Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:"

Transkript

1 vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá průsek operce spojení. Axiomy předstvují zákony socitivní komuttivní zákon bsorpce. šimněme si že se vyskytují ve dvojicích ve kterých jsou vzájemně změněny obě operce o tkových formulím říkáme že jsou duální. N rozdíl od okruhu jsou tedy poždvky n obě operce zcel stejné. Buď ( M ; ) = svz. Operce jsou idempotentní tj. pro libovolné M pltí = =. Buďte b M. Potom podle zákonů bsorpce nlogicky se dokáže i druhý vzth. ( ( )) = b = Algebry ( M ; ) ( ; ) M se nzývjí průsekový spojový polosvz. Jsou to komuttivní pologrupy. Proto lze psát průseky spojení konečného počtu prvků svzu bez závorek v jkémkoli pořdí prvků. ( ; ) ) Je-li A libovolná množin pk ( A) P je svz; je to svz všech podmnožin množiny A. Je-li A = pk jde o svz jednoprvkový. M ; lineárně uspořádná množin. inujme n množině M operce ) Buď ( ) následovně: jsou-li b M b klďme b b b = =. Pk ( M ; ) = je svz který můžeme nzvt lineární. Tkové svzy jsou ovšem velmi speciální z hledisk teorie svzů ne příliš zjímvé. obou příkldech svzů lze n jejich nosičích uvžovt uspořádání které úzce souvisí se svzovými opercemi. Buď ( ; ) M uspořádná množin. Je-li množin všech horních závor množiny N M neprázdná má-li první prvek nzývá se tento prvek supremem množiny N znčí se sup N. Anlogicky tj. duálně se definuje infimum množiny N které znčíme inf N.

2 Uvědomme si že sup existuje právě tehdy když má množin M první prvek p je potom sup = inf M = p nlogicky inf = sup M = q kde q je poslední prvek existuje-li množiny M. Uspořádání n množině M se nzývá svzové má-li kždá dvouprvková podmnožin množiny M supremum i infimum v množině M. Buď ( M ; ) Je-li b = svz. Potom pro libovolná b M pltí b = b = b. b = b b = b ; opčná implikce se dokáže nlogicky. = je ( ) ) Buď ( M ; ) = svz. inujeme-li n množině M binární relci vzthem b b = je svzové uspořádání n množině M. ) Buď ( M ; ) svzově uspořádná množin. inujeme-li n množině M operce vzthy b = inf { b} b = sup { b} je = ( M ; ) svz. ) Je ihned vidět že relce je n M reflexivní slbě ntisymetrická. Buďte b c M nechť b b c c = b c = b c = b = odkud c tkže ; pk ( ) ( ) relce je trnzitivní. inf b = b sup b = b. Zřejmě b i b b Nyní dokážeme že { } { } dále pro libovolné c tkové že c c b je b c = c = c tkže c b. Obdobně se dokáže vzth pro supremum. Uspořádání je tedy svzové. ) Ověříme xiomy svzu. Buďte b c M libovolné prvky. { } ndno se dokáže že inf { b c} inf inf { b} c vzth inf { b c} = inf inf { c b}. Odtud již ( b) c ( b c) { } socitivní zákon pro spojení. Komuttivní zákony jsou zřejmé. =. Změníme-li prvky c dostneme Konečně se jednoduše nhlédne že ( ) inf sup{ } i xiomy bsorpce. =. Obdobně se dokáže { } b = b = tkže operce splňují Pozor libovolném svzu má infimum i supremum kždá konečná množin; sndno se zjistí že je inf... =... sup... =.... { } { } k k k k Pozn. idíme že ve svzech jsou svzové operce velice těsně svázány s odpovídjícím svzovým uspořádáním. Prostřednictvím uspořádání jedn z opercí již určuje druhou. Známe-li npř. všechny průseky známe svzové uspořádání které určuje operci spojení.

