1 Elektromagnetická vlna

Transkript

1 1 lektromagnetická vlna 1.1 lektromagnetické vlny V nestacionárním případě, ve kterém veličiny elektromagnetického pole mění v ávislosti na čase svoji velikost a případně i směr, eistuje vždy současně elektrická a magnetická složka jednotného elektromagnetického pole. Tyto složky jsou od sebe navájem neoddělitelné. Jejich vájemný vtah je vyjádřen dvojicí Mavellových rovnic, které jsou svým formálním obsahem podobné. První rovnice je obecněný Ampérův ákon celkového proudu v diferenciálním tvaru (1.1). Na levé straně vystupuje rotace vektorové funkce pro intenitu magnetického pole H. Ve vtahu pro rotaci jsou obsaženy druhé parciální derivace složek této funkce podle prostorových souřadnic. Operátor rotace se tedy přímo nevtahuje k časovým měnám dané vektorové veličiny, ale je ávislý na prostorovém roložení této veličiny v určitém časovém okamžiku. Na pravé straně jsou veličiny elektrického pole: Proudová hustota proudu volných částic (kondukčního proudu) a hustota takvaného posuvného proudu, která je dána časovou měnou elektrické indukce D. Tento ákon vyjadřuje důležitou skutečnost, že časové a prostorové měny magnetické složky elektromagnetického pole jsou váány s časovými měnami elektrické složky pole. D rot H J (1.1) t Druhou symetricky podobnou rovnici představuje Faradayův indukční ákon v diferenciálním tvaru, který má na levé straně rotaci vektorové funkce pro intenitu elektrického pole a na pravé straně časovou měnu veličiny magnetického pole magnetickou indukci B. Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že časové a prostorové měny elektrické složky elektromagnetického pole jsou váány s časovými měnami magnetické složky pole: B rot (1.) t Z matematického hlediska tvoří uvedené rovnice soustavu dvou parciálních diferenciálních rovnic, ve kterých se vyskytuje pět nenámých veličin. Tři veličiny popisující roložení elektrického pole: Intenita elektrického pole, elektrická indukce D a proudová hustota J. Dvě veličiny popisují roložení magnetického pole: Intenita magnetického pole H a magnetická indukce B. Veličiny elektrického a magnetického pole však nejsou navájem neávislé. V lineárním iotropním prostředí jsou váány jednoduchými materiálovými rovnicemi: 1

2 D r B H r J (1.3) Ponámka: V předešlých rovnicích je potřebné si uvědomit, že symboly J,D,,B,H představují obecné vektorové funkce, které popisují be bližší specifikace souřadné soustavy příslušnou veličinu v prostoru a čase. Pokud by se například jednalo o kartéskou souřadnou soustavu, budou proměnné parametry vektorové funkce (,y,,t), y, a každému časovému v případě intenity elektrického pole udávat, že každému bodu okamžiku t přísluší jedna hodnota vektoru intenity elektrického pole (, y,, t). Pokud vektorovou veličinu rodělíme na složky ve směru souřadných os, je možné vektorovou funkci apsat v podobě součtu skalárních funkcí. Každá skalární funkce popisuje velikost příslušné složky vektoru v prostoru a čase. (, y,,t) (,y,,t) y (, y,, t) (, y,,t) y Matematický operátor rotace aplikovaný na vektorovou funkci opět dává vektorovou funkci. Obsahuje poue parciální derivace podle souřadnic v prostoru a ne časové derivace. Pro intenitu elektrického pole v kartéské soustavě to bude například: rot (, y,, t) (,y,,t) y (, y,,t) y (,y,,t) (, y,,t) y y(, y,,t) (, y,,t) y (1.4) Pokud si v rovnicích (1.1), (1.) volíme jednu veličinu popisující magnetické pole (například intenitu magnetického H) a jednu veličinu popisující elektrické pole (například intenitu elektrického pole ), le rovnice (1.1), (1.) s použitím rovnic (1.3) skutečně přepsat do podoby soustavy dvou rovnic o dvou nenámých: H rot t rot H t (1.5)

3 Jedná se však o komplikovanou soustavu parciálních diferenciálních rovnic. V každé nich je na levé straně aplikován operátor rotace na vektorovou funkci, na druhé straně je derivace vektorové funkce podle času. Rotace obsahuje parciální derivace vektorové funkce podle souřadnic v prostoru (vi (1.4)). Při řešení této soustavy a hledání rovnice pro jednu veličinu je nutné druhou veličinu e soustavy eliminovat. To se podaří tím, když na první rovnici aplikujeme ještě jednou operátor rotace: rot rot rot t H (1.6) Za člen rot H je možné dosadit druhé rovnice. Po provedení nanačené derivace bude platit: rot rot (1.7) t t Dostali jsme tak parciální diferenciální rovnici pro intenitu elektrického pole. Dvakrát aplikovaný operátor rotace je možné apsat pomocí dalších matematických operátorů: rot rot grad div (1.8) Gradient a divergence jsou operátory popsané v tetu na jiných místech. Operátor se v kartéské soustavě někdy onačuje jako Laplaceův operátor a má tuto podobu: y y y y y y y (1.9) Obecnou rovnici pro intenitu elektrického pole nestacionárního elektromagnetického problému le přepsat do podoby: grad div (1.1) t t Následným koumáním se ukáže, že tato rovnice popisuje elektromagnetickou vlnu, naývá se vlnová. Člen grad div představuje droj elektromagnetického vlnění, obsahuje hustotu elektrického náboje měnící se v prostoru a čase (vi Gaussova věta elektrostatiky : div ). Pokud budeme koumat elektromagnetický problém mimo oblast drojů, le tento člen vypustit a vlnová rovnice nabude tvaru: (1.11) t t 3

