OHYB(Deformace) Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek

Transkript

1 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek 4. Řešené příky Přík : Určete s využitím iferenciání rovnice průhybové čáry úhe ntočení průhyb v obecném místě 0, nosníkunobrázku,je-iáno:, b, q, E=konst.J z =konst.přiřešení respektujte vobu os, v) souřnicového systému vobu smysu ohybového momentu. 0 v) b Obr. q Řešení: A R A ϕ ) v )=v) b Obr. ϕ) q Pro uvžovný kný ohybový moment M) zvoený systém souřnic, v) má iferenciání rovnice průhybové čáry tvr v )= M). ) V nšem přípě je ohybový moment vyjářen rovnicemi M)=R A pro 0, M)=R A q ) pro,,) ke =br A = qb,vizobr..protobueprůhybováčárpopsánvěmiferenciáními rovnicemi. Řešením rovnic) metoou seprce proměnných, tj. přímou integrcí, ostneme postupně v jenotivých poích 0, : v )= R A,, : v )= R A q ζ, ) v )= R A C, v )= R A q D, 4) v)= R A C C, v)= R A q ζ 4 64 D D 5) Prozjenoušenívýpočtuzvome =ζpišmeáe M)=R A q ζ. ζ

2 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek vzthyproúhentočeníprůhyb.vnichsevyskytují4neznáméintegrčníkonstnty C ž D,kteréjenutnéurčitzokrjovýchpomínek. Z přepoku tuhé popory A bue Otu po oszení o vzthu pro průhyb bue teyvtomtointervu 0, proprůhybptí v)= v0)=0. 6) C =0 7) R A 6 C Vespoečnémboě,ke =obr.),musíbýtfunkceprůhybuspojitá, ). v )=v), 8) hkákřivk.toznmená,žeoběkřivky,zekterýchseskáá,musímítspoečnoutké tečnu, tj. v )=v ). 9) Po rozepsání této pomínky R ) A C její jenouché úprvě snno nhéneme, že = R A q ] 6 ) D C = D. 0) Ze spojitosti průhybové čáry8) po oszení ostáváme R ) A C = R A q ] )4 D D otu D =0 ) soheemn0).přituhépopoře bueokrjovápomínkpro = v)=0. ) Po její úprvě R A 6 q ] 4 )4 D =0 Zjenoušenýzpůsobzápisuprovýrzim v)=im v).

3 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek ostáváme zbývjící integrční konstntu D = ) RA qb4 6 4 = qb ) ] b. ) Nkonec, oszením o rovnic pro úhe ntočení4) průhyb5) s oheem n vypočítné integrční konstnty7),0),) ), nezneme po mé úprvě pro 0, : ϕ)= R ) A C = qb ) ] b ), 4) v)= R ) A C = qb ) ] b ), 5) 6, : ϕ)= R A q ) D ]= 6 = qb ) ] b ) ), 6) b ] v)= R A q )4 D = 6 4 = qb ) ] b ) ) 4. 7) b Přík : Určete s využitím iferenciání rovnice průhybové čáry úhe ntočení průhyb v obecném místě 0, 0,b nosníkunobrázku,je-iáno:, b, q, E=konst., J z = =konst.přiřešenírespektujtevobuos,v),v )souřnicovýchsystémůvobu směrů kných ohybových momentů. b 0 q 0 v) Obr. v )

4 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Řešení: A R A ϕ) q v)=v b) b Obr. ϕ b) R Přiřešenítohotopříkusiukážeme,ževpřípechnosníkůovoupoíchzeospětkvýseku jenoušeji než při vrintě řešení z příkutovhonouvobouvousystémů souřnic,v),v ),jkjeviětn obr.. Vsouusezánímzeteyprůběhohybového momentu vyjářit rovnicemi M)=R A pro 0, M )=R q pro 0,b, ) kerekce R A = qb rekce R = qb b ),přičemž =b,vizobr..průhybová čár nosníku bue opět popsán věm iferenciáními rovnicemi. Jejich řešením metoou seprce proměnných ostneme v jenotivých poích postupně 0, : 0,b : v )= R A, v )= R q, ) v )= R A v)= R A 6 C, v )= R C C, v )= R 6 Okrjovépomínkyvmístechtuhýchpopor =0 =0jsou Pomocí4) snno nhéneme, že Pomínkspojitostivřezu =,resp. = b,je q 6 D, ) q4 4 D D. 4) v0)=0 v 0)=0. 5) C =0 D =0. 6) součsně pomínk hkosti průhybové čáry v témže řezu je v)=v b) 7) v )= v b). 8) Zápornéznménkojevevzthuproto,ženezáviseproměnné, mjíopčnýsmys. Pomínkbyměbýtkorektněvyjářenvetvru v ) = v b).vuvžovných 4

