Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2014

Transkript

1 Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2014 Horní Lomná, června 2014 Jana Bělohlávková Radomír Paláček Petra Schreiberová Jana Volná Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

2 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Co je GeoGebra? GeoGebra je volný a multiplatformní dynamický software pro všechny úrovně vzdělávání, nebot spojuje geometrii, algebru, tabulky, znázornění grafů, statistiku a infinitezimální počet, to vše v jednom balíčku. Tento program získal četná ocenění pro vzdělávací software v Evropě a USA. Grafika, algebra a tabulky jsou propojeny a plně dynamické Jednoduše použitelné uživatelské prostředí, mnohé výkonné funkce Autorizační nástroje k vytvoření výukového materiálu na webové stránce Přístupné milionům uživatelů na celém světě v mnoha jazycích Free a open source software Kolektiv autorů děkuje za podporu Katedře matematiky a deskriptivní geometrie, Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava. II

3 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Co se naučíte na našem workshopu? Šifrování jako aplikace lineární algebry v GeoGebře Jana Volná, Petr Volný (jana.volna@vsb.cz, petr.volny@vsb.cz) V GeoGebře si vytvoříme jednoduchou aplikaci, která nám umožní zašifrovat text. Bude se jednat o aplikaci lineární algebry, konkrétně o operace s maticemi. Skriptování v GeoGebře Jana Bělohlávková (jana.belohlavkova@vsb.cz) Seznámíme se se základy skriptování a ukážeme si, jak se skriptování dá využít při tvorbě studijního materiálu nebo ke zpestření přednášek. Klasifikace kuželoseček Radomír Paláček (radomir.palacek@vsb.cz) Cílem této lekce je ukázat, jak lze využít GeoGebru při klasifikaci kuželoseček pomocí invariantů. Výuka náhodných veličin s využitím GeoGebry Petra Schreiberová (petra.schreiberova@vsb.cz) Cílem lekce je ukázat si způsob, jak lze ve cvičeních využít GeoGebru pro lepší pochopení pojmu rozdělení náhodné veličiny a významu hodnot distribuční funkce. Tuto lekci lze využít jako snadné cvičení pro studenty. III

4 Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Šifrování jako aplikace lineární algebry v GeoGebře Jana Volná, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V GeoGebře si vytvoříme jednoduchou aplikaci, která nám umožní zašifrovat text. Bude se jednat o aplikaci lineární algebry, konkrétně o operace s maticemi. V okamžiku, kdy si lidé začali předávat zprávy písemnou formou, vynořila se potřeba utajení informací obsažených ve zprávě před nepovolanou osobou. Bylo nutné zvolit takovou formu utajení informace obsažené ve zprávě, aby se osoba, která nese zprávu či se k této zprávě at už náhodným nebo cíleným způsobem dostane, nebyla schopna přečtením zprávy utajenou informaci získat. Ovšem adresát zprávy musel být se způsobem utajení informace seznámen, musel mít tzv. klíč. Jinak by samozřejmě nebyl schopen informaci obsaženou ve zprávě získat. Mezi nejjednoduší možnosti utajení informací patřily neviditelné inkousty. Do zprávy, která obsahovala banální informace se vepsala zpráva nová inkoustem, který po uschnutí zmizel. Inkoust bylo možné zviditelnit nejčastěji vystavením listu zprávy tepelnému působení, nebo se používala odpovídající chemikálie, kterou adresát zprávy doručený list potřel. Mezi sofistikovanější způsoby patřilo přeházení písmen textu podle dohodnutého klíče. Klíč mohl být číselný, bylo možné také použít dohodnutou sadu znaků či symbolů. My si v lekci ukážeme jednoduchou aplikaci, pomocí které zašifrujeme zadaný text. Pro vlastní šifrování použijeme vhodnou regulární matici, pro dešifrování zprávy matici inverzní modulo 26. Skript byl vytvořen v GeoGebře verze

