1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

Transkript

1 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část Defiice základích pojmů Náhodý pokus je každý proces, jehož výsledek je při jiak stejých počátečích podmíkách ejistý; výsledek ejsme schopi s jistotou předpovědět; možiu všech možých výsledků áhodého pokusu ozačujeme Ω. Náhodý jev je jev A je podmožia možiy Ω (A Ω; áhodé jevy začíme velkými latiskými písmey z počátku abecedy A,B,C,... ; celá možia Ω je jev jistý; prázdá možia je jev emožý. Elemetárí jevy jsou ω i jsou miimálí jevy růzé od jevu emožého (ω je elemetárí jev: A ω (A ω ebo (A ; elemetárí jevy jsou párově eslučitelé (ω 1, ω 2 růzé elemetárí jevy, pak ω 1 ω 2 ; každý jev A lze vyjádřit jako možiu elemetárích jevů (A {ω 1, ω 2,... }. Operace s jevy, protože jevy mají charakter moži, můžeme je graficky zázorňovat pomocí Véových diagramů A B rovoceé jevy Ā (ebo Ac ebo A Ω\A jev opačý, doplěk jevu A B jev A je podjevem jevu B A B průik jevů,jev A a zároveň jev B A B sjedoceí jevů, jev A ebo jev B (ebo oba jevy A\B rozdíl jevů, platí jev A, ale ikoliv jev B A B jevy disjuktí, jevy eslučitelé A i Ω úplý systém jevů záko jediečosti: A, B! A B a! A B záko komutativí: A B B A, resp. A B B A záko asociativí: (A B C A (B C resp. (A B C A (B C záko idetity: A A A, resp. A Ω Ω A Ω A záko komplemetu: A Ā Ω, resp. A Ā 1

2 záko distributiví: (A B C = (A C (B C resp. (A B C = (A C (B C de Morgaovy vzorce: A B A B, resp. A B A B obecěji echt A i, i = 1, 2,..., A jsou jevy A i A i, A i A i Defiice pravděpodobosti Pravděpodobost jevu - každému jevu A přiřazujeme reálé číslo P(A; pravděpodobost (ppst lze chápat jako předpověd poměrých četostí výsledků při mohoásobém opakováí daého pokusu; ppst lze chápat jako kvatitativí ohodoceí stupě jistoty. Existují růzé možosti matematického zavedeí pravděpodobosti - klasická ppst, geometrická ppst, statistická ppst a axiomatická ppst. Klasická defiice pravděpodobosti - předpoklady: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω N } možia možých výsledků pokusu je koečá a eprázdá (0 < N < ; N p 1, p 2, p 3,..., p N jsou ezáporá čísla splňující p i = 1; p 1 = p 2 = = p N = 1 všechy výsledky pokusu jsou stejě možé; N každý jev A lze popsat možiou jevů {ω i1, ω i2,..., ω ik } kde ω i jsou výsledky pokusu přízivé jevu A; pak kde P(A = N A N N A je počet výsledků přízivých jevu A N je počet všech možých výsledků Geometrická defiice pravděpodobosti - předpoklady Ω jsme schopi vyjádřit jako eprázdou omezeou oblast v R (apříklad pomocí omezeé přímky v R 1, omezeé plochy v R 2, omezeého tělesa v R 3 jev A jsme schopi vyjádřit jako podoblast oblasti Ω, pak P(A = λ(a λ(ω kde λ(a je míra oblasti A (délka, obsah plochy, objem tělesa a λ(ω je míra oblasti Ω (délka, obsah plochy, objem tělesa. 2

3 Vlastosti pravděpodobosti - pro všechy jevy A i, i = 1, 2, 3,... platí 0 P(A i 1 jsou-li A i a A j eslučitelé, potom P(A i A j = P(A i + P(A j resp. obecěji jsou-li A i, i = 1, 2,... eslučitelé, potom P( i A i = i P(A i P(Ω = 1, P( = 0 A i A j P(A i P(A j P(A i = 1 P(A i A i A j P(A j \A i = P(A j P(A i P(A i A j P(A i + P(A j P(A i A j = P(A i + P(A j P(A i A j Základí kombiatorické vzorce Pro určováí počtu možých výsledků používáme vzorce pro permutace, variace a kombiace. permutace prvků (kolika způsoby lze uspořádat tici prvků ; uspořádáí prvků skupiy M v daém pořadí počet permutací P =! pokud M se skládá z i 1, i 2,..., i k stejých prvků, je počet permutací P =! i 1!i 2!...i k! počet permutací s opakováím P = variace prvků kté třídy (kolika způsoby lze z tici prvků vybrat ktici, přičemž záleží a pořadí výběru počet variací V k =! ( k! počet variací s opakováím V k = k = ( 1... ( k + 1 kombiace prvků kté třídy (kolika způsoby lze z tici prvků vybrat ktici, přičemž ezáleží a pořadí výběru počet kombiací C k = ( k =! ( k!k! počet kombiací s opakováím C k = ( +k 1 k biomické číslo lze přibližě určit za použití Stirligovy formule pro určeí hodoty k! log k! log 2πk + k(log k log e 3

