Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:"

Transkript

1 vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá průsek operce spojení. Axiomy předstvují zákony socitivní komuttivní zákon bsorpce. šimněme si že se vyskytují ve dvojicích ve kterých jsou vzájemně změněny obě operce o tkových formulím říkáme že jsou duální. N rozdíl od okruhu jsou tedy poždvky n obě operce zcel stejné. Buď ( M ; ) = svz. Operce jsou idempotentní tj. pro libovolné M pltí = =. Buďte b M. Potom podle zákonů bsorpce nlogicky se dokáže i druhý vzth. ( ( )) = b = Algebry ( M ; ) ( ; ) M se nzývjí průsekový spojový polosvz. Jsou to komuttivní pologrupy. Proto lze psát průseky spojení konečného počtu prvků svzu bez závorek v jkémkoli pořdí prvků. ( ; ) ) Je-li A libovolná množin pk ( A) P je svz; je to svz všech podmnožin množiny A. Je-li A = pk jde o svz jednoprvkový. M ; lineárně uspořádná množin. inujme n množině M operce ) Buď ( ) následovně: jsou-li b M b klďme b b b = =. Pk ( M ; ) = je svz který můžeme nzvt lineární. Tkové svzy jsou ovšem velmi speciální z hledisk teorie svzů ne příliš zjímvé. obou příkldech svzů lze n jejich nosičích uvžovt uspořádání které úzce souvisí se svzovými opercemi. Buď ( ; ) M uspořádná množin. Je-li množin všech horních závor množiny N M neprázdná má-li první prvek nzývá se tento prvek supremem množiny N znčí se sup N. Anlogicky tj. duálně se definuje infimum množiny N které znčíme inf N.

2 Uvědomme si že sup existuje právě tehdy když má množin M první prvek p je potom sup = inf M = p nlogicky inf = sup M = q kde q je poslední prvek existuje-li množiny M. Uspořádání n množině M se nzývá svzové má-li kždá dvouprvková podmnožin množiny M supremum i infimum v množině M. Buď ( M ; ) Je-li b = svz. Potom pro libovolná b M pltí b = b = b. b = b b = b ; opčná implikce se dokáže nlogicky. = je ( ) ) Buď ( M ; ) = svz. inujeme-li n množině M binární relci vzthem b b = je svzové uspořádání n množině M. ) Buď ( M ; ) svzově uspořádná množin. inujeme-li n množině M operce vzthy b = inf { b} b = sup { b} je = ( M ; ) svz. ) Je ihned vidět že relce je n M reflexivní slbě ntisymetrická. Buďte b c M nechť b b c c = b c = b c = b = odkud c tkže ; pk ( ) ( ) relce je trnzitivní. inf b = b sup b = b. Zřejmě b i b b Nyní dokážeme že { } { } dále pro libovolné c tkové že c c b je b c = c = c tkže c b. Obdobně se dokáže vzth pro supremum. Uspořádání je tedy svzové. ) Ověříme xiomy svzu. Buďte b c M libovolné prvky. { } ndno se dokáže že inf { b c} inf inf { b} c vzth inf { b c} = inf inf { c b}. Odtud již ( b) c ( b c) { } socitivní zákon pro spojení. Komuttivní zákony jsou zřejmé. =. Změníme-li prvky c dostneme Konečně se jednoduše nhlédne že ( ) inf sup{ } i xiomy bsorpce. =. Obdobně se dokáže { } b = b = tkže operce splňují Pozor libovolném svzu má infimum i supremum kždá konečná množin; sndno se zjistí že je inf... =... sup... =.... { } { } k k k k Pozn. idíme že ve svzech jsou svzové operce velice těsně svázány s odpovídjícím svzovým uspořádáním. Prostřednictvím uspořádání jedn z opercí již určuje druhou. Známe-li npř. všechny průseky známe svzové uspořádání které určuje operci spojení.