5 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Pro jednoduchost se budeme zabývat zašifrováním jednoho slova, které bude tvořeno malými písmeny anglické abecedy, tzn. nebudeme používat diakritická znaménka. Princip kódování je následující: zadanému slovu přiřadíme číselnou řadu z číselné řady budeme vybírat n-tice čísel, pro náš případ to budou čtveřice každou čtveřici vynásobíme zadanou regulární maticí čtvrtého řádu novou číselnou řadu poskládanou ze získaných čtveřic převedeme zpátky na text. Dekódování se realizuje zcela analogicky, pouze k násobení používáme maticí inverzní modulo 26 k zadané regulární matici čtvrtého řádu. Konstrukce 1. V okně Algebra klikneme na pravé tlačítko myši, zvolíme Auxiliary Objects. 2. Do vstupního pole zadáme prázdný textový řetězec, OriginalText =, skryjeme. 3. Do vstupního pole zadáme prázdný textový řetězec CodedText =, skryjeme. 4. Do vstupního pole zadáme prázdný textový řetězec DecodedText =, skryjeme Vytvoříme textové pole, Caption=OriginalText, Linked Object= OriginalText =. Vytvoříme textové pole, Caption=CodedText, Linked Object= CodedText =. Vytvoříme textové pole, Caption=DecodedText, Linked Object= DecodedText =. 8. Vytvoříme matici čtvrtého řádu, B = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}. 9. Vytvoříme tlačítko, Caption=Encrypt. 10. Vytvoříme tlačítko, Caption=Decrypt. Tu jednodušší část máme za sebou. Nyní je třeba nastavit pro naše tlačítka Encrypt a Decrypt skript, který zajistí požadované kódování a dekódování. Účastníci lekce dostanou k dispozici textové soubory obsahující zmíněné skripty. Na tlačítko Encrypt klikneme pravým tlačítkem myši a vybereme Object Properties, dále položku Scripting, OnClick a GeoGebraScript. OriginalList={}; CodedList={}; Skript - kódování Zavedeme pomocné objekty, které se nastaví na prázdné číselné seznamy. SetValue[OriginalList,TextToUnicode[OriginalText]]; Jana Volná, Petr Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava V

6 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Převod zadaného textu na číselný seznam, písmenům a z se přiřadí číselné hodnoty v Unicode, tj lengtha=length[originaltext]; Změříme délku původního textového řetězce. SetValue[OriginalList,Join[OriginalList, Sequence[122,j,1,Mod[4-Mod[lengthA,4],4]]]]; Nastavíme novou hodnotu číselného seznamu OriginalList, a to tak, že k původní sadě čísel přidáme takový počet čísel 122, aby délka nového seznamu byla dělitelná čtyřmi, tzn. bud se nepřidá nic, je-li délka původního seznamu dělitelná čtyřmi, a nebo se přidá posloupnost délky 1 nebo 2 nebo 3 tvořená čísly 122 (nezáleží na tom, které číslo zvolíme, 122 odpovídá hodnotě písmena z v Unicode) v závislosti na tom, jaký je zbytek po dělení délky seznamu modulo 4. Toto je třeba ošetřit, protože jsme se na začátku rozhodli, že kódování budeme provádět pomocí matice čtvrtého řádu. lengthb=length[originallist]; Znovu změříme délku číselného seznamu. SetValue[CodedList,Join[Sequence[Element[ {Take[OriginalList,4*j+1,4*j+4]}*B,1],j,0,(lengthB-3)/4]]]; Vytváříme vektory tvořené postupně následnými čtveřicemi čísel z číselného seznamu. Každý vektor vynásobíme zadanou maticí a výsledky násobení spojujeme do kódovaného číselného seznamu. SetValue[CodedList, Sequence[97+Mod[Element[CodedList,j]+7,26],j,1,lengthB]]; Realizujeme přeškálování kódovaného číselného seznamu. Procházíme jednotlivá čísla z kódovaného číselného seznamu a jejich hodnotu pomocí modulo 26 a kalibrace pomocí čísel 97 a 7 přesouváme do intervalu Přičtením čísla 7 se vzhledem k jednotkové matici přiřadí písmenu a písmeno a, (97 + 7) mod 26 = 0. SetValue[CodedText,UnicodeToText[CodedList]]; Kódovaný číselný seznam se převede na kódovaný textový řetězec. Na tlačítko Decrypt klikneme pravým tlačítkem myši a vybereme Object Properties, dále položku Scripting, OnClick a GeoGebraScript. Skript - dekódování VI Jana Volná, Petr Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

