NĚKTERÁ POUŽITÍ INTEGRÁLU GEOMETRICKÉ APLIKACE

Transkript

1 NĚKTERÁ POUŽITÍ INTEGRÁLU V této kpitole budou ukázány jednoduché plikce integrálu. Důležitější než výsledné vzorce jsou všk postupy, které k nim vedou. Zákldem tu je předstv integrálu pomocí Riemnnov přístupu. Pro výpočet výsledných vzorců se pk používá Newtonův přístup. Vzájemně se tu tk snoubí ob přístupy. GEOMETRICKÉ APLIKACE Geometrické plikce se soustředí n obshy geometrických obrzců v rovině, n objemy těles n délky křivek v rovině. A to je semeniště problémů (příkldů). OBSAH NĚKTERÝCH ROVINNÝCH OBRAZCŮ Měření obecných podmnožin Euklidovských prostorů je obtížné ( v některých přípdech nemožné). Touto situcí přesným mtemtickým přístupem se zbývá teorie míry (viz kpitolu 3). Některé ne zcel přesné části této kpitoly budou upřesněny i v kpitolách o funkcích více proměnných. Zde bude pojednáno o měření jednodušších speciálních množin, které všk jsou zákldem pro většinu přípdů objevujících se v prxi. Pro,,velikost" některých podmnožin R n se používá různých termínů, npř. délk pro intervly v R, obsh pro geometrické obrzce v R 2, objem pro těles v R 3. 1

2 Při nerozlišování dimenze druhu množin je lépe používt termín mír. Zčíná se měřením podmnožin R. Mírou intervlu I n přímce s koncovými body, b je jeho délk b bez ohledu n to, zd je to intervl otevřený, uzvřený nebo polootevřený (tj, hrnice tu nehrje žádnou roli). Stejný vzorec lze použít i pro bod (degenerovný intervl [, ]), což znmená, že mír bodu (přesněji mír jednobodové množiny) je. V Poznámkách je návod, jk určit míru některých složitějších množin reálných čísel. Pro předstvu i použití všk stčí mít n mysli jen intervly body, snd někdy jejich konečná sjednocení. Jestli je v měření délek, ploch objemů nějký zásdní problém, objevuje se už v R. A on tm oprvdu je ;-) Jk postupovt při měření velikosti množin v rovině? Množin se rozřeže rovnoběžnými řezy n úzké proužky, které se djí při jejich velmi mlé šířce povžovt z obdélníky lze tedy spočítt jejich obsh. 2

3 Sečtením ploch těchto obdélníků se dostne zhrub obsh obrzce. Rozřezáním množiny n proužky sečtením obshů obdélníků proximujících jednotlivé řezy se dostne zhrub mír množiny A. Pokud se bude šířk obdélníků zužovt, bude výsledné číslo míru lépe vyjdřovt. V limitě, tj. pro nekonečně mlou šířku obdélníků, se dostne hledná mír. Nepřipomíná to Riemnnův přístup definice integrálu? Oznčí-li se A(t) mír průniku množiny A s kolmicí n osu x v bodě t, pk se může A(x) dx povžovt z míru množiny A, pokud vše použité rozumně existuje. Bod t si pobíhá po reálné ose s "množinometrem", který mu hlásí míru řezu. 3

4 To dává smysl pro velmi obecné množiny. Pro pochopení stčí se omezit n jednodušší množiny určené křivkmi, jko npř. množiny bodů ležící mezi grfy dvou funkcí nebo vnitřky uzvřených křivek. Nvíc jen tkové, že použité řezy jsou intervly body (možná někdy jejich sjednocení). Je-li f(x) pro x [, b], je podle předchozího postupu obshem množiny {(x, y); x [, b], y f(x)} integrál b f(x) dx, což je v souldu s dřívějším popisem Newtonov integrálu. Obsh množiny bodů ležících mezi grfy dvou spojitých funkcí f, g n intervlu [, b] je b P = f(x) g(x) dx. Protože nebyl uveden žádná definice obshu rovinného obrzce, lze poslední rovnost chápt jko definici obshu uvedených množin. Pro množinu určenou prmetricky zdnou křivkou (x = ϕ(t), y = ψ(t) pro t (, b)) se použije předchozí vzorec P = b y dx(= b f(x) dx) dostne se b P = ψ(t)ϕ (t) dt. Všimněte si, že jsme do integrálu dosdili dx = ϕ (t) dt, což je "zderivovná verze" x = ϕ(t). Já ty dé-iks miluju. 4

5 Vzorec b P = ψ(t)ϕ (t) dt vyjdřuje míru množiny bodů ležících mezi křivkou intervlem n ose x, který obshuje průmět křivky. Absolutní hodnotou odstrníme možné záporné znménko. Některé části jsou všk brány se záporným znménkem odečítjí se! To nstne n intervlu, n kterém je ϕ klesjící ψ kldná nebo ϕ rostoucí ψ záporná (viz Poznámky). Je-li grfem jednoduchá uzvřená křivk (pro přesnou definici viz kpitolu 22), udává vzorec b P = ψ(t)ϕ (t) dt obsh vnitřku této křivky. Šl by udělt elips otevřená, nebo je vždy uzvřená? U polárně zdných křivek (r = ρ(t) pro t (α, β)) je proměnnou úhel hodnotou vzdálenost bodu od počátku. Při velmi mlé změně dt úhlu t změn r vyplní,,křivý" trojúhelník s vrcholem v počátku, úhlem při vrcholu rovným dt výškou z počátku n protilehlou strnu rovnou r. Velikost protilehlé strny je, pro velmi mlý úhel dt, rovn r dt. 5

