OBSAH 1. Úvod Záření hvězd Teorie záření hvězd Základní vztahy teorie záření hvězd Příklady k teorii záření

Transkript

1 OBSAH Úvod Záření hvězd Teoie záření hvězd Základní vztahy teoie záření hvězd Příklady k teoii záření hvězd 6 Základy hvězdné spektoskopie Teoie základů hvězdné spektoskopie Základní vztahy hvězdné spektoskopie Příklady k základům hvězdné spektoskopie Nito hvězd 5 Základní vztahy fyziky nita hvězd 5 Příklady nita hvězd 7 5 Konstanty 6 6 Závě 6 7 Použité intenetové zdoje a liteatua 6 8 esume 65 9 Přílohy 66

2 Úvod Astofyzika je věda kteá se zabývá zkoumáním fyzikálních zákonů v kosmu popisem vlastností všech vesmíných objektů (např hmotnost hustota ychlost otáčení složení a další) a dějů pobíhajících ve vesmíu (vznik a vývoj hvězd výbuchy supenov) pomocí ůzných fyzikálních veličin V astofyzice se tedy můžeme setkat například se studiem záření ze kteého získáváme mnoho důležitých infomací o vesmíných objektech Dále se zabýváme složením hvězdy ze kteého lze učit její stáří stuktuou a podmínkami kteé panují v jejím nitu (tlak teplota přenos enegie jadené eakce a další) a hvězdnou atmosféou Astofyzika také zkoumá zajímavé objekty jakými jsou např dvojhvězdy poměnné hvězdy supenovy čené díy a další Tato páce je tvořená jako sbíka příkladů kteé jsou zaměřeny na záření hvězd základy hvězdné spektoskopie a nito hvězd Sbíka by měla sloužit jako ozšíření a doplnění již existujících sbíek jakou je například ŠIOKÝ J; ŠIOKÁ M Základy astonomie v příkladech vydaná v oce 97 kteá obsahuje zajímavé příklady v nichž jsou používány dnes již zastaalé hodnoty kteé jsou v mé páci aktualizovány Komě této sbíky byla vydána například sbíka ŠTEFL V; KOČÁKOVÁ D; KTIČKA J Úlohy z astofyziky

3 Záření hvězd Kapitola je zaměřena na pocvičení pojmů zdánlivá vizuální hvězdná velikost hvězdná velikost zářivý výkon hvězdy ektivní (povchová) teplota hvězdy ometická koekce absolutní ometická hvězdná velikost a hustota zářivého toku Teoie záření hvězd Velkou část infomací o hvězdách získáváme studiem záření kteé od nich přichází Zjišťujeme například odkud a v jakém množství k nám záření přichází Ze záření učujeme jasnost objektů Dále učujeme spektum záření jeho polaizaci a podobně Veškeé elektomagnetické záření kteé k nám z hvězd přichází má původ v jednotlivých atomech Záření vzniká při přechodech elektonů mezi jednotlivými enegetickými hladinami v atomech Fekvence vyzářeného elektomagnetického vlnění závisí hlavně na tom mezi jakými enegetickými hladinami elekton přeskočí Záření vznikající v atomech však může být ovlivněno i vnějším magnetickým polem (Zeemanův jev) nebo teplotou hvězdy Pokud posuzujeme záření hvězdy na Zemi musíme počítat také s tím že se vlnová délka námi pozoovaného záření mění působením Doppleova jevu Mezi fyzikální veličiny kteé pomáhají popsat fotometické vlastnosti hvězdy například jejich jasnost patří zdánlivá hvězdná velikost Nejméně jasné hvězdy pozoovatelné lidským okem mají podle staých pozoovatelů zdánlivou hvězdnou velikost 6 Po vzájemné sovnání svítivosti jednotlivých hvězd se převádí pozoované hodnoty zdánlivých hvězdných velikostí na hodnotu kteá by byla naměřená kdyby hvězda byla ve vzdálenosti 0 pc Tato hodnota se nazývá absolutní hvězdná velikost Další zajímavou infomací je množství enegie kteá k nám z hvězdy přichází Ke zjištění tohoto množství slouží veličina hustota zářivého toku což je tok záření kteý za jednu sekundu pojde jedním metem čtveečným plochy kolmo nastavené ke směu přicházejících papsků Při výpočtech někteých příkladů potřebujeme znát úhel pod kteým se z dané hvězdy jeví polomě oběžné dáhy Země Tento úhel nazýváme oční paalaxa Úhel pod kteým je vidět půmě nebeského tělesa označujeme jako úhlový půmě

4 Základní vztahy teoie záření hvězd Pogsonova ovnice po ozdíl magnitud dvou hvězd I m log m 5 I kde m m jsou zdánlivé hvězdné velikosti dvou hvězd a I I intenzity světla těchto hvězd Vztah po absolutní hvězdnou velikost M m + 5 5log kde m je zdánlivá hvězdná velikost vzdálenost hvězdy v pasecích kde Vztah po absolutní vizuální hvězdnou velikost M V m + 5 5log m V je zdánlivá vizuální hvězdná velikost vzdálenost hvězdy v pasecích Vztah po zářivý výkon hvězdy V L π π σ T F kde je polomě hvězdy σ Stanova Boltzmannova konstanta T je ektivní (povchová) teplota vzdálenost hvězdy F hustota zářivého toku Po odlišení od oční paalaxy bude dále v textu Ludolfovo číslo označeno apostofem π Vztah po oční paalaxu kde je vzdálenost hvězdy kde Vztah po ometickou koekci M je absolutní ometická hvězdná velikost M V absolutní vizuální hvězdná velikost π [ ] pc [ π ] BC M M V

5 Vztah po výpočet poloměu hvězdy v jednotkách poloměu unce pomocí vizuální hvězdné velikosti M V a temodynamické teploty T v kelvinech log M V { T} Vztah po výpočet poloměu hvězdy v jednotkách poloměu unce pomocí absolutní ometické hvězdné velikosti log M a temodynamické teploty T v kelvinech { T} 85 0M log Pokud známe absolutní ometickou hvězdnou velikost lze učit duhou z těchto veličin pomocí vztahu log L L 0 (75 M ) M nebo zářivý výkon L kde L je zářivý výkon unce Wienův posunovací zákon b λ max T kde λ max je vlnová délka při níž je hodnota spektální hustoty zářivého toku při dané teplotě zářiče maximální b Wienova konstanta T temodynamická teplota tělesa 5

