Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:"

Transkript

1 vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá průsek operce spojení. Axiomy předstvují zákony socitivní komuttivní zákon bsorpce. šimněme si že se vyskytují ve dvojicích ve kterých jsou vzájemně změněny obě operce o tkových formulím říkáme že jsou duální. N rozdíl od okruhu jsou tedy poždvky n obě operce zcel stejné. Buď ( M ; ) = svz. Operce jsou idempotentní tj. pro libovolné M pltí = =. Buďte b M. Potom podle zákonů bsorpce nlogicky se dokáže i druhý vzth. ( ( )) = b = Algebry ( M ; ) ( ; ) M se nzývjí průsekový spojový polosvz. Jsou to komuttivní pologrupy. Proto lze psát průseky spojení konečného počtu prvků svzu bez závorek v jkémkoli pořdí prvků. ( ; ) ) Je-li A libovolná množin pk ( A) P je svz; je to svz všech podmnožin množiny A. Je-li A = pk jde o svz jednoprvkový. M ; lineárně uspořádná množin. inujme n množině M operce ) Buď ( ) následovně: jsou-li b M b klďme b b b = =. Pk ( M ; ) = je svz který můžeme nzvt lineární. Tkové svzy jsou ovšem velmi speciální z hledisk teorie svzů ne příliš zjímvé. obou příkldech svzů lze n jejich nosičích uvžovt uspořádání které úzce souvisí se svzovými opercemi. Buď ( ; ) M uspořádná množin. Je-li množin všech horních závor množiny N M neprázdná má-li první prvek nzývá se tento prvek supremem množiny N znčí se sup N. Anlogicky tj. duálně se definuje infimum množiny N které znčíme inf N.

2 Uvědomme si že sup existuje právě tehdy když má množin M první prvek p je potom sup = inf M = p nlogicky inf = sup M = q kde q je poslední prvek existuje-li množiny M. Uspořádání n množině M se nzývá svzové má-li kždá dvouprvková podmnožin množiny M supremum i infimum v množině M. Buď ( M ; ) Je-li b = svz. Potom pro libovolná b M pltí b = b = b. b = b b = b ; opčná implikce se dokáže nlogicky. = je ( ) ) Buď ( M ; ) = svz. inujeme-li n množině M binární relci vzthem b b = je svzové uspořádání n množině M. ) Buď ( M ; ) svzově uspořádná množin. inujeme-li n množině M operce vzthy b = inf { b} b = sup { b} je = ( M ; ) svz. ) Je ihned vidět že relce je n M reflexivní slbě ntisymetrická. Buďte b c M nechť b b c c = b c = b c = b = odkud c tkže ; pk ( ) ( ) relce je trnzitivní. inf b = b sup b = b. Zřejmě b i b b Nyní dokážeme že { } { } dále pro libovolné c tkové že c c b je b c = c = c tkže c b. Obdobně se dokáže vzth pro supremum. Uspořádání je tedy svzové. ) Ověříme xiomy svzu. Buďte b c M libovolné prvky. { } ndno se dokáže že inf { b c} inf inf { b} c vzth inf { b c} = inf inf { c b}. Odtud již ( b) c ( b c) { } socitivní zákon pro spojení. Komuttivní zákony jsou zřejmé. =. Změníme-li prvky c dostneme Konečně se jednoduše nhlédne že ( ) inf sup{ } i xiomy bsorpce. =. Obdobně se dokáže { } b = b = tkže operce splňují Pozor libovolném svzu má infimum i supremum kždá konečná množin; sndno se zjistí že je inf... =... sup... =.... { } { } k k k k Pozn. idíme že ve svzech jsou svzové operce velice těsně svázány s odpovídjícím svzovým uspořádáním. Prostřednictvím uspořádání jedn z opercí již určuje druhou. Známe-li npř. všechny průseky známe svzové uspořádání které určuje operci spojení.

3 ( ) ) Buď P ( A) ; svz všech podmnožin z příkldu... Pk pro b ( A) P je b b = b tkže svzovým uspořádáním je inkluze. ) příkldu...je svzovým uspořádáním dné lineární uspořádání. 3) N množině N uvžme uspořádání ( dělí beze zbytku ). Uspořádání je svzové pro libovolná k l N je inf { k l} = δ ( k l) sup { k l} = ν ( k l) definujeme-li tedy operce vzthy k l δ ( k l) k l ν ( k l) = = získáme svz. 4) Buďte G grup M množin všech jejích podgrup resp. všech jejích normálních podgrup. inujeme-li n množině M uspořádání předpisem H K H K jedná se o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } H K = H K H K = HK můžeme tedy mluvit o svzu všech podgrup svzu všech normálních podgrup dné grupy. 5) Buďte R okruh M množin všech jeho podokruhů resp. všech jeho ideálů. inujme n množině M uspořádání předpisem I J I J ; pk se jedná o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } I J = I J I J = I + J můžeme tedy mluvit o svzu všech podokruhů svzu všech ideálů okruhu R. 6) Podobně lze uvžovt svz všech podmodulů dného modulu speciálně svz všech podprostorů vektorového prostoru s uspořádáním inkluzí s opercemi průnik součet. 7) Buď M množin. Množin E všech ekvivlencí n množině M je svzově uspořádná inkluzí přičemž zřejmě inf { b} = b sup { b} = { e E b e} b = b b = e E b e E ; definujeme-li tedy operce vzthy { } je ( ) svz. bodech ) 4) jsou svzovým uspořádáním inkluze průsekem je v obou přípdech b = sup b tj. nejmenší horní závor kterou je v průnik. Operce spojení se všk liší: { } ) sjednocení množin všk ve 4) je to součin podgrup. Buď ( M ; ) = libovolný svz nechť b c M přičemž je b. Potom c b c c b c. Je c b c = c c b c = b c tkže dokzovné nerovnosti pltí. Buď ( M ; ) = svz. ibovolný minimální resp. mximální prvek svzově uspořádné množiny M je již jejím prvním resp. posledním prvkem nzývá se nulou resp. jednotkou svzu. Nechť m je minimální prvek v M buď x M libovolný prvek; pk m x m tkže m x = m odkud m x. Nulou jednotkou jsou ve svzech z příkldu...po řdě v 3) E G ve 4) DgM M M jednotku. A v ) (v tomto pořdí!) v 7). ineární svz z bodu ) nemusí mít nulu ni

