13 Popisná statistika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "13 Popisná statistika"

Transkript

1 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický soubor mají určité společé vlastosti tzv. idetifikačí zaky umožňující určit, zda prvek do daého statistického souboru patří ebo epatří. Idetifikačí zaky tedy soubor vymezují. Z hlediska cílů statistického zkoumáí sledujeme a prvcích statistického souboru (statistických jedotkách) jedu ebo více vlastostí sledovaé zaky. Pokud sledujeme pouze jedu vlastost, dostáváme jedorozměrý statistický soubor. Pokud sledujeme více vlastostí, dostáváme vícerozměrý statistický soubor. Na každé statistické jedotce tedy zjišťujeme hodotu ějakého statistického zaku X (hodotu áhodé veličiy X). Předpokládejme, že jsme získali čísla x 1,...,x, která tvoří tzv. soubor hodot. Počet prvků souboru je rozsah souboru. Soubor hodot x 1,...,x je třeba odlišit od možiy {x 1,...,x },vsouboru hodot se mohou ěkterá čísla opakovat. Ve většiě případů je možo pracovat s celým souborem x 1,...,x, zejméa díky výkoým počítačům. Je-li velké, je ěkdy výhodé provést tzv. tříděí, kdy údaje uspořádáme do přehledého tvaru, utvoříme tzv. tabulku rozděleí četostí (četostí tabulku, tabulku skupiového resp. itervalového rozděleí četostí). a) Rozděleí četostí Je-li zak X diskrétí s malým počtem hodot a 1 < <a k, které byly zjištěy a statistických jedotkách (říkáme, že X má málo variat), určíme četostí tabulku takto: a j a a k j k kde j je počet, kolikrát se vyskytla hodota a j,j =1,...,k, v souboru hodot x 1,...,x.Zřejmě k =. Číslo j je tzv. (absolutí) četost hodoty a j vsouboru. Např. zkoušeí studeti získali tyto zámky: 1, 2, 2, 1, 3, 2, 4, 4, 2, 1, 2, 3. a j j

2 b) Itervalové rozděleí četostí Je-li X diskrétí zak, který má moho variat ebo zak spojitý, rozdělíme obor hodot tohoto zaku a vhodé disjuktí itervaly, apř. I 1 =(,c 1, I 2 = (c 1,c 2,..., (c k 1, ). Ozačme j počet čísel za statistického souboru x 1,...,x, které patří do itervalu I j, j =1,...,k.Opět k =. Čísla j, j =1,...,k jsou tzv. (absolutí) itervalové četosti. Itervaly je možo volit růzými způsoby, uvedli jsme pouze jedu z možostí. Obvykle se řídíme řídíme těmito pravidly: (1) každé číslo ze souboru x 1,...,x lze zařadit právě do jedé třídy (zařazováí je jedozačé); (2) počet tříd k< volit tak, aby tříděí bylo přehledé (aby tříd ebylo příliš moho), ale zase aby se ám příliš ezjedodušil pohled a data (je-li tříd velmi málo). Pro učeí počtu tříd se d oporučuje jede z těchto vzorců: a) k 5log b) k =. c) (Sturgesovo pravidlo) k =1+3.3log = l (doporučuji) Tímto číslem se řídíme je přibližě, zpravidla se volí itervaly stejé délky. Je třeba dbát a to, aby středy tříd byla okrouhlá čísla. V každém itervalu se volí jedo číslo, které ve výpočtech zastupuje všechy hodoty zaku, které do itervalu patří. Toto číslo je tzv. zastupitelá hodota itervalu. Je-li iterval (c j 1,c j koečý, je obvykle zastupitelou hodotou střed tohoto itervalu a j = c j 1+c j. 2 Pokud je c 0 =, zvolíme zpravidla a 1 = c 1 c 2 c 1. Podobě pro c 2 k = volíme a k = c k 1 + c k 1 c k 2. Jiý postup pro určeí zastupitelých hodot krajích itervalů je teto: určíme miimálí resp. maximálí hodotu ve statistickém 2 souboru, tu pokládáme za dolí hraici prvího resp. horí hraici posledího itervalu. V těchto itervalech určíme středy a 1 resp. a k. Itervalová četostí tabulka má tvar iterval (c 0,c 1 (c 1,c 2 (c k 2,c k 1 (c k 1,c k a j a 1 a 2 a k 1 a k j 1 2 k 1 k Užívají se ásledující četosti: relativí třídí četost f j = j,,...,k, kumulativí třídí četost N j = j,,...,k, kumulativí relativí třídí četost F j = f f j,,...,k. 4

