< (h(x i ) ε) + ϕ k (t i ) ϕ k (t i 1 ) + ε m.

Transkript

1 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU JAN MALÝ 1. Obecná úloha 1.1. Formulace úlohy. N které klasické úlohy varia ního po tu lze vyjád it ve tvaru J () = h(x) ds, kde h : R n [, + ] je nezáporná zdola polospojitá funkce. Hledáme minimum tohoto funkcionálu ve t íd X lipschitzovských k ivek : [, 1] R n, které spl ují okrajovou podmínku (1) () = A, (1) = B, Délku k ivky ozna me l(). Ozna me X L = { X : Lip L} V ta. Nech h, J, X jsou jako vý²e. Nech ( k ) k je posloupnost k ivek z X, která konverguje stejnom rn k X. Potom J () lim inf J ( k). k Funkcionál J je tedy zdola polospojitý na (X, ). D kaz. Víme, ºe existuje posloupnost (h j ) j spojitých nezáporných funkcí s s kompaktním nosi em tak, ºe h j h. Je-li J j () = h j (x) ds, pak J j J a z polospojitosti J j dostaneme polospojitost J. M ºeme tedy BÚNO p edpokládat, ºe h je spojitá a má kompaktní nosi. Funkce h je stejnom rn spojitá. Najd me δ > tak, ºe x x 3δ = h(x ) h(x) < ε. Ozna me L lispchitzovskou konstantu k ivky. Dále najd me riemannovský sou- et m S(h,, D) = h(x i ) x i x i 1, kde = t t 1 t m = 1, x i = (t i ), max i t i t i 1 < δ L a h ds S(h,, D) + ε. i=1 Potom pro v²echna i = 1,..., m a t [t i 1, t i ] je (t) x i < δ. Nech k je tak velké, ºe k < δ a pro v²echna i = 1,..., m je (h(x i ) ε) + x i x i 1 = (h(x i ) ε) + (t i ) (t i 1 ) < (h(x i ) ε) + k (t i ) k (t i 1 ) + ε m. 1

2 2 JAN MALÝ Potom k (t) x i < 2δ na [t i 1, t i ] a tudíº pro v²echna i = 1,..., m máme h(x i ) x i x i 1 ε x i x i 1 + (h(x i ) ε) + x i x i 1 ε x i x i 1 + (h(x i ) ε) + k (t i ) k (t i 1 ) + ε m ti ε x i x i 1 + (h(x i ) ε) + k(t) dt + ε t i 1 m ti ε x i x i 1 + (h( k (t))) k(t) dt + ε t i 1 m. Se teme p es i a dostaneme h ds S(h,, D) + ε 1 ε(2 + L) + (h( k (t))) k(t) dt = (2 + L)ε + h ds. k 1.3. V ta. Nech h, J, X jsou jako vý²e a X L je neprázdná. Potom J nabývá minima na X L. D kaz. Nech k je minimizující posloupnost. Potom k jsou stejn spojité a stejn omezené, tedy podle Arzela-Ascoliho v ty m ºeme vybrat stejnom rn konvergentní podposloupnost. P ezna me tak, aby uº posloupnost k byla stejnom rn konvergentní a její limitu ozna me. Podle v ty 1.2 je K ivka je tedy minimizér. J () lim inf J ( k). k 1.4. V ta o regularit. Nech je minimizér J na X parametrizovaný tak, ºe je konstanta a < h < na ([, 1]). Nech h je t ídy C 2. Potom je W 3,. D kaz. Samoz ejm, = l := l(). Nech ψ W 1, ((, 1), R n ) je testovací funkce. Potom 1 ( h((t)) (t) ψ(t) + h((t)) (t) ) (t) ψ (t) dt =, tedy s p ihlédnutím k identit = l máme (2) ((h ) ) = l 2 h ve smyslu distribucí. Funkce h je lipschitzovská, tedy (h ) je W 2,, odtud je lipschitzovská. Tím pádem ov²em h je W 2, a je W 2,. 2. Úlohy monotonní v druhé prom nné 2.1. Formulace úlohy. Tentokrát uvaºujeme interval I R a spojitá neklesající funkce h: I [, ] bude záviset jen na y. P edpokládejme, ºe < h < uvnit I. Nech A, B R I. Budeme vy²et ovat minimizéry funkcionálu J () = h(y) ds,