7 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Lze převzít celý skript-kódování s několika změnami. Především určíme inverzní matici invb k B modulo 26, ne každá matice je vhodná pro kódování. Princip je takový, že určíme determinant matice B, ten násobíme čísly od 0 do 25 modulo 26. Pokud mezi takto získanými čísly je alespoň jedno číslo 1, matice je pro kódování vhodná. DetB=Determinant[B]; invdet=0; ListModulo=Sequence[Mod[j*DetB,26],j,0,25]; If[IsDefined[IndexOf[1,ListModulo]], SetValue[invDet,IndexOf[1,ListModulo]-1]]; Adjung=Invert[B]*DetB; invb=adjung*invdet; CodedList={}; DecodedList={}; SetValue[CodedList,TextToUnicode[CodedText]]; lengthb=length[codedtext]; SetValue[CodedList,Join[CodedList, Sequence[122,j,1,Mod[4-Mod[lengthB,4],4]]]]; lengthc=length[codedlist]; SetValue[DecodedList,Join[Sequence[Element[ {Take[CodedList,4*j+1,4*j+4]}*invB,1],j,0,(lengthC-3)/4]]]; SetValue[DecodedList, Sequence[97+Mod[Element[DecodedList,j]-97,26],j,1,lengthC]]; SetValue[DecodedText,UnicodeToText[DecodedList]]; Poznámka: Je možné kopírovat jednotlivé řádky skriptu ze souboru pdf. Aby skript fungoval, je nutné zrušit zalomení přetékajících řádků skriptu. Řádek vždy končí až středníkem. Úloha: Zkuste dekódovat následující kódovaný text keqkogmwdvqpcsrilxqehndd vzhledem ke kódovací matici B = Zdroj Jana Volná, Petr Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava VII

8 Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Skriptování v GeoGebře Jana Bělohlávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Seznámíme se se základy skriptování a ukážeme si, jak se skriptování dá využít při tvorbě studijního materiálu nebo ke zpestření přednášek.

9 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Příklad 1: Zadání: Kliknutím postupně vybereme právě jednu ze tří možností. Viz obrázek 1. Konstrukce Obrázek 1: Výběr jedné ze tří možností 1. Z panelu nástrojů vybereme nástroj Elipsa, třikrát klikneme do nákresny. Sestrojíme tak tři body A, B, C, a tím i elipsu c. 2. Podobně sestrojíme hyperbolu d: klikneme na již existující body A,B,C. 3. Parabolu sestojíme kliknutím na bod B a osu y. 4. Z panelu vybereme nástroj Zaškrtávácí políčko a klikneme do nákresny. Otevře se dialogové okno, ve kterém doplníme Popisek: elipsa, z rozbalovacího menu vybereme Elipsa c a úpravy potvrdíme kliknutím na tlačítko Použít. Stejně vytvoříme zaškrtávací políčka b a f i pro hyperbolu d a parabolu e. 5. Pravým tlačítkem klikneme na zaškrtávácí políčko elipsy a ze zobrazeného menu vybereme Vlastnosti. Otevře se nové dialogové okno a v něm do záložky Sriptovaní / Po aktualizaci napíšeme postupně zvlášt na řádky NastavitHodnotu[a,true], NastavitHodnotu[b,false], NastavitHodnotu[f,false] podle obrázku 2. Obrázek 2: Menu a dialogové okno Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava IX

10 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 2: Zadání: Klikáním na zvolený objekt bude objekt měnit barvu, tloušt ku a styl čáry. Viz obrázek 3. Konstrukce Obrázek 3: Změna vlastností Do vstupního pole zadáme f(x)= sin(x) Do vstupního pole zadáme prepinac=0 V dialogovém okně funkce f v záložce Skriptovaní / Po kliknutí napíšeme postupně zvlášt na řádky prepinac=kdyz[prepinac==0,1,0], NastavitBarvu[f,255*prepinac], NastavitStylCary[f,1-prepinac], NastavitTloustkuCary[f,12*prepinac+3], podle obrázku 4. Obrázek 4: Dialogové okno pro skriptování X Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

