Příklady z finanční matematiky I

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "8.2.10 Příklady z finanční matematiky I"

Josef Vlček
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do baky své eíze (fakticky své eíze bace ůjčí). Baka s takto získaými eězi odiká a za vyůjčeí vkladateli latí tím, že mu vrátí více eěz ež si ůjčil (úrok). Důležité termíy: jistia vložeá částka, eí majetkem baky stále zůstává majetkem vkladatele úrok částka, kterou baka latí vkladateli za to, že si u í eíze uložil (za to, že je bace ůjčil), většiou se udává v rocetech vložeé částky ročí úroková míra částka v rocetech udávající velikost úroku za uložeí eěz a jede rok. Při ročí úrokové míře % zalatí baka vkladateli za uložeí o dobu jedoho roku 000. Pokud si teto vkladatel své eíze o roce vybere z baky dostae místo vložeých úrokovací období doba, o které baka vyočte a řiíše vkladateli úroky. Obvykle se úrokuje o jedom roce, ale časté je i měsíčí ebo dokoce deí (a běžých účtech) úrokováí. úrokovací doba doba, o kterou vkladatel bace eíze ůjčuje výovědí lhůta rotože baka ůjčeé eíze ivestuje, otřebuje doředu vědět, kdy bude muset eíze vrátit. Proto musí vkladatel ve většiě říadů doředu ozámit, kdy bude eíze vybírat. Tato doba se azývá výovědí lhůta. Pokud otřebuje v utém říadě vkladatel eíze vybrat dříve, musí bace zalatit okutu. V říadě vkladů s delší výovědí lhůtou (aříklad dva roky) je běžé, že vkladatel vyoví vklad ihed ři jeho vložeí. daň z říjmu říjmy z úroků atří mezi říjmy, ze kterých se latí daň. V tomto okamžiku v jedoté výši 15%. Př. 1: Pavel uložil u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 rok. Kolik zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede rok? Kolik zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka eřiisuje ke vkladu, ale osílá je Pavlovi a jeho běžý účet. Urči jeho majetek vždy a koci roku. Úrok, který zalatí baka za 1 rok: = 1500 Úrok o zdaěí: , 0 0,85 = 175 Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých roků: o 1. roce: , 0 0,85 = 5175 o. roce: , 0 0,85 = 5550 (baka mu oslala úroky dvakrát) o. roce: , 0 0,85 = 585 (baka mu oslala úroky třikrát) o 4. roce: , 0 0,85 = (baka mu oslala úroky čtyřikrát) o 5. roce: , 0 0,85 = 5675 (baka mu oslala úroky ětkrát) Předchozí říklad je ejedodušším říkladem jedoduchého úrokováí. Při jedoduchém úrokováí se úrok eřidává k vložeé částce a bako ho eúročí. 1

Důležité termíy: jistia vložeá částka, eí majetkem baky stále zůstává majetkem vkladatele úrok částka, kterou baka latí vkladateli za to, že si u í eíze uložil (za to, že je bace ůjčil), většiou se

2 Chováí vkladatele v ředchozím říkladě, říkladem retiérského chováí = vložíme do baky určitou částku a žijeme v úroků. Př. : Jakou částku by bylo uté uložit v bace a úrok %, aby ročí úrok dosáhl (tedy a měsíc)? Nutá částka x ročí úrok x 0, 0 0,85 = x = = ,85 Pokud chceme, aby ám baka vylácela každý měsíc a úrocích musíme mít a % úrok uložeo řibližě 4,7 milióu koru. Pedagogická ozámka: Následující říklad většiou eočítáme. Jeom echám studety, aby si ho rohlédli. Bavíme se o výočtu úroku za 1 měsíc. Př. : Pavel uložil u kokurečí baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 měsíc. Kolik zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede měsíc? Kolik zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka eřiisuje ke vkladu, ale osílá je Pavlovi a jeho běžý účet. Urči jeho majetek o ěti letech sořeí. Úrok, který zalatí baka za 1 měsíc: = 15 (% je ročí úroková míra, měsíc 1 je jeda dvaáctia roku) Úrok o zdaěí: ,85 = 106, 5 1 Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých měsíců: o 1. měsíci: ,85 = 50106, 5 1 o. měsíci: ,85 = 501,5 (baka mu oslala úroky dvakrát) 1 o. měsíci: ,85 = 5018, 75 (baka mu oslala úroky třikrát) 1 o měsíci: ,85 (baka mu oslala úroky -krát) 1 Sočteme si ušetřeé částky o zajímavém období: o 1 měsíci: ,85 = o 60 měsíci: ,85 = Jak je vidět ři jedoduchém úrokováí ezáleží a délce úrokovacího období. Jedoduché úrokováí a účtech eí říliš časté. Častěji se oužívá složeé úrokováí, kdy úroky baka řiíše k jistiě a v dalším období latí i úroky i z ich.

