POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 4.0-

Transkript

1 Math40-6.nb POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 4.0- Vojtěch Bartík Část 6 Transcendentní rovnice:findroot Algebraické rovnice: Solve, NSolve, Roots, Root, Reduce Lineární rovnice: LinearSolve, NullSpace, RowReduce Diferenciální rovnice a jejich soustavy: DSolve, NDSolve Laplaceova transformace: LaplaceTransform, InverseLaplaceTransform Fourierova transformace: FourierTransform, InverseFourierTransform, FourierSinTransform,InverseFourierSinTransform, FourierCosTransform,InverseFourierCosTransform Z-transformace: Z-Transform, InverseZTransform Numerické operace s daty: Fit, InterpolatingPolynomial, Fourier, InverseFourier Rovnice transcendentní, algebraické a lineární à Transcendentní rovnice: FindRoot FindRoot[eqn,{x,x0}]... hledá numerické řešení v okolí bodu x0 FindRoot[eqn,{x,x0,xmin,xmax}]... totéž, ale výpočet končí, když se iterace dostane mimo interval <xmin,xmax> FindRoot[{eqn,...},{x,x0},...]... analogie pro více rovnic a více neznámých Skryté argumenty a jejich implicitní nastavení: Options@FindRootD 8AccuracyGoal Automatic, Compiled True, DampingFactor, Jacobian Automatic, MaxIterations 5, WorkingPrecision 6< Příklady: Všechny nulové body funkce x Sin@xD leží zřejmě v intervalu X, \. První přiblížení získáme např. grafickou cestou pomocí příkazu Plot, potom použijeme FindRoot. Plot@x Sin@xD, 8x,, <, AspectRatio > 0.D; Vidíme, že jeden nulový bod leží v intervalu X 0.8, 0.6\ a druhý v intervalu X.4,.6\.

2 Math40-6.nb == 0, 8x, #<D &, 8 0.6,.4<D 88x 0.667<, 8x.4096<< Map@Precision, x ê. %D 86, 6< Podobně můžeme postupovat u funkce x + Cos@xD + 5 Sin@xD, jejíž nulové body zřejmě leží v intervalu X 7, 7\. Plot@x + Cos@xD + 5 Sin@xD, 8x, 7, 7<D; x ê. Map@FindRoot@x + Cos@xD + 5 Sin@xD == 0, 8x, #<D &, 8 5, 4, 0,, 5<D , 4.57, ,.45848, 4.807< Map@Precision, %D 86, 6, 6, 6, 6< à Algebraické rovnice: Solve, NSolve, Roots, Root, Reduce Solve, NSolve Solve[eqn,x]... řeší algebraickou rovnici o neznámé x. Výsledek je tvaru{x->v,x->v,...} Solve[{eqn,eqn,...},{x,y,...}]... řeší soustavu algebraických rovnic o neznámých x, y,... Výsledek má tvar {{x->vx,y->vy,...},...} Solve[eqns,vars,elims]... řeší soustavu rovnic eqns pro neznámé vars eliminací neznámých elims NSolve... numerická varianta příkazu Solve NSolve[...,n]... totéž, ale výsledek má (?) přesnost n Nepovinné argumenty a jejich implicitní nastavení:

3 Math40-6.nb 8InverseFunctions Automatic, MakeRules False, Method, Mode Generic, Sort True, VerifySolutions Automatic, WorkingPrecision < 8WorkingPrecision Automatic, Sort True, MonomialOrder Automatic< Příklady: x + == 0, xd 88x <, 8x << Solve@a x + b x + c == 0, xd 99x b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c =, 9x a b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c == a Solve@a x + b x + c == 0, bd 99b c + a x == x Vidíme, že Solve se nestará o předpoklady. Solve@x + x + x + == 0, xd 88x <, 8x H L ê <, 8x H L ê << % êê ExpToTrig 88x <, 8x H L ê <, 8x H L ê << NSolve@x + x + x + == 0, xd 88x.<, 8x <, 8x << Solve@x + x + == 0, xd êê ColumnForm@#, CenterD & 9x 9x + + 9x 4 I 4 è!!!!!!!!!! 77 Mê I è!!! I + M I 4 è!!!!!!!!!! 77 Mê è!!!!!!!!!! 77 Mê + 6 è!!! I M I I4 è!!!!!!!!! 77MM ê = è!!! I M I è!!! I + M I I4 è!!!!!!!!! 77MM ê = I4 è!!!!!!!!! 77MM ê =

4 4 Math40-6.nb x ê. NSolve@x + x + == 0, xd , , < Solve@x 4 + x + == 0, xd êê ColumnForm@#, CenterD & 9x 9x 9x 8x < H 7+ è!!!!!!! + L ê + + è!!!! H 7+ è!!!!!!! L ê 6 + è!!!! H 7+ è!!!!!!! L ê 6 I 7 + è!!!!!! M ê = I è!!! M I 7 + è!!!!!! M ê = I + è!!! M I 7 + è!!!!!! M ê = x ê. Solve@x 4 + x + == 0, xd êê N 8., , , < x ê. NSolve@x 4 + x + == 0, xd 8., , , < Solve@x 5 + x + x + == 0, xd 88x Root@ + # + # + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # + # 5 &, 4D<, 8x Root@ + # + # + # 5 &, 5D<< Root@poly, ndrepresentuje n-tý kořen polynomu poly o jedné neznámé, pokud Mathematica neumí jeho přesnou hodnotu vyjádřit jinak. x ê. Solve@x 5 + x + x + == 0, xd êê N 8.69, , , , < x ê. NSolve@x 5 + x + x + == 0, xd 8.69, , , , < Jméno neznámé je možné vynechat, pokud v rovnici žádná jiná neznámá není, ale není zcela jisté, zda vynechání nemůže ovlivnit výsledek. Přinejmenším ve verzi.0 příkazy Solve[eqn,x] a Solve[eqn] vedly v případě rovnice eqn = CollectAIx + è!!!! M 4 Ix + è!!!! M 9 êê Expand, x_, SimplifyE == 0 k různým výsledkům. Verze 4.0 už dává výsledky stejné, ale to ještě neznamená, že chyba v programu byla spolehlivě odstraněna. Řešením následující jednoduché soustavy rovnic jsou dvojice souřadnic průsečíků elipsy a přímky.

