Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných veličin X = (X 1, X 2,
|
|
- Ondřej Sedláček
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Statstka I cvčení NÁHODNÝ VEKTOR Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných velčn = n který je charakterzován sdruženou smultánní dstrbuční unkcí ; F náhodný vektor s dskrétním rozdělením: j j j F náhodném vektoru se spojtým rozdělením: d d F F e sdruženého rozdělení náhodného vektoru můžeme snadno najít margnální rozdělení pravděpodobnost jednotlvých náhodných velčn z nchž je vektor sestaven Margnální dstrbuční unkce dvousložkového náhodného vektoru denujeme takto: lm lm F F F F náhodný vektor s dskrétním rozdělením - margnální pravděpodobnost: jj j náhodném vektoru se spojtým rozdělením - margnální hustot pravděpodobnost: d d odmíněné rozdělení pak chápeme jako podíl sdruženého a margnálního rozdělení pravděpodobnost má-l tento podíl smsl v souladu s dencí podmíněné pravděpodobnost náhodný vektor s dskrétním rozdělením - podmíněná pravděpodobnostní unkce: pro náhodný vektor se spojtým rozdělením - podmíněná hustota pravděpodobnost:
2 Statstka I cvčení pro Nezávslost náhodných velčn se projevuje tím že jejch sdružená dstrbuční unkce sdružená pravděpodobnostní unkce resp sdružená hustota pravděpodobnost se dá matematck vjádřt jako součn margnálních dstrbučních unkcí margnálních pravděpodobnost resp margnálních hustot pravděpodobnost jednotlvých náhodných velčn latí že složk náhodného vektoru jsou nezávslé právě kdž platí: náhodný vektor s dskrétním rozdělením: j j náhodný vektor se spojtým rozdělením: Mez nejvýznamnější smíšené moment náhodného vektoru patří kovarance Cov E E E V pra se čato setkáváme s reprezentací centrálních momentů řádu ve ormě tzv kovaranční matce: D Cov Cov D Mírou lneární závslost je korelační koecent Cov D D D D 5 ředstavme s že budeme třkrát opakovat pokus u nějž známe pravděpodobnost úspěchu např hod mncí p = 5 volme tto náhodné velčn: Náhodný vektor = počet pokusů do prvního úspěchu počet po sobě jdoucích úspěchů a Určete margnální pravděpodobnostní unkce z b Sestavte sdruženou pravděpodobnostní unkc = =z c Určete zda jsou náhodné velčn nezávslé d Určete střední hodnot a rozptl složek e Určete kovaranční matc Určete jednoduchý korelační koecent g Určete podmíněné pravděpodobnostní unkce a = =z =z =
3 Statstka I cvčení Řešení: Vpšme s všechn možné kombnace k nmž b mohlo dojít S - úspěch F - neúspěch: { FFF; SFS; SSF; FSS; FSF; FFS; SFF; SSS } A uvažujme že pravděpodobnost úspěchu S = p pravděpodobnost neúspěchu F = -p Jedná se o dskrétní dvourozměrný náhodný vektor přčemž: složka může nabývat hodnot: 3 složka může nabývat hodnot: 3 ojmenujme s všechn elementární jev základního prostoru a určeme pravděpodobnost jejch výsktu pro výpočet jednotlvých pravděpodobností vužjeme poznatku že jev F a S jsou nezávslé A FFF A - p 3 = 5 A SFS A p - p = 5 A3 SSF A3 p - p = 5 A4 FSS A4 p - p = 5 A5 FSF A5 p - p = 5 A6 FFS A6 p - p = 5 A SFF A p - p = 5 A8 SSS A8 p 3 = 5 ada apšme s nní do pomocných tabulek které jev vhovují daným hodnotám náhodných velčn a počet pokusů do prvního úspěchu 3 A A3 A A8 A4 A5 A6 A počet po sobě jdoucích úspěchů 3 A A A5 A6 A A3 A4 A8 protože jev A A8 jsou neslučtelné můžeme margnální pravděpodobnostní unkce jednoduše určt Např = A + A3 + A + A8 = = =5 počet pokusů do prvního úspěchu počet po sobě jdoucích úspěchů