3 ( ) ) Buď P ( A) ; svz všech podmnožin z příkldu... Pk pro b ( A) P je b b = b tkže svzovým uspořádáním je inkluze. ) příkldu...je svzovým uspořádáním dné lineární uspořádání. 3) N množině N uvžme uspořádání ( dělí beze zbytku ). Uspořádání je svzové pro libovolná k l N je inf { k l} = δ ( k l) sup { k l} = ν ( k l) definujeme-li tedy operce vzthy k l δ ( k l) k l ν ( k l) = = získáme svz. 4) Buďte G grup M množin všech jejích podgrup resp. všech jejích normálních podgrup. inujeme-li n množině M uspořádání předpisem H K H K jedná se o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } H K = H K H K = HK můžeme tedy mluvit o svzu všech podgrup svzu všech normálních podgrup dné grupy. 5) Buďte R okruh M množin všech jeho podokruhů resp. všech jeho ideálů. inujme n množině M uspořádání předpisem I J I J ; pk se jedná o svzové uspořádání přičemž inf { } sup { } I J = I J I J = I + J můžeme tedy mluvit o svzu všech podokruhů svzu všech ideálů okruhu R. 6) Podobně lze uvžovt svz všech podmodulů dného modulu speciálně svz všech podprostorů vektorového prostoru s uspořádáním inkluzí s opercemi průnik součet. 7) Buď M množin. Množin E všech ekvivlencí n množině M je svzově uspořádná inkluzí přičemž zřejmě inf { b} = b sup { b} = { e E b e} b = b b = e E b e E ; definujeme-li tedy operce vzthy { } je ( ) svz. bodech ) 4) jsou svzovým uspořádáním inkluze průsekem je v obou přípdech b = sup b tj. nejmenší horní závor kterou je v průnik. Operce spojení se všk liší: { } ) sjednocení množin všk ve 4) je to součin podgrup. Buď ( M ; ) = libovolný svz nechť b c M přičemž je b. Potom c b c c b c. Je c b c = c c b c = b c tkže dokzovné nerovnosti pltí. Buď ( M ; ) = svz. ibovolný minimální resp. mximální prvek svzově uspořádné množiny M je již jejím prvním resp. posledním prvkem nzývá se nulou resp. jednotkou svzu. Nechť m je minimální prvek v M buď x M libovolný prvek; pk m x m tkže m x = m odkud m x. Nulou jednotkou jsou ve svzech z příkldu...po řdě v 3) E G ve 4) DgM M M jednotku. A v ) (v tomto pořdí!) v 7). ineární svz z bodu ) nemusí mít nulu ni

4 Buď ( M; ) = svz nechť N M N je množin uzvřená vůči průseku spojení tj. nechť pro libovolná b N je b N b N. Potom T = ( N; ) (s opercemi zúženými n množinu N) je svz o kterém říkáme že je podsvzem svzu píšeme T. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: Průnik libovolného systému podsvzů svzu je buď množin prázdná nebo je to podsvz svzu. ) Nejjednoduššími podsvzy jsou určitě svzy jednoprvkové obdhující libovolný prvek svzu; hned z nimi následují podsvzy tvořené libovolnými dvěm srovntelnými prvky. Obecněji libovolný řetězec ve svzu je jeho podsvzem. ) Množinovým svzem rozumíme libovolný podsvz svzu všech podmnožin nějké množiny. = M; svz nechť b M b. Potom množiny 3) Buď ( ) = { x M x } = { x M x } b = { x M x b} jsou nosiče podsvzů svzu ; odpovídjící svzy budeme znčit stejnými symboly. 4) vz normálních podgrup grupy je podsvzem svzu všech jejích podgrup. 5) vz podgrup grupy G není podsvzem svzu všech podmnožin množiny G (při licenci nerozlišující podgrupy jejich nosiče) neboť svz podgrup není uzvřený vůči sjednocení. Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = libovolné svzy. Zobrzení h : M (svzový) homomorfismus pltí-li pro libovolná x y M vzthy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x y = h x h y h x y = h x h y. N se nzývá peciální přípdy homomorfismu svzů se definují stejně jko u grupoidů okruhů. ndno se nhlédne že homomorfní obrz svzu je podsvzem svzu T. Jsou-li svzy T izomorfní píšeme T. Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy nechť h : je izotonní zobrzení. Má-li svz nulu nebo jednotku pk ( ) jednotkou svzu h( ). Nechť b M b Zvolíme-li T je homomorfismus. Potom h h je nulou h ( ). Pk h( ) h( b) = h( b) = h( ) tkže h( ) h( b) = je h( ) h( b) pro libovolné b M Buďte ( M ; ) T ( N; ) = = svzy. Zobrzení h : M.. právě tehdy je-li izomorfismem svzově uspořádných množin M N. N je izomorfismem svzů

