Převody Regulárních Výrazů. Minimalizace Konečných. Regulární jazyky 2 p.1/35
|
|
- Kamil Bláha
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Převody Regulárních Výrzů Minimlizce Konečných Automtů Regulární jzyky 2 p.1/35
2 Kleeneho lger Definice 2.1 Kleeneho lger sestává z neprázdné množiny se dvěm význčnými konstntmi 0 1, dvěm inárními opercemi +. unární opercí, které splňují následující xiomy: +(+c) = (+)+c socitivit + [A.1] + = + komuttivit + [A.2] + = idempotence + [A.3] +0 = 0 je identitou pro + [A.4] (c) = ()c socitivit. [A.5] 1 = 1 = 1 je identitou pro. [A.6] 0 = 0 = 0 0 je nihilátorem pro. [A.7] ( + c) = + c distriutivit zlev [A.8] ( + )c = c + c distriutivit zprv [A.9] 1+ = [A.10] 1+ = [A.11] +c c c [A.12] +c c c [A.13] V A.12 A13 reprezentuje uspořádání definovné tkto: def + =. Regulární jzyky 2 p.2/35
3 Příkldy Kleeneho lgeer: Tříd 2 Σ všech podmnožin Σ s konstntmi {} opercemi,.. Tříd všech regulárních podmnožin Σ s konstntmi {} opercemi,.. Tříd všech inárních relcí nd množinou X s konstntmi v podoě prázdné relce identity, kompozicí (součinem) inárních relcí reflexivním trnzitivním uzávěrem inární relce jko opercemi. Mtice nd Kleeneho lgermi. Ukázk pltnosti A.2 pro regulární množiny: Necht p, resp. q, oznčují reg. množiny P, resp. Q. Pk p+q oznčuje P Q q +p oznčuje Q P. P Q = Q P (komuttivit množinového sjednocení) p+q = q +p. Regulární jzyky 2 p.3/35
4 Poznámk: Axiomy A.12 A.13 lze nhrdit následujícími ekvivlentními vzthy: c c c c c c c c [A.14] [A.15] Důkz. Viz D. Kozen. A Completeness Theorem for Kleene Algers nd the Alger of Regulr Events. Technicl Report TR , Dept. of Comp. Sci., Cornell University, Ithc, NY, USA, Dostupné n Internetu: odkz viz stránky kurzu. Některé užitečné teorémy Kleeneho lgery, které lze odvodit z jejich xiómů: 0 = 1 1+ = = + = = ( ) = (+) prvidlo vynořování [R.16] () = () prvidlo posuvu [R.17] = () +() Regulární jzyky 2 p.4/35
5 Dlší vlstnosti Kleeneho lgeer, které lze odvodit z uvedených xiómů: je neostrým částečným uspořádáním: je reflexivní ( ), je trnzitivní ( c c), je ntisymetrické ( = ). + je supremum (nejmenší horní omezení lest upper ound) vůči. je monotónní vůči všem operátorům: c c c c, +c +c,. Sndno se smozřejmě tké ukáže, že =. Regulární jzyky 2 p.5/35
6 Důkz. Příkldy důkzů uvedených vlstností osttní viz npř. D. Kozen. A Completeness Theorem for Kleene Algers nd the Alger of Regulr Events neo Automt nd Computility: 0 = 1: 0 A.10 = 1+00 A.7 = 1+0 A.4 = = pro stručnost neuvádíme použití A.1, A.2: 1+ : A.10: = 1+ A.3: + = 1+ A.10: 1+ + = 1+ A.3: = 1+, neoli = 1+ def. : A.10: : 1+ = 1+ A.3: 1+ + = 1+ def. : 1+ ntisymetrie. Regulární jzyky 2 p.6/35
7 Poznámk: Různé vlstnosti Kleeneho lgeer se někdy snáze dokzují pro jednotlivé konkrétní příkldy těchto lgeer, npř. pro Kleeneho lgeru regulárních výrzů, kde lze npř. využít vzy n teorii množin. Vlstnosti Kleeneho lgeer umožňují sndno řešit systémy lineárních rovnic nd těmito lgermi. V dlší části udeme s těmito rovnicemi prcovt již přímo nd Kleeneho lgerou regulárních výrzů. Regulární jzyky 2 p.7/35