5 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek soustváchsouřnicjenpř. v ) >0,epotommusíbýt v b) <0,tj. v ) =v ) v b) == v b).řešenímsoustvyineárníchgebrickýchrovnic7)8) R A 6 R A C = R b 6 C = R b qb4 4 D b qb 6 D proneznáméintegrčníkonstnty C D obržímepoúprvách C = qb D = qb ) ] b, 9) 4 b ) ] b ) 6. 0) Doszením vypočítných integrčních konstnt, vzthy6),9) 0), o rovnic pro úhe ntočení) průhyb4) obržíme po úprvě výsené závisosti pro 0, : ϕ)= qb b v)= qb 0,b : ϕ )= qb v )= qb ) ] ), ) ) ] b ), ) 4 b b 4 b b ) ) 6 ) ) 6 ) ) ) ] b ), ) b ) ) ) ] b ). 4) b Přík : Určete s využitím iferenciání rovnice průhybové čáry úhentočeníprůhybvobecnémmístě 0, nosníkunobrázku,je-iáno:, F, E=konst., J z =konst. Při řešení respektujte vobu os, v) souřnicového systému vobu kného směru ohybového momentu. v) F Obr. 0 5

6 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Řešení: ϕ)=0 v)=0 Obr. v) F ϕ) Pro uvžovný kný ohybový moment M) zvoený systém souřnic, v), obr., má iferenciání rovnice průhybové čáry tvr v )= M). ) Pro ohybový moment vyšetřený z voného konce nosníku ze psát M)=F pro 0, ) tuížeformcenosníkujemožnépopstpouzevjenompoi.doszením)o) postupným integrováním ostáváme v )= F, ) v )= F C, 4) v)= F 6 C C. 5) Okrjovépomínkybuemehetvmístěuožení,tj.vmístě =.Zpřepoku bsoutně tuhého vetknutí můžeme zřejmě psát Z první okrjové pomínky6) po oszení ) F C =0 určíme jenouše integrční konstntu v )=0 v)=0. 6) Zruhéokrjovépomínky6)pomocí C ) F 6 F C =0 pk vypočteme zbývjící konstntu C = F. 7) C = F. 8) Po oszení úprvě ostáváme výsený tvr funkcí popisujících eformce ceého nosníku ϕ)= F v)= F ) ], 9) ) ]. 0) 6

7 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Přík 4: Určete s využitím iferenciání rovnice průhybové čáry úhe ntočení průhyb v obecném místě 0, 0, nosníkunobrázku,je-iáno:,, q, E=konst., J z =konst. Přiřešenírespektujtevobuos,v),v )souřnicovýchsystémůvobusměru ohybových momentů. Řešení: q M)= q A R A Obr. pro 0, v) v ) q 0 0 ϕ A Obr. Při řešení tohoto příku ukážeme, jk je možné postupovt u nosníků s převisým koncem, jestiže pro výpočet použijeme iferenciání rovnici průhybové čáry. Zvome npřík vě soustvy souřnic,v),v ),jkjeviětnobr.. Soheemntutovobusouřniczeprůběh ohybového momentu vyjářit jko M )= R A q ) pro 0,, ) kerekce R A = q ),vizobr..průhybováčárnosníkubueteypopsán věm iferenciáními rovnicemi. Jejich řešením metoou seprce proměnných ostneme v jenotivých poích postupně 0, : 0, : v )= q, v )=R A q ), ) v )= q 6 C, v )=R A q ) D, ) ) v)= q4 4 C C, v )=R A 6 q 6 D D. 4) 4 Pročástnosníkumezipopormi,tj.nintervu 0,,musívzheemkpřepoku tuhých popor ptit v 0)=0 v )=0. 5) Po oszení o první z těchto okrjových pomínek ihne vypývá, že D =0. 6) 7

8 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Doszením o ruhé z nich q úprvou zjistíme integrční konstntu ) ) ) 6 q 6 D =0 4 D = q 6. 7) Protože souřnicové systémy mjí shonou orientci kných os, bue i veikost úhu ntočenívpopoře Astejná,přičemžjejíveikostmůžemeurčitzpomoci)7).Ptí v )=v 0)= D = q. 8) 6 Z této okrjové pomínky ) q 6 C = q 6 pk opočítáme integrční konstntu C = q ). 9) 6 Zbývjícíkonstntu C určímezpomínkyspojitostiprůhybovéčáryvpopoře A,ke ze zároveň přeepst i veikost průhybu v)=v 0)=0. 0) Pooszení C otohotovzthu ) q4 4 q4 6 q 6 C =0 náseném vyjáření integrční konstnty C = q4 8 4 ) můžeme po úprvě popst eformce nosníku, viz) 7), náseovně: 0, : ϕ)= q 6 v)= q4 8 0, : ϕ )= q 6 v )= q 6 4 ) ) ], ) ) 4 ) ) ] 4, ) 8 ) ], 4) ) ]. 5)

