STATISTIKA. Základní pojmy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATISTIKA. Základní pojmy"

Transkript

1 Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci v úvahu přicházejících statisticých jedote výběrové statisticé soubory obsahují část jedote záladího statisticého souboru Poud sledujeme ějaé jevy a malém počtu objetů, mohou být zísaé údaje začě zreslující, s jejich rostoucím počtem tedy roste vypovídací schopost statisticých údajů Statisticé zjišťováí úplé (vyčerpávající) zaměřeé a všechy jedoty záladího souboru, výběrové používá se, poud je záladí soubor příliš rozsáhlý Při áhodém výběru pa můžeme použít teorii pravděpodobosti dostatečě spolehlivým a přesým úsudům o charateru záladího souboru Statisticé jedoty prvy statisticého souboru, prvy možiy M Rozsah statisticého souboru počet prvů možiy M, M = Statisticý za - ohodoceí statisticé jedoty (je předmětem zoumáí), začí se x - jedotlivé údaje zau se azývají hodoty zau, začí se x, x,, x zay vatitativí hodoty zaů jsou vyjádřey čísly, zay valitativí hodoty zau jsou vyjádřey zpravidla slovím popisem Vždy je uté dopředu staovit (byť pouze ituitivě), jaých hodot mohou tyto zay abývat (taé tím usadíme zpracováí zísaých údajů) Př : Uvažujme statisticý soubor žáů třídy, sledovaé zay jejich tělesou výšu, počet sourozeců a barvu očí Prví dva zay jsou vatitativí, posledí je valitativí K jedotlivým zaům musíme ejdříve staovit možiy přípustých hodot: tělesá výša v celých cm, tedy přirozeá čísla; počet sourozeců přirozeá čísla a ula; barva očí hědá (H), modrá (M), zeleá (Z), šedá (Š), ostatí (O) Za/jedota ( Petr) (Pavel) 3(Eva) (Mila) 5(Klára) Tělesá výša Počet sourozeců 0 3 Barva očí H Z O H M Četosti a jejich rozděleí Uvažujme statisticý za, jež abývá hodot x, x,, x, de je rozsah uvažovaého statisticého souboru Nechť celový počet růzých hodot zau x je Absolutí četost hodoty zau x j počet statisticých jedote, jimž přísluší stejá hodota zau x j pro j =,,,, - ozačujeme ji j j= j = Relativí četost hodoty zau x j - podíl četosti j hodoty zau x j a rozsahu souboru, - ozačujeme ji ν j, - v praxi se vyjadřuje v procetech j= j =

2 Statistia /7 Př : Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly zísáy tyto výsledy:,, 0,, 3,,,, 3, 0,,,,, 3, 3, 0,,,,,, 0,,,,, 3, 3, Uspořádejte zísaé údaje do tabuly rozděleí četostí, vypočítejte relativí četosti a vyjádřete je v procetech Řešeí: Tabula rozděleí četostí a relativích četostí j 3 5 součet x j sledovaý za - počet dětí j ν j ν j [%] abs četost hodoty zau x j relat četost hodoty zau x j relat četost hodoty zau x j v procetech Supiové rozděleí četostí - používá se, poud je počet zjištěých hodot vatitativího statisticého zau začý Proto se blízé hodoty zau sdružují do supi (tříd) tvořeých obvyle itervaly (třídími itervaly) Hodoty zau, jež se dostaly do téhož itervalu, lze potom reprezetovat jediou hodotou středem itervalu (třídím zaem) Poz: K určeí vhodého počtu itervalů se užívá apřílad tzv Sturgesův vzorec: 3,3 log, de je rozsah statisticého souboru Př 3: Byly aměřey výšy 300 osob v mezích od 53 do 97 cm Navrhěte jejich rozděleí do supi (itervalů) a sestavte tabulu supiového (itervalového) rozděleí četostí Řešeí: Tabula supiového rozděleí četostí Itervaly výšy x (v cm) součet četostí Středy itervalů Četost (absolutí) Graficá zázorěí rozděleí četostí Pro velou ázorost a přehledost se pro zázorěí četostí používají ejrůzější grafy Uvedeme si ěoli ejběžějších typů (s dalšími se lze sezámit prostředictvím tabulových procesorů, apř MS Excel) Pro všechy uvedeé grafy budeme uvažovat ásledující datovou tabulu, ve teré je zazameáo rozložeí záme z matematiy: Záma z matematiy 3 5 Počet žáů Výsečový graf 8 Paprsový graf Počet žáů 5 3

