Diferencne jednačine. Gospava B. Dor dević i Snežana S. Dor dević

Transkript

1 Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), Diferencne jednačine Gospava B Dor dević i Snežana S Dor dević U matematici je sve veća potreba za primenom diferencnih jednačina Naime, diferencne jednačine se koriste u rešavanju različitih matematičkih zadataka i problema, kao što su: nalaženje opšteg člana numeričkog niza; odre divanje vrednosti determinanata (višeg reda); odre divanje n tog (n N) stepena matrice; izračunavanje integrala Neka je (a n ) n N niz realnih (kompleksnih) brojeva, i neka je F funkcija k + 2 arugmenta, gde je k prirodan broj Jednačina (1) F (n, a n, a n+1,, a n+k ) = 0 je diferencna jednačina reda k Rešenje diferencne jednačine (1) je svaki niz (a n ) čijom zamenom u (1) ova postaje identitet Opšte rešenje jednačine (1) je ono rešenje koje sadrži sva njena rešenja Naglasimo da se samo neke diferencne jednačine mogu rešiti Neke od takvih diferencnih jednačina navodimo u nastavku ovog izlaganja Naš je cilj da pokažemo primenu diferencnih jednačina na odre divanje: opšteg člana niza, vrednosti determinanata, n tog stepena matrica 1 Linearna diferencijalna jednačina reda k Jednačina oblika (11) f k (n)a n+k + f k 1 (n)a n+k f 1 (n)a n+1 + f 0 a n = F (n), je linearna diferencna jednačina reda k, pri čemu su koeficijenti f i (n), i = 0,, k, funkcije od n, a F (n) je slobodni član, tako de, funkcija od n Ako je F (n) = 0, tada (11) postaje homogena linearna diferencna jednačina reda k 15

2 16 Teorema 1 Opšte rešenje jednačine (11) sadrži k konstanti Dokaz Pretpostavimo da se jednačina (11) može napisati u obliku (12) a n+k = f(n, a n, a n+1,, a n+k 1 ) Za n = 1, 2,, redom, prema (12), sledi: a k+1 = f(1, a 1,, a k ) = ϕ 0 (a 1,, a k ), gde su a 1,, a k proizvoljne konstante; Zatim, za n = 3, sledi a k+2 = f(2, a 2,, a k, a k+1 ) = f(2, a 2,, a k, f(1, a 1,, a k )) = ϕ 1 (a 1,, a k ) a k+3 = f(3, a 3,, a k+1, a k+2 ) = f(3, a 3,, ϕ 0 (a 1,, a k ), ϕ 1 (a 1,, a k )) = ϕ 2 (a 1,, a k ) Na taj način nalazimo da je a k+m = ϕ m 1 (a 1,, a k ) Možemo reći da je upravo a k+m opšte rešenje jednačine (12), gde su a 1,, a k prozvoljne konstante 2 Linearna diferencna jednačina prvog reda Jednačina oblika (21) a n+1 + f(n)a n = g(n), je diferencna jednačina prvog reda, pri čemu su kofeicijenti f(n) i g(n) funkcije od n, dok je a n nepoznata

3 17 Najpre rešavamo jednačine (i) a n+1 a n = g(n), i (ii) a n+1 + f(n)a n = 0 Za n = 1, 2,, tim redom, u (i), slede jednakosti a 2 a 1 = g(1) a 3 a 2 = g(2) a n a = g(n 1) Sumiranjem ovih jednakosti nalazimo da je a n = a 1 + g(j), j=1 a 1 je prizvoljna konstanta, i a n je opšte rešenje jednačine (i) Ako je a 1 C, onda je (22) a n = C + g(j) opšte rešenje jednačine (i) Na isti način, za n = 1, 2,, tim redom, prema (ii), nalazimo: a 2 + f(1)a 1 = 0, a 2 = f(1)a 1, j=1 a 3 + f(2)a 2 = 0, a 3 = ( 1) 2 f(1)f(2)a 1, a n + f(n 1)a = 0, a n = ( 1) f(1)f(2) f(n 1)a 1

4 18 Dakle, opšte rešenje jednačine (ii) je odnosno a n = ( 1) a 1 (23) a n = ( 1) C ν=1 ν=1 f(ν), f(ν) Neka je a n = u n v n rešenje diferencne jednačine (21), tada je u n+1 v n+1 + f(n)u n v n = g(n), u n+1 v n+1 u n v n+1 + u n v n+1 + f(n)u n v n = g(n), v n+1 (u n+1 u n ) + u n (v n+1 + f(n)v n ) = g(n) Poslednja jednačina je neodre dena, jer sadrži dve nepoznate, u n i v n Jedno rešenje se može uzeti proizvoljno, recimo v n+1 + f(n)v n = 0 Tada se ista jednačina razlaže na sistem diferencnih jednačina (24) v n+1 + f(n)v n = 0 v n+1 (u n+1 u n ) = g(n) Prva jednačina sistema (24) je upravo jednačina (ii), čije je rešenje (23) v n = ( 1) C ν=1 f(ν) Druga jednačina sistema (24) se može napisati u obliku u n+1 u n = g(n) v n+1, odakle sledi u n = u 1 + i=1 g(i) v i+1,