5 Math40-6.nb 5 Solve@8x + 5 y == 5, x + 7 y == <, 8x, y<d 99x è!!!!!!!!! I5 7 40M, y x è!!!!!!!!! I M, y I7 + 4 è!!!!!!!!! 40 M=, I7 4 è!!!!!!!!! 40 M== NSolve@8x + 5 y == 5, x + 7 y == <, 8x, y<d 88x , y.056<, 8x 4.5, y.0066<< Podobně reálná řešení další soustavy jsou dvojice souřadnic průsečíků algebraických křivek znázorněných níže na obrázku. Můžete se přesvědčit, že Mathematica najde i formální řešení, ale to má natolik složitý tvar, že nemá praktický význam. eqns = 8x 4 8 x y + y 8 == 4, 4 x + 8 x y + y == 6<; points = 8x, y< ê. Solve@eqns, 8x, y<d êê N 88.9, <, 8.9, <, ,.7975<, ,.7975<, ,.7998<, ,.7998<, 8.879,.9046<, 8.879,.9046<, , <, , <, , <, , <, , <, , <, , <, , << points = Select@points, FreeQ@#, ComplexD &D 88.9, <, 8.9, <, ,.7975<, ,.7975<, ,.7998<, ,.7998<, 8.879,.9046<, 8.879,.9046<< Přesvědčíme se graficky, zda vypočtené hodnoty odpovídají průsečíkům. << Graphics`ImplicitPlot` plot = ImplicitPlot@eqns, 8x, 5, 5<, PlotPoints > 00, DisplayFunction > IdentityD; plot = ListPlot@points, PlotStyle > 8PointSize@0.0D<, DisplayFunction > IdentityD; Show@plot, plot, DisplayFunction > $DisplayFunctionD;

6 6 Math40-6.nb Roots, Root Roots[eqn,x]... výsledkem je disjunkce rovnic reprezentujících řešení algebraické rovnice eqn Root[poly,n]... representuje n-tý kořen polynomu poly; kořeny jsou uspořádány tak, že reálné kořeny jsou před imaginárními a komplexně sdružené imaginární kořeny jsou vedle sebe Nepovinné argumenty a jejich nastavení: Options@RootsD 8Cubics True, Eliminate False, EquatedTo Null, Modulus 0, Multiplicity, Quartics True, Using True< Options@RootD 8ExactRootIsolation False< Je-li tento argument nastaven na True, Root používá k izolaci kořenů plně rigorozní ale mnohem pomalejší metodu. Jinak používá rychlejší přibližnou numerickou metodu. Roots@x x + == 0, xd x ==»» x == % êê ToRules Sequence@8x <, 8x <D %% êê ToRules êê List 88x <, 8x << Roots@x + x + == 0, x, Cubics > FalseD x == Root@ + # + # &, D»» x == Root@ + # + # &, D»» x == Root@ + # + # &, D

7 Math40-6.nb 7 Roots@x 4 + x + == 0, x, Quartics > FalseD x == Root@ + # + # 4 &, D»» x == Root@ + # + # 4 &, D»» x == Root@ + # + # 4 &, D»» x == Root@ + # + # 4 &, 4D % ê. Or > List ê. Equal > Rule êê N 8x , x , x , x < Roots@poly == 0, xd nemusí uvádět kořeny v pořadí Root@poly, D, Root@poly, D,... : Roots@x 5 + x + == 0, x, Cubics > FalseD ê. Or > List ê. Equal > Rule 8x Root@ # + # &, D, x Root@ # + # &, D, x Root@ # + # &, D, x H L ê, x H L ê < Table@Root@x 5 + x +, nd, 8n,, 5<D 9Root@ # + # &, D, è!!! I M, è!!! I + M, Root@ # + # &, D, Root@ # + # &, D= Reduce Reduce[eqns,{x,y,...}]... generuje logickou kombinaci jednodušších rovnic a nerovnic obsahující logické spojky And a Or, která je ekvivalentní se soustavou eqn, a v optimálním případě jsou výsledkem všechna logicky možná řešení pro neznámé x, y,... Reduce@8a x + y == c, x + b y == a<, 8x, y<d x == a + b c + a b && y == a c && + a b 0»» + a b a b == && c == a && x == a b y && a 0 Následující příklady ukazují rozdíl mezi Roots a Solve na jedné straně a Reduce na straně druhé: 8Roots@a x + == b, xd, Solve@a x + == b, xd, Reduce@a x + == b, xd< êê ColumnForm@#, CenterD & x == +b a 88x b a << a == 0 && b ==»» x == +b a && a 0

8 8 Math40-6.nb x + b x + c ==, xd x == b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 a + b 4 a c a»» x == b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 a + b 4 a c a Solve@a x + b x + c ==, xd 99x b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 a + b 4 a c =, 9x a b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 a + b 4 a c == a Reduce@a x + b x + c ==, xd x == b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 a + b 4 a c b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 a + b && a 0»» x == 4 a c && a 0»» a a a == 0 && b == 0 && c ==»» a == 0 && x == c && b 0 b à Lineární rovnice: LinearSolve, NullSpace, RowReduce LinearSolve LinearSolve[m,b]... najde vektor řešící maticovou rovnici m.x == b LinearSolve@88, <, 8, <<, 86, <D 84, < LinearSolve@88a, b<, 8c, d<<, 8, <D Hb dl 9 b c + a d, Ha cl b c + a d = NullSpace NullSpace[m]... najde bázi prostoru řešení rovnice m.x == 0 NullSpace@88,,, <, 8,, 4, 5<<D 884,, 0, 5<, 8,,, 0<< NullSpace@88a,,, <, 8,, b, 5<<D a, a b, 0, =, a 4 + a, + a b,, 0== 4 + a

9 Math40-6.nb 9 RowReduce RowReduce[m]... najde redukovanou horní stupňovitou formu matice m RowReduce@88,,, 5<, 8, 4, 5, <, 8,,, 0<<D 99, 0, 0, =, 90,, 0, =, 80, 0,, <= 4 % êê MatrixForm i 0 0 y 0 j 0 4 z k 0 0 { RowReduce@88a,,, 5<, 8, b, 5, <<D 99, 0, 0 + b 4 + a b, + 5 b 4 + a b =, 90,, + 5 a 4 + a b, 0 + a 4 + a b == % êê MatrixForm i 0 4+a 0+b b j k 0 4+a +5 b a +5 b 4+a b y 0+a z 4+a b { Obyčejné diferenciální rovnice à Rovnice bez počátečních podmínek: DSolve Úvodní poznámky DSolve[eqn,y[x],x]... diferenciální rovnice pro výraz y[x] proměnné x. Výsledek je tvaru 88y@xD > expr<,...< DSolve[eqn,y,x]... diferenciální rovnice pro funkci y proměnné x. Výsledek je tvaru 88y > f<,...<, kde f, f,... jsou bezejmenné funkce DSolve[eqns,{y[x],...},x]... soustava rovnic pro výrazy y@xd,... DSolve[eqns,{y],...},x]... soustava rovnic pro funkce y,... C[],C[], integrační konstanty. Symbol C má atribut Protected Options@DSolveD 8DSolveConstants C<