9 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Přík 5: Pomocí metoy momentových poch vypočítejte úhe ntočení průhyb v obecném místě 0, nosníkunobrázku,je-iáno:, M, E =konst.j z =konst.dáeurčete honotu mimáního průhybu. Při řešení respektujte vobu os, v) souřnicového systému. Řešení: A R A U A 0 v) v) ϕ ) M) M M Obr. Obr. ke R A = M jerekcevboě A,vizobr.. Nyní si přestvíme momentovou pochu jko fiktivní spojité obtížení nosníku, obr.. Stejně jko u skutečného nosníku musíme i ze vypočítt rekce. V nšem příkě bue postčovturčenípouzejenéznich,npř.fiktivnírekce U A.Tuvypočítámezmomentové pomínkykbou U A M M Chceme-i pro výpočet eformcí nosníku použít metoy momentových poch, musíme nejprve znát průběh vnitřního ohybového momentu poé nosníku. S oheem n vobu souřnicobr. ) ze vyjářit průběh ohybového momentu poé ceého nosníku jko { M0)=0, M)=R A ) M)=M, =0 U A= M 6. ) Poe efinice pro nosníky mezi popormi pk vypočítáme úhe ntočení průhyb v obecnémmístě 0, jko ϕ)= U A M) ] = M 6 M ] = M ) ], ) 6 ] v)= U A M) ] = M 6 M 6 = M 6 ) ]. 4) Veikost mimáního průhybu stnovíme s pomocí.erivce funkce4), která popisuje průhyb v. Tto erivce je všk přímo rovn funkci popisující úhe ntočení ϕ. Poožíme-i tey vzth) roven nue, M ) =0, 5) 6 9

10 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek ostneme kořeny této rovnice, = ±. 6) Soheemnefiničníobor 0, mávšksmyspouzekořen =. = ) O tom, že se jená skutečně o místo mimáního průhybu, se přesvěčíme pomocí.erivce funkce průhyb v )= M. 8) Doszením7)o8)zjistímereci v ) <0,cožjeůkz,žefunkce v)nbývávboě mim.mimáníprůhybjeteyroven v m = v )= M. 9) 7 Přík 6: Pomocí metoy momentových poch vypočítejte úhe ntočeníprůhybvobecnémmístě 0, nosníkunobrázku,je-iáno:, q, E=konst., J z =konst.dáeurčete honotu mimáního úhu ntočení průhybu. Při řešení respektujte vobu os, v) souřnicového systému vobuosy ξ. Obr.,ξ v) q 0 Řešení: q ϕ) v) ξ ξ Mξ) Obr. v m ϕ m ϕ)= Mξ) ξ= Ohybový moment vyšetřeme v závisosti n proměnné ξ 0,,přičemžjehoznménkobue respektovt směr n obr.. Ohybový moment je tey poe úmuvy Mξ)= qξ { M0)=0, M)= q. ) Ve shoě s efinicí pro nosníky vetknutéznménk stnovíme poe obr. ) pk můžeme vypočítt eformce v obecném místě nosníku jko qξ q ) ] ξ=, ) 6 0

11 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek v)= = q4 8 Mξ) ξ )ξ= ) ] 4 4 qξ ] q ξ 4 ξ )ξ= 4 ξ =. ) Mimání úhe ntočení průhyb ze snno vypočítt oszením o přechozích vzthů z =0.Pokunásezjímjípouzekonkrétníhonoty,zejevypočíttpřímo,tj. ϕ m = v m = 0 0 Mξ) ξ= Mξ) ξξ= V tom spočívá výho metoy momentových poch. Přík 7: 0 0 qξ qξ ξ= q 6, 4) ξξ= q4 8. 5) Pomocí metoy momentových poch vypočítejte úhe ntočení průhyb nosníku v místě působištěztěžujícísíy,je-iáno:,, F, E=konst., J z =konst.přiřešenírespektujte vobuos,v ),v)souřnicovýchsystémůnobr.. F 0 0 v ) v) Obr. Řešení: Postup řešení je zřejmý z obr.. Využijeme přitom metou pro výpočet eformcí nosníku mezi popormi nosníku vetknutého. Kromě toho využijeme zákon superpozice eformcí. Snno nhéneme, že průběh ohybového momenturespektujeme přitom zvoený směr kných momentů, obr. ) ze zobrzit ve shoě s obr.. Momentová poch v intervu 0, eformujenosníkmezipopormi.tímojekntočenípřeviséhokonce nosníku o honotu úhu ntočení v popoře, což můžeme zpst jko ϕ F = ϕ = U, ) ke U jerekcevpopoře nnosníkuztíženémmomentovoupochoumezipopormi. Tuto rekci vypočteme z momentové pomínky k bou A, U F =0 U = F. )

