjštěn prut 9,,3,4,5,7 a na základě souměrnost konstrukce k nm patří prut 8,3,3. Obr. 3. Schéma provedení III. Uvolnění Prutová soustava bla uvolněna (vz obr. 3.) a prut nahrazen osovým slam - 49, rotační vazba ve stčníku A nahrazena dvojcí sl F ax, F a, rotační vazba ve stčníku Z dvojcí sl F zx a F z. 5

36 Obr. 3. Uvolnění Statcká určtost Posouzení vnější statcké určtost - počet použtelných podmínek vnější statcké rovnováh ext 3, - počet vnějších neznámých parametrů ext 4, - stupeň vnější statcké určtost/ neurčtost sext ext ext 4 3, - nutná podmínka vntřní statcké určtost/ neurčtost ext ext 4 3 nutná podmínka vnější statcké určtost není splněna. Posouzení vntřní statcké určtost - počet vntřních neznámých parametrů (počet prutů) nt p 53, - počet stčníků k 6, - počet použtelných podmínek vntřní statcké rovnováh nt k 3 49, - stupeň vntřní statcké určtost s nt nt nt , - nutná podmínka vntřní statcké určtost 6

37 p k nutná podmínka vntřní statcké určtost není splněna. Soustava je pětkrát statck neurčtá. Částečné uvolnění V předchozím odstavc blo zjštěno, že soustava je pětkrát statck neurčtá, je ted třeba formulovat 5 deformačních podmínek. V případě vnější statcké určtost bude použta podmínka z přecházejícího provedení, ted že síla F zx neznámé velkost způsobuje nulový posuv ve směru os,,x. Velkost síl F zx bude opět určena z Castglanov vět u F zx n l E S F zx. Prutová soustava je čtřkrát vntřně statck neurčtá. Defnováním čtř deformačních podmínek bude k dspozc dostatečný počet rovnc pro výpočet všech neznámých. Scházející rovnce jsou doplněn podmínkam spojtost deformace pro výztuh V, V, V 3, V 4. Mšlený řez těchto výztuh rozdělí výztuh na dvě část. a základě prncpu akce a reakce bude v těchto částech působt stejně velká síla V, V, V3, V4 pro každou stranu řezu, ale opačně orentovaná. Velkost posuvu od sl bude na obou stranách totožné, a protože prut není přerušen, řez je pouze mšlený, je velkost posuvu nulová. Podmínk budou opět vjádřen pomocí Castglanov vět W 53 V W 53 V W l E S V 53 V 3 W l V 53 V 4 E S l E S V 3 l E S V 4,,,. Parcální dervace energe napjatost podle síl působící v mšleném řezu je nulová. Soustava rovnc Stčník A: F : F cos63 F x ax : F sn63 a Stčník B: : F 3 : 4 Stčník C: : cos8 cos63 cos63 F : sn8 sn63 sn

38 Stčník D: : 7 cos63 F 5 : sn Stčník E: : cos8 cos56 cos8 F : sn8 sn56 sn8 9 6 Stčník F: : cos56 F 9 : sn Stčník G: : cos8 cos5 cos8 F 4 3 : sn8 sn5 sn8 4 3 Stčník H: F : cos 5 cos 34 F x V : sn 5 sn V Stčník I: : cos45 cos8 F : 7 sn 45 sn8 4 Stčník J: : cos34 cos45 F 9 7 : sn34 sn Stčník K: : cos 34 cos 34 F : sn 34 sn 34 G 9 3 K Stčník L: F : cos 34 cos 34 F x 4 V V : sn 34 sn 34 V V Stčník M: F : cos 34 cos 34 F x 6 V V 3 : G sn 34 sn 34 5 M V V 3 Stčník : : cos34 cos34 F : sn 4 sn Stčník O: : cos34 cos34 F : sn34 sn Stčník P: F : cos 34 cos 34 F x 8 3 V 3 V 4 : sn 34 sn 34 9 V 3 V 4 Stčník Q: : cos34 cos45 F : sn34 cos Stčník R: F : cos 5 cos 34 F x V 4 : sn 5 sn V 4 Stčník S: : cos45 cos8 F : 34 sn 45 sn8 38 Stčník T: : 39 cos56 F 4 : sn Stčník U: : cos8 cos5 cos

