O řešení diferenční rovnice y(n+2) 1, 25y(n+1)+0, 78125y(n) = x(n + 2) x(n)
|
|
- Dalibor Sedláček
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 O řešení diferenční rovnice yn+), 5yn+)+0, 785yn) xn + ) xn) Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. a Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc. V příspěvku je řešena rovnice Abstrakt yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) xn + ) xn) pomocí dvou různých metod - jednak metodou transformace Z a jednak metodou konstrukce řešení pomocí součtu vhodného řešení odpovídající homogenní rovnice a některého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Získané výsledky jsou vzájemně porovnávány. Při výpočtech předpokládáme, že posloupnost {xn)} je posloupností charakterizující jednotkový impuls, tj. xn) δn), kde δ0) a δn) 0 pro n 0. Úvod V tomto příspěvku budeme analyzovat dva způsoby řešení diferenční rovnice yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) xn + ) xn). ) Řešení rovnice ) bude nalezeno pomocí transformace Z a dále užitím teoretické metody konstrukce řešení pomocí součtu vhodného řešení odpovídající homogenní rovnice a některého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Tato diferenční rovnice ) může popisovat vlastnosti lineárního časově invariantního Linear Time Invariant LTI) diskrétního systému.řádu, který s uvedenými koeficienty má kmitočtové vlastnosti číslicového filtru IIR typu pásmové zádrže. Číslicový filtr je získán po kvantování a převodu diskrétních signálů na číslicové signály pomocí vhodného kódování. Diferenční rovnice tvaru ) mají velký význam při implementaci LTI diskrétních systémů v mikroprocesorech a signálových procesorech zvláště s aritmetikou s pevnou řádovou čárkou.
2 Některé komplexní vztahy Při obou způsobech řešení budeme využívat některé vlastnosti kořenů kvadratické rovnice z, 5z + 0, ) Rovnice ) má komplexně sdružené kořeny z,, které budeme též značit jako p,, určené vzorcem z, p,, 5 ±, 5 0, 785 Platí tedy, 5 ±, 565, 5 ±, 565 3, 5, 5 ± j, 5 p 0, 65 + j0, 65, p 0, 65 j0, 65. Při úpravách budeme užívat tyto vztahy: j 0, 65, 5j, p p j 0, 65, 5j, ρ p p 0, , 65 0, , 65 0, 65 ± j0, 65. 3) 0, , , ) p p 0, , 65 0, 65 0, 785 ρ, p + p 0, 65, 5. 5) V dalším textu předpokládáme, že posloupnost {xn)} je posloupností, charakterizující jednotkový impuls, tedy, že xn) δn), kde δ0) a δn) 0 pro n 0. V takovém případě platí x0) δ0), x) δ) 0. 3 Řešení metodou transformace Z Připomeňme, že transformací Z dané posloupnosti {fn)} nazýváme funkci F z) n0 fn) z n,
3 kde z C, za předpokladu, že nekonečná řada je konvergentní pro některé z 0. Označme transformaci Z hledané posloupnosti {yn)} jako funkci Y z), tj. Z{yn)} Y z) a transformaci Z posloupnosti {xn)} jako funkci Xz). Vzhledem k výše uvedené poznámce o vlastnostech posloupnosti {xn)} snadno přímo z definice určíme, že Z{xn)} Xz). Některé části dalšího výkladu jsou převzaty z knihy [] nebo jsou úvahami zde provedenými motivovány. Provedeme transformaci Z rovnice ). Přitom využijeme známý vztah pro translaci vlevo Z{fn + k)} z k F z) k m0 kde k > 0 je pevné celé číslo. Podle tohoto vzorce je a Z{yn + )} z Y z) z y0) z 0 Z{yn + )} zy z) z y0) z 0 Z{xn + )} z Xz) z x0) z 0 Po transformaci Z rovnice ) dostáváme ) fm), z m + y) ) z Y z) z y0) zy), z zy z) zy0) + x) ) z Xz) z. z z Y z) z y0) zy), 5zY z) +, 5zy0) + 0, 785Y z) odkud po úpravě z Xz) z Xz), z Y z) z, 5z + 0, 785 Xz) + [ z, 5z)y0) + zy) z ]. z, 5z + 0, 785 Přenosová funkce Hz) je rovna Hz) z z, 5z + 0, 785 A z) B z), kde A z) z, B z) z, 5z + 0, 785, 3