10 0 Math40-6.nb Rozdíl mezi dvěma možnými formami řešení spočívá v tom že při zpětném dosazování za y@xd do rovnice za účelem ověření správnosti zjistíme, že Mathematica neumí dosadit za zatímco při dosazování za y umí dosadit i za derivace y', y'',... Clear@yD; eqn0 = == y@xd; rules0a = DSolve@eqn0, y@xd, xd 88y@xD x C@D<< rules0b = DSolve@eqn0, y, xd General::spell : Possible spelling error: new symbol name "rules0b" is similar to existing symbol "rules0a". 88y H # C@D &L<< eqn0 ê. rules0a êê Simplify == x C@D< eqn0 ê. rules0b êê Simplify 8True< Chceme-li definovat funkci, která by byla obecným řešením dané rovnice v obvyklém matematickém smyslu, můžeme to udělat nejlépe takto: Clear@u0D; u0 = Hy ê. Flatten@rules0bD ê. C@D > #L; Jiná možnost je tato: Clear@v0D; v0@x_, c_d := Hy ê. Flatten@rules0bDL@xD ê. C@D > c; Derivative@n_D@v0D@x_, c_d := Derivative@nD@y ê. Flatten@rules0bDD@xD ê. C@D > c Vyzkoušíme definice: 8u0@a, cd, u0'@a, cd, u0''@a, cd, u0@, D, u0'@, D, u0''@, D< 8c a, c a, 4 c a,, 4, 8 < 8v0@a, cd, v0'@a, cd, v0''@a, cd, v0@, D, v0'@, D, v0''@, D< 8c a, c a, 4 c a,, 4, 8 < 8D@u0@x, cd, xd, D@u0@x, cd, cd, D@v0@x, cd, xd, D@v0@x, cd, cd< 8 c x, x, c x, x <

11 Math40-6.nb Příklad : Bernoulliova rovnice Poznamenejme, že rovnici, kterou se budeme zabývat, lze převést substitucí Sqrt[y[x]]=z[x] na lineární rovnici a že její obecné řešení v oboru y 0 je dáno formulí z'@xd + x z@xd = x x kde c je libovolné reálné číslo. y = 9 i jx + c "############################ H»xL» k 4 y z, { Clear@x, yd; eqn = + x y@xd x x è!!!!!!!!!!!! y@xd == 0 x è!!!!!!!!!!!! y@xd + x y@xd x + == 0 DSolve@eqn, y@xd, xd 99y@xD 6 I4 8 x + 4 x 4 H + x L ê4 C@D + x H + x L ê4 C@D + 9 è!!!!!!!!!!!!!!!! + x C@D M== rules = DSolve@eqn, y, xd 99y J 6 J4 8 # + 4 # 4 H + # L ê4 C@D + # H + # L ê4 C@D + 9 "################### + # C@D N &N== Clear@uD; u@x_, c_d := HHy ê. Flatten@rulesDL@xD ê. C@D > cl êê Simplify; u@x, cd 6 I + x + c H + x L ê4 M Všimněte si, že obecné řešení, které nám nabízí Mathematica, má v reálném oboru smysl pouze pro Abs@xD >. Pokusíme se ověřit výsledek: eqn ê. Flatten@rulesD ê. C@D > c êê FullSimplify i x j + x + c H + x L ê4 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I + x + c H + x L ê4 M y z == 0 k { Dá se úvahou ověřit, že rovnice, kterou jsme dostali, platí při libovolném c na každém intervalu, na němž u[x,c] nabývá reálných hodnot. To je pro x < možné pouze v případě, že c je reálným násobkem

12 Math40-6.nb imaginárního čísla H L ê4. Zkusíme ještě jiný postup: eqn@@dd ê. Flatten@rulesD ê. C@D > c êê Simplify i i x j c H + x L +H + x L ê4 j + x $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I + x + c H + x L ê4 M y y zz k k { { 6 H + x L ê4 eqn@@dd ê. Flatten@rulesD ê. C@D > c êê Simplify êê PowerExpand 0 Mathematica tedy říká, že po dosazení řešení do levé strany rovnice a provedení blíže nespecifikovaných úprav dostaneme 0. Nyní záleží na nás, nakolik věříme, že všechny úpravy, které Mathematica provádí, jsou korektní. Myslím, že jistá skepse je na místě přinejmenším při použití příkazu PowerExpand, neboť úpravy jím prováděné nejsou vždy korektní. Zkusme určit z obecného řešení řešení počáteční úlohy y()= a obdobně ověřit jeho správnost. Pro konstantu c dostaneme dvě hodnoty, a u obou zjistíme, že výsledek kontroly správnosti závisí na postupu. Správné řešení počáteční úlohy přitom dává pouze jedna z nich. 8c0, c< = c ê. Solve@u@, cd ==, cd ê4 9, 5 ê4 = u@, #D &ê@ 8c0, c< 8, < Správnost řešení zkusíme ověřit nejprve pomocí FullSimplify: eqn ê. Flatten@rulesD ê. C@D > c0 êê FullSimplify 0 == i 6 x j x + ê4 H + x L ê4 +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I x + ê4 H + x L ê4 M y z k { eqn ê. Flatten@rulesD ê. C@D > c êê FullSimplify 0 == i 6 x j x + 5 ê4 H + x L ê4 +$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I x + 5 ê4 H + x L ê4 M y z k { Snadno se nahlédne, že jak první, tak i druhá rovnice jsou splněny pro ta x, pro něž výraz v závorce pod odmocninou je záporný. To zjistíme nejdříve přibližně grafickou cestou a pak exaktně pomocí Solve:

13 Math40-6.nb PlotA x + ê4 H + x L ê4, 8x,, 4<, AspectRatio > êe; Z grafu je zřejmé, že první rovnice není splněna v žádném okolí bodu a proto u[x,c0] naší diferenciální rovnici nevyhovuje v žádném okolí tohoto bodu. PlotA x + 5 ê4 H + x L ê4, 8x,, 4<, AspectRatio > êe; SolveA x + 5 ê4 H + x L ê4 == 0, xe 98x <, 8x <, 9x $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + 5 5ê =, 9x $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + 5 5ê == % êê N 88x.<, 8x.<, 8x.967<, 8x.967<< Druhá rovnice je tedy splněna pro x z otevřeného intervalu, jehož levý konec je přibližně roven a pravý je. Zkusme nyní ověřit správnost jinými prostředky: eqn@@dd ê. Flatten@rulesD ê. C@D > c0 êê Simplify êê PowerExpand êê Expand êê Together ê4 x ê4 x x H + x L ê4 + x H + x L ê4 H + x L ê4 % êê Numerator êê Factor H + xl x H + xl I ê4 H + x L ê4 M Dostali jsme výraz, který není roven nule na žádném intervalu a dokonce není nulový ani pro x=:

14 4 Math40-6.nb % ê. x > 7 ê4 Podobně je tomu pro c: eqn@@dd ê. Flatten@rulesD ê. C@D > c êê Simplify êê PowerExpand êê Expand êê Together 5 ê4 x 5 ê4 x x H + x L ê4 + x H + x L ê4 H + x L ê4 % êê Numerator êê Factor H + xl x H + xl I5 ê4 H + x L ê4 M % ê. x > 7 ê4 Příklad : lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Clear@x, yd; eqn = y@xd == Sin@xD Cos@xD 5 y@xd + + == Cos@xD + Sin@xD rules = DSolve@eqn, y, xd 99y J # C@D Cos@ #D # C@D Sin@ #D # Sin@ #D J 4 # Cos@#D # Cos@ #D + 4 # Sin@#D + 0 # Sin@ #DN + # Cos@ #D J 4 # Cos@#D 0 # Cos@ #D 4 # Sin@#D # Sin@ #DN &N== DSolve@eqn, y@xd, xd 99y@xD x C@D Cos@ xd x C@D Sin@ xd x Sin@ xd J 4 x Cos@xD x Cos@ xd + 4 x Sin@xD + 0 x Sin@ xdn + x Cos@ xd J 4 x Cos@xD 0 x Cos@ xd 4 x Sin@xD x Sin@ xdn==