39 F : sn8 cos5 sn Stčník V: : 43 cos63 F 45 : sn Stčník W: : cos56 cos8 cos8 Stčník X: : F F : sn56 sn8 sn : Stčník Y: : cos8 cos63 cos63 F : sn8 sn63 sn Stčník Z: F : cos63 F Řešení soustav rovnc F x 49 zx : sn63 F z Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] F ax 59 F ax 659 Fax 94 F a 5 F a 37 5 Fa 3 5 F zx - 59 F zx Fzx - 94 F z 5 F z 5 Fz

40 Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] V V V V V V 75 V V V V V4-8 6 V

41 3..4. Porovnání výsledků Výše bl vpočítán velkost osových sl pro tř provedení prutové konstrukce. Provedení I. blo statck určté, změnou vazb se provedení II. stalo statck neurčtým a na základě výsledků zjštěných př analýze prvních dvou provedení bla konstrukce upravena na provedení III. Přdané prut slouží jako výztuha v místech, kde jsou prut namáhán nejvíce. Porovnáním hodnot zjstíme, že velkost maxmálních tahových sl se přdáním výztuh zmenšl přblžně na polovnu, ale tlakové síl zůstal zhruba stejně velké. Př návrhu rozměrů budeme uvažovat všechna provedení ávrh rozměrů příčného průřezu V zadání práce je stanoveno, že pro prutovou konstrukc bude použt zdvojený L- profl. V této část budou stanoven nejmenší rozměr průřezu tak, ab na základě získaných hodnot zatížení nebl překročen mezní stav pružnost, an mezní stav vzpěrné stablt. Vhodnou volbou rozměru průřezu je možné dosáhnout co nejnžší hmotnost celé konstrukce za současného splnění požadavků na bezpečnost. Zvolení proflu s přílš velkým rozměr b mělo za následek zvýšení hmotnost konstrukce, zvýšení napjatost a komplkace př návrhu pohonu, který b měl konstrukcí pohbovat Vjádření a výpočet nejmenší ploch průřezu V této část budeme vcházet z požadované mnmální hodnot bezpečnost vůč meznímu stavu pružnost: k MSP 4. a základě znalost maxmálních tlakových a tahových zatížení v prutech pro jednotlvá provedení bude pro každé provedení vpočítána nejmenší plocha průřezu zadaného proflu. provedení max [] mn [] I. = 6 = 74 8 (M) = 4 = (K) II. 9 = 67 6 (K) = 4 = (K) III. = (K) 4 = 8 = (M) Pro bezpečnost vůč meznímu stavu pružnost platí k MSP K Re. max max Velkost maxmálního napětí pro namáhání v tlaku (tahu) platí vztah max( max, mn ) max S. Pokud ze vztahu pro bezpečnost vjádříme výpočet maxmálního napětí, dostaneme max a porovnáme jej se vztahem pro k R MSP max( max, mn, S e ) 3

42 vjádřením S získáme S max( max, R e mn ) k MSP. Př této rovnost právě nastane mezní stav pružnost, S je plocha průřezu, př níž právě nastane mezní stav pružnost. Úkolem je tento stav nepřekročt, tudíž j označíme jako S mn. Př volbě ploch průřezu větší než je S mn ted nedojde k meznímu stavu pružnost. Prut v této konstrukc jsou tvořen zdvojeným L- profl. Proto je nutné výraz pro výpočet průřezu dělt dvěma. Výsledný vztah pro výpočet mnmální ploch průřezu je S max(, max mn MSP mn. R Dosazením známých hodnot do tohoto vztahu vpočteme mnmální průřez pro jednotlvá provedení. Provedení I.: Provedení II.: S S Provedení III.: S k e ) k max MSP 4 mn 7,48 m 74, 8 6 Re k max MSP 4 mn 6,76 m 67, 6 6 Re k mn MSP 4 mn 5,4894 m 548, 94 6 Re Vjádření a výpočet nejmenšího kvadratckého momentu průřezu Výchozí hodnotou pro následující výpočet je bezpečnost vůč meznímu stavu vzpěrné stablt: k krt 6. V každém provedení blo zjštěno největší tlakové zatížení, pomocí něhož je možné vpočítat mnmální hodnotu kvadratckého momentu průřezu. Pro bezpečnost vůč meznímu stavu stablt platí vztah mm mm mm k krt Fkrt krt. F max mn Eulerova krtcká síla se vpočítá podle F E J. l krt krt a základě znalost uložení je možné získat hodnot, (obr. 7). V tomto případě ted platí:. 3