4 a platí pro ni viz ), 3)) Hz) z )z + ) z 0, 65 j0, 65)z 0, 65 + j0, 65) z )z + ) z p )z p ). 6) 3. Impulsní charakteristika Impulsní charakteristika je definována jako vynucená odezva systému na vstupní signál ve tvaru jednotkového impulsu za předpokladu, že systém byl pro n < 0 v klidu, tj. při nulové přirozené odezvě. Přenosová funkce Hz) a impulsní charakteristika hn) tvoří pár transformace Z, tj. Z{hn)} Hz), Z {Hz)} hn). Impulsní charakteristiku můžeme vypočítat pomocí vztahu hn) Hz)z n dz, 7) πj C kde C je jednoduchá, uzavřená, kladně orientovaná a po částech hladká křivka, obsahující uvnitř oblasti, kterou ohraničuje všechny konečné singulární body integrandu. Výpočet je nutné rozdělit na dvě části, a to na výpočet pro n 0, kdy existují tři singulární body integrandu uvnitř křivky C a na výpočet pro n, kdy existují dva singulární body integrandu uvnitř křivky C. Před výpočtem ještě připomeňme reziduovou větu, která umožňuje vypočítat integrály tvaru gz) dz, l kde l je jednoduchá, uzavřená, kladně orientovaná a po částech hladká křivka a gz) je komplexní funkce, holomorfní uvnitř oblasti D ohraničené křivkou l a na hranici oblasti D vyjma konečného počtu singulárních bodů z, z,..., z s, ležících uvnitř oblasti D: gz) dz πj ) rez gz) zz + rez gz) zz + + rez gz) zzs. l V tomto vzorci je symbolem rez značeno tzv. reziduum funkce. V případě, že je singulární bod z z 0 pólem prvního řádu funkce gz), je výpočet jejího rezidua v tomto bodě snadný. Lze užít například vztah, který je použit v dalších výpočtech, rez gz) zz0 lim z z0 z z 0 )gz). 8)
5 3.. Výpočet pro n 0 V tomto případě má integrand tři singulární body z 0, z p a z 3 p. Proto podle 6), 7), reziduové věty a vztahu 8) dostáváme h0) Hz)z dz πj C rez Hz) + rez Hz) + rez Hz) z z0 z zp z zp zz )z + ) lim z 0 z p )z p )z + lim z p )z )z + ) + z p z p )z p )z z p )z )z + ) lim + p z p z p )z p )z p p p p p ) + p p ) p p ) + p p ) p p ) p p p p ) p p p p ) p p p p ). 3.. Výpočet pro n V tomto případě má integrand jen dva singulární body z p a z p. Podle 6), 7), reziduové věty a vztahu 8) dostáváme hn) Hz)z n dz πj C rez Hz)z n zp + rez Hz)z n zp z p )z )z + )z n z p )z )z + )z n lim + lim z p z p )z p ) z p z p )z p ) p )p + )p n p p Dále budeme upravovat výraz hn) p )p n p p + p )p + )p n p )p n p p Vyjádřeme komplexní čísla p, p v exponenciálním tvaru: p 0, 65 + j0, 65 ρ e πj)/, p 0, 65 j0, 65 ρ e πj)/, + p )p n. + p )p n. 9) 5
6 kde dle ) ρ. 0, Pak podle Moivreovy věty platí Upravme ještě výraz a p k ρ k e kπj)/ ρ k cos kπ + j sin kπ ), p k ρ k e kπj)/ ρ k cos kπ j sin kπ ). Potom úprava výrazu 9) dává hn) p )p n j, 5, 5j j, 5 j p p, 5. + p )p n p p j ) p n+ p n p n+ + p n, 5 ρ n+ e jn+)π/ ρ n e jn )π/ ρ n+ e jn+)π/ + ρ n e jn )π/). 6
7 Rozepsáním dle Moivreovy věty) dostáváme hn) jρ n [ ρ e jn+)π/ ρ e jn )π/ ρ e jn+)π/ + ρ e jn )π/] jρn, 5, 5 [ ρ cosn + ) π ) j sinn + )π cosn ) π ) ρ j sinn )π ρ cosn + ) π ) + j sinn + )π + cosn ) π ) ] ρ + j sinn )π jρ n [ jρ sinn + ) π ], 5 + j ρ sinn )π ρ n, 5 ρ n [ ρ sin nπ, 5 cos π + cos nπ sin π ) [ ρ n ρ, 5 ρ ρ n, 5 [ ρ sinn + ) π ρ sinn )π ρ ) sin nπ + ρ ρ) + ] sin nπ cos π cos nπ sin π ) ] ρ + ρ ) cos nπ ρ + ρ) ρ ρ ρ ρ) + ρ + ) sin nπ ρ + + ρ ρ + ρ + ρ ρ) ) cos nπ. ρ Najdeme číselná vyjádření ] ρ ρ ρ ρ) + ρ + ) ρ 0, , , , , 5 0, 8930, ρ + ρ ρ ρ) + ρ + ) ρ, , , ,
8 a ρ + ρ +, 5 ρ) ρ), 5, , 5 Potom hn), , n [ 0, 8930 sin nπ + 0, cos nπ ]. Najdeme úhel α 0, π/) takový, aby Tomuto požadavku vyhovuje úhel sin α 0, 8930, cos α 0, α 0, 958 [rad]. Proto s použitím známého součtového vzorce cos x cos y sin x sin y cosx + y) bude [ hn), , n sin α sin nπ + cos α cos nπ ] ) nπ, , n cos + α. Pro n je tedy impulsní charakteristika dána vztahem ) nπ hn), , n cos + 0, 958. Uveďme několik prvních členů posloupnosti impulsní charakteristiky: h0), ) π h), , cos + 0, 958, , ) π h), , cos + 0, 958 0, , ) 3π h3), , cos + 0, 958, , h), , cos π + 0, 958), , h5) ) 5π, , cos + 0, 958 0, , h6) ) 3π, , cos + 0, 958 0, 335, h7) ) 7π, , cos + 0, 958 0,
