PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA"

Transkript

1 RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky rostějov 00

2 ravděpodobost a statistika Úvod Vytvořeý výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučováa v osovách a tematických pláech a gymáziích ižšího a vyššího stupě. Mohou ho však využít všechy středí a základí školy, kde je vyučová předmět matematika, a které mají dostatečé techické vybaveí a zázemí. Cílová skupia: odle chápáí a schopostí studetů je staovea úroveň áročosti vzdělávacího pláu a výukových materiálů. Zvláště výhodé jsou tyto materiály pro studety s idividuálím studijím pláem, kteří se emohou pravidelě zúčastňovat výuky. Tito studeti mohou s pomocí ašich výukových materiálů částečě kompezovat svou eúčast ve vyučovaém předmětu matematika, formou e-learigového studia.

3 ravděpodobost a statistika Obsah okusy, jevy... 5 Základí pojmy... 5 Operace s jevy... 6 Operace s jevy Variata... 7 Operace s jevy Variata... 0 Operace s jevy Variata C... 4 Souhré příklady k procvičeí... 6 Klasická pravděpodobost... 8 Klasická pravděpodobost Variata... 9 Klasická pravděpodobost Variata... Klasická pravděpodobost Variata C... 5 Souhré příklady k procvičeí... 8 Věty o pravděpodobostech... Věty o pravděpodobostech Variata... Věty o pravděpodobostech Variata... 5 Věty o pravděpodobostech Variata C Souhré příklady k procvičeí... 4 Statistika Důležité pojmy Rozděleí četostí a jeho grafické zázorěí Statistické diagramy Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata Výsledky variata Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata... 6 Výsledky variata Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata C... 66

4 4 ravděpodobost a statistika Výsledky variata C Charakteristiky polohy a variability... 7 Charakteristiky polohy a variability Variata... 7 Charakteristiky polohy a variability Variata Charakteristiky polohy a variability Variata C Souhré příklady k procvičeí... 8 Souhré příklady k procvičeí - výsledky... 85

5 ravděpodobost a statistika 5 okusy, jevy Základí pojmy áhodé pokusy - procesy, jejichž výsledek elze předem jedozačě určit. Závisí jedak a daých podmíkách, při kterých je provádě, jedak a áhodě možia všech možých výsledků pokusů (začíme, její libovolý prvek písmeem ) předpokládá se, že u každého áhodého pokusu je možo předem určit všechy možé výsledky, a to tak, že se avzájem vylučují a že jede z ich astae vždy jev - podmožia možiy všech možých výsledků jistý jev - jev, který při daém pokusu určitě astae (celá možia ) emožý jev - jev, který emůže astat (prázdá možia )

6 6 ravděpodobost a statistika Operace s jevy Nechť,. ro jevy, platí: je podjevem jevu sjedoceí jevů a astává právě tehdy, astae-li alespoň jede z jevů a průik jevů a astává právě tehdy, astaou-li oba jevy a současě opačý jev k jevu astává právě tehdy, když eastává jev, Je-li, azýváme jevy a disjuktí (avzájem se vylučují) říklad: Závodu v lukostřelbě se účastí děti (Iva, Jaa a Tomáš). Určete možiu všech možých výsledků závodu přízivých jevu. Jev začí, že Tomáš ebude posledí. Iterpretujte. Řešeí: Možých výsledků je!! 4, lze je popsat uspořádaým čtveřicemi. Z hlediska kombiatoriky budeme tvořit uspořádaé čtveřice bez opakováí ze tří písme (počátečí písmea jme dětí). I, T, J, J, T, I, T, I, J, T, J, I Jev je opačý jev, takže začí, že Tomáš bude posledí.

7 ravděpodobost a statistika 7 Operace s jevy Variata říklady: a Tupa hází třemi micemi. Určete možiu všech možých výsledků, které mohou astat, jestliže: a) se jedá o tři stejé mice. b) se jedá o mice růzých mě. Řešeí: a) Může padout paa ebo orel (ozačme písmey p a o). Mice od sebe elze rozlišit, takže budeme tvořit euspořádaé trojice ze dvou prvků (trojčleé kombiace s opakováím ze dvou prvků). Možých výsledků je 4. b) Může padout paa ebo orel (ozačme písmey p a o). Mice lze rozlišit, budeme tvořit uspořádaé trojice s opakováím ze dvou prvků. (čtyřčleé variace s opakováím ze dvou prvků). Možých výsledků je 8. říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: a) (p, p, p), (p, p, o), (p, o, o), (o, o, o) b) p, p, p p, p, o p, o, p p, o, o o, o, o o, p, o o, p, p o, o, p

8 8 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Házíme klasickou hrací kostkou. Jev X zameá, že a kostce padlo číslo větší ež dva. Jev Y zameá, že a kostce padlo liché číslo meší ež šest. Určete možiu možých výsledků a možiy X a Y.,,,4,5,6 ) Házíme dvěma růzě barevými klasickými hracími kostkami. Určete možiy W, X, Y, Z, jestliže: jev W vyjadřuje, že a obou kostkách pade liché číslo., X,4,5, Y,,5 W,,,,,5,,,,,,5, 5,, 5,, 5,5 jev X vyjadřuje, že součet, který padl a kostkách, bude rove čtyřem. jev Y vyjadřuje, že součet, který padl a kostkách, bude meší ež šest. X,,,,, Y,4, 4,,,,,,, jev Z vyjadřuje, že součet, který padl a kostkách, bude dělitelý pěti. Z,4, 4,,,,,, 4,6, 6,4, 5,5 ) Feka čeká tři štěňata. Vyjmeujte možiu všech možých výsledků, jestliže záleží a pořadí arozeí a pohlaví štěěte. F, F, F, F, F,, F,, F,,, F,, F,,, F, F F,,,,,, 4) Ve vesici jsou u příležitosti meziárodího de dětí pořádáy růzé soutěže. Jedou z ich je skákáí v pytli, kterého se letos v kategorii dětí mladších deseti let účastí čtyři dětí (děti ozačme písmey až D). Vyjmeujte všechy možé výsledky závodu z hlediska pořadí prvích dvou dětí v cíli. C,, C,, C, D, D,,,,, C,, D,,, D,, D, C,, D,, C 5) V pytlíku jsou čtyři kuličky (modrá, bílá, žlutá, čerá). Vytáheme ajedou dvě kuličky. Určete výsledky přízivé jevům a. a) Jev vyjadřuje, že eí vytažea modrá kulička. b, ž, b, č, ž, č b) Jev vyjadřuje, že je vytažea bílá kulička. b, ž, b, č, b, m 6) Máme tři růzé pytle (.,.,.) s míčky. V prvím pytli jsou červeé míčky, v druhém pytli jsou modré míčky a ve třetím pytli jsou modré i červeé míčky. Míčky téže barvy jsou erozlišitelé. Volíme jede pytel a z ěj vytáheme jede míček. Určete všechy

9 ravděpodobost a statistika 9 možé výsledky, jestliže ás zajímá jak barva vytažeého míčku, tak pytel, ze které byl míček vytaže. č,, m,, č,, m, 7) Tři růzé kusy oblečeí (triko, mikia, svetr) se mají umístit do tří poliček ve skříi. Do každé poličky jede kus oblečeí. Sestavte možiu všech možých výsledků pokusu. t, m, s, t, s, m, m, t, s, m, s, t, s, t, m, s, m, t 8) Dítě má v krabici dvě modré dvě červeé a jedu zeleou kostku. Kostky téže barvy jsou erozlišitelé. Dítě vytáhe áhodě dvě kostky, jedu po druhé, přičemž prví kostku do krabice evrátí. Sestavte možiu všech možých výsledků s ohledem a barvu kostky a pořadí, ve kterém byla vytažea. m, m, m, č, m, z, č, č, č, m, č, z, z, č, z, m 9) V botíku a zámku zbývají dva modré, dva žluté a dva červeé páry přezůvek. řezůvky téže barvy jsou erozlišitelé. Tři příchozí lidé vytáhou jede po druhém áhodě přezůvky a azují si je. Určete možiy,, C, které vyjadřují jevy: a) - lidé si vytáhli přezůvky stejé barvy. b) -třetí příchozí si vytáhl červeý pár přezůvek. m, m, č, m, ž, č, m, č, č, ž, ž, č, ž, m, č, ž, č, č, č, m, č, č, ž, č c) C-alespoň dva příchozí si vytáhli modré přezůvky. C m, m, č, m, m, ž, m, ž, č, m, č, m, ž, m, m, č, m, m

10 0 ravděpodobost a statistika Operace s jevy Variata říklady: ) Vysvětlete, co zameají jevy,,, když jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je meší ež 0, a jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je dělitelé dvěma. ) Do třídy. chodí chlapců a 6 děvčat. Do školího představeí áhodě vybereme skupiu 5 dětí. Určete počet všech výsledků přízivých jevům, jev spočívá v tom, že ve vybraé skupiě jsou chlapci a dívky, a jev spočívá v tom, že ve vybraé skupiě je alespoň jeda dívka. Jevy, Řešeí:, iterpretujte.,, kde ) Jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je větší ebo rovo deseti. Jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je buď meší ež deset ebo dělitelé dvěma. Jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je meší ež deset a zároveň dělitelé dvěma. ) Jev zameá, že ve výběru ebude žádá dívka. očet všech výsledků přízivých jevu! je: 79. Z hlediska kombiatoriky jde o kombiace bez opakováí. 5 7!5! Jev zameá, že ve výběru budou dívky a chlapci. očet všech výsledků přízivých jevu o kombiace bez opakováí. 6! 6! je: 00. Z hlediska kombiatoriky jde 9!! 4!! Jev zameá, že ve výběru budou buď tři chlapci a dvě dívky ebo samí chlapci. 6 očet výsledků přízivých jevu je: říklad: Variata Variata Variata C

11 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Z výrobího pásu sjede za hodiu deset hotových aut. Dvě auta z těchto deseti mají ějakou výrobí vadu. Vysvětlete, co zameají jevy, `, `,, `, ` `, jestliže jev zameá, že při áhodém výběru tří aut, bude alespoň jedo vadé a jev zameá, že při áhodém výběru tří aut, ebude žádé vadé. `,` ) Vysvětlete, co zameají jevy,,,,, `,, `, ` ` `, když jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je sudé, a jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je meší ež 8. [ `-áhodě vybraé přirozeé číslo je liché, -áhodě vybraé přirozeé číslo je sudé ebo meší ež 8, -áhodě vybraé přirozeé číslo meší ež 8 je sudé, ` -áhodě vybraé přirozeé číslo meší ež 8 je liché, `-áhodě vybraé přirozeé číslo je větší ebo rovo 8 ebo liché] ) Výtvarě dramaticky kroužek avštěvuje 5 dětí, z toho je deset dívek a pět chlapců. Náhodě vybereme 4 děti. Ozačme jevy: -mezi vybraými dětmi je právě jeda dívka, -mezi vybraými dětmi je alespoň jeda dívka, C-mezi vybraými dětmi je ejvýše jede chlapec. Iterpretujte ásledující jevy: `, C`,, C,, C, C`, C `, C `. C [ `-mezi vybraými dětmi eí žádá dívka, C`-mezi vybraými dětmi jsou alespoň dva chlapci,, - mezi vybraými dětmi jsou alespoň čtyři dívky,, C, C`-mezi vybraými dětmi jsou právě čtyři chlapci, C ` -mezi vybraými dětmi jsou ejvýše tři dívky, C `mezi vybraými dětmi eí žádá dívka] 4) Zaměstaec každé kaceláře musí a koci pracoví doby odevzdat klíč od své kaceláře do krabičky a vrátici. Klíče jsou očíslováy očíslovaých čísly,,, 49, 50. Vybereme z krabičky áhodě dva klíče. Nechť ozačuje jev, kdy vybereme dva

