Další servery s elektronickým obsahem

Transkript

1

2 Právní upozornění Všechna práva vyhrazena Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno Používání elektronické verze knihy je umožněno jen osobě, která ji legálně nabyla v rozsahu stanoveném autorským zákonem Elektronická kniha je datový soubor, který lze užívat pouze v takové formě, v jaké jej lze stáhnout z portálu Jakékoliv neoprávněné užití elektronické knihy nebo její části, spočívající např v kopírování, úpravách, prodeji, pronajímání, půjčování, sdělování veřejnosti nebo jakémkoliv druhu obchodování nebo neobchodního šíření je zakázáno! Zejména je zakázána jakákoliv konverze datového souboru nebo extrakce části nebo celého textu, umisťování textu na servery, ze kterých je možno tento soubor dále stahovat, přitom není rozhodující, kdo takového sdílení umožnil Je zakázáno sdělování údajů o uživatelském účtu jiným osobám, zasahování do technických prostředků, které chrání elektronickou knihu, případně omezují rozsah jejího užití Uživatel také není oprávněn jakkoliv testovat, dekompilovat, zkoušet či obcházet technické zabezpečení elektronické knihy Děkujeme že elektronické knihy nelegálně nešíříte Podporujete tak vznik dalších elektronických titulů Kopírování zabíjí elektronické knihy! (c) Computer Media sro Všechna práva vyhrazena wwwcomputermediacz info@computermediacz Další servery s elektronickým obsahem v i d e o p r í r u c k y c z

3 Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1 díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R wwwcomputermediacz

4 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Deskriptivní geometrie Mongeovo promítání, 1 díl Mgr Ivona Spurná Jazyková úprava: PhDr Dagmar Procházková Návrh vnitřního layoutu: Pavel Navrátil Zlom a sazba: Jan Paroulek Návrh obálky: Ing Michal Jiříček Interní verze: 10 Computer Media sro Vydání první, 2010 Všechna práva vyhrazena ISBN: Žádná část této publikace nesmí být publikována a šířena žádným způsobem a v žádné podobě bez písemného svolení vydavatele Computer Media, sro Hrubčická Kralice na Hané Telefon: Fax: info@computermediacz WWW: Zajímá nás Váš názor! Líbí se Vám tato učebnice? Co v ní postrádáte? Své tipy, postřehy a názory pište na adresu: info@computermediacz Děkujeme Vám Nakladatelství a vydavatelství wwwcomputermediacz R Partnerským serverem této knihy je wwwiskolacz i školacz Vaše elektronická škola 2

5 Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1 díl Úvod Gaspard Monge Souřadný systém, zobrazení bodu Zobrazení přímky Stopníky obecné přímky Sklopení přímky Zobrazení roviny Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny Obrazce v rovině Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin Průsečík přímky s rovinou Průnik rovinných obrazců Kolmost přímky a roviny Otočení roviny do průmětny, osová afinita 2 díl Zobrazení hranolu Řez hranolu Síť hranolu Průsečík přímky s hranolem Zobrazení jehlanu Středová kolineace a řez jehlanu Síť jehlanu Průsečík přímky s jehlanem Kuželosečky Zobrazení válce Řez válce Síť válce Průnik přímky s válcem Zobrazení kuželu Řez kuželu Síť kuželu Průsečíky přímky s kuželem Koule zobrazení, řez, průnik s přímkou Průnik těles 3