5 Protože ob izomorfismy jsou bijekcemi stčí dokázt ekvivlenci zbývjících vlstností. Buďte b M. ) Implikce b h( ) h( b) plyne z předchozího lemmtu. Dokžme opčnou. Je-li h( ) h( b) pk h( b) = h( ) h( b) = h( ) tkže b = čili b. ) Dokážeme že inf { h( ) h( b) } = h( b) ; odtud bude h( ) h( b) h( b) Protože b je h( b) h( ) nlogicky je h( b) h( b) d N d h( ) d h( b) ; je d = h( c) pro nějké c M c c b c b odkud konečně d h( b). zth pro spojení se dokáže obdobně. =.. Dále buď tkže Ideálem ve svzu = ( M; ) rozumíme tkový podsvz I I ( N; ) který pltí N s M ( s N ). Duálním pojmem k ideálu je filtr. = pro Ideály jsou tedy uzvřené vůči spojení svých libovolných dvou prvků vůči průseku s libovolným prvkem celého svzu. Obdobně filtry jsou uzvřené vůči průseku svých libovolných dvou prvků vůči spojení s libovolným prvkem celého svzu. Buď ( M; ) = svz nechť N M N. Potom následující podmínky jsou ekvivlentní: N s M s N ) ( ) ) N b M ( b b N ) 3) b M ( b N b N ). ) ) : b = b ) 3) : b b b : ( s) = N tkže ( ) 3) ) s N. ět dává jiné ekvivlentní formulce pojmu ideál. Obdobná vět pltí pro filtry. ) Celý svz je ideálem i filtrem. Podsvzy z bodu příkldu...jsou ideály podsvzy jsou filtry. kutečně tkže i sup { } b c ztímco filtr se znčí je jistě uzvřený vůči menším prvkům pro b c je b c = b c. Ideál se nzývá hlvní ideál znčí se F říká se mu hlvní filtr. ) Má-li svz nulu nebo jednotku pk podsvz s nosičem { } { } resp. je ideál resp. filtr kždý ideál obshuje nulu kždý filtr jednotku. I

6 3) Buďte = ( M ; ) T = ( N; ) svzy h : T homomorfismus. Má-li svz h( ) nulu resp. jednotku pk můžeme definovt jádro Ker h resp. pseudojádro Ker h homomorfismu h rovnostmi Ker h = x M h( x) = Ker h = x M h x =. { } { ( ) } ndno se nhlédne že jádro je ideál pseudojádro je filtr ve svzu. Úplné svzy Řekneme že svz je úplný má-li v něm libovolná podmnožin infimum i supremum. ibovolný úplný svz má nulu i jednotku. = M; úplný svz. Pk inf M je nulou sup M je jednotkou. Buď ( ) Úplnými svzy jsou kždý konečný svz dále svz všech podmnožin svz ekvivlencí svz všech podgrup svz všech normálních podgrup. Nproti tomu lineární svz všech rcionálních čísel není úplný le ni lineární svz všech reálných čísel není úplný neboť nemá ni nulu ni jednotku. Množinový svz tké nemusí být úplný. kutečně uvžme M = n n N která je inkluzí lineárně tedy svzově množinu otevřených intervlů ( ) { } uspořádná předstvuje tudíž množinový svz který všk není úplný neboť nemá jednotku. Buď ( ; ) M uspořádná množin ve které má libovolná podmnožin infimum. Potom libovolná podmnožin má v M supremum definujeme-li pro b M operce rovnostmi je = ( M; ) úplný svz. { } { } b = inf b b = sup b Buď A M. Pro A = je sup = inf M. Bud tedy A. Oznčme Z množinu všech horních závor množiny A. Množin Z je neprázdná neboť obshuje poslední prvek inf množiny M. ibovolné A je dolní závorou množiny Z tkže pro libovolné A je inf Z ; to všk znmená že inf Z Z tudíž sup A = inf Z. irozeně pltí i duální vět se záměnou infim suprem tkže dostáváme Důsl vz je úplný právě tehdy má-li v něm kždá podmnožin infimum nebo kždá podmnožin supremum. uspořádné množině ( N ; ) má kždá podmnožin A N infimum - největší dolní závoru (speciálně inf = ). Podle předchozí věty je tedy sup A = inf Z kde Z je množin všech horních závor množiny A. Pro A konečnou je sup A rovno nejmenšímu společnému

7 násobku čísel z množiny A ztímco pro A nekonečnou je Z = { } tkže sup A = inf { } =. inujeme-li operce jko v příkldu...bod3) dostneme tedy úplný svz ve kterém je číslo jedn nulou číslo nul jednotkou. o pevném bodě Trski = M; úplný svz nechť f : M M je izotónní zobrzení. Potom existuje Buď ( ) u M tk že f ( u) = u. { } sup Oznčme U = M f ( ) u = U. Je U neboť U U je f ( u) f ( ) tkže f ( u ) je horní závor množinu U tedy f ( u) Odtud f ( u) f f ( u) čili f ( u) U tedy f ( u) u. Celkem f ( u) ( ). Pro libovolné = u. u. Poznmenejme že pltí tké vět obrácená: Má-li libovolné izotónní zobrzení svzu do sebe pevný bod je tento svz úplný. Pomocí věty o pevném bodě lze znovu dokázt Cntorovu-Bersteinovu větu...: M N et N M M N. ( ) Nechť M N N M buďte f : M N g : N M injekce. inujme zobrzení f : ( M ) ( N ) g : ( N ) ( M ) pro U M N klďme f ( U ) = f ( U ) g ( ) = g ( ) zobrzení h : P ( M ) P ( M ) předpisem h ( U ) M g N f ( U ) P P P P jko obrzy množin při zobrzeních f g tj. ( ) =. Zobrzení f g jsou (vzhledem k uspořádání inkluzí) izotónní tedy pro libovolné množiny A B M pltí postupně f A f B ( ) ( ) ( ) h ( A) h ( B) tkže zobrzení h je izotónní n úplném svzu ( M ) P M pro nějž je odkud tedy restrikce zobrzení ( ) ( ( )) g N f A g N f B ( ; ) ( ) ( ) P. Existuje tedy pevný bod ( ) P = h P = M g N f P ( ( )) ( ) ( ) M P = g N f P = g N f P g n množinu M P Položíme-li nyní f ( x) pro x P h( x) = g ( x) pro x M P je zobrzení h bijekcí množiny M n množinu N. ndno se nhlédne pltnost následujícího tvrzení: je bijekce n množinu N f ( P).