6 Příklady k teoii záření hvězd Příklad Na kteou vlnovou délku připadá maximum enegie ve spektu hvězd jejichž povchová teplota je 000 K? převzato z [] Zápis: T T 000 K b m K Vlnovou délku na kteou připadá maximum enegie ve spektu zjistíme pomocí Wienova posunovacího zákona b λ max T Dosadíme číselně λ max 000 tedy λ 5 nm max Ve spektu hvězd s povchovou teplotou 000 K připadá maximum enegie na vlnovou délku 5 nm 6

7 Příklad Jaký je pomě intenzit světla hvězd hvězdné velikosti a 6 hvězdné velikosti? Zápis: m mag kde I m 6 mag? I Pomě intenzit světla se vyskytuje v Pogsonově ovnici Dosazení číselně I m log m 5 I I m m log I 5 I log I 6 5 I 0 I Pomě intenzit světla hvězd a 6 hvězdné velikosti je oven 0 převzato z [] 7

8 Příklad Jestliže se intenzita hvězdy zvýší Zápis: I m m? I Pomě intenzit světla se vyskytuje v Pogsonově ovnici Dosazení číselně 5 0 kát o kolik se změní její hvězdná velikost? převzato z [] I m log m 5 I m m 5 log 5000 tedy m m m m mag Při náůstu intenzity hvězdy 5 000kát se hvězdná velikost zmenší o mag 8

9 Příklad Pokud by se hvězdy Aldebaan a Siius A nacházely ve stejné vzdálenosti od Země byla by intenzita pvní hvězdy přibližně 66kát vetší Při pozoování by se zjistila zdánlivá hvězdná velikost pvní hvězdy 085 mag a duhé 7 mag Kolikát je Aldebaan od Země dále? Vyhledejte přesné vzdálenosti a jejich pomě poovnejte se spočtenou hodnotou Zápis: I m 085 mag m 7 mag 6 6? I Vzdálenost a zdánlivá hvězdná velikost se vyskytuje ve vztahu po absolutní hvězdnou velikost M m + 5 5log Z matematiky víme že logaitmus podílu je oven ozdílu logaitmů kteý dostaneme odečteme-li od sebe vztahy po absolutní hvězdné velikosti daných hvězd M ovnici upavíme a vyjádříme ozdíl dostaneme ze vztahu tedy ( m ) M m + 5log log 5 M M m + m log 5 log M M I M log M 5 I I 5 log m I 5 + m 9

10 Dosadíme číselně log 5log 66 5 ( 7) & Aldebaan je od Země přibližně 75kát dále než Siius A Výsledek odpovídá poměu nalezených hodnot 0

11 5 Příklad Zdánlivá hvězdná velikost hvězdy je mag Jaká by byla hvězdná velikost této hvězdy kdyby byla: a) ve vzdálenosti o 0 % menší b) ve vzdálenosti o 0 % větší? převzato z [] a) Zápis: m mag m 0 m? mag Vzdálenost a zdánlivá hvězdná velikost se vyskytují ve vztahu po absolutní hvězdnou velikost M m + 5 5log Potože z dinice víme že absolutní hvězdná velikost je konstantní tedy M m + 5 5log M m + 5 5log( 0 ) lze psát ( 0 ) m + 5log m + 5 5log 5 Vyjádříme m : m m 5log 06 + m 5log 06 + m & 9 mag U hvězdy se zdánlivou hvězdnou velikostí mag by byla ve vzdálenosti o 0 % menší hvězdná velikost přibližně ovna 9 mag b) Zápis: m mag m + 0 m? mag Vzdálenost a zdánlivá hvězdná velikost se vyskytují ve vztahu po absolutní hvězdnou velikost M m + 5 5log

12 Potože z dinice víme že absolutní hvězdná velikost je konstantní tedy M m + 5 5log M m + 5 5log( 0 ) + lze psát ( 0 ) m + 5log m + 5 5log 5 + Vyjádříme m : m m 5log + m 5log + m & 7 mag U hvězdy se zdánlivou hvězdnou velikostí mag by byla ve vzdálenosti o 0 % větší hvězdná velikost této hvězdy přibližně ovna 7 mag

13 6 Příklad Vypočtěte polomě hvězdy Antaes v jednotkách slunečního poloměu je-li její zdánlivá vizuální hvězdná velikost 0 96 mag paalaxa a povchová teplota 00 K Zápis: m 096 V mag π T K f T 00 e? Polomě hvězdy lze vypočítat pomocí vztahu log M { T} V převzato z [] kde kde tedy M V vypočteme pomocí m V a π ze vztahu M V m + 5 5log V π M m + 5 5logπ V V + Po dosazení do vztahu po polomě dostaneme Dosazení číselně log log m { T} ( logπ ) V ( log ) & 59 0 Polomě hvězdy Antaes v jednotkách slunečního poloměu je přibližně 59 0

14 7 Příklad Vyjádřete ometickou koekci pomocí teploty a stanovte její hodnotu u hvězdy Poxima Centaui Povchová teplota je 0 K Zápis: T 0 K BC? mag Po ometickou koekci platí vztah BC M M V Vizuální hvězdnou velikost vyjádříme pomocí povchové teploty a poloměu ze vztahu log M V M { T} log { T} a absolutní ometickou hvězdnou velikost pomocí povchové teploty a poloměu ze vztahu log V 5 { T} 85 0M log Po dosazení do vztahu M 85 log{ T} log 5 BC M M V dostaneme po ometickou koekci log{ } log BC T 5 log 5 { } T po této úpavě dostaneme BC 85 log{ T} 5 { T}

15 Dosazení číselně BC 85 log BC 0 mag Závislost ometické koekce na teplotě je učena vztahem BC 85 log{ T} 5 { T} Po teplotu 0 K je ovna 0 mag 5