6 Obsh vzniklého trojúhelník je tedy roven (1/2) r r dt. Součet všech těchto obshů, tj. integrál P = 1 β ρ 2 (t) dt, pro α < β 2π, 2 α určuje míru množiny bodů ležících mezi křivkou přímkmi procházejícími počátkem svírjícími s kldnou částí osy x úhly α, β, resp. Je-li β > α + 2π, počítjí se některé části plochy vícekrát! Mír množiny A by smozřejmě neměl záviset od jejího posunutí nebo otočení. Nezávislost předchozího přístupu n posunutí se ukáže sndno (viz Otázky). Pro otočení je to složitější. Speciálním přípdem otočení (o 9 o ) je postup, kdy se vezme projekce A n osu y použijí se míry B(u) řezů rovnoběžných s osou x, tj. průniku A s kolmicí n osu y v bodě u. I když otočíme republiku dolev nebo doprv, nezvětší se. 6

7 To si rději přepočítám. To znmená, že integrál by se měl rovnt integrálu d P y = B(u)du c b P x = A(t)dt Pro množiny, používné v této části to oprvdu pltí (je to speciální přípd tzv. Fubiniovy věty). Poznámky 1: 1. Měření délek v R. Je přirozené, že mír sjednocení dvou (nebo konečně mnoh) disjunktních intervlů je součet jejich délek. Může to být vhodné i pro protínjící se intervly (otevřené, uzvřené)? Předchozí úvh se dá zobecnit: mír sjednocení spočetně mnoh disjunktních intervlů je součet jejich délek. Má smysl n R uvžovt přípd nespočetného systému disjunktních intervlů? To znmená, že velikost spočetné množiny je vždy nul. 7

8 S tím, že kždá spočetná množin je v jistém smyslu nulová, jste se setkli v kpitole o obecném integrálu. Oprvdu, tyto nulové množiny mjí míru rovnou nule tedy existují nespočetné množiny (npř. Cntorov množin), které mjí míru rovnou nule. 2. V definici obshu rovinné množiny se může integrovt přes libovolný intervl obshující průmět množiny krjní body intervlu lze odebrt. Řezy lze tké brát bez krjních bodů (předpokládáme podle předchozí části, že řezy jsou intervly či body, nebo jejich sjednocení). V úvodní kpitole o funkcích více proměnných budou definovány otevřené podmnožiny roviny prostoru. Právě tyto množiny (přípdně s přidnou hrnicí) jsou nejvhodnější pro interpretci obshu pomocí integrálu. 3. Je vhodné si uvědomit, že i pro,,hezké" množiny A nemusí být funkce A(t) spojitá. Nicméně, bude mít z body nespojitosti jen skoky bude mít vždy K-primitivní funkci. Aby měl integrál použitý pro popis míry smysl, měly by být míry A(t) řezů konečné. Nebylo všk řečeno, jký integrál se používá. Pokud Newtonův, pk všechny řezy musí mít konečnou míru. Pokud použijete K-integrál, pk n nulové množině mohou mít řezy nekonečnou míru (proč?). Pokud budou mít nekonečnou míru n nenulové množině, lze chápt míru množiny A jko nekonečnou. Předchozí odstvec byl vlstně jen teoretický. V prxi jsou množiny A omezené, výjimečně neomezené, le pk jsou,,hezky" složené z omezených množin. Konec poznámek 1. Příkldy 1: 1. Spočtěte obsh elipsy to jk pomocí jejího implicitního vyjádření x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1, tk pomocí prmetrického vyjádření x = cos t, y = b sin t. 2. Spočítejte obsh kruhu pomocí polárního vyjádření ρ = r. 3. Spočtěte míru množiny {(x, y); y, x 2 y x}. Použijte ob možné postupy (řezy kolmé n osu x, resp. n osu y). 4. Pro prmetrické vyjádření kružnice o středu v (, r) poloměru r lze vzít x = r sin t, y = r(1 + cos t), t [, 2π]. Pro t [, π/2] je sin rostoucí s rostoucím t v tomto intervlu jdete po horní polokružnici po směru hodinových ručiček od bodu (, 2r) k bodu (r, r) příslušný integrál popisuje plochu pod touto čvrtkružnicí (k ose x). Pro t [π/2, π] je sin klesjící s rostoucím t v tomto intervlu jdete po horní polokružnici po směru hodinových ručiček od bodu (r, r) k bodu (, ) příslušný integrál popisuje plochu pod touto čvrtkružnicí (k ose x). Vzhledem k proměnné x se integruje od r k tedy se on ploch odečítá. Výsledkem n intervlu t [, π] je ploch prvého půlkruhu. 8

9 Dodělejte smi oběh bodu kolem celé kružnice. Konec příkldů 1. Otázky 1: 1. Ukžte, že kždý disjunktní systém intervlů v R je nejvýše spočetný. 2. Uved te příkld neomezené otevřené podmnožiny R, která má konečnou míru. 3. Ukžte, že mír µ některých podmnožin reálné přímky nezávisí n posunutí. Npř., je-li p R A intervl nebo konečné sjednocení intervlů nebo spočetná množin, pk µ(a) = µ(a + p). 4. Ukžte pltnost předchozího tvrzení pro zde použité speciální podmnožiny roviny, npř. pro množiny určené křivkmi. Konec otázek 1. Cvičení 1: Příkld. Jkou rychlostí musí odpálit pálkř, by měl jistý "homerun"? Řešení. Budeme chtít zjistit rychlost v tkovou, by míč o hmotnosti m překonl přitžlivost Země doletěl lespoň n Měsíc. Znedbáme tření. Proměnnou grvitční sílu po dráze k Měsíci musíme překont kinetickou energií udělenou při strtu. Tedy spočítáme práci, kterou vykonáme proti grvitční síle F F (r) dr R porovnáme s kinetickou energií při strtu. Podle grvitčního zákon je míč přithován k Zemi silou F závisející n vzdálenosti r od Země F (r) = c Mm r 2, 9