4 Buď ( M; ) = svz nechť N M N je množin uzvřená vůči průseku spojení tj. nechť pro libovolná b N je b N b N. Potom T = ( N; ) (s opercemi zúženými n množinu N) je svz o kterém říkáme že je podsvzem svzu píšeme T. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: Průnik libovolného systému podsvzů svzu je buď množin prázdná nebo je to podsvz svzu. ) Nejjednoduššími podsvzy jsou určitě svzy jednoprvkové obdhující libovolný prvek svzu; hned z nimi následují podsvzy tvořené libovolnými dvěm srovntelnými prvky. Obecněji libovolný řetězec ve svzu je jeho podsvzem. ) Množinovým svzem rozumíme libovolný podsvz svzu všech podmnožin nějké množiny. = M; svz nechť b M b. Potom množiny 3) Buď ( ) = { x M x } = { x M x } b = { x M x b} jsou nosiče podsvzů svzu ; odpovídjící svzy budeme znčit stejnými symboly. 4) vz normálních podgrup grupy je podsvzem svzu všech jejích podgrup. 5) vz podgrup grupy G není podsvzem svzu všech podmnožin množiny G (při licenci nerozlišující podgrupy jejich nosiče) neboť svz podgrup není uzvřený vůči sjednocení. Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = libovolné svzy. Zobrzení h : M (svzový) homomorfismus pltí-li pro libovolná x y M vzthy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x y = h x h y h x y = h x h y. N se nzývá peciální přípdy homomorfismu svzů se definují stejně jko u grupoidů okruhů. ndno se nhlédne že homomorfní obrz svzu je podsvzem svzu T. Jsou-li svzy T izomorfní píšeme T. Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy nechť h : je izotonní zobrzení. Má-li svz nulu nebo jednotku pk ( ) jednotkou svzu h( ). Nechť b M b Zvolíme-li T je homomorfismus. Potom h h je nulou h ( ). Pk h( ) h( b) = h( b) = h( ) tkže h( ) h( b) = je h( ) h( b) pro libovolné b M Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = svzy. Zobrzení h : M.. právě tehdy je-li izomorfismem svzově uspořádných množin M N. N je izomorfismem svzů

5 Protože ob izomorfismy jsou bijekcemi stčí dokázt ekvivlenci zbývjících vlstností. Buďte b M. ) Implikce b h( ) h( b) plyne z předchozího lemmtu. Dokžme opčnou. Je-li h( ) h( b) pk h( b) = h( ) h( b) = h( ) tkže b = čili b. ) Dokážeme že inf { h( ) h( b) } = h( b) ; odtud bude h( ) h( b) h( b) Protože b je h( b) h( ) nlogicky je h( b) h( b) d N d h( ) d h( b) ; je d = h( c) pro nějké c M c c b c b odkud konečně d h( b). zth pro spojení se dokáže obdobně. =.. Dále buď tkže Ideálem ve svzu = ( M; ) rozumíme tkový podsvz I I ( N; ) který pltí N s M ( s N ). Duálním pojmem k ideálu je filtr. = pro Ideály jsou tedy uzvřené vůči spojení svých libovolných dvou prvků vůči průseku s libovolným prvkem celého svzu. Obdobně filtry jsou uzvřené vůči průseku svých libovolných dvou prvků vůči spojení s libovolným prvkem celého svzu. Buď ( M; ) = svz nechť N M N. Potom následující podmínky jsou ekvivlentní: N s M s N ) ( ) ) N b M ( b b N ) 3) b M ( b N b N ). ) ) : b = b ) 3) : b b b : ( s) = N tkže ( ) 3) ) s N. ět dává jiné ekvivlentní formulce pojmu ideál. Obdobná vět pltí pro filtry. ) Celý svz je ideálem i filtrem. Podsvzy z bodu příkldu...jsou ideály podsvzy jsou filtry. kutečně tkže i sup { } b c ztímco filtr se znčí je jistě uzvřený vůči menším prvkům pro b c je b c = b c. Ideál se nzývá hlvní ideál znčí se F říká se mu hlvní filtr. ) Má-li svz nulu nebo jednotku pk podsvz s nosičem { } { } resp. je ideál resp. filtr kždý ideál obshuje nulu kždý filtr jednotku. I