3 Pro zobrazeí utříděých dat užíváme ásledující statistické grafy 1. tyčkový graf, tyčkový diagram, sloupkový graf j a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 2. histogram: ad itervalem (c j 1,c j se kreslí obdélík, jehož výška je rova j resp. je úměrá j (emají-li itervaly stejou šířku, je plocha obdélíka ad daým itervalem rova číslu j ); j a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 3. polygo četostí: lomeou čarou se spojí body (a j, j ),,...,k. j a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 Podobými grafy lze zázorňovat také relativí četosti ebo kumulativí (absolutí i relativí) četosti. 5

4 Míry (charakteristiky) polohy Ve statistickém souboru potřebujeme často určit hodotu, kolem které se data soustřeďují, potřebujeme staovit jakýsi jejich střed. Těmto číslům říkáme míry resp. charakteristiky polohy, jsou to charakteristiky úrově zaku. Aritmetický průměr x = 1 x i, x = 1 k a j j. Pozámka 1. Podle ozačeí je zřejmé, že prví vzorec užíváme pro původí data, druhý vzorec pro data utříděá do četostí tabulky. Všechy další vzorce budeme uvádět v tomto pořadí. Vlastosti aritmetického průměru: (x i x) =0, resp. k (a j x) j =0, y i = x i + c, i =1,...,, c R 1 y = x + c, z i = kx i,,...,, k R 1 z = kx. Je-li statistický soubor rozděle do r dílčích souborů, v ichž záme aritmetické průměry x 1,...,x r apočtypozorováí 1,..., r, potom aritmetický průměr celého souboru určíme pomocí tzv. vážeého aritmetického průměru (vahami jsou rozsahy dílčích souborů) r 1 x = x i i r Při ručím zpracováí dat lze využít vlastosti aritmetického průměru a počítat v případě utříděých dat pomocí tzv. metody prozatímího středu (metody vhodě zvoleého počátku): zvolíme vhodé kostaty a (ově zvoleý počátek) a b (změíme měřítko, epočítáme s velkými čísly) a trasformujeme čísla x j, j =1,...,, tj. pracujeme s ovým statistickým souborem y 1,...,y. Výpočet provedeme pro ové přízivější hodoty a potom určíme aritmetický průměr původích dat. Příklad 1. y j = x j a b y = x a b x = a + by. x j j = 100 y j = x j y j j

5 y = 1 ( 20) = 0.2, x =10y = 10( 0.2) = Aritmetický průměr má tu evýhodu, že je ovlivě extrémími hodotami (jeda pětka zkazí průměr zámek studeta, který má jiak samé jedičky). Harmoický průměr se často užívá při charakterizováí úrově zaku, jehož hodoty lze vyjádřit jako poměr hodot dvou jiých proměých. Harmoický průměr má smysl pouze pro kladé hodoty zaku. Užívá se apř. v teorii idexů. x H = 1, x H = j 1 x i Geometrický průměr má smysl pouze tehdy, jsou-li hodoty zaku kladé. Užívá se apř. při výpočtu průměrého koeficietu růstu časové řady ebo v teorii idexů. x G = x 1 x, x G = (a 1 ) 1 (ak ) k Kvatily Nechť p (0, 1). p-kvatil x p,(p-tý kvatil) je ta hodota zaku, pro kterou platí, že ejméě 100p % čísel ve statistickém souboru je x p a ejméě 100(1 p) procet čísel ve statistickém souboru je x p. Např. číslo x 25 je určeo tak, že čísla ve statistickém souboru, která jsou meší ebo stejá jako x 25, tvoří 25 % a současě čísla, která jsou větší ebo stejá tvoří zbývající část statistického souboru, tj. 75 %. Číslo x 0.5 se azývá mediá, x 0.25 je dolí kvartil, x 0.75 horí kvartil, x 0.1, x 0.2,..., x 0.9 jsou tzv. decily, x 0.01,..., x 0.99 jsou tzv. percetily ebo procetily. Dolí kvartil, mediá a horí kvartil rozdělují uspořádaou řadu hodot zaku a čtyři stejě početé části, decily ji rozdělují a 10 stejě početých částí atd. Jak určíme p-kvatil? Soubor, ve kterém jsme eprováděli tříděí, je uto ejprve uspořádat od ejmeších hodot k ejvětším. Pro uspořádaý soubor užíváme ozačeí x (1),...,x (),tedy k i x (1) x (2) x (). Platí { x([p]+1), p [p], x p = x (p) +x (p+1), p =[p]. 2 Symbol [ ] začí fukci celá část. Pracujeme-li s četostí tabulkou, určíme ejprve tzv.kvatilový iterval, tj. iterval do kterého p-kvatil áleží. Je to iterval, do kterého patří prvek s pořadovým číslem z p = p + p (zaokrouhlujeme ahoru). Kvatil určíme podle vzorce x p = z p N p h p + c p, p 7 a j.

