MASARYKOVA UNIVERZITA

Transkript

1 MASAYKOVA UNIVEZITA Přírodoědeká faklta OBÁLKY PLOCH teorie příklad aplikae BAKALÁŘSKÁ PÁCE Brno 3 Aleš Prhal

2 Prohlašji že jsem na akalářské prái praoal samostatně a požití literatr edené senam s konltaemi s edoím akalářské práe prof. NDr. Ianem Kolářem DrS.

3 Osah Úod 5 Oálk ploh 6 1 Základní pojm Pojem ploh Impliitní jádření ploh Stk ploh a oálk Stk ploh a křik Stk ploh Jednoparametriká sostaa ploh Oálka jednoparametriké sosta ploh Hrana rat Příklad Doparametriká sostaa ploh Oálka doparametriké sosta ploh Příklad Literatra 1

4 Na tomto místě h htěl poděkoat sém diplomoém edoím pan prof. NDr. Ian Kolářoi DrS. Za odorné edení trpěliost a enné rad které mi ěhem práe posktoal.

5 ÚVOD Bakalářská práe je aměřena na difereniální geometrii konkrétně na oálk ploh a je rodělena do čtř kapitol. V prní kapitole jso sětlen oené pojm ploha a jádření ploh. V drhé kapitole se můžeme dočíst o stk křik a ploh stk do křiek a stk do ploh. V kapitole třetí se aýám jednoparametriko sostao ploh přesněji pak oálko jednoparametriké sosta ploh a hrano rat. Vše je pro ilstrai doplněno příklad. V poslední kapitole se ěnji doparametriké sostaě ploh dále pak oálko doparametriké sosta ploh.teoretiké ponatk jso opět aplikoán na konkrétní příklad. -5-

6 OBÁLKY PLOCH 1. ZÁKLADNÍ POJMY 1.1 POJEM PLOCHY V této kapitole deme praoat s ektoroo fnkí do proměnnýh. Nehť D je oteřená množina. Pak oraení w: D V 3 se naýá ektoroá fnke do proměnnýh. V teorii ektoroýh fnkí se definjí pariální deriae fnke w odě předpisem w w w w lim w w lim které jednodšeně načíme w w. Řekneme dále že ektoroá fnke w je tříd C r na D práě kdž má na D spojité šehn pariální deriae až do řád r četně. Definie. Množina S E 3 se naýá jednodhá ploha tříd C r jestliže eistje oteřená množina D a injektiní oraení f: D E 3 tříd C r takoé že S fd a ektor a f jso lineárně neáislé každém odě D. Zoraení f naýáme parametrikým jádřením neo parametriaí jednodhé ploh S olast D se též naýá oorem parametrů. f Definie. Množina S E 3 se naýá ploha tříd C r jestliže pro každé X S eistje takoé jeho okolí U X že U X S je jednodhá ploha tříd C r. Ploha S se naýá soislá jestliže každé da od na S le spojit jednodho křiko která elá leží na S. Příkladem soislýh ploh je například sféra paraoloid a anloid Or

7 Or IMPLICITNÍ VYJÁDŘENÍ PLOCHY Sosta ploh deme ětšino adáat impliitně proto si edeme ět o ploše adané impliitní ronií. Věta. Nehť U 3 je oteřená množina a F: U je fnke tříd C r na U takoá že množina S o ronii F je neprádná a platí F F F pro každé S. Množin S naýáme ploho tříd C r definoano impliitně.. STYK PLOCH A OBÁLKY.1 STYK PLOCHY A KŘIVKY Definie. Řekneme že křika C a ploha S mají e společném odě p C S stk k-tého řád jestliže na S eistje takoá křika k-tého řád or.. C že p C a křik C a C mají odě p stk -7-