10 kde M je hmotnost Země c je konstnt. Oznčme R poloměr Země. Pk pltí F (R) = mg, kde g je grvitční zrychlení. Tím se zbvíme konstnty c máme F (r) = mg R2 r 2. Pokud má míč vyletět nekonečně dleko, musí být jeho kinetická energie n počátku 1 2 mv2 lespoň rovn práci, kterou n jeho brždění vykoná grvitční síl Země R mg R2 r 2 dr = ( r lim mgr2 1 r + 1 ) R = mgr. Tedy 1 2 mv2 = mgr, čili v = 2gR. Přibližně dostneme rychlost odplu 11, 2 km/s (pro konstnty R = 6, m, g = 9, 83m s 1). Už jsem viděl rychlejší odply. Ted se nučíme měřit v rovině. Bude stčit prvítko? 1

11 Ano. Příkld. Spočtěte míru množiny A = {(x, y) R 2, y, y > x 2, y < x/2}. Řešení. Jde o průnik tří polorovin. Při bližším zkoumání vidíme, že možinu A tvoří trojúhelník s vrcholy (, ), (2, ), (4, 2). Dejte si pozor, tdy se to bude řezt. Jk n to půjdeme? Mír množiny A se spočte integrcí přes osu x, přičemž musíme zjistit míru řezů A(t) odpovídjících libovolnému t R. Pro některá t jde o prázdnou množinu, pro některá o intervl. Funkce A(t) je nenulová pouze n intervlu (, 4). 11

12 N intervlu (, 2) je A(t) = t/2, protože řezem je intervl (, t/2). N intervlu (2, 4) je A(t) = t/2 (t 2), protože řezem je intervl (t 2, t/2). Hledná mír množiny A se rovná integrálu + P x = A(t) dt = 2 4 A(t) dt + A(t) dt. 2 Tedy 2 t P x = 2 dt ( ) t 2 t + 2 dt = = 2. Jk se spočte to A(t)? Jk vypdá pro dné t řez A t se zjistí sndno. Dosdíme do definice množiny jko prmetr t je hotovo. A t = {(t, y) R 2, y, y > t 2, y < t/2}. 12

13 Řezem je úsečk, její míru umíme spočítt. Dvkrát se integrovlo, to je normální? Ne, šikulové se tomu mohou vyhnout integrováním přes vodorovné řezy: Mír množiny A se nyní spočte integrcí přes osu y, přičemž musíme zjistit míru řezů A(u) odpovídjících libovolnému u R. Pro některá u jde o prázdnou množinu, pro některá o intervl. Funkce A(u) je nenulová pouze n intervlu (, 2). N intervlu (, 2) je A(u) = u + 2 2u, protože řezem je intervl (2u, u + 2). 13

14 Hledná mír množiny A se rovná integrálu + P y = A(u) du = 2 2 A(u) du = (u + 2 2u) du = 2. Jk se spočte to A(u)? Jk vypdá pro dné u řez A u se zjistí sndno. Dosdíme do definice množiny jko prmetr u je hotovo. A u = {(x, u) R 2, u, u > x 2, u < x/2}. Řezem je úsečk, její míru umíme spočítt. 14

15 Při hledání velikosti řezů smozřejmě zjistíme i to, které řezy se musí uvžovt při integrování. To se prověří. Do třetice spočítáme míru jko rozdíl dvou integrálů 4 t 2 dt 4 (t 2) dt = 4 2 = 2. 2 To je síl. 15

16 Jk prví klsik: N st je podob integrování, způsoby je třeb volit. Všimněte si, že se integruje od jedné funkce do druhé. Při vodorovných svislých řezech se jedná o jiné funkce. A některé jsou potvory inverzní ;-) Konec cvičení 1. OBJEM NĚKTERÝCH TĚLES Stejně jko se počítl obsh dvoudimenzionálního (tj. rovinného) obrzce pomocí velikostí jednodimenzionálních řezů, počítá se objem trojdimenzionálního těles pomocí dvoudimenzionálních řezů. Následující popis je opět vhodný pro velmi obecné podmnožiny R 3, le je lépe mít n mysli jen geometrická těles. Necht A je podmnožin prostoru R 3, jejíž průmět n osu x leží v intervlu (, b). Necht pro kždé t (, b) je A(t) mír průniku množiny A s rovinou kolmou n osu x v bodě t. Pk mír množiny A je b V = A(x) dx. 16

17 Nkloníme pyrmidu r ežeme. Dostneme c tvercové r ezy. Pohod. A( b ) A( t ) x t b Kouzlo spoc ívá v tom, jk njít pe kné r ezy. 2 r 2- x 2 y x tn r x x (x,- r 2- x 2 ) Podobne jko u rovinných obrzcu je i v prostoru ne kdy vhodne jší použít místo osy x jinou osu. Fubiniov ve t ope t tvrdí, že se pro hezké množiny dostne stejný výsledek. 17