16 8 Příklad Stanovte změnu zářivého výkonu hvězdy jejíž polomě se zmenší o % a ektivní (povchová) teplota se zvětší o % převzato z [6] Zápis: 0 0 T T + 0 0T L? Změna zářivého výkonu znamená o kolik se změní původní zářivý výkon To je hledáme ozdíl zářivých výkonů L L L Tedy po úpavě dostaneme ( 098) σ ( 0T ) π σ L π T ( ) L π σ T ( 0 ) L L L 0 0 L Kladná hodnota znamená příůstek Po dané změny poloměu a povchové teploty se zářivý výkon hvězdy zvětší o % 6

17 9 Příklad Hvězda má ektivní (povchovou) teplotu K Jak se zvýší zářivý výkon hvězdy jestliže ektivní (povchová) teplota naoste o 500 K? Zápis: L T K T 500 K? L Ze vzoce plyne že L ~ T L σ π T Poto se zářivý výkon změní tolikát kolikát se změní Tedy L L ( T + T ) ( T ) L L ( ) ( 0 000) L & L T převzato z [6] Jestliže ektivní (povchová) teplota naoste o 500 K zvýší se zářivý výkon hvězdy kát 7

18 0 Příklad U hvězdy α Tau Aldebaan K 5 III byl zjištěn úhlový půmě 0 0 Naměřená hodnota hustoty zářivého toku dopadajícího na vnější část atmosféy Země od této hvězdy je 8 0 W m oční paalaxa je 050 teplotu hvězdy Zápis: α 00 8 F 0 W m Stanovte polomě a ektivní (povchovou) π 0? m T? K převzato z [6] K výpočtu poloměu hvězdy můžeme použít pavoúhlý tojúhelník s pavým úhlem u povchu hvězdy a úhlovým poloměem α u pozoovatele Po úhlový polomě platí Po malé úhly je poto lze psát a tedy kde a po dosazení za dostaneme sin α sin α& α α α π α π Pokud neznáme přímo vztah po ektivní (povchovou) teplotu hvězdy 8

19 Použijeme vztahy po zářivý výkon hvězdy L π π σ T F ze kteých ektivní (povchovou) teplotu hvězdy vyjádříme Do získaného vztahu dosadíme za a dostaneme T F σ T T σ F ( α ) σ α F Než povedeme číselné dosazení převedeme zadaný úhel na adiány α 0 0 : Dosadíme číselně α 600 π α 5 0 π 80 8 T ( 5 0 ) T 9 0 K Nyní ještě dopočítáme polomě hvězdy podle vztahu α π 6 Dosazení číselně ( pc m ) m m 5 Polomě hvězdy je 5 a ektivní (povchová) teplota je 9 0 K zpacováno podle [6] 9

20 Příklad Po hvězdu nacházející se ve vzdálenosti 0 pc byla zjištěna hustota zářivého toku 8 0 W m a ektivní (povchová) teplota 800 K Učete úhlový půmě hvězdy a zvažte zda ho lze současnými intefeometickými metodami změřit Odhadněte ometickou koekci jestliže absolutní vizuální hvězdná velikost je 0 mag Údaje přibližně odpovídají hvězdě β Gem Polluks K0 III převzato z [6] Zápis: 0 pc BC? mag 8 F 0 W m K T 800 M V 0 mag α? Nejpve spočteme úhlový polomě K výpočtu poloměu hvězdy můžeme použít pavoúhlý tojúhelník s pavým úhlem u povchu hvězdy a úhlovým poloměem α u pozoovatele Po úhlový polomě platí sin α Po malé úhly je sin α& α poto lze psát α Po úhlový půmě platí α 0

21 Neznáme polomě hvězdy kteý lze vypočítat ze vztahu po ektivní (povchovou) teplotu hvězdy T F σ tedy F σ T Dosadíme za F α σ T F α σ Nyní dosadíme číselně do vzoce po úhlový půmě T 8 0 α ( 800) Převod na vteřiny tj 8 α 65 0 ad α α π π α 0008 Po poovnání je například u nového intefeometu ALMA ozlišení & což je pod Po ometickou koekci platí vztah BC M M V

22 M dostaneme ze vztahu po úpavě log L L 0 (75 M ) M 75 0 log L L 75 0 π log L F Dosadíme M : BC π F 75 log M V 0 L Dosadíme číselně do vztahu po ometickou koekci BC π 75 log ( ) BC 009 mag ozlišení současných přístojů je nižší než spočtená hodnota což znamená že spočtená hodnota je měřitelná Bolometická koekce je přibližně 009Mag zpacováno podle [6]

23 Příklad U Vegy byl zjištěn úhlový půmě α 000 a hustota zářivého toku 8 F 8 0 W m Její vzdálenost je 768 pc Stanovte polomě ektivní (povchovou) teplotu a zářivý výkon Zápis: α F 8 0 W m 787 pc? m T K? převzato z [6] L? W K výpočtu poloměu hvězdy můžeme použít pavoúhlý tojúhelník s pavým úhlem u povchu hvězdy a úhlovým poloměem α u pozoovatele Po úhlový polomě platí Po malé úhly je poto lze psát a tedy sin α sin α& α α α Než povedeme číselné dosazení převedeme zadaný úhel na adiány α 0 00 : α 600 π 80 6 Dosazení číselně ( pc m ) Po zářivý výkon dosadíme do vzoce π 80 9 α 8 0 α m m 7 L π F

24 Dosazení číselně 6 8 ( ) 8 0 L π 8 L 00 0 W 50L Známe vztahy po zářivý výkon hvězdy L π π σ T F ze kteých vyjádříme ektivní (povchovou) teplotu hvězdy Dosadíme číselně T F σ 6 ( ) ( 86 0 ) 8 T T & 9500 K 0 Polomě hvězdy je m 7 zářivý výkon je 00 0 W 50 L a ektivní (povchová) teplota je K zpacováno podle [6]

25 V následujících příkladech a poovnejte na kolik je výsledek ovlivněn zaokouhlením podle počtu platných cife Příklad O kolik stupňů kelvina by se musela zmenšit ektivní (povchová) teplota unce aby se solání konstanta zmenšila o %? Tento příklad lze řešit dvěma způsoby a) Zápis: převzato z [] dk K % dt f? K e Označíme-li K solání konstantu vzdálenost Země od unce polomě unce a σ Stanovu Boltzmanovu konstantu pak ektivní (povchovou) teplotu unce lze vyjádřit vztahem T e f K σ V našem případě je a σ konstantní je tedy T e f k K Po výpočet malých změn je potřeba spočítat difeenciál příslušné funkce kde poměnná je K Po výpočet difeenciálu je třeba napřed funkci deivovat Po deivování použijeme vzoec d n ( k x ) n dx k n x Po deivaci funkce dostaneme Difeenciál teploty pak bude vypadat d T f e k K dk dt e f k K dk 5