12 ravděpodobost a statistika klíče se sudými čísly, ozačuje jev, kdy alespoň a jedom vybraém klíči je liché číslo, C ozačuje jev, kdy liché číslo je ejvýše a jedom vybraém klíči. Určete výzam jevů `, `, C`, C, `, ` C`, C. `=, `=, C, C`-a obou vybraých kl. je liché číslo, `, ` 5) Na prví poličce v kihově je 8 růzých kih. utorem osmi z ich je Karel Čapek, deset kih apsala gatha Christie. Šárka si vybere 5 kih. Určete počet všech výsledků přízivých jevům,, `, ` kde jev zameá, že alespoň tři vybraé kihy apsal Karel Čapek, a jev zameá, že ejvýše tři vybraé kihy jsou od gathy Christie. Jevy `, ` iterpretujte. 76, 666, C` `, `-ejvýše dvě z vybraých kih apsal Karel Čapek, 59 `-alespoň čtyři vybraé kihy jsou od gathy Christie,9 6) Štěpá Hází třemi růzě barevými hracími kostkami. Jev začí, že a kostkách padla sudá čísla, Jev začí, že součet, který padl a kostkách, je větší ež čtráct, jev C začí, že a kostkách padla prvočísla. Určete počet všech výsledků přízivých jevům: a) [4] a) C [0] b) C [8] c) ` C [7] d) C ` [5] e) C [05] 7) Házíme čtyřikrát po sobě jedoeurovou micí. Jev začí, že paa pade alespoň jedou, jev začí, že paa pade víckrát ež orel, Jev C začí, že orel pade právě dvakrát, jev D začí, že výsledek všech hodů bude stejý. Určete počet všech výsledků přízivých jevům: a) [5; paa pade alespoň krát] b) C [6; orel pade právě krát] c) D [; paa pade právě 4krát] d) ` D [; výsledek všech hodů bude stejý] e) C ` [5; orel pade alespoň krát] C C

13 ravděpodobost a statistika f) D ` [4; paa pade právě krát] g) C D ` 6 ; Jevy iterpretujte. 8) ytlík obsahuje tři zeleé a pět bílých kuliček. Vytáheme čtyři kuličky-jedu po druhé, přičemž již vytažeé kuličky evracíme zpět do pytlíku. Kuličky téže barvy elze rozlišit. Jev zameá, že byly vytažey kuličky stejé barvy, jev zameá, že alespoň dvě vytažeé kuličky jsou zeleé, jev C zameá, že ejvýše tři vytažeé kuličky jsou zeleé. Určete počet všech výsledků přízivých jevům: a) [0] b) C ` ` [5] c) C [4] d) C ` ` [4]

14 4 ravděpodobost a statistika Operace s jevy Variata C říklad: Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Jev X zameá, že právě a jedé kostce pade čtyřka. Jev Y zameá, že a kostkách pade součet větší ež osm. omocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astae právě jede z jevů X, Y. b) astae alespoň jede z jevů X, Y. c) astae ejvýše jede z jevů X, Y. Řešeí: a) X 4,, 4,, 4,,,4,,4,,4, 4,5, 5,4, 4,6, 6,4 X` X Y,6, 6,, 5,5, 6,6, 5,6, 6,5 4,5, 5,4, 4,6, 6,4 Y` Y X Y` 4,, 4,, 4,,,4,,4,,4 X` Y,6, 6,, 5,5, 6,6, 5,6, 6,5 růik jevů X Y a X ` Y je prázdá možia. roto, jestliže astae jede z ich, druhý z jevů eastae, takže to, že astae právě jede z ich lze vyjádřit pomocí sjedoceí. b) To, že astae alespoň jede z jevů X a Y lze vyjádřit pomocí sjedoceí těchto jevů. c) Od možiy všech možých výsledků pokusu hodu dvěma kostkami odečteme ty pokusy, kde astaou oba jevy X a Y zároveň. To, že astaou oba jevy X a Y zároveň lze vyjádřit pomocí průik těchto jevů: X Y. říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: a) X Y X Y b) X Y c) X Y

15 ravděpodobost a statistika 5 říklady k procvičeí: ) Na soutěž v kresleí jsou ze skupiy 8 dětí vybráy 4 děti. Jev a zameá, že právě dvě z vybraých dětí jsou dívky. Jev zameá, že ejvýše dvě z vybraých dětí jsou dívky. ro jevy, pomocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astaly oba jevy. b) eastal žádý jev. ` ` c) astal ejvýše jede z těchto jevů. X Y ) Odra dostal od babičky k arozeiám 000 Kč a rozhodl si za ě koupit ová DVD do své sbírky filmů. eíze mu stačí a čtyři DVD. Jev zameá, že všecha koupeá DVD jsou z americké produkce, jev zameá, že alespoň dvě DVD jsou z odlišé produkce, ež je americká, jev C zameá, že právě dvě DVD jsou z americké produkce. ro jevy,, C pomocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astal je jev. ` C` b) astaly všechy tři jevy. C c) astaly alespoň dva jevy. C C d) astaly jevy a C a jev eastal. C ` e) eastal žádý z jevů. ` ` C` ) aka rozesílá druhou upomíku k hypotéce třem klietům K, L, M. Každou z upomíek áhodě vložíme do jedé ze tří obálek adepsaých jejich adresami. Nechť jev zameá, že žádá upomíka eí ve správé obálce, jev zameá, že ve správé obálce je je upomíka pro klieta K, jev C zameá, že ve správé obálce je ejvýše jeda upomíka. ro jevy,, C pomocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astal alespoň jede jev. C b) astal je jev C. ` ` C a) astal ejvýše jede jev. b) astaly ejvýše dva jevy. C C C C

16 6 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Ozačme jako jev situaci, kdy a obou kostkách pade číslo větší ež čtyři, a jako jev situaci, kdy a kostkách pade sudé číslo. Určete počet všech možých výsledků přízivých jevům: a) 0 b) ` 6 c) d) ` 0 e) ` Sestavte výčet všech možých výsledků přízivých jevu. 5,5, 5,6,,,,4,,6 4,6, 6,5, 6,, 6,4, 6,6, 4,, 4,4, ) Házíme třemi koruovými micemi. Jev začí, že paa padla víc ež jedou. Jev začí, že orel padl právě třikrát. Určete počet a sestavte výčet všech možých výsledků přízivých jevům: a) ` 4, ` p, p, o, p, o, p, o, p, p, p, p, p b) 5, p, p, o, p, o, p, o, p, p, p, p, p, o, o, o c) ` 4, ` o, o, p, o, p, o, p, o, o, o, o, o d) ` `, ` ` o, o, o ) Ve skříi jsou uskladěy hokejky a florbal. jsou bílé modré a červeé. Vytáheme ze skříě ajedou tři hokejky. Jev začí, že vytažeé hokejky měly stejou barvy, jev začí, že alespoň jeda vytažeá hokejka byla modrá, jev C začí, že právě dvě vytažeé hokejky byly modré. Určete počet a sestavte výčet všech možých výsledků přízivých jevům: a) ` C`, ` C` b, b, b, č, č, č b) ` C, ` C m, m, b, m, m, č c) ` C` 5, ` C` m, č, č, b, č, č, m, b, b, b, m, č, b, b, č d) ` C `, ` C ` b, č, č, b, b, č e) C `, C ` b, b, b, č, č, č

17 ravděpodobost a statistika 7 4) Do vědomostí soutěže jsou ze skupiy 5 dětí vybráy tři děti. Jev zameá, že byli vybrái samí chlapci, jev zameá, že byly vybráy samé dívky, jev C zameá, že byly vybráy dvě dívky a jede chlapec. Zapište v možiové symbolice ásledující jevy: a) ebyl vybraý žádý chlapec b) byl vybrá alespoň jede chlapec ` c) byly vybráy ejvýše dvě dívky ` d) byli vybrái dva chlapci a jeda dívka C ` 5) Sadra si v levých kihách akoupila 4 kížky. Jev zameá, že právě dvě mají tiskovou chybu, jev zameá, že žádá emá tiskovou chybu, jev C zameá, že alespoň dvě mají tiskovou chybu. Zapište v možiové symbolice ásledující jevy: a) ejvýše jeda kiha má tiskovou chybu C ` b) alespoň tři kihy mají tiskovou chybu C c) právě jeda kiha má tiskovou chybu ` C` d) právě tři kihy mají tiskovou chybu C ` e) alespoň dvě emají tiskovou chybu C C` 6) Dobrodružého etrémího závodu se účastí deset družstev. Závod dokočí čtyři družstva. Jev zameá, že čleem alespoň jedoho družstva, které dokočilo závod, je žea, jev zameá, že družstva, která dokočila závod, jsou čistě mužská, jev C zameá, že dvě družstva, která dokočila závod, obsahují žey. a) družstva, která dokočila závod, mohou mít jakékoli složeí z hlediska zastoupeí mužů a že. b) z družstev, která dokočila závod, obsahují žeu alespoň tři družstva ebo právě jedo družstvo. ` C`

18 8 ravděpodobost a statistika Klasická pravděpodobost ravděpodobost jevu v áhodém pokusu s koečou možiou všech výsledků, které jsou stejě možé, je rova podílu počtu všech možých výsledků pokusu: m výsledků přízivých jevu a počtu m m m. latí: i) pravděpodobost emožého jevu je rova ule 0 ii) pravděpodobost jistého jevu je rova jedé iii) pravděpodobost libovolého jevu je ezáporé číslo ejvýše rovo jedé 0 iv) pravděpodobost ` jevu opačého je říklad: Řešeí: Divadelí kroužek avštěvuje osm děvčat a deset chlapců, ze kterých áhodě vybereme skupiu tří osob. Jak je pravděpodobost, že ve skupiě budou dva chlapci a jeda dívka? Jev zameá, že ve výběru budou dva chlapci a jeda dívka. m 8 0 8! 7! 0!!8! 60 m 8 8! 5!! 86 m m ,44 44,% ravděpodobost, že ve skupiě budou dva chlapci a jeda dívka je 44,%.

19 ravděpodobost a statistika 9 Klasická pravděpodobost Variata říklady: ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu stříbrým dolarem pade orel? ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzě barevými hracími kostkami pade součet větší ež jedeáct? ) V malé rodié firmě se za de vyrobí 5 výrobků, z ichž je 5 vadých. Jaká je pravděpodobost, že vybraý výrobek, který byl vyrobe v úterý, je vadý? Řešeí: ) Jev zameá, že padl orel. m m m m 0,5 50% ) Jev zameá, že a kostkách padl součet větší ež jedeáct.,,,,,,,4,,5,,6,,,,,..., 6,, 6,, 6,...,, 6,6 m m 6 6,6 6 m m 6,78% ) jev zameá, že vybraý výrobek je vadý. m 5 m 5 m m 5 5 0,098,98% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že pade orel, je 50%. ) ravděpodobost, že pade více ež jedeáct, je,78%. ) Výrobek je vadý s pravděpodobostí,98%.

20 0 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou pade číslo 6? ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou pade číslo větší ež a) jeda b) dva c) pět d) šest 0 ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou epade číslo šest? 4) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou epade číslo meší ež a) tři 5 6 b) pět 5) Martia si a zábavě koupí 5 lístků do tomboly. Jakou má pravděpodobost hlaví výhry, jestliže v tombole je 68 lístků?,98% 6) David si v obchodě koupil fotoaparát. V obchodě mají a skladě šest fotoaparátů, z ichž je jede vadý. S jakou pravděpodobostí si David vybere vadý fotoaparát? 7) V okresí soutěži se koá soutěž ve střelbě. Vítěz zasáhl z 50 výstřelů 5-krát. Jakou 7 % měl pravděpodobost zásahu? 90 % 8) Eva strávila celý víked a oslavě u kamarádky a estihla se aučit a podělí test. ravděpodobost, že test ezvláde je proto 0,8. Jaká je pravděpodobost, že test zvláde? 0, 7 9) ravděpodobost správého tipu výsledku v testu je 5%. Jaká je pravděpodobost, že tip bude špatý? 75 %

21 ravděpodobost a statistika 0) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzými hracími kostkami pade součet a) sedm? 0, 7 b) pět? 0, ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzými hracími kostkami pade součet meší ež a) pět? 0, 67 b) čtyři? 0, 08 ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzými hracími kostkami pade součet větší ež a) deset? b) dvaáct? 0,08 0,07 ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou pade sudé číslo? 4) Jaká je pravděpodobost, že při hrací hodu kostkou pade číslo dělitelé dvěma? 5) Z dvaceti dresů ozačeých čísly až 0 vybereme áhodě jede. Jaká je pravděpodobost, že jsme vybrali a) dres ozačeý sudým číslem? b) dres ozačeý prvočíslem? 0, 45 c) dres ozačeý číslem dělitelým čtyřmi? 6) V sáčku je šest čerých a osm bílých hliěých kuliček. Namátkou vybereme jedu kuličku. Jaká je pravděpodobost, že bude bílá? 0, 57 4

22 ravděpodobost a statistika Klasická pravděpodobost Variata říklady: ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu třemi Dolarem, Eurem a Koruě pade alespoň a jedé z těchto micí paa? ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu šesti růzými hracími kostkami padou samá sudá čísla? ) V šesté třídě a druhém stupi základí školy je 8 žáků, z ichž budou dva zkoušei. Řešeí: řipraveo a zkoušeí je 6 žáků. Jaká je pravděpodobost, že budou oba zkoušeí připravei? ) Jev zameá, že alespoň a jedé mici padla paa. m 7 m 8 m m 7 8 0,875 87,5% ) Jev zameá, že a kostkách padla samá sudá čísla m m 79 6 m 6 m 6 0,05,5% ) Jev zameá, že oba zkoušeí žáci jsou připravei. m 6 m 8 m m 6 8 6! 4!! 8! 6!! ,7,7% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že při hodu třemi micemi pade alespoň a jedé z ich paa, je 87,5% ) ravděpodobost, že padou samá sudá čísla je,5%. ) ravděpodobost, že budou oba připravei je,7%.

23 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Ve třídě soukromého gymázia je 6 dětí. Vybereme amátkou čtveřici žáků. Jaká je pravděpodobost, že vybereme a) je chlapce? 0, 067 b) je dívky? 0, 0 ) Ve. jsou žáci a začátku podělí hodiy zkoušei 4 žáci. Děti o víkedu slavily osmáctiy jedoho z ich, a tak je a zkoušeí připraveo je 8 žáků z žáků. Jaká je pravděpodobost, že budou všichi čtyři zkoušeí epřipravei? 0, 085 ) V sáčku je šest čerých korálků a osm růžových korálků. Namátkou vybereme korálky. Jaká je pravděpodobost, a) že budou všechy bílé? b) že ebudou všechy bílé? 0,54 0,846 4) Jaká je pravděpodobost, že při hodu modrou, zeleou, oražovou, žlutou a modrou hrací kostkou pade/ou a) a všech kostkách pětka? 0, 0009 b) samá lichá čísla? 0, 05 c) čísla větší ež tři? 0, 05 d) čísla meší ež tři? 0, 004 e) alespoň jedou šestka? 0, 598 f) pět stejých čísel? 0, ) Na fotbalový turaj se přihlásilo deset mužstev. K dispozici je jedié hřiště, a kterém se za prví de turaje stihlo odehrát 5 zápasů. Na začátku každého zápasu se losuje právo výběru stray hodem micí. Jaká je pravděpodobost, že během prvího de turaje a) byl výsledek všech hodů micí stejý. 6 b) paa padla právě třikrát. c) orel padl alespoň jedou. 5 6

24 4 ravděpodobost a statistika 6) V pouzdře je 9 čerých a 6 modrých propisek. Náhodě vybereme dvě z ich. Jaká je pravděpodobost, že vybereme dvě modré? 7) V misce je deset 0 švestek, z ichž je v pěti červ. Duša si z misky vezme 4 švestky. Jaká je pravděpodobost, že si vybral a) všechy dobré? 0, 94 b) alespoň jedu červavou? 0, 806 8) V obchodě je výprodej. Na hromadě triček je 8 triček velikosti M, trička velikosti S a 5 triček velikosti L. jaká je pravděpodobost, že při áhodém výběru triček vyberu je trička velikosti S. 0 9) Správou odpověď zaslalo během prvích deseti miut po zadáí otázky 5 mužů a 7 že. Z ich budou vylosovái tři výherci. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi ebude žea? 7

25 ravděpodobost a statistika 5 Klasická pravděpodobost Variata C říklady: ) Házíme šesti růzými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobost, že při hodu těmito kostkami pade postupka (tj.,,, 4, 5, 6)? ) V krabici jsou 4 červeé a 6 bílých kostek. Vytáheme jedu a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobost, že druhá vytažeá kostka je bílá? ) V košíku a ovoce se achází je 7 červeých jablek a 5 žlutých jablek. Dítě si áhodě Řešeí: vybere 4 kusy ovoce. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou právě žlutá jablka? ) Jev zameá, že padla postupka. m 6! 70 m m m ,054,54% ) Jev zameá, že druhá vytažeá kostka je bílá. m 9 6 m 0 9 m m ,6 60% ) Jev zameá, že mezi vybraými kusy budou právě dvě žlutá jablka. m 7 5 m 4 m m ! 5!!! 8!4! 5!!! 4 0,44 4,4% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že pade postupka je,54%. ) ravděpodobost, že druhá tažeá kostka je bílá, je 60%. ) ravděpodobost, že mezi vybraými jablky budou dvě žlutá je 4,4%.

26 6 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Házíme šesti růzými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobost, že padou a) alespoň tři šestky 0, 06 b) alespoň čtyři šestky 0, 0087 ) Házíme pěti růzými kostkami. Jaká je pravděpodobost, že a kostkách pade postupka? ) (to zameá sestava,,, 4, 5 ebo,, 4, 5, 6) 0, 008 4) Házíme třemi růzými kostkami, jaká je pravděpodobost, že a kostkách epade postupka? (tj.,, ebo,, 4 ebo, 4, 5 ebo 4, 5, 6) 0, 889 5) Sbor avštěvuje 5 dětí, z toho 0 děvčat. Diriget vybere osm, které budou zpívat prví sloku písě. Jaká je pravděpodobost, že vybere 4 chlapce a 4 děvčata. 0, 6 6) V pytlíku je šest čerých a osm bílých hliěých kuliček. Namátkou vybereme kuličky. Jaká je pravděpodobost, že vybereme čeré a jedu bílou. 0, 7) Tereza dostala sáček, v ěmž bylo 5 červeých a 5 žlutých boboů. Nabídla kamarádce, která áhodě si ze sáčku vzala 4 boboy. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou právě dva žluté. 0, 476 8) Majitel obchodu s oblečeím dostává každý týde dodávku ového zboží. Dodávku přijme, jestliže po amátkové kotrole pěti kusů oblečeí emá ai jede kus vadu. Jaká je pravděpodobost, že dodávku přijme, jestliže má odebrat 5 kusů oblečeí, mezi imiž jsou tři vadé kusy. 0, 6 9) Do křížovkářské soutěže poslalo správou odpověď sedm mužů a deset že. udou vylosovái čtyři výherci. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou právě dvě žey. 0) Házíme třemi rozlišitelými kostkami. Jaká je pravděpodobost, že pade součet devět? ) Studet se a zkoušku stihl aučit pouze 4 z 60 otázek. Na zkoušce si bude tahat otázky. Jaká je pravděpodobost, že bude umět odpovědět právě a jedu otázku. ) a Vokatý si koupil áhradí díl do svého auta a vrakovišti. Neměl čas áhradí díl vyzkoušet, ale protože je stálý zákazík, tak se s majitelem vrakoviště dohodul, že si vezme tři kusy, zkusí, který fuguje, a zbývající mu další de přiveze azpět. Jaká je 0,97 0,57 0,88

27 ravděpodobost a statistika 7 pravděpodobost, že mezi třemi díly, které pa Vokatý dostal, jsou právě dva fukčí, když je a vrakovišti k dispozici deset těchto áhradích dílů, z toho tři vadé? 0, 55 ) V druhé třídě základí školy je 6 dětí. Čtyři z ich zapoměly vypracovat domácí úkol. aí učitelka si áhodě vybere pět dětí, kterým domácí úkol zkotroluje. Jaká je pravděpodobost, že dvě z vybraých dětí ebudou mít domácí úkol? 0, 4 4) V pytlíku je 5 bílých kuliček a 6 zeleých hliěých kuliček. Vytáheme jedu a dáme ji bokem, vytáheme druhou a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobost, že třetí tažeá kulička bude bílá? 0, 45 5) V krabici je 5 modrých, červeé a 6 zeleých kostek. Třikrát po sobě vytáheme jedu kostku. Kostky evracíme. Jaká je pravděpodobost, že prví tažeá kostka je modrá a posledí tažeá kostka je zeleá? 0, 65 6) Marie po příchodu do obchodu zjistila, že mají 6 souprav modrého povlečeí, 4 soupravy červeého povlečeí a 4 soupravy povlečeí se vzorem. Náhodě vybrala tři soupravy. Jaká je pravděpodobost, že jsou každá jié barvy? 0, 6

