Matematika 1. Jiří Fišer. 20. září Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika 1. Jiří Fišer. 20. září Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52"

Transkript

1 Matematika 1 Jiří Fišer 20. září 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

2 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky. 3 Základy lineární algebry: Vektory, matice, determinanty a řešení soustav lineárních rovnic(věta Frobeniova a Cramerova). 4 Posloupnosti a jejich limity, řady. 5 Funkce: Inverzní funkce, skládání funkcí, grafy. 6 Elementární funkce: Mocninné, logaritmické, exponenciální, goniometrické a cyklometrické. 7 Limita a spojitost funkce. 8 Základy diferenciálního počtu funkce jedné reálné proměnné: Derivace a její geometrický a fyzikální význam, diferenciál, užití při vyšetřování průběhu funkce. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

3 Letní semestr KMA MAT2 1 Základy integrálního počtu funkce jedné reálné proměnné: Neurčitýintegrál, určitýriemannůvintegrál, užitíripřiurčování délky křivky, obsahu plochy, povrchu a objemu rotačního tělesa. 2 Funkce dvou proměnných: Parciálníderivace,diferenciál. 3 Úvod do diferenciálních rovnic: Obyčejnédiferenciálnírovnice1.řádu. 4 Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v chemii. 5 Základy numerické matematiky: Numerickéřešenírovnicojednéneznámé. Iteračnímetoda,interpolace,diference, numerickáderivaceaintegrace. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

4 Studijní materiály Stránky předmětu: V. MÁDROVÁ: Matematická analýza I. VUP, Olomouc, J. BRABEC, F. MARTAN, Z. ROZENSKÝ: Matematická analýza I. SNTL, Praha, J. KŘENEK, J. OSTRAVSKÝ: Diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné Zlín, J. KOPÁČEK: Matematická analýza pro fyziky I., SPN, Praha (skripta MFF UK). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

5 Studijní materiály V. MÁDROVÁ, J. MAREK Řešené příklady a cvičení z matematické analýzy I. VUP Olomouc, J. KOJECKÁ, M. ZÁVODNÝ: Příklady z matematické analýzy I., II., VUP Olomouc. B. P. DĚMIDOVIČ: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha, Rozšiřující literatura: K. REKTORYS a kol.: Přehled užité matematiky SNTL, Praha, H. J. BARTSCH: Matematické vzorce, SNTL, Praha, Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

6 1. Číselné obory. Úprava algebraických výrazů Základní číselné množiny 1.2. Vlastnosti číselných množin 1.3. Supremum a infimum 1.4. Rozšířená reálná osa Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

7 Základní číselné množiny N={1,2,3,...,n,... }jemnožinavšechpřirozenýchčísel. N 0 = {0,1,2,3,...,n,...}=N {0}. Z={..., 2, 1,0,1,2,... }jemnožinavšechcelýchčísel. Q množinavšechzlomků { k n,kdek Zan N} jemnožinou všech čísel racionálních. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

8 Racionální čísla Úloha Čísloa=1,572převeďtenaobyčejnýzlomek. První způsob řešení Periodická část desetinného rozvoje čísla a je vlastně geometrická řada, tedy: a=1, =1, = = Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

9 Racionální čísla Úloha Čísloa=1,572převeďtenaobyčejnýzlomek. Druhý způsob řešení Využijeme nekonečného periodického opakování: a = 1,572, 100a = 157,272, odkud po odečtení je 100a a=99a=157,272 1,572=155,7, tedy a= = Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

10 Množina reálných čísel R Základní číselná množina. Reálná čísla zobrazujeme na číselné(reálné) ose. Přirozšiřovánípojmučísloz Qna Rvznikajídvěotázky: zda existuje potřeba iracionálních čísel(a jak je zavést), zdazobrazenímnožiny Rnačíselnouosujebijekce, tj. zda i každý bod číselné osy je obrazem nějakého reálného čísla. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

