Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Transkript

1 vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá průsek operce spojení. Axiomy předstvují zákony socitivní komuttivní zákon bsorpce. šimněme si že se vyskytují ve dvojicích ve kterých jsou vzájemně změněny obě operce o tkových formulím říkáme že jsou duální. N rozdíl od okruhu jsou tedy poždvky n obě operce zcel stejné. Buď ( M ; ) = svz. Operce jsou idempotentní tj. pro libovolné M pltí = =. Buďte b M. Potom podle zákonů bsorpce nlogicky se dokáže i druhý vzth. ( ( )) = b = Algebry ( M ; ) ( ; ) M se nzývjí průsekový spojový polosvz. Jsou to komuttivní pologrupy. Proto lze psát průseky spojení konečného počtu prvků svzu bez závorek v jkémkoli pořdí prvků. ( ; ) ) Je-li A libovolná množin pk ( A) P je svz; je to svz všech podmnožin množiny A. Je-li A = pk jde o svz jednoprvkový. M ; lineárně uspořádná množin. inujme n množině M operce ) Buď ( ) následovně: jsou-li b M b klďme b b b = =. Pk ( M ; ) = je svz který můžeme nzvt lineární. Tkové svzy jsou ovšem velmi speciální z hledisk teorie svzů ne příliš zjímvé. obou příkldech svzů lze n jejich nosičích uvžovt uspořádání které úzce souvisí se svzovými opercemi. Buď ( ; ) M uspořádná množin. Je-li množin všech horních závor množiny N M neprázdná má-li první prvek nzývá se tento prvek supremem množiny N znčí se sup N. Anlogicky tj. duálně se definuje infimum množiny N které znčíme inf N.

2 Uvědomme si že sup existuje právě tehdy když má množin M první prvek p je potom sup = inf M = p nlogicky inf = sup M = q kde q je poslední prvek existuje-li množiny M. Uspořádání n množině M se nzývá svzové má-li kždá dvouprvková podmnožin množiny M supremum i infimum v množině M. Buď ( M ; ) Je-li b = svz. Potom pro libovolná b M pltí b = b = b. b = b b = b ; opčná implikce se dokáže nlogicky. = je ( ) ) Buď ( M ; ) = svz. inujeme-li n množině M binární relci vzthem b b = je svzové uspořádání n množině M. ) Buď ( M ; ) svzově uspořádná množin. inujeme-li n množině M operce vzthy b = inf { b} b = sup { b} je = ( M ; ) svz. ) Je ihned vidět že relce je n M reflexivní slbě ntisymetrická. Buďte b c M nechť b b c c = b c = b c = b = odkud c tkže ; pk ( ) ( ) relce je trnzitivní. inf b = b sup b = b. Zřejmě b i b b Nyní dokážeme že { } { } dále pro libovolné c tkové že c c b je b c = c = c tkže c b. Obdobně se dokáže vzth pro supremum. Uspořádání je tedy svzové. ) Ověříme xiomy svzu. Buďte b c M libovolné prvky. { } ndno se dokáže že inf { b c} inf inf { b} c vzth inf { b c} = inf inf { c b}. Odtud již ( b) c ( b c) { } socitivní zákon pro spojení. Komuttivní zákony jsou zřejmé. =. Změníme-li prvky c dostneme Konečně se jednoduše nhlédne že ( ) inf sup{ } i xiomy bsorpce. =. Obdobně se dokáže { } b = b = tkže operce splňují Pozor libovolném svzu má infimum i supremum kždá konečná množin; sndno se zjistí že je inf... =... sup... =.... { } { } k k k k Pozn. idíme že ve svzech jsou svzové operce velice těsně svázány s odpovídjícím svzovým uspořádáním. Prostřednictvím uspořádání jedn z opercí již určuje druhou. Známe-li npř. všechny průseky známe svzové uspořádání které určuje operci spojení.