3 ( ) ) Buď P ( A) ; svz všech podmnožin z příkldu... Pk pro b ( A) P je b b = b tkže svzovým uspořádáním je inkluze. ) příkldu...je svzovým uspořádáním dné lineární uspořádání. 3) N množině N uvžme uspořádání ( dělí beze zbytku ). Uspořádání je svzové pro libovolná k l N je inf { k l} = δ ( k l) sup { k l} = ν ( k l) definujeme-li tedy operce vzthy k l δ ( k l) k l ν ( k l) = = získáme svz. 4) Buďte G grup M množin všech jejích podgrup resp. všech jejích normálních podgrup. inujeme-li n množině M uspořádání předpisem H K H K jedná se o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } H K = H K H K = HK můžeme tedy mluvit o svzu všech podgrup svzu všech normálních podgrup dné grupy. 5) Buďte R okruh M množin všech jeho podokruhů resp. všech jeho ideálů. inujme n množině M uspořádání předpisem I J I J ; pk se jedná o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } I J = I J I J = I + J můžeme tedy mluvit o svzu všech podokruhů svzu všech ideálů okruhu R. 6) Podobně lze uvžovt svz všech podmodulů dného modulu speciálně svz všech podprostorů vektorového prostoru s uspořádáním inkluzí s opercemi průnik součet. 7) Buď M množin. Množin E všech ekvivlencí n množině M je svzově uspořádná inkluzí přičemž zřejmě inf { b} = b sup { b} = { e E b e} b = b b = e E b e E ; definujeme-li tedy operce vzthy { } je ( ) svz. bodech ) 4) jsou svzovým uspořádáním inkluze průsekem je v obou přípdech b = sup b tj. nejmenší horní závor kterou je v průnik. Operce spojení se všk liší: { } ) sjednocení množin všk ve 4) je to součin podgrup. Buď ( M ; ) = libovolný svz nechť b c M přičemž je b. Potom c b c c b c. Je c b c = c c b c = b c tkže dokzovné nerovnosti pltí. Buď ( M ; ) = svz. ibovolný minimální resp. mximální prvek svzově uspořádné množiny M je již jejím prvním resp. posledním prvkem nzývá se nulou resp. jednotkou svzu. Nechť m je minimální prvek v M buď x M libovolný prvek; pk m x m tkže m x = m odkud m x. Nulou jednotkou jsou ve svzech z příkldu...po řdě v 3) E G ve 4) DgM M M jednotku. A v ) (v tomto pořdí!) v 7). ineární svz z bodu ) nemusí mít nulu ni

4 Buď ( M; ) = svz nechť N M N je množin uzvřená vůči průseku spojení tj. nechť pro libovolná b N je b N b N. Potom T = ( N; ) (s opercemi zúženými n množinu N) je svz o kterém říkáme že je podsvzem svzu píšeme T. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: Průnik libovolného systému podsvzů svzu je buď množin prázdná nebo je to podsvz svzu. ) Nejjednoduššími podsvzy jsou určitě svzy jednoprvkové obdhující libovolný prvek svzu; hned z nimi následují podsvzy tvořené libovolnými dvěm srovntelnými prvky. Obecněji libovolný řetězec ve svzu je jeho podsvzem. ) Množinovým svzem rozumíme libovolný podsvz svzu všech podmnožin nějké množiny. = M; svz nechť b M b. Potom množiny 3) Buď ( ) = { x M x } = { x M x } b = { x M x b} jsou nosiče podsvzů svzu ; odpovídjící svzy budeme znčit stejnými symboly. 4) vz normálních podgrup grupy je podsvzem svzu všech jejích podgrup. 5) vz podgrup grupy G není podsvzem svzu všech podmnožin množiny G (při licenci nerozlišující podgrupy jejich nosiče) neboť svz podgrup není uzvřený vůči sjednocení. Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = libovolné svzy. Zobrzení h : M (svzový) homomorfismus pltí-li pro libovolná x y M vzthy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x y = h x h y h x y = h x h y. N se nzývá peciální přípdy homomorfismu svzů se definují stejně jko u grupoidů okruhů. ndno se nhlédne že homomorfní obrz svzu je podsvzem svzu T. Jsou-li svzy T izomorfní píšeme T. Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy nechť h : je izotonní zobrzení. Má-li svz nulu nebo jednotku pk ( ) jednotkou svzu h( ). Nechť b M b Zvolíme-li T je homomorfismus. Potom h h je nulou h ( ). Pk h( ) h( b) = h( b) = h( ) tkže h( ) h( b) = je h( ) h( b) pro libovolné b M Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = svzy. Zobrzení h : M.. právě tehdy je-li izomorfismem svzově uspořádných množin M N. N je izomorfismem svzů

5 Protože ob izomorfismy jsou bijekcemi stčí dokázt ekvivlenci zbývjících vlstností. Buďte b M. ) Implikce b h( ) h( b) plyne z předchozího lemmtu. Dokžme opčnou. Je-li h( ) h( b) pk h( b) = h( ) h( b) = h( ) tkže b = čili b. ) Dokážeme že inf { h( ) h( b) } = h( b) ; odtud bude h( ) h( b) h( b) Protože b je h( b) h( ) nlogicky je h( b) h( b) d N d h( ) d h( b) ; je d = h( c) pro nějké c M c c b c b odkud konečně d h( b). zth pro spojení se dokáže obdobně. =.. Dále buď tkže Ideálem ve svzu = ( M; ) rozumíme tkový podsvz I I ( N; ) který pltí N s M ( s N ). Duálním pojmem k ideálu je filtr. = pro Ideály jsou tedy uzvřené vůči spojení svých libovolných dvou prvků vůči průseku s libovolným prvkem celého svzu. Obdobně filtry jsou uzvřené vůči průseku svých libovolných dvou prvků vůči spojení s libovolným prvkem celého svzu. Buď ( M; ) = svz nechť N M N. Potom následující podmínky jsou ekvivlentní: N s M s N ) ( ) ) N b M ( b b N ) 3) b M ( b N b N ). ) ) : b = b ) 3) : b b b : ( s) = N tkže ( ) 3) ) s N. ět dává jiné ekvivlentní formulce pojmu ideál. Obdobná vět pltí pro filtry. ) Celý svz je ideálem i filtrem. Podsvzy z bodu příkldu...jsou ideály podsvzy jsou filtry. kutečně tkže i sup { } b c ztímco filtr se znčí je jistě uzvřený vůči menším prvkům pro b c je b c = b c. Ideál se nzývá hlvní ideál znčí se F říká se mu hlvní filtr. ) Má-li svz nulu nebo jednotku pk podsvz s nosičem { } { } resp. je ideál resp. filtr kždý ideál obshuje nulu kždý filtr jednotku. I