11 Potřebujeme iracionální čísla? Věta Neexistuje racionální číslo, jehož druhá mocnina by byla rovna 2. Důkaz(sporem) r Q:r 2 =2. r Q r= p q zlomekvzákladnímtvaru,rq=p. rq=p r 2 q 2 =p 2,tj.2q 2 =p 2 p 2 jesudé pjesudé pjesudé p=2k 2q 2 =4k 2 q 2 =2k 2 q 2 jesudé qjesudé paqjesudé zlomek p q lzekrátitdvěma,atojespor s předpokladem, že tento zlomek je v základním tvaru. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

12 Iracionálníčísla Q Bez iracionálních čísel bychom např. nedovedli změřit úhlopříčku jednotkového čtverce. Platí: Q Q = a R=Q Q. Dekadický rozvoj iracionálních čísel: neukončený a neperiodický (pro iracionální čísla často známe jen konečný počet míst jejich dekadického rozvoje(např. pro číslo π)). Mohutnost množin N, Z,aQjsouspočetné(prvkytěchtomnožinlzeuspořádatdo posloupnosti), R(atedyiQ )spočetnánení;říkáme,že Rmámohutnostkontinua. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

13 Komplexní čísla C Komplexní čísla zobrazujeme v Gaussově rovině. Zapisujemebuďvalgebraickémtvaru:z=a+ib, nebovgoniometrickémtvaru:z= z (cos ϕ+isinϕ). Pro číselné množiny platí: N N 0 Z Q R C. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

14 Vlastnosti číselných množin Definice MnožinaMsenazýváshoraomezená L Rtak,že x Mplatí x L.TotočísloLsenazýváhorníodhad(resp.hornízávora). MnožinaMsenazývázdolaomezená K Rtak,že x Mplatí x K.TotočísloKsenazývádolníodhad(resp.dolnízávora). MnožinaMsenazýváomezená jeomezenáshoraizdola. Největší a nejmenší prvek množiny PokudněkterýhorníodhadmnožinyMpatřídomnožinyM,pakjej nazýváme největší prvek množiny M a označujeme jej max M. Podobně nejmenší prvek množiny M(definujte) označujeme min M. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

15 Vlastnosti číselných množin Definice MnožinaMsenazýváshoraomezená L Rtak,že x Mplatí x L.TotočísloLsenazýváhorníodhad(resp.hornízávora). MnožinaMsenazývázdolaomezená K Rtak,že x Mplatí x K.TotočísloKsenazývádolníodhad(resp.dolnízávora). MnožinaMsenazýváomezená jeomezenáshoraizdola. Největší a nejmenší prvek množiny PokudněkterýhorníodhadmnožinyMpatřídomnožinyM,pakjej nazýváme největší prvek množiny M a označujeme jej max M. Podobně nejmenší prvek množiny M(definujte) označujeme min M. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

16 Úloha Určete největší a nejmenší prvek množiny M 1 = {1, 12 },14,18,..., M 2 = M 3 = { 1 2, 1 2,2 3, 2 3,3 4, 3 4,... {0,1, 12,13,14,... }. }, Řešení MnožinaM 1 mánejvětšíanemánejmenšíprvek,m 2 nemánejvětšíani nejmenšíprvek,m 3 máprveknejvětšíinejmenší. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

17 Úloha Určete největší a nejmenší prvek množiny M 1 = {1, 12 },14,18,..., M 2 = M 3 = { 1 2, 1 2,2 3, 2 3,3 4, 3 4,... {0,1, 12,13,14,... }. }, Řešení MnožinaM 1 mánejvětšíanemánejmenšíprvek,m 2 nemánejvětšíani nejmenšíprvek,m 3 máprveknejvětšíinejmenší. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

18 Intervaly Definice a,b R,a <b,definujeme uzavřenýinterval a,b ={x R;a x b}, otevřenýinterval(a,b)={x R;a <x <b}, apodobně a,b)a(a,b. Všechnytytointervalymajídélkub a. Definice Množinu a,+ )={x R;x a}nazývámeneomezenýinterval. Podobně(a,+ ),(,b,(,b). Množinu R zapisujeme též jako(, + ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