4 Tato obecná parciální diferenciální rovnice obsahuje parciální derivace hledané vektorové funkce podle prostorových souřadnic i podle času a není v této podobě jednonačně řešitelná, má nekonečně mnoho růných řešení Harmonická elektromagnetická vlna Pokud se omeíme na veličiny elektromagnetického pole, jejichž ávislost na čase je popsána harmonickými funkcemi ( sin( t), cos( t) ) a pokud budeme uvažovat ustálené stavy, je možné místo okamžitých hodnot veličin avést tv fáory, což jsou obray harmonicky časově proměnných veličin v komplení rovině. Fáory, jako komplení hodnoty, v sobě obsahují amplitudu a fáový posun. Tímto postupem se rovnic odstraní ávislost na čase. Ve vektorových funkcích již nebudou vystupovat vektory okamžitých hodnot veličin, ale jejich fáory (interpretace veličin v komplení rovině) naývají se fáory vektorů. Složkami fáoru vektorů budou fáory složek v daném místě. (, y, ) (, y, ) y (, y, ) (, y, ) y První časové derivace jsou nahraeny násobkem j, kde je úhlový kmitočet daného harmonického průběhu, druhé časové derivace násobkem j. Operátory rotace i operátor ůstanou formálně stejné, časové derivace se de nevyskytují. Rovnice (1.5) přejdou do tvaru: (případně ) rot H j j rot jh (1.1) Vlnová rovnice (1.11) přejde do tvaru: j (1.13) Po úpravě j (j ) (1.14) Pokud dále použijeme onačení: k j ( j ) (1.15) a nově avedenou komplení konstantu k naveme konstanta šíření : 4

5 k j ( j ) j (1.16) přejde s použitím této konstanty rovnice (1.14) do podoby, kterou je možno onačit jako vlnovou rovnici pro harmonický ustálený stav be přítomnosti drojů: k (1.17) Poději bude ukááno, že reálná část takto apsané konstanty šíření souvisí s fáovým posuvem veličin, naývá se proto fáová konstanta a imaginární část souvisí s útlumem amplitud veličin, naývá se měrný útlum Rovinná harmonická elektromagnetická vlna Rovnice (1.17) je stále parciální diferenciální rovnice s nekonečným počtem řešení, počet proměnných veličin hledané funkce se však o jednu snížil (čas), omeil se poue na prostorové souřadnice. Za určitých jednodušujících předpokladů le ískat jedno možných řešení této rovnice, které popisuje důležitý problém naývaný: Rovinná harmonická elektromagnetická vlna. Až e samotných ávěrů a interpretace výsledků tohoto řešení bude patrné, že se skutečně jedná o jev, který má vlnovou povahu. Pojem rovinná harmonická elektromagnetická vlna vyplyne e ákladního předpokladu, že nebudeme koumat obecné elektromagnetické pole, ale pole, které má elektrickou nebo magnetickou složku orientovanou poue v jednom směru. Například intenitu elektrického pole orientovanou v kladném směru osy. Velikost této složky se navíc nebude měnit v prostoru obecně, v našem případě bude funkcí poue souřadnice. (, y,) (, y,) y y (, y,) (, y, ) (1.18) Velikost elektromagnetického pole bude konstantní v rovinách konst a dalšího tetu vyplyne, že se bude jednat o pomyslné vlnoplochy elektromagnetické vlny, které se budou šířit ve směru osy (vi Obr.1). 5

6 Obr.1 Vlnoplochy elektromagnetického pole Z Laplaceova operátoru na levé straně vlnové rovnice, ůstane poue jeden nenulový člen: Δ y y y y y y y (1.19) Vlnová diferenciální rovnice pro fáor -ové složky intenity magnetického pole přejde do tvaru: d () + k () = d (1.) Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. Její řešení, které le snadno nalét, má jednoduchý tvar: jk jk () = C e + C e (1.1) Výsledkem je tedy rovnice pro fáor intenity elektrického pole (), C 1,C jsou obecné komplení konstanty, jejichž velikost se určí okrajových podmínek. Pravý člen rovnice představuje vlnu šířící se v kladném směru osy, levý člen vlnu šířící se v áporném směru osy. Na ákladě uvedených ponatků však vůbec ještě není patrné, že se jedná o elektromagnetickou vlnu, natož v jakém směru by se měla šířit. O tom, že to tak skutečně je, bude možné se přesvědčit poději. Pro jednoduchost le předpokládat, že eistuje poue vlna šířící se v kladném směru osy, které nestojí nic v cestě a nevnikne vlna odražená: 6

7 () = C e -jk (1.) Komplení konstanta C má výnam fáoru intenity elektrického pole v bodě, a udává velikost amplitudy intenity elektrického pole a její fáe v tomto bodě: m j ( = ) = C = = e (1.3) m Pro fáor intenity elektrického pole platí po dosaení všech parametrů konečný vtah: () e e e k jk j j( j ) m (1.4) Po pětné transformaci fáorové do časové roviny bude platit pro okamžitou hodnotu intenity elektrického pole v libovolném místě a čase t finální vtah: jt j j( j ) jt j( t ) (, t) Im ()e Im m e e e m e Im e m m e Im cos( t ) j sin( t ) e sin( t ) (1.5) Výnam jednotlivých členů vlnové rovnice bude dobře patrný, když si obraíme funkci pro okamžitou hodnotu intenity elektrického pole ve dvou rovinách procháejících růnými body na ose. Takové časové průběhy by viděli poorovatelé, kteří by se nacháeli kdekoliv na těchto rovinách v elektromagnetickém poli postupující vlny, pokud by měli možnost snímat intenitu elektrického pole. Zobraíme-li tuto funkci nejprve v počátku pro = vi obráek Obr., jedná se o obyčejný harmonický průběh veličiny s amplitudou m. (, t) m sin( t ) (1.6) Úhel představuje referenční fáový posuv, určuje okamžitou hodnotu intenity elektrického pole v bodě = a čase t=: ( m, t ) sin( ) (1.7) Postoupíme-li dále po ose do bodu =1, bude mít časový průběh popisující intenitu elektrického pole tvar: 1 ( 1, t) m e sin( t 1 ) (1.8) Srovnáme-li oba časové průběhy, jistíme, že se intenita elektrického pole při postupu bodu = do bodu =1 utlumila, menšila svojí amplitudu e 1. Je tedy vidět, že konstanta v eponenciálním členu určuje po vynásobení vdáleností velikost tlumení amplitudy elektrického pole ve směru osy, naývá se proto měrný útlum. Ze naménka mínus v eponentu je dále vidět, že se musí jednat o vlnu postupující v kladném 7

