Ohýbaný nosník - napětí

Transkript

1 Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se znčí nebo jenom. Běžněji je možné se setkt s ohbovým momentem v kombinci s posouvjící silou ve směru druhé z hlvních os setrvčnosti, oznčovnou z nebo jenom. tomto přípdě hovoříme o rovinném ohbu. Normálové npětí Ohbový moment způsobuje normálové deformce průřezu normálové npětí. N zákldě Bernoulli- Nvierov hpotéz o zchování rovinnosti průřezů po deformci, se předpokládá lineární rozložení těchto veličin po výšce průřezu. Průběh npětí po průřezu v závislosti n souřdnici z je dán rovnicí z, I kde I z je moment setrvčnosti průřezu je z-ová souřdnice bodu v průřezu je ohbový moment

2 Etrémní normálová npětí Souřdnice z je v čitteli vzorce pro normálové npětí, největší moment je pro největší hodnotu z, ted v krjních vláknech. oment setrvčnosti I je obvkle konstntní pro celý nosník, mimální souřdnice z je obvkle konstntní pro celý nosník. oment je proměnný po délce nosníku. Protože je v čitteli, etrém normálového npětí, bude v místě největšího ohbového momentu. Pokud se nerozlišuje o jký etrém se má jednt th, tlk vznikne tento etrém ve vzdálenějších vláknech od těžiště v místě největšího ohbového momentu v bsolutní hodnotě. Pokud se hledá npříkld největší thová npětí průřez je nesmetrický, je třeb srovnt npětí v horních vláknech v místě největšího záporného momentu s npětím v dolních krjních vláknech v místě největšího kldného momentu. Obdobnou úvhu je třeb provést pro největší tlková npětí. Smková npětí v msivním průřezu U msivních průřezů se obvkle zbýváme jenom npětím ve směru posouvjící síl, ted npětím z. e směru kolmém předpokládáme konstntní rozdělení tohoto npětí. elikost smkového npětí se určí ze vzthu zs z, I b kde z S I b je posouvjící síl je sttický moment ploch dolní části průřezu odříznuté mšleným řezem je moment setrvčnosti průřezu je šířk průřezu v místě v místě řezu Průběh smkových npětí po msivním průřezu oment setrvčnosti I konstntní pro kždý řez n průřezu obvkle i po délce nosníku. z je konstntní pro dný průřez S b se mění po výšce průřezu. Pro krjní vlákn je sttický moment ploch S nulový ted i smková npětí jsou v krjních vláknech nulová. Pro obdélníkové části je šířk b konstntní. Sttický moment odříznuté části je prbolou druhého stupně, neboť je součinem lineárně měnícího se ploch lineárně měnícího se rmene po výšce. Z toho plne, že i průběh smkových npětí bude po výšce částí průřezu prbolou. Etrémní npětí nstává v místě mimálního sttického momentu ploch S, ted v těžišti celého průřezu, popřípdě n rozhrní různých šířek průřezu v užší části.

3 Smková npětí v tenkostěnném průřezu Pro tenkostěnné průřez se uvžuje konstntní rozložení smkového npětí po tloušťce jednotlivých částí průřezu. Směr npětí odpovídá směru os jednotlivých částí zs, I t kde z S je posouvjící síl je sttický moment ploch dolní části průřezu odříznuté mšleným řezem vedeným ve směru tloušťk dné části I je moment setrvčnosti průřezu t je tloušťk části v místě řezu Průběh smkových npětí po tenkostěnném průřezu oment setrvčnosti I konstntní pro kždý řez n průřezu obvkle i po délce nosníku. z je konstntní pro dný průřez. Tloušťk t je obvkle konstntní pro kždou část průřezu. Sttický moment odříznuté části S se mění se změnou poloh řezu. Pro krjní vlákn je sttický moment ploch S nulový ted i smková npětí jsou v krjních vláknech nulová. Pro obdélníkové části je šířk t konstntní. Pro svislé obdélníkové části je sttický moment odříznuté části prbolou druhého stupně, neboť je součinem lineárně měnícího se ploch lineárně měnícího se rmene. Pro vodorovné obdélníkové části je sttický moment odříznuté části lineární, neboť je součinem lineárně měnící se ploch konstntního rmene. Z toho plne, že i průběh smkových npětí bude ve svislém směru prbolou ve vodorovném směru lineární. Etrémní npětí nstává v místě mimálního sttického momentu ploch S, ted v těžišti celého průřezu, popřípdě n rozhrní různých tloušťek průřezu v užší části. Průhb nosníku - integrce ohbové čár Ztížení se vjádří jko funkce souřdnice : =f. Postupně se integruje pomocí sttických, fzikálních geometrických podmínek pro ohb prutu. d

