PRAVDĚPODOBNOST ... m n

Transkript

1 RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy: rocesy, jejichž výsledek elze ředem jedozačě určit (je ejistý); závisí jedak a daých odmíkách, ři kterých je rovádě, jedak a áhodě. Teorie ravděodobosti se zabývá ouze áhodými okusy, které jsou za stejých odmíek oakovatelé a u ichž je mělivost výsledků odstatá a vykazuje určitou zákoitost. Hromadé áhodé jevy: výsledky oakovatelých áhodých okusů (symbolika,, C,...). ravděodobost áhodého jevu: ravděodobost áhodého jevu je číslo (), které lze iterretovat jako míru možosti astoueí áhodého jevu.! Eistují růzé defiice ravděodobosti: a) iomatická teorie ravděodobosti: ravděodobost je fukce, která každému áhodému jevu řiřazuje reálé číslo, řičemž musí být slěy ásledující aiomy ) 0 ) (...)... 3) E. (ro eslučitelé jevy) b) Klasická defiice ravděodobosti: ravděodobost jevu se rová odílu říadů řízivých astoueí jevu a očtu všech říadů možých, jsou-li všechy stejě ravděodobé. m kde m je očet říadů řízivých je očet říadů možých. c) Statistická defiice ravděodobosti: Jestliže ři rostoucím očtu oakováí áhodého okusu () m relativí četost kolísá ve stále užších mezích kolem určitého čísla, můžeme toto číslo ovažovat za ravděodobost jevu. relativí četost jevu m kde m je očet astoueí jevu je očet oakováí okusu. - odhad ravděodobosti áhodého jevu a základě výsledků, získaých ři mohoásobém oakováí áhodého okusu - tato defiice má aosteriorí charakter.

2 ravidla ro očítáí s ravděodobostmi odmíěá ravděodobost je odmíěá ravděodobost jevu vzhledem k jevu, tj. ravděodobost astoueí jevu za ředokladu, že astal jev., ro > 0, ro > 0. ravidlo o ásobeí ravděodobostí: ravděodobost současého astoueí jevů a (tz. jejich růiku) je rova součiu eodmíěé ravděodobosti jedoho jevu a odmíěé ravděodobosti druhého jevu vzhledem k rvímu jevu.. Zobecěí ravidla o ásobeí ravděodobostí ro dva a více jevů: 3 i i. Nezávislost jevů Jestliže, ak jev ezávisí a jevu. Jestliže, ak jev ezávisí a jevu. Nutá a ostačující odmíka (defiice) ezávislosti dvou jevů:. Zjedodušeí ravidla o ásobeí ravděodobostí ro ezávislé jevy: i i 3. ravidlo ro sčítáí ravděodobostí: ravděodobost sjedoceí jevů a je rova součtu ravděodobostí těchto jevů, zmešeé o ravděodobost jejich růiku.. Disjuktí jevy Jestliže 0, ak jevy a jsou disjuktí. Zjedodušeí ravidla ro sčítáí ravděodobostí ro disjuktí jevy:.

3 Náhodá veličia Náhodá veličia - veličia, jejíž hodota je jedozačě určea výsledkem áhodého okusu - vlivem áhodých čiitelů může abýt růzých hodot, roto elze její kokrétí hodotu řed rovedeím áhodého okusu jedozačě určit - symbolika, Y,... - říklady áhodých veliči: očet bodů, které adou a hrací kostce, očet oruch určitého zařízeí, doba čekáí a obsluhu v určité rodejě, atd.. Záko rozděleí áhodé veličiy: ravidlo, které každé hodotě ebo možiě hodot z každého itervalu řiřazuje ravděodobost, že áhodá veličia abude této hodoty ebo hodoty z určitého itervalu. Je to ravděodobostí model emirické áhodé veličiy. - áhodou veličiu okládáme za daou, okud záme všechy její možé hodoty a ravděodobosti výskytu každé z ich. ois rozděleí áhodé veličiy ) Diskrétí áhodá veličia Distribučí fukce: udává ravděodobost, že NV abude hodoty meší ebo rové. F t t ravděodobostí fukce: udává ravděodobost, že NV abude hodoty rové.! oz.:... rostor hodot NV, tj. možia možých hodot NV. ) Sojitá áhodá veličia Distribučí fukce F f t Hustota ravděodobosti f F! f d df d dt 3