19 Absolutní hodnota Definice Absolutníhodnotačíslaa Rseoznačuje a ajedefinovánatakto: { a proa 0, a R: a = a proa <0. Věta(vlastnosti absolutní hodnoty) a,b Rplatí 1 a 0,přičemž a =0 a=0, 2 a = a, 3 a+b a + b (trojúhelníkovounerovnost), 4 a b a b, 5 ab = a b, 6 prob 0je a = a b b. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

20 Absolutní hodnota Definice Absolutníhodnotačíslaa Rseoznačuje a ajedefinovánatakto: { a proa 0, a R: a = a proa <0. Věta(vlastnosti absolutní hodnoty) a,b Rplatí 1 a 0,přičemž a =0 a=0, 2 a = a, 3 a+b a + b (trojúhelníkovounerovnost), 4 a b a b, 5 ab = a b, 6 prob 0je a = a b b. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

21 Zobecněná trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnotu Vlastnost 3 můžeme zobecnit(důkaz matematickou indukcí): (3 ) n N a i R: a 1 +a 2 + +a n a 1 + a a n,nebo zkráceně n n a i a i. i=1 i=1 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

22 Absolutní hodnota Geometrický význam absolutní hodnoty Úloha a značí vzdálenost obrazu čísla a od počátku číselné osy, a b (= b a )vzdálenostobrazůčísela,bnačíselnéose. Řešte nerovnice a rovnici: a) x 3 <2, b)2 x+2 3 x 2x 4, c) x+3 2 x+1 3 x 2 =0. 4 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

23 Absolutní hodnota Geometrický význam absolutní hodnoty Úloha a značí vzdálenost obrazu čísla a od počátku číselné osy, a b (= b a )vzdálenostobrazůčísela,bnačíselnéose. Řešte nerovnice a rovnici: a) x 3 <2, b)2 x+2 3 x 2x 4, c) x+3 2 x+1 3 x 2 =0. 4 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

24 Supremum a infimum Definice NechťM R,M.Číslo β RnazývámesupremummnožinyMa píšeme β=supm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x β, (2) β < β x M:x > β. Definice NechťM R,M.Číslo α RnazývámeinfimummnožinyMa píšeme α=infm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x α, (2) α > α x M:x < α. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

25 Supremum a infimum Definice NechťM R,M.Číslo β RnazývámesupremummnožinyMa píšeme β=supm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x β, (2) β < β x M:x > β. Definice NechťM R,M.Číslo α RnazývámeinfimummnožinyMa píšeme α=infm,právěkdyžmátytodvěvlastnosti: (1) x M:x α, (2) α > α x M:x < α. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

26 Supremum a infimum Úloha UrčetesupMainfMpromnožinuM= { } 1 2,2 3,3 4,.... Řešení PlatísupM=1,neboťvšechnyprvkymnožinyMjsoupravézlomkya jsoutedymenšínež1;jestliževšakvezmemelibovolnéčíslor <1,existuje vždyvmprvek n n+1,kterýjevětšínežr. DáleinfM= 1 2,neboťžádnýprvekMnenímenšínež 1 2,akdyžzvolíme libovolnéčíslos> 1 2,pakvždyprávěproprvek 1 2 platí 1 2 <s.přitom supmneníainfmjeprvkemzadanémnožinym. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

27 Supremum a infimum Věta(o existenci suprema a infima) 1) Každá neprázdná shora omezená množina reálných čísel má supremum. 2) Každá neprázdná zdola omezená množina reálných čísel má infimum. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

28 Okolí bodu Definice(Topologická definice) Okolím bodu a nazveme každý otevřený interval(c, d) konečné délky, kterýobsahujeboda(tj.kdea (c,d));označeníokolíbodua:u(a). Definice(Metrická definice) ε-okolímbodua,kde ε R, ε >0,nazývámeinterval(a ε,a+ε); označení: U(a, ε) nebo též U(a). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

