12. SEMINÁŘ Z MECHANIKY

Transkript

1 SEMINÁŘ Z MECHANIKY O jaký úel se odcýlí od odoroné roin ladina kapalin cisternoém oze, který brzdí se zpomalením 5 m s? d s a = a dm Pro jejic ýslednici platí α d d s d d = d + d = a dm s t a 5 m s = ; α=? olná ladina kapalin je každém sém bodě kolmá k ýslednici sil, které daném bodě na kapalin působí našem případě na element dm kapalin každém bodě olné ladin působí síla tíoá d = dm, a setračná síla a α=, d t d = α ; s α = 7 Na plno koli e zdc působí tíoá síla o elikosti 90 N Na ttéž koli ponořeno e odě působí ýsledná síla o elikosti 40 N Hstota od je 0 k m Jaký je objem kole? Jaká je stota látk z níž je kole robena? Jaký objem b msela mít dtina koli, ab se e odě znášela? = 90 N; = 40 N; = 0 k m,, =? ýsledná síla působící na ponořeno koli je ýslednicí tíoé síl a drostatické ztlakoé síl Platí ted = + = ; = =, 5 0 = m Hstot látk, z níž je kole zotoena, rčíme z jejío objem a tíoé síl = = =, = 7,8 k m Objem dtin koli získáme z podmínk znášení kole e odě střední stota kole s dtino msí být rona stotě od - motnost kole s dtino msí ted být rona motnosti jí tlačené od při plném ponoření = =, = 4, 4 0 m oda prodí trbicí nestejnéo průřez Jaký je její objemoý tok, jestliže místec s průřez S = 0 cm, resp S = 0 cm místěné manometrické trbice kazjí rozdíl ladin = 0 cm? nitřní tření prodící od zanedbááme

2 S ; S = 0 ; = 0 m m = 0 m Q =? Pro rozdíl statickýc tlaků rozšířené a zúžené části trbice platí p p = S S Z BERNOULLIHO ronice sočasně dostááme p p = ), takže ( ( ) = = S Z ronice kontinit obdržíme S= S = Dosadíme-li tento ýraz do S předcozío zta, dostaneme S = S = S S S S S = S SS Q = S = S S, S S Q =, 0 m s 4 oda prodí trbicí nestejnéo průřez nejširší části trbice má rclost 5 4 = 0, 50 m s a tlak p = 5, 0 Pa žší části má tlak p =, 04 0 Pa Jako má oda rclost této žší části, zanedbááme-li nitřní tření? = 0 k m ; 0,50 m s 5 4 = ; p =,5 0 Pa ; p =,04 0 Pa ; =? Protože není edeno jinak, bdeme předpokládat, že trbice je odoroná Z BERNOULLIHO ronice dostááme p+ = p + p+ = p + ( ) p p = + 5 Na odoroném stole je nádoba, jejíž sislé stěně je několik otorů jeden nad drým Nádoba je naplněna kapalino Dokažte, že kapalina trskající z otorů dopadá na stůl rclostmi o téže elikosti stůl z ýšk je = Uažjme otor e ýšce < stěn nádob Hdrostatický tlak úroni p= otor je Pro ýtokoo rclost kapalin 0 z otor e ýšce (odorono složk rclosti odoronéo r) ted platí = ( ) 0 elikost sislé složk rclosti odoronéo r kapalin při dopad na

3 - 8 - elikost ýsledné rclosti kapalin při dopad na stůl je ted = + 0 = + = Z ýsledk je patrné, že elikost dopadoé rclosti kapalin na stůl nezáisí na poloze otor, z něož kapalina téká je ted stejná pro ýtok liboolným otorem e stěně nádob 6 e dně nádob je malý otor, kterým téká oda olná ladina od nádobě je 0 cm nade dnem Jako rclostí téká oda těcto případec? a) Nádoba je klid b) Nádoba se pobje ronoměrně zůr c) Nádoba se pobje zůr se zrclením 0 cm s d) Nádoba padá olným pádem = 0 ; = konst ; a, =, m s a, ; a, = ; =? a), b) Na od působí klidné nádobě poze objemoá síla a lobce pod olno ladino způsobje drostatický tlak p = oda téká obo případec rclostí = c) Na element od působí tomto případě kromě tíoé síl ještě (objemoá) setračná síla ds = a,d ( ds ) lobce pod olno ladino oláá proto sočasné působení těcto do objemoýc sil drostatický tlak ( ) = ( + a, ) p = + a, d) Na element od působí tomto případě kromě tíoé síl ještě (objemoá) setračná síla ds = a,d ( ds ) lobce pod olno ladino oláá proto sočasné působení těcto do objemoýc sil drostatický tlak p = a = = = 0, 0 7 Jaký tar má olná ladina kapalin nádobě tar álce, která se otáčí kolem sislé os úloo rclostí ω? () ω α d d o d 0 () t ω; ; = ( ) =? Na element kapalin o motnosti dm nacázející se na olné ladině působí při rotaci nádob tíoá síla d o elikosti d = dm a setračná odstřediá síla d o o elikosti do = ω dm; je zdálenost element od os otáčení, ω elikost úloé rclosti rotace nádob (kolem os o 0 ) ýsledná síla působící na ažoaný element dm kapalin je pak d = d + d o Hodnota fnkce tanens úl, síranéo α

