GRAF FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

Transkript

1

2 GRAF FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Úloha: Sestrojte graf funkce nepřímé úměrnosti a zjistěte její vlastnosti. Popis funkcí modelu: Sestrojit graf funkce nepřímá úměrnost Najít průsečíky grafu se souřadnými osami Najít asymptoty hyperboly Určit vlastnosti funkce Použité nástroje a příkazy: Postup: nástroj: POSUVNÍK příkazy: PRŮSEČÍK, ASYMPTOTA 1. Pomocí posuvníku zavedeme konstantu k v panelu nástrojů vybereme posuvník na nákresně klikneme nejlépe v pravém horním rohu(tam se posuvník umístí) a v nabídce, která se ukáže ho přejmenujeme na k v algebraickém okně vidíme hodnotu k ve sloupci volné objekty 2. Sestrojíme graf funkce do pole vstup zapíšeme předpis funkce nepřímá úměrnost v nejjednodušším tvaru, tzn. f: y = k x v algebraickém okně se tento předpis zapsal do sloupečku závislé objekty na nákresně se sestrojil graf funkce-rovnoosá hyperbola 3. Popis funkce f : v nákresně uděláme pomocí výběru v kontextové nabídce Vlastnosti karta Základní, na které najdeme Zobrazit popis Název a hodnota můžeme graf i posuvník pro lepší orientaci obarvit na modro a sílu čáry nastavit na hodnotu 3 Na nákresně sledujeme, jak se mění předpis funkce a poloha hyperboly v souředných osách posunujeme-li posuvníkem do hodnot kladných a do záporných. Je-li k=0, splývá graf s osou x. 4. Průsečíky s osou x a y: získáme tak, že do vstupního pole zadáme postupně příkaz :Průsečík[f,OsaX], Průsečík[f,OsaY] nebo i pomocí nástroje Průsečík dvou objektů. V algebraickém okně se zapsalo hodnota A,B nedefinovaná(protože hyperbola s osami žádné průsečíky nemá). Můžeme je přejmenovat na Px a Py. Najdeme asymptoty - přímky, ke kterým se asymptota blíží, ale nemá s nimi žádné společné body do vstupního řádku napíšeme Asymptota[f], zapsala se v algebr. okně jako seznam, přejmenujeme ji na název asymptota a můžeme ji obarvit třeba na červeno

3

4 Závěr: k Sestrojili jsme pomocí geogebry graf funkce nepřímá úměrnost f: y = x. Je-li hodnota konstanty k kladná leží hyperbola v I. a III.kvadrantu- jedná se o funkci klesající, je-li hodnota konstanty k záporná leží hyperbola v II. a IV. kvadrantu a funkce je rostoucí. D(f) = R - {0}, H(f) = R - {0}, funkce nedosahuje maxima ani minima. Průsečíky s osami x,y tato funkce nemá. Asymptotami této funkce jsou souřadné osy.

5 Úloha 1: Sestrojíme graf funkce f: y= k x +a Postup: Graf sestrojíme stejným způsobem jako v předešlé úloze, kdy pomocí posuvníku zavedeme i hodnotu a. Budeme sledovat, jak se mění poloha hyperboly při změně hodnoty a, jak se mění rovnice asymptot. Závěr: Sestrojili jsme graf funkce f: y= k x +a, vidíme, že při změně hodnoty a se hyperbola pohybuje po ose y. Jednou asymptotou je osa y (x=0), rovnice druhé asymptoty je y=a, proto se její poloha mění v závislosti na změně hodnoty a.

6 Úloha 2: k Sestrojíme graf funkce f: y= x+b Postup: Graf sestrojíme stejným způsobem jako v předešlé úloze, kdy pomocí posuvníku zavedeme i hodnotu b. Budeme sledovat, jak se mění poloha hyperboly při změně hodnoty b, jak se mění rovnice asymptot. Závěr: Sestrojili jsme graf funkce f: y= k x+b, vidíme, že při změně hodnoty b se hyperbola pohybuje po ose x. Jednou asymptotou je osa x (y=0), rovnice druhé asymptoty je x=-b, proto se její poloha mění v závislosti na změně hodnoty b.