8 Rovnice nd regulárními výrzy Definice 2.2 Rovnice, jejímiž složkmi jsou koeficienty neznámé, které reprezentují (dné hledné) regulární výrzy, nzýváme rovnicemi nd regulárními výrzy. Příkld 2.1 Uvžujme rovnici nd regulárními výrzy nd ecedou {,} Jejím řešením je regulární výrz X =. X = X + Důkz. LS = PS = ( )+ = + + = ( + +) =. Ne vždy existuje jediné řešení rovnice nd reg. výrzy. Regulární jzyky 2 p.8/35
9 Vět 2.1 Necht X = px +q je rovnice nd reg. výrzy, kde p, q jsou reg. výrzy p oznčuje regulární množinu P tkovou, že P. Pk X = p (q +r) je řešením této rovnice pro liovolné r (kterému nemusí ni odpovídt regulární množin, le přípdně i oecnější jzyk). Důkz. PS = p (q +r) LS = p(p (q+r))+q = pp (q+r)+q = p (q+r)+q = p (q+r) (Uvědomme si, že P.) Ovykle le hledáme nejmenší řešení, tzv. nejmenší pevný od, dné rovnice. Regulární jzyky 2 p.9/35
10 Vět 2.2 Nejmenším pevným odem rovnice X = px +q je: X = p q Důkz. PS = p q LS = pp q +q = (pp +)q = p q Minimlit plyne přímo z A.12. Regulární jzyky 2 p.10/35
11 Soustvy rovnic nd regulárními výrzy Příkld 2.2 Budiž dán soustv rovnic X = 1 X + 2 Y + 3 Y = 1 X + 2 Y + 3 Její řešení je: X = ( ) ( ) Y = ( ) ( ) Důkz. Ponecháno n čtenáře. Regulární jzyky 2 p.11/35
12 Definice 2.3 Soustv rovnic nd reg. výrzy je ve stndrdním tvru vzhledem k neznámým = {X 1,X 2,...,X n }, má-li soustv tvr i {1,...,n} X i = α i0 +α i1 X 1 +α i2 X α in X n kde α ij jsou reg. výrzy nd nějkou ecedou Σ, Σ =. Vět 2.3 Je-li soustv rovnic nd reg. výrzy ve std. tvru, pk existuje její minimální pevný od lgoritmus jeho nlezení. Důkz. Vyjdřujeme hodnotu jednotlivých proměnných pomocí řešení rovnice X = px +q jko regulární výrz s proměnnými, jejichž počet se postupně snižuje: Z rovnice pro X n vyjádříme npř. X n jko regulární výrz nd Σ X 1,...,X n 1. Dosdíme z X n do rovnice pro X n 1 postup opkujeme. Jsou přitom možné (le ne nutné) různé optimlizce tohoto pořdí. Regulární jzyky 2 p.12/35
13 Příkld 2.3 Řešme soustvu rovnic nd reg. výrzy: (1) X 1 = (01 +1)X 1 +X 2 (2) X 2 = 11+1X 1 +00X 3 (3) X 3 = +X 1 +X 2 Výrz pro X 3 dosdíme z (3) do (2). Dostneme soustvu: (4) X 1 = (01 +1)X 1 +X 2 (5) X 2 = 11+1X 1 +00(+X 1 +X 2 ) = (1+00)X 1 +00X 2 Ze (4) vyjádříme X 1 s využitím řešení rovnice X = px +q (vět 2.3): (6) X 1 = (01 +1) X 2 = (0+1) X 2 Doszením do (5): (7) X 2 = (1+00)(0+1) X 2 +00X 2 = (1+00)(0+1) X 2 Vypočtením X 2 jko řešení rovnice X = px +q dostneme: (8) X 2 = ((1+00)(0+1) ) (00+11) Doszením do (6) dostneme: (9) X 1 = (0+1) ((1+00)(0+1) ) (00+11) = (0+1) (00+11) Doszením do (3) dostneme: (10) X 3 = +(0+1) (00+11)+((1+00)(0+1) ) (00+11) = = +((0+1) +((1+00)(0+1) ) )(00+11) = = +(0+1) (00+11) Regulární jzyky 2 p.13/35
14 Regulární množiny jzyky typu 3 Vět 2.4 Jzyk L je regulární množinou právě tehdy, je-li L jzykem typu 3. Oznčíme-li L R třídu všech regulárních množin, pk: L R = L 3 Důkz. I. L R L 3, tj. kždou regulární množinu lze generovt grmtikou typu 3. regulární množin grmtik typu 3 (1) G = ({S},Σ,,S) (2) {} G = ({S},Σ,{S },S) (3) {} pro kždé Σ G = ({S},Σ,{S },S) Nyní ukážeme, že sjednocení, konktenci iterci reg. množin lze generovt rovněž grmtikou typu 3. Necht tedy L 1 = L(G 1 ), kde G 1 = (N 1,Σ 1,P 1,S 1 ), L 2 = L(G 2 ), kde G 2 = (N 2,Σ 2,P 2,S 2 ) G 1, G 2 jsou grmtiky typu 3, N 1 N 2 = (nonterminály je vždy možno tkto odlišit). Důkz pokrčuje dále. Regulární jzyky 2 p.14/35