4 Statstka I cvčení V našem případě máme určovat zároveň sdruženou pravděpodobnostní unkc b blo rchlejší pro určen margnálních pravděpodobnostních unkcí vužít korelační tabulku kterou budeme vtvářet pro záps sdružené pravděpodobnost adb konstruujeme korelační tabulku nejdříve s do ní vpíšeme jev které vhovují příslušným podmínkám a poté na základě jejch neslučtelnost určíme pravděpodobnost výsktu příslušných skupn jevů 3 - A A A3 A8 - A5 A4 - - A A Tabulka sdružené pravděpodobnostní unkce Např = = = 5; = = = 5 Chceme-l získat korelační tabulku v klasckém tvaru tj včetně margnálních pravděpodobnost stačí sečíst příslušné řádk sloupce z ro srovnání s porovnejte takto získané margnální pravděpodobnost s margnálním pravděpodobnostm získaným v ada adc ro náhodný vektor s dskrétním rozdělením platí že složk náhodného vektoru jsou nezávslé právě kdž platí: z j z j Tento předpoklad v našem případě splněn není např Ý ; 5 55 toho plne že náhodné velčn nejsou nezávslé - 5 -
5 Statstka I cvčení add Střední hodnot a rozptl získáme z denčních vztahů pomocí margnálních pravděpodobnostních unkcí: 4 E E D E E E z z E 4 z D E z E ade Kovaranční matce má obecný tvar: D Cov Cov D ro její záps musíme určt kovaranc Cov E E E z j z j j Kovaranční matce má tvar: ad Jednoduchý korelační koecent určíme z denčního vztahu: Cov D D
6 Statstka I cvčení Na základě této hodnot korelačního koecentu můžeme říc že mez náhodným velčnam a estuje středně slná negatvní korelace tj že pravděpodobně s růstem bude klesat lneárně adg odmíněné pravděpodobnost budeme opět zapsovat do tabulk a jejch hodnot určíme z dence: z z z Tabulka podmíněné pravděpodobnostní unkce = = z 3 /5 5/5 5/5 5/5 /5 5/5 5/5 /5 /5 5/5 /5 /5 3 5/5 /5 /5 / Např = = = 5 z Tabulka podmíněné pravděpodobnostní unkce = z = 3 /5 5/5 5/5 5/5 /5 5/5 5/5 /5 /5 5/5 /5 /5 3 5/5 /5 /5 / Např = = =
7 Statstka I cvčení 5 Student z jedné studjní skupn bl na zkoušce z matematk a zk s těmto výsledk první hodnota v uspořádané dvojc označuje výsledek studenta z matematk druhá z zk: a Vtvořte pravděpodobnostní tabulku náhodného vektoru jehož složka bude znamenat výsledk u zkoušk z matematk a složka bude znamenat výsledk u zkoušk z zk b Určete jeho margnální pravděpodobnostní unkce c Určete jeho dstrbuční unkc F d jstěte jeho podmíněné pravděpodobnost =/= Řešení: ada Tabulka sdružených četností: Celkem: Tabulka sdružených pravděpodobností: Hodnot v prvním řádku a prvním sloupc jsou hodnot kterých mohou nabývat náhodné velčn Ostatní čísla v tabulce jsou pravděpodobnost výsktu všech možných dvojc např ; 5 adb
8 Statstka I cvčení Hodnot margnální pravděpodobnostní unkce jsou vžd součt všech pravděpodobností v daném řádku např: 3 = = 45 Obdobně nalezneme ve sloupcích hodnot výrazněné číslo musí být vžd rovno jedné je to součet všech hodnot nebo ted vlastně součet všech sdružených pravděpodobností náhodného vektoru adc F: postup př výpočtu: např: F33 = <3<3 = = 5 Všmněte s že hodnot v posledním sloupc odpovídají hodnotám margnální dstrbuční unkce F a hodnot v posledním řádku hodnotám F add např:
9 Statstka I cvčení 53 Sdružená hustota pravděpodobnost dvousložkového náhodného vektoru je denována jako: pro ; ; jnde Určete: a Margnální hustot pravděpodobnost b Margnální dstrbuční unkce F F c Střední hodnot a rozptl složek d Hodnotu jednoduchého korelačního koecentu výsledek dejte do souvslost s mírou lneární závslost Řešení: ada Jde o spojtý náhodný vektor proto: d pro ; jnde e smetre sdružené pravděpodobnostní unkce vplývá obdobný tvar pro ; jnde adb Margnální dstrbuční unkce jednotlvých složek určíme z margnálních hustot pravděpodobnost: F dt dt dt t t t dt t dt dt ze smetre můžeme opět odvodt: pro ; pro ; pro ; F pro ; pro ; pro ; adc Střední hodnot a rozptl jednotlvých složek určíme pomocí margnálních hustot pravděpodobnost na základě znalost denčních vztahů pro oba moment: - 6 -
10 Statstka I cvčení d d E d d E E E D Opět vužjeme smetre sdružené hustot pravděpodobnost a můžeme tvrdt že: 44 D ; E add ro výpočet jednoduchého korelačního koecentu potřebujeme znát hodnotu kovarance a proto začneme jejím výpočtem: dd E E E Cov d dd d Dále jž stačí jen dosadt do denčního vztahu pro jednoduchý korelační koecent: D D Cov velkost korelačního koecentu můžeme usuzovat na to že mez a pravděpodobně neestuje lneární závslost tj a jsou nekorelované náhodné velčn
11 Statstka I cvčení Vpočtěte střední hodnotu náhodné velčn náhodného vektoru který je určen hustotou pravděpodobnost: 5sn pro jnde Řešení: d E kde d : ; sn d d d d d E ro vřešení tohoto ntegrálu použjeme metodu per partes: ' ' sn - sn sn - sn sn sn sn - sn sn -sn u d v v u d E 4
12 Statstka I cvčení odobným způsobem b se dal vpočítat zblé číselné charakterstk: rozptl kovarance a koecent korelace Na závěr cvčení s ukážeme jak můžeme vužít Statgraphcs př zpracování dskrétního dvourozměrného vektoru 55 Student z jedné studjní skupn bl na zkoušce z matematk a zk s těmto výsledk první hodnota v uspořádané dvojc označuje výsledek studenta z matematk druhá z zk: volme tto náhodné velčn: Náhodný vektor = omocí Statgraphcsu: známka z matematk známka z zk a Sestavte sdruženou pravděpodobnostní unkc = =z b Určete margnální pravděpodobnost c Určete zda jsou náhodné velčn nezávslé d Určete kovaranční matc e Určete jednoduchý korelační koecent Řešení: pracování dvourozměrného dskrétního náhodného vektoru ve Statgraphcsu zahájíme tím že do tohoto sotwaru zadáme data adání dvourozměrné proměnné provedeme buď v tzv standardním datovém ormátu nebo ve ormě tabulk sdružených četností kontngenční tabulk od pojmem standardní datový ormát s představme klascké zadání dat denujeme dvě proměnné známka z matematk známka z zk a zadáme všechn kombnace obou proměnných
13 Statstka I cvčení Kontngenční tabulka tj v podstatě tabulka sdružených četnost námka z matematk F F F3 F4 jsou numercké proměnné F označuje jednčku z zk F dvojku z zk apod adaadb Sdruženou pravděpodobnostní unkc získáme jako tetový výstup př zpracování kategorální proměnné: Máme-l data zadána ve standardním datovém ormátu pak použjeme: Menu Descrbe \ Categorcal Data \ Crosstabulaton proměnné Výnos V okně Crosstabulaton označíme jednu proměnnou námka z matematk jako Row Varables a druhou námka z zk jako Column Varables okud mez proměnným estuje příčnná souvslost pak za řádkovou proměnnou Row Varable volíme proměnnou která je příčnou změn proměnné kterou označíme za sloupcovou Column varable např Množství hnojva je příčnou změn Máme-l data zadána ve ormě kontngenční tabulk pak použjeme: Menu Descrbe \ Categorcal Data \ Contngenc Tables