6 3) Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy h : T homomorfismus. Má-li svz h( ) nulu resp. jednotku pk můžeme definovt jádro Ker h resp. pseudojádro Ker h homomorfismu h rovnostmi Ker h = x M h( x) = Ker h = x M h x =. { } { ( ) } ndno se nhlédne že jádro je ideál pseudojádro je filtr ve svzu. Úplné svzy Řekneme že svz je úplný má-li v něm libovolná podmnožin infimum i supremum. ibovolný úplný svz má nulu i jednotku. = M; úplný svz. Pk inf M je nulou sup M je jednotkou. Buď ( ) Úplnými svzy jsou kždý konečný svz dále svz všech podmnožin svz ekvivlencí svz všech podgrup svz všech normálních podgrup. Nproti tomu lineární svz všech rcionálních čísel není úplný le ni lineární svz všech reálných čísel není úplný neboť nemá ni nulu ni jednotku. Množinový svz tké nemusí být úplný. kutečně uvžme M = n n N která je inkluzí lineárně tedy svzově množinu otevřených intervlů ( ) { } uspořádná předstvuje tudíž množinový svz který všk není úplný neboť nemá jednotku. Buď ( ; ) M uspořádná množin ve které má libovolná podmnožin infimum. Potom libovolná podmnožin má v M supremum definujeme-li pro b M operce rovnostmi je = ( M; ) úplný svz. { } { } b = inf b b = sup b Buď A M. Pro A = je sup = inf M. Bud tedy A. Oznčme Z množinu všech horních závor množiny A. Množin Z je neprázdná neboť obshuje poslední prvek inf množiny M. ibovolné A je dolní závorou množiny Z tkže pro libovolné A je inf Z ; to všk znmená že inf Z Z tudíž sup A = inf Z. irozeně pltí i duální vět se záměnou infim suprem tkže dostáváme Důsl vz je úplný právě tehdy má-li v něm kždá podmnožin infimum nebo kždá podmnožin supremum. uspořádné množině ( N ; ) má kždá podmnožin A N infimum - největší dolní závoru (speciálně inf = ). Podle předchozí věty je tedy sup A = inf Z kde Z je množin všech horních závor množiny A. Pro A konečnou je sup A rovno nejmenšímu společnému

7 násobku čísel z množiny A ztímco pro A nekonečnou je Z = { } tkže sup A = inf { } =. inujeme-li operce jko v příkldu...bod3) dostneme tedy úplný svz ve kterém je číslo jedn nulou číslo nul jednotkou. o pevném bodě Trski = M; úplný svz nechť f : M M je izotónní zobrzení. Potom existuje Buď ( ) u M tk že f ( u) = u. { } sup Oznčme U = M f ( ) u = U. Je U neboť U U je f ( u) f ( ) tkže f ( u ) je horní závor množinu U tedy f ( u) Odtud f ( u) f f ( u) čili f ( u) U tedy f ( u) u. Celkem f ( u) ( ). Pro libovolné = u. u. Poznmenejme že pltí tké vět obrácená: Má-li libovolné izotónní zobrzení svzu do sebe pevný bod je tento svz úplný. Pomocí věty o pevném bodě lze znovu dokázt Cntorovu-Bersteinovu větu...: M N et N M M N. ( ) Nechť M N N M buďte f : M N g : N M injekce. inujme zobrzení f : ( M ) ( N ) g : ( N ) ( M ) pro U M N klďme f ( U ) = f ( U ) g ( ) = g ( ) zobrzení h : P ( M ) P ( M ) předpisem h ( U ) M g N f ( U ) P P P P jko obrzy množin při zobrzeních f g tj. ( ) =. Zobrzení f g jsou (vzhledem k uspořádání inkluzí) izotónní tedy pro libovolné množiny A B M pltí postupně f A f B ( ) ( ) ( ) h ( A) h ( B) tkže zobrzení h je izotónní n úplném svzu ( M ) P M pro nějž je odkud tedy restrikce zobrzení ( ) ( ( )) g N f A g N f B ( ; ) ( ) ( ) P. Existuje tedy pevný bod ( ) P = h P = M g N f P ( ( )) ( ) ( ) M P = g N f P = g N f P g n množinu M P Položíme-li nyní f ( x) pro x P h( x) = g ( x) pro x M P je zobrzení h bijekcí množiny M n množinu N. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: je bijekce n množinu N f ( P).

8 Průnik libovolného systému ideálů svzu je buď množin prázdná nebo je to ideál v. Průnik konečného systému ideálů ve svzu je ideál ve svzu. I j J systém ideálů J konečná množin. yberme po jednom prvku j I j Buďte { j } položme = inf { j j J} I. j J j. Pk pro libovolné j J je j tedy I j tkže Průnik nekonečného systému ideálů může být prázdný. Tk npř. v lineárním svzu In = z Z z n ; pk In =. celých čísel uvžme hlvní ideály { } Průnik libovolného systému ideálů ve svzu s nulou (speciálně v úplném svzu) je ideál ve svzu. šechny ideály obshují nulu tkže jejich průnik je neprázdný. n Z Ozn Oznčme I množinu všech ideálů H množinu všech hlvních ideálu ve svzu. Buď = ( M ; ) svz s nulou. Množin I libovolnou množinu N I existuje inf = je uspořádná inkluzí pro N N což je ideál v. Podle věty...má tedy libovolná množinn I supremum odpovídjící svz je úplný. itom je supn = infz kde Z je množin všech horních závor množiny N. Jinými slovy supn = { K I I N ( I K )}. estrojili jsme úplný svz T = ( I ; ) s I J = I J I J = K I I J K. vz T se opercemi dnými rovnostmi { } nzývá svz ideálů svzu. Hlvní ideály tvoří podsvz ( H ; ) svzu T = ( ; ) Buďte b M. edně je I. { } { } I Ib = I Ib = x x et x b = x x b = I b. Dále je-li x I Ib pk x b tedy x I b ; odtud I Ib I b le pk tké I Ib I b. Nopk b I Ib tudíž tké b I Ib tedy I b I I. b Celkem tedy I Ib = I b. Řekneme že svz lze izomorfně vnořit do svzu T existuje-li monomorfismus h : T h T.. Pk je tedy ( )