8 Or. Definie. Připomeňme že dě křik C a C mají e společném odě p C C stk řád k jestliže eistjí takoé jejih lokální parametriae f t a f t na společném interal I že platí f t f t p a i i f t f t i i t t i k.. STYK PLOCH Definie. Řekneme že ploha S má s ploho S odě p S S stk k-tého řád jestliže každá křika na S má odě p stk k-tého řád s ploho S. Nní edeme praktiké kritérim pro oěření stk do ploh. Věta. Nehť ploha S je dána ronií F a S má parametriai ff 1 f f 3 a nehť p f je společný od S a S. Sestrojme fnki ΨFf 1 f f 3. Pak ploha S má s ploho S odě p stk k-tého řád práě kdž i Ψ i1 i i k i 1 i i. Definie. oin τ která má s ploho S stk 1. řád odě f naýáme tečno roino ploh S odě f. -8-

9 Věta. Ploh S a S mají e společném odě p stk 1. řád práě kdž jejih tečné roin τ p S τ p S kde τ p S respektie τ p S načí tečno roin ploh S respektie S odě p or. 3. Or JEDNOPAAMETICKÁ SOUSTAVA PLOCH Uažjme jednoparametriko sosta S t ploh dano impliitní ronií Ft 1 kde F je tříd C r 3 t. Společné od ploh S t a S t pro t t jso rčen sostao roni Ft Ft která je ekialentní sostaě F t F t Ft. t t F V limitě pro t t ískáme drhé ronie pariální deriae t F Ft t. t 3 Definie. Množin rčeno pro pené t roniemi 3 naýáme harakteristiko na ploše S t. Sjednoení těhto množin pro každé t naýáme harakteristiko množino sosta S t. -9-

10 3.1 OBÁLKA JEDNOPAAMETICKÉ SOUSTAVY PLOCH Definie. Ploh ε s parametriaí ft τ t τ D naýáme oálko sosta S t jestliže ε se dotýká každé ploh S t podél křik ft τ. Věta. Každá oálka sosta S t je podmnožino její harakteristiké množin. Ted množina šeh odů oálk je řešením sosta 3. Ponámka. Při hledání oálk se ted e sosta roni 3 snažíme ločit parametr t. Pokd takto dostaneme ronii G která je impliitním jádřením nějaké ploh tak je tato ploha hledano oálko. 3. HANA VATU Charakteristiko množino na ploše S t je oená křika která je rčená roniemi 3 a ted oálk jednoparametriké sosta ploh toří jednoparametriká sostaa harakteristikýh křiek. Tato sostaa prostoroýh křiek má oeně také so oálk. Definie. Množin π o roniíh F t F t t F t t 4 naýáme hrano rat sosta S t. Křik π naýáme hrano rat protože šehn normáloé ře odeh této křik mají od rat. Hrana rat je ted množino singlárníh odů na plošeε a je třea ji této ploh pstit. Další ýnam této křik de eden příkladeh kde si kážeme že oálk této sosta le počíst jako ploh tečen hran rat Příklad

11 3.3 PŘÍKLADY V této kapitole si kážeme že oálka jednoparametriké sosta roin se naýá rointelná ploha. ointelnými plohami jso oeně práě tto ploh: áloá ploha kželoá plohaploha tečen prostoroé křik neo ploha která je částí jmenoanýh ploh a ploha která se skládá ýše jmenoanýh ploh. Uedené trení platí s poorněním že edené ploh moho osahoat singlární od. Ploh tečen prostoroé křik C dané parametrik gt le apsat e tar f t g t g t. 5 PŘÍKLAD 1. Dokažte že oálko jednoparametriké sosta roin je ploha tečen její hran rat. Řešení: Mějme dán jednoparametriko sosta roin S t Ft atttdt kde t I. Onačme normáloý ektor nt attt a od W[] lioolné roin sosta. Pak můžeme sosta S t psát e tar V sostaě roni t n t W d t F. t n t W d t F i F t t F t t n t W d t n t W d t rčjí ronie i a ii oálk a ronie i ii a iii hran rat. Jso-li nt n t n t lineárně neáislé pro šehna t I má sostaa roni i ii a iii řešení a dostááme hran rat ktero si onačíme gt. Nní od hran rat dosadíme do roni i a ii a derijeme je n tgt ntg t d t n tgt n tg t d t. ii iii -11-

