Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2

Transkript

1 Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2 Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele,

2 Obsah Gaussova numerická integrace Některé typy často užívaných prvků Konvergence MKP Řešení soustav rovnic MKP Programy založené na MKP Petr Kabele,

3 Gaussova numerická integrace Pro výpočet prvkové matice tuhosti a vektoru uzlových sil je třeba po prvku či jeho hranici integrovat součiny derivací bázových funkcí a tuhosti, popř. bázových funkcí a zatížení. Pro složitější bázové funkce není účelné nebo možné provádět tuto integraci analyticky. Namísto toho se používá Gaussova numerická integrace. Princip Gaussovy numerické integrace spočívá v zavedení aproximace integrantu pomocí polynomu zvoleného stupně a následné integraci tohoto polynomu. f f (s 1 ) f (s 3 ) f (s 2 ) f -1 s 1 s 2 s 3 1 s Petr Kabele,

4 Hledaný integrál pak může být vyjádřen následovně: 1 1 n w f s f s ds i 1 i i n počet integračních bodů w i váha integračního bodu i (dána tabelárně, např. Bathe, 1996) s i souřadnice integračního bodu i (dána tabelárně, např. Bathe, 1996) Při použití n integračních bodů tento vzorec udává přesný integrál polynomu do stupně max. (2n-1). Petr Kabele,

5 Uvedený postup lze zobecnit pro integraci ve více dimenzích: 1 1 r 1s 1 n n, wiw j f ri, s j f r s dr ds i 1 j r 1 s 1t 1 n n n,, wiw jwk f ri, s j, tk f r s t dr ds dt i 1 j 1 k 1 Integrace se provádí v přirozených souřadicích (r, s,...) v intervalu -1,1. Proto je třeba skutečné rozměry i tvar prvku do těchto souřadnic transformovat. K tomuto účelu se často používají stejné funkce, jako pro aproximaci primární neznámé (bázové funkce) izoparametrické prvky. Petr Kabele,

6 Některé SA2: Structural typy Analysisčasto Techniques užívaných FEM II. prvků Přehled v této sekci vychází z implementace prvků v programu MKP ADINA. Jedná se o základní typy prvků, které jsou implementovány ve většině programů MKP. Nicméně jednotlivé programy mohou používat odlišné konvence pro např. směry, orientace a značení stupňů volnosti a uzlových sil, zatížení, výstupních veličin atd. Lišit se může též vlastní implementace či tvarové funkce ap. jednotlivých prvků. Konečný prvek (finite element) - podoblast, ve které zavádíme aproximaci primární neznámé (např. přemístění) pomocí bázových funkcí. Konečný prvek je definován: počtem geometrických dimenzí (liniový, rovinný, prostorový, ) počtem a uspořádáním uzlů (tvarem) použitými bázovými funkcemi počtem a typem stupňů volnosti v jednotlivých uzlech např. v Příkladu 1 B) jsme použili jednorozměrný liniový prvek se 2 uzly, ve tvaru úsečky, lineárními bázovými funkcemi a jedním stupněm volnosti (posunem) na uzel Petr Kabele,

7 Liniové prvky pro jednoosou napjatost příhradové a kabelové prvky (truss and cable elements) počet uzlů (tvar): 2 (úsečka), 3, 4 (obecná křivka) i zakřivený prvek přenáší pouze osovou sílu (kabel) globální stupně volnosti: posuny u, v, w ve 3-D (možno použít i pro 2-D, 1-D) počet integračních bodů: 1~4 po délce prvku (pro příhradu stačí 1) výstupní prvkové veličiny: m.j. deformace, napětí a síla v integračních bodechnumber of nodes (shape): 2 (line), 3, 4 (curve) použití: příhradové kce., kabelové kce., pružiny, výztuž v železobetonu (kompatibilní s prvky pro modelování 2D/3D kontinua) Petr Kabele,