4 Charakteristiky áhodých veliči - číselé hodoty, jejichž cílem je kocetrovat (zestručit) ois NV - výstižý ois základích vlastostí rozděleí NV. odle vlastosti rozděleí, kterou oisují, rozezáváme:. Charakteristiky olohy. Charakteristiky variability 3. Charakteristiky šikmosti 4. Charakteristiky šičatosti.. Charakteristiky olohy Středí hodota E = očekávaá hodota (z lat. eectatis) a) Diskrétí NV E b) Sojitá NV E f d odus ˆ a) Diskrétí NV - hodota NV, která má ejvětší ravděodobost výskytu (ejravděodobější hodota) ˆ... ma b) Sojitá NV - bod, v ěmž je hustota ravděodobosti maimálí, tj. lokálí maimum hustoty ravděodobosti f(). ˆ... f 0 Kvatily - oužívají se ředevším kvatily sojité áhodé veličiy. Hodota F je 00 %-ím kvatilem NV, jestliže ro i latí. - je hodota NV, kterou hodoty NV eřekročí s ravděodobostí 00 %. 4

5 5. Charakteristiky variability Roztyl D a) Diskrétí NV E D b) Sojitá NV d f d f d f E D Směrodatá odchylka D

6 Některá rozděleí áhodých veliči Rozděleí áhodé veličiy = ravděodobostí model chováí áhodé veličiy.. Rozděleí diskrétích áhodých veliči iomické rozděleí i - NV je očet výskytů áhodého jevu v ezávislých áhodých okusech, je-li ravděodobost astoueí jevu ve všech okusech stejá ( ) - rozděleí má arametry :... očet ezávislých okusů... ravděodobost astoueí sledovaého jevu v okusu. ravděodobostí fukce, = 0,,..., ; 0 < < 0 jiak. E D. Nař.: NV je očet šestek, které adou ři deseti hodech kostkou. oissoovo rozděleí o - NV je očet výskytů áhodého jevu v určitém časovém itervalu délky t (tz. za jedotku času), v jedotce lochy ebo objemu (v rostorové jedotce) - rozděleí má arametr :... středí hodota rozděleí. ravděodobostí fukce e!, = 0,,,...; 0 0 jiak. E D. Nař.: NV je očet oruch stroje za směu, očet telefoích hovorů za hodiu, očet vad a m koberce. roimace iomického rozděleí rozděleím issoovým odmíky: očet okusů musí být dostatečě velký (alesoň 30) a ravděodobost velmi malá (alesoň 0,). ři aroimaci udává () řibližou ravděodobost, že ve velkém očtu ezávislých áhodých okusů se sledovaý jev vyskyte -krát, je-li ravděodobost výskytu jevu v jedom okusu veli malá. Nař.: NV je očet vadých výrobků ve velké sérii, je-li ravděodobost výroby zmetku velmi malá. 6

7 Hyergeometrické rozděleí Hy N - oužívá se v říadě závislých okusů, tz. ři výběru bez vraceí - NV je očet vybraých rvků se sledovaou vlastostí ři závislých okusech - má 3 arametry : N... rozsah souboru, z ěhož vybíráme... očet rvků v základím souboru, které mají sledovaou vlastost... rozsah výběru ( = očet závislých okusů). ravděodobostí fukce E N N N N D. N N N oužití: Nař. ři kotrole jakosti u malého očtu výrobků ebo v říadě, kdy kotrola má ráz destrukčí zkoušky (výrobek je ziče).. Rozděleí sojitých áhodých veliči Eoeciálí rozděleí E - NV je doba čekáí do astoueí sledovaého jevu, může-li teto jev astat v kterémkoli okamžiku - arametr = očátečí doba, během které sledovaý jev astat emůže. / Hustota ravděodobosti : f e,, > 0, 0 0 jiak. e,. / Distribučí fukce : F E D. Nař.: NV je doba čekáí zákazíka a obsluhu v rodejě, doba realizace dvou o sobě jdoucích telefoích hovorů, doba životosti zařízeí, u ichž dochází k oruše z áhodých říči (e v důsledku ootřebeí). oužití: V teorii solehlivosti a životosti, v teorii hromadé obsluhy (tzv. teorii frot), v teorii obovy. 7