8 směru osy. Jak se většuje vdálenost, většuje se i áporný člen v eponentu, vlna se tlumí. V opačném případě by to namenalo, že vlna při postupu v kladném směru osy svoji amplitudu většuje, což není možné. Časový průběh intenity elektrického pole se navíc při postupu do bodu =1 fáově posune o úhel 1. Znaménko mínus namená, že se veličina o tento úhel podí. Konstanta tedy určuje fáový posuv veličin, je to v podstatě fáový posuv na jednotku délky a naývá se fáová konstanta. Celý jev můžeme jednodušeně interpretovat tak, že elektromagnetická vlna, která postupuje v kladném směru osy, se postupně tlumí a časový průběh se fáově požďuje. Nejprve vlna dospěje do bodu =, potom s určitým požděním do bodu =1, navíc ale ještě s poněkud menší amplitudou. Oba časové průběhy jsou porovnány na obráku Obr.. m m e 1 1 t ( 1, t). (, t) Obr. Časové průběhy intenity elektrického pole veličin rovinné harmonické elektromagnetické vlny Intenitu magnetického pole jako druhou nenámou veličinu v soustavě rovnic ( vi (1.1) ) le ískat pětným dosaením pomocí fáoru intenity elektrického pole ( vi (1.4) ). rot jh (1.9) Rotaci na levé straně le vyčíslit takto y y () rot y y jk () y (1.3) Rotace intenity elektrického pole má poue složku ve směru osy y. Srovnáním levé a pravé strany rovnice (1.9) je vidět, že původně obecný vektor intenity magnetického pole musí mít také poue jednu složku, a to ve směru osy y. Ostatní složky jsou nulové H,H (vi Obr.3). 8

9 H y (, t) Obr.3 Vektory intenity magnetického pole na vlnoplochách rovinné harmonické elektromagnetické vlny y jk () jωμ( H () y H y() H ()) (1.31) Pro fáor intenity magnetického pole bude platit: k () H y () () ωμ Z (1.3) V rovnici (1.3) je avedena nová komplení veličina, která se naývá vlnová impedance Z. () ωμ ωμ j Z H () k j (j ) j y (1.33) Vlnovou impedanci, podobně jako libovolnou komplení veličinu, le apsat v polárním tvaru pomocí absolutní hodnoty Z a. Z dalšího tetu vyplyne specifický výnam těchto částí: Z j Z e (1.34) Pro fáor intenity magnetického pole bude platit: jk () e m H y() e e Z j Z e Z H e H e H m k j( ) jk jk j( j ) H (1.35) H je fáor intenity magnetického pole v bodě =, H m je amplituda intenity magnetického pole. 9

10 j( ) (1.36) H H( ) H e m Absolutní hodnota vlnové impedance udává podíl amplitud intenity elektrického a magnetického pole: m Z. Argument vlnové impedance udává fáové poždění intenity magnetického pole a H m intenitou elektrického pole. Podobně jako pro intenitu elektrického pole, obdržíme vtah pro okamžitou hodnotu intenity magnetického pole transformací fáoru komplení do časové roviny: j t y y m H (, t) Im H () e H e sin( t ) (1.37) H y m H m (, t) H y t (, t) Obr.4 Časový průběh intenity elektrického a magnetického pole v bodě Časový průběh intenity magnetického pole je v každém bodě, i v bodě jako na obráku Obr.4, požděn a časovým průběhem intenity elektrického pole o fáový úhel, který je argumentem vlnové impedance Z. Jedná se o velmi podobnou situaci jako v časovém průběh napětí a proud na induktoru, kde je časový průběh proudu rovněž požděn a časovým průběhem napětí o úhel daný argumentem impedance v obvodu Vlnová délka a fáová rychlost Vlnová délka je nejmenší vdálenost dvou míst, ve kterých jsou veličiny elektromagnetického pole ve fái, což namená, že ve stejných časových okamžicích je v těchto místech například maimum harmonického průběhu, nulová hodnota, nebo minimum. Budeme předpokládat, že je s ohledem na předchoí tet dán časový průběh intenity elektrického pole v referenčním bodě rovnicí: (, t) sin( t ) (1.38) m a v bodě 1 rovnicí 1

11 1 ( 1, t) m e sin( t 1 ) (1.39) Pokud by měla být vdálenost 1 rovna vlnové délce, musí v rovnici (1.39) platit: 1 pro vlnovou délku, která se obvykle onačuje písmenem potom platí: 1 (1.4) Vlnová délka nesouvisí s amplitudou veličin v daných místech. Pokud se vlna ve trátovém prostředí tlumí, je ve vdálenosti amplituda e menší. Místa s konstantní fáí (vlnoplochy) elektromagnetické vlny postupují v prostoru rychlostí, která se naývá fáová rychlost. Pokud mají být v místech vdálených o vlnovou délku veličiny elektromagnetického pole ve fái, musí platit v rovnici pro časový průběh veličin - například intenity elektrického pole: 1 ( 1, t) m e sin( t 1 ) (1.41) že a čas t uraí vlnoplocha vdálenost Pro fáovou rychlost potom vyplývá vtah: v f t (1.4) Ponámka: Složitějšími úvahami se dá ukáat, že fáová rychlost je rovna rychlosti přenosu energie poue v případě, kdy se jedná o dielektrické beetrátové prostředí. V obecném případě se energie přenáší tv. skupinovou rychlostí, jejíž velikost se stanoví podle vtahu: v s d d (1.43) 11