11 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Příklad 3: Zadání: Jedním vstupem můžeme změnit několik různých hodnot najednou. Například můžeme nastavit různé tloušky čar u různých objektů. Viz obrázek 5. Konstrukce Obrázek Kliknutím na malou šipku v liště okna Nákresna se otevře formátovací panel. Skryjeme osy a zobrazíme mřížku. Z hlavního menu vybereme nástroj Polokružnice nad dvěma body a podle obrázku 5 nebo podle své fantazie vytvoříme šest půlkružnic c až h. Vybereme nástroj Textové pole a klikneme do nákresny. Otevře se okno Textové pole, do kterého vložíme Popisek: velikost a potvrdíme kliknutím na tlačítko Použít. Do záložky textového pole Skriptovaní / Po kliknutí napíšeme NastavitTloustkuCary[c,6*%0], NastavitTloustkuCary[d,5*%0],... NastavitTloustkuCary[h,%0], NastavitVelikostBodu[G,%0]. Obrázek 6: Menu a dialogové okno Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XI

12 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 4: Zadání: Vytvoříme objekty, které bodou kopírovat stopu objektu. Viz obrázek 7. Konstrukce Obrázek Do vstupního pole postupně zadáme a=posuvnik[0,2pi,0.2], A=(a*cos(a),a*sin(a)), b=krivka[t cos(t), t sin(t), t, 0, a], c=kruznice[a,2]. Sestrojený bod A a křivku b můžeme obarvit na červeno. Do záložky bodu A Skriptovani/Po aktualizaci napíšeme KopirovatVolnyObjekt[A], do záložky kružnice c Skriptovani/Po aktualizaci napíšeme KopirovatVolnyObjekt[c]. Pohneme posuvníkem a. Příklad 5: Zadání: Vytvoříme dva body, které budou volné a závislé zároveň. Konstrukce Vytvoříme dva body A a B. Do záložky bodu A Skriptovani/Po aktualizaci napíšeme NastavitHodnotu[B,(x(A)+1,y(A)+1)], do záložky bodu B Skriptovani/Po aktualizaci napíšeme NastavitHodnotu[A,(x(B)-1,y(B)-1)]. Pohneme bodem A, pohneme bodem B. Zdroj XII Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

13 Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Klasifikace kuželoseček Radomír Paláček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Cílem této lekce je ukázat, jak lze využít GeoGebru při klasifikaci kuželoseček pomoci invariantů. Klasifikace kuželoseček Vytvořte aplet na klasifikaci kuželoseček zadaných obecnou rovnicí.

14 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Malé opakování na úvod Typy kuželoseček Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S (středu kružnice) stejnou vzdálenost r (poloměr kružnice). Kružnice je speciálním případem elipsy. V tomto případě ohniska splynou v jeden bod (střed S) a pro velikosti poloos platí, že a = b a velikost excentricity e = 0. k r S Elipsa Elipsa je množina všech bodů roviny, které mají od dvou různých bodů F 1, F 2 konstantní součet vzdáleností rovný 2a, který je větší než vzdálenost bodů F 1, F 2. Číslo a je velikost hlavní poloosy, číslo b je velikost vedlejší poloosy a musí platit, že a, b > 0. Body F 1, F 2 se nazývají ohniska elipsy. Vzdálenost ohniska elipsy od jejího středu se nazývá excentricita elipsy. Vzdálenost ohnisek F 1, F 2 je rovna 2e a nazývá se ohnisková vzdálenost. a b M F 1 S F 2 XIV Radomír Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

15 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Hyperbola Hyperbola je množina všech bodů roviny, které mají od dvou různých pevně daných bodů F 1, F 2 konstantní kladný rozdíl vzdáleností rovný 2a, který je menší než vzdálenost bodů F 1, F 2. Body F 1, F 2 se nazývají ohniska hyperboly. Bod S je střed hyperboly. Číslo b je délka hlavní poloosy hyperboly, číslo b je délka vedlejší poloosy hyperboly, e nazýváme excentricitou hyperboly. b e F 1 a F 2 S M Parabola Parabola je množina všech bodů roviny, jejichž vzdálenost od bodu F je rovna vzdálenosti od přímky d. Danou přímku nazýváme řídící přímkou a značíme ji d. Bod F je ohnisko paraboly. Přímka, která je kolmá k řídící přímce d a prochází ohniskem F je osa o paraboly. Bod V, který je vrcholem paraboly leží na ose a půlí vzdálenost bodu F od řídící přímky d. d M V F o Radomír Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XV