6 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Obsah 1 dílu 1 Úvod 8 Gaspard Monge 8 Pravoúhlé promítání na dvě průmětny 9 2 Souřadný systém, zobrazení bodu 12 Souřadný systém 12 Zobrazení bodu 12 Kvadranty 13 Příklad zobrazení bodů 14 Cvičení zobrazení bodů, kvadranty 15 3 Zobrazení přímky 16 Zobrazení přímky dané dvěma body 16 Přímka rovnoběžná s jinou přímkou 17 Přímka rovnoběžná s průmětnou 18 Přímka kolmá na průmětnu 20 Příklad přímka rovnoběžná s nárysnou 21 Cvičení zobrazení přímky 22 4 Stopníky obecné přímky 23 Příklad stopníky přímky 24 Příklad stopníky přímky 25 Stopníky přímky rovnoběžné s nárysnou 26 Stopníky přímky rovnoběžné s půdorysnou 26 Stopníky přímky rovnoběžné s oběma průmětnami 27 Stopníky přímky kolmé k nárysně 27 Stopníky přímky kolmé k půdorysně 28 Cvičení stopníky přímky 28 Zobrazení přímky kolmé k základnici 29 5 Sklopení přímky 30 Stopníky přímky kolmé k základnici 31 Skutečná velikost úsečky 32 Sklopení úsečky do půdorysny skutečná velikost 33 Sklopení do nárysny 33 Cvičení skutečná velikost úsečky 34 6 Zobrazení roviny 35 Stopy roviny 35 Zadání roviny souřadnicemi 35 Rovina ve speciálních polohách 37 Rovina zadaná dvojicí přímek 40 Rovina zadaná přímkou a bodem 41 Rovina zadaná trojicí bodů 41 Cvičení rovina 42 7 Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny 43 Hlavní přímky roviny 43 Vyhledání chybějícího průmětu bodu v rovině 44 4

7 Obsah Cvičení hlavní přímky roviny 46 Spádová přímka roviny 46 Odchylka roviny od průmětny 47 Příklad hlavní a spádové přímky roviny 48 Příklad rovina zadaná spádovou přímkou 50 Příklad odchylka roviny od průmětny 50 Cvičení rovina 53 8 Obrazce v rovině 54 Příklad nalezení chybějícího nárysu obrazce v rovině 54 Příklad nalezení chybějícího půdorysu obrazce v rovině 56 Příklad chybějící průměty bodů obrazce v rovině 58 Cvičení obrazce v rovině 60 9 Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin 61 Průsečnice různoběžných rovin 61 Průsečnice rovin speciální případy 62 Cvičení průsečnice rovin Průsečík přímky s rovinou 65 Sestrojení průsečíku přímky s rovinou 66 Průsečík přímky s rovinou ve zvláštní poloze 68 Cvičení průsečík přímky s rovinou Průnik rovinných obrazců 71 Sestrojení průniku dvou rovinných obrazců 74 Příklad sestrojení průniku rovinných obrazců krycí přímka 78 Cvičení průnik rovinných obrazců Kolmost přímky a roviny 84 Přímka kolmá k rovině 84 Příklad přímka kolmá k rovině 84 Rovina kolmá k přímce 84 Příklad rovina kolmá k přímce 86 Cvičení kolmost přímky a roviny Otočení roviny do průmětny, osová afinita 88 Osová afinita 88 Příklad osová afinita 88 Otočení bodu roviny (do půdorysny) 89 Příklad skutečná velikost obrazce 91 Příklad otočení roviny kolmé k nárysně 91 Příklad sestrojení obrazce zadaného tvaru 92 Příklad sestrojení pravidelného pětiúhelníka 98 Cvičení otočení roviny a afinita 99 5