12 Z ii respektie iii ošem plne že n tgt d t respektie n tgt d t a ted ntg t n tg t. Pro pené t je g t oeným řešením homogenní sosta roni i a ii a protože gt je řešením nehomogenní sosta i a ii dostááme přímk ft gt g t která je tečno hran rat a ároeň harakteristiko množino roin S to. Množina šeh tečen hran rat ft gt g t dáá oálk ož jsme htěli dokáat. Řešením i a ii je přímka podél které se roina S to dotýká oálk. Z toho plne že oálka msí ýt rointelno ploho. V případě že jso ektor nt n t n t lineárně áislé sostaa S t hran rat nemá a oeně se jedná o oený ále neo oený kžel. PŘÍKLAD. Najděte hran rat a oálk sosta roin adano ronií sin α osα α kde je konstanta a α parametr. Řešení: Nejdříe počteme hran rat a oálk rčíme pomoí ore 5 ted fα gα g α. Podle 4 napíšeme sosta roni e tar F α sinα osα α i F α osα sinα ii α F α sinα osα iii α Pokd sečteme ronie i a iii dostááme α ož dosadíme do i a počítáme sosta roni sin α osα / os α sinα / sin α sinα osα os α os α sinα osα sin α osα sinα. -1-

13 Máme ted parametriké jádření hran rat g α osα sinα α. Nní počteme g α sinα osα a dosaením do ore 5 dostaneme jádření oálk f α osα sinα sinα osα α Or. 4. Or. 4 PŘÍKLAD 3. Určete hran rat a oálk jednoparametriké sosta roin t t t 3. Řešení: Napíšeme sosta 4 e tar F t t t t 3 i F t t t 3t ii F t 6t. iii t Z ronie iii jádříme 3t a dosadíme to do ii odkd ískááme 6t 3t ož jednodšíme a dostááme 3t. Tento ýsledek dosadíme do ronie i a tím ískáme t 3. Hrano rat je ted křika 3 f t 33 t t t. Pokd od hran rat dosadíme do roni i a ii derijeme je a deme pokračoat podoně jako příkladě 1jistíme že oálko je ploha tečen hran rat. -13-

14 PŘÍKLAD 4. Vpočtěte oálk jednoparametriké sosta sfér adano ronií t t. Řešení: Napíšeme sosta 3 e tar t t t F t t t t F Z drhé ronie jádříme t a dosaením do prní ronie dostááme ož je ronie kžele Or. 5. Or. 5 PŘÍKLAD 5. Najděte oálk jednoparametriké sosta sfér dané ronií ] [ ] [ kde je konstanta a platí podmínka. Řešení: Napíšeme sosta 3 e tar ] [ ] [ F ] [ ] [ F -14-

15 Drho ronii praíme na tar [ ]. V příklad máme nní da případ: a Dosaením do prní ronie dostááme [ ] [ ] čehož dostááme dojii álů a Or. 6. Or. 6 t ale a podmínk dostaneme prádno množin. PŘÍKLAD 6. Najděte oálk jednoparametriké sosta roin adano ronií t t. Řešení: Napíšeme sosta 3 e tar F t t t F t t. t Z drhé ronie jádříme t a dosaením do prní ronie dostááme ož je ronie paraolikého ále Or