12 V beetrátovém prostředí je fáová i skupinová rychlost stejná Konstanta šíření v elektricky dobře vodivém a nevodivém prostředí Pro konstantu šíření, která obsahuje měrný útlum a fáovou konstantu, platí obecný vtah: k j (j ) j (1.44) Tato rovnice je analyticky řešitelná. Srovnáním reálných a imaginárních částí v definičním vtahu vyplyne pro činitel útlumu a fáovou konstantu vtah: 1 1 (1.45) 1 1 Pro studium rovinné elektromagnetické vlny je však užitečné posuovat vlastnosti konstanty šíření přímo definičního vtahu. Chování elektromagnetické vlny ásadně ovlivňuje vájemný vtah mei měrnou vodivostí a členem., který se vyskytuje ve obecněném Ampérově ákoně celkového proudu na stejné poici jako vodivost (vi (1.1)). Představuje pomyslnou vodivost pro takvaný posuvný proud. S ohledem na vájemnou relaci uvedených vodivostí je možné vysledovat dva etrémní případy pro prostředí, ve kterém se elektromagnetická vlna šíří. (1.46) lektricky nevodivé prostředí lektricky dobře vodivé prostředí Platí-li: Platí-li: Potom se prostředí chová hlediska šíření elektromagnetické vlny jako nevodivé. Říkáme, že se vlna šíří v nevodiči dielektriku Potom se prostředí chová hlediska šíření elektromagnetické vlny jako dobře vodivé, říkáme, že se vlna šíří ve vodiči Pro konstantu šíření bude v těchto speciálních případech platit k j (j ) j k j (j ) j 1

13 Konstanta šíření má poue reálnou část, toho vyplývá, že měrný útlum je nulový, vlna se netlumí 1 j k j Pro fáovou konstantu platí jednoduchý vtah r c do kterého je doplněna další konstanta, kterou je rychlost světla 1 8 r Pro konstantu šíření v dobrém vodiči platí, že má stejně velikou reálnou a imaginární část. Měrný útlum a konstanta šíření je stejně veliká. c 3.1 m / s (1.47) (1.48) (1.49) Pro elektromagnetickou vlnu ve vduchu nebo vakuu platí r 1 c (1.5) Vlnová impedance v elektricky dobře vodivém a nevodivém prostředí Vlnová impedance je veličina, která udává vájemný vtah mei fáorem intenity elektrického a magnetického pole. Absolutní hodnota vlnové impedance udává podíl amplitud intenit, argument vlnové impedance představuje fáový posun mei vektorem intenity elektrického a magnetického pole. Vlnová impedance je ávislá na parametrech prostředí a platí pro ni vtah, který vyplyne při odvoení Po dosaení a konstantu šíření platí vtah Z H y ωμ k (1.51) j Z ωμ (1.5) k jω(jω ) jω ) Podle stejných předpokladů jako v le klasifikovat prostředí hlediska vájemného poměru vodivosti a členu. na dobře vodivé a nevodivé. lektricky nevodivé prostředí lektricky dobře vodivé prostředí Z e j Z j jω ) j j j Z Z e jω ) e j 4 (1.53) 13

14 Vlnová impedance je reálná, pro absolutní hodnotu vlnové impedance platí vtah Z H m m 1 1π Fáový posun mei a H je nulový, intenita elektrického a magnetického pole je ve fái Pro vlnovou impedanci ve vduchu nebo dielektriku je možné vtah ještě upravit r r Pro absolutní hodnotu vlnové impedance platí vtah Z Fáový posun mei a H je, intenita elektrického pole tedy předbíhá intenitu magnetického pole o (1.54) (1.55) Z r 1 1π Obr.5 Časový průběh intenity elektrického a magnetického pole v nevodivém prostředí Obr.6 Časový průběh intenity elektrického a magnetického pole v dobře vodivém prostředí Vlnová délka a fáová rychlost v elektricky nevodivém prostředí Pokud do obecného vtahu pro vlnovou délku (1.4) dosadíme hodnotu fáové konstanty v elektricky nevodivém prostředí, bude platit: c r r (1.56) Dostáváme tak námý vtah pro vlnovou délku v elektricky nevodivém prostředí: 14

15 f c r (1.57) Ve vduchu nebo ve vakuu pro r 1 c f (1.58) Pokud do obecného vtahu pro fáovou rychlost ((1.4)) dosadíme hodnotu fáové konstanty v elektricky nevodivém prostředí, bude platit: v f c r r c r (1.59) lektromagnetická vlna tedy postupuje ve vduchu nebo vakuu rychlostí světla Výkon přenášený elektromagnetickou vlnou, Poyntingův vektor, střední hodnota Poyntingova vektoru Přenášený výkon je popsán vektorovou veličinou, která se naývá Poyntingův vektor a představuje v určitém místě plošnou hustotu výkonu, který projde plochou kolmou na směr šíření. Poyntingův vektor je obecně definován vtahem S H (1.6) Celkový výkon, který projde určitou plochou, se dá potom stanovit podle vtahu S H d S (1.61) V případě rovinné vlny má intenita elektrického pole poue složku ve směru osy a intenita magnetického pole poue složku ve směru y S (, t) (1.6) H y (, t) (1.63) Vektory a H jsou na sebe kolmé, výsledný vektor vektorového součinu bude současně kolmý na oba tyto vektory, půjde tedy ve směru osy. Výkon se bude tedy šířit poue ve směru osy, což je logické, neboť to je směr, ve kterém se šíří elektromagnetická vlna. Plošná hustota výkonu bude mít okamžitou hodnotu 15