15 Math40-6.nb 5 Clear@uD; u := Hy ê. Flatten@rulesDL ê. C@D > # ê. C@D > #; u@x, c, c D êê Simplify Cos@xD 5 + Sin@xD 0 x Sin@ xd c + x Cos@ xd c Heqn ê. rulesl êê Simplify 8True< Příklad : lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Řešení někdy můžeme dostat ve značně komplikovaném tvaru i u lineárních diferenciálních rovnic. Uvažujme např. rovnici eqn = y@xd + + == SinA x E + E x Sin@ + xd E x Cos@ + xd y@xd + + == x Cos@ + xd + SinA x E + x Sin@ + xd Obecné řešení této rovnice v reálném tvaru vypadá takto: E x CosA x E + 8 Cos@ 9 x D SinA x E + 77 Sin@ 9 x D E x Cos@ + 4 xd 5 09 E x Cos@ + xd E x Sin@ + xd è!!! è!!! 0 48 E x Sin@ + 4 xd + E xê x CosA E C + E xê x SinA E Mathematica nám dá obecné řešení v komplexním značně komplikovaném tvaru a není zrovna jednoduché uvést je na reálný tvar. Např. Simplify ani FullSimplify nám nepomohou - vyzkoušejte! Ukážeme si dvě možné cesty. rules = DSolve@eqn, y, xd; H Podívejte se, jak rules vypadají! L Clear@uD; H První možnost L u@x_d = Hy ê. Flatten@rulesDL@xD êê Simplify@#, Trig FalseD & êê TrigReduce êê Expand x Cos@ 9 x D 65 H +è!!!! L x C@D + H +è!!!! L x C@D 8 6 CosA x E x Cos@ + xd x Cos@ + 4 xd 5 6 SinA x E + 77 Sin@ 9 x D x Sin@ + xd 0 48 x Sin@ + 4 xd

16 6 Math40-6.nb = ê. ê;! ComplexDD :> êê Expand x CosA x E + 8 Cos@ 9 x D è!!! + 65 xê x C@D CosA E + è!!! xê x C@D CosA E 0 09 x Cos@ + xd x Cos@ + 4 xd 5 6 SinA x E + 77 Sin@ 9 x D è!!! 65 xê x C@D SinA E + è!!! xê x C@D SinA E + 09 x Sin@ + xd 0 48 x Sin@ + 4 xd u@x_d = u@xd ê. Complex@0, u_d > 0 x CosA x E + 8 Cos@ 9 x D è!!! + 65 xê x C@D CosA E + è!!! xê x C@D CosA E 0 09 x Cos@ + xd x Cos@ + 4 xd 5 6 SinA x E + 77 Sin@ 9 x D x Sin@ + xd 0 48 x Sin@ + 4 xd Clear@uD; H Druhá možnost L u@x_d = Hy ê. Flatten@rulesDL@xD êê ComplexExpand êê ExpandAll êê Simplify x CosA x E + 8 Cos@ 9 x D è!!! + 65 xê x C@D CosA E + è!!! xê x C@D CosA E 0 09 x Cos@ + xd x Cos@ + 4 xd 5 6 SinA x E + 77 Sin@ 9 x D è!!! 65 xê x C@D SinA E + è!!! xê x C@D SinA E + 09 x Sin@ + xd 0 48 x Sin@ + 4 xd u@x_d = u@xd ê. Complex@0, u_d > 0 x CosA x E + 8 Cos@ 9 x D è!!! + 65 xê x C@D CosA E + è!!! xê x C@D CosA E 0 09 x Cos@ + xd x Cos@ + 4 xd 5 6 SinA x E + 77 Sin@ 9 x D x Sin@ + xd 0 48 x Sin@ + 4 xd Příklad 4: Soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty Clear@t, y, yd; A = 884, <, 8, 4<<; eqn4 = == A.8y@tD, y@td<d; TableForm@eqn4D

17 Math40-6.nb 7 == 4 y@td y@td == y@td + 4 y@td rules4 = Flatten@DSolve@eqn4, 8y, y<, tdd; y@td ê. rules4 êê ComplexExpand 4 t C@D Cos@ td 4 t C@D Sin@ td y@td ê. rules4 êê ComplexExpand 4 t C@D Cos@ td + 4 t C@D Sin@ td Výsledek se dá zjednodušit: %% êê Collect@#, 8Cos@_D, Sin@_D<, FullSimplifyD & 4 t C@D Cos@ td 4 t C@D Sin@ td %% êê Collect@#, 8Cos@_D, Sin@_D<, FullSimplifyD & 4 t C@D Cos@ td + 4 t C@D Sin@ td à Rovnice s počátečními podmínkami: DSolve Úvodní poznámka Příkazy mají stejný tvar, jako v případě rovnic bez počátečních podmínek, rozdíl je pouze v tom, že do seznamu rovnic se zahrnou i počáteční podmínky. Příklad : Bernoulliova rovnice Podívejme se ještě jednou na počáteční úlohu y()= pro rovnici eqn a použijme pro jejich řešení přímo příkaz DSolve: Clear@x, yd; eqn = + x y@xd x x è!!!!!!!!!!!! y@xd == 0; x è!!!!!!!!!!!! y@xd + x y@xd x + == 0 Hy ê. DSolve@8eqn, y@d == <, y, xd êê FirstL@xD êê Simplify 6 I x + 5 ê4 H + x L ê4 M Dostali stejnou formuli jako již dříve, takže Mathematica našla správné řešení.

18 8 Math40-6.nb Příklad : Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty: Clear@x, yd; eqn5 = + 4 y@xd == Sin@xD Cos@xD, y@0d == 0, == < 84 y@xd + == Cos@xD + Sin@xD, y@0d == 0, == < rules5 = DSolve@eqn5, y, xd; Expand@Hy ê. Flatten@rules5DL@xDD Cos@xD + Sin@xD Cos@ xd + + Sin@ xd 6 Heqn5 ê. Flatten@rules5DL êê Simplify 8True, True, True< Příklad : Soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty Clear@t, y, yd; A = 884, <, 8, 4<<; eqn6 = == A.8y@tD, y@td< +8Sin@tD, Cos@tD<D; eqn6 = Thread@List@eqn6, 8y@0D == 0, y@0d == 0<DD; ColumnForm@eqn6D == Sin@tD + 4 y@td y@td, y@0d == 0< == Cos@tD + y@td + 4 y@td, y@0d == 0< rules6 = Flatten@DSolve@eqn6 êê Flatten, 8y, y<, tdd; Hy ê. rules6l@td êê Collect@#, 8Cos@_D, Sin@_D<, FullSimplifyD & Cos@tD t Cos@ td Sin@tD t Sin@ td Hy ê. rules6l@td êê Collect@#, 8Cos@_D, Sin@_D<, FullSimplifyD & Cos@tD t Cos@ td + Sin@tD t Sin@ td eqn6 ê. rules6 êê Flatten êê Simplify 8True, True, True, True<