4 - 8 - nezáporno sořadnicoo polooso 0 a tečno ke raf fnkce odnotě prní deriace d d fnkce = bodě a ted d o d d t ω ω = α= = d = d d d d Interací této ronice (leo zledem k, prao zledem k ) dostááme ω = + 0 =, je rona Interací získaná fnkce je ronicí parabol s rcolem bodě [ 0; 0], jejíž osa je totožná s oso otáčení nádob s kapalino Přeneseme-li náš problém do trojrozměrnéo prostor, můžeme říci, že olná ladina kapalin rotjící nádobě má tar rotačnío paraboloid každém jejím bodě je tato kadratická ploca (olná ladina kapalin) kolmá na ýsledno síl d = d + d o 8 Z kolika motnostníc procent mědi ( C = 8 8 cm ) ( = 7 cm ), a cín Sn, se skládá bronzoá krcle má-li na zdc tí 6, kn a e odě 5, 54 kn C = 8,8 cm ; Sn = 7, cm,, = 5,54 kn,, = 6,0 kn ; %( m) C,Sn =? Z rozdíl tí na zdc a e odě rčíme elikost drostatické ztlakoé síl z ní objem tělesa,,,, = = HO = Dále platí: HO + = + = C Sn C C Sn Sn, a Z této sosta ronic dostááme = ( ) = + = Sn C C C C Sn, ( ) C, Sn C Sn Hmotnostní procentální zastopení mědi je pak Sn C =, (,, ) ( C Sn ) HO %( m) C 0 C C =, C Sn % C = m, (,, ) 0, ( C Sn ) HO 9 O kolik procent séo objem se noří ze rtti železná kole, nalije-li se na rtť tolik od, ab celá kole bla pod ní Hstota železa je e = 7,8 cm, stota rtti je H =,6 cm, stota od HO= cm e = 7,8 cm ; H =,6 cm ; HO cm ; % =? =

5 - 8 - Tía kole na zdc je = e Plae-li kole e rtti, je elikost tí kole rona elikosti drostatické ztlakoé síl = H, kde je objem do rtti ponořené části kole Platí ted e = e = H = Nalijeme-li na rtť od tak, ab celá kole bla ponořena [částí o objem ( < ) do H rtti, částí o objem do od], je ýsledná drostatická ztlakoá síla sočtem do složek drostatické ztlakoé síl H rtti a drostatické ztlakoé síl od HO Platí ted = + + = e H HO e HO = e = H + ( ) HO = Hledano odnot objem, o nějž se kole zalita odo noří ze rtti procentec (séo celkoéo objem) rčíme jako 0 e e HO = = 0 (% ) H H HO 0 nádobě je oda s ladino e ýšce = 0 cm Jak soko nade dnem msí být otor, ab z něj oda trskala nejdále na odorono roin, která je úroni dna? = 0 cm ; =? ma Element kapalin opstiší otor e stěně nádob se dále pobje odoroným rem 0 zdálenost dopad je maimální (etrémní), kdž H HO počáteční rclostí = ( ) Okamžik dopad element kapalin na odorono roin úroni dna nádob rčíme z podmínk = t = 0 jako t = zdálenost dopad element kapalin je ted = t = ( ) ( ) ( ) = d + = 0 = = 0 d =