26 Potože změna solání konstanty je uvedena v pocentech učíme napřed změnu teploty také v pocentech a poto ovnici vydělíme teplotou Po úpavě dostaneme dt T dk K Po dosazení dostaneme dt T % 05% Vezmeme-li ektivní (povchovou) povchovou teplotu unce T 6 000K je změna dt % dt 0 K b) Efektivní (povchová) teplota unce by se musela zmenšit o Zápis: K 0 0 K K K K? K 0 K zpacováno podle [] Zjistit o kolik stupňů by se musela ektivní (povchová) teplota unce znamená učit ozdíl mezi původní teplotou T a teplotou po poklesu T ozdíl teplot je T T T Označíme-li K solání konstantu vzdálenost Země od unce polomě unce a σ Stanovu Boltzmanovu konstantu pak ektivní (povchovou) teplotu unce lze vyjádřit vztahem Nová hodnota solání konstanty je ovna K T e f σ K K + K K 0 99 K 6

27 Dosadíme do vztahu po ozdíl teplot Po úpavě dostaneme tedy Dosazení číselně T T 099K σ K σ K σ ( 099 ) ( 099 ) T T ( 099 ) T T 0 K Efektivní (povchová) teplota unce by se musela zmenšit o 0 K 7

28 Příklad U hvězdy α Cen A byl naměřen pokles hustoty zářivého toku o % O kolik stupňů kelvina poklesla ektivní (povchová) teplota α Cen A jestliže původní teplota dosahovala K? Tento příklad lze řešit dvěma způsoby podobně jako v předchozím příkladu a) Zápis: F 0 0 F T K T? K převzato z [6] Zjistit o kolik stupňů poklesla ektivní (povchová) teplota znamená učit ozdíl mezi původní teplotou T a teplotou po poklesu T ozdíl teplot je T T T Vztah po ektivní (povchovou) teplotu buď známe nebo ze vztahů po zářivý výkon sestavíme ovnici L π L π F σ T π π σ T F ze kteé vyjádříme ektivní (povchovou) teplotu T F σ Nová hustota zářivého toku F je ovna F F + F Dosadíme do vztahu po ozdíl teplot F 0 F 99 T 099F σ F σ 8

29 Po úpavě dostaneme tedy Dosazení číselně T F σ ( 099 ) ( 099 ) T T ( 099 ) T 5790 T 0 K Při poklesu hustoty zářivého toku o % u hvězdy α Cen A klesla její ektivní (povchová) teplota o 0 K b) Zápis: df F % T 5 790K dt? K K řešení tohoto příkladu napřed potřebujeme najít vztah ve kteém se vyskytuje teplota T a hustota zářivého toku F K tomu využijeme vztahy po zářivý výkon L π L π Úpavou uvedených ovnic získáme vztah σ T F π F F π π σ T π σ T σ T V našem případě je a σ konstantní je tedy F k T Po výpočet malých změn je potřeba spočítat difeenciál příslušné funkce kde poměnná je T 9

30 Po výpočet difeenciálu je třeba napřed funkci deivovat Po deivování použijeme vzoec Po deivaci funkce dostaneme d n ( k x ) n dx k n x df dt k T Difeenciál hustoty zářivého toku pak bude vypadat df k T dt Získanou ovnici vydělíme hustotou zářivého toku abychom mohli dosadit její změnu v pocentech Po úpavě dostaneme df F dt T Po dosazení dostaneme dt T % Nakonec dosadíme původní povchovou teplotu a dopočítáme změnu teploty d T % d T & 0 K Při poklesu hustoty zářivého toku o % u hvězdy α Cen A klesla její ektivní (povchová) teplota přibližně o 0 K zpacováno podle [] Přesto že je v příkladech a použit stejný postup a ektivní (povchová) teplota u hvězdy α Cen A se lišila od ektivní (povchové) teploty v příkladu se uncem jen velmi málo je v důsledku výpočtu na jednu platnou cifu ozdíl mezi vypočtenými hodnotami 0 K Po unce tato hodnota představuje dvojnásobek hodnoty u hvězdy α Cen A 0

31 5 Příklad Předpokládejme znalost zářivého výkonu W a absolutní ometickou hvězdnou velikost unce 75 mag Stanovte vzdálenost do kteé by bylo možné pozoovat lidským zakem unce při jeho hypotetickém vzdalování od Země Odhadněte počet fotonů n dopadajících do oka za jednu sekundu Po jednoduchost předpokládejte že všechny fotony mají stejnou vlnovou délku 550 nm plochu lidského oka zvolte cm Zápis: 6 L 86 0 W M mag λ 550 nm 75 S cm? m převzato z [6] n? s Vzdálenost se vyskytuje ve vzoci po absolutní hvězdnou velikost M m + 5 5log Po úpavě dostaneme M m 5 log 5 Dosadíme číselně Potože jde o hanici pozoování zakem počítáme s m 6 mag log pc m 6 0 m Počet fotonů dopadajících do oka za jednu sekundu dostaneme jako podíl celkové enegie přijímané okem za jednu sekundu a enegie jednoho fotonu kde enegie fotonu je dána vztahem E celk n E f E f h c λ a celková enegie je součin hustoty zářivého toku a plochy lidského oka Po dosazení dostaneme F n E F S t celk S t λ h c

32 Vyjádříme hustotu zářivého toku a dosadíme do vzoce po n 6 Dosadíme číselně ( pc m ) n F L π L S t λ π h c n π 6 6 ( ) n 0 Při hypotetickém vzdalování unce od Země by ho bylo možné pozoovat lidským zakem do vzdálenosti 8 pc Za jednu sekundu dopadá do oka n 0 fotonů zpacováno podle [6]