19 Math40-6.nb 9 à Numerické řešení: NDSolve NDSolve[eqns,y,{x,xmin,xmax}]... najde numerickou aproximaci řešení y na intervalu xmin, xmax. Rovnice eqns musí obsahovat potřebné počáteční podmínky. y může být symbol nebo seznam symbolů. Výsledek má tvar {{y->interpolatingfunction[{xmin,xmax},<>]}} Jestliže výsledek označíme rules, potom přibližnou hodnotu (přibližné hodnoty) řešení v bodě x získáme příkazem y[x]/.flatten[rules]. Příklad : Bernoulliova rovnice s počáteční podmínkou y()= eqn7 = 8eqn, y@d == < 9 x è!!!!!!!!!!!! y@xd + x y@xd x + == 0, y@d == = rules7 = Flatten@NDSolve@eqn7, y, 8x,, 5<DD NDSolve::mxst : Maximum number of 000 steps reached at the point x == `. 8y InterpolatingFunction@88.74, 5.<<, <>D< Plot@Re@y@xD ê. rules7d, 8x,.8, 5<, AspectRatio > ê D; #, Hy ê. rules7l@#d< & ê@ Range@.8, 5, 0.5D êê Re êê N@#, D & êê Transpose êê TableForm@#, TableSpacing 8, <D & Příklad : lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Clear@yD; eqn8 = eqn5; rules8 = Flatten@NDSolve@eqn8, y, 8x, 0, 4 π<dd

20 0 Math40-6.nb 8y <>D< ê. rules8d, 8x, 0, 5<, AspectRatio > êd; #, Hy ê. rules8l@#d< & ê@ Range@0, 5D êê N@#, 4D & êê Transpose êê TableForm@#, TableSpacing 8, <D & Příklad : Soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty eqn9 = eqn6; eqn9 êê ColumnForm == Sin@tD + 4 y@td y@td, y@0d == 0< == Cos@tD + y@td + 4 y@td, y@0d == 0< rules9 = NDSolve@eqn9 êê Flatten, 8y, y<, 8t, 0, 5<D êê Flatten; rules9 êê ColumnForm y InterpolatingFunction@880., 5.<<, <>D y InterpolatingFunction@880., 5.<<, <>D 8y@tD, y@td< ê. rules9 êê Re 8Re@InterpolatingFunction@880., 5.<<, <>D@tDD, Re@InterpolatingFunction@880., 5.<<, <>D@tDD< Plot@8y@tD, y@td< ê. rules9 êê Re êê Evaluate, 8t, 0, <, AspectRatio > êd;

21 Math40-6.nb ê. rules9 êê Re êê Evaluate, 8t, 0, <, AspectRatio > êd; H8#, ê. rules9< êê Flatten L & ê@ Range@0,, 0.4D êê N@#, 4D & êê Transpose êê TableForm à Grafické znázornění řešení Clear@yD; eqn0 = + 4 y@xd == x Sin@xD, y@0d == 0, == < General::spell : Possible spelling error: new symbol name "eqn0" is similar to existing symbol "eqn0". 84 y@xd + == x Sin@xD, y@0d == 0, == <. možnost: řešení rovnice máme ve tvaru y[x]->expr rules0 = Flatten@DSolve@eqn0, y@xd, xdd; Plot@Evaluate@y@xD ê. rules0d, 8x, 0, 4 π<, AspectRatio > ê D; možnost: řešení máme ve tvaru y->expr& rules0 = Flatten@DSolve@eqn0, y, xdd; Plot@y@tD ê. rules0, 8t, 0, 4 π<, AspectRatio > êd;

22 Math40-6.nb možnost: řešení máme ve tvaru y->interpolatingfunction rules0 = Flatten@NDSolve@eqn0, y, 8x, 0, 4 π<dd; Plot@y@xD ê. rules0, 8x, 0, 4 π<, AspectRatio > êd; Laplaceova transformace à Úvod Laplaceův obraz výrazu f vzhledem k proměnné t se najde příkazem LaplaceTransform[f,t,p]. Předmět k danému obrazu F proměnné p získáte příkazem InverseLaplaceTransform[F,p,t]. Výsledek je výraz proměnné t. Názvy obou transformací jsou velmi dlouhé, můžeme si ale zavést zkratky, např. můžeme definovat LT=LaplaceTransform[f,t,p], ILT=InverseLaplaceTransform[F,p,t]. Pro jednotkový skok, neboli Heavisideovu funkci, používá Mathematica jméno UnitStep. I pro tuto funkci si můžeme zavést kratší označení, např. H=UnitStep. Clear@LT, ILT, H, HLT, HILT, HFHD; LT = LaplaceTransform; ILT = InverseLaplaceTransform; H = UnitStep; HLT = HoldForm@LTD; HILT = HoldForm@ILTD; HFH = HoldForm@HD;

23 Math40-6.nb 8Assumptions 8<, GenerateConditions False, PrincipalValue False, Analytic True< 8< à Přímá transformace pd; td, t, pd, t, pd, td, t, pd< p p, + p, + p = 8LT@Exp@tD Cos@ td, t, pd, LT@t Sin@tD, t, pd, LT@Exp@ td Cos@tD, t, pd< + p + 6 p 9, 5 p + p H + p L, + p p + p = LT@Sin@t 5D H@t 5D, t, pd 5 p + p LT@Sin@t πd H@t πd, t, pd p π + p LTASinAt π E HAt π E, t, pe p π + p LT@Sin@t ad H@t ad, t, pd a p + p

24 4 Math40-6.nb ad ad, t, p, GenerateConditions TrueD ê. LT HLT ê. H HFH IfAa > 0, a p + p, LT@Sin@a td H@ a + td, t, p, GenerateConditions TrueDE Po úsecích zadané funkce musíme vyjádřit pomocí Heavisideovy funkce H=UnitStep: Clear@fD; f@t_d := t ê; 0 t ; f@t_d := t ê; < t ; f@t_d := 0 ê; < t; Plot@f@tD, 8t, 0, 5<, AspectRatio 0.4D; LT@f@tD, t, pd ê. LT HLT 4 5 LT@f@tD, t, pd Clear@fD; f@t_d = HH@tD H@t DL t +HH@t D H@t DL H tl; f@td ê. UnitStep > HFH H tl H H@ + td + H@ + tdl + t H H@ + td + H@tDL Plot@f@tD, 8t, 0, 5<, AspectRatio 0.4D; LT@f@tD, t, pd 4 5 p p p + p p p H + pl p + p H + pl p

