4 NÁHODNÝ VEKTOR. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět
|
|
- Marcela Dušková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4 NÁHODNÝ VEKTOR Čs ke studu kptol: 6 mnut Cíl: o prostudování této kptol udete umět popst náhodný vektor eho sdružené rozdělení vsvětlt pom mrgnální podmíněné rozdělení prvděpodonost popst stochstckou nezávslost náhodných velčn - 4 -
2 růvodce studem: V předcházeící kptole sme se seznáml s popsem náhodné velčn. Nní se změříme n závžněší komplkovněší prolém kterým e hledání zkoumání hodnocení závslost mez dvěm více náhodným velčnm. K poznání mtemtckému popsu těchto závslost slouží metod regresní korelční nlýz. Výkld: 4.. Náhodný vektor Jsou stuce kd e př náhodném pokusu získáno několk velčn. Npříkld můžeme měřt pouze teplotu le tké celý vektor meteorologckých velčn výšk tlk teplot rosný od. Neo př volě Mss ČR sou ednotlvé krásk popsán trocí čísel npř Kždé z těchto čísel e smo o soě náhodnou velčnou chom s všk uděll o dné dívce předstvu potřeueme znát celou troc těchto náhodných velčn. Souor těchto velčn nzýváme náhodným vektorem. Jednotlvé náhodné velčn v rámc náhodného vektoru mohou ýt nprosto nezávslé mohou všk tké mít slnou vzu. Náhodným vektorem udeme dále rozumět sloupcový vektor složený z náhodných velčn n. ro názornou lustrc se omezíme n studum vzthu mez dvěm náhodným velčnm t. udeme se zývt dvousložkovým náhodným vektorem s tím že učněné závěr lze ednoduše zoecnt n n-složkový náhodný vektor. Sdružená smultánní dstruční funkce náhodných velčn e defnován předpsem: ; Sdružená dstruční funkce má odoné vlstnost ko dstruční funkce edné proměnné. Vlstnost sdružené dstruční funkce:. lm. lm 3. funkce e neklesící v kždé proměnné 4. funkce e zlev spotá v kždé proměnné rvděpodonost že náhodný vektor e z odélníkové olst lze vádřt pomocí dstruční funkce: - 5 -
3 - 6 - ; Rozdělení náhodného vektoru dvousložkového Jestlže estue nevýše spočetně mnoho hodnot náhodného vektoru de o náhodný vektor s dskrétním rozdělením sdružená dstruční funkce e pk defnován ko: Velčn se nzývá sdružená prvděpodonostní funkce popř. vícerozměrná prvděpodonostní funkce náhodného vektoru. O náhodném vektoru se spotým rozdělením mluvíme v přípdě že má solutně spotou dstruční funkc t. pokud estue nezáporná funkce f tková že: d d f okud estue druhá smíšená dervce dstruční funkce pk: f rvděpodonost že spotý náhodný vektor e z odélníkové olst lze vádřt ko: ; dd f 4. Mrgnální rozdělení prvděpodonost Chceme-l určt dstruční funkc složk resp. složk náhodného vektoru mluvíme o mrgnální dstruční funkc. Mrgnální dstruční funkce dvousložkového náhodného vektoru defnueme tkto: lm lm tohoto vádření dále plne že v přípdě dskrétního náhodného vektoru s prvděpodonostní funkc můžeme získt následuící vzth pro mrgnální prvděpodonost:
4 Odoně pro spotý náhodný vektor s hustotou f získáme vzth pro mrgnální hustot prvděpodonost: f f + + f d f d 4.3 Nezávslost složek náhodného vektoru Složk náhodného vektoru sou nvzáem nezávslé právě tehd sou-l nezávslé náhodné velčn. ltí ted:. Konkrétně pro náhodný vektor s dskrétním rozdělením pltí že složk náhodného vektoru sou nezávslé právě kdž pltí:. A odoně pro náhodný vektor se spotým rozdělením pltí že složk náhodného vektoru sou nezávslé právě kdž pltí: 4.4 Korelční tulk f f. f V přípdě dskrétního dvousložkového náhodného vektoru s konečným počtem hodnot se sdružená prvděpodonostní funkce čsto prezentue prostřednctvím korelční tulk. V této tulce se mmo sdružené prvděpodonostní funkce uvádí rovněž v posledním řádku sloupc mrgnální prvděpodonostní funkce. \... m... m... m M M M M M... n n n... n m n... m m n - -
5 4.5 odmíněné rozdělení prvděpodonost ro náhodný vektor s dskrétním rozdělením prvděpodonost e defnován podmíněná prvděpodonostní funkce: pro Odoně pro náhodný vektor se spotým rozdělením prvděpodonost e defnován podmíněná hustot prvděpodonost: f f pro f f 4.6 Chrkterstk náhodného vektoru Oecné centrální moment Kromě momentů náhodných velčn složek náhodného vektoru sou eště defnován tzv. smíšené moment. Nepoužívněším oecným momentem e střední hodnot: Nepoužívněším centrálním momentem e rozptl: µ µ E D Smíšený oecný moment řádu kn e defnován ko: k µ E. n k n Smíšený centrální moment řádu kn e defnován ko: µ E[ E E ] Kovrnce Kovrnce e neednodušším ukztelem souvslost dvou náhodných velčn. Je defnován ko smíšený centrální moment. řádu. Cov µ E kn [ E E ] Kldná hodnot kovrnce znmená že se zvětšením hodnot se prvděpodoně zvýší hodnot. Oprot tomu záporná hodnot kovrnce znmená že se zvětšením hodnot se prvděpodoně sníží hodnot. Kovrnční mtce V pr se čto setkáváme s reprezentcí centrálních momentů.řádu ve formě tzv. kovrnční mtce: kn - 8 -
6 D Cov Cov D V této souvslost se někd oznčue D Cov resp. D Cov. Jednoduchý korelční koefcent Jednoduchý korelční koefcent e mírou lneární závslost dvou náhodných velčn. OOR!!!! Je mírou pouze lneární závslost žádné né t. e-l ednoduchý korelční koefcent nulový neznmená to že mez náhodným velčnm neestue závslost!!!! Korelční koefcent defnován ko: ρ ro ednoduchý korelční koefcent pltí:. ρ ρ ρ. Cov D D D. D ředpokládeme pro vzth lneární závslost +. k lze dále odvodt:. ρ sou nekorelovné lneárně nezávslé OOR!!! ρ neznmená nezávslé náhodné velčn. ρ > sou poztvně korelovné > s rostoucím roste 3. ρ sou negtvně korelovné s rostoucím klesá Je ted zřemé že pokud se hodnot korelčního koefcentu líží resp. - znčí to přímou resp. nepřímou lneární závslost pokud se hodnot korelčního koefcentu líží sou náhodné velčn nekorelovné lneárně nezávslé. V mnoh přípdech všk nelze n první pohled určt zd hodnotu korelčního koefcentu už můžeme povžovt z lízkou resp. - popř. potom e nutné význmnost lízkost korelčního koefcentu testovt vz kptol Testování hpotéz. Řešený příkld: ředstvme s že udeme třkrát opkovt pokus u něž známe prvděpodonost úspěchu npř. hod mncí p 5. volme tto náhodné velčn: Náhodný vektor.... počet pokusů do prvního úspěchu... počet po soě doucích úspěchů - 9 -
7 Určete mrgnální prvděpodonostní funkce z Sestvte sdruženou prvděpodonostní funkc z c Určete zd sou náhodné velčn nezávslé. d Určete střední hodnot rozptl složek e Určete kovrnční mtc f Určete ednoduchý korelční koefcent g Určete podmíněné prvděpodonostní funkce z z Řešení: Vpšme s všechn možné komnce k nmž mohlo doít S - úspěch - neúspěch: { ; SS; SS; SS; S; S; S; SSS } A uvžume že prvděpodonost úspěchu S p prvděpodonost neúspěchu -p. Jedná se o dskrétní dvourozměrný náhodný vektor přčemž: složk může nývt hodnot: 3 složk může nývt hodnot: 3 omenume s všechn elementární ev zákldního prostoru určeme prvděpodonost ech výsktu pro výpočet ednotlvých prvděpodoností vužeme pozntku že ev S sou nezávslé. A... A - p 3 5 A... SS A p. - p 5 A3... SS A3 p. - p 5 A4... SS A4 p. - p 5 A5... S A5 p. - p 5 A6... S A6 p. - p 5 A... S A p. - p 5 A8... SSS A8 p 3 5 d pšme s nní do pomocných tulek které ev vhovuí dným hodnotám náhodných velčn.... počet pokusů do prvního úspěchu 3 A A3 A A8 A4 A5 A6 A... počet po soě doucích úspěchů 3 A A A5 A6 A A3 A4 A8 protože ev A... A8 sou neslučtelné můžeme mrgnální prvděpodonostní funkce ednoduše určt. - -
8 Npř. A + A3 + A + A počet pokusů do prvního úspěchu počet po soě doucích úspěchů V nšem přípdě máme určovt zároveň sdruženou prvděpodonostní funkc lo rchleší pro určen mrgnálních prvděpodonostních funkcí vužít korelční tulku kterou udeme vtvářet pro záps sdružené prvděpodonost. d konstruueme korelční tulku. nedříve s do ní vpíšeme ev které vhovuí příslušným podmínkám poté n zákldě ech neslučtelnost určíme prvděpodonost výsktu příslušných skupn evů 3 - A A A3 A8 - A5 A4 - - A A Tulk sdružené prvděpodonostní funkce Npř. 5; 5 Chceme-l získt korelční tulku v klsckém tvru t. včetně mrgnálních prvděpodonost stčí sečíst příslušné řádk sloupce z
9 ro srovnání s porovnete tkto získné mrgnální prvděpodonost s mrgnálním prvděpodonostm získným v d dc ro náhodný vektor s dskrétním rozdělením pltí že složk náhodného vektoru sou nezávslé právě kdž pltí: z. z Tento předpokld v nšem přípdě splněn není. npř. Ý. ; toho plne že náhodné velčn nesou nezávslé. dd Střední hodnot rozptl získáme z defnčních vzthů pomocí mrgnálních prvděpodonostních funkcí: E E D E E E z. z E 4 z. z D E E de Kovrnční mtce má oecný tvr: D Cov Cov D ro eí záps musíme určt kovrnc. Cov E[ E E ] z z
10 Kovrnční mtce má tvr: df Jednoduchý korelční koefcent určíme z defnčního vzthu: ρ Cov D. D N zákldě této hodnot korelčního koefcentu můžeme říc že mez náhodným velčnm estue středně slná negtvní korelce t. že prvděpodoně s růstem ude klest lneárně. dg odmíněné prvděpodonost udeme opět zpsovt do tulk ech hodnot určíme z defnce: z z z Tulk podmíněné prvděpodonostní funkce z 3 /5 5/5 5/5 5/5 /5 5/5 5/5 /5 /5 5/5 /5 /5 3 5/5 /5 /5 / Npř. 5 z Tulk podmíněné prvděpodonostní funkce z 3 /5 5/5 5/5 5/5 /5 5/5 5/5 /5 /5 5/5 /5 /5 3 5/5 /5 /5 /5-3 -
11 Npř. 5 Řešený příkld: Sdružená hustot prvděpodonost dvousložkového náhodného vektoru e defnován ko: + f pro ; ; nde Určete: Mrgnální hustot prvděpodonost f f Mrgnální dstruční funkce c Střední hodnot rozptl složek d Hodnotu ednoduchého korelčního koefcentu výsledek dete do souvslost s mírou lneární závslost Řešení: d Jde o spotý náhodný vektor proto: f d pro ; nde e smetre sdružené prvděpodonostní funkce vplývá odoný tvr f. + f pro ; nde d Mrgnální dstruční funkce ednotlvých složek určíme z mrgnálních hustot prvděpodonost: dt dt + dt + t t t + dt t + dt + dt + + pro pro ; pro ; ; - 4 -
12 ze smetre f můžeme opět odvodt: + pro pro ; pro ; ; dc Střední hodnot rozptl ednotlvých složek určíme pomocí mrgnálních hustot prvděpodonost n zákldě znlost defnčních vzthů pro o moment: 3 E. f d + d E. f d d D E E Opět vužeme smetre sdružené hustot prvděpodonost f můžeme tvrdt že: E ; D 44 dd ro výpočet ednoduchého korelčního koefcentu potřeueme znát hodnotu kovrnce proto zčneme eím výpočtem: Cov E[ E E ].. + dd dd d 3 d Dále ž stčí en dosdt do defnčního vzthu pro ednoduchý korelční koefcent: ρ Cov D. D
13 velkost korelčního koefcentu můžeme usuzovt n to že mez prvděpodoně neestue lneární závslost t sou nekorelovné náhodné velčn. Shrnutí: Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných velčn n který e chrkterzován sdruženou smultánní dstruční funkcí. e sdruženého rozdělení náhodného vektoru můžeme sndno nít mrgnální rozdělení prvděpodonost ednotlvých náhodných velčn z nchž e vektor sestven. odmíněné rozdělení pk chápeme ko podíl sdruženého mrgnálního rozdělení prvděpodonost má-l tento podíl smsl v souldu s defncí podmíněné prvděpodonost. Nezávslost náhodných velčn se proevue tím že ech sdružená dstruční funkce sdružená prvděpodonostní funkce resp. sdružená hustot prvděpodonost se dá mtemtck vádřt ko součn mrgnálních dstručních funkcí mrgnálních prvděpodonost resp. mrgnálních hustot prvděpodonost ednotlvých náhodných velčn. Mez nevýznmněší smíšené moment náhodného vektoru ptří kovrnce. Mírou lneární závslost e korelční koefcent
14 Otázk. Vsvětlete pom smultánní mrgnální podmíněné rozdělení prvděpodonost. Vsvětlete poem stochstcké nezávslost náhodných velčn 3. Defnute podmíněné rozdělení prvděpodonost. 4. Co nám npovídá hodnot koefcentu korelce? - -
15 Úloh k řešení. Nezávsle hodíme dvěm smetrckým mncem. ro kždou mnc zznmenáme výsledek kdž pdne pnn kdž pdne orel. Oznčme S součet výsledků n oou mncích R rozdíl výsledků n oou mncích. Defnume dvousložkový náhodný vektor S R. Určete: Tp náhodného vektoru dskrétní spotý Sdruženou prvděpodonostní funkc c Mrgnální prvděpodonostní funkce d Střední hodnot rozptl ednotlvých složek e Kovrnční mtc f Jednoduchý korelční koefcent g Jsou náhodné velčn S R nezávslé?. ř průzkumu příčn doprvních nehod l měřen sstolcký tlk řdčů utousů v závslost n teplotě ovzduší.vpočtěte ednoduchý korelční koefcent pouze z eho hodnot odhdněte zd teplot ovzduší spíše zvšue č spíše snžue sstolcký tlk řdčů. Teplot ovzduší [ o C Sstolcký tlk [mm Hg] Náhodný vektor R S má sdruženou hustotu prvděpodonost: f r s r + s 3 pro r s ; ; nde Určete: Mrgnální hustot prvděpodonost f R r f S s Mrgnální dstruční funkce R r S s c Střední hodnot rozptl složek R S d Hodnotu ednoduchého korelčního koefcentu výsledek dete do souvslost s mírou lneární závslost - 8 -
16 Řešení:. S součet výsledků n oou mncích R rozdíl výsledků n oou mncích Dskrétní náhodný vektor Korelční tulk sdružené prvděpodonost mrgnální prvděpodonost R S R r S s c Mrgnální prvděpodonost ndete ve výše korelční tulce. d ES ; DS 5; ER ; DR 5 e Cov S R ; Kovrnční mtce: 5 5 f ρ S R sou nekorelovné S R g S R nesou nezávslé náhodné velčn. Výsledk tohoto příkldu l získán pomocí progrmu Sttgrphcs: Correltons: ρ teplot sstolcký tlk 38 středně slná poztvní korelce t. prvděpodoně s rostoucí teplotou roste sstolcký tlk řdčů utousů. To potvrzue grfcký záznm nměřených hodnot uvedený níže grf vprvo nhoře
17 3. e spotý náhodný vektor r + r ; f R r 3 nde 4s + f S s 3 s ; nde c ; r R r r r + r ; 3 r ; S 5 3 ER DR ES DS s s s + s s ; s ; ; 598 d Cov R S ρ R s 8 R S sou nekorelovné náhodné 6 99 velčn t. neestue mez nm lneární závslost - 3 -
Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných veličin X = (X 1, X 2,
Statstka I cvčení - 54-5 NÁHODNÝ VEKTOR Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných velčn = n který je charakterzován sdruženou smultánní dstrbuční unkcí ; F náhodný vektor s dskrétním
VíceZadání příkladů. Zadání:
Zdání příkldů Zdání: ) Popšte oblst vužtí plánovných expermentů ) Uveďte krtér optmlt plánů ) Co sou Hdmrdov mtce ké mí vlstnost? ) Co sou. fktorové plán k e lze vužít? 5) Blok čtverce - oblst ech vužtí
Více3 NÁHODNÁ VELIČINA. Čas ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět
NÁHODNÁ VELIČINA Čs ke studiu kpitol: 8 minut Cíl: o studování tohoto odstvce udete umět oecně popst náhodnou veličinu pomocí distriuční funkce chrkterizovt diskrétní i spojitou náhodnou veličinu porozumět
VíceTeoretický souhrn k 2. až 4. cvičení
SYSTÉMOVÁ ANALÝZA A MODELOVÁNÍ Teoretcký souhrn k 2. ž 4. cvčení ZS 2009 / 200 . Vyezení zákldních poů.. Systé e Systé e účelově defnovná nožn prvků vze ez n, která spolu se svý vstupy výstupy vykzue ko
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceKVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)
KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceKomplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0
Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VícePodmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav
S1 odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav Lbor Žák odmíněná pravděpodobnost Nechť,, 0, podmíněná pravděpodobnost evu vzhledem k evu : S akou pravděpodobností
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
Více{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507
58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní
VíceSMR Strukturální metody rozpoznávání KKY/SMR KATEDRA KYBERNETIKY Doc. Ing. Mloš Železný, Ph.D. UK59 (377 63 548) E-ml: zelezny@kky.zcu.cz ZÁKLADNÍ POJMY A METODY ROZPOZNÁVÁNÍ.... PŘÍZNAKOVÉ METODY....
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
Víceje nutná k tomu, aby byl odhad takto pořízený je potřebná k tomu, aby proměnné-instrumenty vysvětlující veličiny v rovnici je nahrazovaly co
Obecná etod nstruentálních proěnných (G)IV (Generl Instruentl Vrbles ethod) v soustvě sultánních regresních rovnc utor etody: J.D. Srgn [958] Metod nstruentálních proěnných je jstý zobecnění dvoustupňové
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceObr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou
MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností
VícePůjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.
4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme
Více2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909
.9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VícePodobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce
1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceM A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)
5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete
Víceina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
Více( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:
4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:
443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější
VíceŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log
Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:
Více4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.
4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi
VíceTermodynamika materiálů verse 2.03 (12/2006)
ermodynmk mterálů verse.03 (/006) 8. Dodtek 8.. Zákldní mtemtcký prát Převážná řd pozntků v termodynmce vyplývá z první druhé věty termodynmcké, které postuluí č umožňuí odvodt vzthy mez ednotlvým termodynmckým
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VícePozorování obvykle kvalitativní charakter, popis stavu, popis změn, dlouhodobá zkušenost např. popis duhy, střídání dne a noci, koloběh vody.
. Měření Fzkální velčn Fzkální jednotk oustv I Jné soustv Měření - ch - zprcování výsledků měření - grf Pozorování ovkle kvlttvní chrkter, pops stvu, pops změn, dlouhodoá zkušenost npř. pops duh, střídání
Více2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem
2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první
VíceHlavní body - magnetismus
Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického
VíceGeometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.
4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceMetoda konečných prvků. Robert Zemčík
Metod konečných prvků Robert Zemčík Zápdočeská unverzt v Plzn 2014 1 Rovnce mtemtcké teore pružnost Předpokládáme homogenní, zotropní lneární mterál, mlé deformce. Jednoosá nptost Cuchyho podmínky rovnováhy
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
Více( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t
7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag)
BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 2/33 Převod NKA ndka BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 4/33 Automty grmtiky(bi-aag) 3. Operce s konečnými utomty Jn
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Víceskripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81
skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
Více4. Ná hodné procesy { }
4 Ná hodné procesy 4 NÁ HODNÉ ROCESY 4 NÁ HODNÉ ROCESY SE SOJIÝM Č ASEM ři popisu dynmických jevů náhodných dějůje potřené tento děj vyjádřit většinou jko funkci reálného čsu neo tzv operčního čsu outo
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
VíceOdraz na kulové ploše Duté zrcadlo
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku
Více= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný.
5. přednášk APLIKAE URČITÉHO INTERÁLU Pomocí integálního počtu je možné vpočítt osh ovinných útvů ojem otčních těles délk ovinných křivek. Velké upltnění má učitý integál tké ve zice chemii. eometické
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
VícePsychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie
Pržská vysoká škol psychosociálních studií, s.r.o. Temtické okruhy ke státní mgisterské zkoušce Psychologická metodologie NMgr. oor Psychologie 1 Vědecká teorie vědecká metod Vědecké vysvětlení, vědecký
VíceV = gap E zdz. ( 4.1A.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z),
4.1 Drátový dipól Zákldní teorie V této kpitole se seznámíme s výpočtem prmetrů drátového dipólu pomocí momentové metody. Veškeré informce se snžíme co nejsrozumitelněji vysvětlit ve vrstvě A. Vrstvu B
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceVýpočet vnitřních sil přímého nosníku
Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil přímého nosníku nitřní síly přímého vodorovného nosníku prostý nosník konzol nosník s převislým koncem Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB
Více9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie
9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
Více8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMENTY
8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMETY Stattcký oubor e dvěma argument Průvodce tudem Vužeme znalotí z předchozí kaptol, která poednávala o tattckém ouboru edním argumentem a rozšíříme e. Předpokládané
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:
VíceTangens a kotangens
4.3.12 Tngens kotngens Předpokldy: 040311 Př. 1: Úhel, pod kterým je možné ze pozorovt vrhol věže ze vzdálenosti 19 m od její pty, yl změřen n 53 od vodorovné roviny. Jk je věž vysoká? h 53 19 m Z orázku
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
VíceFYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY
I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY 1. Mezinárodní soustv jednotek SI Slovo fyzik je odvozeno z řeckého slov fysis, které znmená přírod. Abychom správně
Vícev. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)
9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem
VíceDefinice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
Více4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I
4..7 Zvedení funkcí sinus cosinus pro orientovný úhel I Předpokldy: 40, 40, 404, 406 Prolém s definicí funkcí sin ( ) cos( ) : Definice pomocí prvoúhlého trojúhelníku je π možné použít pouze pro ( 0 ;90
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
Více2.4. Rovnováhy v mezifází
2.4. Rovováhy v mezfází Mezfázím se rozumí teká vrstv (tloušťk řádově odpovídá molekulárím dmezím) rozhrí dvou fází, která se svým složeím lší od složeí stýkjících se fází. Je-l styčá ploch fází mlá, lze
Více( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?
1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
Více