6 3) Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy h : T homomorfismus. Má-li svz h( ) nulu resp. jednotku pk můžeme definovt jádro Ker h resp. pseudojádro Ker h homomorfismu h rovnostmi Ker h = x M h( x) = Ker h = x M h x =. { } { ( ) } ndno se nhlédne že jádro je ideál pseudojádro je filtr ve svzu. Úplné svzy Řekneme že svz je úplný má-li v něm libovolná podmnožin infimum i supremum. ibovolný úplný svz má nulu i jednotku. = M; úplný svz. Pk inf M je nulou sup M je jednotkou. Buď ( ) Úplnými svzy jsou kždý konečný svz dále svz všech podmnožin svz ekvivlencí svz všech podgrup svz všech normálních podgrup. Nproti tomu lineární svz všech rcionálních čísel není úplný le ni lineární svz všech reálných čísel není úplný neboť nemá ni nulu ni jednotku. Množinový svz tké nemusí být úplný. kutečně uvžme M = n n N která je inkluzí lineárně tedy svzově množinu otevřených intervlů ( ) { } uspořádná předstvuje tudíž množinový svz který všk není úplný neboť nemá jednotku. Buď ( ; ) M uspořádná množin ve které má libovolná podmnožin infimum. Potom libovolná podmnožin má v M supremum definujeme-li pro b M operce rovnostmi je = ( M; ) úplný svz. { } { } b = inf b b = sup b Buď A M. Pro A = je sup = inf M. Bud tedy A. Oznčme Z množinu všech horních závor množiny A. Množin Z je neprázdná neboť obshuje poslední prvek inf množiny M. ibovolné A je dolní závorou množiny Z tkže pro libovolné A je inf Z ; to všk znmená že inf Z Z tudíž sup A = inf Z. irozeně pltí i duální vět se záměnou infim suprem tkže dostáváme Důsl vz je úplný právě tehdy má-li v něm kždá podmnožin infimum nebo kždá podmnožin supremum. uspořádné množině ( N ; ) má kždá podmnožin A N infimum - největší dolní závoru (speciálně inf = ). Podle předchozí věty je tedy sup A = inf Z kde Z je množin všech horních závor množiny A. Pro A konečnou je sup A rovno nejmenšímu společnému

7 násobku čísel z množiny A ztímco pro A nekonečnou je Z = { } tkže sup A = inf { } =. inujeme-li operce jko v příkldu...bod3) dostneme tedy úplný svz ve kterém je číslo jedn nulou číslo nul jednotkou. o pevném bodě Trski = M; úplný svz nechť f : M M je izotónní zobrzení. Potom existuje Buď ( ) u M tk že f ( u) = u. { } sup Oznčme U = M f ( ) u = U. Je U neboť U U je f ( u) f ( ) tkže f ( u ) je horní závor množinu U tedy f ( u) Odtud f ( u) f f ( u) čili f ( u) U tedy f ( u) u. Celkem f ( u) ( ). Pro libovolné = u. u. Poznmenejme že pltí tké vět obrácená: Má-li libovolné izotónní zobrzení svzu do sebe pevný bod je tento svz úplný. Pomocí věty o pevném bodě lze znovu dokázt Cntorovu-Bersteinovu větu...: M N et N M M N. ( ) Nechť M N N M buďte f : M N g : N M injekce. inujme zobrzení f : ( M ) ( N ) g : ( N ) ( M ) pro U M N klďme f ( U ) = f ( U ) g ( ) = g ( ) zobrzení h : P ( M ) P ( M ) předpisem h ( U ) M g N f ( U ) P P P P jko obrzy množin při zobrzeních f g tj. ( ) =. Zobrzení f g jsou (vzhledem k uspořádání inkluzí) izotónní tedy pro libovolné množiny A B M pltí postupně f A f B ( ) ( ) ( ) h ( A) h ( B) tkže zobrzení h je izotónní n úplném svzu ( M ) P M pro nějž je odkud tedy restrikce zobrzení ( ) ( ( )) g N f A g N f B ( ; ) ( ) ( ) P. Existuje tedy pevný bod ( ) P = h P = M g N f P ( ( )) ( ) ( ) M P = g N f P = g N f P g n množinu M P Položíme-li nyní f ( x) pro x P h( x) = g ( x) pro x M P je zobrzení h bijekcí množiny M n množinu N. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: je bijekce n množinu N f ( P).