43 Vjádřením krt ze vztahu pro bezpečnost a porovnáním s rovncí pro výpočet Eulerov krtcké síl dostaneme k krt E J mn, l vjádřením J získáme J k krt mn E l, 5 kde E je modul pružnost v tahu ( E, MPa ), l délka nejvíce namáhaného prutu. Př této rovnost právě dojde k meznímu stavu vzpěrné stablt. Hodnota J ve vzorc pro výpočet Eulerov krtcké síl je velkost menšího ze dvou kvadratckých momentů průřezu, př kterém právě dojde k meznímu stavu vzpěrné stablt. Požadavkem je, ab k takovému stavu nedošlo, tudíž označíme J jako J mn a př volbě vhodného průřezu budeme hledat průřez s kvadratckým momentem všším. Je třeba opět pamatovat na to, že profl je zdvojený. Proto je nutné výraz pro kvadratcký moment průřezu dělt dvěma. Výsledný vztah pro výpočet mnmálního kvadratckého momentu průřezu je J mn k krt mn l E. Z obr. 9 je patrné, že l l4 l8. 5 m. Tto délk prutů dosadíme společně s ostatním známým parametr a pro jednotlvá provedení vpočteme mnmální velkost kvadratckého momentu průřezu. Provedení I. J Provedení II. J Provedení III. J k l krt mn ,5 7 4 mn,8 m 8 k E l, krt mn ,5 7 4 mn,635 m 635 k E l, krt mn ,5 7 4 mn,779 m 779 E, ávrh normalzovaného rozměru proflu Tvar použtého proflu, ted zdvojený nerovnoramenný L- profl, bl dán zadáním. Př návrhu rozměrů je nutné vcházet z odpovídající norm. Rozměr tčí nerovnoramenného průřezu L jsou dán normou ČS :79. Volba tče je pak charakterzována šířkou b, výškou a a tloušťkou t. [5] 33 mm mm mm 4 4 4

44 Podle hodnot nejmenších kvadratckých momentů průřezu a nejmenších průřezů je z katalogu výrobce vbrán nejvhodnější průřez. Získané hodnot ted jsou: Provedení I.: Provedení II.: Provedení III.: 4 Smn 74, 8 mm, J mn 8 mm, 4 Smn 67, 6mm, J mn 635 mm, 4 Smn 548, 49 mm, J mn 779 mm. Jelkož jsou velkost kvadratckých momentů pro všechna provedení praktck stejné, blo zvoleno použtí tčí o stejných rozměrech pro všechna analzovaná provedení, ted L 8x6x6 l ( J 5,4 mm, J 4,8 mm, S 8 mm, m 6,37 kgm ), kde l je délka jednotlvých prutů. x Shrnutí výsledků Z maxmálních a mnmálních hodnot osových sl bl získán velkost mnmálních průřezů a mnmálních kvadratckých momentů průřezu. Dříve také blo zjštěno, že přdáním výztuh do konstrukce (provedení III.) se snžují pouze velkost tahových sl a na velkost sl tlakových nemají v podstatě vlv. Snížení velkost tahových sl mělo za následek, že maxmální síl použté pro výpočet napětí bl tlakové. Jejch velkost však nedosahují velkost tahových sl vpočtených pro provedení I. a II.. Proto jsme př výpočtu mnmálního průřezu pro provedení III. dosáhl jeho nžší hodnot. cméně, kdž je požadovaný mnmální průřez menší, v katalogu nabízeném výrobcem není udána tč s rozměr, která b vhovovala současně požadavkům mnmálního průřezu a mnmálního kvadratckého momentu průřezu a zároveň měla menší rozměr než tč volená pro provedení I. a II.. a základě tohoto poznatku bude dále pracováno pouze s provedením I., jelkož použtí výztuh v provedení III. b nevedlo k nžší hmotnost konstrukce, an k podstatnému snížení napjatost. II. provedení nebudeme uvažovat, protože maxmální hodnot tahových sl jsou totožné a velkost sl tlakových téměř shodné, v provedení I. dokonce všší Výpočet kvadratckého momentu průřezu V katalogu výrobce jsou uveden hodnot kvadratckých momentů průřezu k oběma osám, jež procházejí těžštěm daného proflu. cméně, velkost kvadratckého momentu průřezu tvořeného zdvojeným L- proflem se bude lšt. Dále bude mít vlv přítomnost ploché tče o tloušťce 6mm, k níž jsou oba L- profl přpevněn svarovým spojem. Konkrétní rozměr průřezu jsou uveden na obrázku (vz obr. 3.). 34