9 a po zaokrouhlení na pět desetinných míst) {hn)} {;, 5000; 0, 875;, 5000;, 3960; 0, 769; 0, 335; 0, 769;... }. Řešení metodou teorie diferenčních rovnic Při řešení rovnice ) užijeme postup, popsaný například v knize []. Tento postup stanoví řešení nehomogenní diferenční rovnice jako součet obecného řešení přidružené homogenní rovnice a některého partikulárního) řešení nehomogenní rovnice. Jde-li nám o konkrétní řešení, určené počátečními podmínkami, pak pomocí nich stanovíme konkrétní volbu libovolných konstant ve výše citovaném součtu.. Stanovení počátečních podmínek Najdeme impulsní charakteristiku jako některé partikulární řešení nehomogenní lineární rovnice ). Protože se jedná o některé konkrétní řešení této rovnice, je pro jeho vyčlenění z množiny všech řešení nutné stanovit odpovídající počáteční podmínky. Protože je impulsní charakteristika definována jako vynucená odezva systému na vstupní signál ve tvaru jednotkového impulsu za podmínky, že systém byl pro n < 0 v klidu kauzální systém), tj. při nulové přirozené odezvě, je zřejmé, že platí yn) 0, n,, 3,.... Rovnice ) je diferenční rovnicí druhého řádu. V souladu s teorií lineárních diferenčních rovnic je každé partikulární řešení jednoznačně určeno dvěma počátečními podmínkami. Postup vedoucí ke zjištění dvojice počátečních hodnot y0) a y) je následující. Dosazením n do rovnice ) dostáváme y0), 5y ) + 0, 785y ) x0) x ). 0) Protože jsou známy hodnoty y ) 0, y ) 0, x ) 0 a x0) dostáváme ze vztahu 0) hodnotu y0). Dále dosazením n do rovnice ) dostáváme y), 5y0) + 0, 785y ) x) x ). ) Protože jsou známy hodnoty y ) 0, x) 0, x ) 0 a právě určená hodnota y0), nalézáme ze vztahu ) hodnotu y), 5y0), 5. Dvě počáteční podmínky tedy jsou y0), y), 5. ) 9
10 . Obecné řešení příslušné homogenní rovnice Stanovme obecné řešení homogenní rovnice odpovídající rovnici ), tj. rovnice yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) 0. 3) Jak již bylo uvedeno výše, popis užité metody lze nalézt, například v knize []. Nejprve je nutné vyřešit odpovídající charakteristickou rovnici Její kořeny jsou λ, 5λ + 0, λ p 0, 65 + j0, 65, λ p 0, 65 j0, 65. Pak má homogenní rovnice 3) dvojici lineárně nezávislých řešení Obecné řešení homogenní rovnice je y n) p n, y n) p n. ) yn) C y n) + C y n) C p n + C p n, kde C a C jsou libovolné konstanty a n 0,,, Partikulární řešení nehomogenní rovnice Nyní najděme partikulární řešení výchozí rovnice ), tj. rovnice kde jsme označili yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) gn), gn) xn + ) xn). Toto řešení budeme hledat metodou variace konstant přitom použijeme některé vztahy uvedené v knize [, str.76, 77]). Partikulární řešení y p n) rovnice ) hledáme ve tvaru y p n) u n)y n) + u n)y n), kde y n) a y n) je dvojice lineárně nezávislých řešení ) příslušné homogenní rovnice 3), tj. y p n) u n)p n + u n)p n 5) 0
11 a u n), u n) jsou neznámé funkce, pro které platí viz vzorce..) a..) citované knihy) n gr)y r + ) u n), 6) r0 W r + ) u n) n r0 gr)y r + ) W r + ). 7) Výraz W r + ) je determinantem nazývaný Casoratián ) sestaveným z lineárně nezávislých řešení y r + ) p r+, y r + ) p r+, tj. p r+ p r+ W r + ) pr+ p r+ ). p r+ p r+.3. Nalezení posloupností funkcí u n), u n) Nyní se zaměříme na nalezení posloupností u n) a u n), definovaných vzorci 6) a 7). Předem uveďme, že v teorii diferenčních rovnic platí tato úmluva která často umožňuje zapisovat vzorce obsahující součty nebo součiny v pohodlném tvaru). Máme-li součet nebo součin s ss a s, s ss a s, kde {a s } je daná posloupnost a s < s horní index je menší než dolní), potom deklarujeme, že s ss a s 0, s ss a s. Poznamenejme, že posloupnost {a p } v této úmluvě nehraje žádnou roli a nebylo zapotřebí ji vůbec zapisovat. Vraťme se k uvažované rovnici. Je-li n 0, pak podle přijaté úmluvy je n r0 0, r0 a proto vzorce 6), 7) vedou k hodnotám u 0) u 0) 0. Snadno určíme dle definice jednotkového impulsu), že g0) a gr) 0, je-li r. Hodnota Casoratiánu pro r 0 je W ) p p ).