14 Statstka I cvčení V okně Contngenc Tables označíme F F F3 F4 jako Columns sloupce a námku z matematk jako Labels Dále pokračujeme v obou případech stejně: Označíme OK a pomocí kon Tabular Optons žlutá kona s jako požadovaný tetový výstu zvolíme tabulku četností Frequenc Tables Označíme OK a jako výstup se nám objeví tabulka v níž jsou uveden jak sdružené četnost tak sdružené pravděpodobnost v procentech a na okrajích tabulk najdeme margnální pravděpodobnost % - 6 -
15 Statstka I cvčení adc Grackou obdobou kontngenční tabulk je mozakový gra Tento gra se skládá z obdélníků jejchž stran jsou úměrné příslušným margnálním relatvním četnostem Statgraphcs konstruuje mozakový gra tak že na svslou osu vnáší nezávsle proměnnou příčna a na vodorovnou osu závsle proměnnou důsledek okud b bl mozakový gra v tomto případě tvořen svslým pruh jednotlvé obdélník stejných barev b měl stejné vodorovné rozměr znamenalo b to že sledované proměnné jsou nezávslé Obdobné vhodnocení provedeme v případě kd statstcký sotware vnáší nezávsle proměnnou na vodorovnou osu např JM-IN ak je v případě nezávslost proměnných mozakový gra tvořen vodorovným pás V našem případě nedokážeme určt která náhodná velčna ovlvňuje kterou a proto nezáleží na tom kterou budeme vnášet na osu a kterou na osu grau je zřejmé že se jedná o závslé náhodné velčn Toto je pouze závěr eplorační popsné statstk add Chceme-l získat kovaranční matc musíme mít dat zadána ve standardním datovém ormátu oužjeme menu: Menu Descrbe \ Numerc Data \ Multple Varable Analss V okně Multple Varable analss zadáme dané proměnné jako Data a zvolíme OK
16 Statstka I cvčení Kovaranční matc získáme zaškrtnutím pole Covarances v okně Tabular Optons které se nám objeví po klknutí na konu Tabular Optons žlutá kona ade Jednoduchý korelační koecent získáme obdobně jako kovaranční matc ouze v okně Tabular opton žlutá kona zaškrtneme pole Correlatons
17 Statstka I cvčení V tetovém výstupu najdeme hodnotu korelačního koecentu 65 počet hodnot proměnných a hodnotu p-value budeme se jí zabývat př testování hpotéz která nám říká zda se korelační koecent odlšuje od nulové hodnot natolk abchom data mohl považovat za lneárně závslá Je-l p-value menší než pak data považujeme za lneárně závslá ř této analýze získáme rovněž gracký výstup ve ormě bodových graů ukazujících ormu závslost mez proměnným grau je lneární závslost proměnných zcela zřejmá Tomu odpovídá hodnota korelačního koecentu 65 která ukazuje na slnou poztvní korelac což je potvrzeno hodnotou p-value 34 <<< - -
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceREGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení
REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká
Více4 NÁHODNÝ VEKTOR. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět
4 NÁHODNÝ VEKTOR Čs ke studu kptol: 6 mnut Cíl: o prostudování této kptol udete umět popst náhodný vektor eho sdružené rozdělení vsvětlt pom mrgnální podmíněné rozdělení prvděpodonost popst stochstckou
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese
cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování
Více8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMENTY
8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMETY Stattcký oubor e dvěma argument Průvodce tudem Vužeme znalotí z předchozí kaptol, která poednávala o tattckém ouboru edním argumentem a rozšíříme e. Předpokládané
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
VíceStatistická šetření a zpracování dat.