25 Math40-6.nb 5 LT@Sin@tD Cos@ td, t, pd LTASinAt π E HAt π E, t, pe + p H + p L H9 + p L p π + p à Inverzní transformace p + p ILTA, p, te Hp + 4L Hp + L 0 t H8 0 t + t Cos@ td t Sin@ tdl ILTA Hp + p L Exp@ pd, p, te ê. H > HFH Hp + 4L Hp + L 0 t H8 0 H + tl + +t Cos@ H + tld +t Sin@ H + tldl H@ + td % êê Simplify 0 t H H9 5 tl + t Cos@ td + t Sin@ tdl H@ + td p + ILTA p + 4 p + 5 H p L, p, te ê. H > HFH J + N H+ L t HH t L H@ + td + H + t L H@tDL H% ê. HFH H êê FullSimplifyL ê. H HFH êê Collect@#, 8HFH@tD, HFH@t D<D & 4 t HCos@ td + Sin@ tdl H@ + td t H Cos@tD + Sin@tDL H@tD àřešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty Příklad eqn8 84 y@xd + == Cos@xD + Sin@xD, y@0d == 0, == <

26 6 Math40-6.nb eqn8lt = Map@LT@#, x, pd &, eqn8, 8<D ê. LT > HLT 9 p y@0d + 4 LT@y@xD, x, pd + p LT@y@xD, x, pd == y@0d p == 0, p == p = + p p + p, rules8lt = Flatten@Solve@eqn8lt, HLT@y@xD, x, pddd 9LT@y@xD, x, pd p + p H + p L H4 + p L = HLT@y@xD, x, pd ê. rules8lt p + p H + p L H4 + p L Clear@uD; u@x_d = ILT@HLT@y@xD, x, pd ê. rules8lt, p, xd H Cos@xD + Cos@ xd + 4 Sin@xD + Sin@ xdl 6 Plot@u@tD, 8t, 0, <, AspectRatio 0.4D; Příklad eqn = Heqn5@@, DD == f@tdl ê. x > t; eqn ê. H > HFH 4 y@td + == H tl H H@ + td + H@ + tdl + t H H@ + td + H@tDL eqnlt = LT@eqn, t, pd ê. LT > HLT p y@0d + 4 LT@y@tD, t, pd + p LT@y@tD, t, pd == p p p + p p p H + pl + p H + pl p p

27 Math40-6.nb 7 ruleslt = Flatten@Solve@eqnlt, HLT@y@tD, t, pddd 9LT@y@tD, t, pd p H p + p + p p y@0d + p p p H4 + p = L ylt = HLT@y@tD, t, pd ê. ruleslt p H p + p + p p y@0d + p p p H4 + p L K této funkci verze.0 bez problémů našla předmět. Verze 4.0 to neumí, místo výsledku produkuje nesmyslná chybová hlášení: TimeConstrained@ILT@ylt, p, td, 0D ê. H HFH General::ivar : t Integrate`NLtheoremDump`t$546 is not a valid variable. General::ivar : 0 is not a valid variable. General::ivar : t Integrate`NLtheoremDump`t$546 is not a valid variable. General::stop : Further output of General::ivar will be suppressed during this calculation. $Aborted Předmět však bez problémů najde, aplikujeme-li nejprve na výraz ylt funkci Expand: ylt = ylt êê Expand p H4 + p L + p p H4 + p L p p H4 + p L + p y@0d 4 + p p Clear@uD; u@td = ILT@ylt, p, td ê. H > HFH Ht Cos@tD Sin@tDL + Cos@ td y@0d + 4 H + t + Cos@ td Sin@ tdl H@ + td 4 H + t + Cos@ td Sin@ tdl H@ + td + Cos@tD Sin@tD u@td = u@td êê Expand êê Simplify êê Collect@#, HFH@t + u_dd & 8 H 4 + t + Sin@4 tdl H@ + td 4 H + t + Sin@ tdl H@ + td + 8 H t Sin@ td + 8 Cos@ td y@0d + 4 Sin@ td Plot@u@tD ê. 8y@0D 0< ê. 88y'@0D <, 8y'@0D π<< ê. HFH H êê Evaluate, 8t, 0, 0<, PlotRange All, AspectRatio 0.4D;

28 8 Math40-6.nb Příklad Clear@t, y, yd; A = 884, <, 8, 4<<; eqn = Sin@tD + y@td y@td, y@0d 0, Cos@tD + y@td + 4 y@td, y@0d 0<; eqn êê ColumnForm@#, CenterD & == Sin@tD + y@td y@td y@0d == 0 == Cos@tD + y@td + 4 y@td y@0d == 0 eqnlt = Map@LT@#, t, pd &, eqn, 8<D ê. LT HLT; eqnlt êê ColumnForm@#, CenterD & y@0d + p LT@y@tD, t, pd == +p + LT@y@tD, t, pd LT@y@tD, t, pd y@0d + p LT@y@tD, t, pd == y@0d p == 0 p +p + LT@y@tD, t, pd + 4 LT@y@tD, t, pd y@0d p == 0 ruleslt = Solve@eqnlt, 8HLT@y@tD, t, pd, HLT@y@tD, t, pd<d; ruleslt = ruleslt êê Flatten êê Simplify; ruleslt êê ColumnForm@#, CenterD & H+pL H+p LH 6 p+p L LT@y@tD, t, pd LT@y@tD, t, pd p +p 6 p+p 8ylt, ylt< = 8HLT@y@tD, t, pd, HLT@y@tD, t, pd< ê. ruleslt H + pl 9 H + p L H 6 p + p L, p +p 6 p + p = y@t_d = ILT@ylt, p, td êê ComplexExpand êê TrigReduce 4 I Cos@tD + t CosA è!!! te 7 Sin@tD è!!! t SinA è!!! tem

29 Math40-6.nb 9 y@t_d = ILT@ylt, p, td êê ComplexExpand 5 Cos@tD t CosA è!!! te + Sin@tD è!!! 7 t SinA è!!! te eqn êê Simplify 8True, True, True, True< Fourierova transformace Definice FourierTransform[f[t],t,ω]... c Ÿ fhtl b ω t t InverseFourierTransform[F[ω],ω,t]... d Ÿ FHωL b ω t ω FourierSinTransform[f[t],t,ω]... c Ÿ 0 fhtl sinhb ω tl t InverseFouriersinTransform[F[ω],ω,t]... d Ÿ 0 fhtl sinhb ω tl t FourierCosTransform[f[t],t,ω]... c Ÿ 0 fhtl coshb ω tl t InverseFourierCosTransform[F[ω],ω,t]... d Ÿ 0 fhtl coshb ω tl t Koeficienty b,c,d závisejí na skrytém argumentu FourierParameters.Při nastavení FourierParameters->{a,b} je c = $%%%%%%%%%%%%%%%%%»b», d = $%%%%%%%%%%%%%%%%%»b» H πl a H πl +a Obvyklé konvence: čistá matematika... {a,b}={,-}, klasická fyzika... {a,b}={-,}, moderní fyzika... {a,b}={0,}, systémové inženýrství... {a,b}={,-}, zpracování signálů... {a,b}={0,-π}!!! Konvenci "zpracování signálů" nepoužívejte, vede někdy k chybám - viz příklady a!!! Options@FourierTransformD == Options@InverseFourierTransformD == Options@FourierSinTransformD == Options@InverseFourierSinTransformD == Options@FourierCosTransformD == Options@InverseFourierCosTransformD True