18 A= 1 xh 2 h y r x y x r -r Je-li A rotc ní te leso, je poc ítání objemu jednodušší, protože je sndné spoc ítt plochu pr íslušných r ezu (tj. kruhu ). A(x) x x Dx Necht te leso A vzniklo rotcí grfu funkce f n intervlu (, b) kolem osy x. Pk jeho objem je dán vzorcem Z b Z b V = π y 2 dx = π f 2 (x) dx. Je vide t ze vzorce i z geometrického pohledu, že nezáleží n tom, jestli má funkce kldné i záporné hodnoty. 18

19 y = sin x Je-li grf funkce zdán prmetricky (x = ϕ(t), y = ψ(t), t (, b)), dostne se doszením z x, y do vzorce Z b Z b V = π y 2 dx = π f 2 (x) dx. prmetrický tvr Z b V = π ψ 2 (t)ϕ (t) dt. Má-li rotc ní te leso,,díru", tj, vznikne rotcí okolo osy x plochy ležící mezi grfy funkcí g f, odec te se od objemu pro funkci f objem pro funkci g: V =π Z b (f 2 (x) g 2 (x)) dx. g(x) f(x) A(x) x x Dx Uvedenému postupu pro získání pr edešlých vzorcu se r íká metod disku nebo mezikruží je odvozen z postupu pro objem obecných te les. Pro rotc ní te les lze zvolit i jiný postup, tzv. metodu válcu, kdy te leso chápeme jko sjednocení tenkých válcu s osou stejnou jko je rotc ní os te les. 19

20 p(y) d f(x) y x c 2p y p(y) Necht te leso A vzniklo rotcí grfu funkce f n intervlu (, b) kolem osy x. Pk jeho objem je dán vzorcem Z d y p(y) dy, 2π kde d je mximum funkce f n (, b) p(t) je délk pru niku pr ímky y = t s množinou {(x, y); y f (x) }. Výrz 2πyp(y) je povrch válcovitého r ezu o výšce p(y) polome ru y. Slyšel jsem správne : 2 pípy? Z pr edchozích postupu byste me li sndno odvodit vzorce pro objemy te les vzniklých rotcí ne jké jednodušší plochy kolem osy y nebo kolem pr ímky rovnobe žné s ne jkou osou. 2

21 ,,Sčítjí" se obshy mezikruží, jejichž poloměry jsou určené vzdálenostmi hrnice k ose rotce. Poznámky 2: 1. Pokud si zpmtujete obecný popis objemu těles (,,součet" příslušných řezů), sndno rychle odvodíte osttní uvedené vzorce. Není pk nutné si tyto vzorce pmtovt. Nvíc uvedený popis umožní spočítt i objemy nestndrdních těles. 2. Není jednoduché dokázt rovnost integrálů pro objem rotčních těles získných metodou disků metodou válců. Ve vzorci získném metodou válců se smozřejmě může vzít z horní mez jkékoli číslo větší nebo rovno mximu f. Proč se nemůže vzít z integrční meze krjní body f-obrzu intervlu (, b)? Pro podobný vzorec rotčního těles s dírou (viz Otázky) určenou funkcí g se místo může z dolní mez vzít jkékoli číslo menší nebo rovné minimu funkce g. Konec poznámek 2. Příkldy 2: 1. Spočtěte podle integrálního popisu objemu těles objem jehlnu (umístěte jehln vhodně do souřdnic; nejlépe tk, že výšk leží n ose z podstv v rovině x, y). 2. Spočtěte objem průniku válců x 2 + y 2 = 4, y 2 + z 2 = 4. Vhodné je vzít řezy kolmé n osu y. 3. Spočtěte objem rotčního elipsoidu vyjádřeného implicitně i prmetricky metodou disků i metodou válců. 4. Spočtěte objem nuloidu, což je těleso vzniklé rotcí kruhu (mpř. o poloměru ) kolem osy disjunktní s kružnicí (tj. ve vzdálenosti b > od středu kružnice). Opět je prvním krokem vhodné umístění situce do souřdnicových os. 21

22 5. Spočtěte objem rotčního těles vzniklého rotcí omezené plochy mezi grfy funkcí x, x 2 okolo osy y. 6. Spočtěte objem rotčního těles vzniklého rotcí omezené plochy mezi grfy funkcí x, x = 4, y = 1 okolo přímky y = 1. Konec příkldů 2. Otázky 2: 1. Odvod te metodou válců vzorec pro objem rotčního těles vzniklého rotcí množiny {(x, y); g(x) y f(x), x (, b)} kolem osy x. 2. Odvod te vzorce pro objem rotčního těles vzniklého rotcí množiny {(x, y); g(x) y f(x), x (, b)} kolem osy y. Předpoládejte, že f, g jsou rostoucí funkce. 3. Odvod te vzorce pro objem rotčního těles vzniklého rotcí množiny {(x, y); g(x) y f(x), x (, b)} kolem přímky y =. Konec otázek 2. Cvičení 2: Příkld. Spočteme objem koule. Řešení. Zvolíme jednotkovou kouli Budeme řezt rovinmi kolmými k ose x. Tkto získáme kruhové řezy. x 2 + y 2 + z 2 r 2. K dnému t je řezem množin Jde vlstně o kruh s poloměrem y 2 + z 2 r 2 t 2. r 2 t 2. Tedy A(t) = π(r 2 t 2 ) tedy objem spočteme r r A(t) dt = r r π(r 2 t 2 ) dt = [ ( )] 1 π r 2 t t3 3 1 = 4 3 πr3. Integrování je pohod. Konec cvičení 2. 22