9 ze dokázt že libovolný svz lze izomorfně vnořit do nějkého svzu ekvivlencí tké do svzu všech podgrup vhodné grupy. ibovolný svz lze izomorfně vnořit do úplného svzu. = M ; libovolný svz. Budeme předpokládt že svz má nulu. ( opčném Buď ( ) přípdě můžeme definovt svz = ( M ; ) kde položíme M M { } = dodefinujeme že pro libovolné M je < svz lze pk jistě izomorfně vnořit do svzu složení dvou monomorfismů je monomorfismus.) inujme zobrzení h : M h I h = h b I předpisem ( ) =. Jelikož ze vzthu ( ) ( ) sndno plyne rovnost = b je zobrzení h injekcí je tedy bijekcí n množinu H všech hlvních ideálů svzu. Dále nerovnost b pltí právě tehdy když I Ib tkže zobrzení h je izomorfismem uspořádné množiny ( M ; ) n uspořádnou množinu ( H ; ). Podle věty...to všk je totéž jko že zobrzení h je izomorfismem svzu n svz ( H ; ). vz jsme izomorfně vnořili do úplného svzu T = ( I ; ). Distributivní svzy Řekneme že svz ( M ; ) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) = je distributivní pokud pro libovolná b c M pltí Z rovnosti D plyne rovnost D ( ovšem i nopk). b c = b b c = c b c = b c ( ) ( ) ( ) Buď ( M ; ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) = libovolný svz. Potom pro libovolná b c M pltí vzthy Protože b b c c b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c b c b c je-li c pk b c b c. je b ( b c) c ( b c). z čehož již plyne první nerovnost. Druhá se dokáže nlogicky třetí je důsledkem druhé. Zveďme nerovnosti které jsou opčné k prvním dvěm nerovnostem z předchozího lemmtu:

10 vz ( M ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( N ) b c b c ( N ) b c b c = je distributivní právě tehdy pltí-li pro libovolná b c M kterákoli z nerovností N nebo N. ímá implikce je jsná opčná plyne z předchozích dvou lemmt. Distributivními svzy jsou: ) ibovolný množinový svz. ) ibovolný lineární svz. kutečně vzhledem k lemmtu...stčí dokázt rovnost D která nbude tvr min mx b c = mx min b min c. { { }} { } { } { } Je-li b c pk n obou strnách rovnosti je. Je-li nopk b c potom n obou strnách rovnosti je mx { b c }. Je-li prvek ostře mezi prvky bc pk n obou strnách rovnosti je. N ; z příkldu... 3) vz ( ) Dokžme rovnost D. Buďte p... p P k l m N tková čísl že Pk je n i i i n n n ki li mi i i i i= i= i=. = p b = p c = p ( ) δ ( ν ( )) i= ( ) ( ) ν ( δ ( ) δ ( )) { ki { li mi }} min mx i b c = b c = p n i= { { ki li} { ki mi } mx min min i b c = b c = p stčí tedy pro libovolná k l m N dokázt rovnost min k mx l m = mx min k l min k m n { { }} { { } { }} která je všk zvláštním přípdem rovnosti dokázné v předešlém příkldě. ndno se ověří pltnost následujícího tvrzení: ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz distributivního svzu je distributivní svz. Množinové svzy jsou distributivní libovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. To je obshem věty při jejímž důkzu budeme prcovt se speciálními filtry tzv. ultrfiltry. Filtr F ve svzu ( M ; ) b F ( F vel b F ). = se nzývá ultrfiltrem je-li F M pro b M pltí

11 Buďte M libovolná množin m M. Pk hlvní filtr F{ } = N M { m} N je m { } ultrfiltrem ve svzu všech podmnožin mnořiny M. kutečně je-li { m} A B pk zřejmě { m} A nebo { m} B. Je-li všk množin C M lespoň dvouprvková pk hlvní filtr F C již není ultrfiltrem. Oznčení ) Oznčme F množinu všech filtrů ) Buďte = ( M ; ) svz N M N je zřejmě filtr nejmenší filtr obshující množinu N. Buďte F filtr ve svzu ( M ; ) U množinu všech ultrfiltrů svzu. N = F N F F. Pk. Oznčme { } = M. Potom { } { } ( ) F = M c F c. Množin n prvé strně je filtr (uzvřenost vůči větším prvkům je zřejmá dále z nerovností c c plyne nerovnost c c ) přitom je podmnožinou libovolného filtru obshujícího množinu F { }. Buď ( M ; ) = distributivní svz. Potom pro libovolné prvky b M tkové že není b existuje tkový ultrfiltr F U pro který F b F. Buď F inkluzí uspořádná množin všech filtrů F F pro které je F b F. Je F neboť hlvní filtr F F. Obvyklým způsobem se dokáže že libovolný řetězec R v množině F má horní závoru R která ptří do F neboť tké R b R. Podle Zornov lemmtu existuje v F lespoň jeden mximální prvek oznčme jej F. Nyní stčí dokázt že F je ultrfiltr. Nechť tomu tk není. Potom (protože jistě není F = M ) existují M tk že F le Pro F F. i i = položme { } mximálností filtru F. Nechť tomu tk není tj. nechť b c b c F = F i. Dokážeme že položíme-li c c c b F b F b F F. Pk dle lemmtu... existují = je nebo - to bude spor s c c c F b c b c F tk že odkud ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c = c c c = c F tedy b F to je spor. Je tedy npř. b F tkže F F přitom F F což je spor. Dokázli jsme že F je ultrfiltr poždovných vlstností. tone