12 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek A M F F ϕ Obr. U vypočtemev souu s metoikou řešení vetknutých nosníků) ϕ F ϕ F ϕ F vf v F v F S přihénutím n vobu souřnicových systémů,obr.,pkmůžemeproúhe ϕ F, vizvzthy)),psát ϕ F = ϕ = F. ) Posunutí v F vboě = 0,kterénstnevivemtohotontočenívboě o eformce nosníku mezi popormi, bue v F =ϕ = F. 4) K uveeným eformcím nosníku n převisém konci se ještě superponuje eformce vstníhopřeviséhokonce.vboě =0 ϕ F = F = F v F = F F =. 5) Výsený úhe ntočení průhyb n konci převisé části nosníku potom ostneme součtem íčích eformcí ϕ F = ϕ F ϕ F = F ) v F = v F v F = F ). 6) Přík 8: Pomocí metoy momentových poch stnovte úhe ntočení průhyb nosníku v boech C D,je-iáno: =0.5m, b=0.m, c=0.4m, =0.m, q=0knm, M=5kNm, E=. 0 5 MP, J z =5 0 6 m 4. b c M q C D M Obr. Řešení: Při řešení eformcí nosníku pomocí metoy momentových pochmohrovy metoy) je nutné znát tvr momentové pochy opovíjící vnějšímu ztížení nosníku. Vzheem k tomu, že rozožení vnitřního momentu poé nosníku z obr. již byo vyšetřeno v rámci

13 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek řešených příků v kpitoe., využijeme těchto výseků použijeme i stejné znčení vobu poí, souřnic funkcí momentů, viz obr.. Funkce popisující rozožení ohybového momentu M v jenotivých poích mjí tvr: PoeI: 0, M )=M, ) PoeII:,c M )=M q ), ) PoeIII: c,bc M )=M qc qc ), ) PoeIV: bc,bc M 4 )=M qc qc ). 4) Průběhy těchto funkcí momentu jsou znázorněny n obr.. Princip metoy momentových poch spočívá v nogii iferenciání rovnice průhybové čáry se Schweerovou větou. Poku ztížíme tzv. fiktivnínáhrní) nosník spojitým fiktivním ztížením, jehož rozožení opovíá tvru výsené momentové pochy poé skutečného nosníku, můžeme pro úhe ntočení ϕ) průhyb v) v ibovoném místě nosníku poe Mohrovy metoy psát M) knm] ϕ)= T f ) v)= M f ), 5) ) ) ) ) ) ) ) ) II b c IV III I M q 8!!!!! 6 " " " " " " " " " " " # # # # # # # # # # # $ % $ % $ % $ % $ % $ % $ % & & & & & ' ' ' ' ' C Obr. M D ke T f ) M f ) postupně přestvují fiktivní posouvjící síu fiktivní ohybovýmomentvmístě.tytoveičiny určíme nogicky jko skutečné T M n skutečném nosníku, tj. metoouřezu.vtomtopřípěvšknebueme sčítt příspěvky skutečných vnějšíchsimomentůovnitřnísíy T momentu M po evé či prvé strně řezu, nýbrž přísušné účinky fiktivní. Znménková úmuv přitom zůstává stejná jko v přípě skutečného nosníku. Typ uožení fiktivního nosníku závisí n okrjových pomínkách úohy při řešení pomocí iferenciání rovnice průhybové čáry. V přípě nosníku vetknutého se jená opět o nosník vetknutý, všknopčnéstrně,tj.vnšempřípě vetknutý vprvo. Fiktivní nosník ztížený fiktivním ztížením opovíjící této úoze je spou s přísušnou znménkovou úmuvouboy C Dznázorněnnobr.. V náseujícím kroku vyšetříme eformce v boě C. Poe Mohrovy metoy, viz5), ptí: ϕc)= T f c) vc)= M f c), 6)