33 Základy hvězdné spektoskopie Tato kapitola je zaměřena na spektoskopii hvězd Hlavně na vznik spektálních ča a na to čím a jak jsou spektální čáy ovlivněny Teoie základů hvězdné spektoskopie Šířka spektálních ča se mění např působením vnějšího magnetického pole (Zeemanův jev) nebo změnou teploty spojenou s pohybem atomů v obalu hvězdy Dalším jevem ovlivňujícím šířku spektální čáy je Doppleův posuv vlnových délek v důsledku otáčení hvězdy Základní vztahy hvězdné spektoskopie Vztah po šířku spektální čáy při teplotním ozšíření λ k T λ c m kde λ je vlnová délka spektální čáy c ychlost světla k Boltzmannova konstanta T temodynamická teplota m hmotnost atomu kde Vztah po vlnovou délku spektální čáy λ H ( ) n n H je ydbegův vlnočet n a n hlavní kvantová čísla odpovídající hladinám mezi nimiž elekton přeskakuje Vztah po šířku spektální čáy plynoucí z Doppleova jevu v 0 λ λ c kde λ je vlnová délka spektální čáy c ychlost světla v 0 složka otační ychlosti ožka otační ychlosti ve směu k pozoovateli se vypočítá otační ychlosti a i úhel mezi směem zoného papsku a otační osou v sin i kde v je ychlost

34 Příklady k základům hvězdné spektoskopie Příklad Vyjádřete v elektonvoltech enegii fotonů chaakteizujících: a) Lymanovu hanu o λ 9 nm b) nebulání čáu O III λ 5007 nm c) čáu H α Balmeovy séie vodíku λ 656 nm d) emisní čáu NH λ cm e) čáu neutálního vodíku λ cm Pokud máme vyjádřit enegii pomocí vlnové délky použijeme vztah h c E λ a) Dosazení číselně převzato z [6] E E 8 0 J Potože máme vyjádřit enegii v elektonvoltech využijeme vztahu 9 ev 60 0 J Tedy E ev 6 ev b) Dosazení číselně E Tedy 9 E J E ev 76 ev

35 c) Dosazení číselně E E 0 0 J Tedy E ev 898 ev d) Dosazení číselně E 0 Tedy E 5 0 J E ev 9 0 ev e) Dosazení číselně E 0 Tedy 5 E 95 0 J E ev 59 0 ev Spočtené enegie fotonů jsou a) 6 e) 59 0 ev 5 6 ev b) 76 ev c) 898 ev d) 9 0 ev 5

36 Příklad 6 0 K a odů- Zjistěte zda atomy vodíku zůstávají ve sluneční koóně i při teplotě vodněte zpacováno podle [6] Zápis: T 0 6 K Abychom zjistili zda atomy vodíku zůstanou v koóně potřebujeme zjistit jestli ychlost kteou se pohybují překočí únikovou (paaickou) ychlost Potože se atomy v koóně pohybují ůznými ychlostmi nelze učit ychlosti všech atomů Spočítáme pouze ychlost kteou se pohybuje nejvíce atomů (nejpavděpodobnější ychlost) Nejpavděpodobnější ychlost se vypočte podle vztahu Dosazení číselně v k T m n Úniková ychlost se vypočte podle vztahu Dosazení číselně v n v n 0 km s v M n G 0 v p v p 6 0 km s 6

37 Potože nejpavděpodobnější ychlost atomů vodíku nepřekočila únikovou ychlost zůstává většina atomů vodíku v koóně Tuto ychlost má pouze většina atomů Někteé mají menší ychlost ty také zůstávají v koóně a někteé získají větší ychlost ty uniknou (viz statistická fyzika) 7

38 Příklad Stanovte vlnovou délku světla vyzářeného atomem vodíku při přechodu z enegetické hladiny n 6 na hladinu n Zápis: n n 6 séie? bava? O jakou séii a bavu jde? Tento příklad je možné řešit pomocí někteého ze dvou vztahů převzato z [6] Řešení pomocí vztahu λ H ( ) n n h c E λ λ H ( ) n n zde nebudu uvádět jde jen o spávné dosazení Po řešení tedy použijeme vztah h c E λ Enegii vyzářeného světla dostaneme jako ozdíl mezi enegiemi na 6 a na enegetické hladině Enegie 6 a enegetické hladiny kteé se vyskytují ve vztahu E E 6 E vyjádříme pomocí vzoce kde E E E n n E E n n h c λ h c n n λ h c ( ) E E E n n n n 8

39 9 Dosadíme číselně ( ev 60 0 J ) 6 6 λ ( 6 ) Jde o čtvtou čáu Balmeovy séie λ 0 nm H δ a fialovou bavu 9

40 Příklad Jakou spektální čáu můžeme očekávat ve viditelné části spekta potubeance při excitaci vodíkových atomů elektony o enegii 0 ev? převzato z [6] Zápis: E 0 ev λ? nm Vlnová délka se vypočte ze vzoce h c λ E Enegie se využije celá nebo menší a při menší enegii je větší vlnová délka Poto platí h c λ E 9 Dosadíme číselně ( ev 60 0 J ) λ λ 6 0 nm Hledáme tedy čáu séie s vlnovou délkou nejblíže 6 0 nm To splňuje čáa Balmeovy séie H α o vlnové délce 6568 nm Ve viditelné části spekta potubeance při excitaci vodíkových atomů elektony o enegii 0 ev můžeme očekávat spektální čáu Balmeovy séie H α zpacováno podle [6] 0

41 5 Příklad Učete šířku spektální čáy kyslíku O III s vlnovou délkou λ 5007 nm kteou můžeme identifikovat ve spektu plynné emisní mlhoviny o teplotě K Zápis: λ 5007 nm T K λ? nm převzato z [6] Pokud počítáme šířku spektální čáy při učité teplotě použijeme vztah po šířku spektální čáy při teplotním ozšíření 9 Dosadíme číselně ( ev 60 0 J ) λ k T λ c m λ λ nm Šířka spektální čáy kteou lze identifikovat v daném spektu je nm