5 19 odnosno u n = D + i=1 g(i) ( 1) i C i ν=1 f(ν) Opšte rešenje diferencne jednačine (21) je a n = u n v n = ( 1) gde je (C 1 = C D) ν=1 f(ν) ( C 1 + i=1 Slede primeri diferencnih jednačina prvog reda ) g(i) ( 1) i i ν=1 f(ν), 1 Naći opšte rešenje diferencne jednačine a n+1 a n = d, (d je proizvoljna konstanta) Rešenje Sumiranjem jednakosti a 2 a 1 = d a 3 a 2 = d a n a 1 = d nalazimo da je a n = C + (n 1)d opšte rešenje date jednačine Primetimo da je (a n ) aritmetički niz sa diferencijom d 2 Naći rešenje diferencne jednačine a n+1 a n = n ako je a 1 = 1 Rešenje Za n = 1, 2,, tim redom, slede jednakosti a 2 a 1 = 1 a 3 a 2 = 2 a 4 a 3 = 3 a n a = n 1,

6 20 odakle, sumiranjem istih, dolazimo do rešenja a n = 1 + n() 2 3 Rešiti diferencnu jednačinu a n+1 a n = 2 n, ako je a 1 = 2 Rešenje a n a 1 = , a n = = 2 n 4 Naći rešenje diferencne jednačine a n+1 2a n = 0 za a 1 = 2 Rešenje a 2 = 2a 1, a 3 = 2 a 2 = 2 2 a 1, a 4 = 2 a 3 = 2 3 a 1, a n = 2 a 1 = 2 n 5 Rešiti diferencnu jednačinu a n+1 + na n = 1 Rešenje Ovo je potpuna diferencna jednačina prvog reda, data sa (21), gde je f(n) = n i g(n) = 1 Opšte rešenje jednačine je ( ) a n = ( 1) 1 ν C + ( 1) i i ν=1 = ( 1) (n 1)! ( C + i=1 i=1 ν=1 ν 1 ( 1) i i! 3 Linearna diferencna jednačina reda k sa konstantnim koeficijentima Ako su koeficijenti f k (n) u diferencnoj jednačini (11) konstante, onda je (11) linearna diferencna jednačina reda k sa konstantnim koeficijentima Ako su koeficijenti označeni sa b k, tada je (31) b k a n+k + b k 1 a n+k b 1 a n+1 + b 0 a n = F (n) )

7 21 linearna diferencna jednačina reda k sa konstantnim koeficijentima Odgovarajuća homogena diferencna jednačina je (32) b k a n+k + b k 1 a n+k b 1 a n+1 + b 0 a n = 0 Posebno razmatramo diferencnu jednačinu (31) za k = 2 i k = 3 Neka je (33) b 2 a n+2 + b 1 a n+1 + b 0 a n = F (n) diferencna jednačina reda dva sa konstantnim koeficijentima, a odgovarajuća homogena jednačina je (34) b 2 a n+2 + b 1 a n+1 + b 0 a n = 0 Teorema 2 Ako su a n i a n linearno nezavisna rešenja jednačine (34), tada je (35) a n = C 1 a n + C 2 a n opšte rešenje jednačine (34) Dokaz Zamenom (35) u (34), sledi b 2 (C 1 a n+2 + C 2 a n+2)+b 1 (C 1 a n+1 + C 2 a n+1) + b 0 (C 1 a n + C 2 a n)=0, C 1 (b 2 a n+2 + b 1 a n+1 + b 0 a n) + C 2 (b 2 a n+2 + b 1 a n+1 + b 0 a n) = 0, C C 2 0 = 0 Rešenje homogene jednačine (34) tražimo u obliku a n = λ n Otuda je b 2 λ n+2 + b 1 λ n+1 + b 0 λ n = 0, odakle je (36) b 2 λ 2 + b 1 λ + b 0 = 0