14 * * * * * * * * * * * * * * * * * * *,* -, -, -, -, -, -, / / / / OHYDeformce) Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek což ze formáně přepst o zkrácené pooby ϕ C = Tf C v C = Mf C. 7) C Fiktivníposouvjícísíu Tf C vboé Curčíme jko sumu všech fiktivních posouvjí- Obr. cíchsivevoořezuvboě Csvyužitím evé části znménkové konvence. Poe obr. ptí: T C f = M 4bc) M 4bc) M bc)b M c)b, 8) ke první v, resp. ruhé v, sčítnce přestvují obsh ichoběžník, který reprezentuje momentovoupochuvpoiiv,resp.vpoiiii.pooszenípřísušnýchhonotmomentů uveených n obr. přísušných rozměrů nosníku ostáváme T C f = ) )0.]= 4580Nm. 9) Fiktivníohybovýmoment Mf C vboě Cvyjářímejkosoučetmomentůvšechfiktivních momentových poch ežících vevo o řezu v boě C při respektování evé části znménkové konvence. Lze psát Mf C = M ) 4bc) b M ) 4bc) b M ) bc)b b M ) c)b b, 0) ke první v, resp. ruhé v, sčítnce přestvují moment fiktivní momentové pochy vpoiiv,resp.poiiii,křezuvboě C 4.Pooszeníostáváme Mf C = ) ) ] = 06.Nm. ) Veikostfiktivníchúčinků T C f M C f bybyosmozřejměmožnéurčittkéjkosoučet přísušných fiktivních účinků působících vprvo o bou C, všk v tom přípě bychom musei nvíc stnovit fiktivní rekce ve vetknutí fiktivního nosníku. Veikostposouvjícísíy,kteráopovíáspojitémufiktivnímuztíženívetvrumomentovépochy, je rovn obshu této momentové pochy; obsh ichoběžník by přitom určen jko součet obshů vou trojúheníků, n které ze tento ichoběžník rozěit. 4 Momentmomentovépochyreprezentujícífiktivníspojitéztíženíknémubou C určímejko moment fiktivní síy, která působí v těžišti momentové pochy její veikost je rovn obshu této pochy, k bou C; moment ichoběžníkové momentové pochy k bou C by přitom vyjářen jko součet momentů vou přísušných trojúheníkových momentových poch. 4

15 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Nyníjižmůžemevyčísithonotuúhuntočeníprůhybuvboě Cnémvzthy 7),resp.6).Spomocí9))honotzezánítkostáváme ϕ C = = r =. 0.5, ) 06.. v C = =.94 0 m=.94mm ) Všímkrokuřešenívyšetřímeeformcevboě D,tj.určíme ϕ D v D.Anogicky sevzthy7)zeprotytoeformcepsát M ) ϕ D = T D f v D = M D f. 4) Fiktivníposouvjícísíu Tf D fiktivnímoment Mf D vboě Durčímenogickyjko vpřípěbou C,tj.jkosoučetvšechpřísušných fiktivních účinků působících vevo D obou Dsvyužitímevéčástiznménkové Obr.4 konvence,vizobr.4.doposouvjícísíy Tf D ohybovéhomomentu Mf D musímenyníe zhrnouttkévivmomentovýchpochvpoiiii.příspěvekmomentovépochyvpoii o Tf D Mf Durčímesnno,uvěomíme-isi,žeúčinektohotofiktivníhospojitéhoztížení ze ekviventně nhrit siou působící v těžišti momentové pochyobr. 4), jejíž veikost je rovn obshu této pochy, tj. obshu obeník. Pro vyjáření příspěvku momentové pochy vpoiiio Tf D Mf D využijemevposttěstejnouúvhu.stčísitotižpouzeuvěomit, že momentovou pochu v poi II ze rozěit n konečný počet íčích obeníků šířky výšky M ),jejichžúčinekzeopětnhritsioupůsobícívtěžištitohotoeementu, jehožveikostjerovnobshueementu,tj. M ).VýsenýpříspěvekmomentovépochyvpoiIIo Tf D Mf D zetkvyjářitjkosoučetvšechtěchtoeementárníchúčinků fiktivníchsičifiktivníchmomentů),tj.jkointegrápřesinterv,c. Poevýšeuveenéhozeteypro Tf D psát T D f = M 4bc) c M 4bc) M bc)b M c)b M ) M ), 5) což po vyjáření přísušného integráu úprvě ze přepst o tvru Tf D = ) ) ] M 4 bc)m 4 bc) M bc)m c) b ) Mc qc M. 6) 6 5

16 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Po oszení vyčísení ostáváme Tf D = ) ) )0.] = 747.Nm. 7) Fiktivnímoment Mf D určímespomocíobr.přizveení =bcjko = M 4) ) M 4 ) ) M ) )b bc M ) c)b c bc M ) M ), 8) M D f cožpovyjářenípřísušnéhointegráu 5 poúprvězebezpoužití )veentvr Mf D = { ) M 4 bc) bc M 4 bc) bc )] ) )] } M bc) bc M c) bc b c ) Mc qc c 4 )] M. 9) Po oszení vyčísení ostáváme Mf D = { ) ) ] ) ) ] } ) ) ] = 56Nm. 0) Prohenéeformce ϕ D v D zepoe4)psát ϕ D = = 7. 0 r =. 0.4, ) 56. v D = = m= 5.6mm ) 5 Přiintegrci6)9)bypoužitsubstituce ζ= tuíž ζ=.potomostávámepro c c M )= M )= c c M M ] q ) = ] q ) = c M )ζ= qζ Mc qc 6, M qζ 0 c 0 ) c ) ζ ) ζ= Mc qc c 4 ). 6