6 e sislé stěně álcoé nádob jso nad sebo da otor e ýškác a nad jejím dnem jaké ýšce msí být držoána olná ladina kapalin nádobě, ab prod kapalin z obo otorů dopadal do téož místa odoronéo stol, na němž nádoba stojí? ; ; =? Pro rclosti kapalin tékající z otorů platí: a ted = = ( ) = t 0 0, = ( ) = t ; = t = 0 = ( ), a ted t = = t 0 = t ; Určíme nní (různé) okamžik ( t D,, t D, dopad těcto odoronýc rů na odorono roin níž leží dno nádob 0 Pro zdálenosti dopad ( d, d ) pak platí ) = = td, = ; td, = d = ( td,) = ( ) d = ( td) = ( ) d 4 ( ) =, 4 ( ) d = Podmínka dopad na stejné místo znamená, že d = d a ted 4 = 4 = = = = + Jaký tar msí mít osoě smetrická nádoba, ab při ýtok od otorem jejím dně blo klesání ladin nádobě ronoměrné? 4 rotační ploca s meridiánoo křiko = k Ueďme nejdříe, že naším úkolem je nalezení analtickéo jádření = obecně osoě smetrické roinné křik s oso smetrie o 0, jejíž rotací kolem os smetrie znikne nádoba splňjící zadání úlo ( = konst) Dané křice říkáme poledníkoá, nebo také meridiánoá křika její rotací zniklé smetrické ploc

7 = Je-li ýška olné ladin kapalin nádobě nade dnem rona, je rclost kapalin tékající otorem o průřez S e dně rona = Ronice kontinit má našem případě tar π = S π = S 4 π 4 4 π = S = = k 0 S álcoá nádoba naoře oteřená má ýšk H = 0 cm a poloměr r = 5 cm Uprostřed dna nádob je otor průřez S = cm Do nádob přitéká sora oda z odood při objemoém tok Q = 40 cm s a) Jak soko stopí oda nádobě? b) Za jak dloo se nádoba prázdní, jestliže při dosažení maimální ýšk ladin od nádobě přítok od zastaíme? c) Jaký pob koná ladina od e nádobě při ýtok od otorem e dně? Q πr Q = ; t = ; ron zpomalený S S 4 H = 0 cm; r = 50 ; S = 0 m ; Q =, 4 0 m ;, t, =? Q a) Při plnění nádob ladina od stopá a s ní roste i elikost rclosti ýtok od otorem e dně nádob Stopání ladin se zastaí a ladina se stálí e ýšce okamžik, kd je objemoý tok od otorem e dně nádob stejný jako objemoý tok Q od přitékající z odood Dostááme ted Q = S = S Q = S Q = S b) okamžik, kd ladina od klesne o zdálenost, je elikost ýtokoé rclost od otor S rona = následjícím nekonečně krátkém časoém interal dt ted r S () d H 0 otorem S teče objem od d = S dt d = S dt časoém interal dt se ted objem od nádobě zmenší o d těcto elementárníc objemů plne πr d S dt =πr d dt = S πr dt = d S Celkoý časoý interal t ýtok od z nádob získáme rčito interací =πr d Z ronosti πr πr t = d = S S 0 0 t = πr S Dosadíme-li za ýsledek z části a) této úlo, dostaneme postpně

8 πr Q πr Q t = t = S S S rq π t = S c) Pob ladin od nádobě při ýtok od otorem S e dně bde obecně zpomalený, neboť elikost ýtokoé rclosti od otorem S klesá důsledk zmenšjícío se drostatickéo tlak úroni dna nádob Posďme nní možnost ronoměrně zpomalenéo pob ladin od nádobě Pokd b tom tak blo, záisela b elikost rclosti pob ladin na čase lineárně moli bcom ji ted jádřit ztaem = 0 kt; k > 0 takoém případě b blo možno rčit průměrno rclost p klesání ladin časoém interal t jako aritmetický průměr její maimální ( ma ) a minimální ( min 0 ) klesání ladin bezprostředně po = ) odnot Maimální odnot ( ma zaření přítok rčíme pomocí zta otorem e dně z ronice kontinit = π rma = S ma pro ýtokoo rclost kapalin S = πr Průměrná rclost p klesání ladin časoém interal t je pak + S = πr ma min p = p Časoý interal t ýtok eškeré od z nádob pak rčíme jako πr πr t = t = t = S S p t = πr S Dosadíme-li za ýraz získaný řešení části a), dostaneme πr Q πrq t = t = S S S Poronáme-li nní dob ýtok eškeré od, získané řešením částí b) a c), zjistíme, že t = t Tento ýsledek znamená potrzení předpoklad o tom, že ladina od nádobě (álcoé) při ýtok otorem e dně koná ronoměrně zpomalený pob