12 Potom je pro každé n a u n) g0)y ) W ) u n) g0)y ) W ) p p p ) p ) p p p ) p )..3. Tvar partikulárního řešení Dosazením za u n) a u n) do 5) dostáváme partikulární řešení y p n) 0 pro n 0, p n p ) p n pn p ) p n.3.3 Obecné řešení nehomogenní rovnice ) Obecné řešení rovnice ) má tvar pro n. yn) C p n + C p n + y p n), 8) kde y p n) je partikulární řešení nalezené v předchozí části a C, C jsou libovolné konstanty..3. Řešení nehomogenní rovnice ) s počátečními podmínkami ) Na závěr nalezneme v množině všech řešení 8) to, které vyhovuje počátečním podmínkám ). Pro n 0 dostáváme Pro n dostáváme y0) C p 0 + C p 0 + y p 0) C + C. y) C p + C p + y p ) C p + C p p0 p 0 C p + C p, 5. Konstanty C a C určíme jako řešení systému dvou rovnic o dvou neznámých: Jeho řešením dostáváme C + C, C p + C p, 5. C p p ), 5 p, C ), 5 p,
13 odkud s užitím 5) a Hledané řešení má tvar C, 5 p p p p p p C, 5 p p. yn) C p n + C p n + y p n) Ze vztahu 9) snadno nalézáme, že pn+ + pn+ + y p n). 9) p p a pro n y0) C p 0 + C p 0 + y p 0) p p p + p yn) C p n + C p n + y p n) Impulsní charakteristika je nalezena..3.5 Srovnání výsledků pn+ p p + pn+ pn Porovnáním se vztahem 9) se přesvědčujeme, že opravdu platí {hn)} {yn)}, p n. protože a pro n hn) p )p n p p 5 Závěr h0) y0) + p )p n p n+ p p + pn+ pn p n yn). Při praktické implementaci algoritmů diskrétních systémů v mikroprocesorech se z hlediska malé citlivosti na kvantovací vlivy LTI systémy vyššího řádu realizují jako kaskádní nebo paralelní spojení dílčích sekcí. a. řádu []. Pro 3
14 testování správnosti algoritmů například v jazyce signálového procesoru asembleru) je vhodné znát impulsní charakteristiku a tu lze výhodně vyřešit například pomocí transformace Z. Ovšem při stálém zvyšování rychlosti zpracování zvyšování kmitočtu hodinových impulsů) a využívání stále více paralelismu v architektuře signálových procesorů architektura typu VLIW Very Long Instruction Word) a princip SIMD Single Instruction Multiple Data)) nám nestačí pouze znalost dílčích charakteristik diskrétního systému, ale potřebujeme znát úplné řešení diferenčních rovnic, které vlastně představují rekurzivní algoritmus pro výpočet. To vede zvláště k tomu, abychom byli schopni ošetřit přechodné děje vznikající při náhlých časových změnách vstupních signálů. Poděkování Tento článek byl připraven v rámci řešení grantových projektů GAČR No 0/0/097 a GAČR No 0/0/0580. Reference [] Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, Second Edition, Springer, 999. [] Vích, R., Smékal, Z., Číslicové filtry, Academia, 000. Autoři Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc., ústav matematiky, fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně, tel.: 5 355, diblik@feec.vutbr.cz Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc., ústav telekomunikací, fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně, tel.: 5 97, smekal@feec.vutbr.cz
Inverzní z-transformace. prof. Miroslav Vlček. 25. dubna 2013
Modelování systémů a procesů 25. dubna 2013 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2 Metody výpočtu inverzní z-transformace Zpětná
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceZ transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
Více0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému
2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Více1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceDiskretizace. 29. dubna 2015
MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály Systémy: definice, několik příkladů Vlastnosti systémů