8 Deskriptivní geometrie 1 ÚVOD Díl 1 Mongeovo promítání Gaspard Monge Narodil se 10 května 1746 ve Francii v městě Beaune Pocházel z prosté rodiny, která podporovala vzdělání svých dětí Studoval nejprve na škole v Beaune, později v Lyonu Tam se již ve svých šestnácti letech stal učitelem fyziky Během prázdnin sám sestavil plán svého rodného města s využitím vlastních pomůcek Na základě této své aktivity byl jistým plukovníkem armády doporučen do vojenské školy v Mézières Vyučovala se zde mimo jiné algebra, geometrie, modelování a kreslení Díky své vynalézavosti, talentu a šikovnosti se časem dostal z nižší praktické školy do školy určené studentům ze šlechtických kruhů Vymyslel vlastní způsob jak efektivně za pomoci geometrie řešit obtížné úlohy vztahující se k opevňovacím pracím Díky tomuto počinu se v pouhých dvaadvaceti letech stal učitelem matematiky a vzdělával ženijní důstojníky A to byl jen počátek jeho vědecké kariéry Vyvinul novou metodu jak zobrazit prostorové útvary do roviny a nazval ji géométrie descriptive Jeho výsledky jsou stále živé i po dvou stech letech Protože Mongeova metoda dávala Francii velký strategický náskok, nesměl o ní celých patnáct let nic veřejně publikovat Veřejně přednášet o této problematice mohl až po revoluci v roce 1794 V jeho životě se událo mnohé, například podporoval revoluci v roce 1789, přátelil se s Napoleonem, na jehož doporučení byl vyslán do Říma a Egypta Tam se jako člen vědeckého týmu účastnil zkoumání egyptských památek Zemřel 28 července 1818 v Paříži, dožil se 72 let Pro nás je dnes Monge živý hlavně díky své zobrazovací metodě, jejíž základy si v této knize představíme Tato kniha vám, milí čtenáři, má posloužit jako dobrý průvodce problematikou Mongeovy deskriptivní geometrie Najdete zde jednotlivé stavební kameny i složitější úlohy vycházející ze základních úloh Vřele vám doporučuji nepouštět se dál, dokud nezažijete a dobře nepochopíte jednotlivé základní úlohy Pokud některé časem pustíte z hlavy, vraťte se k nim Nelze jít dál a myslet si, že se časem tyto informace samy objeví Spíše se ztratíte a vaše studium se stane naprosto neefektivním U složitějších příkladů jsou jednotlivé fáze rozkresleny do více obrázků Pro lepší přehlednost jsou v následujících obrázcích smazány některé přebytečné konstrukční čáry předchozích fází, aby bylo zřejmé, které čáry se právě použily Vy ale, pokud odevzdáváte výkresy svým učitelům, konstrukční čáry ze svých obrázků samozřejmě nevypouštějte Šťastné studium vám přeje autorka 6

9 1 Úvod Pravoúhlé promítání na dvě průmětny A Obr 1-1 Princip této zobrazovací metody spočívá v tom, že se bod v prostoru promítne pod pravým úhlem do vodorovné průmětny tzv půdorysny, a pod pravým úhlem do svislé průmětny tzv nárysny Obě průmětny roviny, do nichž se bod promítá jsou vzájemně kolmé (obr 1-1) První průmět bodu do půdorysny se nazývá půdorys bodu a značí se dolním indexem 1, druhý průmět bodu do nárysny se nazývá nárys bodu a značí se dolním indexem 2 A nárysna x=x 1,2 Obr 1-2 Aby se oba průměty bodu nárys i půdorys mohly nakreslit na jednu společnou rovnou plochu, je potřeba jednu průmětnu otočit do druhé okolo jejich společné přímky průsečnice x Půdorysna se sklopí otočí se o 90 do nárysny okolo přímky x průsečnice obou průměten Sklopení jedné průmětny do druhé se nazývá sdružení průměten (obr 1-2) Přímka x se nazývá základnice Přímka x má také své dva průměty nárys a půdorys Splývají spolu s původní přímkou a tento splývající půdorysný a nárysný průmět přímky x se značí x 1,2 Jestliže původním bodem, jeho půdorysem a nárysem v prostoru proložíte rovinu tzv promítací rovinu, je tato rovina kolmá na nárysnu i půdorysnu Průsečnice promítací roviny a nárysny je kolmá na základnici x a také průsečnice promítací roviny a půdorysny je kolmá na základnici x Po sklopení půdorysny do nárysny obě kolmé průsečnice promítací roviny a půdorysny, resp nárysny, splynou v jednu přímku kolmou na základnici x 7