6 kde N p je kumulativí četost itervalu, který předchází kvatilový iterval, p je četost kvatilového itervalu, h p je délka kvatilového itervalu, c p je dolí hraice kvatilového itervalu. Ukažme si užití tohoto postupu a příkladu Příklad 2. (, 700 (700, 740 (740, 780 (780, 820 (820, 860 (860, 900 (900, 940 (940, ) P j N j Vypočteme mediá x 0.5,tj.p =0.5. z p = =58.5. Mediáový iterval je proto iterval, ve kterém leží prvek statistického souboru s pořadovým číslem 59, tj. iterval (740, 780. Proto x 0.5 = = Mediá se užívá tehdy, chceme-li odstrait vliv extrémích hodot. V literatuře se můžeme setkat s ázorým popisem polohy statistického souboru pomocí tzv. krabicového grafu (vousaté krabičky, [aglicky: box plot, box ad whisker plot]). V obdélíku je vyzače mediá příslušého statistického souboru, dolí a horí kvartil. Vousy ukazují hraice pro velmi ízké resp. velmi vysoké hodoty. Je-li h =max{x 1,...,x } >h= x ( x 0.75 x 0.25 ), kočí jede z vousů v bodě h;je-lid =mi{x 1,...,x } <d= x ( x 0.75 x 0.25 ), kočí druhý vous v bodě d. V opačých případech kočí vousy v maximu h pozorováí resp. v miimu d pozorováí. V grafu se vyzačují hodoty zaku, které leží mimo rozsah vousů, jsou to tzv. odlehlá pozorováí. y d x 0.25 x 0.50 x 0.75 h x Obr. 38 Pozámka 2. Při užíváí růzých statistických softwarů je třeba zjistit, co krabicový graf zázorňuje. Někdy sahají vousy k maximálímu resp. miimálímu pozorováí ebo ke kvatilům x 0.1 resp. x 0.9. Modus je ta hodota (variata) zaku, která má ejvětší četost, ozačíme ji ˆx; má smysl tehdy, je-li počet vzájemě růzých variat zaku X ve statistickém souboru podstatě meší ež rozsah souboru. 8

7 V itervalovém rozděleí četostí užijeme k určeí modu vzorec ˆx = a j h j+1 j 1, 2 j+1 2 j + j 1 kde a j je střed itervalu, který má ejvětší četost j, čísla j 1, j+1 jsou četosti sousedích tříd, h je šířka třídy Míry (charakteristiky) variability Statistické soubory se mohou lišit variabilitou (kocetrací) hodot kolem ějaké míry polohy. a) Míry absolutí variability (variačí) rozpětí R = x () x (1) ; kvartilové rozpětí R Q = x 0.75 x 0.25 ; Polovia této hodoty se azývá kvartilová odchylka průměrá odchylka d = 1 x i x 0.5, d = 1 k a i x 0.5 j. Někdy se v průměré odchylce místo mediáu používá aritmetický průměr. rozptyl [ ] s 2 x = 1 (x i x) 2 1 = x 2 i (x) 2, [ ] s 2 x = 1 k (a j x) 2 1 k j = a 2 j j (x) 2. směrodatá odchylka s x = s 2 x. Fyzikálě je směrodatá odchylka vyjádřea ve stejých jedotkách jako měřeé hodoty. Rozptyl i směrodatá odchylka jsou závislé a všech hodotách statistického zaku. Vlastosti rozptylu: y i = x i + c, i =1,...,, c R 1 s 2 y = s 2 x, y i = kx i,,...,, k R 1 s 2 y = k2 s 2 x. Je-li statistický soubor rozděle do r dílčích souborů o rozsazích 1,..., r a záme-li aritmetické průměry x 1,...,x r arozptylys 2 1,...,s2 r v těchto dílčích souborech, platí s 2 x = 1 r (x i x) 2 i + 1 r s 2 i i, 9