8 Normálí rozděleí N - je vhodé tam, kde kolísáí NV je zůsobeo velkým očtem eatrých a vzájemě ezávislých vlivů - klasickým tyem veliči, které se řídí tímto rozděleím, jsou áhodé chyby - omocí N lze za jistých odmíek aroimovat řadu jiých rozděleí, a to i esojitých. Hustota ravděodobosti : Distribučí fukce : f e, - < <, - < <, > 0 F t e dt, - < <. E D. - hustota ravděodobosti je zvoovitá křivka, symetrická odle a její tvar závisí a arametru - rozděleí N je jedovrcholové, vrchol je v bodě - = modus = mediá. Normováí NV s ormálím rozděleím: Výočet distribučí fukce ormálího rozděleí je obtížý, avíc by bylo uto očítat hodotu distribučí fukce ro každý seciálí říad (tj. ro růzá, μ, σ ), roto se z důvodů usaděí výočtu trasformuje áhodá veličia, která má ormálí rozděleí s arametry μ a σ, a ormovaou veličiu U, která má ormovaé ormálí rozděleí. Normovaé ormálí rozděleí N 0 - ůvodí NV, která má N ormujeme, tz. trasformujeme a NV U, která má N 0 - je tak zavedea ormovaá veličia U, která má ulovou středí hodotu a jedotkový roztyl - hodoty distribučí fukce a kvatilů N 0 je možo tabelovat. U, E U 0, U D. Vztah ro výočet F(): F u u Hustota ravděodobosti : u e, ro - < u < Distribučí fukce : u e dt u t. Tabulky ormovaého ormálího rozděleí Vzhledem k symetrii N 0 odle bodu u 0 latí: u u u u u u Z důvodu symetrie N 0 kolem 0 jsou tabelováy hodoty 0,5. u ouze ro u 0 a kvatily ouze ro 8

9 Rozděleí ěkterých fukcí áhodých veliči - mají zvláští výzam ro řešeí ěkterých matematicko-statistických úloh (viz. další výklad) - stejé začeí ro áhodé veličiy i jejich hodoty - v rai se oužívají ředevším kvatily těchto rozděleí, jsou tabelováy. Rozděleí - NV je součtem ν ezávislých NV s ormovaým ormálím rozděleím - rozděleí má arametr : ν... očet stuňů volosti - kvatily jsou tabelováy ro ν =,,..., 30 a ro vybraé ravděodobosti. U i i U U U Rozděleí Studetovo (t) t ν - NV t je odílem dvou ezávislých NV: NV U s rozděleím N 0 a NV s rozděleím - rozděleí má arametr : ν... očet stuňů volosti - kvatily jsou tabelováy ro ν =,,..., 30 a ro vybraé ravděodobosti - oužívá se ředevším ro výběry malého rozsahu ( < 30) - rozděleí je symetrické odle bodu t = 0, ro kvatily roto latí vztah t t. t U Rozděleí Fisherovo (Sedecorovo) - NV F je odílem dvou ezávislých NV: NV F ν ; ν s rozděleím a NV - má arametry: ν... očet stuňů volosti NV (v čitateli) ν... očet stuňů volosti NV (ve jmeovateli). s rozděleím F 9

10 Oerace s áhodými jevy - vztahy mezi áhodými jevy graficky zázorňují tzv. Veovy diagramy. Jev je částí jevu ; z jevu lye jev (imlikace); astoueí jevu má vždy za ásledek astoueí jevu.. Jevy a jsou si rovy; a současě. 3. C Jev C je růik jevů a (logický souči); jev C astae rávě tehdy, astae-li současě jev i jev. 4. C Jev C je sjedoceí jevů a (logický součet); jev C astae rávě tehdy, astae-li alesoň jede z jevů a. 5. C Jev C je rozdíl jevů a ; jev C astae rávě tehdy, když jev a současě jev eastae. 6. E je jev jistý Jev, který musí astat vždy. Ø je jev emožý Jev, který astat emůže. Kombiatorika ermutace! Variace bez oakováí V k! k! Variace s oakováím V k k Kombiace C k k! k! k! 0