23 DÉLKA ROVINNÝCH KŘIVEK Délk L nějké křivky (čáry) z bodu A do bodu B se zjistí sečtením jejích velmi mlých úseků ds, které je možné povžovt z úsečky, tj. B L = ds. A Úsečk ds je přeponou prvoúhlého trojúhelník se strnmi dx dy. Aproximujeme křivku po částech úsečkmi. A limitíme. Tedy je ds = dx 2 + dy 2 = 1 + ( dy ) 2 dx. dx Zákldní vzth pro vyjádření ds. Podle zdání křivky (jko funkce, prmetricky, polárně) se z y nebo x dosdí příslušné funkce dostne se b 1. L = 1 + f 2 (x) dx, je-li y = f(x), x (, b); b 2. L = ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt, je-li x = ϕ(t), y = ψ(t), t (, b); β 3. L = ρ 2 (t) + ρ 2 (t) dt, je-li r = ρ(t), t (α, β). α Poznámky 3: 1. Podle uvedeného vzorce lze počítt délky křivek zdných funkcemi, pokud příslušný integrál existuje. Délku křivky lze všk definovt obecně bez použití integrálu jko supremum délek lomených čr, 23

24 jejichž body lomu leží n dné křivce. Zkuste nznčit postup, jk dokázt ekvivlenci této definice s nší definicí pro hezké křivky. 2. Stejně jko u obshu objemu není ni u vzorce pro délku křivky stnoveno, jký integrál se má použít. V některých přípdech nelze použít Newtonův integrál, protože derivce f (x) ve vzorci nemusí ve všech bodech existovt. V těchto přípdech je možné bud použít obecnější integrál (J-integrál obvykle stčí) nebo rozdělit zkoumný intervl n části, kde lze Newtonův integrál použít, nebo někdy lze použít inverzní funkce, tj. dívt se n křivku jko n grf funkce x = f 1 (y). 3. Existují křivky, ležící npř. v jednotkovém kruhu, které mjí nekonečnou délku. Konec poznámek 3. Příkldy 3: 1. Spočtěte délku kružnice pomocí implicitního, prmetrického i polárního vyjádření. 2. Spočtěte délku spirály r = e 3t pro t [, 8]. 3. Npište integrál pro délku grfu funkce 3 x n intervlu [ 1, 8]. Pozor n bod. Zkuste v tomto přípdě použít grf inverzní funkce. Získný integrál nepočítejte víme proč? 4. Spočtěte délku smyčky křivky zdné prmetricky jko x = t 2, y = t 3 /3 t. Zjistěte nejdříve hodnoty prmetru pro které se křivk protne.) Konec příkldů 3. 24

25 Cvičení 3: Příkld. Spočtěte délku úsečky z bodu (1, ) do bodu (, 1). Řešení. Jde o grf funkce y = f(x) = 1 x n intervlu [, 1]. Podle vzorečku dostneme pro délku vzth (f (x)) 2 dx = 1 + ( 1) 2 dx = 2. Zdá se, že vzorečky fungují. Můžeme použít prmetrický zápis grfu pomocí funkcí x = sin 2 t, y = cos 2 t pro t [, π/2]. Pk bude délk vyjádřen pomocí π/2 ( ) dx 2 ( ) dy 2 + dt = dt dt = π/2 π/2 8 sin 2 t cos 2 t dt = 2 2 sin t cos t dt = [ 2 sin 2 t] π/2 = 2. Nic jiného jsem nečekl. Ještě polárně pro otrlé: 25

26 Úsečku popíšeme polární formulkou Počítč spočítá z nás primitivní funkci r = (sin (t) + cos (t)) sin α + cos α. (cos (t) sin (t))2 (sin (t) + cos (t)) 4 dt C = C = (sin (t) + cos (t)) 2 ( 4 (cos (t)) sin (t) cos (t) + 4 (cos (t)) 2 + 1) 1 sin (t). A tedy díky počítčům dostneme zse 2. Příkld. Spočtěte obvod kruhu o poloměru r. Řešení. Můžeme použít prmetrický zápis pomocí funkcí x = r sin t, y = r cos t pro t [, 2π]. Pk bude délk vyjádřen pomocí 2π ( ) dx 2 + dt ( ) dy 2 dt = dt 2π r 2 dt = 2π r dt = [tr] 2π = 2πr. Polárně to půjde ještě sndněji. Pro jednotkový kruh je r = 1 tedy 2π dt = 2π. Vřele doporučuji :-) Konec cvičení 3. 26

27 POVRCH ROTAC NÍCH TE LES Podobne jko se odvodil obsh z délky nebo objem z obshu, dá se odvodit povrch te les z délky kr ivky. Te leso se protne rovinou kolmou npr. n osu x v bode t spoc te se délk L(t) kr ivky ohrnic ující vzniklý rovinný obrzec. Tuto kr ivku lze povžovt z úzký pás se šír kou ds. Všechny tyto pásky djí dohromdy povrch S dného te les. ds t x L(t) Pro šír ku ds se použijí výrzy z pr edchozí c ásti o délce kr ivek dostne se: r Z Z Z q b b L(x) L(x) ds = S= dx2 + dy2 = b L(x) 1 + dy 2 dx. dx Pozor, ty integrály jsou pr i poc ítání oprvdu nepr íjemné. Pro rotc ní te les je ope t jednoduché spoc ítt délky L(t) kružnic. 27