16 16 ), ( ), ( ), ( t H t t S y (1.64) Okamžitý výkon nemá moc velký výnam, pro další úvahy je lepší jej rodělit na část, která má střední hodnotu (činný výkon), ta je ekvivalentní s činným výkonem v elektrických obvodech, podílí se i na krytí trát. Druhá část, která střední hodnotu nemá, je ekvivalentní jalovému výkonu v elektrických obvodech, podílí se na časových měnách energie elektrického a magnetického pole. Zapíšeme-li vtah pro okamžitý výkon například v bodě = a pro jednoduchost budeme předpokládat nulovou velikost počátečního fáového posunu, který udává úhel, bude pro okamžitou hodnotu výkonu platit ), ( ), ( ), ( t H t t S y (1.65) ) sin( ) sin( ) cos( cos( 1 )) )sin( )cos( sin( ) )cos( ( (sin ) )sin( sin( ), ( m m m m m m t t H t t t H t t H t S (1.66) Pro střední hodnotu Poyntigova vektoru ( plošnou hustotu činného výkonu) bude v bodě = platit: ) cos( )d, ( 1 ) ( m m stř H t t S S. (1.67) Podobně v libovolném jiném bodě : ) cos( 1 ) cos( 1 ) ( m m m m stř e H e H e S (1.68) Zcela analogicky jako v elektrických obvodech, kde je možné velikost činného i jalového výkonu vyjádřit ekvivalentním vtahem pomocí fáorů, je toto možné i u rovinné vlny. Pro správný fyikální výnam tohoto součinu musí být jedna veličin kompleně sdružená. * ) ( ) ( Re 1 ) ( S stř y H (1.69) O tom, že se jedná skutečně o ekvivalentní vtah, je možné se snadno přesvědčit po dosaení ) cos( 1 Re 1 Re 1 ) ( ) ( Re 1 ) ( j * ) j j( ) j( ) j j( j * m m m m m m stř e H e e H e e H e e S y H (1.7)

17 1.1.8 Výkon přeměněný v jednotce objemu na teplo Procháí-li rovinná elektromagnetická vlna vodivým prostředím, vyvolá nenulová hodnota intenity elektrického pole elektrický proud ve stejném směru jako je intenita elektrického pole, v našem případě ve směru osy. Proudová hustota bude podle Ohmova ákona J (1.71) Podle Jouleova ákona je výkon, který se v jednotce objemu přeměňuje v teplo, dán vtahem p J (1.7) Tento vtah by doslova platil pro stejnosměrné nebo efektivní hodnoty veličin. V případě rovinné vlny jsou všechny veličiny vyjádřeny pomocí amplitud a platí: 1 p ef m Amplituda veličin se navíc tlumí při postupu ve směru osy s členem: (1.73) e (1.74) předchoí vtah tedy platí poue pro bod =, v obecném bodě by platilo s ohledem na druhou mocninu intenity elektrického pole: 1 p ( ). m e (1.75) J p y Obr.7 Ztráty v jednotce objemu Bilance činného výkonu rovinné harmonické elektromagnetické vlny Zvolíme uavřený prostor vymeený hranolem podle obráku (Obr.8) tak, že budou jeho čelní stěny v rovinách rovnoběžných s osou a y a budou mít jednotkovou plochu. Levá stěna je na souřadnici =. Pravá stěna je na souřadnici = 1. Boční stěny jsou rovnoběžné s osou. 17

18 ( A 1m ) ( A 1m ) () S stř S stř ( 1 ) 1 Obr.8 Bilance energie v prostoru s postupující rovinnou harmonickou elektromagnetickou vlnou Výkon může vstoupit a vystoupit do tohoto prostoru s ohledem na směr šíření poue čelními stěnami. Vlevo vstoupí výkon se střední hodnotou 1 Sstř ( ) mh m cos( ) (1.76) na druhé straně vystoupí výkon se střední hodnotou: 1 S ( ) 1 stř 1 mh me cos( ) (1.77) Mělo by platit, že rodíl středních hodnot Poyntingových vektorů S stř m e cos( ) 1 e cos( ) 1 ( ) S ( ) 1 stř mhm Z 1 (1.78) je právě roven výkonu v objemu vytýčeného kvádru, který se přemění v teplo. Ke stejnému trátovému výkonu musíme dospět integrací objemové hustoty trát v kvádru P V p dv ( A 1m ) 1 p ( )d 1 1 m e m d 4 1 e 1 (1.79) Srovnáním rovnic vyplyne, že musí platit 4! 1 cos( Z ) (1.8) Z úpravy pravé strany vyplyne, že tato ekvivalence skutečně platí: 18

19 1 cos( ) Z 1 Do vtahu bylo dosaeno pomocí této ekvivalentní rovnice 1 4 (1.81) j j k j (j ) (1.8) Hloubka vniku Hloubka vniku je vdálenost, na které poklesnou amplitudy veličin elektrického a magnetického pole 1 e krát. Z rovnice: 1 m e m e pro takovou vdálenost vyplyne: 1 1 Tato vdálenos se naývá hloubka vniku a onačuje se : 1 V dobře vodivém prostředí, kde platí: 1 Výnam hloubky vniku vyplyne při koumání jevů spojených s povrchovým jevem, vi Polariace elektromagnetické vlny Pod pojmem polariace elektromagnetické vlny se roumí natočení veličin elektromagnetického pole v prostoru. Obvykle se udává s ohledem na intenitu elektrického pole. Pokud vektor intenity elektrického pole nemění v ávislosti na čase svůj směr (koncový bod vektoru intenity se pohybuje po přímce), hovoříme o lineární (přímkové polariaci). Takovou vlastnost má rovinná harmonická elektromagnetická vlna přechoího tetu, která má vektor intenity elektrického pole natočený do směru osy. V obecném případě se může směr vektoru intenity elektrického pole v ávislosti na čase měnit, Pokud se koncový bod vektorů bude pohybovat po kružnici nebo elipse, hovoříme o kruhové nebo eliptické polariaci. 19

20 Dá se jednoduše ukáat, že se elektromagnetická vlna se všemi míněnými typy polariace vytvoří superpoicí dvou lineárně polariovaných vln prostorově navájem natočených o úhel 9 stupňů a časově růně fáově posunutých. Obr.9 Rovinné elektromagnetické vlny geometricky natočené v prostoru o 9 stupňů Obr.1 Časový průběh intenity elektrického pole kolmo natočených elektromagnetických vln Pokud sečteme například dvě rovinné elektromagnetické vlny s růnými amplitudami, u kterých budou veličiny elektromagnetického pole časově ve fái, bude se výsledný vektor intenity elektrického pole pohybovat po přímce. Sklon této přímky je dán poměrem velikostí amplitud obou složek. Výsledná elektromagnetická vlna bude lineárně polariovaná. Na obráku Obr.11 vpravo je poloha výsledného vektoru intenity elektrického pole v růných časových okamžicích podle obráku Obr.11 vlevo.