8 Průnik libovolného systému ideálů svzu je buď množin prázdná nebo je to ideál v. Průnik konečného systému ideálů ve svzu je ideál ve svzu. I j J systém ideálů J konečná množin. yberme po jednom prvku j I j Buďte { j } položme = inf { j j J} I. j J j. Pk pro libovolné j J je j tedy I j tkže Průnik nekonečného systému ideálů může být prázdný. Tk npř. v lineárním svzu In = z Z z n ; pk In =. celých čísel uvžme hlvní ideály { } Průnik libovolného systému ideálů ve svzu s nulou (speciálně v úplném svzu) je ideál ve svzu. šechny ideály obshují nulu tkže jejich průnik je neprázdný. n Z Ozn Oznčme I množinu všech ideálů H množinu všech hlvních ideálu ve svzu. Buď = ( M ; ) svz s nulou. Množin I libovolnou množinu N I existuje inf = je uspořádná inkluzí pro N N což je ideál v. Podle věty...má tedy libovolná množinn I supremum odpovídjící svz je úplný. itom je supn = infz kde Z je množin všech horních závor množiny N. Jinými slovy supn = { K I I N ( I K )}. estrojili jsme úplný svz T = ( I ; ) s I J = I J I J = K I I J K. vz T se opercemi dnými rovnostmi { } nzývá svz ideálů svzu. Hlvní ideály tvoří podsvz ( H ; ) svzu T = ( ; ) Buďte b M. edně je I. { } { } I Ib = I Ib = x x et x b = x x b = I b. Dále je-li x I Ib pk x b tedy x I b ; odtud I Ib I b le pk tké I Ib I b. Nopk b I Ib tudíž tké b I Ib tedy I b I I. b Celkem tedy I Ib = I b. Řekneme že svz lze izomorfně vnořit do svzu T existuje-li monomorfismus h : T h T.. Pk je tedy ( )

9 ze dokázt že libovolný svz lze izomorfně vnořit do nějkého svzu ekvivlencí tké do svzu všech podgrup vhodné grupy. ibovolný svz lze izomorfně vnořit do úplného svzu. = M ; libovolný svz. Budeme předpokládt že svz má nulu. ( opčném Buď ( ) přípdě můžeme definovt svz = ( M ; ) kde položíme M M { } = dodefinujeme že pro libovolné M je < svz lze pk jistě izomorfně vnořit do svzu složení dvou monomorfismů je monomorfismus.) inujme zobrzení h : M h I h = h b I předpisem ( ) =. Jelikož ze vzthu ( ) ( ) sndno plyne rovnost = b je zobrzení h injekcí je tedy bijekcí n množinu H všech hlvních ideálů svzu. Dále nerovnost b pltí právě tehdy když I Ib tkže zobrzení h je izomorfismem uspořádné množiny ( M ; ) n uspořádnou množinu ( H ; ). Podle věty...to všk je totéž jko že zobrzení h je izomorfismem svzu n svz ( H ; ). vz jsme izomorfně vnořili do úplného svzu T = ( I ; ). Distributivní svzy Řekneme že svz ( M ; ) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) = je distributivní pokud pro libovolná b c M pltí Z rovnosti D plyne rovnost D ( ovšem i nopk). b c = b b c = c b c = b c ( ) ( ) ( ) Buď ( M ; ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) = libovolný svz. Potom pro libovolná b c M pltí vzthy Protože b b c c b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c b c b c je-li c pk b c b c. je b ( b c) c ( b c). z čehož již plyne první nerovnost. Druhá se dokáže nlogicky třetí je důsledkem druhé. Zveďme nerovnosti které jsou opčné k prvním dvěm nerovnostem z předchozího lemmtu:

10 vz ( M ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( N ) b c b c ( N ) b c b c = je distributivní právě tehdy pltí-li pro libovolná b c M kterákoli z nerovností N nebo N. ímá implikce je jsná opčná plyne z předchozích dvou lemmt. Distributivními svzy jsou: ) ibovolný množinový svz. ) ibovolný lineární svz. kutečně vzhledem k lemmtu...stčí dokázt rovnost D která nbude tvr min mx b c = mx min b min c. { { }} { } { } { } Je-li b c pk n obou strnách rovnosti je. Je-li nopk b c potom n obou strnách rovnosti je mx { b c }. Je-li prvek ostře mezi prvky bc pk n obou strnách rovnosti je. N ; z příkldu... 3) vz ( ) Dokžme rovnost D. Buďte p... p P k l m N tková čísl že Pk je n i i i n n n ki li mi i i i i= i= i=. = p b = p c = p ( ) δ ( ν ( )) i= ( ) ( ) ν ( δ ( ) δ ( )) { ki { li mi }} min mx i b c = b c = p n i= { { ki li} { ki mi } mx min min i b c = b c = p stčí tedy pro libovolná k l m N dokázt rovnost min k mx l m = mx min k l min k m n { { }} { { } { }} která je všk zvláštním přípdem rovnosti dokázné v předešlém příkldě. ndno se ověří pltnost následujícího tvrzení: ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz distributivního svzu je distributivní svz. Množinové svzy jsou distributivní libovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. To je obshem věty při jejímž důkzu budeme prcovt se speciálními filtry tzv. ultrfiltry. Filtr F ve svzu ( M ; ) b F ( F vel b F ). = se nzývá ultrfiltrem je-li F M pro b M pltí