15 Pokrčování důkzu. regulární množin grmtik typu 3 (4) L 1 L 2 N 4 = N 1 N 2 {S 4 }, S 4 N 1 N 2, G 4 = (N 4,Σ 1 Σ 2,P 4,S 4 ), kde P 4 = {S 4 S 1 S 2 } P 1 P 2 (5) L 1.L 2 G 5 = (N 1 N 2,Σ 1 Σ 2,P 5,S 1 ) P 5 je nejmenší množin tková, že: je-li (A xb) P 1, pk (A xb) P 5, je-li (A x) P 1, pk (A xs 2 ) P 5, (A α) P 2 : (A α) P 5. (6) L 1 G 6 = (N 1 {S 6 },Σ 1,P 6,S 6 ), S 6 N 1 P 6 je nejmenší množin tková, že: je-li (A xb) P 1, pk (A xb) P 6, je-li (A x) P 1, pk (A xs 6 ) P 6, (S 6 S 1 ) P 6. Důkz pokrčuje dále. Regulární jzyky 2 p.15/35
16 Pokrčování důkzu. II. L 3 L R, tj. kždý jzyk generovný grmtikou typu 3 je regulární množinou. Necht L L 3 je liovolný jzyk typu 3. Již vím, že ho můžeme popst KA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Necht Q = {q 0,q 1,...,q n }. Vytvoříme soustvu rovnic n reg. výrzy s proměnnými X 0,X 1,...,X n ve stndrdním tvru. Rovnice pro X i popisuje množinu řetězců přijímných ze stvu Q i. Řešením této soustvy získáme reg. výrz pro proměnnou X 0, který reprezentuje jzyk L. Příkld X 1 = + X 1 + X 2 + X 3 X 2 = X 1 + X 3 X 3 = + X 2 + X 3 2 Jzyk L popisuje reg. výrz, který je řešením této soustvy pro proměnnou X 1. Regulární jzyky 2 p.16/35
17 Poznámk: jiný převod KA n RV Regulární přechodový grf je zoecnění KA, které umožňuje množinu počátečních stvů regulární výrzy n hrnách. Kždý RPG je možné převést n RPG s jediným přechodem, ze kterého odečteme hledný RV. Zvedeme nový počáteční koncový stv, které propojíme s původními počátečními koncovými stvy přechody. Pk postupně odstrňujeme všechny původní stvy následujícím způsoem: S 1 R 1 (S 1 +S 2 +)*T 1 R 1 T 1 R 2 (S 1 +S 2 +)*T 1 R 1 (S 1 +S 2 +)*T 2 R 2 T 2 S 2 R 2 (S 1 +S 2 +)*T 2 Regulární jzyky 2 p.17/35
18 Přímý převod RV n DKA Regulární jzyky 2 p.18/35
19 Rozšířené konečné utomty RV udeme převádět nejprve n tzv. rozšířené KA ty pk n DKA. Definice 2.4 Rozšířený konečný utomt (RKA) je pětice M = (Q,Σ,δ,q 0,F), kde Q je konečná množin stvů, Σ je konečná vstupní eced, δ je zorzení Q (Σ {}) 2 Q, q 0 Q je počáteční stv, F Q je množin koncových stvů. Příkld 2.5 M = ({0,1,2,3,4},{,},δ,0,{2,4}) L(M) = + = Regulární jzyky 2 p.19/35
20 -uzávěr Klíčovou funkci v lgoritmu převodu RKA n DKA má výpočet funkce, která k dnému stvu určí množinu všech stvů, jež jsou dostupné po hrnách digrmu přechodů funkce δ. Oznčme tuto funkci jko -uzávěr: -uzávěr(q) = {p w Σ : (q,w) (p,w)} Funkci -uzávěr zoecníme tk, y rgumentem mohl ýt množin T Q: -uzávěr(t) = -uzávěr(s) s T Příkld 2.6 t q p -uzávěr({q,r,s}) = {p,q,r,s,t} r s Regulární jzyky 2 p.20/35