4 vlastosti kombiačích čísel ( ( k = k ( ( 0 = = 1 ( ( k + ( k+1 = +1 k+1 ( ( 0 + ( = 2 ( ( ( 1 ( = 0 4

5 1.2 Příklady studetů absolvovalo zkoušku z matematiky a fyziky. 82 studetů udělalo zkoušku z matematiky, 85 studetů zkoušku z fyziky, 77 studetů udělalo obě zkoušky. Určete: (a Kolik studetů udělalo zkoušku z fyziky ebo z matematiky? (b Kolik studetů eudělalo zkoušku z fyziky? (c Kolik studetů eudělalo zkoušku z matematiky? (d Kolik studetů udělalo zkoušku z fyziky a eudělalo zkoušku z matematiky? (e Kolik studetů udělalo zkoušku z matematiky a eudělalo zkoušku z fyziky? 2. Jev A spočívá v tom, že áhodě vybraé přirozeé číslo je dělitelé pěti a jev B v tom, že toto číslo má a posledím místě ulu. Určete, co zameají jevy (a A B; (b A B; (c Ā B; (d A B; (e A B. 3. Výrobek je v rámci výstupí kotroly podrobe třem růzým zkouškám. Jev A spočívá v tom, že výrobek obstojí při prví zkoušce, jev B spočívá v tom, že výrobek obstojí při druhé zkoušce a jev C v tom, že výrobek obstojí při třetí zkoušce. Vyjádřete v možiové symbolice, že výrobek obstojí (a je v prví zkoušce; (b v prví a druhé zkoušce, ale eobstojí ve třetí zkoušce; (c ve všech třech zkouškách; (d alespoň v jedé zkoušce; (e alespoň ve dvou zkouškách; (f maximálě ve dvou zkouškách. 4. Charakterizujte možiu elemetárích áhodých jevů pro áhodé pokusy (a hod dvěmi micemi; (b otočeí ruletou. 5. Kolik růzých čísel lze vytvořit z číslic 0, 1, 2, 3 a 4. (a smí-li každá z číslic být v čísle obsažea ejvýše jedou, [261] (b je-li počet stejých číslic v čísle eomezeý. 5 [ekoečě]

6 Obrázek 1: Příklad 8 - úloha o setkáí 6. V sérii 12 výrobků jsou 3 vadé. Kolika způsoby lze vybrat (a šest výrobků, [924] (b šest výrobků, všechy bez vady, [84] (c šest výrobků, z toho jede vadý, [378] (d šest výrobků, z toho ejvýše dva vadé, [840] (e šest výrobků, z toho alespoň dva vadé. [462] 7. V urě je 6 bílých a 3 čeré koule. Kolika způsoby lze z ury vytáhout 4 koule, mají-li mezi imi být alespoň dvě bílé? [120] 8. Úloha o setkáí: Dva přátelé (X a Y se domluvili, že přijdou a určité místo v době mezi poledem a jedou hodiou odpolede. Na místo přijde v tomto časovém itervalu každý z ich zcela áhodě a ezávisle a příchodu toho druhého. Každý bude čekat patáct miut a příchod druhého, e déle ež do jedé hodiy odpolede. Úkolem je určit ppst., že se za těchto podmíek sejdou. Pravděpodobost setkáí odpovídá podílu obsahu vyšrafovaé plochy vzhledem k celkové ploše a je P =

7 1.3 Literatura s dalšími příklady Trial KMA kapitola 30.1 Kombiatorika Trial KMA kapitola 30.2 Náhodé jevy Trial KMA kapitola 30.2 Defiice pravděpodobosti Polák, Josef: Středoškolská matematika v úlohách. Straa Reif, Jiří Kobeda, Zdeěk: Úvod do pravděpodobosti a spolehlivosti. Straa