28 8 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) Klára jede a závody a balí si zavazadla. K ukráceí volého času si zabalí 0 DVD s filmy. Vybírat může ze 4 DVD. Jaká je pravděpodobost, že mezi DVD, která si vybrala a) bude film oogie Woogie 0, 8 b) ebude film oogie Woogie a bude film Temý rytíř. 0, 86 ) Zámek a kolo je možé otevřít trojmístým umerickým kódem. Určete pravděpodobost, že se zámek v případě ezalosti kódu podaří otevřít a) jedím áhodě zvoleým trojciferým číslem. 0 b) 5 áhodě zvoleými trojciferými čísly. 0, 05 ) V klobouku je 0 očíslovaých papírků (čísly až 0). Jaká je pravděpodobost, že bude vylosová papírek, a kterém je číslo dělitelé 4) jedeácti 5) pěti 6) Náhodě vybereme libovolé přirozeé trojciferé číslo, ve kterém se žádá číslice esmí opakovat. Jaká je pravděpodobost, že je vybraé číslo dělitelé a) dvěma b) pěti 7) Jaká je pravděpodobost, že libovolé přirozeé čtyřciferé číslo, ve kterém se eopakuje žádá cifra, má a místě jedotek a) ulu b) osmičku 8 8 8) Jaká je pravděpodobost výhry prví cey ve sportce? 7, ) Je při hodu třemi růzými kostkami pravděpodobější součet 4 ebo?, 0,097,4 9

29 ravděpodobost a statistika 9 0) Na hřišti se sejde 8 dětí, které se rozhodou zahrát si volejbal, rozdělí se proto do tří skupi po šesti lidech. Jaká je pravděpodobost, že Tomáš a Michal budou hrát ve stejé skupiě? ) rví maturití de si studeti prví čtyřčleé skupiy, která skládá maturitu, vylosují v češtiě otázky. rví studet losuje jedu otázku z plého počtu 0 možých, druhý studet losuje jedu otázku z 9 možých, třetí studet losuje jedu otázku z 8 možých a posledí studet této skupiy losuje jedu otázku z 7 možých. Jaká je pravděpodobost, že druhý maturití de si jiá čtyřčleá skupia vylosuje a) tytéž otázky v tomtéž pořadí?,5 b) jié otázky? 0, 546 ) V ošatce jsou dva druhy ovoce (jahody a švestky). Jahod je 0 Vytáheme dva kusy ovoce. Kolik může být v ošatce švestek, jestliže je pravděpodobost, že byla vytažea 0 právě jeda jahoda a právě jeda švestka je. ) V obchodě jsou tři stejé poličky s triky. V prví poličce jsou hědá a 4 zeleá trika s dlouhým rukávem, v druhé poličce jsou 4 hědá a 5 zeleých trik s krátkým rukávem a v posledí poličce je 6 hědých a zeleá trika bez rukávu. Z áhodě zvoleé poličky si vezmeme jedo triko. Jaká je pravděpodobost, že bude zeleé? 0, 487 4) Učitel tělocviku si vede statistiku o výkoech dětí, které avštěvují jeho hodiy tělocviku, v běhu a 00 metrů. Jaká je pravděpodobost, že dítě avštěvující jeho hodiu a) bude mít čas do vteři? 0, 4 b) bude starší deseti let? 0, 468 stáří dítěte počet dětí s časem do vteři do 0 let 5 68 ad 0 let 0 počet dětí s časem ad vteři ) Hodíme třikrát po sobě hrací kostkou. Jaká je pravděpodobost, že ve druhém a ve třetím hodu hodíme větší číslo ež v prvím hodu? 0, 55 6) Závodu v lyžováí se účastí i dva ejvětší rivalové Lukáš a Jidřich. ravděpodobost, že zvítězí Lukáš, je 4%, pravděpodobost, že zvítězí Jidřich, je 46%

30 0 ravděpodobost a statistika a pravděpodobost, že zvítězí ěkdo jiý, je 5%. Jiý výsledek astat emůže. Je to možé? 7) Všech 7 zaměstaců adárodí firmy mluví alespoň jedím cizím jazykem (aglicky ebo fracouzsky). glicky hovoří 0 zaměstaců, fracouzsky se domluví 5 zaměstaců. Určete pravděpodobost, že áhodě vybraý pracovík mluví a) je aglicky 0, 595 b) je fracouzsky 0, 89 c) oběma jazyky 0, 6 8) Hráč dostae 6 karet z balíčku kaastových karet (balíček čítá 04 karet). Jaká je e pravděpodobost, že mezi imi je všech osm desítek? 4, ) Do osmipatrové budovy vešlo aráz pět lidí. Výtah z důvodu zatopeí efuguje, takže všichi musí jít po schodech. Jaká je pravděpodobost, že každý jde do jiého patra. 0,05 0) Z balíčku kaastových karet (balíček čítá 04 karet), vybereme jedu kartu, podíváme se a i a vrátíme ji zpět. ak vytáheme druhou kartu. Určete pravděpodobost, že obě karty a) jsou stejé barvy 0, 5 b) jsou stejého druhu (apř. dvě desítky, dvě esa atd.) 0, 077

31 ravděpodobost a statistika Věty o pravděpodobostech ) ravděpodobost, že astae jede ze dvou avzájem se vylučujících jevů, (tj. ), je rova součtu jejich pravděpodobostí: ) ravděpodobost, že astae jede z jevů,, je ) Řekeme, že jevy a jsou ezávislé, jestliže platí 4) Řekeme, že jevy,, C jsou ezávislé, jestliže, C C, C C C a avíc 5) Mějme ezávislých pokusů, z ichž každý skočí buď zdarem s pravděpodobostí p, ebo ezdarem s pravděpodobostí q. otom pravděpodobost jevu, k C, že právě k pokusů bude zdařilých, je k k k p q, k 0,,,,. k říklad: Řešeí: Na táboře je v družstvu Rychlých šeků 5 dětí. Z toho je 8 dívek a 7 chlapců. Vybereme z ich amátkou trojčleou hlídku. Jaká je pravděpodobost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci? 7 8 Jev zameá, že v hlídce jsou právě dva chlapci, 5 7 Jev zameá, že v hlídce jsou právě tři chlapci, 5 Chceme vypočítat, že astae jede z jevů a. Jevy a se avzájem vylučují, takže použijeme vzorec z věty ).

32 ravděpodobost a statistika ,446 44,6% ravděpodobost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci, je 44,6%.

33 ravděpodobost a statistika Věty o pravděpodobostech Variata říklad: Házíme zeleou a žlutou kostkou. Najděte součet čtyři, a jev začí, že a žluté kostce padla pětka? Řešeí:,,,,, 6 6,5,,5,,5, 4,5, 5,5, 6,5 6 Ř, Jevy a se avzájem vylučují., jestliže jev začí, že a kostkách padl 6 Jev 6 4 0,5 astae s pravděpodobostí 5%. 5% říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: Jev astae s pravděpodobostí 5%.

34 4 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Házíme dvěma růzě zbarveými kostkami. Najděte, jestliže a) zameá, že a prví kostce padlo sudé číslo, Jev zameá, že a druhé kostce padlo liché číslo. [] b) začí, že a prví kostce padlo číslo větší ež čtyři, a jev začí, že a kostkách padl součet čtyři. c) zameá, že a prví kostce padlo číslo meší ež dva, a zameá, že a druhé kostce padlo liché číslo větší ež dva. [0,5] ) ři hodu kostkou můžou astat ásledující jevy: - padlo sudé číslo, - adlo liché číslo větší ebo rovo ež třem, C- adlo liché číslo meší ež tři. Vypočítejte a) b) C c) C ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu třemi růzými kostkami padou samá prvočísla ebo samé šestky? [0,0]

35 ravděpodobost a statistika 5 Věty o pravděpodobostech Variata říklady: ) V obchodě mají a skladě 4 otebooků stejého druhu a začky, z ichž je pět vadých. Za jede de byly prodáy tři otebooky z této řady. Jaká je pravděpodobost, že byl prodá alespoň jede vadý? ) Házíme třemi kostkami, jaká je pravděpodobost, že padou samá lichá čísla ebo samá čísla meší ež 4? ) Házíme třemi kostkami. Jev začí, že a prví kostce pade trojka. Jev začí, že a druhé kostce pade liché číslo. Jev C začí, že a třetí kostce pade číslo větší ež dva. Rozhoděte, zda jsou jevy,, C ezávislé. 4) Dva střelci Wag a oetti se v disciplíě trap rozstřelují o olympijský broz. a Wag Řešeí: zasáhe cíl s pravděpodobostí 95%. a oetti zasáhe cíl s pravděpodobostí 9%. Jaká je pravděpodobost, že při jedom výstřelu každého z ich a) zasáhou oba. b) žádý ezasáhe cíl. c) Wag zasáhe cíl, oetti ezasáhe cíl. ) jev zameá, že mezi třemi prodaými byl právě jede vadý otebook, ! 4! 9! 7!! 4!!! jev zameá jev zameá, že mezi třemi prodaými byly právě dva vadé otebooky, !!! 9! 8! 4!!! jev C zameá, že mezi třemi prodaými byly právě tři vadé otebooky, C 5 4 5!!! 4!!! 0 04 Chceme vypočítat, že astae jede z jevů,, C. Jevy se avzájem vylučují.

36 6 ravděpodobost a statistika C C ravděpodobost, že byl prodá alespoň jede vadý otebook, je 5,%. 0,5 (5,%) ) jev zameá, padla samá lichá čísla, 6 jev zameá, že padla čísla meší ež čtyři, 6 jev zameá, že a kostkách padla lichá čísla meší ež čtyři, 6 Chceme vypočítat, že astae jede z jevů a. růik jevů a eí prázdá možia, takže použijeme vzorec s věty ) , (,%) ravděpodobost, že padou samá lichá čísla ebo čísla meší ež čtyři, je,%. ) Jestliže platí vztahy z věty 4), jevy,, C jsou ezávislé. Tyto vztahy ověříme. 6 6 C,,,,, C C,,,4,,5, C 6 C,,,4,,5 4 6,6,,,,4.,5,6, 5,, 5,4. 5,5,, 5,6 C 6 8 C,,,,,4,,,5,,6,,,,,,4.,,5,,,6,,5,,,5,4.,5,5,,5,6 6 C 6 9 C C C C 6 8 C

37 ravděpodobost a statistika 7 4) jev zameá, že pa Wag zasáhl cíl, 95% jev zameá, že pa oetti zasáhl cíl, 9% jev ` zameá, že pa Wag ezasáhl cíl, ` 0, 05 jev ` zameá, že pa oetti ezasáhl cíl, ` 0, 09 a) Chceme spočítat, že astaou oba dva jevy a zároveň. Jevy a jsou ezávislé (to, že jede zasáhe, eovliví pravděpodobost toho, že zasáhe druhý). latí: 0,95 0,9 0,8645 (86,45%) b) Chceme spočítat, že astaou oba dva jevy ` a ` zároveň. Jevy ` a ` jsou ezávislé. ` ` ` ` ` latí: ` ` ` ` 0,05 0,09 0,0045 (4,5%) c) Chceme spočítat, pravděpodobost, že astaou oba dva jevy a ` zároveň. Jevy a `jsou ezávislé. ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` 0,95 0, ,55% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že byl prodá alespoň jede vadý otebook, je 5,%. ) ravděpodobost, že padou samá lichá čísla ebo čísla meší ež čtyři, je,%. ) Jevy,, C jsou ezávislé. 4) a) ravděpodobost, že oba zasáhou, je 86,45%. b) ravděpodobost, že oba dva střelci ezasáhou cíl, je 4,5%. c) ravděpodobost, že pa Wag zasáhe cíl a pa oetti e, je 8,55%.