16 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 6: Klasifikace kuželoseček Zadání: Vytvořte aplet na klasifikaci kuželoseček zadaných obecnou rovnicí. Budeme uvažovat tzv. obecnou rovnici ve tvaru k : a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x a 01 x 1 + 2a 02 x 2 + a 00 = 0, kde a ij R a (a 11, a 12, a 22 ) (0, 0, 0). Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny této algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty. Uvedená rovnice má tři invarianty: determinant matice kuželosečky a 00 a 01 a 02 det(a) = a 01 a 11 a 12, a 02 a 12 a 22 determinant kvadratických členů a det(b) = 11 a 12 a 12 a 22, třetím invariantem je S = a 11 + a 22. Jestliže je det(a) 0, potom říkáme, že k je regulární kuželosečka, v opačném případě je singulární. Klasifikaci kuželoseček provedeme podle invariantů rovnice kuželosečky. Podrobnosti jsou uvedeny v tabulce: det(b) < 0 det(b) = 0 det(b) > 0 hyperbola parabola S det(a) < 0, a 11 = a 22 S det(a) < 0, a 11 a 22 kružnice elipsa Tabulka 1: Klasifikace kuželoseček XVI Radomír Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

17 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Obrázek 8: Náhled na aplet Konstrukce 1. "Klasifikace kuželoseček: " 2. Vytvoříme posuvníky pro jednotlivé koeficienty vyskytující se v rovnici kuželosečky a_{00}, a_{01}, a_{02}, a_{11}, a_{12}, a_{22} od -20 do 20 s krokem Zapíšeme rovnici kuželosečky k : a_{11} xˆ2 + 2 a_{12} x y + a_{22} yˆ2 + 2a_{01}x + 2 a_{02} y+2 a_{00} = 0 a přetáhneme předpis z algebraického okna do nákresny. 4. Zapneme tabulku (Zobrazit - Tabulka) a do polí A1 - C3 zapíšeme koeficienty podle následujícího předpisu Radomír Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XVII

18 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 5. Označíme myší hodnoty A1-C3, klikneme pravým tlačítkem myši a vybereme Vytvořit Matice. Přejmenujeme ji na matici A. 6. Označíme myší hodnoty B2-C3, klikneme pravým tlačítkem myši a vybereme Vytvořit Matice. Přejmenujeme ji na matici B. 7. Do vstupu zapíšeme S = a_{11}+a_{22}. 8. Vypočítáme determinanty deta = Determinant[A] detb = Determinant[B] a přetáhneme je do nákresny. 9. Do nákresny vložíme text S*detA =, který propojíme s libovolným objektem a jeho obsah přepíšeme na S deta. 10. Do nákresny umístíme přes sebe následující texty a nastavíme u každého z nich podmínky pro zobrazení objektu: Kružnice podmínky: Elipsa podmínky: Parabola podmínky: Hyperbola podmínky: (detb>0) (S deta< 0) (a_{11}=a_{22}) (detb>0) (S deta< 0) (a_{11} a_{22} detb=0 detb<0 Klasifikaci pomoci invariantů jsme tímto úspěšně udělali, nicméně konstrukci kuželosečky můžeme ještě obohatit o vizuální znázornění některých jejich základních vlastností. Následující popis konstrukce ukazuje jen některé z nich a je na čtenáři, aby si další doplnil podle vlastního uvážení. XVIII Radomír Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

19 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ Do vstupu postupně zapíšeme následující příkazy: r=polomer[k] - vypočítá velikost poloměru (u kružnice), S=Stred[k] - zobrazí střed kuželosečky, Ohnisko[k] - zobrazí ohniska kuželosečky, Vrchol[k] - zobrazí vrchol kuželosečky, Osy[k] - zobrazí obě osy kuželosečky, HlavniOsa[k] - zobrazí pouze hlavní osu kuželosečky, VedlejsiOsa[k] - zobrazí pouze vedlejší osu kuželosečky, Asymptota[k] - zobrazí asymptoty kuželosečky, RidiciPrimka[k] - zobrazí řídící přímku kuželosečky. 12. Pro každý prvek z bodu 11., pro který existuje grafická representace v nákresně, vytvoříme zaškrtávací políčko. Popisek volíme podle povahy prvku. (poloměr r je pouze číslo a samotnou konstrukci budeme muset udělat ručně) Nyní provedeme konstrukci poloměru na kružnici. Nejprve nastavíme koeficienty a 11, a 12 a 21 a 01 a 02 a 00 tak, abychom v nákresně dostali kružnici. 13. Sestrojíme úsečku, klikneme na bod S a poté na kružnici. Dáme ji popisek poloměr. 14. Vytvoříme zaškrtávací políčko pro poloměr. Obdobným způsobem můžeme vytvořit například velkou a malou poloosu u elipsy. Pozn.: V případě, že nejprve máme zaškrtávací políčko a teprve poté děláme konstrukci, nebo chceme něco k již existujícímu políčku přidat, potom u každého objektu tvořící konstrukci v záložce Pro pokročilé zapíšeme do Podmínky zobrazení objektu název daného zaškrtávacího políčka. Je zřejmé, že ne všechny prvky z bodu 11. mají smysl pro každý typ kuželosečky, např. není důvod počítat poloměr pro elipsu, hyperbolu nebo parabolu. Proto bychom chtěli, aby se po provedení klasifikace a zobrazení textu určujícího typ kuželosečky zobrazovaly jen některé prvky. Radomír Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XIX

