Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Transkript

1 Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí fod. Praha& EU: Ivestujeme do vaší budoucosti doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 1/ 16

2 Krabičky doceta Habaly Růzé krabičky, stejé objekty Několik typických kombiatorických problémů lze vyjádřit jako rozdělováí objektů do krabiček. Příklad 1 Kolika způsoby je možé rozdělit stejých objektů do k růzých krabiček? Krabičkyočíslujeme1,2,...,kaumístěíobjektůdokrabičekvyjádříme umístěímoddělovacíchk 1 svislítek domožých +k 1pozic. Počet způsobů je tedy rove C+k 1,k 1 = +k 1 k 1 = +k 1. Máme-li apř. rozdat 10 stejých bobóů pěti dětem, pak to půjde udělat C10+5 1,10 = C10+5 1,4 = 1001 růzýmizpůsoby. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 2/ 16

3 Krabičky doceta Habaly Růzé krabičky, růzé objekty Příklad 2 Kolika způsoby je možé rozdělit růzých objektů do k růzých krabiček? Kroměkabiček1,2,...,kočíslujemetakéobjekty1,2,...,aecháme každýzobjektů,abysi vybral svojikrabičkuvždyzpléhopočtu k možostí. Početzpůsobůjetedyrove k. Kihovavyřazuje20růzýchkihamáaě10zájemců.Kolika způsoby může tyto kihy rozdat? Existujecelkem10 20 = možýchrozděleí etváříme se ale, že všecha jsou spravedlivá. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 3/ 16

4 Krabičky doceta Habaly Růzé a růzě veliké krabičky, růzé objekty Příklad 3 Máme krůzýchkrabičekachcememeziěrozdělit růzých objektůtak,abyvi-tékrabičcebylopřesě i objektů,kde k i=1 i=. Vyrobímesi 1 žetokůsčíslem1, 2 žetokůsčíslem2,..., k žetoků sčíslem kavytvářímepakvšechypermutacesopakováím prvkůz k. Počet možostí je! 1! 2! k! Pokud kapacita krabiček estačí a rozděleí všech objektůebo prostě echcemerozdělitvšechy,bude k i=1 i <. V takovém případě zevedeme fiktiví krabičku avíc, do které se vejde zbytek objektů. Počet rozděleí pak bude rove! 1! 2! k! i! doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 4/ 16

5 Krabičky doceta Habaly Růzé eprázdé krabičky, růzé objekty Příklad 4 Máme krůzýchkrabičekachcememeziěrozdělit krůzých objektů tak, aby žádá krabička ezůstala prázdá. Každý objekt dostae přiděleou ějakou krabičku, ale a každou krabičku musí ějaký vyjít. Tím je defiováo zobrazeí možiy objektů a možiu krabičeksurjektiví zobrazeí!, a takových je k 1 i=0 1i k i k i Kolika způsoby lze rozdělit 20 vyřazovaých kih a 10 zájemců spravedlivějším způsobem, aby žádý eodešel s prázdou? Existuje celkem 10 1 i=0 1i 10 i 10 i 20 = takových rozděleío ěco víc ež pětia původího počtu. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 5/ 16

6 Krabičky doceta Habaly Stejé eprázdé krabičky, růzé objekty Příklad 5 Máme kstejýchkrabičekachcememeziěrozdělit krůzých objektů tak, aby žádá krabička ezůstala prázdá. Postupujeme jako v předchozím případu s rozlišeím jedotlivých krabiček, poté ale zrušíme jejich očíslováí, což odpovídá spojeí všech k! permutací krabiček do jedoho výběru. Celkový počet tedy je rove S,k = 1 k 1 k! i=0 1i k i k i Čísla S, k se azývají Stirligova čísla druhého druhu. S, k tedy vlastě vyjadřuje počet růzých rozkladů -prvkové možiy do ktříd.takapř.početrozkladůčtyřprvkovémožiydotřítřídje S4,3 = 1 2 3! i=0 1i 3 i 3 i 4 = = = 6 doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 6/ 16

7 Krabičky doceta Habaly Počet rozkladů Zvolme X= {A,B,C,D}azkusmeejprvevytvořitvšecharozděleí využívající ejvýše 4 krabičky: [ ABCD] [ A BCD],[ B ACD],[ C ABD],[ D ABC] [ AB CD],[ AC BD],[ AD BC] [ A B CD],[ A C BD],[ A D BC],[ B C AD],[ B D AC], [ C D AB] [A B C D] Tato rozděleí představují postupě růzé rozklady čtyřprvkové možiy dojedé,dvou,tříačtyřtříd. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 7/ 16

8 Krabičky doceta Habaly Stejé krabičky, růzé objekty Jako předchozí případ, ale ěkteré krabičky mohou být prázdé. Příklad 6 Máme kstejýchkrabičekachcememeziěrozdělit růzých objektů. Rozdělujemepostupěpokudtolzedo1,2,...,k 2,k 1,kstejých eprázdýchkrabiček,tedyecháváme k 1,k 2,...,1,0krabiček prázdých. Neprázdých krabiček ovšem může být ejvýše. K j=1 S,j = K j=1 1 j! V předchozím příkladu jsme viděli, že j 1 i=0 1i j i j i,kde K=mi,k. S4,1=1, S4,2=7, S4,3=6, S4,4=1 takže máme celkem 15 možých rozděleí. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 8/ 16