29 Rozšířená reálná osa Číselnouosurozšířímeodvěnevlastníčísla:+ a. Označenírozšířenéreálnéosy: R = R {,+ }. Zavedení nevlastních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe a jednodušeji formulovat mnohé poznatky matematické analýzy. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

30 Rozšířená reálná osa Vlastnosti nevlastních čísel Na rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná na R. Uspořádání: zvláště x R: <x <+, <+, ( )=+, (+ )=, + = =+. Supremum a infimum: Pro množinu M, která není shora omezená, je supm=+,promnožinum,kteránenízdolaomezená,je infm=. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

31 Rozšířená reálná osa Vlastnosti nevlastních čísel Na rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná na R. Uspořádání: zvláště x R: <x <+, <+, ( )=+, (+ )=, + = =+. Supremum a infimum: Pro množinu M, která není shora omezená, je supm=+,promnožinum,kteránenízdolaomezená,je infm=. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

32 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Sčítáníaodčítání: x Rdefinujeme ±x+(+ )=(+ ) ±x= ±x ( )=(+ )+(+ )= =(+ ) ( )=+, ±x+( )=( ) ±x= ±x (+ )=( )+( )= =( ) (+ )=. Nedefinujeme (+ ) (+ ), (+ )+( ), ( )+(+ ), ( ) ( ). Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

33 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Násobení: x R,x >0definujeme x (+ )=(+ ) x=(+ ) (+ )=( ) ( )=+, x ( )=( ) x=(+ ) ( )=( ) (+ )=. Podobněprox <0. Nedefinujeme 0 (+ ), (+ ) 0, 0 ( ), ( ) 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

34 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Dělení: x Rdefinujeme x (+ ) = x ( ) =0. Prox >0je prox <0je Nedefinujeme + x + x =+, =, x x =, =+. + +, +,atd., x 0 prožádnéx R,tj.ani 0 0 nebo ± 0. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

35 Rozšířená reálná osa Početní operace s nevlastními čísly Mocniny: n Ndefinujeme (+ ) n =+, (+ ) n =0, ( ) n =( 1) n (+ ). Nedefinujeme (+ ) 0, ( ) 0, 0 0, 1 +, 1. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

36 Rozšířená reálná osa Poznámka Zpraktickýchdůvodůseněkdypíšemísto+ jen,takženapř.místo výrazu(+ )+(+ )lzenapsatjen +.Jestliževšakpracujemev komplexním oboru, kde se zavádí jediné komplexní nekonečno označované,musímedátpozornajehoodlišeníod+ zrozšířenéreálnéosy R. Úloha Vypočtěte a=+ 5 ( ) 3 +( ) 3 (100 ) 1200! +. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

37 Rozšířená reálná osa Poznámka Zpraktickýchdůvodůseněkdypíšemísto+ jen,takženapř.místo výrazu(+ )+(+ )lzenapsatjen +.Jestliževšakpracujemev komplexním oboru, kde se zavádí jediné komplexní nekonečno označované,musímedátpozornajehoodlišeníod+ zrozšířenéreálnéosy R. Úloha Vypočtěte a=+ 5 ( ) 3 +( ) 3 (100 ) 1200! +. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

38 je název pro elementární funkce, které vzniknou zfunkcíkonstantnícha zfunkcef(x)=x užitím operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocňování. Pokud nepoužijeme operaci odmocňování, dostaneme algebraické funkce racionální. Algebraické funkce, které nejsou racionální, nazýváme iracionální. Zvláštní případy algebraických funkcí: celá racionální funkce neboli funkce polynomická (algebraický polynom) a lomená racionální funkce, patří mezi nejvýznamnější funkce studované v matematice. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