12 ibovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. M ; T = ( ; ) Buď = ( ) distributivní svz uvžme množinový svz ( ) inujme zobrzení h : M P ( U ) předpisem h( x) = { F x F} to monomorfismus. Buďte b M. Potom P U. U dokžme že je ( ( ) ( )) U (( ) ( )) U ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) b non b vel non b F F et b F vel b F et F F F h h b vel F h b h h h b tkže h je prosté. Dále pro libovolné F U je F h( b) b F ( F et b F ) ( F h( ) et F h( b) ) F h( ) h( b) tkže h( b) = h( ) h( b) konečně F h( b) b F ( F vel b F ) ( F h( ) vel F h( b) ) F h( ) h( b) tedy h( b) = h( ) h( b). Modulární svzy Některé důležité svzy jko npř. svz všech normálních podgrup dné grupy nejsou obecně distributivní. této kpitole zobecníme distributivní svzy n svzy modulární vyšetříme jejich zákldní vlstnosti mimo jiné ukážeme že výše zmíněné svzy jsou modulární. i definici modulárních svzů vyjdeme od rovností D D nebudeme všk žádt jejich splnění pro libovolné prvky b c le jen pro ty které splňují nerovnost c. Pk první rovnost je splněn vždy ztímco druhá dává vzth ( M ) b c = b c. Řekneme že svz ( M ; ) c pltí rovnost (M). Ihned vidíme že pltí ibovolný distributivní svz je modulární. ( ) ( ) = je modulární pokud pro libovolná b c M tková že vz všech normálních podgrup libovolné grupy je modulární. Buďte G grup A B C její normální podgrupy nechť A C. Z lemmtu...víme že pltí inkluze A( B C) ( AB) C. tčí tudíž dokázt opčnou inkluzi tj. vzth

13 ( ) ( AB) C A( B C). Nechť ( ) A b B ; dále ( ( )) b x C x AB C ; pk (viz lemm...) x = b kde = neboť A C tkže b C. Celkem x A B C. Důsl. vz všech podgrup libovolné Abelovy grupy je modulární. Uvidíme (příkld...) že svz všech podgrup libovolné grupy již nemusí být modulární. vz ( M ; ) = je modulární právě tehdy když pro libovolná b c M pltí rovnost ( ( )) ( ) ( ) b c = b c. ) Ihned doszením prvku c z c do rovnosti (M). ) Z předpokldu c plyne ihned rovnost (M). ndno se ověří následující ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz modulárního svzu je modulární svz. vz všech podmodulů libovolného modulu je modulární. vz všech ideálů libovolného netriviálního socitivního okruhu s jednotkou je modulární. První ze svzů je podsvzem modulárního svzu všech podgrup nosné Abelovy grupy. Dále uvážíme-li ditivní grupu okruhu R jko modul nd okruhem R (srv. příkld...) jsou jeho podmoduly právě všechny levé ideály okruhu R svz všech ideálu je podsvzem svzu všech levých ideálů. A... m prvků svzu se = = pro libovolné i mˆ je Buď svz s nulou jednotkou. Konečná posloupnost = ( ) nzývá normální řdou ve svzu jestliže m i <. Číslo m nzveme délkou řdy A. Normální řd = ( b b b ) i zjemněním řdy A pokud pro kždé n> m hovoříme o vlstním zjemnění. B... n se nzývá i mˆ existuje j nˆ tk že i = bj. Je-li nvíc normálními řdmi jsme se setkli v kpitole o grupách. Normální řd v modulárním svzu všech normálních podgrup libovolné grupy je zřejmě normální řdou ve smyslu definice...pro normální řdy v grupách pltí chreierov vět; její obdobou v modulárních svzech je následující (chreier) ibovolné dvě normální řdy v modulárním svzu mjí zjemnění stejných délek. Buďte A = (... m ) B = ( b b... bn ) libovolné normální řdy ve svzu. inujme