38 8 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Závodu horských kol se účastí žáci dvou místích sportovích škol. rví škola vyslala do závodu dětí a druhá škola 8 dětí. Jaká je pravděpodobost, že a stupích vítězů uvidíme alespoň dvě děti z prví základí školy? Jak se změí pravděpodobost, že a stupích vítězů uvidíme alespoň dvě děti z prví základí školy, jestliže počet dětí vyslaých prví školou je 8 a druhou? Výsledky vyjádřete v procetech. [65,6%, zmeší se o,% ] ) ges zjistila, že při stěhováí dala použitá a epoužitá DVD do stejé krabice. Ví, že epoužitých měla 66 a použitých. Jaká je pravděpodobost, že při áhodém výběru čtyř DVD vytáhe alespoň dvě použitá? [0,48] ) Firma dodala 0 dresů velikosti M a 6 dresů velikosti L. treér družstva dorosteců vybere áhodě 5 dresů pro své svěřece. Jaká je pravděpodobost, že vybral alespoň dva dresy velikosti L. [0,754] 4) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma kostkami padou a) samá prvočísla ebo samá čísla meší ež pět. b) samá čísla dělitelá třemi (beze zbytku) ebo samá čísla větší ež tři. 5) Jaká je pravděpodobost, že při hodu třemi růzými kostkami pade a) součet ejvýše tři ebo samá stejá čísla. b) samá sudá čísla ebo samá stejá čísla. c) součet právě jedeáct ebo samá lichá čísla větší ež dva. [a) 0,69, b) ] [a), b) 0,9, c) 0,079] 6 6) Házíme dvěma růzě barevými kostkami (modrou a čerou). Rozhoděte, zda jevy v ásledujících případech jsou ebo ejsou ezávislé. a) Jev začí, že a kostkách padl součet šest. Jev začí, že a kostkách padla je lichá čísla. b) Jev začí, že a kostkách padl součet sedm. Jev začí, že a čeré kostce padlo číslo větší ež tři. c) Jev začí, že a kostkách padl součet pět. Jev začí, že a kostkách padla je lichá čísla. [a) e, b) + c) ao]

39 ravděpodobost a statistika 9 7) Na čtyřletém gymáziu propad v průměru 6% žáků z agličtiy a 0% žáků z fracouzštiy. Z obou jazyků ajedou propadá 5% žáků. Jsou jevy žák propade z agličtiy a žák propade z fracouzštiy ezávislé? [ejsou] 8) ravděpodobost, že se driaa zúčastí kurzu břišího tace je 5%, zatímco Eliška se kurzu zúčastí s pravděpodobostí 4%. ravděpodobost, že se a kurz přihlásí obě je 0,5%. Jsou jevy driaa se zúčastí kurzu a Eliška se zúčastí kurzu ezávislé? 9) Házíme třemi růzými kostkami (ozačme je, y, z). Jsou ásledující jevy ezávislé? : součet hodot, které padly a kostkách a y, je šest. : a kostce z padla hodota trojka [jsou] C: a kostce padla čtyřka [ejsou] 0) Určete pravděpodobost, že ve dvou hodech kostkou pade v prvím hodu prvočíslo a ve druhém liché číslo. [ ] ) Kateřia přijde a smluveou schůzku včas s pravděpodobostí 70%, Romaa a i přijde včas s pravděpodobostí 85%. Jaká je pravděpodobost, že a) přijdou obě včas. b) obě přijdou pozdě. c) Romaa přijde včas a Kateřia pozdě. [a) 0,595, b) 0,045, c) 0,55] ) V sáčku je 7 štítků s číslem jeda a 0 štítků s číslem dva. Marti si ze sáčku vybere jede štítek, podívá se a číslo a vrátí štítek zpět. Lukáš přijde jako druhý, vytáhe štítek, podívá se a číslo a vrátí štítek zpět. Jaká je pravděpodobost, že a) si oba vytáhli štítek s číslem jeda. b) si oba vytáhli štítek s číslem dva. c) Marti si vytáhl štítek s číslem jeda a Lukáš si vytáhl štítek s číslem dva. [a) 0,7, b) 0,46, c) 0,4]

40 40 ravděpodobost a statistika Věty o pravděpodobostech Variata C říklady: ) Na začátku hodiy jsou v matematice zkoušei u tabule dva žáci (Marti a Libor). Libor spočítá příklad správě s pravděpodobostí 70%. Marti spočítá příklad správě s pravděpodobostí 6%. Jaká je pravděpodobost, že alespoň jede z ich spočítá příklad správě? ) Karolía si v zahradictví koupila cibulky okrasých květi. ravděpodobost, že cibulka vzejde, je 85%. Jaká je pravděpodobost, že z pěti cibulek vzejdou právě tři? Řešeí: ) Jev začí, že Libor spočítá příklad správě, 0, 7 Jev začí, že Marti spočítá příklad správě, 0, 6 ` 0, ` 0, 9 Jevy a jsou ezávislé. lespoň jede z ich správě zameá, že příklad spočítají správě oba ebo Libor ho spočítá správě a Marti špatě ebo Libor ho spočítá špatě a Marti správě. Rovice bude tvaru: ` ` ` ` 0,7 0,6 0,7 0,9 0, 0,6 0,88 88,% Další způsob řešeí: ` ` 0,88 88,% ravděpodobost, že alespoň jede z ich spočítá příklad správě, je 88,%. ) Jev začí, že vzejdou právě tři cibulky, 0,85 Jev začí, že právě dvě cibulky evzejdou, 0,85 0,5 k k p k q k 5 5!!! 0,85 0,5 0,8,8% říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: ) ravděpodobost, že alespoň jede z ich spočítá příklad správě, je 88,%. ) ravděpodobost, že vzejdou tři cibulky je,8%.

41 ravděpodobost a statistika 4 říklady k procvičeí: ) Martia a eta píšou semiárí práci. Martia ji dokočí včas s pravděpodobostí 5%, eta ji dokočí včas s pravděpodobostí 65%. Jaká je pravděpodobost, že alespoň jeda z ich dokočí semiárí práci včas? Výsledek vyjádřete v procetech. [7,75%] ) V košíku je 5 žlutých jablek a 6 červeých jablek. Namátkou vybereme jablka. Jaká je pravděpodobost, že alespoň dvě vybraá budou žlutá? [ ] ) Matěj a Deis střílí prakem a terč. Matěj zasáhe s pravděpodobostí 60% a Deis zasáhe s pravděpodobostí 45%. Jaká je pravděpodobost, že alespoň jede z ich zasáhe terč? [0,78] 4) Na výlet lodí jede 0 dětí, z ichž je děvčat a 8 chlapců. Namátkou z ich vybereme trojici. Jaká je pravděpodobost, že v í budou alespoň dva chlapci? [0,96] 5) Mila odpoví a otázku špatě s pravděpodobostí 75%. Jaká je pravděpodobost, že ze tří otázek zodpoví právě dvě špatě? [0,4] 6) V přijímacím testu a vysokou školu je 80 otázek. Každá otázka má 4 možé odpovědi, ze kterých je právě jeda správá. V okamžiku, kdy je ohlášeo posledích deset miut a vypracováí testu, Tomášovi zbývá zodpovědět ještě 0 otázek. Rozhode se proto, volit odpovědi áhodě. Jaká je pravděpodobost, že zodpoví správě právě 6 otázek? Vyřešte příklad, jestliže každá otázka má pět správých odpovědí. [0,68, 0,09] 7) Jaká je pravděpodobost, že z dvaácti prvích servisů jich deset bude ve správé části teisového kurtu, jestliže a) úspěšost teistova prvího servisu je 65%. [0,09] b) úspěšost teistova prvího servisu je 7%. [0,9] 8) Úmrtost a choleru je 50%. Jaká je pravděpodobost, že ze 5 akažeých jich 7 emoc přežije? [0,0] 9) ravděpodobost, že obchodí zástupce prodá pojištěí je 6%. Jaká je pravděpodobost, že prodá pojištěí alespoň čtyřem klietům, když jich za jede de avštíví devět? [0,6]

42 4 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) V plátěém pytlíku je šest bílých a tři červeé kuličky. Vybereme amátkou dvě kuličky. Jaká je pravděpodobost, že budou mít stejou barvu? [0,5] ) Terč je rozděle a dvě pásma (čeré a bílé). Zásah do čerého pásma je oceě třemi body a zásah do bílého pásma je oceě jedím bodem. ravděpodobost, že se střelec trefí do čerého, je %, že se trefí do bílého, je 58%. Jaká je pravděpodobost, že a) zasáhe terč? [0,9] b) ezasáhe terč? ) ravděpodobost, že se porouchá geerátor a výroba bude muset být zastavea, je 0%. ravděpodobost, že se porouchá pás a výroba bude muset být přerušea, je 4%. Jaká je pravděpodobost, že při současé práci obou těchto zařízeí, [0,] a) dojde k přerušeí výroby. [0,4] b) edojde k přerušeí výroby. [0,86] 4) Ve školím autobuse jede 6 dětí, z toho 4 chlapců a dívek. Vybereme amátkou čtveřici dětí. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou a) alespoň tři chlapci. [0,59] b) ejvýše dvě děvčata. [0,76] 5) Studet prvího ročíku ekoomické vysoké školy musí v prvím semestru absolvovat tyto předměty: mikroekoomie, základy účetictví, matematika, marketig, základy iformatiky. Mikroekoomii zvláde s pravděpodobostí 65%, základy účetictví zvláde s pravděpodobostí 95%, matematiku s pravděpodobostí 45%, marketig s pravděpodobostí 60% a základy iformatiky s pravděpodobostí 50%. Jaká je pravděpodobost, že studet euspěje v matematice ebo základech iformatiky a v ostatích předmětech uspěje? [0,77] 6) Jaká je pravděpodobost, že při hodu pěti micemi a vše pade orel? [,%] 7) V obchodě prodají výrobek s vadou s pravděpodobostí %. Jaká je pravděpodobost, že sedm za sebou prodaých výrobků bude bez vady a další dva prodaé budou vadé? okusy považujeme za vzájemě ezávislé. [7%] 8) Střelkyě ze vzduchové pušky zasáhe devítku s pravděpodobostí 95%. Jaká je pravděpodobost, že osmkrát po sobě zasáhe devítku a poté dvakrát po sobě devítku ezasáhe? okusy považujeme za vzájemě ezávislé. [0,006] 9) iatloista zasáhe terč s pravděpodobostí 80%. Jaká je pravděpodobost, že z pěti terčů tři zasáhe a dvakrát mie? [0,048]