16 Or. 7 PŘÍKLAD 7. Vpočtěte ronii oálk jednoparametriké sosta ϕ kloýh ploh jejihž poloměr jso ron čísl r a jejihž množina šeh středů je oso. Řešení: Jednoparametriká sostaa ϕ je popsána ronií Napíšeme ted sosta 3 e tar Z drhé ronie jádříme α r α. F r α α F α α α α a dosaením do prní ronie dostááme r ož je ronie hledané oálk. Toto oálko je áloá rotační ploha o ose a poloměr r. 4. DVOUPAAMETICKÁ SOUSTAVA PLOCH Předpokládejme že každá ploha sosta je pro dano dojii parametrů adaná ronií F

17 Ploh o ronii F deme načit smolem a elo sosta 6 smolem S. Společné od ploh S pro a jso rčen sostao tří roni S S S F F F která je ekialentní sostaě F F F F F. V limitě pro dostaneme F F F. 7 Definie. Bod E 3 rčené roniemi 7 naýáme harakteristikými od na ploše. Množin šeh těhto odů pro šehna naýáme S harakteristiko množino sosta S. onie harakteristiké množin ted ískáme ločením parametrů OBÁLKA DVOUPAAMETICKÉ SOUSTAVY PLOCH Definie. Ploh ε s parametriaí f D naýáme oálko sosta 6 jestliže ε se odě f dotýká ploh pro šehna D. S Věta. Každá oálka sosta S je podmnožino její harakteristiké množin. Naopak je-li f takoá ploha že f splňje 7 pro každé tak f je oálko sosta S. -17-

18 Praktiký postp hledání oálk je takoý že se e sosta 7 snažíme ločit parametr tak ahom dostali jedino ronii G. Pokd je tato ronie impliitním jádřením nějaké ploh tak se jedná o hledano oálk. Neo spočteme jako fnke a dostááme parametriké jádření oálk. 4. PŘÍKLADY Příklad 8. Vpočtěte oálk sosta kloýh ploh dano ronií F. Řešení: Napíšeme sosta 7 e tar F F. F Z drhé a třetí ronie jádříme a a dosaením do prní ronie dostááme ronii kželoé ploh která je impliitním jádřením hledané oálk. Příklad 9. Naleněte oálk doparametriké sosta elipsoidů 1 a kde a> > > takoýh že platí ak k-konstanta. Řešení: Nejdříe jádříme a k a můžeme psát sosta 7 e tar 1 k a a a F i 3 k a a a a F ii -18-

19 F a 3 a k iii onie ii a iii praíme na tar a a k a dosaením do i dostááme Z ii a iii ted plýá a k a 3 k 1. i a 3 3. Ted a ± 3 ± 3 k ± a 3 je parametriké jádření hledané oálk. Její ronii dostaneme násoením i a e tar k 7. PŘÍKLAD 1. Najděte harakteristiko množin doparametriké sosta sfér jejihž střed a poloměr jso fnkí parametrů. Řešení: Ted ss jso střed a rr poloměr sfér. A lioolný od W[] ležel na dané sféře msí platit W s W s r. -19-

20 Nní můžeme napsat sosta 7 e tar F W s W s r F s r W s r F s r W s r i ii iii Je-li s s tj. střed opisjí ploh pro pené dají ronie ii a iii ronii přímk která je kolmá k tečné roině ploh středů. Tato přímka protíná sfér i ď e do odeh neo jednom odě neo je průnik prádný. V případě že s s se jedná o singlární případ který pro oálk nepočítáme. --

21 Literatra [1] Bdinský B. Analtiká a difereniální geometrie. Praha: SNTL [] Bdinský B. Kepr B. Základ difereniální geometrie s tehnikými aplikaemi. Praha: SNTL 197. [3] Breš J. Hrčík K. Difereniální geometrie křiek a ploh skriptm UK Praha [4] Dopoe M. Difereniální geometrie a tenoroý počet. Brno: VUT Brně [5] Fedenko A.S. a kol. Sornik adač po differenial noj geometrii. Moska: Naka [6] Kolář I. Difereniální geometrie přednáška e školním roe 1/ na PřF MU Brno. -1-