3 ( ) ) Buď P ( A) ; svz všech podmnožin z příkldu... Pk pro b ( A) P je b b = b tkže svzovým uspořádáním je inkluze. ) příkldu...je svzovým uspořádáním dné lineární uspořádání. 3) N množině N uvžme uspořádání ( dělí beze zbytku ). Uspořádání je svzové pro libovolná k l N je inf { k l} = δ ( k l) sup { k l} = ν ( k l) definujeme-li tedy operce vzthy k l δ ( k l) k l ν ( k l) = = získáme svz. 4) Buďte G grup M množin všech jejích podgrup resp. všech jejích normálních podgrup. inujeme-li n množině M uspořádání předpisem H K H K jedná se o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } H K = H K H K = HK můžeme tedy mluvit o svzu všech podgrup svzu všech normálních podgrup dné grupy. 5) Buďte R okruh M množin všech jeho podokruhů resp. všech jeho ideálů. inujme n množině M uspořádání předpisem I J I J ; pk se jedná o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } I J = I J I J = I + J můžeme tedy mluvit o svzu všech podokruhů svzu všech ideálů okruhu R. 6) Podobně lze uvžovt svz všech podmodulů dného modulu speciálně svz všech podprostorů vektorového prostoru s uspořádáním inkluzí s opercemi průnik součet. 7) Buď M množin. Množin E všech ekvivlencí n množině M je svzově uspořádná inkluzí přičemž zřejmě inf { b} = b sup { b} = { e E b e} b = b b = e E b e E ; definujeme-li tedy operce vzthy { } je ( ) svz. bodech ) 4) jsou svzovým uspořádáním inkluze průsekem je v obou přípdech b = sup b tj. nejmenší horní závor kterou je v průnik. Operce spojení se všk liší: { } ) sjednocení množin všk ve 4) je to součin podgrup. Buď ( M ; ) = libovolný svz nechť b c M přičemž je b. Potom c b c c b c. Je c b c = c c b c = b c tkže dokzovné nerovnosti pltí. Buď ( M ; ) = svz. ibovolný minimální resp. mximální prvek svzově uspořádné množiny M je již jejím prvním resp. posledním prvkem nzývá se nulou resp. jednotkou svzu. Nechť m je minimální prvek v M buď x M libovolný prvek; pk m x m tkže m x = m odkud m x. Nulou jednotkou jsou ve svzech z příkldu...po řdě v 3) E G ve 4) DgM M M jednotku. A v ) (v tomto pořdí!) v 7). ineární svz z bodu ) nemusí mít nulu ni

4 Buď ( M; ) = svz nechť N M N je množin uzvřená vůči průseku spojení tj. nechť pro libovolná b N je b N b N. Potom T = ( N; ) (s opercemi zúženými n množinu N) je svz o kterém říkáme že je podsvzem svzu píšeme T. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: Průnik libovolného systému podsvzů svzu je buď množin prázdná nebo je to podsvz svzu. ) Nejjednoduššími podsvzy jsou určitě svzy jednoprvkové obdhující libovolný prvek svzu; hned z nimi následují podsvzy tvořené libovolnými dvěm srovntelnými prvky. Obecněji libovolný řetězec ve svzu je jeho podsvzem. ) Množinovým svzem rozumíme libovolný podsvz svzu všech podmnožin nějké množiny. = M; svz nechť b M b. Potom množiny 3) Buď ( ) = { x M x } = { x M x } b = { x M x b} jsou nosiče podsvzů svzu ; odpovídjící svzy budeme znčit stejnými symboly. 4) vz normálních podgrup grupy je podsvzem svzu všech jejích podgrup. 5) vz podgrup grupy G není podsvzem svzu všech podmnožin množiny G (při licenci nerozlišující podgrupy jejich nosiče) neboť svz podgrup není uzvřený vůči sjednocení. Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = libovolné svzy. Zobrzení h : M (svzový) homomorfismus pltí-li pro libovolná x y M vzthy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x y = h x h y h x y = h x h y. N se nzývá peciální přípdy homomorfismu svzů se definují stejně jko u grupoidů okruhů. ndno se nhlédne že homomorfní obrz svzu je podsvzem svzu T. Jsou-li svzy T izomorfní píšeme T. Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy nechť h : je izotonní zobrzení. Má-li svz nulu nebo jednotku pk ( ) jednotkou svzu h( ). Nechť b M b Zvolíme-li T je homomorfismus. Potom h h je nulou h ( ). Pk h( ) h( b) = h( b) = h( ) tkže h( ) h( b) = je h( ) h( b) pro libovolné b M Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = svzy. Zobrzení h : M.. právě tehdy je-li izomorfismem svzově uspořádných množin M N. N je izomorfismem svzů