17 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Přík 9: Pomocí metoy momentových poch stnovte úhe ntočení průhyb nosníku v boě C, je-iáno: =0.m, b=0.5m, c=0.m, =0.m, =60mm, H=40mm, F=0kN, q=0knm, E=. 0 5 MP : : : : : ; ; ; ; ; C b q Obr. Řešení: Tvr momentové pochy opovíjící vnějšímu ztížení uožení nosníku n obr. by již vyšetřen v rámci příku v kpitoe.. Výsené rozožení vnitřního momentu M poé nosníku spou s použitým oznčením poí, vobou souřnic rekcemi je znázorněn n obr.. Tuto výsenou momentovou pochu použijeme jko zák při vyšetřování eformcí nosníku metoou momentových pochmohrovou metoou). V jenotivých poích jsou funkce popisující rozožení momentu M ány přepisy: c F PoeI: 0, M )=R A, ) PoeII:,b M )=R A q ), ) PoeIII:,c M )=R F ), ) PoeIV: 0, M 4 )=R, 4) H C C C C C C C>? >? >? >? >? >? >? >? >? >? > A ) M ) P Q P Q A C U A < = < = < = < = < = < = b < = < = < = < = < = < II c I q III IV A C R A F R H H H H H H H H 77.7 M) Nm] F G F G F G F G F G F G F GDL EM DL EM DL EM DL EM DL EM DL EM DL EM DL EM DL EM DL EM DLH EM DLH H H H H H H I I I I I I I J K J K J K J K NOJ K J K J K J K J K J K K A@ A@ A@ A@ A@ A@ A Obr. U kerekce R A =4090.9NR = R A.Tyto momentové pochy nyní prohásíme z nové fiktivní ztížení nového, tzv. náhrníhofiktivního), nosníku. Vzheem k tomu, že skutečný nosník je poepřený n obou koncích, bue i nosník náhrní nosníkem n vou poporách, viz nogie okrjových pomínek iferenciání rovnice průhybové čáry Schweerovy věty. Fiktivní nosník ztížený fiktivním ztížením ve tvru výsené momentové pochyjeznázorněnvoníčástiobr..vivem působení fiktivního ztížení vznikjí v poporáchnosníkufiktivnírekce.oznčmeje U A U vomejejichsměrnpř.poeobr. Směr působení rekcí u fiktivního nosníku si můžeme stejně jko u skutečného nosníku zvoit). 7

18 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek PoeMohrovymetoymůžemeúhentočení ϕ C průhyb v C nosníkuvboě C vyjářit jko ϕ C = Tf C v C = Mf C, 5) ke J z jekvrtickýmomentprůřezukneutráníose.veičiny Tf C Mf C přestvujípostupně fiktivní posouvjící síu fiktivní ohybový moment v boě C jejich veikost ze určit pomocí metoy řezu, tj. veikost fiktivní posouvjící síyfiktivního ohybového momentu) působící v řezu v místě C určíme jko součet všech vnějších fiktivních posouvjících sifiktivních ohybových momentů) působících po evé, nebo prvé, strně řezu s využitím přísušné znménkové konvenceobr. ). Z poohy bou C z výsené momentové pochy jezřejmé,že Tf C Mf C zesnázeurčitjkosoučetfiktivníchúčinkůpůsobícíchvevoo bou C.Zryzecvičnýchůvoůvškurčíme Tf C MC f ipomocíúčinkůpůsobícíchvprvo obou C. Pokusčítámefiktivníúčinkypůsobícívevoobou C,můžemepro Tf C psát T C f = U A M ), 6) ke ruhý ze sčítnců přestvuje obsh momentové pochy v poi I. ueme-i sčítt fiktivní posouvjící síy působící vprvo o bou C, potom T C f = U M 4) c M ) b M ), 7) ke.,.4.sčítnecpřestvujepostupněobshmomentovépochyvpoiii,iiiiv. Druhý integrá v7) přitom můžeme ekviventně nhrit součtem obshů vou trojúheníkůsrespektovánímznménekfunkce M )),nkterézemomentovoupochu M ) rozěitviz obr. ). Fiktivnímoment Mf C vboě Curčímenogickyjkosoučetfiktivníchmomentůk boupoevéčiprvéstrněřezuvboě C.Pokusčítámeúčinkypůsobícívevo,zepsát M C f = U A M ), 8) keruhýsčítnecpřestvujemomentfiktivníhoztížení,kteréjepopsánofunkcí M ), k bou Cgeometricky toto přestvuje ineární moment momentové pochy v poi I k bou C).Přisčítánífiktivníchmomentůkbou Czprvéstrnybuefiktivnímoment Mf C = U bc) M 4) b ) cb c M )bc ) M ) ). 9) 8