10 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Půdorys i nárys bodu pak leží na kolmici k základnici x Tato kolmá přímka se nazývá ordinála Průmětům bodu A a se říká sdružené průměty (obr 1-3) Podívejte se na obrázek (obr 1-3) a zkuste říci, jak vysoko je bod A nad půdorysnou V prostoru je to snadné V levé části obrázku v prostorovém zobrazení je vidět, že tato vzdálenost je rovna vzdálenosti bodu A a jeho půdorysného průmětu (před sklopením půdorysny) Když tuto informaci přeneseme do obrázku vpravo, kde je již vidět nárys i půdorys situace v jedné rovině, je zřejmé, že tato vzdálenost je také rovna vzdálenosti nárysu bodu od základnice x 1,2 Podobně lze z prostorového obrázku vlevo odvodit, že vzdálenost bodu A od nárysny je rovna vzdálenosti bodu A a jeho nárysného průmětu Převeďte situaci v prostoru do roviny, kdy se půdorysna sklopila do nárysny V pravé části obrázku je tato situace nakreslena Vzdálenost půdorysu bodu od základnice x 1,2 je rovna vzdálenosti původního bodu A od nárysny A x 1,2 x=x 1,2 Obr 1-3 Naučte se na situaci v prostoru dívat dvěma způsoby Když se díváte shora, dostáváte půdorysný pohled Díváte-li se na situaci zepředu kolmo k nárysně, dostáváte nárysný pohled (obr 1-4) x=x 1,2 A A1 Obr 1-4 8

11 8 Obrazce v rovině 0 h 2 N 2 B 1 h 1 N 1 x 1,2 D 1 E 1 Obr 8-2 D 2 C 2 B 2 E 2 0 h 2 N 2 B 1 h 1 N 1 x 1,2 D 1 E 1 Obr

12 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Příklad nalezení chybějícího půdorysu obrazce v rovině V rovině β( 8; 8; 6) leží trojúhelník ABC A[ 6;?; 1], B[0;?; 4], C[1;?; 1] Najděte půdorys bodů A, B, C a sestrojte půdorys trojúhelníku Řešení: Narýsujte rovinu β Sestrojte nárysy bodů A, B a C Spojením těchto nárysů dostanete nárys trojúhelníku (obr 8-4) B 2 0 C 2 x 1,2 Obr 8-4 Nárysy jednotlivých bodů A, B a C veďte nějakou přímku roviny a na jejím půdorysu a ordinále vedené daným bodem najděte půdorysy bodů Na obr 8-5 byly zvoleny hlavní přímky první osnovy h, jejichž nárys je rovnoběžný se základnicí x 1,2 β V průsečíku h 2 a nárysné stopy leží nárys nárysného stopníku N 2 dané hlavní přímky, jeho půdorys N 1 najdete na ordinále vedené bodem N 2 a základnici x 1,2 Bodem N 1 vedete půdorys hlavní přímky h 1 rovnoběžně s půdorysnou stopou β Na půdorysu hlavní přímky h 1 a ordinále vedené bodem trojúhelníku najdete půdorys tohoto bodu Všimněte si, že body A a C mají stejnou z-ovou souřadnici, tudíž leží na stejné hlavní přímce Proto pro nalezení půdorysů bodů A a C stačí nárysy bodů A a C vést jen jednu hlavní přímku (obr 8-5) Spojením půdorysů bodů, B 1 a dostanete hledaný půdorys trojúhelníka ABC (obr 8-6) 54

13 8 Obrazce v rovině N 2 h 2 B 2 0 C 2 N 1 h 1 x 1,2 B 1 Obr 8-5 N 2 h 2 B 2 0 C 2 N 1 h 1 x 1,2 B 1 Obr

14 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Příklad chybějící průměty bodů obrazce v rovině V rovině β( 8; 8; 6) leží šestiúhelník ABCDEF Body A F jsou dány buď svým půdorysem, nebo nárysem Dohledejte chybějící průměty a sestrojte půdorys a nárys šestiúhelníka A[-6; 1;?], B[-4; 2;?], C[-3;?; 2], D[-2; 1;?], E[-2,5; 0;?], F[-5;?; 4] Řešení: Narýsujte rovinu β Sestrojte příslušné průměty bodů A, B, C, D, E, F (obr 8-7) F 2 C 2 E 1 0 B 1 D 1 x 1,2 Obr 8-7 F 2 E 2 F 1 D 2 C 2 B 2 E 1 0 x 1,2 D 1 B 1 Obr