3 Statistia 3/ Histogram - sloupcový graf Počet žáů Polygo - spojicový graf Počet žáů Polygo četosti eboli spojicový diagram zísáme spojeím bodů, jejichž prví (x-ová) souřadice je hodota zau, resp středu itervalu a druhá (y-ová) souřadice odpovídající četost Histogram četosti eboli sloupový diagram tvoří možia obdélíů (se záladami a ose x), jejichž obsahy jsou přímo úměré zázorňovaým četostem Je vhodý zejméa pro zázorěí supiového (itervalového) rozděleí četostí V ruhovém diagramu růzým hodotám zau odpovídají ruhové výseče, jejichž plošé obsahy jsou úměré četostem Př : Sestroj histogram a polygo četosti pro údaje z př 3 Charateristiy statisticého souboru A Charateristiy polohy (úrově) hodot zau eboli jeho středí hodoty - čísla, terá určitým způsobem charaterizují průměrou hodotu sledovaého zau Představují hodotu, olem íž je v jistém smyslu ejvíce soustředěo rozděleí četostí hodot zau - patří mezi ě aritmeticý průměr, mediá, modus, harmoicý průměr a geometricý průměr Aritmeticý průměr x hodot vatitativího zau x, x,, x určujeme jao podíl součtu hodot zau a jejich počtu (rozsahu souboru) x= x x x = x i Zvláštím případem je vážeý aritmeticý průměr, terý aždé hodotě zau přiřazuje určitou váhu (výzam), terá je reprezetováa oeficietem, jímž aždou hodotu ásobíme Často touto vahou bývá počet výsytů příslušé hodoty x= x x x = i x i Př 5: V laboratoři měřili apětí v eletricém obvodu s těmito výsledy (V):,7;,8; 3,0;,7; 3,0;,6;,8;,7;,7;,9 Určete průměrou hodotu apětí v obvodu x=,6,7,8,9 3,0 =,79 V 0 Př 6: Studet zísal v prvím pololetí z matematiy ásledující zámy: z průběžých testů,, 3, ; ze zoušeí, 5; ze čtvrtletích písemých prací, a za ativitu,, 5, 3, 5 Vyučující považuje zámy z průběžých testů a ze zoušeí dvarát výzamější ež za ativitu, zámy za čtvrtlety dvarát výzamější ež z průběžých testů Určete studetův studijí průměr x= =,76 5 Vlastosti aritmeticého průměru: přičteím, odečteím, vyásobeím ebo vyděleím všech hodot zau eulovým číslem se odpovídajícím způsobem změí taé aritmeticý průměr (apř zvětšíme-li všechy hodoty o, zvětší se aritmeticý průměr taé o ); rozdělíme-li soubor do supi, pa průměr celého souboru je vážeým průměrem supiových průměrů, přičemž jao váhy vystupují počty jedote v jedotlivých supiách