45 Obr. 3. Výpočet poloh těžště Poloha os,,z bude v souřadném sstému pro výpočet kvadratckého momentu průřezu směřovat svsle. Poloha os,, bude vodorovná, jako její výchozí umístění pro výpočet poloh těžště je volena poloha podle obr. 3.. Souřadnce těžště ve směru je rovna ( T ), souřadnce ve směru os,,z se vpočte podle vztahu z S z T. S Dosazením známých vzdáleností do předchozího vztahu získáme zt B H zt m H zt b h zt 54, 9 mm. B H m H b h Tato hodnota udává, že osu je nutno posunout o 54,9 mm v kladném směru os z, ab ležela v těžšt průřezu. ová poloha os je znázorněna na obrázku (vz obr. 3.3). 35

46 Obr. 3.3 Souřadný sstém v těžšt obrazce Kvadratcké moment průřezu k oběma osám jsou vpočten podle následujících vztahů: J H B p H B ( H m p H m) ( h b p h b) ,9 8 6 ( 8 6 4,9 8 6) ( , mm 74 54) J z H B H m ( hb T hb) ( ) mm Kontrola platnost Eulerových vztahů a základě vzorců platných pro vzpěr prutů bude ověřeno, zda bude meznímu stavu pružnost předcházet mezní stav vzpěrné stablt č nkolv. Mezní štíhlost K pro zadaný materál je dána vztahem K E K, 5,4. Ab meznímu stavu vzpěrné stablt předcházel mezní stav pružnost, je nutná platnost nerovnost K. Pokud tato nerovnost splněna nebude, dojde dříve k meznímu stavu vzpěrné stablt. Je opět nutné pamatovat na to, že prut je tvořen dvojtým L- proflem. Štíhlost prutu se vpočítá podle vztahu 36

47 l 5 59, 39 J 347 S 8 Uvedená nerovnost je pro zvolený profl platná a nejprve ted nastane mezní stav pružnost. Pro bezpečnost vzhledem k meznímu stavu pružnost platí k R S K ,4 e MSP. max Tato hodnota bezpečnost vhovuje požadavkům bezpečnost ze zadání. Mnohem nebezpečnější ale je mezní stav vzpěrné stablt, proto zde bude ještě vpočtena hodnota bezpečnost vůč meznímu stavu vzpěrné stablt. Vpočítá se dle vztahu k krt F F krt max krt mn E J l mn, ,5 7, Vlv gravtace na bezpečnost konstrukce Volbou rozměrů použtého proflu bla konstrukc přřazena hmotnost jednotlvých prutů. V předchozích částech nebl vlv tíhového pole Země na napjatost uvažován. V prax je sce příspěvek vlastní tíh konstrukce na napjatost mnohonásobně menší než samotné vnější zatížení konstrukce, ncméně v následujících odstavcích bude vlv tíhového pole Země zohledněn. Vlv gravtace bude uvažován pouze pro provedení I. z výše zmňovaných důvodů Určení velkost tíhových sl ve stčnících Zohlednění tíh konstrukce je dáno zavedením tíhové síl do každého stčníku od prutů, jež se ve stčníku stýkají. Profl je opět zdvojený a předpokládá se, že každý prut je uložen ve dvou stčnících. Každý ze stčníků pak přenáší polovnu tíh prutu. Tíhová síla, kterou přenáší stčník, bude odvozena pomocí stčníku B, a je dána vztahem F gb l l3 m g ml l4 g, kde F gb je tíha přenášená stčníkem B a g je tíhové zrchlení, jehož hodnota, použtá ve výpočtech je g 9,8m s. Prut v konstrukc je tvořen zdvojeným L- proflem, proto je l dvojnásobkem délkové hmotnost tče udané výrobcem v katalogu ( m 6,37 kgm m l 6,37,74 kgm. Uvedený vztah je možné zjednodušt m ), ted 37

48 a obecně je možné psát F gb ml l l3 l4 g, 49 F g ml g l. stčník tíhová síla stčník A FgB ml g l l stčník B FgB ml g l l3 l4 stčník C FgC ml g l l3 l5 l6 stčník D FgD ml g l 4 l5 l7 l8 stčník E FgE ml g l 6 l7 l9 l stčník F FgF ml g l8 l9 l l stčník G FgG ml g l l l3 l4 FgH ml g l l3 l5 l6 l stčník I FgI ml g l4 l5 l7 stčník J FgJ ml g l6 l7 l9 l FgK ml g l8 l9 l l l stčník L FgL ml g l l l4 stčník M FgM ml g l l5 l6 Fg ml g l3 l4 l5 l7 l FgO ml g l6 l7 l9 l3 l stčník P FgP ml g l 8 l9 l3 stčník Q FgQ ml g l 3 l3 l33 l34 FgR ml g l3 l33 l35 l36 l stčník S FgS ml g l 34 l35 l38 stčník H stčník K stčník stčník O stčník R