21 Výpočet -uzávěru Zvedeme relci v množině Q tkto: Pk -uzávěr(p) = {q Q p q}. q 1,q 2 Q : q 1 q 2 def q 2 δ(q 1,) K výpočtu -uzávěru pk použijeme Wrshllův lgoritmus, doplníme digonálu jedničkmi z příslušného řádku mtice výsledné relce vyčteme -uzávěr. Příkld 2.7 L(M) = (+) uzávěr(3) = {3,6,7,1,2,4} -uzávěr({1,0}) = {0,1,2,4,7} Regulární jzyky 2 p.21/35
22 Převod RKA n ekvivlentní DKA Algoritmus 2.1 Převod RKA n DKA Vstup: RKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Výstup: DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F ), L(M) = L(M ). Metod: 1. Q := 2 Q \{ }. 2. q 0 := -uzávěr(q 0 ). 3. δ : Q Σ Q je vypočten tkto: Necht T Q, Σ : δ(t,) = q T δ(q,). Pk pro kždé T Q, Σ: () pokud δ(t,), pk δ (T,) = -uzávěr(δ(t,)), () jink δ (T,) není definováno. 4. F := {S S Q S F }. Regulární jzyky 2 p.22/35
23 Příkld 2.8 Aplikujeme lgoritmus 2.3 n utomt z příkldu 2.10: 1. Počáteční stv, oznčíme ho A, je A = -uzávěr(0) = {0, 1, 2, 4, 7}. 2. δ (A,) = -uzávěr({3,8}) = {1,2,3,4,6,7,8} = B. 3. δ (A,) = -uzávěr({5}) = {1,2,4,5,6,7} = C. 4. δ (B,) = -uzávěr({3,8}) = B. 5. δ (B,) = -uzávěr({5,9} = {1,2,4,5,6,7,9} = D. 6. δ (C,) = -uzávěr({3,8}) = B. 7. δ (C,) = -uzávěr({5}) = C. 8. δ (D,) = -uzávěr({3,8}) = B. 9. δ (D,) = -uzávěr({5,10} = {1,2,4,5,6,7,10} = E. 10. δ (E,) = -uzávěr({3,8}) = B. 11. δ (E,) = -uzávěr({5}) = C. 12. Množin koncových stvů F = {E}. Automt z příkldu 2.10: Regulární jzyky 2 p.23/35
24 Převod RV n ekvivlentní RKA Algoritmus 2.2 Převod RV n RKA Vstup: RV r popisující regulární množinu R nd Σ. Výstup: RKA M tkový, že L(M) = R. Metod: 1. Rozložíme r n jeho primitivní složky podle rekurzivní definice reg. množiny/výrzu. 2. () Pro výrz zkonstruujeme utomt: s f () Pro výrz, Σ zkonstruujeme utomt: s f (c) Pro výrz zkonstruujeme utomt: (d) Necht N 1 je utomt přijímjící jzyk specifikovný výrzem r 1 necht N 2 je utomt přijímjící jzyk specifikovný výrzem r 2. i. Pro výrz r 1 +r 2 zkonstruujeme utomt: s f N 1 s f N 2 Regulární jzyky 2 p.24/35
25 2. (d) ii. Pro výrz r 1 r 2 zkonstruujeme utomt: N 1 N 2 iii. Pro výrz r 1 zkonstruujeme utomt: s N 1 f Příkld 2.9 Vytvořme RKA pro RV (+) : 1. Rozkld RV vyjádříme stromem: r 4 ( ) r 5 * r 11 r 9. r 7. r 8. r 6 r 10 r 3 r 1 + r 2 Regulární jzyky 2 p.25/35
26 2. () Regulárnímu výrzu r 1 = přísluší utomt N 1 : () Regulárnímu výrzu r 2 = přísluší utomt N 2 : (c) Regulárnímu výrzu r 1 +r 2 přísluší utomt N 3 : (d) Automt N 4 pro r 4 = (r 3 ) je stejný jko N 3, zkonstruujeme tedy rovnou N 5 pro výrz r 5 = r 4 = (+) : Regulární jzyky 2 p.26/35
27 2. (e) Regulárnímu výrzu r 6 = přísluší utomt N 6 : (f) Regulárnímu výrzu r 7 = r 5 r 6 přísluší utomt N 7 : pro zopkování N 5 : N 7 : (...) Pokrčujeme ž do získání utomtu z příkldu Převod RV n RKA zvádí mnoho vnitřních stvů je proto ovykle následován použitím lgoritmu minimlizce DKA (lgoritmus 2.2). Regulární jzyky 2 p.27/35
28 Vzthy regulárních grmtik, KA RV Můžeme tedy shrnout, že grmtiky typu 3 (prvé/levé regulární grmtiky, prvé/levé lineární grmtiky), (rozšířené/nedeterministické/deterministické) konečné utomty regulární výrzy mjí ekvivlentní vyjdřovcí sílu. grmtiky typu 3 konečné utomty regulární výrzy Regulární jzyky 2 p.28/35
29 Minimlizce DKA Regulární jzyky 2 p.29/35