42 6 Příklad Vypočítejte šířku čáy H α znáte-li že po ozšíření spektálních ča sážkami platí λ λ n σ k T λ kde λ je vlnová délka čáy po ozšíření λ c π t c π m 0 neozšířená vlnová délka čáy c ychlost světla n hustota atomů σ Stanova Boltzmanova konstanta k Boltzmanova konstanta T ektivní (povchová) teplota m hmotnost atomu vodíku π Ludolfovo číslo Předpokládáme vodíkové atomy ve sluneční fotosféře při teplotě K a hustotě atomů 5 0 m σ m Zápis: 0 n 5 m K T σ m λ? nm převzato z [6] Buď víme že vlnová délka čáy H α je 6568 nm nebo že čáa H α vzniká při přechodu elektonu mezi hladinami n n a spočteme ji podle vztahu λ H ( ) n n Do vzoce ze zadání dosadíme číselně a spočteme šířku čáy λ Šířka spektální čáy 9 ( ) H α je π 0 5 λ 0 nm 5 0 nm

43 7 Příklad v ot Učete šířku spektální čáy při otačním ozšíření je-li složka ychlosti sin i 000 m s n na hladinu n Zápis: n n λ? Čáy vznikaly při přechodech elektonů z enegetické hladiny Šířku spektální čáy při otačním ozšíření spočteme podle vztahu v 0 λ λ c kde v 0 je složka otační ychlosti ve směu k pozoovateli vot sin i λ λ c Vlnovou délku neozšířené čáy spočteme podle vztahu Po dosazení dostaneme Dosadíme číselně λ H ( ) n n vot sin i λ H ( ) n n c Šířka spektální čáy je nm λ ( ) 6 λ nm 998 0

44 8 Příklad Velmi šioké čáy způsobené otačním ozšířením pozoujeme u hvězd spektální třídy A Jestliže po čáu H γ o vlnové délce 0 nm jedné hvězdy byla zjištěna šířka čáy λ 008 nm jakých hodnot dosahuje vot sin i? Zápis: λ 0 nm λ 008 nm v ot sin i?m s převzato z [6] Po šířku spektální čáy platí z Doppleova jevu vztah v 0 λ λ c U otující koule je namířena k pozoovateli jedna složka vektou okamžité ychlosti vot sini Po ozšíření vlnové délky pak platí Vyjádříme v ot sini : Dosadíme číselně vot sin i λ λ c v λ c sin i λ ot v ot sin i v ot sin i 550 km s v ot sini dosahuje ychlosti 550 km s zpacováno podle [6]

45 Nito hvězd Kapitola Nito hvězd se zabývá jevy kteé zde pobíhají Zkoumá jakým způsobem pobíhá přenos enegie uvnitř hvězdy a jaká platí podmínka po přenos enegie Dále zjišťuje jaký je tlak uvnitř hvězdy tlak záření hustota střední elativní hmotnost částic uvnitř hvězdy a další chaakteistiky Základní vztahy fyziky nita hvězd Vztah po vazebnou enegii jáda atomu ( Z m + N m m ) c E p n j kde Z je počet potonů v jádře m p hmotnost potonu N počet neutonů m n hmotnost neutonu m j hmotnost jáda c ychlost světla Vztah po tlak plynu P ρ T g µ kde je plynová konstanta ρ hustota T temodynamická teplota hmotnost připadající na jednu částici µ střední elativní Vztah po střední elativní hmotnost připadající na jednu částici směsi ůzných plynů X Y µ + µ µ C + µ kde X je hmotnostní zastoupení vodíku Y hmotnostní zastoupení hélia C hmotnostní zastoupení ostatních pvků µ střední částicová hmotnost vodíku µ střední částicová hmotnost hélia µ střední částicová hmotnost ostatních pvků Vztah po střední částicovou hmotnost při úplné ionizaci kdy elektony uvolněné z obalu atomu považujeme za další částice A µ Z + kde A je nukleonové (hmotnostní) číslo pvku Z potonové (atomové) číslo 5

46 Vztah po tlak záření P c σ T kde σ je Stanova Boltzmannova konstanta c ychlost světla T temodynamická teplota Podmínka konvekce dt d γ > γ T dp P d kde T je temodynamická teplota P tlak vzdálenost od středu hvězdy γ Poissonova konstanta ovnice hydostatické ovnováhy dp M ρ G d kde P je tlak vzdálenost od středu hvězdy M hmotnost ρ hustota G gavitační konstanta Vztah po teplotní gadient při přenosu zářením dt d κ L 6π σ T ρ kde T je temodynamická teplota vzdálenost od středu hvězdy L zářivý výkon σ Stanova Boltzmannova konstanta ρ hustota κ střední absopční koicient tj opacita hvězdného mateiálu 6

47 Příklady nita hvězd Příklad Najděte vazebnou enegii jáda atomu lithia 7 Li jestliže hmotnost atomu M Li m u hmotnost potonu je m u hmotnost neutonu je m u Zápis: M Li m u m p m u m n m u E? ev převzato z [6] Na vazebnou enegii je využita hmotnost nukleonů o kteou je jádo lehčí než je hmotnost samotných nukleonů tvořících jádo Hmotnost atomu je hmotnost jáda a elektonového obalu Uvažovaný atom má tři elektony Hmotnost jeho jáda učíme tak že od hmotnosti atomu odečteme hmotnost elektonů m j M m Vazebnou enegii jáda vypočteme podle vztahu Dosadíme číselně E Li ( Z m + N m m ) c E p ( Z m + N m M + m ) n p n Li e c E ( ) 6 ( ) E Na elektonvolty převedeme vydělením hodnotou 60 0 e J j Vazebná enegie atomu lithia je E ev 7 ev 7

48 Příklad Zjistěte kolik atomů uhlíku 6 C je nejméně třeba aby vazebná enegie jade těchto atomů byla větší než vazebná enegie jáda atomu železa 56 6 Fe jestliže hmotnost atomu uhlíku je M C 0 m u atomu železa je M Fe 5585 m u hmotnost potonu je m u a hmotnost neutonu je m u Zápis: M C 0 m u M Fe 5585 m u m p m u m n m u n C? Nejdříve je třeba učit vazebnou enegii uhlíku a železa Na vazebnou enegii je využita hmotnost nukleonů o kteou je jádo lehčí než je hmotnost samotných nukleonů tvořících jádo Hmotnost atomu je hmotnost jáda a elektonového obalu Hmotnost jáda tedy učíme tak že od hmotnosti atomu odečteme hmotnost elektonů Atom uhlíku má šest elektonů takže vazebnou enegii spočítáme podle vztahu C ( Z m + N m m ) c E p ( Z m + N m M + 6m ) c E C p Atom železa má 6 elektonů takže vazebnou enegii spočítáme podle vztahu Učíme pomě vazebných enegií E C n ( Z m + N m m ) c p n ( Z m + N m M + m ) E E E Fe C E E Fe Fe p Fe n Fe 6 e c Fe C ( Z Fe mp + N Fe mn M Fe + 6me ) c ( Z C mp + N C mn M C + 6me ) c ( Z Fe mp + N Fe mn M Fe + 6me ) ( Z m + N m M + 6m ) C p C n n C j C j e e 8