7 Úloha 3: Sestrojíme graf funkce f: y= ax+b cx+d Postup: Při konstrukci budeme využívat stejné nástroje Geogebry a postupovat obdobně jako v předešlých úlohách. Pomocí posuvníku zavedeme a,b,c,d Do pole Vstup zapíšeme předpis funkce tzn. f(x)= ax+b - sestrojili jsme graf funkce f Asymptoty sestrojíme jako přímky: x = d c, y = cx+d a c a najdeme jejich průsečík= střed hyperbooly S= [ d c, a c ] Sestrojíme osu hyperboly (osa úhlu) Najdeme průsečíky hyperboly s osou x a y Z grafu určíme D(f) = R - { d c }, H(f) = R - { a c }, funkce nemá ani Maximum, ani minimum, podle hodnot koeficientů a,b,c,d se mění poloha ramen hyperboly a funkce je buď klesající nebo rostoucí

8 Závěr: Sestrojili jsme graf funkce f: y= ax+b,našli jeho průsečíky s osami x,y, obecně jsme cx+d určili definiční obor funkce a obor hodnot. Můžeme sledovat, jak se při změně hodnot koeficientů zavedených pomocí posuvníku ( a,b,c,d ) mění poloha hyperboly, rovnice asymptot, hodnoty průsečíků se souřadnými osami a její monotonie.

9 Úloha 4: Sestrojíme graf funkce f: y= x+3 x 1. 1) Najděte průsečíky funkce s osami x,y. 2) Zjistěte rovnice asymptot. 3) Určete interval v němž je f (x) 4. 4) Zjistěte, zda bod [4,3] leží na grafu funkce f. 5) Určete hodnotu f(2) a tento bod na grafu vyznačte. 6) Tabulkou zjistěte souřadnice dalších bodů, které náleží funkci f. Postup: 1. Graf sestrojíme jako v předešlých úlohách do pole Vstup zapíšeme f: y= x+3 x 1 graf barevně upravíme a popíšeme 2. Najdeme průsečíky s osami x,y-nástroj Průsečík (nebo zápisem do Vstupního pole) v algebraickém okně se zapsaly jejich souřadnice přejmenujeme je na Px,Py a zobrazíme jejich hodnoty do grafu 3. Najdeme asymptoty jako v předešlých úlohách a jejich střed 4. Určíme interval, v němž je f (x) 4 do Vstupního pole zapíšeme y=4 sestrojila se přímka a najdeme její průsečík s hyperbolou-nástroj Průsečík průsečíkem je bod A, kterým vedeme kolmici k ose x a najdeme jejich průsečíkbod B označíme průsečík osy x a asymptoty nástroj Nový bod C bod C přejmenujeme na I 1,bod B na I 2 vyznačíme úsečku I 1 I 2, což je interval, v němž je f (x) 4, tedy (1;2,33) upravíme její vzhled: Vlastnosti Barva Styl 5. Zjistíme, zda bod [4,3] leží na grafu funkce f do Vstupního pole zapíšeme (4,3) a hledaný bod se zapsal do Algebraického okna jako B a znázornil se i v nákresně- vidíme, že na grafu funkce f neleží 6. Určíme hodnotu funkce f(x) pro x=2 do Vstupního pole zapíšeme f(2) hledaná hodnota se zapsala do Algebraického okna jako d = 5 abychom bod vyznačili na grafu, napíšeme do Vstupního pole (2,e) nebo (2,5) na grafu se hledaný bod znázornil jako C 7. Tabulkou zjistíme souřadnice dalších bodů vybereme : Zobrazit Tabulku do sloupce A zapisujeme hodnoty x,např.-5,-4, a rozvineme až do 5 do prvního pole sloupce B zapíšeme f(a1), Enter a opět rozvineme, další hodnoty se dopočítají z tabulky lze vyčíst, že pro x=1, není funkce f definována

10 Závěr: Sestrojili jsme graf funkce f: y= x+3, našly jeho průsečíky s osami x, y, rovnice x 1 asymptot. f (x) 4 v intervalu (1;2,33) Bod [4,3] na grafu funkce f neleží. F(2) = 5 Tabulkou jsme zjistili souřadnice několika dalších bodů.