5 Protože ob izomorfismy jsou bijekcemi stčí dokázt ekvivlenci zbývjících vlstností. Buďte b M. ) Implikce b h( ) h( b) plyne z předchozího lemmtu. Dokžme opčnou. Je-li h( ) h( b) pk h( b) = h( ) h( b) = h( ) tkže b = čili b. ) Dokážeme že inf { h( ) h( b) } = h( b) ; odtud bude h( ) h( b) h( b) Protože b je h( b) h( ) nlogicky je h( b) h( b) d N d h( ) d h( b) ; je d = h( c) pro nějké c M c c b c b odkud konečně d h( b). zth pro spojení se dokáže obdobně. =.. Dále buď tkže Ideálem ve svzu = ( M; ) rozumíme tkový podsvz I I ( N; ) který pltí N s M ( s N ). Duálním pojmem k ideálu je filtr. = pro Ideály jsou tedy uzvřené vůči spojení svých libovolných dvou prvků vůči průseku s libovolným prvkem celého svzu. Obdobně filtry jsou uzvřené vůči průseku svých libovolných dvou prvků vůči spojení s libovolným prvkem celého svzu. Buď ( M; ) = svz nechť N M N. Potom následující podmínky jsou ekvivlentní: N s M s N ) ( ) ) N b M ( b b N ) 3) b M ( b N b N ). ) ) : b = b ) 3) : b b b : ( s) = N tkže ( ) 3) ) s N. ět dává jiné ekvivlentní formulce pojmu ideál. Obdobná vět pltí pro filtry. ) Celý svz je ideálem i filtrem. Podsvzy z bodu příkldu...jsou ideály podsvzy jsou filtry. kutečně tkže i sup { } b c ztímco filtr se znčí je jistě uzvřený vůči menším prvkům pro b c je b c = b c. Ideál se nzývá hlvní ideál znčí se F říká se mu hlvní filtr. ) Má-li svz nulu nebo jednotku pk podsvz s nosičem { } { } resp. je ideál resp. filtr kždý ideál obshuje nulu kždý filtr jednotku. I

6 3) Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy h : T homomorfismus. Má-li svz h( ) nulu resp. jednotku pk můžeme definovt jádro Ker h resp. pseudojádro Ker h homomorfismu h rovnostmi Ker h = x M h( x) = Ker h = x M h x =. { } { ( ) } ndno se nhlédne že jádro je ideál pseudojádro je filtr ve svzu. Úplné svzy Řekneme že svz je úplný má-li v něm libovolná podmnožin infimum i supremum. ibovolný úplný svz má nulu i jednotku. = M; úplný svz. Pk inf M je nulou sup M je jednotkou. Buď ( ) Úplnými svzy jsou kždý konečný svz dále svz všech podmnožin svz ekvivlencí svz všech podgrup svz všech normálních podgrup. Nproti tomu lineární svz všech rcionálních čísel není úplný le ni lineární svz všech reálných čísel není úplný neboť nemá ni nulu ni jednotku. Množinový svz tké nemusí být úplný. kutečně uvžme M = n n N která je inkluzí lineárně tedy svzově množinu otevřených intervlů ( ) { } uspořádná předstvuje tudíž množinový svz který všk není úplný neboť nemá jednotku. Buď ( ; ) M uspořádná množin ve které má libovolná podmnožin infimum. Potom libovolná podmnožin má v M supremum definujeme-li pro b M operce rovnostmi je = ( M; ) úplný svz. { } { } b = inf b b = sup b Buď A M. Pro A = je sup = inf M. Bud tedy A. Oznčme Z množinu všech horních závor množiny A. Množin Z je neprázdná neboť obshuje poslední prvek inf množiny M. ibovolné A je dolní závorou množiny Z tkže pro libovolné A je inf Z ; to všk znmená že inf Z Z tudíž sup A = inf Z. irozeně pltí i duální vět se záměnou infim suprem tkže dostáváme Důsl vz je úplný právě tehdy má-li v něm kždá podmnožin infimum nebo kždá podmnožin supremum. uspořádné množině ( N ; ) má kždá podmnožin A N infimum - největší dolní závoru (speciálně inf = ). Podle předchozí věty je tedy sup A = inf Z kde Z je množin všech horních závor množiny A. Pro A konečnou je sup A rovno nejmenšímu společnému

7 násobku čísel z množiny A ztímco pro A nekonečnou je Z = { } tkže sup A = inf { } =. inujeme-li operce jko v příkldu...bod3) dostneme tedy úplný svz ve kterém je číslo jedn nulou číslo nul jednotkou. o pevném bodě Trski = M; úplný svz nechť f : M M je izotónní zobrzení. Potom existuje Buď ( ) u M tk že f ( u) = u. { } sup Oznčme U = M f ( ) u = U. Je U neboť U U je f ( u) f ( ) tkže f ( u ) je horní závor množinu U tedy f ( u) Odtud f ( u) f f ( u) čili f ( u) U tedy f ( u) u. Celkem f ( u) ( ). Pro libovolné = u. u. Poznmenejme že pltí tké vět obrácená: Má-li libovolné izotónní zobrzení svzu do sebe pevný bod je tento svz úplný. Pomocí věty o pevném bodě lze znovu dokázt Cntorovu-Bersteinovu větu...: M N et N M M N. ( ) Nechť M N N M buďte f : M N g : N M injekce. inujme zobrzení f : ( M ) ( N ) g : ( N ) ( M ) pro U M N klďme f ( U ) = f ( U ) g ( ) = g ( ) zobrzení h : P ( M ) P ( M ) předpisem h ( U ) M g N f ( U ) P P P P jko obrzy množin při zobrzeních f g tj. ( ) =. Zobrzení f g jsou (vzhledem k uspořádání inkluzí) izotónní tedy pro libovolné množiny A B M pltí postupně f A f B ( ) ( ) ( ) h ( A) h ( B) tkže zobrzení h je izotónní n úplném svzu ( M ) P M pro nějž je odkud tedy restrikce zobrzení ( ) ( ( )) g N f A g N f B ( ; ) ( ) ( ) P. Existuje tedy pevný bod ( ) P = h P = M g N f P ( ( )) ( ) ( ) M P = g N f P = g N f P g n množinu M P Položíme-li nyní f ( x) pro x P h( x) = g ( x) pro x M P je zobrzení h bijekcí množiny M n množinu N. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: je bijekce n množinu N f ( P).