14 vytvořme posloupnosti Aɶ = ( ) ( ˆ... ) ( ) ( ˆ... ) = b i m j = n ij i i j b = b b j n i = m ji j j i (... n... n... m m... mn ) Bɶ = ( b b... b m b b... b m... bn bn... bnm ) i = i in = i tkže i n i ( i... m) ( ) Pro i mˆ je = = protože bj< bj je ˆ ˆ ij ij i m j n. Posloupnost A ɶ je tedy nerostoucí vynecháním opkujících se členů z ní získáme zjemnění řdy A. Totéž pltí o vzthu posloupnosti B ɶ k řdě B. Oznčme A resp. B posloupnosti vzniknuvší z posloupnosti A ɶ resp. B ɶ vynecháním opkujících se prvků 3... m resp. b b3... b n. Protože m( n + ) ( m ) = mn + = n( m + ) ( n ) mjí posloupnosti A B stejný počet členů. Nyní stčí dokázt že posloupnosti A B mjí stejný počet opkujících se členů. Nechť tedy pro nějká i mˆ j nˆ je = ij (přičemž symbol ij i oznčuje prvek i n ); dokážeme že pk bude bji = bji odkud již (vzhledem k symetrii) tvrzení plyne. Nejdříve provedeme pomocný výpočet ve kterém postupně využijeme definice prvku ij xiomu bsorpce předpokldu = ij nerovnosti ij ij i definice prvku ij nkonec modulrity spolu s nerovností i bj bj : ( ) (( i bj ) i ) bj ( i bj ) ( i bj ) b = b = b = b = i j ij i j ij i j ij j = = Potom je b = b b = b b b = b b = b. ( ) ( ) ( ) ( ) ji j j i j i j i j j i j ji Normální řd která nemá vlstní zjemnění se nzývá hlvní. Podobně jko u grup je sndným důsledkem chreierovy věty (Jordn Hölder) Buď modulární svz s nulou jednotkou. šechny hlvní řdy v mjí stejnou délku. Existuje-li v nějká hlvní řd lze libovolnou normální řdu zjemnit n řdu hlvní. Buďte ( M ; ) = svz b M < b. íme že intervl b podsvzem svzu ; v následující větě která je obdobou první věty o izomorfismu pro grupy jej pro větší názornost oznčíme b /. Buďte ( M ; ) = modulární svz b M. Potom ( b) / b / ( b)... je

15 f : b / b / b g : b / b b / předpisy inujme zobrzení ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x) = x b g ( x) = x. Pro libovolné x b g ( f ( x) ) = g ( x b) = ( b x) = ( b) x = x. Anlogicky se ukáže že pro x b b je f g ( x) x je (s využitím modulrity) ( ) tk identické tedy obě zobrzení f i g jsou bijekcemi. Dále je-li x y f x f y g x g y tké nopk: pk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) =. Kždé ze zobrzení gf f x f y g f x g f y x y. fg je Celkem je zobrzení f izomorfismem uspořádných množin tedy dle... je izomorfismem b / n svz b / b. svzu ( ) ( ) Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buď. Potom v podsvzu / existuje tké hlvní řd její délku oznčme ; skutečně je-li A = (... m ) hlvní řd která je zjemněním normální řdy ( ) nějké k mˆ = (... ) je hlvní řd ve svzu / je k k m pk pro přičemž = m k. Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buďte b. Potom b = + b b. Délky hlvních řd ve svzech ( b) / b / ( b) všk dle předchozí věty jsou uvedené délky stejné. jsou b b b Buď svz všech podprostorů vektorového prostoru konečné dimenze. vz je modulární má nulu i jednotku. Hlvní řdy jsou posloupnosti podprostorů ( P P... P n ) tkových že = = { o } i nˆ ( dim P = dim P + ). Dále zřejmě P dim P ( i... n) P Pn i i věty... plyne že pro libovolné podprostory což je vět o dimenzi známá z lineární lgebry. P Q pltí ( P Q) P Q ( P Q) dim + = dim + dim dim i i = =. Z Komplementární svzy Buď svz s nulou jednotkou. Prvek se nzývá komplementem prvku pokud = =. vz ve kterém má libovolný prvek lespoň jeden komplement se nzývá komplenentární. ) Komplementem nuly je jednotk komplementem jednotky je nul. ) vz všech podmnožin libovolné neprázdné množiny A je komplementární: nulou svzu je prázdná množin jednotkou množin A množinový komplement je svzovým

16 komplementem. Komplementární všk již nemusí být jkýkoli množinový svz tj. podsvz svzu. 3) Žádný lineární svz mjící lespoň tři prvky není komplementární. 4) Uvžme svz N 5 obshující pět prvků b c přičemž je nulou je jednotkou < c prvek b je nesrovntelný s prvky c. Pk prvek b má dv různé přitom srovntelné komplementy totiž c. Tento svz se nzývá pentgon. idíme že to není svz modulární neboť má dvě hlvní řdy rozdílných délek. 5) Jiným svzem n stejných pěti prvcích je svz M 5 tzv. dimnt ve kterém jsou prvky b c po dvou nesrovntelné. Zde má kterýkoli z těchto tří prvků z komplement libovolný ze dvou zbývjících - nesrovntelných - prvků. Buď modulární svz s nulou jednotkou nechť jsou komplementy prvku tkové že. Potom =. = = = = = ( ) ( ) modulárních svzech nemůže mít tedy žádný prvek dv různé srovntelné komplementy. Některý prvek může všk mít různé nesrovntelné komplementy jk tomu je ve svzu M 5 který je modulární všk není distributivní. distributivních svzech není již možný ni tento přípd. Buď distributivní svz s nulou jednotkou. Pk libovolný prvek má nejvýše jeden komplement. Buďte komplementy prvku. Pk = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže tedy dle předchozí věty je =. vz je modulární právě tehdy neobshuje-li jko podsvz pentgon. Místo obou implikcí dokážeme jejich trnspozice. ) Nechť svz obshuje jko podsvz pentgon 5 ( b) c = c = ( b c) tkže není modulární. ) Buď svz který není modulární. Pk existují prvky b c ( b) c ( b c) N. Potom je sice < c le tkové že c le >. Zřejmě < c prvek b není srovntelný ni s ni s c ; skutečně pro žádný z přípdů b b b c b c není splněn hořejší ostrá nerovnost. Nyní prvky c b c b b tvoří pentgon který je podsvzem svzu. kutečně buďte d e prvky různé od zmíněných pěti nechť b c = d b ; je buď b = c b pk c> c nebo b = e c b le pk > c ; odtud b c = b. Podobně musí být b = c b.