3 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 3 na mnoºin X = { : [, 1] R 2 : lipschitzovská, () = A = (x A, y A ), (1) = B = (x B, y B ), ([, 1]) R I}. Tentokrát bude mít sou adnice x, y. Jestliºe levý krajní bod I je, p edpokládejme (3) ya h(y) dy =. Jestliºe levý krajní bod je c R, p edpokládejme c I. Z d vodu symetrie m ºeme p edpokládat, ºe x A x B Denice. ekneme, ºe k ivka je konvexního typu, jestliºe (K1) x je neklesající; (K2) pro kaºdý lineární polynom p a pro kaºdý uzav ený podinterval [α, β] [, 1] platí [ y (α) = p(x (α)), y (β) = p(x (β)) ] = y p x na [α, β] V ta. Nech h > na I, L > a je minimizér J na X L. Potom je konvexního typu. D kaz. Nech x není neklesající. Potom existuje podinterval [α, β] [, 1] tak, ºe α < β, x (α) = x (β) a x není konstantní na [α, β]. Poloºme { x (α), t [α, β], y ψ = y, x ψ (t) = x (t), t / [α, β]. Potom je z ejmé, ºe J (ψ) < J (), protoºe h ψ = h >, ale je del²í, to je spor. Nech nyní není spln ná podmínka (K2). Potom existuje lineární polynom p a nedegenerovaný interval [α, β] [, 1] (obecn men²í, neº p ímo ten, o n mº se zmi uje formulace podmínky) tak, ºe y (α) = p(x (α)), y (β) = p(x (β)), ale (4) y > p x na (α, β). Nech π je ortogonální projekce R 2 na graf funkce p a { π((t)), t [α, β], ψ(t) = (t), t / [α, β]. Potom π 1 a tudíº ψ, navíc ψ je krat²í, tedy takºe β α ψ (t) dt < β α (t) dt, (5) ψ < na mnoºin kladné míry. Z vlastnosti (4) plyne (6) y > y ψ na (α, β). Nech t (α, β), chceme dokázat, ºe y ψ (t) I. P edpokládejme, ºe p je neklesající, p ípad nerostoucí p je analogický. Potom z (K1) plyne, ºe x (t) x (α) a y (t) > p(x (t)) p(x (α)) = y (α). Potom π(x (t), y (t)) leºí také v kvadrantu {x

4 4 JAN MALÝ x (α), y y (α)}, tedy (s pomocí (6)) y ψ (t) [y (α), y (t)] I. Z vlastností (6) a (5) dostaneme β α h(y ψ (t)) ψ (t) dt < tedy J (ψ) < J (), spor. β α h(y ψ (t)) (t) dt β α h(y (t)) (t) dt, 2.4. V ta. Funkcionál J má minimizér na X. Mezi minimizéry J na X existuje k ivka konvexního typu. D kaz. Rozli²íme dva p ípady. Nech I je zdola omezený interval, c je jeho levý krajní bod. Ozna me J δ () = (h + δ) ds, δ >. Bu s = inf X J. Zvolme ε > a najd me ψ X tak, ºe J (ψ) s + ε. Bu M délka ψ a zvolme δ > tak, ºe Mδ < ε. Podle v ty (1.3) existuje minimizér γ funkcionálu J δ v X M. Potom z v ty 2.3 dostaneme, ºe γ je konvexního typu, tedy délka γ je maximáln L := y A c+y B c+x B x A. tj. po p ípadné reparametrizaci γ X L. Máme J (γ) J δ (γ) J δ (ψ) J (ψ) + Mδ s + 2ε. Tedy inf XL J inf X J + 2ε, p i emº ε m ºeme poslat k nule. Uvaºujme posloupnost ( k ) k minimizér J 1/k v X L. Potom v²echny k jsou konvexního typu a mají délku odhadnutou konstantou L. Podobn jako v d kazu v ty 1.3 m ºeme vybrat stejnom rn konvergentní posloupnost a její limita je minimizér J v X L, tedy i v X, nebo vý²e jsme dokázali inf XL J = inf X J. Z ejm je konvexního typu. Nyní nech I je zdola neomezený a s = inf J. Najd me c < y A tak, ºe Zvolme ψ X tak, ºe ya c h dy > s + 1. J (ψ) s + 1. Potom hodnoty ψ musí leºet v pásu {y c}. Bu M délka ψ. Podle v ty (1.3) existuje minimizér γ funkcionálu J v X M. Potom z v ty 2.3 dostaneme, ºe γ je konvexního typu, tedy délka γ je maximáln L := y A c + y B c + x B x A, tj. po p ípadné reparametrizaci γ X L. Máme J (γ) J (ψ), tedy inf XL J inf X J. Podle v ty 1.3 existuje minimizér funkcionálu J v J L. Jelikoº h h(c) > na [c, ) I, podle v ty 2.3 je konvexního typu V ta. Nech X je minimizér J na X a [α, β] [, 1] Nech existuje spojitá funkce w na [a, b] := [x (α), y (β)] tak, ºe y = w x na [α, β]. Nech < h w < na (a, b) a h je t ídy C 2. Potom w je dvakrát spojit diferencovatelná na (a, b) a spl uje ( 1 + (w ) 2 ) =. h w