11 Buďte M libovolná množin m M. Pk hlvní filtr F{ } = N M { m} N je m { } ultrfiltrem ve svzu všech podmnožin mnořiny M. kutečně je-li { m} A B pk zřejmě { m} A nebo { m} B. Je-li všk množin C M lespoň dvouprvková pk hlvní filtr F C již není ultrfiltrem. Oznčení ) Oznčme F množinu všech filtrů ) Buďte = ( M ; ) svz N M N je zřejmě filtr nejmenší filtr obshující množinu N. Buďte F filtr ve svzu ( M ; ) U množinu všech ultrfiltrů svzu. N = F N F F. Pk. Oznčme { } = M. Potom { } { } ( ) F = M c F c. Množin n prvé strně je filtr (uzvřenost vůči větším prvkům je zřejmá dále z nerovností c c plyne nerovnost c c ) přitom je podmnožinou libovolného filtru obshujícího množinu F { }. Buď ( M ; ) = distributivní svz. Potom pro libovolné prvky b M tkové že není b existuje tkový ultrfiltr F U pro který F b F. Buď F inkluzí uspořádná množin všech filtrů F F pro které je F b F. Je F neboť hlvní filtr F F. Obvyklým způsobem se dokáže že libovolný řetězec R v množině F má horní závoru R která ptří do F neboť tké R b R. Podle Zornov lemmtu existuje v F lespoň jeden mximální prvek oznčme jej F. Nyní stčí dokázt že F je ultrfiltr. Nechť tomu tk není. Potom (protože jistě není F = M ) existují M tk že F le Pro F F. i i = položme { } mximálností filtru F. Nechť tomu tk není tj. nechť b c b c F = F i. Dokážeme že položíme-li c c c b F b F b F F. Pk dle lemmtu... existují = je nebo - to bude spor s c c c F b c b c F tk že odkud ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c = c c c = c F tedy b F to je spor. Je tedy npř. b F tkže F F přitom F F což je spor. Dokázli jsme že F je ultrfiltr poždovných vlstností. tone

12 ibovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. M ; T = ( ; ) Buď = ( ) distributivní svz uvžme množinový svz ( ) inujme zobrzení h : M P ( U ) předpisem h( x) = { F x F} to monomorfismus. Buďte b M. Potom P U. U dokžme že je ( ( ) ( )) U (( ) ( )) U ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) b non b vel non b F F et b F vel b F et F F F h h b vel F h b h h h b tkže h je prosté. Dále pro libovolné F U je F h( b) b F ( F et b F ) ( F h( ) et F h( b) ) F h( ) h( b) tkže h( b) = h( ) h( b) konečně F h( b) b F ( F vel b F ) ( F h( ) vel F h( b) ) F h( ) h( b) tedy h( b) = h( ) h( b). Modulární svzy Některé důležité svzy jko npř. svz všech normálních podgrup dné grupy nejsou obecně distributivní. této kpitole zobecníme distributivní svzy n svzy modulární vyšetříme jejich zákldní vlstnosti mimo jiné ukážeme že výše zmíněné svzy jsou modulární. i definici modulárních svzů vyjdeme od rovností D D nebudeme všk žádt jejich splnění pro libovolné prvky b c le jen pro ty které splňují nerovnost c. Pk první rovnost je splněn vždy ztímco druhá dává vzth ( M ) b c = b c. Řekneme že svz ( M ; ) c pltí rovnost (M). Ihned vidíme že pltí ibovolný distributivní svz je modulární. ( ) ( ) = je modulární pokud pro libovolná b c M tková že vz všech normálních podgrup libovolné grupy je modulární. Buďte G grup A B C její normální podgrupy nechť A C. Z lemmtu...víme že pltí inkluze A( B C) ( AB) C. tčí tudíž dokázt opčnou inkluzi tj. vzth

13 ( ) ( AB) C A( B C). Nechť ( ) A b B ; dále ( ( )) b x C x AB C ; pk (viz lemm...) x = b kde = neboť A C tkže b C. Celkem x A B C. Důsl. vz všech podgrup libovolné Abelovy grupy je modulární. Uvidíme (příkld...) že svz všech podgrup libovolné grupy již nemusí být modulární. vz ( M ; ) = je modulární právě tehdy když pro libovolná b c M pltí rovnost ( ( )) ( ) ( ) b c = b c. ) Ihned doszením prvku c z c do rovnosti (M). ) Z předpokldu c plyne ihned rovnost (M). ndno se ověří následující ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz modulárního svzu je modulární svz. vz všech podmodulů libovolného modulu je modulární. vz všech ideálů libovolného netriviálního socitivního okruhu s jednotkou je modulární. První ze svzů je podsvzem modulárního svzu všech podgrup nosné Abelovy grupy. Dále uvážíme-li ditivní grupu okruhu R jko modul nd okruhem R (srv. příkld...) jsou jeho podmoduly právě všechny levé ideály okruhu R svz všech ideálu je podsvzem svzu všech levých ideálů. A... m prvků svzu se = = pro libovolné i mˆ je Buď svz s nulou jednotkou. Konečná posloupnost = ( ) nzývá normální řdou ve svzu jestliže m i <. Číslo m nzveme délkou řdy A. Normální řd = ( b b b ) i zjemněním řdy A pokud pro kždé n> m hovoříme o vlstním zjemnění. B... n se nzývá i mˆ existuje j nˆ tk že i = bj. Je-li nvíc normálními řdmi jsme se setkli v kpitole o grupách. Normální řd v modulárním svzu všech normálních podgrup libovolné grupy je zřejmě normální řdou ve smyslu definice...pro normální řdy v grupách pltí chreierov vět; její obdobou v modulárních svzech je následující (chreier) ibovolné dvě normální řdy v modulárním svzu mjí zjemnění stejných délek. Buďte A = (... m ) B = ( b b... bn ) libovolné normální řdy ve svzu. inujme