8 Průnik libovolného systému ideálů svzu je buď množin prázdná nebo je to ideál v. Průnik konečného systému ideálů ve svzu je ideál ve svzu. I j J systém ideálů J konečná množin. yberme po jednom prvku j I j Buďte { j } položme = inf { j j J} I. j J j. Pk pro libovolné j J je j tedy I j tkže Průnik nekonečného systému ideálů může být prázdný. Tk npř. v lineárním svzu In = z Z z n ; pk In =. celých čísel uvžme hlvní ideály { } Průnik libovolného systému ideálů ve svzu s nulou (speciálně v úplném svzu) je ideál ve svzu. šechny ideály obshují nulu tkže jejich průnik je neprázdný. n Z Ozn Oznčme I množinu všech ideálů H množinu všech hlvních ideálu ve svzu. Buď = ( M ; ) svz s nulou. Množin I libovolnou množinu N I existuje inf = je uspořádná inkluzí pro N N což je ideál v. Podle věty...má tedy libovolná množinn I supremum odpovídjící svz je úplný. itom je supn = infz kde Z je množin všech horních závor množiny N. Jinými slovy supn = { K I I N ( I K )}. estrojili jsme úplný svz T = ( I ; ) s I J = I J I J = K I I J K. vz T se opercemi dnými rovnostmi { } nzývá svz ideálů svzu. Hlvní ideály tvoří podsvz ( H ; ) svzu T = ( ; ) Buďte b M. edně je I. { } { } I Ib = I Ib = x x et x b = x x b = I b. Dále je-li x I Ib pk x b tedy x I b ; odtud I Ib I b le pk tké I Ib I b. Nopk b I Ib tudíž tké b I Ib tedy I b I I. b Celkem tedy I Ib = I b. Řekneme že svz lze izomorfně vnořit do svzu T existuje-li monomorfismus h : T h T.. Pk je tedy ( )

9 ze dokázt že libovolný svz lze izomorfně vnořit do nějkého svzu ekvivlencí tké do svzu všech podgrup vhodné grupy. ibovolný svz lze izomorfně vnořit do úplného svzu. = M ; libovolný svz. Budeme předpokládt že svz má nulu. ( opčném Buď ( ) přípdě můžeme definovt svz = ( M ; ) kde položíme M M { } = dodefinujeme že pro libovolné M je < svz lze pk jistě izomorfně vnořit do svzu složení dvou monomorfismů je monomorfismus.) inujme zobrzení h : M h I h = h b I předpisem ( ) =. Jelikož ze vzthu ( ) ( ) sndno plyne rovnost = b je zobrzení h injekcí je tedy bijekcí n množinu H všech hlvních ideálů svzu. Dále nerovnost b pltí právě tehdy když I Ib tkže zobrzení h je izomorfismem uspořádné množiny ( M ; ) n uspořádnou množinu ( H ; ). Podle věty...to všk je totéž jko že zobrzení h je izomorfismem svzu n svz ( H ; ). vz jsme izomorfně vnořili do úplného svzu T = ( I ; ). Distributivní svzy Řekneme že svz ( M ; ) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) = je distributivní pokud pro libovolná b c M pltí Z rovnosti D plyne rovnost D ( ovšem i nopk). b c = b b c = c b c = b c ( ) ( ) ( ) Buď ( M ; ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) = libovolný svz. Potom pro libovolná b c M pltí vzthy Protože b b c c b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c b c b c je-li c pk b c b c. je b ( b c) c ( b c). z čehož již plyne první nerovnost. Druhá se dokáže nlogicky třetí je důsledkem druhé. Zveďme nerovnosti které jsou opčné k prvním dvěm nerovnostem z předchozího lemmtu:

10 vz ( M ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( N ) b c b c ( N ) b c b c = je distributivní právě tehdy pltí-li pro libovolná b c M kterákoli z nerovností N nebo N. ímá implikce je jsná opčná plyne z předchozích dvou lemmt. Distributivními svzy jsou: ) ibovolný množinový svz. ) ibovolný lineární svz. kutečně vzhledem k lemmtu...stčí dokázt rovnost D která nbude tvr min mx b c = mx min b min c. { { }} { } { } { } Je-li b c pk n obou strnách rovnosti je. Je-li nopk b c potom n obou strnách rovnosti je mx { b c }. Je-li prvek ostře mezi prvky bc pk n obou strnách rovnosti je. N ; z příkldu... 3) vz ( ) Dokžme rovnost D. Buďte p... p P k l m N tková čísl že Pk je n i i i n n n ki li mi i i i i= i= i=. = p b = p c = p ( ) δ ( ν ( )) i= ( ) ( ) ν ( δ ( ) δ ( )) { ki { li mi }} min mx i b c = b c = p n i= { { ki li} { ki mi } mx min min i b c = b c = p stčí tedy pro libovolná k l m N dokázt rovnost min k mx l m = mx min k l min k m n { { }} { { } { }} která je všk zvláštním přípdem rovnosti dokázné v předešlém příkldě. ndno se ověří pltnost následujícího tvrzení: ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz distributivního svzu je distributivní svz. Množinové svzy jsou distributivní libovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. To je obshem věty při jejímž důkzu budeme prcovt se speciálními filtry tzv. ultrfiltry. Filtr F ve svzu ( M ; ) b F ( F vel b F ). = se nzývá ultrfiltrem je-li F M pro b M pltí

11 Buďte M libovolná množin m M. Pk hlvní filtr F{ } = N M { m} N je m { } ultrfiltrem ve svzu všech podmnožin mnořiny M. kutečně je-li { m} A B pk zřejmě { m} A nebo { m} B. Je-li všk množin C M lespoň dvouprvková pk hlvní filtr F C již není ultrfiltrem. Oznčení ) Oznčme F množinu všech filtrů ) Buďte = ( M ; ) svz N M N je zřejmě filtr nejmenší filtr obshující množinu N. Buďte F filtr ve svzu ( M ; ) U množinu všech ultrfiltrů svzu. N = F N F F. Pk. Oznčme { } = M. Potom { } { } ( ) F = M c F c. Množin n prvé strně je filtr (uzvřenost vůči větším prvkům je zřejmá dále z nerovností c c plyne nerovnost c c ) přitom je podmnožinou libovolného filtru obshujícího množinu F { }. Buď ( M ; ) = distributivní svz. Potom pro libovolné prvky b M tkové že není b existuje tkový ultrfiltr F U pro který F b F. Buď F inkluzí uspořádná množin všech filtrů F F pro které je F b F. Je F neboť hlvní filtr F F. Obvyklým způsobem se dokáže že libovolný řetězec R v množině F má horní závoru R která ptří do F neboť tké R b R. Podle Zornov lemmtu existuje v F lespoň jeden mximální prvek oznčme jej F. Nyní stčí dokázt že F je ultrfiltr. Nechť tomu tk není. Potom (protože jistě není F = M ) existují M tk že F le Pro F F. i i = položme { } mximálností filtru F. Nechť tomu tk není tj. nechť b c b c F = F i. Dokážeme že položíme-li c c c b F b F b F F. Pk dle lemmtu... existují = je nebo - to bude spor s c c c F b c b c F tk že odkud ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c = c c c = c F tedy b F to je spor. Je tedy npř. b F tkže F F přitom F F což je spor. Dokázli jsme že F je ultrfiltr poždovných vlstností. tone

12 ibovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. M ; T = ( ; ) Buď = ( ) distributivní svz uvžme množinový svz ( ) inujme zobrzení h : M P ( U ) předpisem h( x) = { F x F} to monomorfismus. Buďte b M. Potom P U. U dokžme že je ( ( ) ( )) U (( ) ( )) U ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) b non b vel non b F F et b F vel b F et F F F h h b vel F h b h h h b tkže h je prosté. Dále pro libovolné F U je F h( b) b F ( F et b F ) ( F h( ) et F h( b) ) F h( ) h( b) tkže h( b) = h( ) h( b) konečně F h( b) b F ( F vel b F ) ( F h( ) vel F h( b) ) F h( ) h( b) tedy h( b) = h( ) h( b). Modulární svzy Některé důležité svzy jko npř. svz všech normálních podgrup dné grupy nejsou obecně distributivní. této kpitole zobecníme distributivní svzy n svzy modulární vyšetříme jejich zákldní vlstnosti mimo jiné ukážeme že výše zmíněné svzy jsou modulární. i definici modulárních svzů vyjdeme od rovností D D nebudeme všk žádt jejich splnění pro libovolné prvky b c le jen pro ty které splňují nerovnost c. Pk první rovnost je splněn vždy ztímco druhá dává vzth ( M ) b c = b c. Řekneme že svz ( M ; ) c pltí rovnost (M). Ihned vidíme že pltí ibovolný distributivní svz je modulární. ( ) ( ) = je modulární pokud pro libovolná b c M tková že vz všech normálních podgrup libovolné grupy je modulární. Buďte G grup A B C její normální podgrupy nechť A C. Z lemmtu...víme že pltí inkluze A( B C) ( AB) C. tčí tudíž dokázt opčnou inkluzi tj. vzth