5 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 5 D kaz. Nech p je lineární polynom, jehoº graf spojuje (α) a (β). Funkce w minimizuje na p + W 1,1 ((a, b)) funkcionál F(w) = b a h(w(x)) 1 + (w (x)) 2 dx a tudíº je slabé e²ení Euler-Lagrangeovy rovnice ( (h w)w ) (7) + (h w) 1 + (w ) 2 =. 1 + (w ) 2 Podle v ty 1.4 je w dvakrát spojit diferencovatelná na (a, b) a rovnici si m ºeme upravit (h w) = (1 + (w ) 2 ) 3/2 w (h w)(w ) (w ) + 2 (h w) 1 + (w ) 2 (h w) = (1 + (w ) 2 ) 3/2 w + (h w) 1 + (w ). 2 Derivováním zlomku ze zn ní v ty dostaneme ( 1 + (w ) 2 ) ( = (h w) 2 (h w) w h w 1 + (w ) 2 w 1 + (w ) 2 (h w)w ) =. 3. Úloha o brachistochron e²íme úlohu o brachistochron : Najd te k ivku (σ) = (x(σ), y(σ)), σ [, 1], tak, aby, hmotný bod, který se p sobením gravitace proti sm ru osy y pohybuje po této k ivce, se dostal v nejkrat²ím ase z bodu (x A, y A ) do bodu (x B, y B ). P edpokládejme y B y A (jinak úloha nem ºe mít e²ení) a x A < x B (p ípad x A > x B je analogický a x A = x B vede triviáln na volný pád po svislé úse ce). V této kapitole budeme zna it parametr symbolem σ, abychom si prom nnou t uvolnili pro as. Fyzikální zákony udávají (8) v = 2g(y A y), kde g je gravita ní konstanta a v = ẋ 2 + ẏ 2 je rychlost. Máme ds = v dt. Pro celkový as T dostaneme T T v T = dt = 2g(yA y) dt = 1 ds 2g ya y. Minimizujeme tedy funkcionál J pro h(y) = (y A y) 1/2, h(y A ) =. Na²ím intervalem I bude (, y A ]. Funkce h závisí jen na y a je rostoucí e²ení. Podmínka (3) je spln na, existuje tedy podle v ty 2.4 minimizér X parametrizovaný násobkem dráhy. Podle v ty 2.3 je konvexního typu. Existuje tedy spojitá konvexní funkce w : [x A, x B ] R a [α, β] [, 1] tak, ºe y = w x na [α, β], x = x A na [, α] a x = x B na [β, 1]. Podle v ty 1.4 je dvakrát spojit diferencovatelná. Podle v ty 2.5 existuje k R tak, ºe w spl uje na (x A, x B ) diferenciální rovnici ( (9) ya w 1 + (w ) 2) =

6 6 JAN MALÝ Existuje tedy k R tak, ºe (y A w)(1 + (w ) 2 ) = 2k. Zvolme do asn soustavu sou adnic tak, aby bylo y A = k, tedy místo y A w pí²eme k w, pak z (9) vyjád íme (1) (w ) 2 = k + w k w. Jelikoº ze zadání je k w >, z (1) vyjde téº k + w >. Hledejme nyní ve tvaru = ψ τ, kde (11) y ψ = k cos τ. Potom tedy (1) m ºeme p epsat y ψ = (w x ψ )x ψ, (x ψ) 2 = k y ψ (y k + y ψ) 2 = 1 cos τ ψ 1 + cos τ = k 2 (1 cos τ) 2. (k sin τ)2 Na obou stranách máme nezáporné výrazy, tedy m ºeme odmocnit a dostaneme odtud x ψ = k(1 cos τ), x ψ = k(τ sin τ) + c. Volbu y A = k musíme te vzít zp t, tedy nové y je staré y plus y A k, neboli (11) p epí²eme na (12) y ψ = y A + k(cos τ 1). Nech deni ní obor k ivky ψ je [τ A, τ B ], p i emº x ψ (τ A ) = x A a x ψ (τ B ) = x B. S p ihlédnutím k pr b hu funkce y ψ, k ivka m ºe být konvexního typu pouze pro [τ A, τ B ] [, 2π] aº na posunutí o periodu. Pokud by bylo τ A > τ, dostali bychom y ψ (τ A ) < y A a museli bychom ψ doplnit svislým úsekem z [x A, y A ] do [x A, y ψ (τ A )]. Av²ak x ψ by pak m lo v τ A skok z nuly do kladného ísla a dostali bychom spor s v tou 1.4. Tedy τ A = a y(τ A ) = y A. s p ihlédnutím k po áte ní podmínce dostaneme (13) x ψ = x A + k(τ sin τ), y ψ = y A + k(cos τ 1), τ [, τ B ]. Jako kuriozitu si m ºeme ov it, ºe τ je konstantní násobek asu. Totiº derivace dráhy podle τ je (x ψ )2 + (y ψ )2 = k (1 cos τ) 2 + (sin τ) 2 = k 2(1 cos τ) = 2k(y A y), zatímco derivace dráhy podle asu je v = 2g(y A y). K ivka daná rovnicí (13) se nazýva cykloida, je to zrcadlový obraz k ivky, kterou opisuje bod hrani ní kruºnice, kdyº se kruh kutálí po vodorovné ose.