17 Pozn vz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd který obshuje pentgon není ovšem modulární neboť má různě dlouhé hlvní řdy. tejná délk hlvních řd všk ještě k modulritě nestčí jk ukzuje příkld hexgon... OBR Obdobně jko větu... lze dokázt následující tvrzení. vz je distributivní právě tehdy neobshuje-li dimnt ni pentgon. Uvžme svz všech podgrup lternující grupy A 4. Jednotkou svzu je celá grup A 4 nulou triviální grup E netriviálními podgrupmi jsou Kleinov grup K 4 její podgrupy kde npř. = ( ) ( )( 34) dále čtyři tříprvkové podgrupy A3 A3 A3 A 3 { ( )} kde npř. A 3 = {( )( 3)( 3 )}. OBR idíme že svz není modulární neboť jeho podsvzem je pentgon tvořený prvky E K A A. oučsně vidíme že svz všech normálních (všechny jsou normální!) podgrup grupy K 4 není distributivní. Booleovy svzy lgebry vz s nulou jednotkou se nzývá Booleův je-li součsně komplementární distributivní. Booleově svzu má tedy libovolný prvek právě jeden komplement můžeme tedy přidt ke svzovým opercím dlší unární operci přiřzení komplementu ; tk dospějeme k pojmu Booleov lgebr. Booleov lgebr je lgebr A = ( M ; ) kde ( ; ) M je Booleův svz je unární operce pro libovolný prvek M pltí rovnosti = =. Buďte A ( M ; ) ) ( ) = Booleov lgebr b M. Potom pltí = = = ) b = b b = b b = b b = b 3) ( ) ( ) 4) b b.

18 První vlstnost v bodě říká že komplement prvku je největší ze všech prvků které mjí s prvkem nulový průsek; obdobně druhá vlstnost. lstnosti v bodě jsou zřejmé. Dokžme první ekvivlenci v ). Je-li b = pk b = b = b = b b = b = b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže b. Je-li nopk b pk b = odkud b =. Dále je b b = b b b = ( ) ( ) ( ) ( ) ( b) ( b ) ( b ) ( b b ) = = odkud plyne první rovnost v 3). Konečně s využitím právě dokázných de Morgnových zákonů dostneme b b = b = b. Podlgebrou Booleovy lgebry A ( M ; ) B = ( N ; ) tkovou že N M průseku spojení komplementu. = rozumíme libovolnou Booleovu lgebru je (neprázdná) množin která je uzvřená vůči ) Asi nejznámější Booleovou lgebrou je lgebr všech podmnožin nějké množiny. Její podlgebry se nzývjí množinové Booleovy lghebry. Zdlek ne kždý její podsvz je všk její podlgebrou. ) yloučíme-li příliš triviální přípd jednoprvkové lgebry je nejjednodušší dvouprvková lgebr tvořená pouze prvky která hrál roli v Booleově lgebrizci výrokového klkulu. Buďte A = ( M ; ) B ( N ; ) h : M = Booleovy lgenry. Řekneme že zobrzení N je homomorfismus je-li homomorfismem odpovídjících svzů nvíc pro libovolný prvek M pltí rovnost h( ) = h( ). Filtr F v Booleově svzu ( M ; ) x M ( x F x F ) = je ultrfiltrem právě tehdy když. ) Buďte F ultrfiltr x M. Je x x = F tkže x F vel x F. itom nemůže být x x F neboť pk by bylo = x x F odkud F = M což není možné. ) Buďte F filtr x y M nechť x y F nebo y F le potom x F nebo y F. x y = x y F čili x F ; pk ( ) ibovolná Booleov lgebr je izomorfní s nějkou množinovou Booleovou lgebrou.

19 Buď A = ( M ; ) libovolná Booleov lgebr. Distributivní svz ( M ; ) věty...izomorfně vnořit do množinového svzu T = ( ( ); ) monomorfismem je zobrzení dné předpisem h( x) = { F U x F}. Obrz ( ) = lze dle P U přičemž příslušným množinovým svzem izomorfním se svzem. Dále pro libovolné x M pltí h = F U F = ( ) { } ( ) = { U } = U ( ) = { U } = { U } = U ( ) = ( ) h F F ( ) h x F x F F x F h x h x Odtud plyne že svz h( ) komplement tkže je podlgebrou lgebry ( P ( U ); ) že zobrzení h je monomorfismem Booleových lgeber. Celkem h( M ) množinovou Booleovou lgebrou izomorfní s lgebrou A.. h je tedy obshuje nulu jednotku s kždým prvkem tké jeho. Z posledního vzthu též vidíme ( ; ) je ibovolná konečná Booleov lgebr je izomorfní s množinovou Booleovou lgebrou všech podmnožin vhodné konečné množiny. Konečná Booleov lgebr s r prvky existuje právě tehdy je-li ibovolné dvě konečné Booleovy lgebry téhož řádu jsou izomorfní. r = n kde n N.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4.