14 vytvořme posloupnosti Aɶ = ( ) ( ˆ... ) ( ) ( ˆ... ) = b i m j = n ij i i j b = b b j n i = m ji j j i (... n... n... m m... mn ) Bɶ = ( b b... b m b b... b m... bn bn... bnm ) i = i in = i tkže i n i ( i... m) ( ) Pro i mˆ je = = protože bj< bj je ˆ ˆ ij ij i m j n. Posloupnost A ɶ je tedy nerostoucí vynecháním opkujících se členů z ní získáme zjemnění řdy A. Totéž pltí o vzthu posloupnosti B ɶ k řdě B. Oznčme A resp. B posloupnosti vzniknuvší z posloupnosti A ɶ resp. B ɶ vynecháním opkujících se prvků 3... m resp. b b3... b n. Protože m( n + ) ( m ) = mn + = n( m + ) ( n ) mjí posloupnosti A B stejný počet členů. Nyní stčí dokázt že posloupnosti A B mjí stejný počet opkujících se členů. Nechť tedy pro nějká i mˆ j nˆ je = ij (přičemž symbol ij i oznčuje prvek i n ); dokážeme že pk bude bji = bji odkud již (vzhledem k symetrii) tvrzení plyne. Nejdříve provedeme pomocný výpočet ve kterém postupně využijeme definice prvku ij xiomu bsorpce předpokldu = ij nerovnosti ij ij i definice prvku ij nkonec modulrity spolu s nerovností i bj bj : ( ) (( i bj ) i ) bj ( i bj ) ( i bj ) b = b = b = b = i j ij i j ij i j ij j = = Potom je b = b b = b b b = b b = b. ( ) ( ) ( ) ( ) ji j j i j i j i j j i j ji Normální řd která nemá vlstní zjemnění se nzývá hlvní. Podobně jko u grup je sndným důsledkem chreierovy věty (Jordn Hölder) Buď modulární svz s nulou jednotkou. šechny hlvní řdy v mjí stejnou délku. Existuje-li v nějká hlvní řd lze libovolnou normální řdu zjemnit n řdu hlvní. Buďte ( M ; ) = svz b M < b. íme že intervl b podsvzem svzu ; v následující větě která je obdobou první věty o izomorfismu pro grupy jej pro větší názornost oznčíme b /. Buďte ( M ; ) = modulární svz b M. Potom ( b) / b / ( b)... je

15 f : b / b / b g : b / b b / předpisy inujme zobrzení ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x) = x b g ( x) = x. Pro libovolné x b g ( f ( x) ) = g ( x b) = ( b x) = ( b) x = x. Anlogicky se ukáže že pro x b b je f g ( x) x je (s využitím modulrity) ( ) tk identické tedy obě zobrzení f i g jsou bijekcemi. Dále je-li x y f x f y g x g y tké nopk: pk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) =. Kždé ze zobrzení gf f x f y g f x g f y x y. fg je Celkem je zobrzení f izomorfismem uspořádných množin tedy dle... je izomorfismem b / n svz b / b. svzu ( ) ( ) Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buď. Potom v podsvzu / existuje tké hlvní řd její délku oznčme ; skutečně je-li A = (... m ) hlvní řd která je zjemněním normální řdy ( ) nějké k mˆ = (... ) je hlvní řd ve svzu / je k k m pk pro přičemž = m k. Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buďte b. Potom b = + b b. Délky hlvních řd ve svzech ( b) / b / ( b) všk dle předchozí věty jsou uvedené délky stejné. jsou b b b Buď svz všech podprostorů vektorového prostoru konečné dimenze. vz je modulární má nulu i jednotku. Hlvní řdy jsou posloupnosti podprostorů ( P P... P n ) tkových že = = { o } i nˆ ( dim P = dim P + ). Dále zřejmě P dim P ( i... n) P Pn i i věty... plyne že pro libovolné podprostory což je vět o dimenzi známá z lineární lgebry. P Q pltí ( P Q) P Q ( P Q) dim + = dim + dim dim i i = =. Z Komplementární svzy Buď svz s nulou jednotkou. Prvek se nzývá komplementem prvku pokud = =. vz ve kterém má libovolný prvek lespoň jeden komplement se nzývá komplenentární. ) Komplementem nuly je jednotk komplementem jednotky je nul. ) vz všech podmnožin libovolné neprázdné množiny A je komplementární: nulou svzu je prázdná množin jednotkou množin A množinový komplement je svzovým