8 tj. rozptyl celého souboru je rove součtu rozptylu skupiových průměrů a průměru skupiových rozptylů. Při výpočtu rozptylu z četostí tabulky můžeme také užít metodu vhodě zvoleého středu. Zvolíme vhodá čísla a, b 0, určíme zastupitelé hodoty u j = a j a, vypočteme s 2 b y trasformovaých hodot y i = x i a, i =1,..., b aužijemevztah s 2 y = 1 b 2 s2 x. b) Míry relativí variability Variabilitu dvou ebo více souborů elze porovávat, liší-li se výrazě úroví zaku ebo jsou-li vyjádřey v růzých měrých jedotkách. Proto je uté užít relativí míry variability. variačí koeficiet V x = s x x, (ěkdy se V x ásobí 100 a vyjadřuje variabilitu v procetech). relativí kvartilová odchylka Q r = x 0.75 x 0.25 x x Míry (charakteristiky) šikmosti Tyto míry udávají, zda jsou hodoty kolem zvoleého středu rozložey souměrě ebo zda je rozděleí hodot sešikmeo, zda je asymetrické. Všechy dále uvedeé míry šikmosti jsou v případě symetrického rozděleí rovy ule. Čím víc se tyto charakteristiky liší od uly, tím je asymetrie rozděleí hodot větší. (mometový resp. výběrový) koeficiet šikmosti α = kvatilový koeficiet šikmosti 1 (x i x) 3, α = s 3 x 1 k (a j x) 3 j. s 3 x α p = ( x 1 p x 0.5 ) ( x 0.5 x p ) x 1 p x p, 0 <p<0.5. V symetrickém rozděleí spadá aritmetický průměr x, mediá x i modus x do jedoho bodu. Čím více se rozděleí četostí blíží symetrickému, tím méě se tyto charakteristiky odlišují. 10

9 Obr. 1 Schéma asymetrického rozděleí četostí zešikmeého záporě V asymetrickém rozděleí zešikmeém záporě platí x < x <ˆx. Neí-li asymetrické rozděleí příliš (extrémě) esouměré, je vzdáleost mediáu od aritmetického průměru většiou přibližě jedou třetiou vzdáleosti mezi modem a aritmetickým průměrem. Obr. 2 Schéma asymetrického rozděleí četostí zešikmeého kladě Míry (charakteristiky) špičatosti (mometový, výběrový) koeficiet špičatosti 1 β = (x i x) 4 3, β = kvatilový koeficiet špičatosti s 4 x 1 k (a i x) 4 j s 4 x 3. β p = x () x (1) x 1 p x p, 11 0 <p<0.5.

10 Koeficiet špičatosti měří stupeň kocetrace hodot kolem středu (stupeň kocetrace prostředích hodot) ve srováí s četostí ostatích hodot. Je-li podíl četostí prostředích hodot srovatelý s četostmi ostatích hodot, je rozděleí četostí ploché, β<0. Soubor s ízkou špičatostí často obsahuje hodoty velmi vzdáleé od středu. Čím je rozděleí špičatější, tím víc jsou hodoty soustředěy kolem středu. Sheppardovy korekce. Při itervalovém rozděleí četostí se při výpočtu (výběrových) cetrálích mometů m r = 1 k (a j x) r j, dopouštíme chyb (ahrazujeme všecha čísla z určitého itervalu jeho středem). V literatuře, apř. J. Aděl: Statistické metody, Matfyzpress, 1993, je dokázáo, že vypočteé hodoty lze opravit takto (h je délka itervalu) m 2 = m h2, m 3 = m 3, m 4 = m m 2h h4. Tamtéž je uvede obecý vzorec pro opravu m r Dvourozměrý statistický soubor Jestliže vyšetřujeme a každé statistické jedotce dva zaky X,Y, máme podobě jako v případě jedorozměrého statistického souboru dvě možosti: (1) pracovat se všemi daty, (2) data uspořádat do četostí tabulky. V případu (1) tvoří statistický soubor uspořádaých dvojic (x 1,y 1 ),...,(x,y ). Základí charakteristiky jsou aritmetické průměry a rozptyly x = 1 x i, y = 1 y i, s 2 x = 1 (x i x) 2, s 2 y = 1 (y i y) 2, kovariace s xy = 1 (x i x)(y i y) = [ 1 ] x i y i x y, korelačí koeficiet r xy = s xy s x s y = x i y i ( x i )( y i ) [ x 2 i ( x i ) 2 ][ y 2 i ( y i ) 2 ], je-li s x s y 0. 12

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

11. P o p i s n á s t a t i s t i k a

11. P o p i s n á s t a t i s t i k a 11. P o p i s á s t a t i s t i k a 11.1. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymázium, Šterberk, Horí ám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šabloa III/2 Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Ozačeí materiálu VY_32_INOVACE_Hor018 Vypracoval(a), de Mgr. Radek

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Statistika pro ekoomy Eduard Souček Statistika pro ekoomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

4. Základní statistické pojmy.

4. Základní statistické pojmy. 4. Základí statistické pojmy. 4. Úvodí iformace Statistika je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jim podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvisí se sběrem iformací o státu ( z latiského

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví)

ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví) PŘEMYSL ZÁŠKODNÝ RENATA HAVRÁNKOVÁ JIŘÍ HAVRÁNEK VLADIMÍR VURM ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací a zdravotictví) Vzik publikace byl ispirová myšlekami, pracemi a ávrhy výzamého sloveského vědce v oblasti

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více