7 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU e²ení okrajové úlohy. M ºeme p edpokládat, ºe A je po átek. Máme ( yψ ) ( cos τ 1 ) sin τ(τ sin τ) + (1 cos τ) 2 2(1 cos τ) τ sin τ = = x ψ τ sin τ (τ sin τ) 2 = (τ sin τ) 2. Jelikoº funkce τ < 2 tan τ 2 = 2 2 cos τ, sin τ y ψ = cos τ 1 x ψ τ sin τ je rostoucí na [, 2π] a existuje tedy práv jedno ξ [, 2π] tak, ºe Poloºme (14) pak vyjde tedy p i volb (14) je cykloida je jediným e²ením úlohy. y ψ (ξ) x ψ (ξ) = y B x B. τ B = ξ, x B k = ξ sin ξ, x ψ (τ B ) = x B, y ψ (τ B ) = y B, x ψ = k(τ sin τ), y ψ = k(cos τ 1), τ [, τ B ] 3.3. Poznámka. V literatu e najdeme p ístup spo ívající v hledání minimizéru mezi k ivkami, které se dají popsat funk ní závislostí x na y. V tom p ípad je funkcionál konvexní a kritický bod funkcionálu je minimizér p eformulace úlohy. Tento p ístup selºe zjevn, kdyº p íslu²ný úsek cykloidy grafem funkce prom nné y není, ale ve skute nosti není korektní, ani kdyº p íslu²ný úsek cykloidy grafem funkce prom nné y je. Nevede totiº k srovnání hodnoty funkcionálu s k ivkami, které grafem funkce prom nné y nejsou, tedy v ºádném p ípad není z ejmé, ºe p eformulovaná úloha je ekvivalentní s p vodní. 4. Rota ní k ivka s nejmen²ím povrchem M jme dánu k ivku = (x, y ) : [, 1] R 2, y. Necháme-li ji rotovat kolem osy x, dostaneme plochu {(x (t), y (t) cos γ, y (t) sin γ) : t [, 1], γ π }. P i daných okrajových podmínkách () = A, (1) = B nás zajímá, pro jakou k ivku je plocha nejmen²í. Funkcionál je J () = 2π y ds. Podle v t 2.4 a 2.3 existuje minimizér X, který je konvexního typu. Existuje tedy spojitá konvexní funkce w : [x A, x B ] R a [α, β] [, 1] tak, ºe y = w x na [α, β], x = x A na [, α] a x = x B na [β, 1]. Uvaºujme interval [a, b] takový, ºe

8 8 JAN MALÝ w > na (a, b). Podle v ty 1.4 je pak dvakrát spojit diferencovatelná a podle v ty 2.5 existuje k R tak, ºe w spl uje na (a, b) diferenciální rovnici ( 1 + (w ) 2 ) (15) = w Existuje tedy k R tak, ºe (16) w = k 1 + (w ) 2 na [a, b]. Jelikoº w > na (a, b), je k >. Hledejme w ve tvaru (17) w(x) = ku ( x k ). Potom u spl uje na [a/k, b/k] diferenciální rovnici (18) u = 1 + (u ) 2. Jejím zderivováním dostaneme neboli u = u 1 + (u ) 2 u, (19) u = 1 + (u ) 2. Porovnáním rovnic (18) a (19) dostaneme u = u. Odtud u(z) musí být lineární kombinace e z a e z. Dosazením u = λ 1 e z + λ 2 e z do rovnice (18) zjistíme λ 2 1e 2z + 2λ 1 λ 2 + λ 2 2e 2z = u 2 = 1 + (u ) 2 = 1 + λ 2 1e 2z 2λ 1 λ 2 + λ 2 2e 2z. Odtud 4λ 1 λ 2 = 1. Protoºe u >, λ 1 a λ 2 nemohou být ob záporná a proto jsou ob kladná. Najdeme c R tak, ºe a dostaneme λ 1 = 1 2 e c k, λ2 = 1 2 e c k, (2) u(z) = cosh(z c k ). Vrátíme se zp t k w, podle (17) existují c R a k > tak, ºe w(x) = k cosh x c k. Tedy jakmile w je n kde kladné, pak je to tzv. et zovka tvaru (2) na maximálním intervalu, kde w >. Protoºe funkci (2) nelze spojit navázat do nuly, je w bu funkce tvaru (2) nebo identická nula e²ení okrajové úlohy. Nyní máme dost informací o pr b hu funkce w na intervalu [x a, x b ]. M ºe to být identická nula nebo et zovka tvaru (2). Jiná moºnost není. Pokud by minimizující k ivka n kde v kladných hodnotách y nebyla grafem funkce, po jakémkoli vychýlení ze svislého sm ru by se okamºit stala úsekem et zovky, takové napojení v²ak není moºné. M ºe být tedy jedin identicky svislá. Dal²í moºnost je identická nula, tu také nelze napojit na et zovku tvaru (2). M ºe v²ak existovat e²ení, které je sloºeno ze svislého úseku z A do (x A, ), pak následuje vodorovný úsek z (x A, ) do (x B, ) a nakonec svislý úsek z (x B, ) do B. Zlomy