Nutá částka x ročí úrok x 0, 0 0,85 = 10000 10000 x = = 470588 0,85 Pokud chceme, aby ám baka vylácela každý měsíc 10 000 a úrocích musíme mít a % úrok uložeo řibližě 4,7 milióu koru.

3 Př. 4: Pavel uložil u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 rok. Kolik zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede rok? Kolik zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka řiisuje ke vkladu. Urči jeho majetek vždy a koci roku. Úrok, který zalatí baka za 1 rok: = 1500 Úrok o zdaěí: , 0 0,85 = 175 Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých roků: , 0 0,85 = , 0 0,85 = 5175 o 1. roce: ( ) o. roce: všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci roku (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího roku budou se z ich očítat úroky ,85 0,85 Úrok o zdaěí, který zalatí baka za rok: ( ) Peíze a účtu o. roce: 50000( 1+ 0,85) - jistia z ředchozího roku + ( + ) ( + ) 50000( 1+ 0,85) 0,85 - úrok v druhém roce , ,85 0,85 = ( + ) ( 1 0,85) 50000( 1 0,85) = ,85 + = + o. roce: všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci druhého roku (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího roku budou se z ich očítat úroky Úrok o zdaěí, který zalatí baka za rok: 50000( 1+ 0,85) 0,85 Peíze a účtu o. roce: 50000( 1+ 0,85) - jistia z ředchozího roku ( 1+ 0,85) 0,85 - úrok v druhém roce ( + ) + ( + ) 0,85 = , ,85 ( + 5) ( 1 0,85) 50000( 1 0,85) = ,8 + = + o -tém roce: 50000( 1+ 0,85) kokrétě o 5-tém roce: 50000( 1+ 0, 0 0,85) 5 = 56708,50 O moc více jsme evydělali. Pokud uložíme do baky částku I 0 a let s ročí úrokovou mírou rocet a úrokovacím obdobím 1 rok. Pak o letech ři 15% zdaěí usoříme I = I ,

Úrok, který zalatí baka za 1 rok: 50000 = 1500 Úrok o zdaěí: 50000 0, 0 0,85 = 175 Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých roků: 50000 + 50000 0, 0 0,85 = 50000 1+ 0, 0 0,85 = 5175 o 1.

4 Př. 5: Jakou částku by Pavel ašetřil, kdyby eíze za odmíek z ředchozího říkladu (50 000, ročí úroková míra %, úrokovací období 1 rok) uložil a 0 let? Jakou částku by ušetřil, kdyby úroková míra stoula a 4,5%? Sořeí dvacet let oužijeme stejý vzorec, změíme = 0 : I = I ( ) ,85 = , 0 0,85 = 87, úrok 4,5% oužijeme stejý vzorec, změíme = 4, 5 4,5 I = I ,85 = ,85 = 10597, Pokud by Pavel uložil své eíze a 0 let asořil by 87,80, okud by úrok dosáhl 4,5% ušetřil by za 0 let 10597,50. Jak se změí Pavlovo sořeí z říkladu 4 říklad okud úrokovacím obdobím ebude rok, ale jede měsíc? Př. 6: Pavel uložil u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 měsíc. Kolik zalatí baka Pavlovi a úrocích za jede rok? Kolik zbude o zdaěí? Pavel bude mít eíze uložeé v bace o dobu ěti let. Úroky baka řiisuje ke vkladu. Urči jeho majetek vždy a koci roku. 0 Stejý ostu jako v ředchozím říkladu, ale očítáme o měsících. Úrok, který zalatí baka za 1 měsíc: = 15 1 Úrok o zdaěí: ,85 = 106, 5 1 Nyí očítáme Pavlův majetek a koci jedotlivých měsíců: o 1. měsíci: ,85 = ,85 = 50106, o. měsíci: všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci 1. měsíce (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího měsíce budou se z ich očítat úroky Úrok o zdaěí, který zalatí baka za měsíc: 1 1 Peíze a účtu o. měsíci: - jistia z ředchozího měsíce úrok v druhém měsíci ,85 + 0,85 = , 0 0, 0 = 1+ 0,85 = ,