16 komplementem. Komplementární všk již nemusí být jkýkoli množinový svz tj. podsvz svzu. 3) Žádný lineární svz mjící lespoň tři prvky není komplementární. 4) Uvžme svz N 5 obshující pět prvků b c přičemž je nulou je jednotkou < c prvek b je nesrovntelný s prvky c. Pk prvek b má dv různé přitom srovntelné komplementy totiž c. Tento svz se nzývá pentgon. idíme že to není svz modulární neboť má dvě hlvní řdy rozdílných délek. 5) Jiným svzem n stejných pěti prvcích je svz M 5 tzv. dimnt ve kterém jsou prvky b c po dvou nesrovntelné. Zde má kterýkoli z těchto tří prvků z komplement libovolný ze dvou zbývjících - nesrovntelných - prvků. Buď modulární svz s nulou jednotkou nechť jsou komplementy prvku tkové že. Potom =. = = = = = ( ) ( ) modulárních svzech nemůže mít tedy žádný prvek dv různé srovntelné komplementy. Některý prvek může všk mít různé nesrovntelné komplementy jk tomu je ve svzu M 5 který je modulární všk není distributivní. distributivních svzech není již možný ni tento přípd. Buď distributivní svz s nulou jednotkou. Pk libovolný prvek má nejvýše jeden komplement. Buďte komplementy prvku. Pk = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže tedy dle předchozí věty je =. vz je modulární právě tehdy neobshuje-li jko podsvz pentgon. Místo obou implikcí dokážeme jejich trnspozice. ) Nechť svz obshuje jko podsvz pentgon 5 ( b) c = c = ( b c) tkže není modulární. ) Buď svz který není modulární. Pk existují prvky b c ( b) c ( b c) N. Potom je sice < c le tkové že c le >. Zřejmě < c prvek b není srovntelný ni s ni s c ; skutečně pro žádný z přípdů b b b c b c není splněn hořejší ostrá nerovnost. Nyní prvky c b c b b tvoří pentgon který je podsvzem svzu. kutečně buďte d e prvky různé od zmíněných pěti nechť b c = d b ; je buď b = c b pk c> c nebo b = e c b le pk > c ; odtud b c = b. Podobně musí být b = c b.

17 Pozn vz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd který obshuje pentgon není ovšem modulární neboť má různě dlouhé hlvní řdy. tejná délk hlvních řd všk ještě k modulritě nestčí jk ukzuje příkld hexgon... OBR Obdobně jko větu... lze dokázt následující tvrzení. vz je distributivní právě tehdy neobshuje-li dimnt ni pentgon. Uvžme svz všech podgrup lternující grupy A 4. Jednotkou svzu je celá grup A 4 nulou triviální grup E netriviálními podgrupmi jsou Kleinov grup K 4 její podgrupy kde npř. = ( ) ( )( 34) dále čtyři tříprvkové podgrupy A3 A3 A3 A 3 { ( )} kde npř. A 3 = {( )( 3)( 3 )}. OBR idíme že svz není modulární neboť jeho podsvzem je pentgon tvořený prvky E K A A. oučsně vidíme že svz všech normálních (všechny jsou normální!) podgrup grupy K 4 není distributivní. Booleovy svzy lgebry vz s nulou jednotkou se nzývá Booleův je-li součsně komplementární distributivní. Booleově svzu má tedy libovolný prvek právě jeden komplement můžeme tedy přidt ke svzovým opercím dlší unární operci přiřzení komplementu ; tk dospějeme k pojmu Booleov lgebr. Booleov lgebr je lgebr A = ( M ; ) kde ( ; ) M je Booleův svz je unární operce pro libovolný prvek M pltí rovnosti = =. Buďte A ( M ; ) ) ( ) = Booleov lgebr b M. Potom pltí = = = ) b = b b = b b = b b = b 3) ( ) ( ) 4) b b.

18 První vlstnost v bodě říká že komplement prvku je největší ze všech prvků které mjí s prvkem nulový průsek; obdobně druhá vlstnost. lstnosti v bodě jsou zřejmé. Dokžme první ekvivlenci v ). Je-li b = pk b = b = b = b b = b = b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže b. Je-li nopk b pk b = odkud b =. Dále je b b = b b b = ( ) ( ) ( ) ( ) ( b) ( b ) ( b ) ( b b ) = = odkud plyne první rovnost v 3). Konečně s využitím právě dokázných de Morgnových zákonů dostneme b b = b = b. Podlgebrou Booleovy lgebry A ( M ; ) B = ( N ; ) tkovou že N M průseku spojení komplementu. = rozumíme libovolnou Booleovu lgebru je (neprázdná) množin která je uzvřená vůči ) Asi nejznámější Booleovou lgebrou je lgebr všech podmnožin nějké množiny. Její podlgebry se nzývjí množinové Booleovy lghebry. Zdlek ne kždý její podsvz je všk její podlgebrou. ) yloučíme-li příliš triviální přípd jednoprvkové lgebry je nejjednodušší dvouprvková lgebr tvořená pouze prvky která hrál roli v Booleově lgebrizci výrokového klkulu. Buďte A = ( M ; ) B ( N ; ) h : M = Booleovy lgenry. Řekneme že zobrzení N je homomorfismus je-li homomorfismem odpovídjících svzů nvíc pro libovolný prvek M pltí rovnost h( ) = h( ). Filtr F v Booleově svzu ( M ; ) x M ( x F x F ) = je ultrfiltrem právě tehdy když. ) Buďte F ultrfiltr x M. Je x x = F tkže x F vel x F. itom nemůže být x x F neboť pk by bylo = x x F odkud F = M což není možné. ) Buďte F filtr x y M nechť x y F nebo y F le potom x F nebo y F. x y = x y F čili x F ; pk ( ) ibovolná Booleov lgebr je izomorfní s nějkou množinovou Booleovou lgebrou.