19 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek Ve vztzích6) 8), resp.7) 9), figuruje ztím neznámáveikostí) fiktivní rekce U A,resp. U.Tytorekceurčímezpomínekrovnováhyfiktivníhonosníku.Poemomentovépomínkykbou ptíprovětšípřehenostefinujmeprmetr =bc) U A M ) ) b M ) ) c Povyjáření U A z0)povyčíseníostáváme: U A veikost U zmomentovépomínkykbou A,ke U M 4) ) c M ) ) b M ) M 4) =0. 0). =5.5Nm.Anogickyurčíme M ) M ) =0. ) Ztétorovnicepotomvypyne U. =85.98Nm.Poznmenejmeještě,žekontrousprávnostivyčísení U A U můžemeprovéstpomocísiovépomínkyrovnováhyfiktivních účinků ve svisém směru, která má tvr U A M ) b M ) c M ) M 4) U =0. ) Nyníjižmámeurčenéfiktivnírekce U A U zeteyopočíttveikostfiktivnísíy Tf C,resp.fiktivníhomomentu MC f,zevzthu6)nebo7),resp.zevzthu8)nebo9). Vyčísením ostáváme T C f. =8.6Nm M C f. =8.0Nm. ) Posenímkrokempřeurčenímeformcí ϕ C v C poevzthů5)jevýpočet J z pro zný průřez. Ptí J z = H =. 0 7 m 4. 4) Pooszeníhonotze)4)honoty Ezezáníovzthů5)ostáváme Přík 0: 8.6. ϕ C = =5 0 r =0.9., ) 8.0. v C = =. 0 m=.mm ) Pro nosník s převisými konci, obr., ke F = 5kN, = 0.m, Re = 00MP, E = 0 5 MP, k =.5, b =, c =, =, M = F, F = F, F = F D = 4 5,stnovtepomocímetoymomentovýchpochúhentočeníprůhybvboech C ž H,vizobr.,přičemž E= c H=. 9

20 M OHYDeformce) Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek b F c F R R R S S S D Řešení: Obr. Nosníknobr.byjižřešenvkpitoe.,kebyomimojinéproveenoimenzování J z =4864mm 4 )vyšetřenprůběhvnitřníhoohybovémomentupoénosníku,jehož chrkterjeptrnýzobr..zobrázkujezřejmé,žefunkcimomentuzejenoušepopst pomocí jeho veikosti v boech M) F knm].5 T U T T UT T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T U U T U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U T A D C Obr. E H G A: M A =.5kNm, : M = knm, C: M C =knm, F: M F =.5kNm, G: M G =0, ) přičemž mezi těmito boy je funkce momentu vžy ineární. Jestiže pro výpočet eformcí nosníku v konkrétním boě iv nšem přípě bueme z i oszovt postupně C ž H) využijeme Mohrovy metoy s pikcí n tzv. fiktivním nosníku,můžemeúhentočení ϕ i průhyb v i vyjářitjko V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ] ] ] ] b ] ] ] ] ] ] ] ] c ] ] ] ] ] ] e f U U U 4 X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z Z U A U A U ϕ i = T i f v i = M i f, ) U U U 5 U 6 Obr. keveičiny Tf i Mi f přestvujípostupněfiktivní posouvjící síu fiktivní ) ohybový moment vboě i.veikost Tf i M i f zeurčitpomocímetoy řezu, tj. veikost fiktivní posouvjící síy fiktivního ohybového momentu) působící v řezu vmístě iurčímejkosoučetvšechvnějšíchfiktivních posouvjících sifiktivních ohybových momentů) působících po evé, nebo prvé, strně řezu s využitím přísušné znménkové konvence. Tjeprotentopříkuveennobr..Při jejím oržení pk bue ptit, že kná honot průbybu bue opovít posunutí ného bouzpůvonípoohysměremoůkná honot úhu ntočení úhu pootočení střenice nosníku v ném boě ve směru otáčení hoinových ručiček. Fiktivnínosníky) 6,kterýjenutnépoužítvpřípěskutečnéhonosníkusevěmpřevisýmikonci,jeviětnobr..Soheemnučiněnoupoznámkujeáenutnépřivýpočtu uptnit metou uvoňování, obr., čímž v posttě ostáváme nosníky vetknuté 6 Veskutečnostisejenáotěesspojenávboech Aprostřenictvímkoubů. 0