30 0 Math40-6.nb 8Assumptions 8<, GenerateConditions False, FourierParameters 80, << Nastavit FourierParameters stejně pro všech 6 transformací můžeme např. takto: Clear@FourierOptionsD; FourierOptions@a_, b_d := SetOptions@#, FourierParameters 8a, b<d & ê@ 8FourierTransform, InverseFourierTransform, FourierSinTransform, InverseFourierSinTransform, FourierCosTransform, InverseFourierCosTransform<; Příklad : FourierTransform@ Abs@xD, x, ω, FourierParameters #D &ê@ 8 8, <, 8, <, 80, <, 80, π<< "##### 9 + ω, π + π ω, π + ω, + 4 π ω = MapThread@InverseFourierTransform@ #, ω, x, FourierParameters #D &, 8%, 8 8, <, 8, <, 80, <, 80, π<<<d 9 Abs@xD, Abs@xD, Abs@xD, Abs@xD π = FourierSinTransform@ x, x, ω, FourierParameters #D &ê@ 8 8, <, 8, <, 80, <, 80, π<< 9 ω "##### + ω, ω π H + ω L, π ω + ω, 4 π ω + 4 π ω = MapThread@InverseFourierSinTransform@ #, ω, x, FourierParameters #D &, 8%, 8 8, <, 8, <, 80, <, 80, π<<<d 8 x, x, x, x < FourierCosTransform@ x, x, ω, FourierParameters #D &ê@ 8 8, <, 8, <, 80, <, 80, π<< "##### 9 + ω, π H + ω L, π + ω, + 4 π ω = MapThread@InverseFourierCosTransform@ #, ω, x, FourierParameters #D &, 8%, 8 8, <, 8, <, 80, <, 80, π<<<d 8 x, x, x, x <

31 Math40-6.nb Příklad FT = FourierTransform; HFT = HoldForm@FTD; IFT = InverseFourierTransform; Konvence "zpracování signálů" vede k chybnému výsledku: FourierOptions@0, πd; Clear@uD; eqn = u''@xd u@xd Abs@xD u@xd + == Abs@xD eqnft = HFT@#, x, ωd &ê@ eqnl ê. FT HFT FT@ u@xd + x, ωd == + 4 π ω eqnft = eqnft ê. HFT@u_ + v_, x, ωd FT@u, x, ωd + FT@v, x, ωd ê. FT HFT FT@u@xD, x, ωd 4 π ω FT@u@xD, x, ωd == + 4 π ω rulesft = Solve@eqnft, FT@u@xD, x, ωdd êê Flatten 9FT@u@xD, x, ωd H + 4 π ω L = rules = u@xd HIFT@rulesft@@, DD ê. HFT FT, ω, xd êê ExpandL u@xd Abs@xD π Abs@xD π Abs@xD 4 π rules = u Function@rules@@DD ê. x # êê EvaluateD u i k j Abs@#D π Abs@#D π Abs@#D 4 π & y z { eqn ê. rules ê. 8Abs@xD x, Abs'@xD, Abs''@xD 0< êê Simplify x π H π + 8 π x + 4 π xl 6 π == x eqn ê. rules ê. 8Abs@xD x, Abs'@xD, Abs''@xD 0< êê Simplify x π H π + 8 π + x 4 π xl 6 π == x S konvencí "Mathematica" a "moderní fyzika" dostaneme správný výsledek:

32 Math40-6.nb D; eqn = u''@xd u@xd Abs@xD u@xd + == Abs@xD eqnft = HFT@#, x, ωd &ê@ eqnl ê. FT HFT FT@ u@xd + x, ωd == "##### π + ω eqnft = eqnft ê. HFT@u_ + v_, x, ωd FT@u, x, ωd + FT@v, x, ωd ê. FT HFT FT@u@xD, x, ωd ω FT@u@xD, x, ωd == "##### π + ω rulesft = Solve@eqnft, FT@u@xD, x, ωdd êê Flatten "##### π 9FT@u@xD, x, ωd H + ω L = rules = u@xd HIFT@rulesft@@, DD ê. HFT FT, ω, xd êê ExpandL u@xd Abs@xD Abs@xD Abs@xD rules = u Function@rules@@DD ê. x # êê EvaluateD u J Abs@#D Abs@#D Abs@#D &N eqn ê. rules ê. 8Abs@xD x, Abs'@xD, Abs''@xD 0< êê Simplify True eqn ê. rules ê. 8Abs@xD x, Abs'@xD, Abs''@xD 0< êê Simplify True

33 Math40-6.nb Z-transformace Definice ZTransform[f[n],n,z]= n=0 fhnl z n... Z-transformace posloupnosti 8f@nD< n=0 InverseZTransform[F[z],z,n]... inverzní Z-transformace ZT = ZTransform; HZT = HoldForm@ZTD; IZT = InverseZTransform; Příklad Poznámka. Posloupnost u HL,, u Ha L řešící níže uvedenou diferenční rovnici má např. tuto interpretaci: Dva hráči A, B hrají opakovaně jistou hru. Výsledky jednotlivých partií jsou na sobě nezávislé, pravděpodobnost výhry hráče A je v každé partii rovna p, pravděpodobnost výhry hráče B je rovna p. Hráč, který partii vyhraje, získává od svého protivníka jednu korunu. Hráč A začíná hrát s kapitálem n korun, hráč B začíná s kapitálem a n korun, kde 0 < n < a jsou přirozená čísla. Hra končí, jakmile jeden z hráčů nemá o co hrát. Potom uhnl je pravděpodobnost, že hráč A svůj počáteční kapitál prohraje. Clear@a, p, ud; eqn4 = 8u@nD H pl u@n D + p u@n + D, u@0d, u@ad 0< 8u@nD == H pl u@ + nd + p u@ + nd, u@0d == < eqn4zt = ZT@#, n, zd &ê@ eqn4@@dd ê. ZT HZT ZT@u@nD, n, zd ZT@u@nD, n, zd == u@ D + z ZT@u@nD, n, zd p Ju@ D + N + p H z u@0d + z ZT@u@nD, n, zdl z rules4zt = Solve@eqn4zt, HZT@u@nD, n, zdd êê Flatten 9ZT@u@nD, n, zd z H u@ D + p u@ D + p z u@0dl p z + p z = rules4 = u@nd HIZT@rules4zt@@, DD, z, nd ê. u@0d êê FullSimplifyL u@nd p n HH pl +n H + u@ DL + p n Hp +H + pl u@ DLL + p u@ D = Solve@u@nD 0 ê. rules4 ê. n a, u@ DD@@,, DD êê FullSimplify H pl +a + p +a H pl +a +H + pl p a