9 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 9 v bodech (x A, ) a (x B, ) nejsou ve sporu s v tou o regularit 1.4, nebo v nich není spln n p edpoklad h >. P edpokládejme, ºe e²ení w má tvar (2) a spl uje okrajové podmínky. Otázkou je, kolik je takových et zovek. Je-li w et zovka ve tvaru w = k cosh x c k, provedeme substituci Φ = (ξ, η), ξ = x c k, η = y k. V nových sou adnicích k ivka p ejdou na et zovku v základním tvaru (kanonickou) η = cosh ξ, zatímco body A, B se zobrazí na ( Φ(A) = A xa c :=, y ) A, k k ( Φ(B) = B xb c :=, y ) B. k k Uvaºujme bod (ξ, η) na et zovce η = cosh ξ a zkonstruujme bod (21) f(ξ) = ξ cosh ξ sinh ξ. Bodem (f(ξ), ) prochází te na ke kanonické et zovce z bodu (ξ, cosh ξ). Derivováním se p esv d íme, ºe funkce f je rostoucí na (, ) a na (, + ) a zobrazuje oba intervaly na R. Ke kaºdému r R najdeme tedy body µ(r) < < ν(r) tak, ºe Funkce (µ, ν) f(µ(r)) = f(ν(r)) = t. cosh ν cosh µ, µ < < ν ν µ je vzhledem ke konvexit funkce cosh rostoucí v obou prom nných. Funkce r cosh ν(r) cosh µ(r) ν(r) µ(r) je rostoucí a zobrazuje R na R. Existuje tedy práv jedno R R tak, ºe Ozna me cosh ν(r) cosh µ(r) ν(r) µ(r) a = µ(r), Pom r b a cosh a je kritický. Je-li x B x A y A < b a cosh a, pak zadanými body prochází dv e- = b a cosh a, pak zadanými body prochází práv jedna et zovka a t zovky, je-li x B x A y A je-li x B x A y A > b a následující: Nech nap. x B x A y A = y B y A x B x A. b = ν(r). cosh a, pak zadanými body neprochází ºádná et zovka. Argument je < b a cosh a. Nech p je p ímka spojující (a, cosh a ) s (b, cosh b ). Uvaºujme systém p ímek q rovnob ºných s p uspo ádaných podle velikosti pr se íku s osou y. Na kaºdé takové p ímce q najdeme body A q = (a q, cosh a q ) a B q = (b q, cosh b q ) jako pr se íky s grafem funkce y = cosh x. Je-li q > p, úhel mezi A q, (R, ) a B q se s rostoucím q svírá (to plyne z konvexity cosh a denice p) a pom r bq aq cosh a q se zmen²uje. Existuje tedy práv jedna q > p tak, ºe bq aq cosh a q Podobn existuje práv jedna q < p tak, ºe bq aq cosh a q p ímku q tak, ºe bq aq cosh a q = x B x A y A. = x B x A cosh a. Máme-li nalezenou = x B x A y A, ur íme stejnolehlost Φ se st edem na ose x (nebo

10 1 JAN MALÝ posunutí) tak, aby Φ(x A, y A ) = (a q, b q ) a Φ(x B, y B ) = (b q, cosh b q ). P íslu²nou et zovku spojující (x A, y A ) a (x B, y B ) najdeme jako vzor kanonické et zovky p i zobrazení Φ. Ke kaºdému okrajové podmínce jsme na²ly nejvý²e t i funkce podez elé z minimizace funkcionálu F, sice nulu a nejvý²e dv et zovky. Mezi nimi m ºeme ur it minimizér porovnáním funk ních hodnot. Prove me následující úvahu: nech okrajová úloha je volena na grafu kanonické et zovky, tedy y A = cosh x A, y B = cosh x B. Posouváme-li bod x B doprava nebo x A doleva, F () roste pomaleji neº F (cosh), nebo je-li ψ parametrizace rozdílu graf, F (cosh) vzroste o y ds, kdeºto F () ψ jen o y dy. ekneme, ºe cosh je minimizér na [a, b], pokud je minimizér pro okrajovou úlohu A = (a, cosh a) a B = (b, cosh b). Pro malou vzdálenost a a b je cosh ψ minimizér na [a, b]. Pokud [a, b ] [a, b] a cosh je minimizér na [a, b], pak je téº minimizér na [a, b ]. Pro kritickou polohu a < < b, f(a) = f(b), uº v²ak cosh není minimizér na [a, b]. Pokud totiº a < < b a f(a) f(b), neboli (22) a cosh a sinh a b cosh b sinh b, porovnáme et zovku mezi a a b s nulovým kandidátem a s pouºitím (22) a zna ením dostaneme F (u) = b a F (cosh) = 2u 1 + (u ) 2 dx + (cosh 2 a u 2 (a)) + (cosh 2 (b) u 2 (b)) b a 2 cosh 2 x dx = b a + cosh b sinh b cosh a sinh a > cosh b sinh b cosh a + cosh b sinh b cosh a sinh a sinh a = cosh b sinh b (1 + sinh2 b) cosh a sinh a (1 + sinh2 b) = cosh b sinh b cosh2 b + cosh a sinh a > cosh 2 a + cosh 2 b = F (). cosh 2 a Odtud plyne, ºe et zovka, která je jednozna ná, minimizér není a procházejí-li danými body dv et zovky, men²í z nich také není minimizér. Otázka, zda pro danou volbu okrajových podmínek je minimizérem v t²í et zovka nebo nula, se dá e²it pouze kvantitativním porovnáním. 5. Úloha o zav ²eném et zu 5.1. Zadání úlohy. Tato úloha je úloha s vazební podmínkou. Mezi k ivkami spojujícími body A a B o dané délce l máme najít k ivku s nejníºe poloºeným t ºi²t m. T ºi²t takové k ivky je T () = 1 y ds. l Vazební podmínka je ds = l.