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceKapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita )
Kapitola 9. Rezidua Definice 9.. ( izolovaná singularita ) Bod z 0 2 C nazveme izolovanou singularitou (izolovaný singulární bod) funkce f, jestliže i) f není holomorfní v bodě z 0, ii) existuje prstencové
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceŘešení rekurentních rovnic 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 12
Řešení rekurentních rovnic 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti
Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů
Více0.1 Z transformace. 0.1 Z transformace 1
0.1 Z transformace 1 0.1 Z transformace Rovnice popisující vlastnosti diferenčních systémů můžeme řešit analogicky jako ve se spojitém případě pomocí transformace. Touto transformací je Z transformace.
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak
5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceZpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceModelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceHL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
VíceKomplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceDMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceAnalýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace
Analýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X k jf j xk, je komplexní číslo r e r e k Oboustranná
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
Vícezákladní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů
A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 4 2 Číslicové filtry typu FIR a IIR definice operace filtrace základní rozdělení FIR, IIR základní vlastnosti, používané struktury filtrů návrhové prostředky
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceKTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceÚPGM FIT VUT Brno,
Systémy s diskrétním časem Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz 1 LTI systémy v tomto kursu budeme pracovat pouze se systémy lineárními a časově invariantními. Úvod k nim jsme viděli již
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceObyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
VíceČíslicové filtry. Honza Černocký, ÚPGM
Číslicové filtry Honza Černocký, ÚPGM Aliasy Digitální filtry Diskrétní systémy Systémy s diskrétním časem atd. 2 Na co? Úprava signálů Zdůraznění Potlačení Detekce 3 Zdůraznění basy 4 Zdůraznění výšky
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VíceDiferenční rovnice. 20. prosince Motivace 1
Diferenční rovnice Jiří Fišer 0. prosince 006 Obsah 1 Motivace 1 Dynamika diferenčních rovnic prvního řádu 3.1 Úvod................................ 3. Lineární diferenční rovnice prvního řádu............
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Více1 Nulové body holomorfní funkce
Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceTransformace obrazu Josef Pelikán KSVI MFF UK Praha
Transformace obrazu 99725 Josef Pelikán KSVI MFF UK Praha email: Josef.Pelikan@mff.cuni.cz WWW: http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Transformace 2D obrazu dekorelace dat potlačení závislosti jednotlivých
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceBCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceUžití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský
Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Ostřanský Bakalářská práce 2017 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je ukázat možnosti použití nekonečných řad při řešení obyčejných
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceRekurentní rovnice, strukturální indukce
, strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více