Příklady k přednášce 26 Nelineární systémy a řízení

Transkript

1 Příklady k přednášce 6 Nelineární systémy a řízení Michael Šebek Automatické řízení

2 Příklad: Nelineární stabilizace integrátoru Porovnejte lineární stabilizaci integrátoru = u } = x u = x s nelineární stabilizací = u x ( ) ( sign x) x u sign x x = = typu spojitý deadbeat Vhodná Lyapunovova funkce je V( x) = x V ( x) = x sign x x < 0 x 0 ( ) IntegratorNonlinear.mdl x x u u Michael Šebek PR-ARI-6-01

3 Příklad: Nelineární stabilizace integrátoru Jiná nelineární stabilizace je IntegratorNonlinear_JF.mdl u = u = = x 3 3 x x Michael Šebek PR-ARI

4 DC motor s omezením - odezva na rampu, sinus a součet rampa+sinus nefunguje superpozice ne-věrnost frekvence hůř sleduje Příklad: Nelineární systém s lineární ZV reference vystup po saturaci před saturací Michael Šebek PR-ARI

5 Příklad: Únik v konečném čase Jak rychle uteče nelineární systém do nekonečna? Až v nekonečném čase! Nelineární systém může utéct v čase konečném: rovnice = x s počátečním stavem má hyperbolické řešení 1 xt () = 1 t x (0) = 1 Michael Šebek PR-ARI

6 Příklad: Více izolovaných ekvilibrií Systém je v ekvilibriu, když jsou všechny stavové proměnné konstantní ekvilibrium je dáno konstantními vektory takovými, že e e = f( x, u ) = 0 e e e z této rovnice ho vypočteme, nejčastěji pro LTI má většinou jediný ustálený stav v nule x, u (výjimečně podprostor ustálených stavů pro A singulární) Nelineární systém může mít více izolovaných ekvilibrií = sin( x) 0 = sin( x ) e u e = 0 x = kπ, k = 0, ± 1, e Michael Šebek PR-ARI

7 Srovnání: Lineární a nelineární oscilátor Lineární oscilátor x+ x= 0 může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale oscilace jsou nestabilní (póly jsou na mezi stability) a jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách Nelineární oscilátor x+ x+ 3( x 1) = 0 jen nelineární systém může mít stabilní oscilace s pevnou amplitudou a frekvencí nezávisle na poč. stavu, tzv. limitní cykly např. van der Polova rovnice (model stahů srdce, nerv. pulsů, stahů svalů v jícnu a střevech, další známé oscilátory: Raleigh: klarinet, housle, Voltera: populace Michael Šebek PR-ARI

8 Příklad: Špatné vlastnosti lineárního oscilátor LTI může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách x+ x= 0 >> sys=ss(1/(s^+1));initial(sys,[1,0],0), hold >>initial(sys,[,0],0),initial(sys,[.5,0],0) a oscilace jsou nestabilní (póly na mezi stability) Uvažme perturbovaný oscilátor x+ ε + (1 + ε ) x= ε 4+ 4ε 1 0 ε1 λ1, = ± i ε < 4+ 4ε 1 0 >> eps1=0;eps0=1;sys=ss(1/(s^+eps1*s+1+eps0)); >> initial(sys,[1,0],30),hold >> eps1=0.1;eps0=1; // atd. Michael Šebek PR-ARI

9 Co ještě může nastat u nelineárních systémů? řešení neexistuje: Např. rovnice, kde 1 x 0 = sign( x), x(0) = 0 sign( x) = 1 x < 0 nemá žádné řešení (= žádná spojitě dif. fce ji nesplňuje), i když není zas tak nesmyslná: je to zjednodušený model termostatu řešení není jednoznačné: Např. rovnice = x x = 3 3, (0) 0 je řešitelná každou funkcí s libovolným a bifurkace (kvalitativní rysy se mění se změnou parametrů) synchronizace (vázané oscilátory se synchronizují) složité dynamické chování (turbulence, chaos, ) x a 3 ( t a) t a = 0 t < a Michael Šebek PR-ARI

10 Příklad: Fázový portrét tlumeného kyvadla Pohybová rovnice v tečném směru ml ϕ = mg sinϕ kl ϕ x = ϕ, x = ϕ Pro stavové proměnné dostaneme nelineární stavový model 1 = x k g = x sin( x1) m l 1 demoph Fázový portrét je na obr. Vidíme např. stabilní a nestabilní ekvilibria Michael Šebek PR-ARI

11 Příklad: Jiný portrét netlumeného kyvadla mgl 1 g 1 θ = sinθ + Mkot θ = sinθ + J J l ml M kot J = ml θ l r Fg = mg M kot Michael Šebek PR-ARI

12 Příklad: vliv saturace v aktuátoru Řízení motoru otáčejícím anténou se saturací v aktuátoru = výkonovém zesilovači Zesilovač má zesílení 1, ale také saturaci ± 5 V úhlová rychlost antény v rad/s bez saturace se saturací Efekt saturace v zesilovači je podle očekávání: saturace pouze zmenší skokový signál na vstupu a tomu odpovídá výstup Michael Šebek PR-ARI