11 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 11 Jelikoº kaºdou k ivku lze parametrizovat tak, aby bylo ds = ldt, m ºeme úlohu p eformulovat jako hledání minima funkcionálu (23) F() = na mnoºin k ivek 1 y dt (24) Y l = { X : = l s.v. na (, 1)}. V dal²ím p edpokládejme x A x B Upravená úloha. U úlohy (23), (24) je problém s kompaktností, proto uva- ºujme upravenou úlohu minimizovat F na mnoºin X l. Uv domme si vztah mezi prostory X l a Y l, totiº X l = { X : l s.v. na (, 1)}. Bez újmy na obecnosti m ºeme p edpokládat, ºe y A, y B [l, ), pak y m ºe nabývat jen kladných hodnot. Problém je, ºe na mnoºin X l m ºe nastat 1 y ds < l y dt, nová úloha tedy není ekvivalentní minimizaci integrálu podle dráhy a nelze uºít p ímo v ty 1.3 a V ta o existenci. Existuje minimizér F na X l. D kaz. X l je kompaktní v C([, 1]) a F je spojitý vzhledem ke stejnom rné konvergenci Pozorování. Nech je minimizér F na X l a [α, β] [, 1]. Je-li x (α) = x (β), pak x (t) = x (α), y (t) = max{y (α) l(t α), y (β) + l(t β)}, D kaz p enecháváme tená i. t [α, β] Pozorování. Nech je minimizér F na X l. Pak funkce x je neklesající. D kaz. Kdyby tomu tak nebylo, na²li bychom [α, β] [, 1] tak, ºe by bylo x (α) = x (β), ale x by nebylo konstantní na [α, β]. To by vedlo ke sporu s chováním popsaným v pozorování V ta o konvexit. Nech je minimizér F na X l. Pak je konvexního typu. D kaz. Argument d kazy v ty 2.3 lze p evést i na nový p ípad V ta (Ekvivalence úloh). Nech je minimizér F v X l. Pak Y l. D kaz. Nech C je bod na k ivce, který má nejniº²í y-ovou sou adnici. P edpokládejme pro spor, ºe délka je men²í neº l. P eparametrizujme si na novou k ivku ψ tak, ºe pro [α, β] [, 1] bude ψ = l na [, α] [β, 1] a ψ = C na [α, β]. Potom ψ X l, a F(ψ) F(), tedy ψ je minimizér, ale jeho chování je ve sporu s pozorováním 5.4.

12 12 JAN MALÝ 5.8. V ta o Lagrangeových multiplikátorech. Nech X je Banach v prostor, F, G 1,..., G m : X R jsou spojit diferencovatelné funkcionály. Nech F nabývá v bod u minima vzhledem k mnoºin {v X : G 1 (v) = = G m (v) = }. Nech G 1(u),..., G m(u) jsou lineární nezávislé. Potom existují λ 1,..., λ m tak, ºe m F (u) = λ j G j(u). D kaz. Viz. [1], Theorem j= Okrajová podmínka. Problém s okrajovou podmínkou je v tom, ºe prostor v²ech lipschitzovských k ivek, které ji spl ují, není lineární. Proto formáln pracujeme s prostorem W 1, ([, 1]). Zvolíme spl ující okrajovou podmínku a napí²eme si ve tvaru + η, η W 1, ([, 1]). Poloºme F() = 1 G() = F(η) = F( + η), 1 y (x ) 2 + (y ) 2 dt, (x ) 2 + (y ) 2 dt, G(η) = G( + η). Nech nyní je minimizér a η =. Podle v ty o Lagrangeových multiplikátorech je bu to G (η) =, nebo existuje λ reálné tak, ºe η je stacionární bod funkcionálu F(η) λ G(η). To ale vyjde nastejno, jako kdyº je stacionární bod funkcionálu F() λ G() P evedení na rovnici. Nyní m ºeme pracovat s minimizérem p vodního problému. P edpokládejme, ºe se nám poda í ov it v n jakém prostoru p edpoklady v ty o Lagrangeových multiplikátorech. Pokud není G () =, existuje pak reálné λ tak, ºe je stacionární bod funkcionálu 1 F() λg() = (y λ) (x ) 2 + (y ) 2 dt, tedy spl uje soustavu rovnic ( (y λ)x ) =, (x ) 2 + (y ) 2 ( (y λ)y ) = (x ) 2 + (y ) 2. (x ) 2 + (y ) 2 S p ihlédnutím k tomu, ºe minimizér spl uje = l s.v., soustava se redukuje na (25) P ípad G () = vede na úse ku. ((y λ)x ) =, ((y λ)y ) = l 2.