Statstcká šetření a zpracování dat. Vyjadřovací prostředky ve statstce STATISTICKÉ TABULKY Typckým vyjadřovacím prostředkem statstky je číslo formalzovaným nástrojem číselného vyjádření je statstcká tabulka.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní
Více3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina
3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VícePodmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav
S1 odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav Lbor Žák odmíněná pravděpodobnost Nechť,, 0, podmíněná pravděpodobnost evu vzhledem k evu : S akou pravděpodobností
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceTéma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nomnální napětí v pásnc Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma 5: Parametrcká rozdělení pravděpodobnost spojté náhodné velčn Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí
VíceNeparametrické metody
Neparametrcké metody Přestože parametrcké metody zaujímají klíčovou úlohu ve statstcké analýze dat, je možné některé problémy řešt př neparametrckém přístupu. V této přednášce uvedeme neparametrcké odhady
VíceVzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení
Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná
VíceČísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)
. NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VícePřednáška č. 11 Analýza rozptylu při dvojném třídění
Přednáška č. Analýza roztlu ř dvojném třídění Ve většně říadů v rax výsledk exermentu, rozboru závsí na více faktorech. Př této analýze se osuzují výsledk náhodných okusů (exerment nebo soubor získané
Víceina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
VíceKomplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0
Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceVýsledný graf ukazuje následující obrázek.
Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceČísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.
Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VíceObr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
Více1 Úvod. 2 Teorie. verze 1.0
Vícenásobný integrál verze. Úvod Následující tet se zabývá dvojným a trojným integrálem. ěl b sloužit především studentům předmětu ATEAT na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. ohou se v něm
Více6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu
6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceOdhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)
4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk
VícePřílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
VícePříklady z přednášek Statistické srovnávání
říklad z řednášek Statstcké srovnávání Jednoduché ndvduální ndex říklad V následující tabulce jsou uveden údaje o očtu závažných závad v areálu určté frm zjštěných a oravených v letech 9-998. Závažná závada
VíceP ílohy. P íloha 1. ešení úlohy lineárního programování v MS Excel
P ílohy P íloha 1 ešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této p íloze si ukážeme, jak lze ešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat
VíceTestování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test
Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceSTATISTIKA PRO NELÉKAŘSKÉ ZDRAVOTNICKÉ OBORY
STATISTIKA PRO NELÉKAŘSKÉ ZDRAVOTNICKÉ OBORY Eva Reterová Olomouc 06 Fakulta zdravotnckých věd Unverzta Palackého v Olomouc Statstka pro nelékařské zdravotncké obory Eva Reterová Olomouc 06 Oponent: PhDr.
Více2 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ. RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Neříkej: Objevil jsem pravdu! ale raději: Objevil jsem jednu z pravd! Chalil Gibran
Elena Melcová, Radmla Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statstcké programy TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Neříkej: Objevl jsem pravdu! ale raděj: Objevl jsem jednu z pravd! Chall Gbran Testování hypotéz
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304
935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad
VíceNumerická matematika A
Numercká matematka A 5615 A1 Máme dánu soustava lneárních rovnc tvaru AX = B, kde 4 1 A = 1 4 1, B = 1 a Zapíšeme soustavu rovnc AX = B ve tvaru upravíme a následně (L + D + P X = B, DX = (L + P X + B,
Vícepodle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y
4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více, 4. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
..06, 4. skupina (6: - 7:4) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papír, které odevzdáváte. Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí. Co je škrtnuto, nebude bráno
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je
VíceRaoultův zákon, podle kterého je při zvolené teplotě T parciální tlak i-té složky nad roztokem
DVOUSLOŽKOVÉ SYSTÉMY lkace Gbbsova zákona fází v f s 2 3 1 4 2 2 4 mamálně 3 roměnné, ro fázový dagram bchom otřeboval trojrozměrný 1 3 4 graf, oužíváme lošné graf, kd volíme buď konstantní telotu (zotermcký
Více( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve
Více2. Najděte funkce, které vedou s těmto soustavám normálních rovnic
Zadání. Sestavte soustavu normálních rovnc ro funkce b b a) b + + b) b b +. Najděte funkce, které vedou s těmto soustavám normálních rovnc nb a) nb. Z dat v tabulce 99 4 4 b) určete a) rovnc regresní funkce
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VícePOROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI
POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI Potřeba porovnání počtů mez určtým skupnam jednců např. porovnání počtů onemocnění mez kraj nebo okresy v prax se obvykle pracuje s porovnáním na 100.000 osob. Stuace ale nebývá
VíceCHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.
CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt
VíceStatika soustavy těles v rovině
Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M
VíceAnalýza závislosti veličin sledovaných v rámci TBD
Analýza závslost velčn sledovaných v rámc BD Helena Koutková Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební, Ústav matematky a deskrptvní geometre e-mal: koutkovah@fcevutbrcz Abstrakt Příspěvek se zabývá
Více[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201
6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceObsah přednášky 1. Bayesův teorém 6. Naivní Bayesovský klasifikátor (NBK)
Obsah přednášky 1. Bayesův teorém 2. Brutální Bayesovský klasfkátor (BBK) 3. Mamální aposterorní pravděpodobnost (MA) 4. Optmální Bayesovský klasfkátor (OBK) 5. Gbbsův alortmus (GA) 6. Navní Bayesovský
Více( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceTéma 9: Vícenásobná regrese
Téma 9: Vícenásobná regrese 1) Vytvoření modelu V menu Statistika zvolíme nabídku Vícerozměrná regrese. Aktivujeme kartu Detailní nastavení viz obr.1. Nastavíme Proměnné tak, že v příslušném okně viz.
VíceOsově namáhaný prut základní veličiny
Pružnost a pevnost BD0 Osově namáhaný prut základní velčny ormálová síla půsoící v průřezu osově namáhaného prutu se získá ntegrací normálového napětí po ploše průřezu. da A Vzhledem k rovnoměrnému rozložení
VíceDále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VícePOTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ
POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2
VíceMechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory
Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current
Více2. Bodové a intervalové rozložení četností
. Bodové a intervalové rozložení četností (Jak získat informace z datového souboru?) Po prostudování této kapitoly budete umět: konstruovat diagramy znázorňující rozložení četností vytvářet tabulky četností
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VícePorovnání GUM a metody Monte Carlo
Porovnání GUM a metody Monte Carlo Ing. Tomáš Hajduk Nejstota měření Parametr přřazený k výsledku měření Vymezuje nterval, o němž se s určtou úrovní pravděpodobnost předpokládá, že v něm leží skutečná
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky
Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VíceTepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má
Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po
Více4. Třídění statistických dat pořádek v datech
4. Třídění statstcých dat pořáde v datech Záladní členění statstcých řad: řada časová, řada prostorová, řada věcná věcná slovní řada, věcná číselná řada. Záladem statstcého třídění je uspořádání hodnot
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jří Holčík, CSc. INVESTICE Insttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV - pokračování KLASIFIKACE PODLE MINIMÁLNÍ VZDÁLENOSTI METRIKY PRO URČENÍ VZDÁLENOSTI
Více6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
1 6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY Př budování regresních modelů se běžně užívá metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců poskytuje postačující odhady parametrů jenom př současném splnění všech předpokladů
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceVyrovnání měření přímých stejné přesnosti
Vyrovnání měření přímých stejné přesnost 1) Určíme přblžnou hodnotu x pro přehlednější výpočet v pracovní tabulce: x ) Vypočteme hodnoty doplňků δ k přblžné hodnotě x : δ l x, protože l x + δ 3) Výpočet
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Více