21 Obr.11 Lineárně polariovaná elektromagnetická vlna Pokud sečteme dvě rovinné elektromagnetické vlny se stejnými amplitudami, u kterých budou veličiny elektromagnetického pole časově posunuty o 9 stupňů, bude se výsledný vektor intenity elektrického pole pohybovat po kružnici. Směr otáčení bude doleva nebo doprava v ávislosti na časovém sledu složek. Výsledná elektromagnetická vlna je kruhově polariovaná. (vi Obr.1) Obr.1 Kruhově polariovaná elektromagnetická vlna Pokud sečteme dvě rovinné elektromagnetické vlny s růnými amplitudami, u kterých budou veličiny elektromagnetického pole časově posunuty o 9 stupňů, bude se výsledný vektor intenity elektrického pole pohybovat po elipse, v ávislosti na sledu průběhů doleva nebo doprava. Výsledná elektromagnetická vlna je elipticky polariovaná. 1

22 Obr.13 lipticky polariovaná elektromagnetická vlna Velikostí amplitud a fáovým posunem složek elektromagnetických vln le dostat výslednou elektromagnetickou vlnu s obecnou přímkovou, kruhovou či eliptickou polariací. Pokud je nutné popsat u lineárně polariované vlny konkrétní úhel natočení intenity elektrického pole v prostoru, je nutné stanovit referenční rovinu, ke které bude toto natočení vtaženo. Pokud bude touto referenční rovinou rovina emě, hovoříme o vertikální polariaci (V), pokud je vektor intenity elektrického pole kolmý k povrchu emě, nebo o horiontální polariaci (H), pokud bude rovnoběžný se emí. Při koumání dopadů vln na rohraní je jako referenční rovina volena rovina dopadu a toho vyplývá pojem kolmá a rovnoběžná polariace (Vi část.5). lektromagnetické vlny na rohraní růných prostředí.1 Formální matematický popis potřebný ke studiu chování elektromagnetických vln.1.1 Vektorová funkce v časovém tvaru Vektorové veličiny v elektromagnetickém poli jsou obecně popsané vektorovými funkcemi, které přiřaují pro každý bod v sledovaném prostoru a každý časový okamžik vektor dané veličiny. Vektorová funkce (, y,, t) pro intenitu elektrického pole má v kartéské soustavě tento formální tvar: (, y,, t) (, y,, t), y(, y,, t), (, y,, t), (.1)

23 Přičemž: (, y,, t), (, y,, t), (, y,, t) jsou skalární funkce, které udávají velikost složky y vektoru v určitém bodě a čase. Pokud budeme uvažovat, že je časová ávislost veličin dána harmonickou funkcí, bude pro vektorovou funkci a její složky dále platit: (, y,, t) [ (, y,) sin( t (, y, ) ), (, y, ) sin( t (, y, ) ), m my y (, y, ) sin( t (, y,) )] my (.) V této rovnici jsou m (, y, ), my (, y, ), m (, y, ) amplitudy složek v daném místě t je úhlový kmitočet (, y, ), y (, y, ), (, y, ) jsou fáové posuny časových harmonických průběhů jednotlivých složek v daném místě. Pon. Tyto fáové posuny mohou, ale nemusejí, být stejné. Pokud budou stejné, časové průběhy velikosti složek budou ve fái a koncový bod vektorové veličiny se bude v prostoru pohybovat v ávislosti na čase po přímce. V této souvislosti se u elektromagnetické vlny hovoří o lineární polariaci, což bude přesněji specifikováno poději. V tomto případě le pro výslednou amplitudu vektoru v daném místě a amplitudy složek psát: m m my m (.3) Vektorovou funkci le potom upravit pomocí kosinů směrových úhlů průmětem vektoru do jednotlivých os v kartéské soustavě: (, y,, t) m(, y,) sin( t (, y,) cos,cos y,cos (.4) Pon. Pokud by byla například složka ve směru osy nulová a složky ve směru a y byly fáově (časově) posunuty o úhel 9 stupňů, bude koncový bod vektoru opisovat v rovině (,y) kružnici, pokud budou amplitudy stejné. Pokud budou amplitudy růné, bude opisovat elipsu. Hovoříme o kruhové nebo eliptické polariaci elektromagnetické vlny..1. Fáory vektorů a vektorové funkce ve fáorovém tvaru Pokud budeme uvažovat harmonický ustálený stav a budeme transformovat vektorovou funkci časové roviny do komplení, místo okamžitých časových hodnot se objeví fáory veličin, odstraní se ávislost na čase. Vniknou tak vektorové funkce, které budou místo okamžitých hodnot složek obsahovat fáory těchto složek. Fáory v sobě mají v podobě kompleního čísla apsanou amplitudu a fái příslušné složky v daném místě. O takto matematicky upravených vektorových veličinách hovoříme potom jako o fáorech vektorů. Pro uvedené fáory vektorů intenity elektrického pole bude s ohledem na dříve apsané časové hodnoty formálně platit: 3