8 Izoparametrické rovinné prvky pro rovinnou napjatost/rovinnou deformaci, osovou symetrii (isoparametric elements for 2-D continuum: plane stress, plane strain, axial symmetry) w v počet uzlů (tvar): 3~9 (zobecněný trojúhelník, zobecněný čtyřúhelník) globální stupně volnosti: posuny v, w v rovině y-z (!) bázové funkce: bilineární až kvadratické, podle počtu uzlů, např. Petr Kabele,

9 Trojúhelníkové prvky jsou vytvořeny zhroucením čtyřúhelníkových (uzly po jedné straně prvku zkoncentrovány do jednoho a bázové funkce upraveny). konstantní deformace Zhroucením prvku bez úpravy bázových funkcí lze vytvořit i prvky pro lineární elastickou lomovou mechaniku se singularitou deformace v okolí špičky trhliny ve tvaru 1 r zkoncentrované 3 uzly do jednoho r Petr Kabele,

10 počet integračních bodů: čtyřúhelníky 2 2 až 6 6 (standardně 2 2 pro čtyřuzlové, 3 3 pro ostatní) trojúhelníky 1 až 13 výstupní prvkové veličiny: m.j. deformace, napětí, plastické deformace, funkce plasticity v integračních bodech doporučení použití: 9 uzlový čtyřúhelník nejefektivnější 8, 9 uzlové prvky nejefektivnější pokud jsou obdélníkové s poměrem stran >1:10 3, 4 uzlové prvky nevhodné pokud je významný ohyb (např. ohýbaný nosník) Petr Kabele,

11 Příklad použití 2D prvků pro rovinnou napjatost (Evan Speer, SAHC student 2011/2012) Analýza historického zděného mostu určení mechanismu kolapsu klenby Petr Kabele,

12 Isoparametrické prvky pro 3-D kontinuum (isoparamatric elements for 3-D continuum) w u v počet uzlů (tvar): 4~27 (čtyřstěn ~ brick) globální stupně volnosti: 3 na uzel - posuny u, v, w Petr Kabele,

13 počet integračních bodů: to (typicky pro 8-uzlový, jinak 3 3 3) výstupní prvkové veličiny: m.j. deformace, napětí, plastické deformace, funkce plasticity v integračních bodech doporučení použití: v úlohách ve kterých je nutno popsat 3-osou napjatost 27-uzlový nejpřesnější ale početně nejnáročnější 20-uzlový obyčejně nejefektivnější 20-uzlový nejefektivnější pokud má tvar hranolu 4, 6, 8-uzlové prvky méně efektivní pokud je významný ohyb (např. nosník modelovaný jako 3-D kontinuum) Petr Kabele,

14 Příklad použití prvků pro 3D (Ximena Milia, SAHC student 2011/2012) Analýza historického zděného mostu lokální porušení klenby Petr Kabele,

15 Hermitovský prutový prvek (Hermitian beam element) prutový prvek založený na Bernoulli-Eulerově teorii použití v prostoru i v rovině počet uzlů (tvar): 2 (úsečka) stupně volnosti: 6 3 posuny 3 pootočení v rovině se použijí jen relevantní 2 posuny a 1 pootočení bázové funkce: kubické pro příčné posuny, lineární pro podélný posun a torzní pootočení možno zadat: tvar a rozměry průřezu (příp. průřezové charakteristiky) a materiálový model (i nelineární) a nebo vztah mezi momentem a křivostí a normálovou silou a protažením střednice (i nelineární navzájem závislé) Petr Kabele,

16 Isoparametrický prutový prvek (isoparamatric beam element) isoparametric prutový prvek založený na Timošenkově teorii použití v prostoru i rovině počet uzlů (tvar): 2 (úsečka), 3~4 (rovinná křivka) pouze obdélníkový průřez počet stupňů volnosti na uzel: 6 posuny 3 pootočení v rovině se použijí jen relevantní 2 posuny a 1 pootočení 2-uzlový vždy a 3~4 uzlový prvek pokud nejsou uzly rovnoměrně rozložny obvykle trpí tzv. smykovým zamykáním (shear locking) - smykové deformace nejsou aproximovány s dostatečnou přesností velmi tuhá odezva, nutná velmi jemná diskretizace doporučené použití: zakřivené pruty, konečné posuny (jinak je výhodnéjší Hermitovský prvek) Petr Kabele,