49 Dosadíme číselně E E Fe C ( ) ( ) E E Fe C & 70 E & 7 E Fe 0 Pomě vazebných enegií nám udává záoveň kolik atomů uhlíku by vyovnalo vazebnou enegii atomu železa Ze zadání víme že vazebná enegie atomů uhlíku má být větší Tedy n C> 70 n C8 Minimální počet atomů uhlíku kdy součet vazebných enegií jejich jade je větší než vazebná enegie jáda atomu železa je 8 C 9

50 Příklad Jak se bude měnit střední elativní hmotnost µ částic sluneční látky při předpokladu X070 a Y00 budeme-li hypoteticky postupovat od středu k povchu unce? ozlišujte případy a) hélium a vodík jsou plně ionizovány b) hélium a vodík jsou jednou ionizovány c) hélium je neutální a vodík je zcela ionizován d) oba plyny jsou neutální a) převzato z [6] Střední elativní hmotnost připadající na jednu částici směsi se vypočte podle vzoce µ X µ H Y + µ Při úplné ionizaci platí po střední částicovou hmotnost vztah Dosadíme hodnoty po vodík a helium A µ Z + µ H + Získané hodnoty dosadíme do celkového vzoce b) He µ He µ + 06 Jsou-li pvky jednou ionizovány počítáme jakoby hmotnost ionizovaného pvku byla ozdělena v poměu : s elektonem uvolněným po ionizaci tedy za Z dosadíme čímž dostaneme µ H µ He

51 Získané hodnoty dosadíme do celkového vzoce c) µ Po neutální částici odpovídá střední částicová hmotnost hmotnosti částice uvedené v tabulkách tedy za Z dosadíme 0 čímž dostaneme µ H µ He Získané hodnoty dosadíme do celkového vzoce d) µ Oba pvky jsou neutální a tedy po oba pvky za Z dosazujeme 0 čímž dostaneme µ H µ He Získané hodnoty dosadíme do celkového vzoce µ + 9 Střední elativní hmotnost bude postupně dosahovat hodnot µ 0 6 µ 0 65 µ 068 µ 9 5

52 Příklad Učete jak se ve hvězdě změní tlak záření zjistíme-li že tlak plynu vzostl dvakát Zápis: P P g P g? P Po tlak plynu platí vztah a po tlak záření platí vztah P ρ T g P µ c σ T Ve vztahu po tlak záření je neznámou teplota kteou vyjádříme ze vztahu po tlak plynu Pg µ T ρ Vztah po teplotu dosadíme do vztahu po tlak plynu P σ c Pg ρ µ Poovnáme tlaky záření P P σ Pg µ c ρ σ Pg µ c ρ P P 6 Vzostl-li tlak plynu dvakát potom tlak záření vzostl šestnáctkát 5

53 5 Příklad 6 Podle standadního modelu nita má hvězdná látka v centální části unce hustotu kg m a teplotu 57 0 K hmotnostní zastoupení vodíku X07 a helia Y07 příspěvek těžších pvků lze v pvním přiblížení zanedbat Vypočtěte tlak kteý zde působí za předpokladu že vodík a helium jsou plně ionizovány a chovají se jako ideální plyn Vypočtěte ovněž tlak záření a oba tlaky poovnejte Střední elativní hmotnost připadající na jednu částici směsi označíme Zápis: µ 5 7 ρ 6 0 kg m 57 0 K Tlak plynu se vypočte podle vzoce T X07 Y07 P? g Pa P ρ T g µ P? převzato z [6] kde střední elativní hmotnost připadající na jednu částici směsi se vypočte podle vzoce a střední částicová hmotnost podle vzoce µ X µ H Y + µ He A µ Z + Nejdříve spočítáme střední elativní hmotnost připadající na jednu částici směsi tedy µ H + µ He µ + 06 Pa 5

54 Dosadíme číselně do vztahu po tlak plynu 8 0 g P P 5 0 Pa g Tlak záření se vypočte podle vzoce Dosadíme číselně P σ T c 7 ( 57 ) P P 5 0 Pa Tlak plynu je řádově 0 kát větší poto je tlak plynu zanedbatelný 5

55 6 Příklad Učete centální tlak ve hvězdě spektální třídy B0 o poloměu Centální teplota je odhadována na Zápis: 7 0 K µ m M T c 0 K µ 0 7 P? c Pa Ve hvězdě je tlak způsobený plynem a zářením Tlak plynu spočítáme podle vzoce P ρ T g µ 8 hmotnosti M 5 převzato z [6] Je třeba spočítat hustotu K výpočtu použijeme vztah M ρ V Nesmíme zapomenout že jde o půměnou hustotu kteá bude menší než hustota u středu a nemusíme získat přesný výsledek Po přesnější výpočty by bylo třeba hodnotu odečíst z gafu nebo zjistit vztah po hustotu jako funkci polohy Hvězdu považujeme za kouli poto po učení objemu použijeme vztah a po dosazení dostaneme Dosadíme číselně P g V π M µ π T 0 7 P g 0 π 8 ( ) P 7 0 Pa g Tlak záření spočítáme podle vzoce P c σ T 55

56 Dosadíme číselně 7 ( ) P P 0 Pa Centální tlak plynu je 7 0 Pa a tlak záření je 0 Pa 56

57 7 Příklad Mějme dvě hvězdy se spektálními třídami K0 V a K0 I Učete a) pomě zychlení na povchu obou hvězd b) pomě středních hustot těchto hvězd Tabulkové hodnoty chaakteistik hvězd jsou po K0 V: hmotnost je 0 8 M polomě je 0 85 teplota je 5 00 K a po K0 I: hmotnost je M polomě je 00 teplota je 00 K Zápis: převzato z [6] M V 08 M V 085 T V 5 00 K M I M I 00 g T I 00 K V ρ? V? g ρ a) I Gavitační zychlení se vypočte podle vztahu Dosadíme obecně Dosadíme číselně I g g G M g G M V V ( V ) M V ( I ) M I I ( V ) M G I ( I ) 08 M ( 085 ) Pomě zychlení na povchu hvězd je g g V I ( 00 ) M gv & 0 g I 0 08 ( 085) ( 00 ) 57