30 Elimince nedosžitelných stvů Definice 2.5 Necht M = (Q,Σ,δ,q 0,F) je konečný utomt. Stv q Q nzveme dosžitelný, pokud existuje w Σ tkové, že (q 0,w) M (q,). Stv je nedosžitelný, pokud není dosžitelný. Algoritmus 2.3 Elimince nedosžitelných stvů Vstup: DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Výstup: DKA M ez nedosžitelných stvů, L(M) = L(M ). Metod: 1. i := 0 2. S i := {q 0 } 3. repet 4. S i+1 := S i {q p S i Σ : δ(p,) = q} 5. i := i until S i = S i 1 7. M := (S i,σ,δ Si,q 0,F S i ) Regulární jzyky 2 p.30/35
31 Jzykově nerozlišitelné stvy Definice 2.6 Necht M = (Q,Σ,δ,q 0,F) je úplně definovný DKA. Říkáme, že řetězec w Σ rozlišuje q 1,q 2, jestliže (q 1,w) M (q 3,) (q 2,w) M (q 4,) pro nějké q 3, q 4 právě jeden ze stvů q 3, q 4 je v F. Říkáme, že stvy q 1,q 2 Q jsou k-nerozlišitelné píšeme q 1 k q2, právě když neexistuje w Σ, w k, který rozlišuje q 1 q 2. Stvy q 1, q 2 jsou nerozlišitelné, znčíme q 1 q 2, jsou-li pro kždé k 0 k-nerozlišitelné. Poznámk: Dá se sndno dokázt, že je relcí ekvivlence n Q, tj. relcí, která je reflexivní, symetrickou trnzitivní. Definice 2.7 Úplně definovný DKA M nzýváme redukovný, jestliže žádný stv z Q není nedostupný žádné dv stvy nerozlišitelné. Regulární jzyky 2 p.31/35
32 Vět 2.5 Necht M = (Q,Σ,δ,q 0,F) je úplně definovný DKA Q = n, n 2. Pltí q 1,q 2 Q : q 1 q 2 q 1 n 2 q 2. Důkz. triviální, ukážeme : 1. Jestliže F = 0 neo F = n, pk pltí q 1 n 2 q 2 q 1 q Necht F > 0 F < n. Ukážeme, že pltí = n 2 n : 0 Zřejmě pltí: () q 1,q 2 Q : q 1 0 q2 (q 1 F q 2 F) (q 1 F q 2 F), tj. q 1 0 q2 (q 1 F q 2 F). () q 1,q 2 Q k 1 : q 1 k q2 (q 1 k 1 q 2 Σ : δ(q 1,) k 1 δ(q 2,)). Relce 0 je ekvivlencí určující rozkld {F,Q\F}. Je-li k+1 k, pk k+1 je vlstním zjemněním k, tj. oshuje lespoň o jednu třídu více než rozkld k. Jestliže pro nějké k pltí k+1 = k, pk tké k+1 = k+2 = k+3 =... podle () tedy k je hledná ekvivlence. Protože F neo Q\ F oshuje nejvýše n 1 prvků, získáme relci po nejvýše n 2 zjemněních 0. Regulární jzyky 2 p.32/35
33 Převod n redukovný DKA Algoritmus 2.4 Převod n redukovný DKA Vstup: Úplně definovný DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Výstup: Redukovný DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F ), L(M) = L(M ). Metod: 1. Odstrň nedostupné stvy s využitím lg i := := {(p,q) p F q F} 4. repet i+1 5. := {(p,q) p i q Σ : δ(p,) 6. i := i until i = i 1 8. Q := Q/ i 9. p,q Q Σ : δ ([p],) = [q] δ(p,) = q 10. q 0 = [q 0 ] 11. F = {[q] q F} i δ(q,)} Poznámk: Výrz [x] znčí ekvivlenční třídu určenou prvkem x. Regulární jzyky 2 p.33/35
34 Příkld minimlizce DKA Příkld 2.10 Převed te níže uvedený DKA (zdný digrm přechodů) n odpovídjící redukovný DKA. A F D B E C 0 δ 1. Neoshuje nedostupné stvy = {{A,F},{B,C,D,E}} 1 = {{A,F},{B,E},{C,D}} I: A F I B II F A I E II II: B E II D II C C II F I D D II A I E B II C II Pokrčuje n druhé strně... Regulární jzyky 2 p.34/35