34 4 Math40-6.nb = ê. rules4 êê FullSimplify H pl a H pl n p a n H pl a p a eqn4 êê Simplify 8True, True< Protože rovnice p z + p z = 0 má kořeny z =, z = H plêp, výsledek platí za předpokladu p ê. V případě p = ê dostaneme výsledek značně odlišný: Clear@uD; eqn4zt = ZT@#, n, zd &ê@ eqn4@@dd ê. p ZT@u@nD, n, zd == ZT@u@nD, n, zd Ju@ D + z ê. ZT HZT N + H z u@0d + z ZT@u@nD, n, zdl rules4zt = Solve@eqn4zt, HZT@u@nD, n, zdd êê Flatten 9ZT@u@nD, n, zd z H u@ D + z u@0dl z + z = rules4 = u@nd HIZT@rules4zt@@, DD, z, nd ê. u@0d êê FullSimplifyL u@nd + n n u@ D u@ D = Solve@u@nD 0 ê. rules4 ê. n a, u@ DD@@,, DD êê FullSimplify + a u@n_d = u@nd ê. rules4 êê FullSimplify n a eqn4 êê Simplify 8True, True<

35 Math40-6.nb 5 Numerické operace s daty à Aproximace dat Fit Fit[data,funcs,vars]... najde lineární kombinaci funkcí ze seznamu funcs,která ve smyslu metody nejmenších čtverců nejlépe aproximuje data SetOptions@#, DisplayFunction IdentityD & ê@ 8Plot, ListPlot<; SeedRandom@ D; data = Table@ x + Random@Real, 8, <D, 8x,, 0<D; dataplot = ListPlot@data, PlotStyle PointSize@0.05DD; datafit = Fit@data, 8, x<, xd; datafitplot = Plot@datafit êê Evaluate, 8x, 0, 0<D; Show@dataplot, datafitplot, AspectRatio 0.4, DisplayFunction $DisplayFunctionD; datafit x Hdata Function@x, datafit êê EvaluateD ê@ Range@, 0DL êê Abs 8.765, , 0.955,.9679, 0.65, , , ,.877,.66, , 0.68,.086,.554,.0687,.78046, ,.4574,.489,.079< SeedRandom@ D; data = Table@ 8x, H 8 + xl H + xl H + xlê50 + Random@Real, 8, <D<, 8x, 0, 0<D; dataplot = ListPlot@data, PlotStyle PointSize@0.05DD; datafit = Fit@data, 8, x, x, x <, xd; datafitplot = Plot@datafit êê Evaluate, 8x, 0, 0<D; Show@dataplot, datafitplot, AspectRatio 0.5, DisplayFunction $DisplayFunctionD;

36 6 Math40-6.nb datafit x x x HLast ê@ data Function@x, datafit êê EvaluateD ê@ Range@0, 0DL êê Abs , ,.6677, , ,.4985, , , 0.068, , 0.044,.85409,.8004,.54, , 0.765,.7, , , 0.087, < SeedRandom@ D; data = Table@8x, Exp@ xd + Random@Real, 8, <D<, 8x, 0,, 0.<D; dataplot = ListPlot@data, PlotStyle PointSize@0.05DD; datafit = Exp@Fit@8#@@DD, Log@#@@DDD< & ê@ data, 8, x<, xdd; datafitplot = Plot@datafit êê Evaluate, 8x, 0, <D; Show@dataplot, datafitplot, AspectRatio 0.5, DisplayFunction $DisplayFunctionD; datafit x HLast ê@ data Function@x, datafit êê EvaluateD ê@ Range@0,, 0.DL êê Abs 80.59,.07994, ,.7459, 0.008, 0.996, , 0.754, ,.008, <

37 Math40-6.nb 7 InterpolatingPolynomial InterpolatingPolynomial[{f,f,...},x]... polynom p(x)nejnižšího stupně s hodnotami f,f,... v bodech,,... InterpolatingPolynomial[{{x,f},...}},x]... polynom p(x) nejnižšího stupně s hodnotami f,f,... v bodech x,x,... InterpolatingPolynomial[{{x,{f,df,...}},{x,{f,df,...}},...}},x]... polynom p(x) nejnižšího stupně s hodnotami a derivacemi {f,df,...},{f,df,...},... v bodech x,x,... data4 = 8,, 5, 0<; data4plot = ListPlot@data4, PlotStyle PointSize@0.05DD; data4poly = InterpolatingPolynomial@data4, xd êê Expand; data4polyplot = Plot@data4poly, 8x, 0.9, 4.<D; Show@data4plot, data4polyplot, AspectRatio 0.5, DisplayFunction $DisplayFunctionD; data4poly 05 x + 6 x 7 x data5 = Table@8x, 8x, x, x<<, 8x, 0, 9, <D; data5plot = ListPlot@8#@@DD, #@@, DD< & ê@ data5, PlotStyle PointSize@0.05DD; data5poly = InterpolatingPolynomial@data5, xd êê Expand; data5polyplot = Plot@data5poly, 8x, 0., 9.<D; Show@data5plot, data5polyplot, AspectRatio 0.5, DisplayFunction $DisplayFunctionD;

38 8 Math40-6.nb data5poly 80 x 6595 x x x x x8 065 x x0 6 x Last ê@ data5 880, 0, 0<, 8, 9, 9<, 86, 6, 8<, 89, 8, 7<< Function@x, 8data5poly, D@data5poly, xd, D@data5poly, x, xd< êê EvaluateD ê@ Range@0, 9, D 880, 0, 0<, 8, 9, 9<, 86, 6, 8<, 89, 8, 7<< à Diskrétní Fourierova Transformace Definice Fourier@8u,, u n <D = TableA n u r π b Hr L Hs Lên, 8s,, n<e c r= n InverseFourier@8v,, v n <D = TableA n v s π b Hr L Hs Lên, 8r,, n<e d s= n Koeficienty b,c,d závisejí na skrytém argumentu FourierParameters.Při nastavení FourierParameters->{a,b} je c = H alê, d = H + alê Obvyklé konvence: analýza dat... {a,b}={-,}, zpracování signálů... {a,b}={,-} Options@FourierD == Options@InverseFourierD True

39 Math40-6.nb 9 Options@FourierD 8FourierParameters 80, << Příklad data6 = Table@ N@Sin@60 π nê00dd + N@Sin@50 π nê00dd + Random@D, 8n,, 00<D; ListPlot@data, PlotJoined True, PlotRange AllD; data6ft = Fourier@data6D; ListPlot@data6ft êê Abs, PlotJoined True, PlotRange AllD; data6ftinv = InverseFourier@If@Abs@#D <, 0, #D & ê@ data6ftd; ListPlot@Re ê@ data6ftinv, PlotJoined True, PlotRange AllD;

40 40 Math40-6.nb Příklad SetOptions@#, FourierParameters 8, <D & ê@ 8Fourier, InverseFourier<; data7 = Random@Integer, 8, 99<D & ê@ Range@, 9D; À = Table@RotateLeft@data7, nd, 8n, 0, 8<D; À êê MatrixForm i y j k z 7{ Matice, které vznikají tímto způsobem, se nazývají cirkulantní. Absolutní hodnoty jejich vlastních čísel jsou až na pořadí totožné s absolutními hodnotami diskrétní Fourierovy transformace jejich prvního řádku. eigvs = Eigenvalues@À êê N@#, 7D &D êê Abs êê Sort; data7ft = Fourier@data7 êê N@#, 7D &D êê Abs êê Sort; 8eigvs, data7ft, eigvs data7ft êê Chop@#, 0 4 D &< êê Transpose êê MatrixForm i y j k z 0{