24 (, y, ) (, y, ), y(, y,), (, y,) j (,y,) j (,y,) j (,y,) m my m y (, y, ) e, (, y,) e, (, y, ) e (.5) Pokud se budou všechny složky měnit ve fái, le funkci apsat pomocí výsledného fáoru (amplituda j (,y,) a fáe příslušně natočeného vektoru v daném místě) : m(, y,) e. Složky le apsat pomocí průmětů do souřadných os: (, y,) (, y,) e j (,y,) cos m, cos y, cos (.6). Harmonická elektromagnetická vlna v ákladní studované konfiguraci Výše uvedené rovnice musí platit samořejmě i pro rovinnou harmonickou elektromagnetickou vlnu. Situace v předchoí části se podstatně jednodušila tím, když jsme harmonickou elektromagnetickou vlnu orientovali v soustavě souřadnic tak, že rovinná vlnoplocha postupovala ve směru osy a intenita elektrického pole směřovala do směru osy. Vektor intenity magnetického pole byl potom natočen do směru osy y. V tomto případě bylo možné apsat vektorovou funkci v časovém tvaru následujícím působem: m (, y,, t) e sin( t ) 1,, (.7) nebo jednodušeně poue pro -ovou složku, protože ostatní jsou nulové: (, t) me sin( t ) (.8) Podobně bude platit pro vektorovou funkci intenity magnetického pole: m H (, y,, t) H e sin( t ), 1, (.9) a poue pro nenulovou y-novou složku: y m H (, t) H e sin( t ) (.1) Pro vektorové funkci ve fáorovém tvaru: (, y, ) e e j( ) 1,, m (.11) (, y,) H e e j( ), 1, m H (.1) Fáory vektorů intenity elektrického a magnetického pole mají tedy rovněž poue jednu složku: j( ) Ê () me e (.13) Ĥ () H e e y j( ) (.14) m.3 Řešení vlnové (Helmholtovy) rovnice metodou separace proměnných V části 1.1 byla odvoena vlnová rovnice pro harmonický ustálený stav a bylo ukááno její nejjednodušší řešení pro problém, který se naývá rovinná harmonická elektromagnetická vlna. 4

25 Metodou separace proměnných le nalét obecnější řešení této rovnice, které le potom použít například pro popis problémů souvisejících s dopady vln na rohraní dvou prostředí, nebo pro popis šíření vlny ve vlnovodu. Homogenní vlnová rovnice pro harmonické časové průběhy veličin, platná pro řešení problémů mimo oblast drojů, má pro intenitu elektrického pole tvar: k (.15) je vektorová funkce, která udává velikost fáoru vektoru intenity elektrického pole v každém bodě sledované oblasti. V kartéské soustavě souřadnic mají jednotlivé části rovnice (.15) po roepsání do složek tvar: (, y, ) (, y, ) (, y, ) y y (, y,) y(, y, ) y(, y, ) y y (.16) (, y, ) (, y, ) (, y,) y k (, y, ) y (, y, ) (, y, ) y V této rovnici je k konstanta šíření: k j (j ) j Při uvažování elektromagnetického pole, které bude mít poue jednu složku, například Ê, a ta se bude měnit poue ve směru vyplyne jednoduchá rovnice, jejímž řešením je rovinná harmonická elektromagnetická vlna postupující ve směru jak bylo popsáno v 1.1: Ê () + k () Obecnější řešení le nalét, pokud se rovnice (.16) rodělí na dílčí rovnice pro jednotlivé složky. Potom bude platit stejně pro všechny složky a konkrétně například pro složku : (, y, ) (, y, ) (, y,) + k (, y, ) y (.17) Velice důležité řešení této diferenciální rovnice le nalét metodou separace proměnných, kdy se na ačátku předpokládá, že takové řešení bude mít podobu součinu tří funkcí, nichž každá je ávislá poue na jedné souřadnici: (, y, ) X()Y(y)Z() (.18) Potom postupným derivováním očekávaného výsledného řešení (.18) a pětným dosaením do rovnice (.17) dostaneme: X() Y(y) Z() Y(y)Z() X()Z() X()Y(y) k X()Y(y)Z() (.19) y y Po jednoduché úpravě potom: 5

26 1 X() 1 Y(y) 1 Z() k X() Y(y) y Z() y (.) Rovnice (.) se ropadla na tři členy ávislé vždy poue na jedné souřadnici, které musejí dát po sečtení s konstantou nulovou hodnotu. To je prakticky splnitelné poue v případě, pokud bude každý těchto členů konstantní. Tyto konstantní hodnoty je užitečné apsat v kvadrátu se naménkem mínus, protože následnou úpravou dostaneme tři formálně stejné diferenciální rovnice již dříve řešeného typu: 1 X() X() k k X() X() (.1) 1 Y(y) Y(y) k y k y Y(y) Ŷ(y) y y 1 Z() Z() k k Z() Ẑ() (.) (.3) Pro konstanty k, k y, k musí platit separační rovnice: k k k y k (.4) Řešení jedné e separovaných diferenciálních rovnic, konkrétně například pro X(): X() k X() (.5) může mít několik růných tvarů, které je možné použít v ávislosti na řešeném problému. Této rovnici například splňuje řešení: X() A sin(k ) Že to tak je, je možné se přesvědčit pětným dosaením do výchoí rovnice (.5): X() X () k A cos(k ) k A sin(k ) k X() () (.6) Na (.6) je patrné, že řešení musí mít tu vlastnost, že po dvojnásobném derivování dá ápornou hodnotu tohoto řešení vynásobenou kvadrátem příslušné konstanty. Kromě funkce sinus to splňuje i kosinus a další dovoené funkce (sinh, cosh ). Pro úplné řešení apsané pomocí goniometrických funkcí tedy například: X() A cos(k ) B cos(k ) Další možných tvarů řešení le najít například v podobě eponenciální funkce: j k j k X() A e B e Výsledné řešení dané součinem separačních funkcí potom může mít třeba tvar: (, y, ) X()Y(y)Z() C 1 cos(k ) C cos(k ) C 3 cos(k y ) C 4 cos(k y ) C 5 cos(k ) C 6 cos(k ) nebo 6