4 d d d Při integrci vznikjí integrční konstnt - celkem 4. Získjí se z okrjových podmínek známé hodnot funkcí,, pro kždou podporu. POZN.: přípdě sttick určitých nosníků konstnt je možno určit při integrci prvních dvou sttických podmínek. Čsto je místo prvních dvou kroků možno vřešit průběh momentů obvklým způsobem pk určit jeho funkci z digrmu. přípdě sttick neurčitých nosníků je nutno určit všechn konstnt ž při integrci geometrických podmínek. Složitější přípd Pokud nejsou ztížení nebo tuhost nosníku po celé délce nosníku popsán hldkou křivkou, je třeb nosník rozdělit n úsek, kde je toto splněno. kždém úseku se určí funkce ohbového momentu. Dvojnou integrcí se získá rovnice pootočení průhbu. d d Při integrci v kždém úseku vzniknou dvě integrční konstnt. K dispozici k jejich určení jsou kromě celkem dvou podmínek v podporách nosníku ještě dvě podmínk n kždém rozhrní úseků. Tto podmínk zjišťují spojitost pootočení průhbu i i i 1 i, i i i1 i kde i je souřdnice konce i-tého úseku. Průhb nosníku - Clebschov metod etod vužívá vzthů používných při integrci ohbové čár. Při postupu se všk užijí některá jiná prvidl: Ohbový moment zčneme vjdřovt z levé strn nosníku. Změn ztížení ztížení není v tomto místě popsáno hldkou křivkou zčíná nový úsek, který se v rovnici oddělí svislou črou. tomto úseku pltí celá předchozí část rovnice přidá se vliv nového ztížení. liv spojitého ztížení, které v dném úseku už nepokrčuje, je třeb od následujícího úseku odebrt tím, že se přidá opčné ztížení. dném úseku se prcuje s lokálními souřdnicemi tohoto úseku, které se vjádří pomocí vzthu i, kde i je souřdnice zčátku úseku. Při integrci je nutné prcovt s celým výrzem v závorce jko s nezávislou proměnnou závorku neroznásobovt. Pokud integrujeme osmělý moment, příslušná proměnná je závork odpovídjící úseku, ve kterém se moment nchází. Integrční konstnt vznikjící při integrci, jsou pltné pro celou rovnici. Je ted vhodné je přidt do prvního úseku, jehož rovnice pltí pro celý nosník.

5 Npř. pro nosník n obrázku se npíše rovnice ohbového momentu: F A Průhb nosníku ohrov metod Při integrci ohbové čár řešíme 4 diferenciální rovnice. Sttické podmínk: Geometrické podmínk: Po zvedení substituce: ůžeme geometrické podmínk zpst ve tvru Tto podmínk jsou obdobné podmínkám sttickým. Je možné je řešit stejným způsobem, jko postupujeme při řešení průběhů vnitřních sil ted počítt hodnot vnitřních sil z podmínek rovnováh n části nosníku. Problémem jsou pouze okrjové podmínk n tomto fiktivním nosníku ztíženým. Pokud chceme prcovt s pootočením jko s posouvjící silou s průhbem jko s momentem, musíme n fiktivním nosníku zjistit, b podepření vjdřovlo tkové okrjové podmínk pro posouvjící síl moment, jké jsou pltné n skutečném nosníku pro pootočení průhb. Následující tbulk znázorňuje, jk je třeb uprvit okrjové podmínk n fiktivním nosníku, b toto blo zjištěno. Pokud je tuhost nosníku konstntní, můžeme ještě provést následující úprvu:

6 tomto přípdě mjí veličin jiný fzikální význm jiné jednotk. Diferenciální geometrické podmínk zůstnou nezměněn:. Obr.: Okrjové podmínk n skutečném fiktivním nosníku.