49 l ml g l ml g l ml g l ml g l ml g l ml g l stčník T F m g l l l l gt stčník U F l l l gu stčník V F l l l gv stčník W F l l l gw stčník X F l l gx stčník Y F l l l gy stčník Z F l gz Uvolnění soustav Soustavu uvolníme z vnějších vazeb a nahradíme je slam, prut nahradíme osovým slam a do každého stčníku bude zavedena odpovídající tíhová síla (vz obr. 3.4) Obr. 3.4 Uvolnění Soustava rovnc Soustava rovnc sestavená pro provedení I. zůstane na levých stranách zachována, pravé stran ve směru os,, budou tvořen tíhovým slam. Soustava je stále statck určtá, protože se nezměnl tp vazeb. Pouze blo do soustav zahrnuto tíhové zatížení, které je vnější a nemá ted na určtost soustav vlv. 39

50 Stčník A: F : F cos63 x ax F : F sn 63 F a Stčník B: : 3 F : 4 F Stčník C: : cos8 cos63 cos63 4 gb F : sn8 sn 63 sn 63 F ga 6 5 Stčník D: : 7 cos63 5 F : sn 63 F Stčník E: : cos8 cos56 cos F : sn8 sn56 sn 8 F gd 9 6 Stčník F: : cos56 9 F : sn 56 F 8 9 Stčník G: : cos8 cos5 cos8 4 3 F : sn8 sn5 sn 8 F 4 3 Stčník H: : cos F : sn 5 F 6 3 Stčník I: : cos45 cos F : sn 45 sn 8 F 7 4 Stčník J: : cos34 cos F : sn34 sn 45 F Stčník K: : cos34 cos F : sn34 sn 34 G 9 3 Stčník L: : 4 F : F Stčník M: : gl 6 F : 5 G M F gm gf gh gi K gj gc F Stčník : : cos34 cos F : sn 4 sn 34 F Stčník O: : cos34 cos F : sn34 sn 34 F Stčník P: : 8 3 F : 9 F Stčník Q: : cos34 cos45 gp F : sn34 cos 45 F g go gq ge gk gg

51 Stčník R: : cos F : sn 5 F Stčník S: : cos45 cos F : sn 45 sn 8 F Stčník T: : 39 cos56 4 F : 36 4 sn 56 4 F Stčník U: : cos8 cos5 cos F : sn8 cos5 sn 8 F Stčník V: : 43 cos63 45 F : 4 45 sn F Stčník W: : cos56 cos8 cos8 Stčník X: : F : sn56 sn8 sn 8 F F : F Stčník Y: : cos8 cos63 cos gx F : sn8 sn 63 sn 63 F Stčník Z: : cos63 49 F : sn 63 F Řešení soustav rovnc Pro výpočet prutové soustav zahrnující vlv gravtace bl opět vužt program Maple. Během výpočtu bl použt stejné příkaz, jako v předchozích výpočtech. z F Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] F ax F ax F ax F a F a F a F z F z 6 39 F z gr gt gv gz gs gu gw gy

52 Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost []

53 Působště: stčník M Působště: stčník K Působště: střed K a M síla velkost [] síla velkost [] síla velkost [] Zahrnutím gravtace se maxmální síla v tahu zvětšla na (, 6 ) a bla vpočtena př umístění síl do stčníku M a absolutní hodnota velkost síl v tlaku ze zvýšla na 56 5 (, 4 ), která bla vpočtena př umístění síl do stčníku K. avýšení velkost těchto sl vžaduje kontrolu zvoleného průřezu na bezpečnost vůč meznímu stavu pružnost a vůč meznímu stavu vzpěrné stablt. Bezpečnost vůč meznímu stavu pružnost k MSP k max R e max Re S Bezpečnost vůč meznímu stavu vzpěrné stablt k krt F F krt max krt mn E J l mn max 8 4, , ,5 6,95. Požadované mnmální hodnot bezpečností jsou pro zvolené rozměr průřezu splněn př uvažování působení tíhového pole Země. 4. Deformační analýza V místech zatížení prutu dochází k jejch posunu ve vertkálním horzontálním směru. Jako charakterstcká místa konstrukce jsou volen stčník, do nchž je umsťováno působště zatěžující síl, ted stčník K a M. Ve stčníku K dochází k posuvu v obou směrech, zatímco ve stčníku M dochází pouze k posuvu vertkálnímu v důsledku souměrnost konstrukce. Vzhledem k tvaru konstrukce je možné konstatovat, že k největšímu posuvu dojde ve stčníku M (smetre). Tento předpoklad bude potvrzen výpočtem vertkálního posuvu ve stčníku K př působení síl G, horzontální posuv je, dík jeho velkost, možné zanedbat. Pomocí Castglanov vět je vertkální posunutí dáno parcální dervací energe napjatost podle síl, která posunutí způsobla, ted w w GK GM W G k W G M pro působště síl ve stčníku K, pro působště síl ve stčníku M. Součtem energí napjatost v každém prutu dostaneme celkovou energ napjatost celé konstrukce. Soustava je namáhána pouze na prostý tah- tlak, pro celkovou energ napjatost proto platí W 49 l E S, 43

54 44 kde je osová síla v - tém prutu, l délka - tého prutu, S plocha průřezu - tého prutu a E modul pružnost v tahu - tého prutu. Poněvadž je v konstrukc pro všechn materál použto shodného průřezu ze shodného materálu, vzorec se zjednoduší na. 49 S E l W Dosazením vztahu pro celkovou energ napjatost do vztahů pro výpočet posuvů v působštích sl získáme, 49 K K GK G S E l G W w. 49 M M GM G S E l G W w Ab bl výpočet přesnější, budou vertkální posuv stanoven př uvažování vlastní tíh konstrukce. Kompletní výpočet je dík své obsáhlost uveden v příloze.,, mm G l G l S E G S E l G W w K K K K GK mm G l G l S E G S E l G W w M M M M GM 896,

55 5. Závěr Zadání bakalářské práce blo rozděleno na dvě provedení- statck určté a statck ne neurčté. Pro každé provedení bla soustava uvolněna a na základě uvolnění bl sestaven podmínk statcké rovnováh a vpočten velkost osových sl a také sl ve vazbách. Jako maxmální hodnota osové síl pro provedení I. bla stanovena = 6 = 74 8, jako mnmální hodnota osové síl = 4 = V provedení II. bla největší tahovou slou síla 9 = 67 6, největší tlakovou síla = 4 = Za účelem snížení napjatost v konstrukc bl do horní část konstrukce přdán čtř výztuh. Soustava s výztuham bla uvolněna a dále bl sestaven podmínk statcké rovnováh. Výpočtem blo zjštěno, že výztuh neměl předpokládaný vlv na napjatost, došlo ke snížení velkost tahových sl přblžně na polovnu původních hodnot pro jednotlvá provedení, ale tlakové síl zůstal téměř stejné. Ze znalost požadovaných bezpečností vůč meznímu stavu pružnost a vůč meznímu stavu vzpěrné stablt bl pomocí maxmálních a mnmálních osových sl stanoven pro každé provedení velkost mnmální ploch průřezu a mnmálního kvadratckého momentu průřezu. Ze získaných hodnot bl z katalogu výrobce [5] vbrán profl s nejblžším všším rozměr. Vbraný profl je pro všechna provedení stejný. Zadaný profl je zdvojený, a proto bl vpočítán velkost kvadratckých momentů průřezu k oběma osám. V další část bl do napěťové analýz zahrnut vlv tíhového pole Země, který se do konstrukce promítl zavedením tíhové síl do každého stčníku. Uvolněním soustav, sestavením podmínek statcké rovnováh a následně výpočtem soustav rovnc blo zjštěno navýšení velkost sl jak tahových tak tlakových. Pro tahové síl bla stanovena maxmální hodnota = 6 = a pro tlakové síl hodnota = 4 =56 5. V důsledku působení tíhové síl blo nutné ověřt bezpečnost zvoleného proflu vůč meznímu stavu pružnost a meznímu stavu vzpěrné stablt. Vpočtené bezpečnost splňují požadavek mnmálních bezpečností pro dané mezní stav. V závěru bakalářské práce bl stanoven velkost posuvů v charakterstckých místech konstrukce pro provedení I. Z důvodu přblížení se reálným podmínkám blo př výpočtu velkostí posuvů uvažováno tíhové pole Země. 45