17 Přiklad: zamykání (locking) isoparametrických prvků iso rovinná napjatost w = iso prut w = Hermitovský prut w = přesné řešení Petr Kabele,

18 Příklad použití prutových prvků (Justin Hettinga, SAHC student 2008/2009) Analýza gotické střešní konstrukce deformovaný tvar normálová síla posouvající síla ohybový moment Petr Kabele,

19 Deskové prvky (plate elements) počet uzlů (tvar): 3 (trojúhelník) stupně volnosti: 6 na uzel 3 posuny and 3 pootočení superpozice membránového účinku (rovinná napjatost) a ohybu (deska) membránový účinek : 3 uzlový prvek s konstantní deformací, rovinná napjatost ohyb: prvek založený na Kirchhoffově teorii tenkých desek prvek nezohledňuje smykové deformace (Kirchhoffův předpoklad) prvek netrpí zamykáním vhodné použití: tenké desky a skořepiny výstupy: intenzity vnitřních sil v integ. bodech, uzlové síly aj. Petr Kabele,

20 Příklad použití stěnodeskových prvků (Achyut Khanal, SAHC student 2012/2013) Seismická analýza historické zděné budovy Petr Kabele,

21 Konvergence MKP Metoda konečných prvků obecně umožňuje přibližné numerické řešení úloh s okrajovými podmínkami Monotónní konvergence přibližně řešení se přibližuje přesnému matematickému řešení úlohy se zjemňováním diskretizace (zvyšováním počtu prvků). Aby byla zaručena monotónní konvergence, prvky musí být konformní (aproximační-bázové funkce musí splňovat jistá kritéria) přemístění přesné řešení MKP počet prvků Petr Kabele,

22 Rychlost konvergence závisí na velikosti prvků, stupni aproximačních funkcí a materiálových vlastnostech u u u k h 1 ch k 1 u... přesné řešené u h... přibližné řešení MKP h... typická velikost prvku k... stupeň úplného polynomu aproximace c... konstanta nezávislá na h, ale závislá na materiálových vlstnostech V důsledku toho, že zavedením aproximace omezujeme pole přemístění odezva vypočtená MKP založenou na aproximaci přemístění je tužší (menší přemístění) než je přesné řešení. Zde popisovaná konvergence se týká konvergence řešení v souvislosti s diskretizací konečnými prvky (na rozdíl od konvergence nelineárních úloh, kterou budeme diskutovat později). Petr Kabele,

23 Řešení soustav rovnic MKP Z předchozího odvození metody konečných prvků pro řešení úlohy mechaniky lze zobecnit následující závěry: řídící rovnice a okrajové podmínky vedou na soustavu lineárních algebraických rovnic ve tvaru Kd f kde K... globální matice tuhosti (známá, geometrie a materiál), d... globální vektor uzlových přemístění (primární neznámé), f... globální vektor uzlových sil (známé, zatížení). počet rovnic odpovídá počtu nepodepřených stupňů volnosti modelu (obvykle mnoho) matice tuhosti je však řídká (mnoho nulových prvků) a prvky lze uspořádat tak, aby byla pásová (prvky soustředěné podél diagonály) Petr Kabele,

24 matice tuhosti správně podmíněné úlohy je pozitivně definitní: T d Kd 0 d det K 0 matice tuhosti není pozitivně definitní mj. v následujících případech: konstrukce nebo její část není dostatečně podepřená tak, aby bylo zabráněno přemístění tuhého tělesa, tj. konstrukce nebo její část tvoří mechanismus v modelu existují stupně volnosti, kterým odpovídá nulová nebo záporná tuhost materiál v části konstrukce se stal nestabilním (např. v důsledku změkčení ap.) E 0 Petr Kabele,