Sořeí dvacet let oužijeme stejý vzorec, změíme = 0 : I = I ( ) 0 0 1+ 0,85 = 50000 1+ 0, 0 0,85 = 87,80 100 úrok 4,5% oužijeme stejý vzorec, změíme = 4, 5 4,5 I = I 0 1+ 0,85 = 50000 1+ 0,85 = 10597,

5 o. měsíce: všechy eíze, které byly a Pavlově účtu a koci druhého měsíce (včetě řisaých úroků), jsou jistiou do dalšího měsíce budou se z ich očítat úroky Úrok o zdaěí, který zalatí baka za měsíce: 1 1 Peíze a účtu o. měsíci: 1 - jistia z ředchozího měsíce + - úrok v druhém měsíci 1 1 0, ,85 + 0,85 = = 1+ 0,85 = , o -tém měsíci: 1 kokrétě o 5-tém roce (tedy o 60 měsících): ,85 = 56791, 60 1 Zisk ze sořeí je větší ouze o 8,1 (úroky, které baka také úročí se a Pavlově účtu objevily dříve) Vzorec ro výočet asořeé částky ři složeém úrokováí můžeme oužívati v říadě, že úrokovací období eí jedoročí. Ročí rocetí úrokovou míru však musíme ahradit rocetí úrokovou mírou za daé úrokovací období a očet let očtem úrokovacích období. Př. 7: Pavel uložil u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou %. Úrokovací období vkladu je 1 de (jak je běžé a běžém účtu). Jakou částku ašetří Pavel za ět let? Přestuost ěkterého z roků zaedbej. 60 Použijeme vzorec I = I , I 0 = = (% za rok, rozdělím a 65 dí) 65 = 5 65 = 185 Výočet I = I ,85 = ,85 = Částka se roti měsíčí úrokové době zvýšila, ale ouze o velmi málo

měsíci: 1 - jistia z ředchozího měsíce + - úrok v druhém měsíci 1 1 0, 0 50000 1+ 0,85 + 0,85 = 1 1 1 = 1+ 0,85 = 50000 1+ 0, 85 1 1 1 o -tém měsíci: 1 kokrétě o 5-tém roce (tedy o 60 měsících):

6 Př. 8: Pavel uložil svému syovi ři jeho arozeí u baky a termíovaý vklad s ročí úrokovou mírou,5% s ůlročím úrokovacím obdobím. Jakou částku bude mít sy k disozici ve věku 18 let? Použijeme vzorec I = I , I 0 = ,5 = (,5% za rok, rozdělím a ůlroky) = 18 = 6,5 Výočet I = I ,85 = ,85 = , Pavel ašetří syovi k 18 arozeiám ,80. 6 Př. 9: Jaký úrok by musela baka oskytovat u úvěru z ředchozího říkladu, aby se výsledá ašetřeá částka rovala ? Použijeme ředchozí rovici, výsledá částka je 00000, ezáme rocetí sazbu: I = I ,85 = ,85 = ,85 = = ,85 = ,85 = = ( 1) = 7, 9 0,85 Aby Pavel za 18 let ašetřil musel by uložit a vklad s úrokem 7,9. Př. 10: Petáková: straa 71/cvičeí 6 6 Shrutí: 6

I 0 = 100000,5 = (,5% za rok, rozdělím a ůlroky) = 18 = 6,5 Výočet I = I 0 1+ 0,85 = 100000 1+ 0,85 = 170157,80 100 100 Pavel ašetří syovi k 18 arozeiám 170 157,80. 6 Př.

Podobné dokumenty

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování 8..1 Vklady, jedoduché a složeé úrokováí Předoklady: 81 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží