Metoda konečných prvků. Robert Zemčík

Transkript

1 Metod konečných prvků Robert Zemčík Zápdočeská unverzt v Plzn

2 Rovnce mtemtcké teore pružnost Předpokládáme homogenní, zotropní lneární mterál, mlé deformce. Jednoosá nptost Cuchyho podmínky rovnováhy Geometrcké rovnce onsttutvní vzth X x 3 0 [Nm ] u [1] x E 2 [Nm ] enzorový záps pro prostorovou nptost Cuchyho podmínky rovnováhy Geometrcké rovnce onsttutvní vzth x X 0 1 u u 2 x x E kl kl 2

3 Vektor posuvů Vektor npětí Vektor deformcí Mtcový záps pro obecnou (3D) prostorovou nptost u [ u, u, u ] x y z σ [,,,,, ] x y z x y z ε [,,,,, ] x y z x y z Vektor obemových sl b [ X, Y, Z] Mtce dferencálních operátorů x z y Φ y z x z y x Mtce mterálové tuhost (mtce elstckých konstnt) E D (1 )(1 2 ) G G G kde E e Youngův modul pružnost v thu, e Possonovo číslo G e smykový modul, který lze (pro zotropní mterál) vyádřt ko E G 2(1 ) Cuchyho podmínky rovnováhy Φσ b 0 Geometrcké rovnce ε Φ u onsttutvní vzth (v nšem přípdě zobecněný Hookeův zákon) σ Dε Máme tedy celkem 15 rovnc pro 15 neznámých složek. tomu, by exstovlo právě edno přesné řešení u( x), x s hrncí, e dále nutné defnovt příslušné okrové podmínky (v přípdě sttckého problému) v nšem přípdě geometrcké okrové podmínky u u x, u kde u sou konkrétní hodnoty posunutí n zvolené část hrnce u. 3

4 Prncp vrtuálních prcí PVP Vrtuální práce vněším slm. U vykonná vntřním slm e rovn vrtuální prác W vykonné U W Prncp vrtuálních sl PVs Obecně není vhodný pro odvození metody konečných prvků. Prncp vrtuálních posuvů PVp Pro vrtuální posuvy u [ u, u, u ] x y z kterým odpovídí vrtuální přetvoření ε [,,,,, ] lze PVP zpst tkto kde e vrtuální práce vntřních sl x y z x y z ε σd u b d u pd U W εσ ub d d e vrtuální práce (vněších) obemových sl up d e vrtuální práce (vněších) povrchových sl. Vektor sl n povrchu (nenulový n část ) lze podobně ko obemové síly zpst ve formě p p [ p, p, p ] x y z 4

5 Dskretzce Nebudeme hledt přesné řešení u defnovné n oblst s hrncí, le en přblžné. Dnou oblst rozdělíme (dskretzueme) n konečný počet podoblstí (prvků, elementů), které mí společné hrny uzly. Vznkne tedy konečnoprvková síť s m prvky, n uzly rovněž s hrncí rozdělenou n r hrn m 1 r k1 k Přblžné řešení pk hledáme ve tvru funkce proxmovné pomocí hodnot posuvů uzlech sítě. u 3n 1 N N v Pozor! Počet tzv. zobecněných souřdnc e 3n, neboť prcueme se třem složkm posunů ( u x, u y u z ) v kždém uzlu, t. -tý uzel bude mít posuvy očíslovné tkto [ ux, uy, uz] [ 3 2, 3 1, 3 ] Pozn. Pokud by se ednlo o typ prvku, ve kterém sou posuvy u proxmovné pomocí hodnot ntočení v uzlech, bude celkový počet zobecněných souřdnc vetší, tkže npř. 6n v přípdě 3 posuvů 3 ntočení v kždém uzlu. Dlší velčny pk můžeme vyádřt pomocí tkto zvolené proxmce ko ε Φ u Φ N B σ Dε DB Vrtuální posuvy pk budou u N N N N 0 vrtuální přetvoření budou ε B B B B 0 B 5

6 PVP můžeme použít n řešení dynmcké úlohy (čsově závslé), neboť do obemových sl lze zhrnout síly setrvčné. N zákldě d'almbertov prncpu lze psát (bez uvžování dlších obemových sl, ko sou grvtční, elektromgnetcké pod.) 2.. b () u u t kde e mterálová hustot. Pro zrychlení lze rovněž využít zvolenou proxmc, tudíž.... u N Pozor! V přípdě dynmcké úlohy e le nutné přpot příslušné počáteční podmínky pro rychlost u... Doszením do PVP ( převedením všech členů n levou strnu) pk dostneme m.. r d d d 0 B σ N N N p 1 k1 k Protože tto rovnost musí být splněn pro lbovolné nenulové vrtuální posunutí, musí být nulový výrz v hrntých závorkách. Dostneme tedy soustvu 3n rovnc m.. m r N Nd B σd N p d 1 1 k1 k Po doszení Hookeov zákon z σ vytknutí před (resp. z) ntegrál dostneme M F m.. m r N Nd B DBd N p d 1 1 k 1 k M nebo-l.. M F což e soustv 3n lgebrckých rovnc, kde M N N d oznčue mtc hmotnost [3n 3 n], mtc tuhost [3n 3 n] B DB F N p vektor zobecněných sl [3n 1]. Velčny s ndexem se vzthuí en k dnému -tému prvku. d d F 6

7 V přípdě sttcké úlohy, kdy znedbáváme setrvčné účnky, se soustv dále zednoduší n F Řešením e pk vektor 1 F z kterého lze pomocí výše zvolených proxmcí vyčíslt veškeré velčny (u, ε, σ dlší) v celé dskretzovné oblst. Vzhledem ke způsobu dskretzce uvžovné oblst e vhodné provést příslušnou dskretzc pro proxmční funkce N. Protože se velčny M, F ntegruí zvlášť přes dné podoblst (prvky) resp. ech hrnce, e v tom neednodušším přípdě výhodné volt proxmční funkce ko spoté po částech lneární funkce nvíc tk, by měly nenulové hodnoty en v příslušném uzlu (deálně hodnotu 1) ve všech okolních uzlech hodnotu nul (troúhelníkové funkce). Ale pozor! Vlstnost mtce tuhost (konkrétně hodnost) chrkterzuí sttckou určtost č neurčtost systému. Inverzní mtce k mtc tuhost sestvené tímto postupem nkdy neexstue soustv rovnc není ednoznčně řeštelná těleso e nedosttečně uchyceno v prostoru. Aby tedy bylo možné mtc tuhost nvertovt, e nyní nutné plkovt n tuto soustvu rovnc zdné okrové podmínky některé hodnoty totž známe. Pokud se edná o neednodušší přípd, kdy sou zdány homogenní okrové podmínky, t. 0 ve zvolených uzlech směrech, můžeme příslušné řádky soustvy vyškrtnout ( rovněž sloupce mtce tuhost) nová mtce tuhost ž nvertovtelná e. 7

8 Rovnný troúhelníkový prvek Předpokládeme, že řešíme úlohu těles ve stvu rovnné nptost v rovně xy, t. 0. Dskretzc plošné oblst provedeme pomocí troúhelníkových prvků z x y se 3 uzly, t. en ve vrcholech. Oznčme hodnoty posunutí v uzlech prvku npříkld tkto [,,,,, ] [,,,,, ] x y x y x y b c d e f N kždém troúhelníku x budeme předpokládt rozložení pole posuvů ve formě blneární funkce 1 2 u( x, y) x y 1 x y u A v( x, y) 4 5x 6 y 1 x y onkrétně pro hodnoty posuvů v uzlech musí potom pltt 1 x1 y1 1 b 1 x1 y 1 2 c 1 x2 y 2 3 A d 1 x2 y2 4 e 1 x3 y 3 5 f 1 x3 y3 6 neznámé koefcenty proto můžeme pro kždý prvek určt ko 8 1 A Vektor deformcí sme výše odvodl v této formě ε Φ u Φ N B B pro tento typ prvku e pk lze určt následovně

9 u x x x v u( x, y) ε y y y v( x, y) Φ u z u v y x y x 1 x 2 1 x y 3 ε y 1 x y Φ A 4 5 y x ε Φ AA Φ N N B 5 6 Vektor npětí e pk E E x x E E σ y 2 2 y 1 1 Dε DB z z G A konečně mtce tuhost prvku [2n 2 n] (zde n 3) e B DB Obdobným způsobem lze získt mtc hmotnost vektor zobecněných sl. Volb blneárních proxmčních funkcí má z následek to, že rozložení deformcí n kždém prvku e konstntní mtce B e konstntní. Proto e ntegrnt B DB konstntní můžeme psát B DB V kde V e obem (ploch tloušťk) prvku. d 9

10 Sestvení globálních mtc vektorů Velčny F (popř. M ), které se určí n kždém prvku, e třeb následně spot do globálních mtc F (popř. M ), to tk, by s odpovídly řádky sloupce těchto mtc vzhledem k vektoru neznámých celé struktury. Pokud rozepíšeme soustvu rovnc F (v nšem přípdě 6 rovnc) pltnou pro kždý prvek pomocí celého vektoru, rozpdnou se mtce tuhost prvku n řídkou mtc [2n 2 n], která má en 6 6 nenulových pozc vektor sl n F [2n 1], který má en 6 nenulových řádků ech pozce sou dány pozcí složek vektoru vzhledem k vektoru. F F F b b F c c F d d F e e F f f F F b F c F d F e F f F 2n Potom výsledné mtce soustvy sou prostou sumou těchto řídkých mtc příslušných ednotlvým prvkům. m, F F m

11 Numercká ntegrce U složtěších prvků sou proxmční funkce bohtší mtce B B( x ) ž obecně konstntní není. Nvíc se ntegrce může provádět v tzv. lokálních souřdncích díky trnsformčním vzthům e dferencál obemu d závslý n poloze x ( xy, ). Z těchto důvodu se používá numercká ntegrce většnou tzv. Gussov kvdrtur. to metod e zložen n přblžném vyádření ntegrálu pomocí sumy několk funkčních hodnot ve vybrných místech (Gussovo body) přenásobených váhovým koefcenty (váhy). n f ( x)d w f, f f ( x ) 1 Pokud e funkce f( x ) polynom, lze tímto postupem určt hodnotu ntegrálu dokonce přesně. Počet poloh Gussovo bodů hodnoty vh sou pk předem dány. V metodě konečných prvků e použtí Gussovo kvdrtury následuící. Mtce tuhost ( dlších velčny) e místo ntegrování vyčíslen tkto n w, ( ) ( ) 1 B x DB x V přípdě nšeho troúhelník by byl počet ntegrčních bodů n 1, příslušná váh e rovn obemu prvku w1 V eho pozce x 1 by se ncházel uprostřed, t. v těžšt troúhelník. V přípdě nečstě používných čtyřhrnných prvků (se 4 nebo 8 uzly) sou pozce váhy (krát obem prvku V ) pro první, druhý třetí stupeň ntegrce (volb závsí n počtu uzlů tvru proxmčních funkcí) určeny tkto: 11

12 Poděkování Investce do rozvoe vzdělávání. ento dokument e spolufnncován Evropským socálním fondem státním rozpočtem České republky v rámc proektu č. CZ.1.07/2.2.00/ Inovce výuky podpořená prxí. 12