19 Buď A = ( M ; ) libovolná Booleov lgebr. Distributivní svz ( M ; ) věty...izomorfně vnořit do množinového svzu T = ( ( ); ) monomorfismem je zobrzení dné předpisem h( x) = { F U x F}. Obrz ( ) = lze dle P U přičemž příslušným množinovým svzem izomorfním se svzem. Dále pro libovolné x M pltí h = F U F = ( ) { } ( ) = { U } = U ( ) = { U } = { U } = U ( ) = ( ) h F F ( ) h x F x F F x F h x h x Odtud plyne že svz h( ) komplement tkže je podlgebrou lgebry ( P ( U ); ) že zobrzení h je monomorfismem Booleových lgeber. Celkem h( M ) množinovou Booleovou lgebrou izomorfní s lgebrou A.. h je tedy obshuje nulu jednotku s kždým prvkem tké jeho. Z posledního vzthu též vidíme ( ; ) je ibovolná konečná Booleov lgebr je izomorfní s množinovou Booleovou lgebrou všech podmnožin vhodné konečné množiny. Konečná Booleov lgebr s r prvky existuje právě tehdy je-li ibovolné dvě konečné Booleovy lgebry téhož řádu jsou izomorfní. r = n kde n N.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN pevné látky jsou chrkterizovány omezeným pohybem zákldních stvebních částic (tomů, iontů, molekul) kolem rovnovážných poloh PEVNÉ LÁTKY krystlické morfní KRYSTAL pevné

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Stereochemie. Přednáška č. 3

Stereochemie. Přednáška č. 3 Stereochemie Přednášk č. 3 Nomenkltur sloučenin obshujících centrum chirlity jednoduchou osu symetrie Typ molekuly prvek symetrie bcd žádný bc σ bb 2 + σ b 3 +3σ 4 3 + 3 2 + 6σ Molekuly typu bb b b b b

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jko přehled mtiky k mturitě, tkže jeho form odpovídá rozshu mého učiv mým poždvkům. Docel se mi osvědčilo už během roku, bylo mi nvrženo, bych ho dl k dispozici n

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23 10. Suffixové stromy V této kpitole popíšeme jednu pozoruhodnou dtovou strukturu, pomocí níž dokážeme prolémy týkjící se řetězců převádět n grfové prolémy řešit je tk v lineárním čse. Řetězce, trie suffixové

Více

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2 Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická

Více

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení 6.10. Euklidův algoritmus a ekvivalence Nechť a 0 > a 1 jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD)

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ Ing. Igor Neckř APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ posluchč doktorského studi oboru Soudní inženýrství FAST VUT v Brně E-mil: inec@volny.cz Přednášk n konferenci znlců ÚSI

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

matematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D.

matematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D. Aplikce pro numerické řešení mtemtických úloh Diplomová práce Studijní progrm: Studijní obor: Autor práce: Vedoucí práce: N2612 Elektrotechnik informtik 1802T007 Informční technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr.

Více

Astronomická olympiáda 2010/2011

Astronomická olympiáda 2010/2011 Astronomická olympiád 00/0 Úvod V roce 00 jsme si připomenuli jedno význmné domácí výročí, uplynulo totiž 600 let od vyrobení nejstrších částí pržského orloje. V roce 0 nás tké čeká celá řd stronomických

Více

STEJNOSMĚRNÉ STROJE (MOTORY) Princip činnosti motoru, konstrukční uspořádání, základní vlastnosti

STEJNOSMĚRNÉ STROJE (MOTORY) Princip činnosti motoru, konstrukční uspořádání, základní vlastnosti STEJNOSĚRNÉ STROJE (OTORY) Princip činnosti motoru, konstrukční uspořádání, zákldní vlstnosti Obr. 1. Směr siločr budicího (sttorového) obvodu stejnosměrného stroje Obr. 2. Směr proudu kotevního (rotorového)

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání Vztah limity k a uspořádání Miroslav Hušek UJEP Prohlížení Celý text je nejlépe čitelný v celoobrazovkovém módu. Toho docílíte stiskem kláves CTRL L. Doprovodný text V textu se užívají definice dle obvyklých

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc.

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc. PLANETOVÉ PŘEVODY Pomůck do cvičení předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pvel Sedlák, CSc. Pro pochopení funkce plnetových převodů jejich kinemtiky je nutné se senámit se ákldy především kinemtikou

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více