13 ( ) ( AB) C A( B C). Nechť ( ) A b B ; dále ( ( )) b x C x AB C ; pk (viz lemm...) x = b kde = neboť A C tkže b C. Celkem x A B C. Důsl. vz všech podgrup libovolné Abelovy grupy je modulární. Uvidíme (příkld...) že svz všech podgrup libovolné grupy již nemusí být modulární. vz ( M ; ) = je modulární právě tehdy když pro libovolná b c M pltí rovnost ( ( )) ( ) ( ) b c = b c. ) Ihned doszením prvku c z c do rovnosti (M). ) Z předpokldu c plyne ihned rovnost (M). ndno se ověří následující ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz modulárního svzu je modulární svz. vz všech podmodulů libovolného modulu je modulární. vz všech ideálů libovolného netriviálního socitivního okruhu s jednotkou je modulární. První ze svzů je podsvzem modulárního svzu všech podgrup nosné Abelovy grupy. Dále uvážíme-li ditivní grupu okruhu R jko modul nd okruhem R (srv. příkld...) jsou jeho podmoduly právě všechny levé ideály okruhu R svz všech ideálu je podsvzem svzu všech levých ideálů. A... m prvků svzu se = = pro libovolné i mˆ je Buď svz s nulou jednotkou. Konečná posloupnost = ( ) nzývá normální řdou ve svzu jestliže m i <. Číslo m nzveme délkou řdy A. Normální řd = ( b b b ) i zjemněním řdy A pokud pro kždé n> m hovoříme o vlstním zjemnění. B... n se nzývá i mˆ existuje j nˆ tk že i = bj. Je-li nvíc normálními řdmi jsme se setkli v kpitole o grupách. Normální řd v modulárním svzu všech normálních podgrup libovolné grupy je zřejmě normální řdou ve smyslu definice...pro normální řdy v grupách pltí chreierov vět; její obdobou v modulárních svzech je následující (chreier) ibovolné dvě normální řdy v modulárním svzu mjí zjemnění stejných délek. Buďte A = (... m ) B = ( b b... bn ) libovolné normální řdy ve svzu. inujme

14 vytvořme posloupnosti Aɶ = ( ) ( ˆ... ) ( ) ( ˆ... ) = b i m j = n ij i i j b = b b j n i = m ji j j i (... n... n... m m... mn ) Bɶ = ( b b... b m b b... b m... bn bn... bnm ) i = i in = i tkže i n i ( i... m) ( ) Pro i mˆ je = = protože bj< bj je ˆ ˆ ij ij i m j n. Posloupnost A ɶ je tedy nerostoucí vynecháním opkujících se členů z ní získáme zjemnění řdy A. Totéž pltí o vzthu posloupnosti B ɶ k řdě B. Oznčme A resp. B posloupnosti vzniknuvší z posloupnosti A ɶ resp. B ɶ vynecháním opkujících se prvků 3... m resp. b b3... b n. Protože m( n + ) ( m ) = mn + = n( m + ) ( n ) mjí posloupnosti A B stejný počet členů. Nyní stčí dokázt že posloupnosti A B mjí stejný počet opkujících se členů. Nechť tedy pro nějká i mˆ j nˆ je = ij (přičemž symbol ij i oznčuje prvek i n ); dokážeme že pk bude bji = bji odkud již (vzhledem k symetrii) tvrzení plyne. Nejdříve provedeme pomocný výpočet ve kterém postupně využijeme definice prvku ij xiomu bsorpce předpokldu = ij nerovnosti ij ij i definice prvku ij nkonec modulrity spolu s nerovností i bj bj : ( ) (( i bj ) i ) bj ( i bj ) ( i bj ) b = b = b = b = i j ij i j ij i j ij j = = Potom je b = b b = b b b = b b = b. ( ) ( ) ( ) ( ) ji j j i j i j i j j i j ji Normální řd která nemá vlstní zjemnění se nzývá hlvní. Podobně jko u grup je sndným důsledkem chreierovy věty (Jordn Hölder) Buď modulární svz s nulou jednotkou. šechny hlvní řdy v mjí stejnou délku. Existuje-li v nějká hlvní řd lze libovolnou normální řdu zjemnit n řdu hlvní. Buďte ( M ; ) = svz b M < b. íme že intervl b podsvzem svzu ; v následující větě která je obdobou první věty o izomorfismu pro grupy jej pro větší názornost oznčíme b /. Buďte ( M ; ) = modulární svz b M. Potom ( b) / b / ( b)... je