8 Průnik libovolného systému ideálů svzu je buď množin prázdná nebo je to ideál v. Průnik konečného systému ideálů ve svzu je ideál ve svzu. I j J systém ideálů J konečná množin. yberme po jednom prvku j I j Buďte { j } položme = inf { j j J} I. j J j. Pk pro libovolné j J je j tedy I j tkže Průnik nekonečného systému ideálů může být prázdný. Tk npř. v lineárním svzu In = z Z z n ; pk In =. celých čísel uvžme hlvní ideály { } Průnik libovolného systému ideálů ve svzu s nulou (speciálně v úplném svzu) je ideál ve svzu. šechny ideály obshují nulu tkže jejich průnik je neprázdný. n Z Ozn Oznčme I množinu všech ideálů H množinu všech hlvních ideálu ve svzu. Buď = ( M ; ) svz s nulou. Množin I libovolnou množinu N I existuje inf = je uspořádná inkluzí pro N N což je ideál v. Podle věty...má tedy libovolná množinn I supremum odpovídjící svz je úplný. itom je supn = infz kde Z je množin všech horních závor množiny N. Jinými slovy supn = { K I I N ( I K )}. estrojili jsme úplný svz T = ( I ; ) s I J = I J I J = K I I J K. vz T se opercemi dnými rovnostmi { } nzývá svz ideálů svzu. Hlvní ideály tvoří podsvz ( H ; ) svzu T = ( ; ) Buďte b M. edně je I. { } { } I Ib = I Ib = x x et x b = x x b = I b. Dále je-li x I Ib pk x b tedy x I b ; odtud I Ib I b le pk tké I Ib I b. Nopk b I Ib tudíž tké b I Ib tedy I b I I. b Celkem tedy I Ib = I b. Řekneme že svz lze izomorfně vnořit do svzu T existuje-li monomorfismus h : T h T.. Pk je tedy ( )

9 ze dokázt že libovolný svz lze izomorfně vnořit do nějkého svzu ekvivlencí tké do svzu všech podgrup vhodné grupy. ibovolný svz lze izomorfně vnořit do úplného svzu. = M ; libovolný svz. Budeme předpokládt že svz má nulu. ( opčném Buď ( ) přípdě můžeme definovt svz = ( M ; ) kde položíme M M { } = dodefinujeme že pro libovolné M je < svz lze pk jistě izomorfně vnořit do svzu složení dvou monomorfismů je monomorfismus.) inujme zobrzení h : M h I h = h b I předpisem ( ) =. Jelikož ze vzthu ( ) ( ) sndno plyne rovnost = b je zobrzení h injekcí je tedy bijekcí n množinu H všech hlvních ideálů svzu. Dále nerovnost b pltí právě tehdy když I Ib tkže zobrzení h je izomorfismem uspořádné množiny ( M ; ) n uspořádnou množinu ( H ; ). Podle věty...to všk je totéž jko že zobrzení h je izomorfismem svzu n svz ( H ; ). vz jsme izomorfně vnořili do úplného svzu T = ( I ; ). Distributivní svzy Řekneme že svz ( M ; ) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) ( D ) ( b c) = ( b) ( c) = je distributivní pokud pro libovolná b c M pltí Z rovnosti D plyne rovnost D ( ovšem i nopk). b c = b b c = c b c = b c ( ) ( ) ( ) Buď ( M ; ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) = libovolný svz. Potom pro libovolná b c M pltí vzthy Protože b b c c b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c b c b c je-li c pk b c b c. je b ( b c) c ( b c). z čehož již plyne první nerovnost. Druhá se dokáže nlogicky třetí je důsledkem druhé. Zveďme nerovnosti které jsou opčné k prvním dvěm nerovnostem z předchozího lemmtu:

10 vz ( M ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( N ) b c b c ( N ) b c b c = je distributivní právě tehdy pltí-li pro libovolná b c M kterákoli z nerovností N nebo N. ímá implikce je jsná opčná plyne z předchozích dvou lemmt. Distributivními svzy jsou: ) ibovolný množinový svz. ) ibovolný lineární svz. kutečně vzhledem k lemmtu...stčí dokázt rovnost D která nbude tvr min mx b c = mx min b min c. { { }} { } { } { } Je-li b c pk n obou strnách rovnosti je. Je-li nopk b c potom n obou strnách rovnosti je mx { b c }. Je-li prvek ostře mezi prvky bc pk n obou strnách rovnosti je. N ; z příkldu... 3) vz ( ) Dokžme rovnost D. Buďte p... p P k l m N tková čísl že Pk je n i i i n n n ki li mi i i i i= i= i=. = p b = p c = p ( ) δ ( ν ( )) i= ( ) ( ) ν ( δ ( ) δ ( )) { ki { li mi }} min mx i b c = b c = p n i= { { ki li} { ki mi } mx min min i b c = b c = p stčí tedy pro libovolná k l m N dokázt rovnost min k mx l m = mx min k l min k m n { { }} { { } { }} která je všk zvláštním přípdem rovnosti dokázné v předešlém příkldě. ndno se ověří pltnost následujícího tvrzení: ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz distributivního svzu je distributivní svz. Množinové svzy jsou distributivní libovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. To je obshem věty při jejímž důkzu budeme prcovt se speciálními filtry tzv. ultrfiltry. Filtr F ve svzu ( M ; ) b F ( F vel b F ). = se nzývá ultrfiltrem je-li F M pro b M pltí

11 Buďte M libovolná množin m M. Pk hlvní filtr F{ } = N M { m} N je m { } ultrfiltrem ve svzu všech podmnožin mnořiny M. kutečně je-li { m} A B pk zřejmě { m} A nebo { m} B. Je-li všk množin C M lespoň dvouprvková pk hlvní filtr F C již není ultrfiltrem. Oznčení ) Oznčme F množinu všech filtrů ) Buďte = ( M ; ) svz N M N je zřejmě filtr nejmenší filtr obshující množinu N. Buďte F filtr ve svzu ( M ; ) U množinu všech ultrfiltrů svzu. N = F N F F. Pk. Oznčme { } = M. Potom { } { } ( ) F = M c F c. Množin n prvé strně je filtr (uzvřenost vůči větším prvkům je zřejmá dále z nerovností c c plyne nerovnost c c ) přitom je podmnožinou libovolného filtru obshujícího množinu F { }. Buď ( M ; ) = distributivní svz. Potom pro libovolné prvky b M tkové že není b existuje tkový ultrfiltr F U pro který F b F. Buď F inkluzí uspořádná množin všech filtrů F F pro které je F b F. Je F neboť hlvní filtr F F. Obvyklým způsobem se dokáže že libovolný řetězec R v množině F má horní závoru R která ptří do F neboť tké R b R. Podle Zornov lemmtu existuje v F lespoň jeden mximální prvek oznčme jej F. Nyní stčí dokázt že F je ultrfiltr. Nechť tomu tk není. Potom (protože jistě není F = M ) existují M tk že F le Pro F F. i i = položme { } mximálností filtru F. Nechť tomu tk není tj. nechť b c b c F = F i. Dokážeme že položíme-li c c c b F b F b F F. Pk dle lemmtu... existují = je nebo - to bude spor s c c c F b c b c F tk že odkud ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c = c c c = c F tedy b F to je spor. Je tedy npř. b F tkže F F přitom F F což je spor. Dokázli jsme že F je ultrfiltr poždovných vlstností. tone

12 ibovolný distributivní svz je izomorfní s nějkým množinovým svzem. M ; T = ( ; ) Buď = ( ) distributivní svz uvžme množinový svz ( ) inujme zobrzení h : M P ( U ) předpisem h( x) = { F x F} to monomorfismus. Buďte b M. Potom P U. U dokžme že je ( ( ) ( )) U (( ) ( )) U ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) b non b vel non b F F et b F vel b F et F F F h h b vel F h b h h h b tkže h je prosté. Dále pro libovolné F U je F h( b) b F ( F et b F ) ( F h( ) et F h( b) ) F h( ) h( b) tkže h( b) = h( ) h( b) konečně F h( b) b F ( F vel b F ) ( F h( ) vel F h( b) ) F h( ) h( b) tedy h( b) = h( ) h( b). Modulární svzy Některé důležité svzy jko npř. svz všech normálních podgrup dné grupy nejsou obecně distributivní. této kpitole zobecníme distributivní svzy n svzy modulární vyšetříme jejich zákldní vlstnosti mimo jiné ukážeme že výše zmíněné svzy jsou modulární. i definici modulárních svzů vyjdeme od rovností D D nebudeme všk žádt jejich splnění pro libovolné prvky b c le jen pro ty které splňují nerovnost c. Pk první rovnost je splněn vždy ztímco druhá dává vzth ( M ) b c = b c. Řekneme že svz ( M ; ) c pltí rovnost (M). Ihned vidíme že pltí ibovolný distributivní svz je modulární. ( ) ( ) = je modulární pokud pro libovolná b c M tková že vz všech normálních podgrup libovolné grupy je modulární. Buďte G grup A B C její normální podgrupy nechť A C. Z lemmtu...víme že pltí inkluze A( B C) ( AB) C. tčí tudíž dokázt opčnou inkluzi tj. vzth