28 f(x) x b x L(x) = 2p f ( x ) Jestliže te leso A vzniklo rotcí grfu funkce f n intervlu (, b) kolem osy x, pk je jeho povrch dán vzorcem Z b q f (x) 1 + f 2 (x) dx, 2π Je-li grf funkce zdán prmetricky (x = ϕ(t), y = ψ(t), t (, b)), použije se vzorec Z b 2π q ψ(t) ϕ2 (t) + ψ 2 (t) dt. V pr ípde polárne zdné kr ivky (r = ρ(t), t (α, β)): Z β 2π q ρ(t) sin(t) ρ2 (t) + ρ2 (t) dt. α y z L(x) = 2p f ( x ) x Poznámky 4: V Pr íkldech jsou uvedeny dv pr íkldy n spoc ítání povrchu útvru, který se nezískl rotcí kr ivky. Je to útvr složený z úsec ek postvených n ne jké kr ivce v rovine. Pk povrch je,,souc tem" délek ds te chto R úsec ek podél kr ivky v rovine, tj. bds ds, kde ds je obvyklý mlinký dílek kr ivky. Konec poznámek 4. Pr íkldy 4: 1. Spoc te te povrch koule. 2. Spoc te te povrch nuloidu vzniklý otác ením kružnice o polome ru, jejíž str ed je vzdálen od osy otác ení b >. 3. Rotcí okolo osy x grfu funkce 1/x n intervlu [1, + ) vznikne útvr, který má nekonec ný povrch konec ný objem. Ove r te. 4. Me jte pecen chleb tvru koule. Ukžte, že všechny krjíce stejné tloušt ky mjí stejné množství ku rky. 5. Me jte plot postvený n grfu funkce 2 x, jehož výšk v bode (x, 2 x) má výšku 2 x. Kolik mteriálu se spotr ebuje n plot pro x 2? 6. Spoc ítejte povrch zdi postvené n kružnici o polome ru 2, která zc íná v ne kterém bode kružnice jejíž výšk ve vzdálenosti s od tohoto bodu po oblouku kružnice je 3s. Konec pr íkldu 4. Cvic ení 4: 28

29 Příkld. Mějte pecen chleb tvru koule. Ukžte, že všechny krjíce stejné tloušt ky mjí stejné množství kůrky. Řešení. Budeme zkoumt povrch koule o poloměru R. Uvžujme, že tento povrch vznikl rotcí kružnice x 2 + y 2 = R 2 okolo osy x. Popíšeme kružnici prmetricky x = ϕ(t) = R cos t, y = ψ(t) = R sin t, t (, 2π). Krjíc odpovídá jistému intervlu (, b) (, π). Uvžujeme krjíce vzniklé ukrojením pomocí roviny kolmé k ose x. Pro výpočet povrchu vzniklého rotcí se použije vzorec b 2π ψ(t) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. Dostneme tedy b b 2π R sin t R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 dt = 2πR 2 sin t dt. Zkusíme pro jednoduchost krjíce (, b) (, π/2). Pk dostneme b 2πR 2 sin t dt = 2πR(R cos R cos b) = 2πR(x x b ), kde x = R cos je bod n intervlu (, R), který odpovídá první strně krjíce (pro t = ), podobně x b = R cos b je bod n intervlu (, R), který odpovídá druhé strně krjíce (pro t = b). Podobně lze zprcovt i intervl (π/2, π). Výsledkem je, že kůrk n krjíci je rovn 2πR krát tloušt k x x b. BTW, celý pecen má tedy povrch 4πR 2. To je tolik, jko má veliký povrch opsný válec. Tedy, když zpřemýšlíme ještě trošku, válcové mpy zemského povrchu ukzují přesně rozlohy jednotlivých území. 29

30 Určitě šlo použít i jiný popis povrchu koule tedy jiné vzorečky. V přípdě polárně zdné křivky (r = ρ(t) = R, t (α, β)): β β 2π ρ(t) sin(t) ρ 2 (t) + ρ 2 (t) dt = 2π R sin(t) R dt = α α β = 2πR 2 sin(t) dt = 2πR 2 ( cos α cos β ). α Nštěstí je to stejné. Konec cvičení 4. FYZIKÁLNÍ APLIKACE Použití integrálu ve fyzice je velmi mnohostrnné. V této kpitole bude uvedeno jen několik zákldních plikcí v mechnice. V pozdějších kpitolách budou při různých příležitostech uvedeny dlší plikce integrálu ve fyzice. 3

31 POHYB Jestliže se bod pohybuje po přímce (npř. po ose x) znčí-li s(t) souřdnici bodu v čse t, je s (t) okmžitá rychlost v(t) v čse t v (t) = s (t) okmžité zrychlení v čse t. Umíte to vysvětlit? Je-li tedy dán závislost rychlosti n čse funkcí v(t), není b v(t) dt = s(b) s() ujetá vzdálenost, le změn polohy pohybujícího se bodu.??? Ujetá délk cesty od okmžiku t = do okmžiku t = b se spočte integrálem b v(t) dt. SORRY ;-) 31