15 8 Obrazce v rovině Najděte pomocí hlavních (nebo jiných) přímek chybějící průměty bodů Na obrázku (obr 8-8) jsou využity hlavní přímky první osnovy Body, B 1 a D 1 veďte půdorys hlavních přímek první osnovy rovnoběžně s půdorysnou stopou roviny Najděte pomocí nárysných stopníků přímek nárysy těchto hlavních přímek budou rovnoběžné se základnicí x 1,2 Na nich a na ordinálách vedených body, B 1 a D 1 najdete nárysy bodů, B 2 a D 2 Bod E má nulovou y-ovou souřadnici, což znamená, že tento bod leží přímo v nárysně Proto jeho nárys najdete přímo na nárysné stopě roviny a na ordinále vedené bodem E 1 Bod C je dán svým nárysem, nemá žádnou zvláštní polohu, takže pro nalezení jeho půdorysu využijte opět hlavní přímku první osnovy, která je v nárysu rovnoběžná se základnicí x 1,2 Za zmínku stojí bod F, který je dán také svým nárysem, ale nárys tohoto bodu leží nad nárysnou stopou roviny (obr 8-9) Pro nalezení jeho půdorysu postupujte standardním způsobem Nárysem bodu F F 2 veďte nárys hlavní přímky první osnovy rovnoběžně se základnicí x 1,2 V průsečíku nárysu této přímky a nárysné stopy roviny leží nárys nárysného stopníku této hlavní přímky Jeho půdorys najdete na ordinále a základnici x 1,2 Půdorys hlavní přímky vede právě tímto bodem rovnoběžně s půdorysnou stopou roviny Toto vše je standardní postup Jediná nezvyklost nastává kvůli poloze bodu F, který leží za nárysnou, proto jeho půdorys F 1 vyjde nad základnicí x 1,2, v průsečíku prodlouženého půdorysu hlavní přímky a ordinály vedené bodem F 2 F 2 F 1 0 Obr 8-9 Pro získání půdorysu obrazce spojte půdorysy bodů, pro získání nárysu obrazce spojte nárysy bodů (obr 8-10) F 2 E 2 F 1 D 2 C 2 B 2 E 1 0 x 1,2 D 1 B 1 Obr

16 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Překryv obou průmětů je způsoben polohou obrazce, kdy částečně zasahuje za nárysnu, proto jeho půdorys zasahuje nad základnici x 1,2 Podobná situace může nastat kdykoliv a není to nic neobvyklého, jen to poněkud zhoršuje přehlednost Cvičení obrazce v rovině a Najděte nárys obrazce ABCD ležícího v rovině β(5; 5; 5), jestliže jsou body dány svými půdorysy A[ 3 ; 1;?], B[0; 1;?], C[1; 2;?], D[ 1; 4;?] b Najděte půdorys obrazce ABCD ležícího v rovině β( 5; 6; 4), jestliže jsou body dány svými nárysy A[ 3;?; 1], B[0;?; 2], C[2;?; 4], D[1;?; 4] c Sestrojte průměty rovnoběžníka ABCD ležícího v rovině β( 5; 4; 5), jsou-li dány půdorysy bodů A, B a C Bod D najděte konstrukčně, vyjděte z toho, že rovnoběžník se promítá opět jako rovnoběžník A[ 3; 1;?], B[0; 1;?], C[4; 3;?] d Sestrojte sdružené průměty obrazce ABCD ležícího v rovině β(4; 4; 3) A[0; 3;?], B[ 3; 3;?], C[ 1;?; 3], D[2;?; 1] 58