13 ( ) ( AB) C A( B C). Nechť ( ) A b B ; dále ( ( )) b x C x AB C ; pk (viz lemm...) x = b kde = neboť A C tkže b C. Celkem x A B C. Důsl. vz všech podgrup libovolné Abelovy grupy je modulární. Uvidíme (příkld...) že svz všech podgrup libovolné grupy již nemusí být modulární. vz ( M ; ) = je modulární právě tehdy když pro libovolná b c M pltí rovnost ( ( )) ( ) ( ) b c = b c. ) Ihned doszením prvku c z c do rovnosti (M). ) Z předpokldu c plyne ihned rovnost (M). ndno se ověří následující ibovolný podsvz i libovolný homomorfní obrz modulárního svzu je modulární svz. vz všech podmodulů libovolného modulu je modulární. vz všech ideálů libovolného netriviálního socitivního okruhu s jednotkou je modulární. První ze svzů je podsvzem modulárního svzu všech podgrup nosné Abelovy grupy. Dále uvážíme-li ditivní grupu okruhu R jko modul nd okruhem R (srv. příkld...) jsou jeho podmoduly právě všechny levé ideály okruhu R svz všech ideálu je podsvzem svzu všech levých ideálů. A... m prvků svzu se = = pro libovolné i mˆ je Buď svz s nulou jednotkou. Konečná posloupnost = ( ) nzývá normální řdou ve svzu jestliže m i <. Číslo m nzveme délkou řdy A. Normální řd = ( b b b ) i zjemněním řdy A pokud pro kždé n> m hovoříme o vlstním zjemnění. B... n se nzývá i mˆ existuje j nˆ tk že i = bj. Je-li nvíc normálními řdmi jsme se setkli v kpitole o grupách. Normální řd v modulárním svzu všech normálních podgrup libovolné grupy je zřejmě normální řdou ve smyslu definice...pro normální řdy v grupách pltí chreierov vět; její obdobou v modulárních svzech je následující (chreier) ibovolné dvě normální řdy v modulárním svzu mjí zjemnění stejných délek. Buďte A = (... m ) B = ( b b... bn ) libovolné normální řdy ve svzu. inujme

14 vytvořme posloupnosti Aɶ = ( ) ( ˆ... ) ( ) ( ˆ... ) = b i m j = n ij i i j b = b b j n i = m ji j j i (... n... n... m m... mn ) Bɶ = ( b b... b m b b... b m... bn bn... bnm ) i = i in = i tkže i n i ( i... m) ( ) Pro i mˆ je = = protože bj< bj je ˆ ˆ ij ij i m j n. Posloupnost A ɶ je tedy nerostoucí vynecháním opkujících se členů z ní získáme zjemnění řdy A. Totéž pltí o vzthu posloupnosti B ɶ k řdě B. Oznčme A resp. B posloupnosti vzniknuvší z posloupnosti A ɶ resp. B ɶ vynecháním opkujících se prvků 3... m resp. b b3... b n. Protože m( n + ) ( m ) = mn + = n( m + ) ( n ) mjí posloupnosti A B stejný počet členů. Nyní stčí dokázt že posloupnosti A B mjí stejný počet opkujících se členů. Nechť tedy pro nějká i mˆ j nˆ je = ij (přičemž symbol ij i oznčuje prvek i n ); dokážeme že pk bude bji = bji odkud již (vzhledem k symetrii) tvrzení plyne. Nejdříve provedeme pomocný výpočet ve kterém postupně využijeme definice prvku ij xiomu bsorpce předpokldu = ij nerovnosti ij ij i definice prvku ij nkonec modulrity spolu s nerovností i bj bj : ( ) (( i bj ) i ) bj ( i bj ) ( i bj ) b = b = b = b = i j ij i j ij i j ij j = = Potom je b = b b = b b b = b b = b. ( ) ( ) ( ) ( ) ji j j i j i j i j j i j ji Normální řd která nemá vlstní zjemnění se nzývá hlvní. Podobně jko u grup je sndným důsledkem chreierovy věty (Jordn Hölder) Buď modulární svz s nulou jednotkou. šechny hlvní řdy v mjí stejnou délku. Existuje-li v nějká hlvní řd lze libovolnou normální řdu zjemnit n řdu hlvní. Buďte ( M ; ) = svz b M < b. íme že intervl b podsvzem svzu ; v následující větě která je obdobou první věty o izomorfismu pro grupy jej pro větší názornost oznčíme b /. Buďte ( M ; ) = modulární svz b M. Potom ( b) / b / ( b)... je