13 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU Diferencovatelnost funkcionálu. Aby pouºití v ty (5.8) bylo dob e od - vodn né, musíme ov it, ºe výraz 1 ) (26) ψ ((y λ) ψ + y ψ dt je skute n derivací F λg (sta í v Gâteauxov smyslu) a ºe spojit závisí na. První vlastnost je v po ádku. Co se tý e druhé vlastnosti, jde o to, aby pro pevné spl ující okrajovou podmínku byly operátory (y λ) : + W 1, (L ) a : + W 1, (W 1, ) Spojitost druhého operátoru ned lá problém, jde o spojitost prvého operátoru, která je v po ádku na okolí na²eho minimizéru, vzhledem k tomu, ºe {: > l/2} je jeho okolí ve W 1,. Toto by nebyla pravda pro W 1,p, p < Tvrzení (Regularita). e²ení (25) je t ídy C 2 na mnoºin {t: y (t) λ}. Pokud je nehladké e²ení, x je konstantní. D kaz. D kaz hladkosti je analogický d kazu v ty 1.4. Zkoumejme p ípad, kdy y nabývá hodnoty λ. Z druhé rovnice soustavy 25 dostaneme, ºe výraz (y λ)y je rostoucí lineární polynom, který m ºe nabývat hodnoty nejvý²e v jednom bod. Tedy y = λ nejvý²e v jednom bod. Z první rovnice soustavy 25 dostaneme, ºe výraz (y λ)x je konstanta, tedy pokud y = λ v n jakém bod, z omezenosti x dostaneme, ºe x je na [, 1] P evedení na varia ní problém ve funkcích. Jelikoº minimizér je hladký a konvexního typu, existuje [α, β] [, 1] a spojitá funkce u: [x A, x B ] R tak, ºe x (α) = x A, x (β) = x B a y = u x na [α, β]. Potom existuje konstanta m tak, ºe u je minimizér funkcionálu na mnoºin (27) F (v) = xb x A v 1 + (v ) 2 dx { v W 1,1 ((x A, x B )) : v(x A ) = y (α), v(x B ) = y (β),, G(v) := b a 1 + (v ) 2 dx = m}. Podobn jako vý²e pak m ºeme pouºít v tu o Lagrangeových multiplikátorech a funkce u pak spl uje rovnici ( u ) (u λ) = 1 + (u ) (u ) 2 Z vy²et ování úlohy o rota ní plo²e s nejmen²ím povrchem víme, ºe e²ení této úlohy mají tvar (28) u(x) = λ + k cosh x c k. Dal²í podez elé funkce jsou takové, ºe G (u) =, tedy lineární polynomy.

14 14 JAN MALÝ Lemma. Nech v je ryze konvexní funkce na R a p je op rná anní funkce. Kaºdému y (, ) p i a me A = (a, v(a)) a B = (b, v(b)) na pr niku grafu v a grafu p + y tak, ºe a < b. Nech f(y) je délka oblouku grafu v mezi A a B a g(y) = B A. Potom funkce f/g je rostoucí na (, ). D kaz. Uvaºujme < y 1 < y 2, nech A i = (a i, v(a i )) a B i = (b i, v(b i )) jsou body na pr niku grafu v a grafu p + y i, i = 1, 2. Ozna me s i délku oblouku grafu v mezi A i a B i, dále s A délku oblouku grafu v mezi A 2 a A 1 a s B délku oblouku grafu v mezi B 1 a B 2. Nech p A je p ímka vedoucí A 1 a A 2, podobn p B je p ímka vedoucí B 1 a B 2 a C je jejich pr se ík. Najd me bod P na grafu v nejbliº²í k C. Bez újmy na obecnosti p edpokládejme, ºe C je po átek. Po p ípadném oto ení leºí P na kladné poloose y a oblouk grafu v mezi A 1 a B 1 z stává grafem konvexní funkce. Pro tento oblouk dokáºeme, ºe jeho délka s 1 je men²í neº A 1 + B 1. P ímka A 1 C je grafem lineární funkce y = v (a 1 )x a p ímka CB 1 je grafem lineární funkce y = v (b 1 )x. Funkce v nabývá minima v a je konvexní, tedy v je klesající na [a 1, ] a rostoucí na [, b 1 ]. Potom s = b1 a 1 (1 + (v ) 2 ) dx < a 1 (1 + (v (a 1 ) 2 ) dx + Z podobných trojúhelník dostaneme Po ítejme s 2 B 2 A 2 = s A + s 1 + s B B 2 A 2 A 1 + B 1 B 1 A 1 b1 = A 2 + B 2 B 2 A 2. > A 2 A 1 + s 1 + B 2 B 1 B 2 A 2 = A 2 A 1 + s 1 + B 2 B 1 B 2 A 2 = A 1 + B 1 + s 1 A 1 B 1 B 1 A 1 B 2 A 2 = (1 + (v (b 1 ) 2 ) dx = A 1 + B 1. = A 2 + B 2 B 2 A 2 > A 1 + B 1 B 1 A 1 + s 1 A 1 B 1 B 2 A 2 + s 1 A 1 B 1 B 1 A 1 s 1 B 1 A e²ení okrajové úlohy. Vra me se nyní k okrajové podmínce. Pokud l < B A, minimizér neexistuje. Pro l = B A je Y l jednobodová mnoºina a lineární polynom spojující A a B je minimizér. V dal²ím p edpokládejme l > B A. P ípad x A = x B je jasný, p edpokládejme x A < x B. Pak dostaneme existenci minimizéru z v t 1.3 a 5.7. Minimizér je k ivka konvexního typu sloºená z úse ek a et zovky. Z v ty o regularit plyne, ºe je to et zovka: lineární spojnice je p íli² krátká a úseky r zného typu se nedají hladce navázat. Protoºe parametry λ, k, c v 28 se nejspí² nedají explicitn spo ítat, m ºeme se nejvý²e ujistit v tom, ºe úloha má práv jedno e²ení. Kaºdé e²ení se dá stejnolehle nebo posunutím zobrazit na grafu kanonické et zovky y = cosh x, p i emº jsou zachovány pom ry y B y A x B x A a pom r délky oblouku grafu mezi A a B ku B A. Z lemmatu 5.14 dostaneme, ºe tyto dva pom ry jednozna n ur ují polohu bod A a B na grafu kanonické