8 22 Jednačina (36) je karakteristična jednačina jednačine (34) Rešenja jednačine (36) su Razlikujemo tri slučaja λ 1,2 = b 1 ± b 2 1 4b 2b 0 2b 2 1 Neka su rešenja jednačine (36) realna i različita Tada je opšte rešenje jednačine (34), prema Teoremi 2: a n = C 1 λ n 1 + C 2 λ n 2 2 Neka su rešenje jednačine (36) realna i jednaka, tj, λ 1 = λ 2 Nije teško dokazati da je λ 1 n rešenje jednačine (34) i to nezavisno od λ 1 Ponovo po Teoremi 2, sledi da je opšte rešenje jednačine (34) dato sa a n = C 1 λ n 1 + C 2 nλ n 1 = λ n 1 (C 1 + C 2 n) 3 Neka su rešenja jednačine (36) kompleksna, tj, λ 1,2 = α ± iβ = r(cos ϕ ± i sin ϕ) Tada je opšte rešenje jednačine (34) dato sa a n = Cr n (cos nϕ + i sin nϕ) + Dr n (cos nϕ i sin nϕ) = (Cr n + Dr n ) cos nϕ + (Cir n Dr n i) sin nϕ = C 1 cos nϕ + C 2 sin nϕ, (C 1 = Cr n + Dr n, C 2 = Cir n Dir n ) Teorema 3 Rešenje nehomogene diferencne jednačine (33) je zbir rešenja homogene jednačine (34) i proizvoljnog rešenja nehomogene jednačine (33) Dokaz Neka je a n opšte rešenje homogene jednačine (34) a a n rešeje jednačine (33) Tada je a n = a n + a n opšte rešenje jednačine (33), jer je: b 2 (a n+2 + a n+2) + b 1 (a n+1 + a n+1) + b 0 (a n + a n) = F (n), tj, (b 2 a n+2 + b 1 a n+1 + b 0 a n) + (b 2 a n+2 + b 1 a n+1 + b 0 a n) = F (n), tj, 0 + F (n) = F (n), tj, F (n) = F (n)

9 23 Slede primeri diferencijalnih jednačina drugog reda 1 Naći opšti član Fibonaccievog niza a n+2 = a n+1 + a n, za a 1 = a 2 = 1 Rešenje Karakteristična jednačina je čija su rešenja Opšte rešenje je a n = C 1 ( λ 1 = λ 2 λ 1 = 0,, λ 2 = ) n ( 5 1 ) n 5 + C 2, 2 2 odakle, koristeći početne vrednosti a 1 = a 2 = 1, nalazimo da je C 1 = 5 5 i C 2 = 5 5, pa je opšti član Fibonacci evog niza dat formulom a n = ( ) n ( ) n Odrediti opšte rešenje diferencne jednačine a n+2 + 2a n+1 + a n = n + 2 Rešenje Karakteristična jednačina je λ 2 +2λ+1 = 0, njena rešenja su λ 1 = λ 2 = 1 Opšte rešenje homogene jednačine a n+2 +2a n+1 +a n = 0 je a n = C 1 ( 1) n + C 2 n( 1) n Rešenje a n polazne, nehomogene diferencne jednačine je oblika a n = An + B Tada je A(n + 2) + B + 2(A(n + 1) + B) + An + B = n + 2,

10 24 odakle slede jednakosti A = 1 4 i B = 1 4 Dakle, a n = 1 (n + 1), a 4 opšte rešenje polazne jednačine je a n = C 1 ( 1) n + C 2 n( 1) n + 1 (n + 1) 4 3 Odrediti a n ako je a n+2 a n+1 + a n = 0 Rešenje Karakteristična jednačina je λ 2 λ+1 = 0 Njena rešenja su λ 1,2 = 1 ± i 3, ili, u trigonometrijskom obliku, 2 Opšte rešenje jednačine je λ 1/2 = cos π 3 + i sin π 3 a n = C 1 cos nπ 3 + C 2 sin nπ 3 4 Odrediti rešenje diferencne jednačine a n+2 = a n+1 + 2a n, ako je 1 a 0 = 0, a 1 = 1; 2 a 0 = 2, a 1 = 1 Rešenje Rešenja karakteristične jednačine su λ 1 = 2 i λ 2 = 1 Opšte rešenje je a n = C 1 2 n +C 2 ( 1) n Koristeći početne vrednosti, nalazimo da je traženo rešenje ([1]): 1 a n = 1 3 (2n ( 1) n ) (Jacobsthal ov niz); 2 a n = 2 n + ( 1) n, (Jacobsthal Lucas ov niz) 5 Naći vrednost determinante D n =