39 Algebraické funkce a) Mocniny s přirozeným a celým exponentem b) Odmocniny c) Mocniny s racionálním exponentem d) Polynomické funkce e) Racionální lomené funkce Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

40 a) Mocniny s přirozeným a celým exponentem a,b R, r,s N: (1) a r a s =a r+s, a n =a } a {{ a}, pron N. n-krát (2) a r :a s =a r s (pokuda 0,r >s), (3) (a r ) s =a rs, (4) (ab) r =a r b r, (5) ( ) a r= a r b b (pokudb 0), r (6) a r =b r a=b(pokuda,b >0). K tomu přidejme ještě vlastnosti vyjádřené nerovnostmi (7) a,b >0:a r <b r a<b, (8) a >1,r <s a r <a s ; a (0,1),r <s a r >a s. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

41 Rozšíření pojmu mocnina Nejprve exponent 0: Mají-li zůstat v platnosti výše uvedené vlastnosti(1) (5), je třeba podle (2) a r :a s =a r s (pokuda 0,r >s) definovat a 0;a 0 =1. Vlastnost(2)pakplatípror sauvšechvlastnostísemusíme omezit na mocniny s nenulovým základem, neboť 0 0 nenídefinována. Vlastnosti (6) a r =b r a=b(pokuda,b >0)a (7) a,b >0:a r <b r a<b ovšempror=0neplatí. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

42 Rozšíření pojmu mocnina Exponent celé číslo. Klíčovou vlastností je opět (2) a r :a s =a r s (pokuda 0,r >s), podlenížsedefinuje(položíme-lir=0,s=k) a 0, k Z; a k = 1 a k. Vlastnost(2)pakplatíjižbezomezenípror,s Zavlastnost (7) a,b >0:a r <b r a<b nabude tvaru (7 ) r >0, a,b >0: a r <b r a <b, r <0, a,b >0: a r >b r a <b. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

43 b) Odmocniny Definice Pro každé přirozené číslo n definujeme n-tou odmocninu z nezáporného čísla a jako takové nezáporné číslo x, pro něž platí x n =a. Označení: x= n a. Podle definice tedy ( n a ) n=a, například ( 3 ) 2=3. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

44 Existence n-té odmocniny sezdábýtzřejmá. Jednoduché příklady: 3 8=2, neboť 2 3 =8. Ménězřetelnépřípady,třeba 3 π, jetřebasiodpovědětna otázku, zdan-táodmocninaprokaždéa R,a 0skutečněexistujeazdaje to jediné číslo. Věta(o existenci a jednoznačnosti n-té odmocniny) n N, a R,a 0existujeprávějednočíslox R,x 0,takové,že x n =a. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

45 Základní vlastnosti odmocnin: Věta a R,a 0, m,n,r N: 1) ( n a ) m = n a m, 2) nr a r = n a. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

46 c) Mocniny s racionálním exponentem Vyjdeme ze základní vlastnosti n-té odmocniny z čísla a: x n =a. Tedypoložíme x=a t apoumocněnínan-touje a=x n =a tn, tedy tn=1,t=1/n. Tovedekdefinici ( n N, m Z, a R,a >0): a 1 n = n a, a m n = n a m. Vlastnosti mocnin zůstávají zachovány s tím, že musíme uvážit příslušnépodmínkypro a,b,r,s. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

47 Mocniny s reálným exponentem Definice Pojem mocniny lze takto rozšířit, ale mocnina s iracionálním exponentem již není algebraická funkce. Nechťa R,a >0,q Q. Pakdefinujeme a q = sup {a r }. r Q, r<q Výše uvedené vlastnosti mocnin(1) (6),(7 ),(8) platí pro libovolné reálné exponenty. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