9 Vlastosti kombiačích čísel Odhady kombiačích čísel a faktoriálu Připomíáme základí vlastosti: 0 =1, 1 =, 1 =, =1, k = k k = 1 k k k =! k! k! = 1 k+1 k! = 1 k+1 k! Biomický vzorecbiomická věta: x+y = k=0 k x k y k = k=0 k x k y k Zobecěím biomického vzroce dostaeme tzv. multiomický vzorec: x 1 +x 2 + +x m = m=! 1! 2! m! x 1 1 x 2 2 xm m Otázka pro zvídavé : Kolik čleů obsahuje součet a pravé straě multiomického vzorce? doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 9/ 16

10 Vlastosti kombiačích čísel Sčítáí kombiačích čísel Z biomického vzorce dostáváme 2 = 1+1 = Dále platí = eboť z biomického vzorce máme 0 = 1+1 = Kterézkombiačíchčísel k pro k=0,1,2,...,jeejvětší?zřejměto uprostřed /2 platíproějedoduchýodhad: 2 +1 /2 2 Oběerovostiplyouzbiomickévětypoužitéprovýraz Přesějšíodhadmátvar 2m 2 m 2m m 2 2m 2m doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 10/ 16

11 Vlastosti kombiačích čísel Sčítací vzorce 1 Šikové počítáí čleů v biomickém vzorci: k k k+1 = k+1, k x k y k k y k+1 x = k+1 x k+1 y k+1 x 20 x 2020 y 1 x =20x19 y 20x 1919 y 2 x =190x18 y 2 190x y x = 1140x17 y x Věta7 Pro k, N,k platí k k + k+1 k + k+2 k k = +1 y x =4845x16 y 4 k+1. Důkaz:Výrazvpravoudávápočetbiáríchřetězůdélky +1 obsahujícíh přesě k + 1 jediček. Jak to spočteme jiak? Posledí jedička zleva může být a pozici i=k+1,k+2,...,+1.prokaždoupozicijetřebavybratmístopro předchozích kjedičekaavýběrjezj= i 1=k,k+1,...,pozic, tedyvždyz j k možostí. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 11/ 16

12 Vlastosti kombiačích čísel Sčítací vzorce 2 Věta8 Vadermodeho idetita Pro k,m, N,k,k m platí k m i=0 i k i = m+ k. Důkaz:Uvažujmedvědisjuktímožiy A,Btakové,že A =ma B =. Na pravé straě je počet k-prvkových podmoži možiy A B.Kdyžvybereme iprvkůzmožiy A,pakmusímezbývajících k i dobratzb-takdostávámevzorecalevéstraě. Důsledkempředchozíhovztahuje,žepro N platí 2 i=0 i = 2. Zdůvoděí? doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 12/ 16

13 Vlastosti kombiačích čísel Odhad faktoriálu Jezřejmé,žeprofukci!platí! prokaždé 1proč?. Zkusíme teto odhad upřesit. Věta9 Prokaždé N + platí: /2! +1 2 Důkaz: Nejprve odvodíme platost horí meze. Platí! 2 = = = = i=1 i+1 i Odtud dostaeme! = i=1. i+1 i i= = +1 2 eboť ab a+b/2.podoběje! 2 = i=1 i+1 i i=1 = eboli! = /2. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 13/ 16

14 Vlastosti kombiačích čísel Příklad a odhad faktoriálunešetřil Příklad 10 Máme osob,každázichsizosudívytáhejedozčísel {1,2,...,}, zapamatujesijeavrátídoosudí.jakájepravděpodobost,žežádídva lidé emají totéž číslo? Jiak řečeo: jaká je pravděpodobost, že áhodě zvoleé zobrazeí možiy {1,2,...,}dosebebudepermutace? Všechzobrazeíje,permutacíjeje!,takžehledaá pravděpodobostje!/. Požitím horího odhadu pro faktoriál dostaeme! +1 2 e2 Vidíme, že pravděpodobost s rostoucím velmi rychle klesá. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 14/ 16

15 Vlastosti kombiačích čísel Přesější odhad faktoriálu Věta 11 Prokaždé N + platí: e e! e e. Důkaz:Dokážemejehorímezidukcí.Pro =1jsouobavýrazyrovy jedé, tedy mez platí. Nyí předpokládáme platost horí meze pro 1 1aodvodímeplatostpro : 1 1! = 1! e 1 Pravoustrauupravímeatvar [ e e druhému čiiteli: e 1 ] 1 e eapaksevěujeme = e 1 1 e e 1/ = e e 1 = 1. Využilijsmepřitomplatostivztahu1+x e x,kterýplatípro všecha reálá x. Stirligovaformule:! = 2π e 1+O 1. doc. Josef Kolář FIT ČVUT Kombiatorika- 3 ZDM, ZS 2011/12, Lekce 8 15/ 16