58 b) Hmotnost a objem se nemění poto se střední hustota vypočte podle vztahu Dosadíme obecně Dosadíme číselně ρ ρ V I V I M ρ M V π M M V I 08 M M Pomě středních hustot hvězd je ρ ρ π π ( ) V ( ) I ( 00 ) ( 085 ) ρv & 8 0 ρ I 5 M M V I 08 ( I ) ( ) V ( 00 ) ( 085 ) 58

59 8 Příklad Dokažte že střední elativní hmotnost připadající na jednu částici směsi plně ionizovaných atomů v nitu hvězd je ovna µ kde X Yoznačují elativní množ- + X + 0 5Y ství vodíku a helia Po střední molekulovou hmotnost ostatní pvky) platí vztah převzato z [6] µ směsi plně ionizovaných plynů (vodík helium µ X Y C + + H He µ µ Po střední částicovou hmotnost při úplné ionizaci platí vztah podle kteého spočteme µ H a µ He A µ Z + µ H a µ He Spočtené hodnoty dosadíme do vztahu po střední molekulovou hmotnost X Y C C µ + + X + Y + Potože podle zadání chceme aby čitatel byl oven ozšíříme výaz zlomkem a dostaneme µ X + Y + C Potože počítáme po všechny pvky platí po součet elativních množství pvků vztah X + Y + C 59

60 Tento vztah použijeme k další úpavě µ Y Y X + Y + C + X X + Máme hledaný vztah a důkaz je hotov zpacováno podle [6] 60

61 9 Příklad Učete zda v místě 09 od středu unce pobíhá přenos enegie konvekcí nebo zářením Paamety zvoleného místa jsou následující: ρ 5 kg m κ 0m kg 5 c 5 T 0 K P 9 γ P 87 0 Pa c V převzato z [6] Přenos enegie bude pobíhat konvekcí (pouděním) pokud bude splněna podmínka konvekce dt d γ > γ T dp P d Po teplotní gadient při přenosu zářením platí vztah dt d a ovnice hydostatické ovnováhy je κ L 6π σ T dp M ρ G d Po dosazení do předpisu podmínky konvekce dostáváme κ L 6π σ T ρ γ T M ρ ρ > G γ P Potože jde o unce počítáme s hmotností a zářivým výkonem unce Dosadíme číselně 6π > ( ) ( 0 ) ( ) 0 06> Podmínka konvekce je splněna tedy přenos enegie v místě pobíhá konvekcí 0 9 od středu unce zpacováno podle [6] 6

62 5 Konstanty Použité konstanty: Zářivý výkon unce L W Polomě unce m Hmotnost unce M kg Solání konstanta K 70 0 W m Centální hustota unce ρ c kg m Boltzmannova konstanta k 80 0 J K ydbegův vlnočet H m ychlost světla c m s Stanova Boltzmannova konstanta σ W m K Gavitační konstanta Planckova konstanta G h N m J s kg Atomová hmotnostní konstanta m u kg Plynová konstanta 80 0 J kg K Pasek pc m Wienova konstanta b m K 6

63 6 Závě Cílem páce bylo zpacovat několik příkladů z astofyziky kteé by mohli zvládnout i studenti středních škol Záměem také bylo vybat takové příklady kteé v již zpacovaných sbíkách chybí nebo nejsou dostatečně vysvětleny Oba zmíněné požadavky byly splněny Někteé příklady sice vyžadují vzoce kteé se na středních školách nevyučují ale komě těchto vzoců není potřeba využívat žádné pokočilé metody výpočtů Jako hlavní přínos své páce pokládám podobné a hlavně sozumitelné řešení všech příkladů což v mnoha ostatních sbíkách chybí Ve všech příkladech jsem používal nejaktuálnější hodnoty astofyzikálních a jiných konstant kteé jsem poté vypsal do přehledu v závěu páce Dále má páce obsahuje i několik zcela oiginálních příkladů kteými jsem obohatil někteé kapitoly U příkladů a 9 jsem převzal zadání ale řešení jsem doplnil nebo upavil U příkladů jsem převzal zadání ale řešení jsem vytvořil Příklady 7 7 a jsem vytvořil celé Možnosti další páce vidím v možnosti přidání dalších příkladů do stávajících kapitol obohacení páce o jiná témata a případně ozšíření teoetické části 6

64 7 Použité intenetové zdoje a liteatua Wikipedia - The Fee Encyclopedia [online] [cit 50] Dostupný na WWW: MAKOVÁ H Bakalářská páce CCD fotometie vybané otevřené hvězdokupy II BNO: 008 ANDA M a kol Astonomia - astonomický seve fakulty pedagogické ZČU v Plzni [online] [cit 50] Dostupný na WWW: ŠIOKÝ J; ŠIOKÁ M Základy astonomie v příkladech Paha: SPN 97 ISBN ŠOLC M; ŠVESTKA J; VANÝSEK V Fyzika hvězd a vesmíu Paha: SPN 98 ISBN ŠTEFL V; KOČÁKOVÁ D; KTIČKA J Úlohy z astofyziky [online] [cit 50] Dostupný na WWW: 7 VANÝSEK V Základy astonomie a astofyziky Paha: Academia 980 ISBN WILLIAMS D Sun Fact Sheet [online] [cit 60] Dostupný na WWW: 6

65 8 esume This bachelo thesis includes solved poblems fom the field of astophysics This thesis is divided into thee main paths adiation of the stas intoduction to the sta spectoscopy and Cente of stas Each pat includes a shot intoduction into the topic impotant fomulas and afte that pactical solving of paticula poblems At the end of this pape thee is a list of physical constants that wee used to solve all the poblems 65

66 9 Přílohy Na přiloženém disku CD-OM se nachází tato bakalářská páce v elektonické podobě 66