48 Obrázek:Grafyfunkcíy=x 3,y=x 2 ay=x. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

49 Obrázek:Grafyfunkcíy=x,y=x 1/2 ay=x 1/3. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

50 d) Polynomické funkce Jsoudányrovnicíy=P(x),kde je algebraický polynom. P(x)=a 0 x n +a 1 x n 1 + +a n 1 x+a n Proa 0 0jdeopolynomatedyiopolynomickoufunkcin-tého stupně;d(f)=r. Polynomická funkce obsahující jen liché mocniny x je lichá, pokud obsahuje jen sudé mocniny x, je sudá. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

51 Při studiu polynomických funkcí se využívá poznatků z algebry, která se algebraickými polynomy zabývá. Zejména se využívá: - dělení polynomů(se zbytkem), - rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a nerozložitelných kvadratických polynomů, - věta o rovnosti polynomů.(jestliže dva polynomy P, Q nejvýše n-téhostupněserovnajívn+1bodech,pakp(x)=q(x)na R,tj. oba polynomy mají tentýž stupeň a tytéž koeficienty.) Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

52 e) Racionální lomené funkce Jsou to funkce dané rovnicí y= P(x) Q(x), kde P(x), Q(x) jsou polynomy. Je-li stupeň čitatele větší nebo roven stupni jmenovatele, dovedeme racionální lomenou funkci vyjádřit ve tvaru y=s(x)+ R(x) Q(x), P(x) kdes(x)jepodílar(x)jezbytekpřidělení Q(x).Tatoúprava(kterése říká snížitstupeňčitatelepodstupeňjmenovatele )sepoužívápři integraci racionálních funkcí. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

53 Racionální lomené funkce Úloha Jedánafunkcey= x3 5x 2 +8x 7 x 2. Proveďte snížení stupně čitatele +3 pod stupeň jmenovatele. Řešení. Poprovedenémdělenídostanemey=x 2+ 3x 1 x Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

54 Racionální lomené funkce Úloha Jedánafunkcey= x5 1 x 2 +1.Proveďtesníženístupněčitatelepodstupeň jmenovatele, aniž provedete klasické dělení. Řešení. V čitateli vhodné členy přičítáme a odčítáme a zlomek rozdělíme na více zlomků.dostanemey=x 3 x+ x 1 x Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

55 Úprava algebraických výrazů[ Úloha(Úprava racionálních výrazů) Zjednodušte algebraický výraz a uveďte podmínky řešitelnosti. ( a+ 1 ) 2 ( b 1 ) 3 ( ab 1 ) 2 b a ab Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

56 Úprava algebraických výrazů[ Úloha(Úprava racionálních výrazů) Zjednodušte algebraický výraz a 2 [ +a 2 (a+2) 2 a 2 a 4 3a 3 4a ] a 2 a a uveďte podmínky řešitelnosti. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

57 Úprava algebraických výrazů[ Úloha(Úprava iracionálních výrazů) Upravte výraz 3 x x V(x)= 2 4 x 3 12 x 11 převodem odmocnin na mocniny s racionálními exponenty. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

58 Úprava algebraických výrazů[ Úloha(Rozklad polynomu) Upravte výraz. x x+8 x 2 +5x 14 :2x2 x 2 49 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

59 Úprava algebraických výrazů[ Úloha(Rozklad polynomu) Upravte výraz. 2x 2 2x+2 x 2 25 : x 3 +1 x 2 4x 5 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 20. září / 52

Matematika 1. Jiří Fišer. 21. září Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53

Matematika 1. Jiří Fišer. 21. září Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září / 53 Matematika 1 Jiří Fišer 21. září 2010 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1, MT1 21. září 2010 1/ 53 Zimní semestr KMA MAT1, MT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Funkce. Limita a spojitost

Funkce. Limita a spojitost Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla. Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

Matematika a 2. března 2011

Matematika a 2. března 2011 Přednáška č. 3 Matematika 2 Jiří Fišer 1. a 2. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1. a 2. března 2011 1 / 68 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?

Více

Matematika II. dvouletý volitelný předmět

Matematika II. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: O7A, C3A, S5A, O8A, C4A, S6A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem umožnit studentům dosáhnout lepší výsledky ve společné

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. @121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,

Více