21 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek nvoupoporách).nzákězákonkcerekcejenyníůežitéomístpůvoně spojenýchkoubypřipojitfiktivnírekceoznčenénpř. U A U.Njenomztěesmůže býtjejichsměrvoenvžyibovoně,nruhémtěesevškmusíbýtsměrvžyopčný.k vobě U A U mjísvisénositeky)ještěpoznmenejme,žesoheemnsměrfiktivního ztížení s oheem n uožení jsou všechny osové fiktivní účinky priori nuové. Při výpočtech pohížíme n průběh ohybového momentumometovou pochu) n skutečném nosníku jko n spojité fiktivní ztížení nosníku náhrního. S oheem n přehenost ších výpočtů bue účené nhrit toto spojité ztížení osměými fiktivními simi oznčmejenpř. U ž U 6 ),jejichžveikostjezgeometrickéhoheiskrovníčímpochám reprezentovným momentovou pochou. Nositeky těchto výsenic nvíc umístíme tk, by procházey jenotivými těžišti íčích poch. Zručíme tk ekvivenci cekového ztížení.přitomorientujme U ž U 6 vžyshoroů,bezoheunto,zjemomentové poch n či po střenicí skutečného nosníku. Výše popsná náhr spojitého ztížení osměýmifiktivnímisimijeviětnobr..zobrázkujetkézřejmé,žeprostnovení U ž U 4 jenutnéještěznátveikostúseků ef.tytoékyurčímesnnonpř. z geometrické poobnosti trojúheníků, které nezneme n obr.. Zjevně ptí M A e M f = M C b e = M C c f M A e= b=.5 M A M C.5 0. =0.086m,. ) M f= c= 0.4=0.4m. M M C 4) I pomocí těchto éek potom můžeme stnovit fiktivní síy U = M A e U = M Cb e) U = M Cc f) U 4 = M f = = ) = ) = 64.5Nm, 5) =4Nm, 6) =60Nm, 7) = = 60Nm, 8) U 5 = M A = = 00Nm, 9) U 6 = M = 0 0. = 00Nm. 0) Nežbuememociprovéstvýpočet Tf i Mi fvurčenýchboech Cž H,musímeještě určitveikostioboufiktivníchrekcí U A U.Tyzestnovitzpomínekrovnováhypouze n těese, které je ohrničeno boy A. Pro výpočet můžeme použít npř. momentovou pomínku rovnováhy k evému koncovému bou A U bc) U 4 bc f ) U b c f ) U b b e ) e U =0 )

22 Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek pomínku rovnováhy fiktivních si ve svisém směru U A U U U U 4 U =0. ) Doszením z) ž0), včetně znmének, o) ostneme po vyjáření vyčísení U. = 7.6Nm. ) Potéoszenímz5)ž0)),včetněznmének,o)ostnemepovyjáření vyčísení U A =77.Nm. 4) Nyní již nic nebrání tomu, bychom postupně stnovii veikosti vnitřních fiktivních si momentů v přeem vybrných boech. ueme přitom respektovt již zmiňovnou znménkovou konvenci zev, popř. zprv, to poe toho, ze které strny bue výpočet formáně jenoušší. Pro fiktivní posouvjící síu v jenotivých boech bue potom ptit T C f = U A U U = ) 4=7.6Nm, 5) Tf D = U A U = )=4.6Nm, 6) Tf E = U M c M f c c f = U M c f c ) = 4f = 7.6) ) =.4Nm, 7) T F f = U A U 5 =77. 00)=.9Nm, 8) T G f = U U 6 = 7.6) 00)=57.6Nm, 9) T H f = U M M = U 5 8 M = = 7.6) 5 ) 0 0. =94.Nm.. 0) 8 Anogicky můžeme psát pro fiktivní ohybový moment ve seovných boech = ) ) Mf C = U A b U b e ) b e U =.4Nm, ) Mf D = U A e U e= U A ) U e= 77. ) 64.5) =0.Nm., ) Mf E c = U M c c M f c c c f = U M c f c ) ] c f = = )] 0.4. =.9Nm, )

23 Mf F = U A U 5 = M G f = U U 6 = M H f = U M = OHYDeformce) Autoři: F. Páničk, M. Zjíček, V. Aámek U A U ) 5 U U 6 M ) = ) = ) 0.=4.58Nm, 4) 7.6 ) 00 0.=85.5Nm, 5) = U 4 ) 7 M =. =.0Nm. 6) Hené eformce snno opočítáme cykickým oszováním z i = C ž H ve vzthu),jestižejsouznámiveikosti E J z veikostifiktivníchsifiktivníchmomentů, vzthy5) ž6). Vyčísením tey postupně ostáváme ϕ C. =0.8 0 r. =0.06, v C. =0. 0 m=0.mm, 7) ϕ D. =.46 0 r. =0.084, v D. =0. 0 m=0.mm, 8) ϕ E. =.6 0 r. = 0.07, v E. = m= 0.0mm, 9) ϕ F. =.9 0 r. = 0., v F. =0.5 0 m=0.5mm, 0) ϕ G. =5.4 0 r. =0., v G. = m=0.88mm, ) ϕ H. = r. =0., v H. =0. 0 m=0.mm. )