15 f : b / b / b g : b / b b / předpisy inujme zobrzení ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x) = x b g ( x) = x. Pro libovolné x b g ( f ( x) ) = g ( x b) = ( b x) = ( b) x = x. Anlogicky se ukáže že pro x b b je f g ( x) x je (s využitím modulrity) ( ) tk identické tedy obě zobrzení f i g jsou bijekcemi. Dále je-li x y f x f y g x g y tké nopk: pk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) =. Kždé ze zobrzení gf f x f y g f x g f y x y. fg je Celkem je zobrzení f izomorfismem uspořádných množin tedy dle... je izomorfismem b / n svz b / b. svzu ( ) ( ) Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buď. Potom v podsvzu / existuje tké hlvní řd její délku oznčme ; skutečně je-li A = (... m ) hlvní řd která je zjemněním normální řdy ( ) nějké k mˆ = (... ) je hlvní řd ve svzu / je k k m pk pro přičemž = m k. Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buďte b. Potom b = + b b. Délky hlvních řd ve svzech ( b) / b / ( b) všk dle předchozí věty jsou uvedené délky stejné. jsou b b b Buď svz všech podprostorů vektorového prostoru konečné dimenze. vz je modulární má nulu i jednotku. Hlvní řdy jsou posloupnosti podprostorů ( P P... P n ) tkových že = = { o } i nˆ ( dim P = dim P + ). Dále zřejmě P dim P ( i... n) P Pn i i věty... plyne že pro libovolné podprostory což je vět o dimenzi známá z lineární lgebry. P Q pltí ( P Q) P Q ( P Q) dim + = dim + dim dim i i = =. Z Komplementární svzy Buď svz s nulou jednotkou. Prvek se nzývá komplementem prvku pokud = =. vz ve kterém má libovolný prvek lespoň jeden komplement se nzývá komplenentární. ) Komplementem nuly je jednotk komplementem jednotky je nul. ) vz všech podmnožin libovolné neprázdné množiny A je komplementární: nulou svzu je prázdná množin jednotkou množin A množinový komplement je svzovým

16 komplementem. Komplementární všk již nemusí být jkýkoli množinový svz tj. podsvz svzu. 3) Žádný lineární svz mjící lespoň tři prvky není komplementární. 4) Uvžme svz N 5 obshující pět prvků b c přičemž je nulou je jednotkou < c prvek b je nesrovntelný s prvky c. Pk prvek b má dv různé přitom srovntelné komplementy totiž c. Tento svz se nzývá pentgon. idíme že to není svz modulární neboť má dvě hlvní řdy rozdílných délek. 5) Jiným svzem n stejných pěti prvcích je svz M 5 tzv. dimnt ve kterém jsou prvky b c po dvou nesrovntelné. Zde má kterýkoli z těchto tří prvků z komplement libovolný ze dvou zbývjících - nesrovntelných - prvků. Buď modulární svz s nulou jednotkou nechť jsou komplementy prvku tkové že. Potom =. = = = = = ( ) ( ) modulárních svzech nemůže mít tedy žádný prvek dv různé srovntelné komplementy. Některý prvek může všk mít různé nesrovntelné komplementy jk tomu je ve svzu M 5 který je modulární všk není distributivní. distributivních svzech není již možný ni tento přípd. Buď distributivní svz s nulou jednotkou. Pk libovolný prvek má nejvýše jeden komplement. Buďte komplementy prvku. Pk = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže tedy dle předchozí věty je =. vz je modulární právě tehdy neobshuje-li jko podsvz pentgon. Místo obou implikcí dokážeme jejich trnspozice. ) Nechť svz obshuje jko podsvz pentgon 5 ( b) c = c = ( b c) tkže není modulární. ) Buď svz který není modulární. Pk existují prvky b c ( b) c ( b c) N. Potom je sice < c le tkové že c le >. Zřejmě < c prvek b není srovntelný ni s ni s c ; skutečně pro žádný z přípdů b b b c b c není splněn hořejší ostrá nerovnost. Nyní prvky c b c b b tvoří pentgon který je podsvzem svzu. kutečně buďte d e prvky různé od zmíněných pěti nechť b c = d b ; je buď b = c b pk c> c nebo b = e c b le pk > c ; odtud b c = b. Podobně musí být b = c b.