13 Příklad: Vliv pásma necitlivosti pásmo necitlivosti dead zone na výstupní hřídeli vstupní signály v pásmu od - V do + V nemají efekt na výstup (neotočí hřídelí) úhlová výchylka antény v rad bez dead zone s dead zone dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu hřídel reaguje teprve až vstupní signál překročí práh necitlivosti výsledkem je menší amplituda Michael Šebek PR-ARI

14 Příklad: Vliv mrtvého chodu mrtvý chod - backlash vůle v ložiscích šířka pásma necitlivosti 0.15 úhlová výchylka antény v rad s backlash bez backlash dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu po změně směru rotace motoru zůstane výstupní hřídel na chvilku v klidu dokud ložiska nezaberou opačně Michael Šebek PR-ARI

15 Příklad: Hammersteinův model lidského svalu Lýtkové svaly: triceps surae = Gastrocnemius + Soleus Jejich reakci na elektrickou stimulaci popisuje Hammersteinův empirický model: statická nelinearita + lineární dynamika z experimentální impulsní charakteristiky odvodíme tvar nelinearity sval 1-1 a potom ji vyrušíme f f B ( ) r r m z 1 Am ( z ) umělou inverzí a z výsledkem je lineární systém Např. řízení momentu pro stabilizaci postoje paraplegika mt () Michael Šebek PR-ARI

16 Podivný příklad stability Může být ekvilibrium stabilní asymptoticky, ale ne Lyapunovsky? Uvažme systém s ekvilibriem (0,0) fázový portrét = x x = xx pro x (0) = 0 má řešení x1 (0) x1 () t = 1 tx1 (0) x() t = 0 speciálně pro x1(0) = 1, x(0) = 0 má řešení 1 x1 () t = 1 t x () t = 0 modré trajektorie konvergují k 0 a co zelená? také tato trajektorie asymptoticky konverguje k ekvilibriu, ale podivně: přes v čase t =1 x x 1 x () t 1 t Michael Šebek PR-ARI

17 Kdy je lineární systém Lyapunovsky stabilní? Zvláštním případem nelineárního systému je systém lineární: U lineárního systému je stabilita ekvilibria globální = stabilitě systému U lineárního systému asymptotická stabilita implikuje Lyapunovskou Kdy ještě je lineární systém Lyapunovsky stabilní? (není-li asymptoticky) Role vlastních čísel na mezi stability: Jednonásobná vlastní čísla na mezi neporuší Lyapunovskou stabilitu Ale co vícenásobná? Neporuší ji taková vícenásobné vl. č. na mezi, pro která platí, že násobnost vl. č. = počet jeho lineárně nezávislých vlastních vektorů Alternativně: násobnost vl. č. = počet jeho Jordanových bloků Paralelní spojení 0 0 integrátorů je A = 0 0 Lyapunovsky stabilní Kaskáda integrátorů není Lyapunovsky stabilní = Ax 0 1 A = 0 0 Michael Šebek PR-ARI

18 Příklad: Stabilní a nestabilní ekvilibrium stabilní 3 Uvažme dva nelineární systémy: x= x a = x oba mají ekvilibrium v počátku a oba mají v jeho okolí x = 0 0 nestabilní stejnou linearizaci x = 0 tj. A = 0, která má pól v s = 0 všechny pp. jdou k 0» syms x0» sol=dsolve('dx=-x^3','x(0)=x0') sol = [ -1/(*t+1/x0^)^(1/)] [ 1/(*t+1/x0^)^(1/)] odmocnina z hyperboly posunuté do 1 x 0 znaménko podle znaménka počáteční podmínky jen kladné pp. jdou k 0» sol=dsolve('dx=-x^','x(0)=x0') sol = 1/(t+1/x0)» sol=dsolve('dx=-x^','x(0)=-1') sol = 1/(t-1) hyperbola posunutá do 1 x 0 tj. pro x < druhá větev! 0 0 Pozor: lim v nehraje roli Michael Šebek PR-ARI

19 Jak zkoumat stabilitu - motivace Určeme stabilitu ekvilibria v počátku pro systém. řádu zkoumáním vzdálenosti jeho řešení od počátku d () t = x1() t + x() t sledujme její změnu jako funkce času podél tohoto řešení Nejprve 3 1 = x x1 3 pro systém je = x1 x d ( x1() t + x() t ) dt = x11 + x dosazením rovnic systému dostaneme ( 1 ) 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 + ) d x () t + x () t dt = x x x + x x x = x x 0 t dokud nejsou x 1 a x současně 0, čtverec vzdálenosti klesá k 0 a řešení blíží k nule ekvilibrium je lokálně asymptoticky stabilní Naopak 3 1 = x + x1 3 pro systém je = x1+ x 3 3 d( x1() t + x() t ) dt = x1( x + x1 ) + x( x1+ x 1 = x ) 4 4 = x1 = ( x1 + x) 0 t tedy vzdálenost roste bez omezení ekvilibrium je nestabilní Mimochodem: Oba systémy mají stejnou linearizaci s vlastními čísly ± j stabilitu z ní nepoznáme. Michael Šebek PR-ARI