32 TĚŽIŠTĚ Zhrub řečeno, soustředí-li se do těžiště těles hmotnost celého těles, pk (tíhové) momenty (vzhledem k nějkým osám) těžiště celého těles se rovnjí. Podobně jko u výpočtu velikosti množin je i u zjišt ování těžiště vhodné zčít u jednodimenzionálních objektů (tj. drátů) postupně zvyšovt dimenzi. Vzhledem k pozdějšímu sndnějšímu přístupu pomocí integrálu funkcí více proměnných plošných integrálů bude zvyšování dimenze ukončeno u rovinných desek. Tenký drát se bude v následujícím postupu povžovt z křivku. Drát nemusí být homogenní jeho hustot je dná nějkou funkcí h. Nejjednodušší je přípd, kdy drát je rovný pk ho lze umístit n kldnou osu x s jedním koncem do počátku druhým do bodu d, kde d je délk drátu. Hustot h je funkce definovná n intervlu [, d]. Hmotnost M drátu se spočte,,sečtením" hmotností h(x) dx mlinkých dílků dx je tedy rovn d h(x) dx. Těžiště zřejmě bude ležet n ose x, řekněme v bodě T. Podle úvodního vysvětlení musí být moment drátu roven momentu těžiště, což je T.M (počítá se moment vzhledem k počátku). Moment drátu se spočítá podobně jko hmotnost,,sečtením" momentů všech bodů tedy se rovná d xh(x) dx. Odtud vyplývá vzorec pro těžiště: d T = xh(x) dx d. h(x) dx Necht je nyní drát zhnutý, npř. je grfem funkce y = f(x) n intervlu (, b). V bodě (x, f(x)) má drát hustotu h(x). 32

33 Hmotnost M drátu se opět spočte,,sečtením" hmotností jednotlivých dílků ds je tedy rovn b h(x) ds = b h(x) 1 + f 2 (x) dx. Necht má těžiště souřdnice (T x, T y ) má hmotnost M. Jeho momenty vzhledem k osám x, y budou momenty drátu vzhledem k těmto osám. Moment M x drátu vzhledem k ose x je součet momentů jednotlivých dílků, tj. b yh(x) ds = b f(x)h(x) 1 + f 2 (x) dx. Moment M y vzhledem k ose y je roven b xh(x) 1 + f 2 (x) dx. Porovnáním momentů M x M y se dostnou vzorce T x = b xh(x) 1 + f 2 (x) dx b b h(x) 1 + f 2 (x) dx, T y = f(x)h(x) 1 + f 2 (x) dx b h(x). 1 + f 2 (x) dx Vzorec pro prmetricky zdné křivky se získá stndrdním způsobem: z x, y se dosdí příslušné prmetrické funkce ϕ, ψ. Pozor! Zkusíme dráty s konstntní hustotou. Necht je nyní h = 1; pk je hmotnost drátu rovn jeho délce L. Vynásobíte-li vzorec pro T y jmenovtelem dále číslem 2π, dostnete 2πT y.l = S, kde S je povrch rotčního těles vzniklého rotcí drátu okolo osy x. Uvedená rovnost říká, že tento povrch je rovný ploše válcové plochy o poloměru T y výšce L. Zhrub lze říci, že je délk křivky soustředěn v těžišti to obíhá kolem osy x. 33

34 Tomuto vzorci se ne kdy r íká Guldinovo prvidlo pro rotc ní plochy: VE TA. Ploch rotc ního te les vytvor eného rotcí rovinné kr ivky C kolem pr ímky p je rovn násobku délky kr ivky C obvodu kružnice o polome ru rovném vzdálenosti te žište kr ivky C od p. Ukázk rotc ní plochy jejího rozvinutí pomocí Guldinov prvidl. Tenkou rovnou desku (npr. plech) je možné pokládt z množinu v rovine, n kterém je definován funkce h(x, y) udávjící hustotu v bode (x, y). Pr i výpoc tu te žište desky lze postupovt stejne jko u výpoc tu te žište drátu. Ztím všk není definován integrál pr es množiny v rovine tk je nutné postup rozde lit. Výpoc et hmotnosti je podobný výpoc tu plochy. Ude ljí se r ezy desky kolmé npr. n osu x zjistí se jejich hmotnosti ty se pk,,sec tou". Je-li desk npr. množinou bodu ležících mezi grfy dvou funkcí ({(x, y); x (, b), g(x) y f (x)}) hustot je dán funkcí h(x, y), pk hmotnost M je rovn Z b Z f (x) h(x, y) dy dx. M= g(x) Vnitr ní integrál udává hmotnost r ezu urc eného kolmicí v bode x vne jší integrál je všechny,,sc ítá". Stejným zpu sobem se urc í momenty desky vzhledem k osám x, y: urc í se moment vzhledem k ose x r ezu desky kolmého n osu x tyto momenty se,,sec tou". Dostne se Z b Z f (x) Mx = yh(x, y) dy dx. g(x) podobne se vypoc te My. Pro te žište se tedy získjí vzorce R b R f (x) xh(x, y) dy dx g(x) Tx = R R f (x), b h(x, y) dy dx g(x) 34 R b R f (x) yh(x, y) dy dx g(x) Ty = R R f (x) b h(x, y) dy dx g(x)