17 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Příklad skutečná velikost obrazce Pomocí otočení roviny do půdorysny zobrazte trojúhelník ABC ležící v rovině α ve skutečné velikosti Řešení: Nejprve najděte otočení jednoho bodu, například bodu A (viz obr 13-5 vlevo) Pak pomocí afinity otočte i zbývající body B a C Spojte bod s bodem B 1 a najděte samodružný bod I na ose afinity (na půdorysné stopě) Bod I spojte s otočeným bodem A 0 V průsečíku přímky IA 0 a kolmice k ose afinity jdoucí bodem B 1 najdete otočený bod B 0 Bod C 0 najdete analogicky Spojte a, najděte samodružný bod na ose afinity II V průsečíku přímky IIA 0 a kolmice k ose afinity jdoucí bodem najdete otočený bod C 0 A 0 B 0 C 0 je otočený trojúhelník ABC a zobrazuje se ve skutečné velikosti z A B 1 X 1,2 B 1 X 1,2 z A II (A) r A I A 0 A 0 B 0 C 0 Obr 13-5 Příklad otočení roviny kolmé k nárysně Jestliže máte zjistit skutečnou podobu nebo velikost obrazce ležícího v rovině, která je kolmá k nárysně, je situace zjednodušená o vyhledání poloměru otáčení všech bodů roviny Protože v nárysu se celá rovina promítá do jedné přímky (nárysné stopy roviny), najdete nárysy bodů na ordinálách jdoucích půdorysy bodů a na nárysné stopě roviny Kružnice, po kterých se při otáčení roviny pohybují otáčené body, se v nárysu nezkreslují, protože se nacházejí v rovinách rovnoběžných s nárysnou 88

18 13 Otočení roviny do průmětny, osová afi nita Proto lze ihned v nárysu provést sestrojení kružnic, po kterých se otáčejí jednotlivé body, a tím najít jejich otočené průměty V nárysu se zobrazí otočené body na základnici x 1,2, v půdorysu najdete tyto body na ordinálách jdoucích nárysy otočených bodů a na kolmicích k půdorysné stopě roviny procházející půdorysy příslušných bodů (obr 13-6) C 2 B 2 B 0 B 1 X 1,2 C 0 A 0 Obr 13-6 Příklad sestrojení obrazce zadaného tvaru Sestrojte čtverec ležící v obecné rovině, je dán svou úhlopříčkou AC (obr 13-7) Řešení: Protože hledaný čtverec leží v obecné rovině, bude se v průmětech zkreslovat Proto je potřeba body A a C otočit, například do půdorysny, v otočení sestrojit čtverec a pak jeho půdorysný průmět nalézt pomocí afinity Nárys naleznete s využitím hlavních přímek Nejprve najděte nárysy bodů A a C a C 2 pomocí hlavních přímek (obr 13-8) 89

19 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání X 1,2 Obr 13-7 C 2 X 1,2 Obr

20 13 Otočení roviny do průmětny, osová afi nita Bodem veďte kolmici k půdorysné stopě roviny, v průsečíku kolmice a stopy leží střed otáčení bodu C Ve sklopení najděte poloměr otáčení bodu C a bod C otočte do půdorysny kolem středu otáčení (obr 13-9) C 2 X 1,2 C 0 Obr 13-9 Pomocí afinity otočte také bod A do půdorysny A 0 (obr 13-10) 91

21 Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání I A 0 C 0 Obr V otočení sestrojte čtverec A 0 B 0 C 0 D 0 (obr 13-11) Najděte střed úhlopříčky A 0 C 0, veďte jím kolmici na přímku A 0 C 0 a na ní najděte body B 0 a D 0 Všechny body čtverce jsou od středu stejně daleko (například leží na kružnici) Pomocí afinity najděte půdorysy bodů B 0 a D 0 body B 1 a D 1 Můžete využít středu úhlopříčky AC, kdy S 0 je středem otočeného obrazu A 0 C 0 a S 1 je středem půdorysu 92

22 13 Otočení roviny do průmětny, osová afi nita I A 0 D 0 S 0 B 0 C 0 Obr D 1 X 1,2 S 1 I B 1 A 0 D 0 S 0 B 0 C 0 II Obr