43 ravděpodobost a statistika 4 0) Čláek do odborého časopisu hodotí ezávisle a sobě dvě osoby. rví dá kladé staovisko s pravděpodobostí 80%, druhá se vysloví kladě s pravděpodobostí 85%. Čláek bude redakcí přijat, jestliže kladé staovisko dá alespoň jede z hodotitelů. Jaká je pravděpodobost, že čláek bude přijat? [0,97] ) Jaká je pravděpodobost, že v rodiě s pěti dětmi, mají alespoň čtyři děvčata? [0,875] ) Jevy a jsou ezávislé. ravděpodobost, že astae jev, je 0%, pravděpodobost, že astaou oba jevy současě, je 45%. Vypočtěte pravděpodobost, že astae jev. ) Jevy a jsou ezávislé. latí ` a. Určete a. 5 4 [ [0,5] 9 5, ] 0 9 4) Kolik dětí je třeba porodit, aby pravděpodobost, že se arodí chlapec, byla větší ež 0,9. 5) Jaká je pravděpodobost, že v rodiě s třemi dětmi, jsou právě dvě dcery? ravděpodobost arozeí dcery je 0,5. [0,9] 6) Určete pravděpodobost, že áhodě zvoleé dvojciferé číslo je dělitelé 0 ebo 5. 7) Tři ezávislé pokusy a a C astávají s pravděpodobostí 0,6 a 0,8 a 0,7. Určete pravděpodobost, že [4] [0,] a) eastae jev. [0,] b) eastae žádý z jevů,, C. [0,04] c) astae alespoň jede z jevů,, C. [0,976]

44 44 ravděpodobost a statistika Statistika Důležité pojmy statistický soubor je eprázdá koečá možia objektů, které mají společé vlastosti (apř. skupia osob) rozsah souboru () je počet prvků daé možiy statistická jedotka je prvek statistického souboru statistický zak () je společá vlastost statistických jedotek (u osob je to apříklad věk, barva vlasů) hodota zaku ( jedotlivé údaje zaku,,, )

45 ravděpodobost a statistika 45 Rozděleí četostí a jeho grafické zázorěí bsolutí četost j je počet statistických jedotek, jímž přísluší stejá hodota zaku. oz.: součet absolutích četostí je rove rozsahu souboru r j j Relativí četost v j je podíl absolutí četosti zaku a rozsahu souboru oz.: součet relativích četostí je rove jedé v. r j j v j. j Tabulka rozděleí četostí:tabulka, ve které je každé hodotě zkoumaého zaku přiřazea její četost Zak * bsolutí četost * * r r

46 y y 46 ravděpodobost a statistika Statistické diagramy Spojicový diagram (polygo četosti): závislost absolutí četosti a hodotě zaku Sloupcový diagram (histogram četosti): používá se, jsou-li hodoty zaku sdružey v itervaly, itervaly tvoří základy sloupku, odpovídající četosti tvoří jejich výšky

47 ravděpodobost a statistika 47 Kruhový diagram: hodoty zaku jsou zázorěy kruhovými výsečemi, jejichž obsahy jsou přímo úměré relativím četostem. čtvrt. %. čtvrt. 5%. čtvrt. 64%

48 48 ravděpodobost a statistika říklad: Řešeí: V roce 00 bylo v ČR zaměstaých celkem 4764,9 tisíc osob. Z toho 8,75 bylo zaměstaých v primárí sféře, 9,6% lidí ašlo zaměstáí v sekudárí sféře, 55,5% lidí ašlo zaměstáí v terciálí sféře a u 0,% lidí ebylo možo zařadit do žádé z těchto sfér. Určete tabulku rozložeí četostí, akreslete kruhový diagram. Nejprve určíme tabulku rozložeí četostí se všemi údaji, které jsou zámé ze zadáí. primárí sféra absolutí četost 8,75 s sekudárí sféra terciálí sféra t ostatí o relativí četost v 9,6% 55,5% 0,% p Nezámé údaje lze dopočítat pomocí vzorce v p p 8, ,9 0,048 4,8% v j j. s v s 0, ,9 886,9004 t v t 0, ,9 644,595 o v 0 0, ,9 4,7649 Kompletí tabulka rozložeí četostí je tvaru zaměstaci zaměstaci zaměstaci ostatí v primárí sféře v sekudárí sféře v terciálí sféře absolutí četost 8,75 886, ,595 4,7649 relativí četost 4,8% 9,6% 55,5% 0,% kruhový diagram zaměstaců podle sektorů ostatí 0,% zaměstaci v terciálí sféře 55,5% zaměstaci v primárí sféře 4,8% zaměstaci v sekudárí sféře 9,6%

49 ravděpodobost a statistika 49 Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata říklady: ) Celkový počet porodů za rok 00 byl V tabulce jsou porody rozděley podle počtu arozeých dětí. Doplňte tabulku. Zázorěte spojicovým diagramem počet porodů podle počtu arozeých dětí. očet arozeých dětí 4 očet porodů v j ) V roce 000 bylo dokočeo 5 07 bytů. V tabulce jsou dokočeé byty rozděley podle formy výstavby. Doplňte tabulku. Zázorěte kruhovým diagramem podíl dokočeých bytů podle formy výstavby. Formy výstavby družsteví komuálí idividuálí ostatí Dokočeé byty odíl dokočeých bytů,5% 6,5% 4,% Řešeí: ) Spočítáme relativí četost podle vzorce počty porodů dle arozeých dětí. v v v v doplěá tabulka: 0,98 0,07 0,000 0,0000 očet arozeých dětí 4 očet porodů j v j j, kde je 8945 a absolutí četosti jsou v 0, 98 0,07 0,000 0,0000

50 počet porodů 50 ravděpodobost a statistika spojicový diagram počtu porodů podle počtu arozeých dětí: počet dětí ) Využijeme toho, že platí r j j r a v, kde je celkový počet postaveých bytů. j j 4 j j v j j 0,05 0,65 v 0,4 v 0,4 0,568 doplěá tabulka: Formy výstavby družsteví komuálí idividuálí ostatí Dokočeé byty odíl dokočeých bytů,5% 6,5% 56,8% 4,%

51 ravděpodobost a statistika 5 Kruhový diagram počtu dokočeých bytů podle formy výstavby: ostatí 4,% družsteví,5% komuálí 6,5% idividuálí 56,8% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) v,98 v 0,07 v 0,000 0, v4 ) 408 v 0, 568

52 5 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Doplňte tabulky rozděleí četostí. Zakreslete polygo četostí a kruhový diagram. a) velikost 4 Četost Relativí četost b) velikost 4 Četost Relativí četost 0% [a) výsledky, b) výsledky] ) Tabulky udávají možství vytěžeých listatých dřevi v ČR podle druhů dřevi. Doplňte relativí četosti a zázorěte je kruhovým diagramem. a) Druh dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, Ostatí dřeviy vrba, osika Možství ( m ) b) Druh dřeviy Možství dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí ( m )

53 ravděpodobost a statistika 5 c) Druh dřeviy Možství dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí ( m ) [a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky] ) Tabulky uvádějí výši měsíčího kapesého žáků 5. třídy základí školy s rozděleím četostí. Doplňte relativí četosti. Nakreslete spojicový diagram. a) výše kapesého počet 0 5 b) výše kapesého počet 5 0 [a) výsledky, b) výsledky] 4) Soukromou jazykovou školu avštěvuje 0 osob. Každá osoba se učí právě jede jazyk. Rozděleí četostí je dáo tabulkou: a) Jazyk gličtia Špaělštia fracouzštia Italštia Relativí četost 46,875% 7,85% 4,75% 0,975% b) Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia Ruštia Relativí četost 0,55 0,5 0,5 0,05 c) Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia číštia Relativí četost 0,75%,75%,5% 0,05 Doplňte absolutí četosti. [a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky]

54 54 ravděpodobost a statistika 5) U pětiset maželských párů starších třiceti let byl zkoumá počet dětí. Lidé špatě vyplili dotazíky, a tak se podařilo získat pouze údaje uvedeé v ásledující tabulce. a) očet dětí jiak Četost 50 5 Relativí četost 4% b) očet dětí jiak Četost 5 Relativí četost 4% 0,0 Je-li to možé, tabulky doplňte. [a) výsledky, b) výsledky]

55 četost ravděpodobost a statistika 55 Výsledky variata a velikost 4 Četost Relativí četost 0,8 0, 0, 0,08 spojicový diagram velikost kruhový diagram 8% % 8% % b velikost 4 Četost Relativí četost 0% 45% 0% 5%

56 četost 56 ravděpodobost a statistika spojicový graf 4 velikost kruhový diagram 0% 5% 0% 45% a Druh dřeviy Možství ( m ) Relativí četost dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí % 4% 5% % % % 9% 4% 6%

57 ravděpodobost a statistika 57 míra těžby dřevi v závislosti a druhu dub buk jasa javor lípa olše bříza topol, vrba, osika ostatí 4% 6% % 9% % 5% % 4% 7% b Druh dřeviy Možství ( m ) Relativí četost dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí % 4% 4% % 4% % % 6% 5% míra těžby dřevi v závislosti a druhu dub buk jasa javor lípa olše bříza topol, vrba, osika ostatí 6% 5% % % 4% % 4% 4% 4%

58 58 ravděpodobost a statistika c Druh dřeviy Možství ( m ) Relativí četost dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí % 44% 5% % 4% % 8% 4% 6% míra těžby dřevi v závislosti a druhu dub buk jasa javor lípa olše bříza topol, vrba, osika ostatí 4% 6% % 8% % 4% 5% 4% 6% a výše kapesého počet 0 5 Relativí četost 0, 0, 0,5 0,07

59 počet počet ravděpodobost a statistika spojicový graf výše kapesého b výše kapesého počet 5 0 Relativí četost 5 spojicový graf výše kapesého 4a Jazyk gličtia Špaělštia fracouzštia Italštia Četost Relativí četost 46,875% 7,85% 4,75% 0,975%

60 60 ravděpodobost a statistika 4b Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia Ruštia četost Relativí četost 0,55 0,5 0,5 0,05 4c Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia číštia četost Relativí četost 0,75,75%,5% 0,05 5a očet dětí jiak Četost Relativí četost 4% 70% 5% % 5b očet dětí jiak Četost Relativí četost 4% 7% % %

61 ravděpodobost a statistika 6 Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata říklady: ) Celkový počet rozvodů v roce 006 byl 45. Tabulka zobrazuje počet rozvodů podle délky trváí maželství. Doplňte ji a akreslete grafy. Délka trváí maželství (roky) očet rozvodů 80 7 Míra rozvodovosti 7,8% 8,% 7,4% Řešeí: ) Nejprve doplíme údaje tam, kde chybí pouze jede řádek. oužijeme vzorec v j j, kde je 45. ak doplíme absolutí a relativí četost ve sloupečku -5 let pomocí vzorců 4 j j 4 a v. j j 80 7 v 0,04 v 6 0, , , , j j v j j 0,04 v 0,78 0,8 0,74 0, v 0,9 Doplěá tabulka: Délka trváí maželství (roky) očet rozvodů Míra rozvodovosti 4,% 9,% 7,8% 8,% 7,4%,%