20 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Toho docílíme tak, že v záložce Pro pokročilé u každého zaškrtávacího políčka nastavíme Podmínky zobrazení objektu. Ty budou stejné jako podmínky pro zobrazení typu kuželosečky. Pokud by se měly zobrazovat u více typů kuželoseček, provedeme spojení podmínek pomoci logické spojky (nebo). Posledním krokem bude vytvoření nápovědy ve formě textu, který bude ve stručnosti vypovídat o tom, jak aplet funguje a podle jakých kritérií se klasifikace provádí. 15. Do nákresny vložíme Text. Zaškrtneme LaTeX vzorec a vepíšeme následující obsah: V y s v ě t l i v k y : $det (B) <0$ hyperbola $det (B)=0$ parabola $det (B) >0$ $ (S \ cdot det (A) <0), a_ {11}= a_ {22} $ kružnice $ (S \ cdot det (A) <0), a_ { 1 1 } \ not = a_ {22} $ e l i p s a Zdroj 1. JANYŠKA, Josef a Anna SEKANINOVÁ. Analytická teorie kuželoseček a kvadrik. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2001, 178 s., ISBN XX Radomír Paláček, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

21 Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Výuka náhodných veličin s využitím GeoGebry Petra Schreiberová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Cílem lekce je ukázat si způsob, jak lze ve cvičeních využít GeoGebru pro lepší pochopení pojmu rozdělení náhodné veličiny a významu hodnot distribuční funkce. Tuto lekci lze využít jako snadné cvičení pro studenty. První úloha Ukážeme si způsob, jak lze využít GeoGebru k vizualizaci a určení hodnot v tabulce normovaného normálního rozdělení. Druhá úloha Využijeme GeoGebru k pochopení významu parametrů u normálního a binomického rozdělení.

22 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 7: Normované normální rozdělení Zadání: Zakreslete graf funkce hustoty a určete hodnoty distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, které jsou dány v tabulce daného rozdělení. Řešení: 1. Otevřeme GeoGebru 2. Vykreslíme graf funkce hustoty normovaného normálního rozdělení. Klikneme do vstupu a zadáme příkaz. 3. Kde střední hodnota je rovna 0, tabulátorem se posuneme na možnost směrodatné odchylky, kde zvolíme 1. Dáme Enter. Dostali jsme matematickou formuli pro výpočet funkce hustoty a graf. Pro lepší přehlednost si upravíme měřítko os a vycentrujeme graf. 4. Myší najedeme na osu y, stiskneme CTRL a pohybem myši upravíme měřítko. 5. Držíme CTRL, klikneme kdekoliv do Nákresny a pohybem myši posuneme graf na střed. XXII Petra Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

23 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Obsah plochy pod křivkou funkce hustoty je roven 1. Studenti si toto mohou snadno ověřit. 6. Do vstupu zadáme příkaz Integrál. Tabulka normovaného normálního rozdělení používá 3 desetinná místa u hodnot distribuční funkce a 2 desetinná místa u hodnot z (v tabulce x). Proto si v GeoGebře toto upravíme. Petra Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXIII

24 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 7. V Menu v nabídce Nastavení zvolíme Zaokrouhlování a klikneme na 3 desetinných míst pro hodnoty φ(z). 8. Klik na ikonu posuvníku, následně na nákresnu a vytvoříme si posuvník pro hodnoty z - název z a interval zvolíme od -3.3 do 3.3 s krokem Dáme použít. Nyní můžeme začít počítat hodnoty distribuční funkce, což není nic jiného než obsah plochy do zvolené hodnoty. 10. Do vstupu zadáme výpočet integrálu do naší zvolené hodnoty. Vidíme, že hodnota p pro z = 1 vyšla Porovnáme s tabulkou. S využitím posuvníku můžeme dynamicky měnit hodnotu na ose x a tudíž i plochu pod grafem funkce hustoty. XXIV Petra Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