4 Statistia /7 Př 7: V 6 ročíu ZŠ jsou čtyři třídy; počty žáů a třídí průměry záme z matematiy jsou uvedey v tabulce Určete průměrou zámu z matematiy celého ročíu Třída 6A 6B 6C 6D Průměrá záma z matematiy,,8,33, Počet žáů x=, 8,8,33 3, 30 = 3, =, Geometricý průměr x G hodot vatitativího zau x, x,, x určíme jao -tou odmociu ze součiu hodot: x G = x x x Geometricý průměr se ve statistice užívá apř výpočtu oeficietů růstu ebo řetězových idexů V časových řadách, de data vyazují určitý tred, je zajímavějším uazatelem průměrý přírůste (úbyte) během sledovaého období Te bychom určovali jao aritmeticý průměr přírůstů jedotlivých úseů x i x i = x x 0 V praxi je vša výzamějším uazatelem průměré tempo růstu, tedy geometricý průměr podílů hodot za dvě po sobě jdoucí období: x G = x x x = x 0 x x x x 0 Př 8: Nezaměstaost se v Česé republice (resp v ČSFR) vyvíjela podle ásledující tabuly Určete průměré tempo růstu míry ezaměstaosti v ČR v letech Ro Míra ezaměstaosti 0,7%,07%,59% 3,5% 3,%,96% 3,58% 5,5% 7,39% 9,3% x G = 0 0,7,07,59 3,5 3,,96 3,58 5,5 7,39 9,3= 3,56 Harmoicý průměr x H hodot vatitativího zau x, x,, x určíme jao podíl rozsahu souboru a součtu převráceých hodot zau: x H = =: x x i, vážeý harmoicý průměr H = =: i x x x x x x i x Harmoicý průměr se používá pro měřeí úrově poměrých čísel, jao je rychost, výo, produtivita práce apod Vážeý harmoicý průměr pa použijeme vždy, dyž jao váha vystupuje veličia, terá v poměrém čísle figuruje v čitateli zlomu (uražeá dráha, objem produce, objem tržeb) Př 9: V určité dílě, v íž vyrábějí stejé výroby, byly aměřey šesti dělíům tyto časy potřebé e zhotoveí jedoho výrobu: 3,, 5, 6, 0, miut Určete dobu, teré je v průměru třeba e zhotoveí jedoho výrobu Řešeí: Výoy jedotlivých dělíů jsou velmi rozdílé, apřílad prví vyrobí za tutéž dobu čtyřirát více výrobů ež posledí, proto postrádá věcý smysl počítat aritmeticý průměr aměřeých časů Avša součet jejich převráceých hodot udává celovou část produce všech dělíů za miutu a tedy průměrá doba potřebá e zhotoveí jedoho výrobu je dáa harmoicým průměrem x H =6: =6: = = 5,3 mi Modus zau je hodota s ejvětší četostí Začíme Mod(x) Modus lze vhodě použít apřílad při určováí hodiy s dopraví špičou Mediá je prostředí hodota zau, jsou-li hodoty uspořádáy podle veliosti Při sudém počtu hodot se bere aritmeticý průměr dvou prostředích hodot Začíme Med(x) Mediá je užívá zejméa tehdy, dyž jsou v souboru zastoupey prvy s hodotami zau mimořádě odlišými oproti ostatím hodotám zau V těchto případech je mediá lepší charateristiou polohy hodot zau ež aritmeticý průměr Př 0: Družstvo má 0 čleů s ročími příjmy podle ásledující tabuly Ročí příjem v tisících Kč Počet čleů družstva Řešeí: Aritmeticým průměrem bychom určili průměrý ročí příjem 89 tis Kč Avša romě jediého člea mají všichi příjem mohem ižší, taže použití této veličiy asi eí příliš vhodé Vhodější charateristiou je mediá Med x = x 0 x =50 tis Kč

5 Statistia 5/7 B Charateristiy variability (mělivosti, rozptýleí) - čísla, terá charaterizují, ja se hodoty zau prvů souboru liší od zvoleé charateristiy polohy ( středí hodoty), resp od sebe avzájem - patří mezi ě variačí rozpětí, průměrá absolutí odchyla, rozptyl, směrodatá odchyla a variačí oeficiet Ja uazuje ásledující přílad, charateristiy polohy mohou ědy být zavádějící ebo alespoň zreslující Př : Mějme dvě řady čísel: 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 a,,, 8, 8, 8, 8, 5, 5, 5 Obě mají aprosto stejý aritmeticý průměr, mediá i modus, avša prví má hodoty mohem vyrovaější Čím větší je variabilita hodot zau, tím méě reprezetativí je aritmeticý průměr či jiá charateristia polohy (Lze říci, že charateristiy variability určují spolehlivost charateristi polohy; čím jsou meší, tím charateristiy polohy výstižěji popisují celý soubor) Iformaci o rozptýleí hodot zau olem aritmeticého průměru podává průměrá absolutí odchyla ebo lépe rozptyl, resp směrodatá odchyla Rozdíl mezi hodotou zau x j a zvoleou středí hodotou, apř aritmeticým průměrem x, se azývá odchyla hodoty zau x j od středí hodoty Je-li charateristiou polohy aritmeticý průměr, pa za charateristiu variability volíme zpravidla rozptyl Rozptyl je aritmeticý průměr druhých moci odchyle hodot zau od aritmeticého průměru (průměrá čtvercová odchyla od aritmeticého průměru): s x = x i x = x i x Druhá mocia v uvedeém vzorci je utá, eboť součet odchyle od aritmeticého průměru je ulový: x i x =0 Resp pro supiové rozděleí četostí poz ve vážeém tvaru s x = i x i x = i x i x Nevýhodou rozptylu je, že jeho jedoty eodpovídají jedotám hodot zau, ale jsou jejich druhými mociami Teto edostate odstraňuje směrodatá odchyla Směrodatá odchyla s x je druhá odmocia z rozptylu Výhodou směrodaté odchyly je, že charaterizuje variabilitu hodot zau v měřicích jedotách zau s x = x i x = x i x, resp s x = i x i x = C Charateristiy variability relativí (poměré) i x i x Chceme-li porovávat ěoli statisticých souborů, vedou absolutí charateristiy jao rozptyl ebo směrodatá odchyla epřehledým závěrům Jao bezrozměrá charateristia se ejčastěji používá variačí oeficiet Variačí oeficiet x je defiová jao podíl směrodaté odchyly a aritmeticého průměru sledovaého zau x = s x x, respetive v procetech = s x x 00% má-li hodota x i četost i,, hodota x četost, i =