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4. Obsah 1. Základní algebraické pojmy........................ 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce.............. 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury....................... 7 4. Kvocientní

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004.

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004. STÁLÁ UŽITNÁ ZTÍŽENÍ ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Ztížení konstrukcí Objemové tíhy, vlstní tíh užitná ztížení pozemních stveb. Prh : ČNI, 004. 1. Stálá ztížení stálé (pevné) ztížení stvebních prvků zhrnuje

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8].

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]. 1. Algebry, homomorfismy, kongruence Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Diskrétní matematika. Martin Kovár

Diskrétní matematika. Martin Kovár Diskrétní matematika Martin Kovár Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0156, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT a FIT VUT v Brně, realizovaném

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING CO JE TO SMARTSELLING SmartSelling je první kompletní nástroj n[ českém [ slovenském trhu, který pod jednou střechou spojuje všechny nezbytné nástroje moderního online

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: KOPPA, v.o.s., se sídlem Mozrtov 679/21, 460 01 Liberec, ustnovená prvomocným Usnesením č.j. KSUL 44 INS 5060/2014-A-13, ze dne 04. dubn 2014, insolvenčním správcem

Více

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem:

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem: Níže uvedeného dne, měsíce roku byl uzvřen mezi těmito smluvními strnmi: obchodní společnost se sídlem: IČ: DIČ: zpsná zstoupen (dále jen jko budoucí strn prodávjící ) v obchodním rejstříku vedeném, oddíl,

Více

Národní centrum výzkumu polárních oblastí

Národní centrum výzkumu polárních oblastí Národní centrum výzkumu polárních oblstí Dohod o spolupráci při výzkumu polárních oblstí Země Msrykov univerzit Žerotínovo nám. 9, 601 77 Brno, IČ 00216224, zstoupená rektorem Prof. PhDr. Petrem Filou,

Více

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ SMLOUVA O REZERVACI POZEMKU A SMLOUVA O BUDOUCÍ SMLOUVĚ O DÍLO Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: 1. EURO DEVELOPMENT JESENICE, s.r.o., IČ 282 44 451, se sídlem Ječná 550/1, Prh 2, PSČ 120 00, zpsná

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Odpověď. konkurenci domácnosti firmy stát a. makroekonomie mikroekonomie mezinárodní ekonomie. Co? Jak? Pro koho? Proč? d

Odpověď. konkurenci domácnosti firmy stát a. makroekonomie mikroekonomie mezinárodní ekonomie. Co? Jak? Pro koho? Proč? d Přijímcí řízení kdemický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek ekonomický přehled 1 Koš Znění otázky Odpověď Odpověď Odpověď Odpověď Správná ) ) c) d) odpověď 1. 1 Mezi ekonomické sujekty trhu

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: se sídlem: Koterovská 633/29, 326 00 Plzeň, ustnovený prvomocným Usnesením č.j. KSPL 54 INS 378/2012-A-19 ze dne 29.3.2012, insolvenčním správcem dlužník:. prvomocným

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM homogenizace (směšovací pravidla)

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM homogenizace (směšovací pravidla) KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE 23TVVM hoogenizce (sěšovcí prvidl) Hoogenizce Stvební teriály sou z hledisk zstoupení doinntních složek několikfázové systéy: Dvoufázové trice, vzduch (póry)

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

dr. Gollové vyjít, se podívat sem. Když si budete ty příklady jen tupě pročítat, tak se naučíte lim 0. Pokud máte

dr. Gollové vyjít, se podívat sem. Když si budete ty příklady jen tupě pročítat, tak se naučíte lim 0. Pokud máte Úvod Právě se díváte na moje řešení příkladů z X01AVT z roku 2007/2008. Zajisté obsahují spousty chyb a nedokáže je pochopit nikdo včetně autora, ale aspoň můžou posloužit jako menší návod k tomu, jak

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

Matematické struktury

Matematické struktury . Texty k přednášce Matematické struktury Aleš Pultr Katedra aplikované matematiky a ITI, MFF University Karlovy, 2005 . 2 Obsah Místo úvodu Kapitola I : Množiny, relace, zobrazení 1. Množiny : dohoda

Více

Jednotka pro zvýšení tlaku Ø40

Jednotka pro zvýšení tlaku Ø40 Jednotk pro zvýšení tlku Ø4 Zákldní informce Síl vyvinutá pneumtickým válcem není v některých přípdech dottečná pro plnění poždovné funkce. Pro plnění tohoto problému je pk nutné, pokud je to možné, buď

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

dodatek č. 1 ke smlouvě o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli

dodatek č. 1 ke smlouvě o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli 1. Zdeněk Berntík, nr. 14.5.1954 Jrmil Berntíková, nr. 30.12.1956 ob bytem Stroveská 270/87, Ostrv-Proskovice ob jko Smluvní strn 1 2. Tělovýchovná jednot Petřvld

Více

Podmínky externí spolupráce

Podmínky externí spolupráce Podmínky externí spolupráce mezi tlumočnicko překldtelskou genturou Grbmüller Jzykový servis předstvující sdružení dvou fyzických osob podniktelů: Mrek Grbmüller, IČO: 14901820, DIČ: CZ6512231154, místo

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více