15 f : b / b / b g : b / b b / předpisy inujme zobrzení ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x) = x b g ( x) = x. Pro libovolné x b g ( f ( x) ) = g ( x b) = ( b x) = ( b) x = x. Anlogicky se ukáže že pro x b b je f g ( x) x je (s využitím modulrity) ( ) tk identické tedy obě zobrzení f i g jsou bijekcemi. Dále je-li x y f x f y g x g y tké nopk: pk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) =. Kždé ze zobrzení gf f x f y g f x g f y x y. fg je Celkem je zobrzení f izomorfismem uspořádných množin tedy dle... je izomorfismem b / n svz b / b. svzu ( ) ( ) Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buď. Potom v podsvzu / existuje tké hlvní řd její délku oznčme ; skutečně je-li A = (... m ) hlvní řd která je zjemněním normální řdy ( ) nějké k mˆ = (... ) je hlvní řd ve svzu / je k k m pk pro přičemž = m k. Buď modulární svz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd buďte b. Potom b = + b b. Délky hlvních řd ve svzech ( b) / b / ( b) všk dle předchozí věty jsou uvedené délky stejné. jsou b b b Buď svz všech podprostorů vektorového prostoru konečné dimenze. vz je modulární má nulu i jednotku. Hlvní řdy jsou posloupnosti podprostorů ( P P... P n ) tkových že = = { o } i nˆ ( dim P = dim P + ). Dále zřejmě P dim P ( i... n) P Pn i i věty... plyne že pro libovolné podprostory což je vět o dimenzi známá z lineární lgebry. P Q pltí ( P Q) P Q ( P Q) dim + = dim + dim dim i i = =. Z Komplementární svzy Buď svz s nulou jednotkou. Prvek se nzývá komplementem prvku pokud = =. vz ve kterém má libovolný prvek lespoň jeden komplement se nzývá komplenentární. ) Komplementem nuly je jednotk komplementem jednotky je nul. ) vz všech podmnožin libovolné neprázdné množiny A je komplementární: nulou svzu je prázdná množin jednotkou množin A množinový komplement je svzovým

16 komplementem. Komplementární všk již nemusí být jkýkoli množinový svz tj. podsvz svzu. 3) Žádný lineární svz mjící lespoň tři prvky není komplementární. 4) Uvžme svz N 5 obshující pět prvků b c přičemž je nulou je jednotkou < c prvek b je nesrovntelný s prvky c. Pk prvek b má dv různé přitom srovntelné komplementy totiž c. Tento svz se nzývá pentgon. idíme že to není svz modulární neboť má dvě hlvní řdy rozdílných délek. 5) Jiným svzem n stejných pěti prvcích je svz M 5 tzv. dimnt ve kterém jsou prvky b c po dvou nesrovntelné. Zde má kterýkoli z těchto tří prvků z komplement libovolný ze dvou zbývjících - nesrovntelných - prvků. Buď modulární svz s nulou jednotkou nechť jsou komplementy prvku tkové že. Potom =. = = = = = ( ) ( ) modulárních svzech nemůže mít tedy žádný prvek dv různé srovntelné komplementy. Některý prvek může všk mít různé nesrovntelné komplementy jk tomu je ve svzu M 5 který je modulární všk není distributivní. distributivních svzech není již možný ni tento přípd. Buď distributivní svz s nulou jednotkou. Pk libovolný prvek má nejvýše jeden komplement. Buďte komplementy prvku. Pk = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže tedy dle předchozí věty je =. vz je modulární právě tehdy neobshuje-li jko podsvz pentgon. Místo obou implikcí dokážeme jejich trnspozice. ) Nechť svz obshuje jko podsvz pentgon 5 ( b) c = c = ( b c) tkže není modulární. ) Buď svz který není modulární. Pk existují prvky b c ( b) c ( b c) N. Potom je sice < c le tkové že c le >. Zřejmě < c prvek b není srovntelný ni s ni s c ; skutečně pro žádný z přípdů b b b c b c není splněn hořejší ostrá nerovnost. Nyní prvky c b c b b tvoří pentgon který je podsvzem svzu. kutečně buďte d e prvky různé od zmíněných pěti nechť b c = d b ; je buď b = c b pk c> c nebo b = e c b le pk > c ; odtud b c = b. Podobně musí být b = c b.