25 matice tuhosti není symetrická např. při použití některých konstitutivních vztahů, např. neasociovaná plasticita, tření aj. Příklad 2: Sestavte matici tuhosti pro úlohu z příkladu 1 (řešení MKP), přičemž: a) kinematickou okrajovou podmínku nahraďte rovnovážnou statickou OP b) v elementu č. 3 uvažujte modul pružnosti E = 0. Vypočtěte determinant matice tuhosti a ukažte, že v obou případech matice tuhosti není pozitivně definitní. Petr Kabele,

26 V principu můžeme metody řešení soustav rovnic MKP rozdělit do 2 skupiny: přímé řešiče (direct solvers) iterativní řešiče (iterative solvers) Přímé metody řešení počet kroků a operací, které musí řešič provést, je předem přesně definován a závisí na počtu rovnic a vlastnostech systémové matice algoritmus založený na Gaussově eliminaci pomalý, velké nároky na paměť řídké řešiče (sparse solvers) robustní a spolehlivé (rozeznají matici, která není pozitivně definitní), menší nároky na paměť, o 2 řády rychlejší než Gaussova eliminace Petr Kabele,

27 Iterativní metody řešení vhodné pro rozsáhlé úlohy, kdy kapacita paměti počítače není dostačující pro použití řídkého řešiče přibližné řešení soustavy rovnic se hledá iterativně tak, aby norma rozdílu pravé a levé strany rovnice byla menší než zadaná tolerance nerozezná matici, která není pozitivně definitní, problémy u špatně podmíněných matic (velké rozdíly ve velikosti prvků) Petr Kabele,

28 Programy SA2: Structural Analysis MKPTechniques FEM II. Programy MKP: obecné (general purpose) simulace obecných multifyzikálních úloh (např. statika, dynamika, transport tepla a/nebo hmoty, magnetismus,..., sdružené úlohy) náročnější zadávání úlohy (volba z mnoha možností) uživatel musí dokonale rozumět matematické a fyzikální podstatě problému specializované, inženýrské řešení specifické inženýrské úlohy (např. elastická prutová soustava,...) uživatelsky přívětivé zadávání ( klikací, předdefinované materiály, konstrukční prvky, průřezy ap., úzká návaznost na normu) použití v běžné inženýrské praxi (navrhování a posuzování konstrukcí) např. ADINA MSC.MARC ANSYS OOFEM ATENA... FINE FEAT SAP Petr Kabele,

29 Struktura programů MKP: Preprocesor grafické prostředí pro přípravu vstupních dat Výpočetní jádro vlastní program MKP Postprocesor grafické prostředí pro zpracování a vizualizaci výsledků Petr Kabele,

30 Příklad 3: Uvažujte elastickou konzolu dle obrázku. Určete průhyb na jejím volném konci a průběh normálového a smykového napětí ve vetknutí (napětí pouze a, d): a) analyticky pomocí Bernoulli-Eulerovy prutové teorie b) MKP programem ADINA s využitím Hermitovských prutových prvků c) MKP programem ADINA s využitím isoparametrických prutových prvků d) MKP programem ADINA s využitím isoparametrických prvků pro rovinnou napjatost f=0,4 N/mm 2 Materiál: HD polyetylén 50mm 20mm tl.=10 mm E = 700 MPa n = 0,42 Viz tutoriál k programu ADINA Petr Kabele,

31 Literatura I. Shames & C. Dym: Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Taylor & Francis, 1991 K.J. Bathe: Finite Element Procedures, Prentice Hall, Inc., 1996 ADINA R&D, Inc.: Theory and modeling guide, Volume I: ADINA, November 2006 Petr Kabele,

32 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám a cvičením z předmětu Nelineární analýza materiálů a konstrukcí pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslední aktualizace: Petr Kabele,