62 počet rozvodů 6 ravděpodobost a statistika Vzhledem k tomu, že jsou hodoty zaku sdružey v itervaly, použijeme histogram pro zázorěí závislosti počtu rozvodů a délce trváí maželství. Hodoty a ose jsou zaokrouhley a střed itervalu. Druhý graf bude kruhový. očet rozvodů v závislosti a délce trváí maželství Míra rozvodovosti v závislosti a délce trváí maželství délka trváí maželství 0-70,% -5 9,% ,4% 7,8% 0-4 8,% 0-4,% říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: ) v,04 v 0,9 0, 0 v

63 ravděpodobost a statistika 6 říklady k procvičeí: ) Tabulka udává počet účastíků jedotlivých kategorií a mistroství republiky v jízdě a koloběžce. Zakreslete histogram. [výsledek] Kategorie (dle věku) očet účastíků ) Rozděleí četostí studetů čtvrtých ročíků sportovího gymázia podle výšky je zachyceo v tabulce. Doplňte relativí četosti, zakreslete histogram. a) Výška (cm) očet b) Výška (cm) očet [a) výsledky, b) výsledky] ) Tabulka udává počet obyvatel ČR v roce 00závislosti a věku. Tabulku doplňte. Zakreslete histogram. Jaký byl celkový počet obyvatel ČR v tomto roce? věk očet 00 (v tis.) Relativí četost % % [výsledek]

64 počet počet 64 ravděpodobost a statistika Výsledky variata očet účastíků v závisloti a věku věk a Výška (cm) očet Relativí četost 0,07 0,7 0,4 0, očet studetů v závislosti a výšce výška b Výška (cm) očet Relativí četost 0,7 0,9 0,6 0,08

65 počet počet ravděpodobost a statistika 65 očet studetů v závislosti a výšce výška věk očet 00 (v tis.) Relativí četost % % % celkem 060 počet obyvatel v ČR v závisloti a věku věk

66 66 ravděpodobost a statistika Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata C říklady: ) Rozběhy závodu a 00 metrů běželo 0 závodíků? Závodíci dosáhli časů: 9,86; 8.99; 9,5; 9,0; 9,06; 8,89; 9,; 9,00; 9,65; 9,6; 9,5; 8,99; 8,98; 9,4; 9,9; 9,; 9,40; 9,0; 9,09; 9,6; 9,; 9,0; 9,0; 0,0; 8,95; 9,6; 9,8; 9,7; 9,55; 8,8. Zvolte délku rozpětí itervalu 0, sekudy a uspořádejte časy do tabulky rozděleí četostí. Spočítejte relativí četosti. Zázorěte grafy. ) očet zaměstaců ve výzkumu a vývoji v roce 995 byl Z toho 4,9% Řešeí: zaměstaců bylo zaměstáo v podikatelské sféře, 9,% zaměstaců bylo zaměstáo ve vládím sektoru, 8% zaměstaců bylo zaměstáo ve vysokoškolském sektoru a 0% zaměstaců bylo zaměstáo v soukromém eziskovém sektoru. V roce 007 bylo ve výzkumu zaměstáo 708 lidí s podíly v sektorech 4,6%, 0,%, 5,8% a 0,%. Vypočtěte absolutí četosti zaměstaců pracujících v jedotlivých sektorech a sestrojte tabulku četostí. ) Nejhorší čas je 0,0 a ejlepší je 8,8, takže itervalů bude šest. ro výpočet relativí četosti použijeme vzorec v v ,67 0,067 tabulka rozděleí četostí: v v v j 6 j rví graf bude histogram, druhý graf bude kruhový. 0, 0,0 v 7 0 0, v 4 0 0,067 Iterval 8,8-9,0 9,0-9, 9,4-9,44 9,45-9,65 9,66-9,86 9,87-0,07 očet časů Relativí četost 0,67 0, 0, 0,067 0,067 0,0

67 počet ravděpodobost a statistika 67 počet závodíků v závisloti a čase ,45-9,65 6,7% 9,66-9,86 6,7% 9,4-9,44,% 8,8-9,0 6,7% 9,0-9,,% 9,87-0,07,% čas ) roceta lidí pracující v jedotlivých sférách jsou relativí četosti, absolutí četosti dopočítáme j pomocí v j a sestavíme tabulku rozděleí četostí. 0, ,5 0, , 5 /995 /995 0, /995 4 /995 0, ,6 0, , 44 / 007 / / 007 0, ,998 0, , 4 / 007 Tabulka rozděleí četostí: Sektor očet 995 očet 007 Relativí četost 995 Relativí četost 007 odikatelský 077,5 86,6 0,49 0,46 Vládí 8,5 485,44 0,9 0,0 Vysokoškolský 00 66,998 0,8 0,58 Soukromý eziskový 0 9,4 0 0,00 říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) v 0,67 v 0, v 0,v4 0, 067 v v 6 0, 0 ) 077, 5 8, /995 /995 /995 4 /995 86,6 485, 44 66, 998 / / 007 9,4 / 007 / 007

68 68 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) V obchodě specializujícím se a prodej večerích šatů zazameávali kvůli optimalizaci objedávek velikosti prodaých šatů s tímto výsledkem: 6, 44, 8, 8, 8, 40, 4, 44, 8, 4, 8, 44, 46, 44, 8, 8, 40. Sestavte tabulku rozděleí četostí jedotlivých hodot zaku velikost a určete relativí četosti pro jedotlivé velikosti. Sestrojte odpovídající polygo četostí rozděleí četostí. [výsledek] ) Treéři zjišťovali věk hráčů mužstva prví fotbalové ligy. yly zjištěy tyto hodoty: 5, 4, 7,, 6, 4, 5, 6, 7,, 9,,, 5, 6, 9, 0, 4, 5. Určete rozsah souboru, sestavte tabulku rozděleí četostí jedotlivých hodot zaku věk, určete relativí četosti a zázorěte je do grafu [výsledek] ) V roce 000 bylo v televizi odvysíláo celkem hodi. Z toho 9,5% bylo zpravodajství, 4,9% byly vzdělávací pořady,,7% připadlo a kulturu, 40,4% vysílacího času připadlo zábavým pořadům, 0,6% ábožeským pořadům, % připadlo a reklamu a 9,9% a ostatí blíže especifikovaé pořady. Vypočtěte absolutí četosti vysílacích hodi jedotlivých druhů pořadů. Sestrojte tabulku četostí. [výsledek] 4) Na prví stupeň školy dochází v školím roce 00/00 5 žáků. ětia z ich chodí pěšky, třetiu dovezou rodiče autem a zbytek jezdí autobusem. Další školí rok (00/00) školu avštěvuje také 5 žáků. očet dětí chodících pěšky se zvýší o 5, autobusem jezdí o jedoho žáka méě. Vypočtěte absolutí a relativí četosti žáků jezdících do školy v roce 00/00 podle druhu dopravího prostředku. [výsledek]

69 počet ravděpodobost a statistika 69 Výsledky variata C C Velikost očet 7 4 Relativí četost 0,06 0,4 0, 0, 0, 0,06 8 počet prodaých šatů v závisloti a velikosti velikost

70 70 ravděpodobost a statistika C Věk očet 4 Relativí počet (%) 5, 5, 5, 5, 5,6 0,5 5, 5, 5, 0,5 5, Míra zastoupeí fotbalistů daého věku v mužstvu % 6 % 7 % % 6 % 5 5% 7 % 9 % % 4 4% 0 % C Typ pořadu zpravodajství vzdělávací kultura zábava ábožeství reklama ostatí očet hodi 699,6 860,8 650, ,47 05,408 75,68 79, Relativí počet (%) 0,95 0,049 0,07 0,404 0,006 0,0 0,099 4C Druh dopravího prostředku chůze auto utobus očet žáků 4 6 Relativí četost,7% 0,4% 45,9%

71 ravděpodobost a statistika 7 Charakteristiky polohy a variability Charakteristika polohy: číslo charakterizující průměrou hodotu sledovaého zaku (aritmetický průměr, geometrický průměr, harmoický průměr, modus, mediá) Charakteristika variability: číslo charakterizující promělivost sledovaého zaku (rozptyl, směrodatá odchylka) ritmetický průměr _ je součet hodot zaku zjištěých u všech jedotek souboru, děleý počtem všech jedotek souboru. _ j j Geometrický průměr G z kladé hodoty zaku je -tá odmocia ze součiu hodot zaku. G Harmoický průměr H z eulových hodot statistického souboru je podíl rozsahu souboru a součtu převráceých hodot zaku. Modus Mediá Mod je ejčastěji se vyskytující hodota mezi zaky. H Med je prostředí čle mezi zaky, jestliže je uspořádáme podle velikosti. oz. je-li liché, určíme mediá podle vzorce: Med je-li sudé, je mediá aritmetickým průměrem dvou hodot kolem středu : Med

72 7 ravděpodobost a statistika Rozptyl s je průměr druhých moci odchylek od aritmetického průměru. s j j _ Směrodatá odchylka s je druhá odmocia z rozptylu. s s říklad: V tabulce je dá počet obyvatel ČR k.. od roku 996 do roku 00. Vypočítejte průměrý počet obyvatel ČR za období 996 až 00. rok očet obyvatel k.. (tis) Řešeí: udeme počítat aritmetický průměr za osm období, takže =8. _ 8 8 j j růměrý počet obyvatel ČR za období 996 až 00 byl

73 ravděpodobost a statistika 7 Charakteristiky polohy a variability Variata říklady: ) Tabulka udává HD (Hrubý domácí produkt) v ČR od roku 000 do roku 005. Vypočtěte aritmetický geometrický a harmoický průměr HD v ČR od roku 000 do roku 005. Rok HD (mil. Kč) ) Vypočtěte modus a mediá ze souboru písme:,,, C, D, E, F, E,, C, D, E,,, C, D, E, F, E, E, D, C,,,. ísmeo C D E F očet Řešeí: ) ůjde o dosazováí do vzorců, kde =6 a 8969, 54, 4644, 5770, 8476, 9886, j j ,5 G G , H H ,578

74 74 ravděpodobost a statistika ) Sestavíme si tabulku, kde prví řádek bude písmeo a druhý jeho početí zastoupeí v souboru. ísmeo C D E F očet Modus je ejčastěji vyskytující se hodota mezi zaky, takže Mod E. bychom vypočítali mediá, musíme zaky uspořádat podle velikosti. ísmeo F C D E očet očet prvku souboru je 5, takže je liché a Med D. říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: _ 6 8 G,747 0 ) 5659, 5 ) Mod E 55779, 578 Med D H