6 Statistia 6/7 Př : Deset opaovaých měřeí jedé fyziálí ostaty dalo tyto výsledy:,;,0;,09;,;,0;,03;,03;,0;,05;,05 Určete aritmeticý průměr, směrodatou odchylu a variačí oeficiet Řešeí: x=,06; s x =0,0036 s x =0,037 ;v x =,8% Př 3: Porovejte difereciaci (vaiabilitu) mezd pracovíů dvou podiů a záladě údajů o jejich příjmech v tabulce: podi podi Měsíčí příjem x i (v Kč) Počet pracovíů i Hodiová mzda x i (v Kč) Počet pracovíů i Řešeí: Sledovaý statisticý za x (příjem pracovía) je vyjádře v obou podicích v růzých jedotách (měsíčí a hodiová mzda) K porováí variability mezd užijeme proto variačí oeficiety Postupě dostáváme pro podi x=775, s x = 558,6, =0,0, pro podi x=6,, s x = 5,9056, =0,367 Závěr: Difereciace (variabilita) mezd v podiu je ižší ež ve podiu D Koeficiet orelace Koeficiet orelace r popisuje míru závislosti dvou zaů x a y Nechť x, x,, x jsou hodoty zau x, y, y,, y hodoty zau y, pa oeficiet orelace r zaů x a y je r =, de = s x s y x i x y i y, s x= x i x, s y = y i y V defiici oeficietu orelace vystupují ve jmeovateli směrodaté odchyly s x, s y Aby defiice měla smysl, musí být s x 0, s y 0, což astává právě tehdy, dyž za x i za y ejsou ostatí Koeficiet orelace je bezrozměré číslo Vždy platí x Čím více se hodota r blíží, tím považujeme závislost x a y za větší ( V případě r = s rostoucími hodotami zau x rostou i hodoty zau y, v případě r = - aopa s rostoucími hodotami zau x lesají hodoty zau y) Př : Na oci a ročíu byli v matematice žáci lasifiovái zámami, jež jsou uvedey v tabulce Vypočtěte oeficiet orelace mezi těmito zámami Počty žáů Záma a oci ročíu 3 Záma a oci ročíu Řešeí: Výpočtem podle uvedeého vzorce vychází r = 0,6