11 Rešenje Razvojem determinante po elementima prve kolone, zatim po elementima prve vrste, nalazimo da je D n = 5 6, tj D n = 5D 6D n 2 Naime, imamo diferencnu jednačinu drugog reda D n+2 5D n+1 + 6D n = 0 sa početnim vrednostima D 1 = 5, D 2 = = 19 Karakteristična jednačina je λ 2 5λ + 6 = 0, čija su rešenje λ 1 = 3, λ 2 = 2, pa je opšte rešenje D n = C 1 3 n + C 2 2 n Koristeći početne uslove D 1 = 5 i D 2 = 19, nalazimo da je vrednost determinante D n = 3 n+1 2 n+1 6 Odrediti matricu A n ako je 1 [ ] 1 2 A = ; 2 A = Rešenje 1 A 0 [ ] [ ] [ ] a0 b = a 0 b =, A a1 b = 1 a 1 b = A 1 Elementi matrica A n kao i A n+1 su nizovi, tj [ ] [ ] an b A = n a n b, A n+1 an+1 b = n+1 n a n+1 b n+1 S druge strane, važi jednakost A n+1 = A n A, odnosno, [ ] [ ] an+1 b n+1 an 2a a n+1 b = n + b n n+1 a n 2a n + b, n 25

12 26 odakle sledi sistem diferencnih jednačina: a n+1 = a n, b n+1 = 2a n + b n, a n+1 = a n, b n+1 = 2a n + b n Rešenje diferencne jednačine a n+1 = a n je a n = c (c je konstanta) Kako je a 0 = c = 1 to je a n = 1 Diferencna jednačina a n+1 = a n ima rešenje a n = c, a kako je a 0 = 0, to je a n = 0 Ostale diferencne jednačine postaju b n+1 b n = 2, b n+1 = b n Opšte rešenje prve jednačine je b n = b 1 + 2(n 1), a kako je b 1 = 2, to je b n = 2n Rešenje druge jednačine je b n = c, a kako je b 0 = 1 to je b n = 1 Sledi [ ] n 1 2 = 0 1 [ ] 1 2n A 0 = , A 1 = A, A n+1 = A n A, pri čemu su matrice A n i A n+1 : A n = a n b n c n a n b n c n i A n+1 = a n+1 b n+1 c n+1 a a n b n c n+1 b n+1 c n+1 n a n+1 b n+1 c n+1 Iz jednakosti A n+1 = A n A sledi sistem linearnih diferencnih jednačina (1), (2) i (3): (1) a n+1 = a n, a n+1 = a n, a n+1 = a n; (2) b n+1 = 2a n + b n, b n+1 = 2a n + b n, b n+1 = 2a n + b n; (3) c n+1 = 2b n + c n, c n+1 = 2b n + c n, c n+1 = 2b n + c n Rešenje sistema (1) je a n = 1, a n = a n = 0, jer su to konstantni nizovi a početne vrednosti su a 0 = 1, a 0 = 0, a 0 = 0

13 27 Sada sistem (2) glasi b n+1 b n = 2, b n+1 = b n, b n+1 = b n, čija su rešenja: b n = 2n, b n = 1, b n = 0 Sistem (3) sada glasi c n+1 c n = 4n, c n+1 c n = 2, c n+1 = c n, čija su rešenja: c n = 2n(n 1), c n = 2n, c n = 1 Dakle, matrica A n je 1 2n 2n(n 1) A n = 0 1 2n Odrediti opšte rešenje diferencne jednačine a n+3 a n+2 + 2a n = 0 ako je a 0 = 0, a 1 = a 2 = 1, ([2]) Rešenje Karakteristična jednačina je λ 3 λ = 0 Rešenja ove jednačine su λ 1 = 1, λ 2 = ( 2 cos π 4 + i sin π ), λ 3 = ( 2 cos π 4 4 i sin π ) 4 Opšte rešenje diferencne jednačine je a n = C 1 ( 1) n + C 2 ( ( 2) n cos nπ 4 + i sin nπ 4 + C 3 ( ( 2) n cos nπ 4 i sin nπ ), 4 ) odakle, koristeći početne uslove a 0 = 0 i a 1 = a 2 = 1, nalazimo da je C 1 = 1 5, C 2 = 1 3i 10, C 3 = 1 + 3i 10 Dakle, opšte rešenje jednačine je a n = 1 5 ( 1)n + 1 3i ( 10 ( 2) n cos nπ 4 + i sin nπ ) i ( 10 ( 2) n cos nπ 4 i sin nπ ) 4

14 28 Naime, opšte rešenje se može predstaviti i na sledeći način ([2]): a 4n = 1 5 ( 1 + ( 4)n ), a 4n+1 = 1 5 (1 + 4( 4)n ), a 4n+2 = 1 5 ( 1 + 6( 4)n ), a 4n+3 = 1 5 (1 + 4( 4)n ) Literatura [1] GB Dor dević, Incomplete generalized Jacobsthal and Jacobsthal Lucas numbers, Math and Computer Modelling, 42 (2005), [2] G B Dor dević, Mixed convolutions of the Jacobsthal type, Appl Math and Computation, 186 (2007), [3] J Kečkić, Linearna algebra, teorija i zadaci, Naučna knjiga, Beograd, 1985 Adresa autora: Tehnološki fakultet u Leskovcu, Univerzitet u Nišu