75 ravděpodobost a statistika 75 říklady k procvičeí: ) Tabulka udává průměrou ošetřovací dobu od roku 000 do roku 008. Vypočtěte aritmetický průměr ošetřovací doby od roku 000 do roku 008. rok růměrá délka ošetřovací doby ve dech 8,7 8,5 8, 8, 8, 8,0 7,8 7,7 7,4 [8,09,] ) Tabulka udává průměrou výši měsíčích důchodů mužů a že v ČR od roku 999 až do roku 008. Vypočítejte aritmetický průměr průměré celkové měsíčí výše důchodů od roku 999 až do roku 008. Rok Výše důchodu muži Výše důchodu žey ) Závodíci při skoku do dálky dosáhli těchto výkoů: 7,80, 7,65, 8,5, 8,. Vypočítejte aritmetický, harmoický a geometrický průměr těchto hodot a porovejte jejich velikosti. [757,85] [7,955, 7,949, 7,946, ejvětší je aritmetický a ejmeší harmoický průměr] 4) Vypočítejte modus a mediá souboru hodot, 5, 6,,, 5,, 6,,,,,. 5) Určete media a modus zaku z ásledující tabulky rozděleí četostí: 4 i i [,] [, ] 6) Tabulka udává počet arozeých štěňat v chovatelské staici za prvích šest měsíců. Určete modus a media. a) Měsíc lede úor březe dube květe Červe očet štěňat b) Měsíc lede úor březe dube květe Červe očet štěňat [a) dube, červe,b) dube, červe]

76 76 ravděpodobost a statistika Charakteristiky polohy a variability Variata říklady: ) Třetí ročíky gymázia psali čtvrtletí práci z matematiky v jede týde. Jedičku dostalo 5 žáků, dvojku 5 žáků, trojku žáků, čtverku žáků a pětku 9 žáků. Spočítejte aritmetický průměr zámek. ) Tabulka udává počet obyvatel ČR starších patácti let s vysokoškolským vzděláím. Tabulka je z období 004 až 008. Spočítejte rozptyl a směrodatou odchylku. Rok očet (tis.) 86, 907, 954,6 974,8 050,0 Řešeí: ) vytvoříme tabulku rozložeí četostí Zámka 4 5 počet Jestliže počítáme aritmetický průměr z tabulky rozděle četostí, musíme každou hodotu * j ásobit její četostí, takže vzoreček má tvar _ j * j j. Dále už je dosazujeme, je počet žáků třetích ročíků, kteří psali čtvrtletí práci. _ ,7 ) Vzorec pro výpočet rozptylu je s j j _, takže si ejprve spočítáme aritmetický průměr, a pak dosadíme. _ j j 5 86, 907, 954,6 974,8 050,0 949,74 s j 954,6 5 j _ 949,74 766, ,8 86, 88, ,74 949,74, , 050,0 68, ,74 949,74 Směrodatá odchylka je druhá odmocia z rozptylu, takže 005, ,04 s s 407,04 6,54

77 ravděpodobost a statistika 77 říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: _ ), 7 ) s 407,04 6, 54 s

78 78 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Z tabulky rozděleí četostí určete aritmetický a geometrický průměr. a) b) i i 0,5,5,5 i i [40,, 8, ] [0,7, 9,06] ) Skupia 5 brigádíků česala a letí brigádě ovoce. Tabulka uvádí rozděleí asbíraého možství. Vypočtěte aritmetický průměr. a) b) Možství (kg) počet ) Možství (kg) počet [a) 48,b) 58,4 ] V roce 006 maturovali a církevím gymáziu 4 třídy. Třídy ozačme W, X, Y, Z. Ve třídě ozačeé W maturovalo 7 žáků s průměrou zámkou,6, Ve třídě X maturovalo 0 žáků s průměrou zámkou,9, ve třídě Y maturovalo 8 žáků s průměrou zámkou,5 a v posledí třídě maturovalo 6 lidí s průměrou zámkou,7. Určete aritmetický průměr průměrých zámek z maturity ve všech třídách dohromady. [,]

79 ravděpodobost a statistika 79 4) Spočítejte rozptyl a směrodatou odchylku z tabulky rozděleí četostí: a) b) C D i i 4 i 6 8 i [,875,,54] [,875, 4,7] 5) Kamila házela dvacetkrát po sobě šesti kostkami. V každém hodu si zazameala, kolikrát padla jedička. Rozděleí četostí tohoto zaku je dáo tabulkou: a) b) očet jediček četost očet jediček četost Určete rozptyl a směrodatou odchylku. [a),45,,8, b) 8,58,,9]

80 80 ravděpodobost a statistika Charakteristiky polohy a variability Variata C říklady: ) Zuzaa jela a kole avštívit svoji kamarádku. rví poloviu cesty se pohybuje rychlostí 0 km//h, ale a jejím koci píche a zbytek musí dojít pěšky. Zbytek cesty se pohybuje rychlosti 6 km/h. Určete průměrou rychlost. ) Návštěvost plaveckého cetra se během druhého roku provozu zvýšila o dvacet procet, Řešeí: další rok růst pokračoval, ávštěvost se zvýšila o dalších dvaáct procet. Jaký byl průměrý ročí koeficiet růstu ávštěvosti za prví dva roky provozu? ) K výpočtu průměré rychlosti je vhodé použít vzorec pro výpočet harmoického H průměru Zuzaa se pohybuje průměrou rychlostí 0km/h. ) K určeí průměrého tempa růstu používáme geometrický průměr. V tomto případě se jedá o dvě období. prví rok + 0% druhý rok +% G,,,59 růměrý ročí koeficiet růstu za prví dva roky provozu byl,59. říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: ) 0km/h ),59

81 ravděpodobost a statistika 8 říklady k procvičeí: ) Karel svaří dva pláty kovu za dvě miuty, avlovi to trvá a miutu déle. Jak dlouho trvá v průměru svařeí dvou plechů dohromady? Kolik plechů svaří oba muži za deset miut? [,4] ) Eva ozdobí jedu váočí baňku za 5 miut, lea to zvláde za miuty a Vlastě to trvá 6 miut. Jak dlouho trvá v průměru ozdobeí jedé baňky? [4,9] ) Helea si vyjela a výlet a koi. rví poloviu vyjížďky se pohybuje rychlostí km/h, ale kůň je uaveý a musí zpomalit a rychlost 7 km/h. Jakou průměrou rychlostí Helea a vyjížďce jede? [8,84] 4) Závodík v běhu a 500 metrů běží prví kolo rychlostí 0 km/h, v druhé pětistovce zvolí a 8 km za hodiu a v posledí pětistovce se vzepe k rychlosti 5 km/h. Jakou průměrou rychlostí závodík běžel? [0,6] 5) Tabulka vyjadřuje růst ce jistých komodit v roce 99 až 997. Vypočtěte průměré ceové idey jedotlivých komodit za daé období (obdobím je míě průměr podílů hodot za dvě po sobě jdoucí období). Rok Chléb 9,6 0,,9 5,74 6, ivo 0 5,8 5,94 6,9 6,5 6,88 ezi 8,79 9, 9,05 0,99,9 [,4,,0,,04] 6) Cea lístků a hokej se v prví etraligové sezoě zvýšila o 70%. Další rok byly lístky zovu zdražey o dalších 0%. Na další sezou zůstala cea lístků stejá. Vypočtěte ročí koeficiet růstu cey lístků za prví tři etraligové sezoy klubu. [,]

82 8 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) Tabulka udává pořadí mužstev florbalové ligy po kolech. Určete: a) průměrý počet braek obdržeých všemi mužstvy v jedom kole b) průměrý počet braek obdržeých jedím mužstvem ve všech kolech. pořadí mužstvo Zápasy Výhry Remízy rohry Skóre ody. Tatra 9 :7 58. Vítkovice :7 54. oleslav 5 5 : Chodov 8 : ulldogs 8 0: Future 0 0: Liberec 0 9: Sparta 8 : Ostrava 6 0:5 0. ardubice 4 5 8:0 8. Havířov : 7. Zojmo 7 8:9 [a) 58,64,b) 07,5] ) Určete, jak se změí aritmetický průměr, jestliže se každá hodota zmeší o pět procet. [zmeší se také o pět procet] ) Z prvího lomu je deě vytěžeo 6 tu kamee, z druhého lomu se deě vytěží 58 tu kamee. Určete průměrý výos z obou lomů, jestliže v prvím lomu těží káme dělíků a v druhé lomu ho těží 0 dělíků. 4) Dokažte, že pokud vyásobíme každou hodotu zaku třemi, tak směrodatá odchylka [60,7] vzroste třikrát. _ j 9s j s

83 ravděpodobost a statistika 8 5) Chemické olympiády se zúčastilo studetů, z ichž získalo více ež 50 bodů. Základí škola z řítluk a olympiádu vyslala dětí, z ichž dva získali více ež padesát bodů. Je výsledek dětí z řítluk v počtu dětí, které mají více ež 50 bodů, horší ebo lepší ež výsledek všech účastíků? [horší] 6) Graf udává uživatele jedotlivých druhů prohlížečů mezi skupiou 57 8 uživateli. Sestrojte příslušou tabulku rozděleí četostí a polygo četostí. Ostatí 5% Safari % prohlížeče Opera 5% Mozilla 0% Iteret Eplorer 46% Firefo % [výsledky] 7) V prodejě sledovali počet prodaých učebic cizího jazyka v závislosti a obtížosti (.,.,.) s tímto výsledkem:.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,. a) určete rozsah souboru b) Určete absolutí a relativí četosti zaku obtížost. [a) 9, b) výsledek ] 8) Krmá směs pro koě byla smícháa ze dvou druhů krmiva a to v poměru 0 kg z prvího pytle v ceě 50 kč/kg a 5 kg z druhého pytle v ceě 90 kč/kg. Jaká bude cea kg směsi? [4] 9) Kolik kilogramů kukuřice v ceě 5 kč/kg musíme smíchat s 0 kg kvalitější kukuřice v ceě 48 kč/kg, aby kg výsledé směsi byl za ceu 5 kč/kg. []

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 2. století - využití ICT ve vyučování matematiky na

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

výška (cm) počet žáků

výška (cm) počet žáků Statistika samostatná práce 1) Ve školním roce /13 bylo v Brně 5 základních škol, ve kterých bylo celkem 5 tříd. Tyto školy navštěvovalo 1 3 žáků. Určete a) kolik tříd průměrně měla jedna ZŠ, b) kolik

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k Do školí jídely přišla skupia 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do froty u výdeje obědů. Řešeí: Počet možostí je 1 2... 35=35! (Permutace bez opakováí) Permutací bez opakováí z -prvkové možiy

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Instalační manuál inels Home Control

Instalační manuál inels Home Control OBSAH 1) Úvod... 3 2) Kofigurace chytré krabičky... 3 3) Nahráí aplikace do TV... 3 4) Nastaveí IP adresy do TV... 4 5) Nastaveí chytré krabičky pomocí SmartTV aplikace... 4 5.1) Půdorys (floorpla)...

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Základy statistiky pro obor Kadeřník

Základy statistiky pro obor Kadeřník Variace 1 Základy statistiky pro obor Kadeřník Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Aritmetický průměr

Více

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Rožovský, J., Litschma, T. (ed): Semiář Extrémy počasí a podebí, Bro,. březa 4, ISBN 8-8669-2- Marie Budíková, Ladislav Budík Summary Aalysis of precipitatio maxima ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Database of

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY

ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY 1. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(r) úrok v % z hodoty kapitálu za časové

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více