7 Statistia 7/7 Průměr, modus, mediá, grafy P 75/68 V testu při zoušce dostalo 5 studetů zámu, dalších 35 studetů dostalo zámu, zámu 3 dostalo 30 studetů, 5 studetů dostalo zámu a zbylých 5 studetů dostalo zámu 5 Vypočítejte průměrou zámu z testu, modus, mediá Výsledy testu zázorěte graficy [průměr,6, modus, mediá,5] P 75/66 Ve třídě A je 5 chlapců Údaje o výšce chlapců udává ásledující tabula: Výša (cm) Počet žáů 5 3 Vypočítejte průměrou výšu žáa, určete modus, mediá [průměr 5/3 cm, modus 67 cm, mediá 7 cm] P 75/67 Pa Dvořá jel automobilem prvích 0 m rychlostí 80 m/h, dalších 30 m rychlostí 90 m/h Vypočítejte průměrou rychlost jeho jízdy [85,7 m/h] 7/33 Házíme micí, až pade poprvé líc; za x udává, v oliátém hodu se ta stalo Opaováí tohoto pousu 00 rát dalo ásledující rozděleí četostí: čeáí a líc četost a) Vypočítej aritmeticý průměr, modus a mediá [průměr,95, modus, mediá ] b) Porovej relativí četosti s příslušými pravděpodobostmi (Návod: Pravděpodobost, že líc pade hed v prvím hodu, je /, že pade až v druhém hodu, / atd) [relativí četosti: 0,53; 0,; 0,3; ; pravděpodobosti: 0,50; 0,5; 0,5; ] Pravděpodobost opaováí P 7/57 V tombole je 30 ce (vyhrává 30 losů) Bylo prodáo 500 losů Pa Nová si oupil 3 losy Jaá je pravděpodobost, že a) a všechy tři losy vyhraje, [0,0006] b) vyhraje alespoň jedu ceu? [0,7] P 70/ a) Jaá je pravděpodobost, že při třech hodech jedou micí pade alespoň dvarát líc? [/] b) Jaá je pravděpodobost, že při hodu třemi micemi ajedou pade alespoň a dvou micích líc? [/] P 7/0 S jaou pravděpodobostí pade při deseti hodech jedou ostou alespoň třirát šesta? [0,5] Průměr, modus, mediá, grafy P 75/68 V testu při zoušce dostalo 5 studetů zámu, dalších 35 studetů dostalo zámu, zámu 3 dostalo 30 studetů, 5 studetů dostalo zámu a zbylých 5 studetů dostalo zámu 5 Vypočítejte průměrou zámu z testu, modus, mediá Výsledy testu zázorěte graficy [průměr,6, modus, mediá,5] P 75/66 Ve třídě A je 5 chlapců Údaje o výšce chlapců udává ásledující tabula: Výša (cm) Počet žáů 5 3 Vypočítejte průměrou výšu žáa, určete modus, mediá [průměr 5/3 cm, modus 67 cm, mediá 7 cm] P 75/67 Pa Dvořá jel automobilem prvích 0 m rychlostí 80 m/h, dalších 30 m rychlostí 90 m/h Vypočítejte průměrou rychlost jeho jízdy [85,7 m/h] 7/33 Házíme micí, až pade poprvé líc; za x udává, v oliátém hodu se ta stalo Opaováí tohoto pousu 00 rát dalo ásledující rozděleí četostí: čeáí a líc četost a) Vypočítej aritmeticý průměr, modus a mediá [průměr,95, modus, mediá ] b) Porovej relativí četosti s příslušými pravděpodobostmi (Návod: Pravděpodobost, že líc pade hed v prvím hodu, je /, že pade až v druhém hodu, / atd) [relativí četosti: 0,53; 0,; 0,3; ; pravděpodobosti: 0,50; 0,5; 0,5; ] Pravděpodobost opaováí P 7/57 V tombole je 30 ce (vyhrává 30 losů) Bylo prodáo 500 losů Pa Nová si oupil 3 losy Jaá je pravděpodobost, že a) a všechy tři losy vyhraje, [0,0006] b) vyhraje alespoň jedu ceu? [0,7] P 70/ a) Jaá je pravděpodobost, že při třech hodech jedou micí pade alespoň dvarát líc? [/] b) Jaá je pravděpodobost, že při hodu třemi micemi ajedou pade alespoň a dvou micích líc? [/] P 7/0 S jaou pravděpodobostí pade při deseti hodech jedou ostou alespoň třirát šesta? [0,5]

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko.

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko. Úol: Měřeí a trojfázovém trasformátoru aprázdo a aráto. 1. Změřte a areslete charateristiy aprázdo trojfázového trasformátoru 2,, P, cos = f ( 1) v rozmezí 4-1 V. Zdůvoděte průběh charateristi 2 = f (

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č. Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1.

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1. Katedra obecé eletrotechiy Faulta eletrotechiy a iformatiy, VŠB - TU Ostrava EERGETIKA U ŘÍZEÝCH EEKTRICKÝCH POHOŮ Předmět : Rozvody eletricé eergie v dolech a lomech. Úvod: Světový tred z hledisa eletricé

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ Ivestičí horizot IH: doba, po kterou má ivestor v daé ivestici vázáy své peíze. Při ivestici do dluhopisu jsme vystavei riziku změy výosů Uvažujme

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

STUDIJNÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ

STUDIJNÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ TF3: STATISTICKÁ FYZIKA STUDIJÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ PETR KULHÁEK PRAHA 5 FEL ČVUT PŘEDMLUVA Chceme-li popisovat chováí velého souboru moha stejých systémů (lasicým příladem je ply složeý z moha stejých moleul),

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

11a. Základní principy

11a. Základní principy Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 11 Kombiatoria (Počítáí Kombiatoria je aua o uspořádáí věcí, její důležitou součástí je schopost věci spočítat Deší podobu lze vystopovat do 17 století a vzhledem

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová Jihočesá uiverzita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rada Glücsmaová Česé Budějovice, rosiec 7 Na tomto místě bych ráda oděovala vedoucímu baalářsé

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI

PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI Přílad 0.6 Pracoví, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu Alfa Blatá s ěterým sledovaým

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více