20 Polohová ZV, Fe5 Ex 9.16, s. 695 ZV od polohy + nelinearita v aktuátoru (saturace apod.) Příklad: Lyapunova funkce r e u y 1 s nelinearita statická nelinearita s grafem procházejícím 1. a 3. kvadrantem a s rovnicí u = f() e takovou, že e f () e de > 0 a f() e = 0 e= 0 0 celkový systém je popsán rovnicemi e = x, = x T + f() e T, T > 0 Zkusme Lyapunovovu funkci ve tvaru potenciální + kinetická energie T e V = x + f( σ) dσ 0 Zřejmě je V = 0 x = e= 0 a Zbývá ověřit 3. podmínku V > 0 x + e 0 Michael Šebek PR-ARI Ts

21 vypočteme derivaci dle trajektorie zřejmě platí V 0 takže počátek je Lyapunovsky stabilní ekvilibrium Dále je zřejmě V vždy klesající pro x 0 a k tomu ještě žádná trajektorie kromě nemá počátek je dokonce globálně asymptoticky stabilní a celý systém je asymptoticky stabilní Příklad - pokračování Zopakujme, že nelinearita musí splňovat tyto podmínky: Simulace: 1 f() e V = Tx + f () e e = Tx x + + f () e x = x T T ( ) x = 0 0 V( x ) = 0 e f () e de > 0 f() e = 0 e= 0 Michael Šebek PR-ARI

22 Příklad: Lyapunova fce pro lineární systém Speciálně pro LTI = Ax Najdeme vždy Lyapunovovu funkci ve tvaru kvadratické formy T Uvažme V = x Px, P je reálná symetrická matice Derivace podle trajektorie ( ) T T T T T T T V = x Px + x Px = x A Px + x PAx = x A P + PA x T Položíme A P + PA = Q, což je tzv. Lyapunova maticová rovnice a dostaneme T V = x Qx Prakticky: Volíme positivně definitní Q, vypočteme P a určíme její definitnost Je-li P pozitivně definitní, pak je systém asymptoticky stabilní Není-li, pak je systém nestabilní Michael Šebek PR-ARI-6-01

23 Příklad: příprava na kruhové kritérium někdy ZV nelineární systém překreslujme do struktury s nelinearitou ve zpětné vazbě rs () Fs () Gs () Fsrs ()() Fs () Gs () 0 F() sgs () Fsrs ()() Michael Šebek PR-ARI

24 Příklad: Kruhové kritérium Systém s přenosem Ls () = má Nyquistův graf, který leží napravo od svislé přímky v -0.8 tomu odpovídá kruh s k 1 = 0 a k = 1/0.8 = 1.5 systém je tedy stabilní s nelinearitou typu saturace či dead-zone kde směrnice lineární části < 1.5 jiné vhodné kruhy jsou 1 ss ( + 1)( s+ ) mezi -.5 a -0.5, tj. k 1 = 0.4 a k = mezi -0.5 a -0.3, tj. k 1 = a k = Michael Šebek PR-ARI

25 Příklad statické nelinearity: vliv saturace v aktuátoru Řízení motoru otáčejícím anténou se saturací v aktuátoru = výkonovém zesilovači Zesilovač má zesílení 1, ale také saturaci ± 5 V úhlová rychlost antény v rad/s bez saturace se saturací Efekt saturace v zesilovači je podle očekávání: saturace pouze zmenší skokový signál na vstupu a tomu odpovídá výstup Michael Šebek PR-ARI

26 Příklad statické nelinearity: Vliv pásma necitlivosti pásmo necitlivosti dead zone na výstupní hřídeli vstupní signály v pásmu od - V do + V nemají efekt na výstup (neotočí hřídelí) úhlová výchylka antény v rad bez dead zone s dead zone dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu hřídel reaguje teprve až vstupní signál překročí práh necitlivosti výsledkem je menší amplituda Michael Šebek PR-ARI

27 mrtvý chod - backlash vůle v ložiscích šířka pásma necitlivosti 0.15 Příklad statické nelinearity: Vliv mrtvého chodu úhlová výchylka antény v rad s backlash bez backlash dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu po změně směru rotace motoru zůstane výstupní hřídel na chvilku v klidu dokud ložiska nezaberou opačně Michael Šebek PR-ARI

28 Další čtení a hraní Různé nelineární modely v Simulinku Aplet kreslící fázové portréty Kyvadlo na Wikipedii Hezká a čtivá (odborná) kniha o nelineárních systémech a chaosu - na Amazonu Složitější matematické knihy, ale ty jsou spíš až pro magisterský kurz NES, nebo doktorské kurzy Michael Šebek ARI-Pr