35 Pro zopkování utomt z předchozího sljdu, v jehož minimlizci níže pokrčujeme: A F D B E C 1 δ = {{A,F},{B,E},{C,D}} = 1 = I: A F I B II F A I E II II: B E II D III E B II C III III: C C III F I D D III A I 8. Q = {[A],[B],[C]}, kde [A] = {A,F}, [B] = {B,E}, [C] = {C,D} 11. [A] [B] [C] Regulární jzyky 2 p.35/35
Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M.
BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 2/3 Konfigurce konečného utomtu BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 4/3 Automty
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag)
BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 2/33 Převod NKA ndka BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 4/33 Automty grmtiky(bi-aag) 3. Operce s konečnými utomty Jn
VíceJe regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111.
Grmtiky. Vytvořte grmtiku generující množinu řetězů { n m } pro n, m N {} tková, že n m. Pomocí této grmtiky derivujte řetezy,. 2. Grmtik je dán prvidly S ɛ S A A S B B A B. Je regulární? Pokud ne, n regulární
Více6. Zobrazení δ: (a) δ(q 0, x) obsahuje x i, x i Z. (b) δ(x i, y) obsahuje y j, x i y j P 7. Množina F je množinou koncových stavů.
Vzth mezi reg. výrzy kon. utomty Automty grmtiky(bi-aag) 7. Převody mezi reg. grm., reg. výrzy kon. utomty Jn Holu Algoritmus (okrčování): 6. Zorzení δ: () δ(, x) oshuje x i, x i Z. () δ(x i, y) oshuje
VíceMinimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31
Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31 Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů
VíceAutomaty a gramatiky
5 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Co ylo minule Množinové operce s jzyky sjednocení, pr nik, rozdíl, dopln k uzv enost opercí (lgoritmus p evodu) et
VíceAutomaty a gramatiky
Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Úvod do formálních grmtik Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí
VíceAutomaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?
Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než
VíceFormální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 7. března / 46
Formální jzyky Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn 2012 1/ 46 Teorie formálních jzyků motivce Příkldy typů prolémů, při jejichž řešení se využívá pozntků z teorie formálních jzyků: Tvor
VíceAutomaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik
Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VícePetriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz
PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceTeorie jazyků a automatů
Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceDeterministický konečný automat
Deterministický konečný utomt Formálně je deterministický konečný utomt definován jko pětice (Q,Σ,δ,q 0,F) kde: Q je konečná množin stvů Σ je konečná eced δ:q Σ Qjepřechodováfunkce q 0 Qjepočátečnístv
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Vícea i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11
Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice
Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
Více2.5.4 Věta. Každý jazyk reprezentovaný regulárním výrazem je regulárním jazykem.