25 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Pomocí posuvníku můžeme určit další hodnoty z tabulky, např. pro z = 1.65 nebo i přímo hodnoty distribuční funkce pro záporné hodnoty, které v tabulce nejsou, ale lze je spočítat pomocí vztahu uvedeného nahoře tabulky. Postřehy a poznámky Hodnoty distribuční funkce lze v GeoGebře vypočíst přímo pomocí pravděpodobnostní kalkulačku. 1. V Menu zvolíme možnost Zobrazit Tabulka. 2. Klikem na šipku u ikony zvolíme poslední možnost - pravděpodobnostní kalkulačka. Petra Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXV

26 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Příklad 8: Normální a binomické rozdělení Zadání: Zakreslete graf funkce hustoty normálního rozdělení a pravděpodobnostní funkce pro binomické rozdělení a posud te vliv jednotlivých parametrů na graf. Řešení: Ke znázornění grafu funkce hustoty potřebujeme vytvořit 2 posuvníky pro parametry normálního rozdělení µ a σ. 1. Klik na ikonu posuvníku, následně na nákresnu a vytvoříme si posuvník pro hodnoty µ - název µ a interval zvolíme od -5 do 5 s krokem Klik na nákresnu a vytvoříme si posuvník pro hodnoty σ - název σ a interval zvolíme od 0 do 4 s krokem Znázorníme graf funkce hustoty. 3. Do vstupu zadáme příkaz pro Normální rozdělení s danými parametry. Vykreslil se graf a zobrazil se předpis pro funkci hustoty normálního rozdělení s parametry µ = 1 a σ = 1. Změnou parametrů pomocí posuvníku lze hned vidět, jak se mění graf funkce. XXVI Petra Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

27 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2014 Totéž si ukážeme i pro případ diskrétního rozdělení, konkrétně binomického, které má také 2 parametry, a to n a p. Jako první si opět vytvoříme posuvníky. 4. Klik na ikonu posuvníku, následně na nákresnu a vytvoříme si posuvník pro hodnoty n - název n a interval zvolíme od 1 do 10 s krokem Klik na nákresnu a vytvoříme si posuvník pro hodnoty p - název p a interval zvolíme od do 1 s krokem Znázorníme graf pravděpodobnostní funkce. 6. Do vstupu zadáme příkaz pro Binomické rozdělení s danými parametry. Vykreslil se graf pravděpodobnostní funkce s parametry n = 1 a p = 1. Pomocí posuvníku upravujeme parametry a opět lze hned vidět, jak se mění pravděpodobnost. Konkrétní hodnoty pravděpodobnostní funkce si můžeme také lehce znázornit. Vytvoříme si další posuvník pro počet úspěchů. 7. Klik na ikonu posuvníku, následně na nákresnu a vytvoříme si posuvník pro hodnoty k - název k a interval zvolíme od 0 do 10 s krokem Do vstupu zadáme příkaz pro Binomické rozdělení s danými parametry a volbou false. Petra Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXVII

28 3µ 2014 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Pomocí myši přetáhneme hodnotu pravděpodobnosti na nákresnu. Opět pomocí posuvníku a změnou parametrů či počtu úspěchů lze dynamicky demonstrovat vliv na hodnotu pravděpodobnosti. Postřehy a poznámky Stejným způsobem lze vytvořit např. i Poissonovo rozdělení a porovnáním s Binomickým rozdělením lze znázornit, při jakých hodnotách parametrů lze Binomické rozdělení aproximovat Poissonovým. XXVIII Petra Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

29 Obsah Šifrování jako aplikace lineární algebry v GeoGebře IV Skriptování v GeoGebře VIII Příklad 1: IX Příklad 2: X Příklad 3: XI Příklad 4: XII Příklad 5: XII Art Geogebra - Geometrické vzory XIII Příklad 6: Klasifikace kuželoseček XVI Výuka náhodných veličin s využitím GeoGebry XXI Příklad 7: Normované normální rozdělení XXII Příklad 8: Normální a binomické rozdělení XXVI XXIX