35 . Odvodíme dlší prvidlo: Necht je nyní h = 1; pk je hmotnost desky rovn jeho obshu P. Podobne jko u drátu se úprvou vzorce pro Ty dostává Z b 2πTy.P = 2π (f 2 (x) g 2 (x))/2 dx = V kde V je objem rotc ního te les vzniklého rotcí plechu okolo osy x. Podobne jko u plochy rotc ního te les je tedy i objem poc ítán jko by byl zákldní ploch, která rotuje, soustr ede n do te žište to obíhlo kolem osy x. Tomuto vzorci se ne kdy r íká Guldinovo prvidlo pro rotc ní objemy: VE TA. Objem rotc ního te les vytvor eného rotcí rovinné množiny A kolem pr ímky p, neprotínjící množinu A, je rovn násobku obshu množiny A délky kružnice o polome ru rovném vzdálenosti te žište množiny A od p. Ukázk rotc ního te les jejího nrovnání pomocí Guldinov prvidl. SÍLA, PRÁCE Klsický vzorec W = F d vypoc ítává práci W vykonnou pu sobením síly F po dráze délky d (síl pu sobí ve sme ru dráhy). 35

36 Jestliže se velikost síly v jednotlivých bodech dráhy mění, je nutné použít integrci. Necht ve směru osy x působí síl velikosti F (x) v bodě x. Její práce n úseku dx je rovn f(x) dx (n tk mlém úseku lze povžovt sílu z konstntní). Celková práce vykonná n intervlu [, b] působením této síly je tedy b W = F (x) dx. Je-li desk ponořen kolmo do kpliny, působí n mlý dílek dx desky hydrosttická síl hx dx (z jedné strny desky), kde h je hustot kpliny x je vzdálenost dílku od hldiny kpliny. Je-li l(x) délk množiny bodů desky, které jsou všechny vzdálené x od hldiny, je hydrosttická síl působící n tuto množinu rovn hxl(x) dx celková hydrosttická síl působící n jednu strnu desky je tedy b hxl(x) dx, kde, b jsou nejmenší, resp. největší, vzdálenosti bodů desky od hldiny. Mění-li se hustot kpliny s hloubkou, místo h se píše h(x). Podobným způsobem lze používt integrály i v dlších situcích, všude, kde nejsou používné funkce konstntní npř. mění se s čsem. Může to být i výpočet šíření chorob nebo toku finncí pod. 36

37 Příkldy 5: 1. Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí 5π cos(πt) m/sec v čse t. Zjistěte změnu polohy body od t = do t = 1 sec nebo do t = 3/2 sec. Jkou vzdálenost bod urzil z první sekundu? 2. Ukžte, že homogenní tyč má těžiště uprostřed. 3. Njděte těžiště tyče o délce 5m, která má hustotu (1 + x/5) kg/m, kde x je vzdálenost od jednoho zvoleného konce tyče. 4. Njděte těžiště polokružnice o poloměru r. Totéž pro nehomogenní drát tvru polokružnice x = r cos t, y = r sin t, t [, π], s hustotou h(t) = t. 5. Njděte těžiště polokruhu o poloměru r. 6. Njděte těžiště desky omezené křivkmi y 2 = 8x x = 2 s hustotou v bodě (x, y) úměrnou y. 7. Kolik práce se vykoná stlčením pér z 2m n 1,5m, je-li konstnt pér rovn 1? (Použijte Hookeův zákon F = kx, kde F je síl, k je konstnt pér x je příslušná dráh.) 8. Kolik práce je potřeb k vypumpování vody z plné nádrže tvru polokoule o poloměru 3m umístěné vrcholem dolů do výšky 2m nd horní část nádrže? 9. Dvcetilitrovou nádobu těžkou 2kg nplníte vodou vytáhnete n lně (1m ln váží 1kg) do výšky 2m stálou rychlostí 4m/sec. Nádob je děrvá nhoru vytáhnete jen 1l vody. Jkou práci vykonáte? 1. Jký hydrosttický tlk působí n jednu strnu desky tvru lichoběžník ponořenou svisle do vody s horní hrnou 4m pod hldinou? Lichoběžník má spodní strnu dlouhou 8m, horní strnu 6m výšku rovnou 6m. Konec příkldů 5. Cvičení 5: Příkld. Njděte těžiště homogenního drátu ohnutého do tvru půlkružnice. Řešení. Připomeňme, že souřdnice ( x, ȳ) těžiště drátu jsou určeny vzorečkem x = x dm 1 dm, ȳ = y dm 1 dm. Zde dm odpovídá integrci podle hmotnosti, která je při hustotě h odvozen od ds vzorečkem dm = hds. Prmetrický popis drátu zvolíme x = r cos t, y = r sin t. 37

38 Pk x = x dm 1 dm = π r cos t h r dt π h r dt = hr2 [sin t] π hr[t] π =. Podobně ȳ = y dm 1 dm = π r sin t h r dt π h r dt = hr2 [ cos t] π hr[t] π = 2r π. Příkld. Kolik práce je potřeb k vypumpování vody z plné nádrže tvru polokoule o poloměru r = 3 m umístěné vrcholem dolů do výšky h = 2 m nd horní část nádrže? Řešení. Budeme uvžovt pohyb vrstvy vody v hloubce x >. Jde o vrstvu o velikosti π(r 2 x 2 ). Tto vrstv bude putovt po dráze x + h. Potřebná síl bude rovn k π(r 2 x 2 ), kde k je tíh 1 m 3 vody. Práce n vypumpování se bude počítt integrováním "příspěvků" jednotlivých vrstev k π(r 2 x 2 ) (x+h) podle vzorečku "práce=síl x dráh". Tedy celková práce bude vyjádřen integrálem r k π(r 2 x 2 ) (x + h) dx = 225kπ 4. Kždá hloubk přináší svoji informci, kolik práce n ni bude potřeb. Po zintegrování jsme hotovi. Konec cvičení 5. 38