17 Pozn vz s nulou jednotkou ve kterém existuje hlvní řd který obshuje pentgon není ovšem modulární neboť má různě dlouhé hlvní řdy. tejná délk hlvních řd všk ještě k modulritě nestčí jk ukzuje příkld hexgon... OBR Obdobně jko větu... lze dokázt následující tvrzení. vz je distributivní právě tehdy neobshuje-li dimnt ni pentgon. Uvžme svz všech podgrup lternující grupy A 4. Jednotkou svzu je celá grup A 4 nulou triviální grup E netriviálními podgrupmi jsou Kleinov grup K 4 její podgrupy kde npř. = ( ) ( )( 34) dále čtyři tříprvkové podgrupy A3 A3 A3 A 3 { ( )} kde npř. A 3 = {( )( 3)( 3 )}. OBR idíme že svz není modulární neboť jeho podsvzem je pentgon tvořený prvky E K A A. oučsně vidíme že svz všech normálních (všechny jsou normální!) podgrup grupy K 4 není distributivní. Booleovy svzy lgebry vz s nulou jednotkou se nzývá Booleův je-li součsně komplementární distributivní. Booleově svzu má tedy libovolný prvek právě jeden komplement můžeme tedy přidt ke svzovým opercím dlší unární operci přiřzení komplementu ; tk dospějeme k pojmu Booleov lgebr. Booleov lgebr je lgebr A = ( M ; ) kde ( ; ) M je Booleův svz je unární operce pro libovolný prvek M pltí rovnosti = =. Buďte A ( M ; ) ) ( ) = Booleov lgebr b M. Potom pltí = = = ) b = b b = b b = b b = b 3) ( ) ( ) 4) b b.

18 První vlstnost v bodě říká že komplement prvku je největší ze všech prvků které mjí s prvkem nulový průsek; obdobně druhá vlstnost. lstnosti v bodě jsou zřejmé. Dokžme první ekvivlenci v ). Je-li b = pk b = b = b = b b = b = b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkže b. Je-li nopk b pk b = odkud b =. Dále je b b = b b b = ( ) ( ) ( ) ( ) ( b) ( b ) ( b ) ( b b ) = = odkud plyne první rovnost v 3). Konečně s využitím právě dokázných de Morgnových zákonů dostneme b b = b = b. Podlgebrou Booleovy lgebry A ( M ; ) B = ( N ; ) tkovou že N M průseku spojení komplementu. = rozumíme libovolnou Booleovu lgebru je (neprázdná) množin která je uzvřená vůči ) Asi nejznámější Booleovou lgebrou je lgebr všech podmnožin nějké množiny. Její podlgebry se nzývjí množinové Booleovy lghebry. Zdlek ne kždý její podsvz je všk její podlgebrou. ) yloučíme-li příliš triviální přípd jednoprvkové lgebry je nejjednodušší dvouprvková lgebr tvořená pouze prvky která hrál roli v Booleově lgebrizci výrokového klkulu. Buďte A = ( M ; ) B ( N ; ) h : M = Booleovy lgenry. Řekneme že zobrzení N je homomorfismus je-li homomorfismem odpovídjících svzů nvíc pro libovolný prvek M pltí rovnost h( ) = h( ). Filtr F v Booleově svzu ( M ; ) x M ( x F x F ) = je ultrfiltrem právě tehdy když. ) Buďte F ultrfiltr x M. Je x x = F tkže x F vel x F. itom nemůže být x x F neboť pk by bylo = x x F odkud F = M což není možné. ) Buďte F filtr x y M nechť x y F nebo y F le potom x F nebo y F. x y = x y F čili x F ; pk ( ) ibovolná Booleov lgebr je izomorfní s nějkou množinovou Booleovou lgebrou.

19 Buď A = ( M ; ) libovolná Booleov lgebr. Distributivní svz ( M ; ) věty...izomorfně vnořit do množinového svzu T = ( ( ); ) monomorfismem je zobrzení dné předpisem h( x) = { F U x F}. Obrz ( ) = lze dle P U přičemž příslušným množinovým svzem izomorfním se svzem. Dále pro libovolné x M pltí h = F U F = ( ) { } ( ) = { U } = U ( ) = { U } = { U } = U ( ) = ( ) h F F ( ) h x F x F F x F h x h x Odtud plyne že svz h( ) komplement tkže je podlgebrou lgebry ( P ( U ); ) že zobrzení h je monomorfismem Booleových lgeber. Celkem h( M ) množinovou Booleovou lgebrou izomorfní s lgebrou A.. h je tedy obshuje nulu jednotku s kždým prvkem tké jeho. Z posledního vzthu též vidíme ( ; ) je ibovolná konečná Booleov lgebr je izomorfní s množinovou Booleovou lgebrou všech podmnožin vhodné konečné množiny. Konečná Booleov lgebr s r prvky existuje právě tehdy je-li ibovolné dvě konečné Booleovy lgebry téhož řádu jsou izomorfní. r = n kde n N.

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0. Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy

Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy Analysis of internet search engines using formal concept analysis method Bc. Petr Fišnar Diplomová práce 2012 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12 Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin.................

Více

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera 1. Operace a Ω-algebry Úvod. V průběhu přednášky z algebry jsme studovali řadu algebraických struktur: grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami: Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 14.10.2016: 1/13 Minulé přednášky 1 Lineární kombinace. 2 Definice lineárního

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,

Více