17 Pozn vz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd který obshuje pentgon není ovšem modulární neboť má různě dlouhé hlvní řdy. tejná délk hlvních řd všk ještě k modulritě nestčí jk ukzuje příkld hexgon... OBR Obdobně jko větu... lze dokázt následující tvrzení. vz je distributivní právě tehdy neobshuje-li dimnt ni pentgon. Uvžme svz všech podgrup lternující grupy A 4. Jednotkou svzu je celá grup A 4 nulou triviální grup E netriviálními podgrupmi jsou Kleinov grup K 4 její podgrupy kde npř. = ( ) ( )( 34) dále čtyři tříprvkové podgrupy A3 A3 A3 A 3 { ( )} kde npř. A 3 = {( )( 3)( 3 )}. OBR idíme že svz není modulární neboť jeho podsvzem je pentgon tvořený prvky E K A A. oučsně vidíme že svz všech normálních (všechny jsou normální!) podgrup grupy K 4 není distributivní. Booleovy svzy lgebry vz s nulou jednotkou se nzývá Booleův je-li součsně komplementární distributivní. Booleově svzu má tedy libovolný prvek právě jeden komplement můžeme tedy přidt ke svzovým opercím dlší unární operci přiřzení komplementu ; tk dospějeme k pojmu Booleov lgebr. Booleov lgebr je lgebr A = ( M ; ) kde ( ; ) M je Booleův svz je unární operce pro libovolný prvek M pltí rovnosti = =. Buďte A ( M ; ) ) ( ) = Booleov lgebr b M. Potom pltí = = = ) b = b b = b b = b b = b 3) ( ) ( ) 4) b b.

18 První vlstnost v bodě říká že komplement prvku je největší ze všech prvků které mjí s prvkem nulový průsek; obdobně druhá vlstnost. lstnosti v bodě jsou zřejmé. Dokžme první ekvivlenci v ). Je-li b = pk b = b = b = b b = b = b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže b. Je-li nopk b pk b = odkud b =. Dále je b b = b b b = ( ) ( ) ( ) ( ) ( b) ( b ) ( b ) ( b b ) = = odkud plyne první rovnost v 3). Konečně s využitím právě dokázných de Morgnových zákonů dostneme b b = b = b. Podlgebrou Booleovy lgebry A ( M ; ) B = ( N ; ) tkovou že N M průseku spojení komplementu. = rozumíme libovolnou Booleovu lgebru je (neprázdná) množin která je uzvřená vůči ) Asi nejznámější Booleovou lgebrou je lgebr všech podmnožin nějké množiny. Její podlgebry se nzývjí množinové Booleovy lghebry. Zdlek ne kždý její podsvz je všk její podlgebrou. ) yloučíme-li příliš triviální přípd jednoprvkové lgebry je nejjednodušší dvouprvková lgebr tvořená pouze prvky která hrál roli v Booleově lgebrizci výrokového klkulu. Buďte A = ( M ; ) B ( N ; ) h : M = Booleovy lgenry. Řekneme že zobrzení N je homomorfismus je-li homomorfismem odpovídjících svzů nvíc pro libovolný prvek M pltí rovnost h( ) = h( ). Filtr F v Booleově svzu ( M ; ) x M ( x F x F ) = je ultrfiltrem právě tehdy když. ) Buďte F ultrfiltr x M. Je x x = F tkže x F vel x F. itom nemůže být x x F neboť pk by bylo = x x F odkud F = M což není možné. ) Buďte F filtr x y M nechť x y F nebo y F le potom x F nebo y F. x y = x y F čili x F ; pk ( ) ibovolná Booleov lgebr je izomorfní s nějkou množinovou Booleovou lgebrou.

19 Buď A = ( M ; ) libovolná Booleov lgebr. Distributivní svz ( M ; ) věty...izomorfně vnořit do množinového svzu T = ( ( ); ) monomorfismem je zobrzení dné předpisem h( x) = { F U x F}. Obrz ( ) = lze dle P U přičemž příslušným množinovým svzem izomorfním se svzem. Dále pro libovolné x M pltí h = F U F = ( ) { } ( ) = { U } = U ( ) = { U } = { U } = U ( ) = ( ) h F F ( ) h x F x F F x F h x h x Odtud plyne že svz h( ) komplement tkže je podlgebrou lgebry ( P ( U ); ) že zobrzení h je monomorfismem Booleových lgeber. Celkem h( M ) množinovou Booleovou lgebrou izomorfní s lgebrou A.. h je tedy obshuje nulu jednotku s kždým prvkem tké jeho. Z posledního vzthu též vidíme ( ; ) je ibovolná konečná Booleov lgebr je izomorfní s množinovou Booleovou lgebrou všech podmnožin vhodné konečné množiny. Konečná Booleov lgebr s r prvky existuje právě tehdy je-li ibovolné dvě konečné Booleovy lgebry téhož řádu jsou izomorfní. r = n kde n N.