15 KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU 15 et zovky. Tedy pro práv jednu et zovku tvaru (28) spl ující okrajovou podmínku je délka grafu l a tato et zovka je jediným e²ením úlohy. 6. Izoperimetrická úloha 6.1. Zadání úlohy. Tato úloha je téº s vazební podmínkou. Mezi kladn orientovanými k ivkami = (x, y ) : [, 1] R 2 o dané délce l spojujícími body A a B, y A = y B, máme najít k ivku, která ve spojení s úse kou B + t(a B) : t [, 1] ohrani uje nejv t²í obsah. Tento obsah je pomocí Greenovy v ty p eveden na funkcionál F() = x dy. (Podobná úloha je pevný obsah a minimální délka). Poznamenejme, ºe je²t bychom m li integrovat p es spojovací úse ku, ta nám ale nic k integrálu x dy nep inese. Úlohu budeme vy²et ovat na X l, orientace se vy e²í sama tvarem funkcionálu F. Nech ( j ) j je posloupnost k ivek z X l maximizující F na X l. Podle Arzela-Áscoliho v ty m ºeme vybrat podposloupnost (BÚNO je to celá ( j ) j ), která konverguje stejnom rn k limitní k ivce Tvrzení. F() = lim F( j ). D kaz. Máme F( j ) F() = 1 (x j y j x y ) dt = 1 První integrál je jasný, druhý p evedeme per partes na a potom je také jasný Tvrzení. Délka je l. 1 x (y j y ) dt (x j x )y j dt + 1 x (y j y ) dt D kaz. ur it maximizuje obsah v X l. Kdyby délka byla l < l, u²et ená délka by se dala vyuºít k získání dodate ného obsahu p idáním kruºni ky o délce l l (p ípadné protínání nevadí, funkcionál F zapo ítá p ír stek tak jako tak). Tím by vznikl spor s maximalitou e²ení úlohy. Poloºme (t) = (a+t(b a), ), t [, 1]. Nech je maximizér F ve + W 1, s vazební podmínkou G() := ds = l. Podle v ty o Lagrangeových multiplikátorech (viz téº 5.9) je stacionární bod G, nebo existuje λ reálné tak, ºe je stacionární bod F λg. Stacionární body G lze parametrizovat ann, to m ºe nastat jedin tehdy, je-li úse ka z a do b. Pokud

16 16 JAN MALÝ je stacionární bod F λg, po integrování per partes zjistíme, ºe spl uje soustavu diferenciálních rovnic ( y x ) = λ (x ) 2 + (y ) 2 ( x y ). = λ (x ) 2 + (y ) 2 Parametrizujeme-li 1/l-násobkem dráhy, dosp jeme k soustav y = λ l x x = λ l y. e²ením je oblouk kruºnice, existují R >, x, y, c R tak, ºe ( l ) x = R cos λ (c t) + x, ( l ) y = R sin λ (c t) + y. Konstanty R, x, y a c a parametr λ (m ºe být záporný!) pak m ºeme dopo ítat z okrajových dat a p edepsané délky. Reference [1] Drábek, P.; Milota, J.: Methods of nonlinear analysis. Applications to dierential equations. Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. Birkhäuser Verlag, Basel, 27