2.5. Regulární výrzy [181012-1111 ] 21 2.5 Regulární výrzy 2.5.1 Regulární jzyky jsme definovli jko ty jzyky, které jsou přijímány konečnými utomty; ukázli, že je jedno, zd jsou deterministické neo nedeterministické.
VíceÚvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)
Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceSvazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:
vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceTeorie jazyků a automatů I
Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceMULTIDIMENSIONÁLNÍ JAZYKY A JEJICH AUTOMATY MULTI-DIMENSIONAL LANGUAGES AND THEIR AUTOMATA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INFORMAČNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS MULTIDIMENSIONÁLNÍ
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE
Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceTeoretická informatika - Úkol č.1
Teoretická informatika - Úkol č.1 Lukáš Sztefek, xsztef01 18. října 2012 Příklad 1 (a) Gramatika G 1 je čtveřice G 1 = (N, Σ, P, S) kde, N je konečná množina nonterminálních symbolů N = {A, B, C} Σ je
VíceAutomaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí
3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
VíceReprezentovatelnost částek ve dvoumincových systémech
Reprezentovtelnost částek ve dvoumincových systémech Jn Hmáček, Prh Astrkt Máme-li neomezené množství mincí o předepsných hodnotách, může se stát, že pomocí nich nelze složit některé částky Pro jednoduchost
Více{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507
58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní
VíceÚvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení...
Osh Úvod 1 1 Teoretická informtik 2 1.1 Vznik vývoj teoretické informtiky................... 2 1.1.1 Mtemtik............................. 2 1.1.2 Jzykověd............................. 5 1.1.3 Biologie...............................
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
Více( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:
4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceFI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017
FI: JARO 7 Verze: 9. únor 7 Přednášky k předmětu MB Autor: Romn Šimon Hilscher Přednášející: Petr Hsil Obsh Přehled přednášek podle strny ukončení iii. Polynomy interpolce.. Interpolce.. Lgrngeův interpolční
VícePůjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.
4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
Více2.3. DETERMINANTY MATIC
2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Více63. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Ostrava, března 2014
63. ročník mtemtické olympiády III. kolo ktegorie Ostrv, 23. 26. řezn 204 MO . Nechť n je celé kldné číslo. Oznčme všechny jeho kldné dělitele d, d 2,..., d k tk, y pltilo d < d 2
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?
1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno
Více( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.
Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou
Více4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.
4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi
Více4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
. Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + + - - - + + +
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Více4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:
443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější
Více(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a
Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceDefinice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
VíceAutomaty a gramatiky. Trochu motivace. Roman Barták, KTIML. rní jazyky. Regulárn. Kleeneova věta. L = { w w=babau w=uabbv w=ubaa, u,v {a,b}* }
ochu motivce L = { w w=u w=uv w=u, u,v {,}* } Automty gmtiky Romn Bták, KIML tk@ktiml.mff.cuni.cz htt://ktiml.mff.cuni.cz/~tk L = L L L, kde L = { w w=u, u {,}* }, L = { w w=uv, u,v {,}* } L = { w w=u,
VíceDoc. Ing. Vlastimil Jáneš, CSc., K620
Hrdwre počítčů Doc. Ing. Vlstimil Jáneš, CSc., K620 e-mil: jnes@fd.cvut.cz K508, 5. ptro, lbortoř, 2 2435 9555 Ing. Vít Fáber, K614 e-mil: fber@fd.cvut.cz K508, 5. ptro, lbortoř, 2 2435 9555 Informce mteriály
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VíceKomentáře k domácímu kolu kategorie Z9
5. ročník Mtemtické olympiády Komentáře k domácímu kolu ktegorie Z9. Čtyřúhelník, který nemá žádné dvě strny stejně dlouhé, nzveme nerovnostrnným. Prvidelný dvnáctiúhelník má obsh 8 cm. Nrýsujte všechny
VícePodobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce
1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší
Více3.2.1 Shodnost trojúhelníků I
3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
Více