27 (, y, ) X()Y(y)Z() j k j k j k j k j k j k C1 e C e C 3 e C 4 e C 5 e C 6 e Řešení v podobě eponenciálních členů, jak je ukááno v.4, je dále použito například při popisu rovinné harmonické vlny, která se pohybuje v obecném směru v prostoru: j k j k y y Ĉ e e e C e Kombinované řešení v podobě: (, y, ) X()Y(y)Z() j k j (k,k,k )(,y,) y k r C e j k r C1 cos(k ) C cos(k ) C 3 cos(k y ) C 4 cos(k y ) e bude dále použito pro popis vlny ve vlnovodu. První členy budou představovat roložení elektromagnetického pole stojatého vlnění v příčném směru,y, poslední eponenciální člen vlnu postupující vlnovodem ve směru osy. j k.4 Harmonická elektromagnetická vlna natočená v kartéské soustavě do obecného směru Budeme předpokládat, že se jedná o lineárně polariovanou harmonickou elektromagnetickou vlnu: Složky vektorových veličin na vlnoploše jsou ve fái a koncové body vektorů tedy opisují v ávislosti na čase přímku. Pokud budeme chtít studovat problém, ve kterém elektromagnetická vlna dopadá na rohraní dvou prostředí pod jedním úhlem, pod stejným úhlem se odráží a prostupuje pod jiným úhlem, je nutné popsat vlnu postupující v kartéské soustavě v obecném směru. V tomto případě bude mít vektorová funkce obecně všechny tři složky a jejich velikost se bude měnit ve fái. Rovinu v kartéské soustavě le popsat pomocí normálového vektoru k této rovině a souřadnic (radiusvektoru) alespoň jednoho bodu, který na této rovině leží. Podobný popis bude použit pro vynačení vlnoplochy postupující vlny. Normálový vektor se v tomto případě naývá vlnový vektor. Pro další body na této rovině potom bude platit, že je skalární součin jejich radiusvektorů a vlnového vektoru konstantní. Z podrobného řešení diferenciální rovnice pro rovinnou vlnu postupující v obecném směru metodou separace proměnných (vi.3), vyplyne následující výsledek: j ( ) e k r (.7) r ( r ) je fáor intenity elektrického pole v libovolném místě k je vlnový vektor, který svým směrem ukauje směr postupu vlny a pro jeho absolutní hodnotu platí: k k j j ( j ) r je radiusvektor libovolného místa v prostoru, v kartéské soustavě platí pro takové místo: r (, y, ) je fáor vektoru na vlnoploše, která procháí počátek souřadnic =,y=,= 7

28 Příklad pro ilustraci uvedeného popisu: Rovinná harmonická elektromagnetická vlna postupuje v kartéské soustavě ve směru, který je dán vlnovým vektorem kolmým na vlnoplochu ( Obr.14). Vlna je orientována tak, že vlnový vektor leží v rovině (,) a s osou svírá úhel. Vektor intenity elektrického pole leží rovněž v rovině (,). Vektor intenity magnetického pole má tedy jen složku y. Obr.14 Rovinná vlna postupující našikmo v kartéské soustavě souřadnic Vlnový vektor (vektor kolmý na vlnoplochu s absolutní hodnotou o velikosti konstanty šíření) bude v tomto případě složky: k (ksin,,k cos ) k(sin,,cos ) (.8) Fáor vektoru intenity elektrického pole na vlnoploše, která procháí počátkem, bude mít také složky poue v rovině (,): ( cos,, sin ) (cos,, sin ) (.9) Ê le chápat jako fáor, který v sobě obsahuje amplitudu a referenční fái vektoru intenity elektrického pole na referenční rovině, která procháí počátkem souřadnic: j Ê me Pro fáor vektoru intenity elektrického pole v libovolném místě prostoru s radiusvektorem r le potom psát: j kr j kr ( r) e (cos,, sin ) e (.3) Po roepsání vlnového vektoru a radiusvektoru do složek: j k(sin,,cos ) (,y,) (, y,) (cos,, sin )e (.31) Po vyčíslení skalárního součinu v eponentu: j k(sin cos ) (, y,) (cos,, sin )e (.3) Fáor vektoru intenity magnetického pole po analogickém postupu, bude mít poue složku ve směru osy y: j j ( ) e k r H (,1,)e k r H r H (.33) 8

29 Po roepsání do složek a vyčíslení skalárního součinu: j k(sin cos ) H( r ) H (,1,)e (.34) j Fáory Ê a Ĥ jsou navájem váány vlnovou impedancí Ẑ Z e : j Ê me m j j Ĥ e H j m e Z (.35) Z e Z V uvedeném příkladu se jedná poue o jiné natočení os kartéské soustavy, všechno ostatní musí ůstat stejné, jako při orientaci vlny v ákladním studovaném směru. Pokud položíme v našem příkladu velikost úhlu, musíme se dostat pět k rovnicím pro rovinnou vlnu v ákladní studované konfiguraci. Skutečně bude platit: j k( sin cos ) (, y, ) (cos,, sin )e j k(sin cos ) Ê (cos,, sin ) e Ê (1,,)e j k (.36) H (, y, ) H (,1,)e j k(sin cos ) j k( sin cos ) j k H (,1, ) e H (,1, )e Pro úhel má intenita elektrického pole skutečně jenom složku, intenita magnetického pole jenom složku y. Tyto složky jsou poue funkcí : j k () e j k H y() H e (.37).5 Základní definiční pojmy potřebné pro studium dopadů vln na rohraní Kartéská soustava na obráku (Obr.15) je natočena tak, že osa směřuje dolů, osa doprava, osa y vně nákresny. Veličiny dopadající vlny jsou onačeny indeem i, odražené vlny indeem r, prostupující vlny indeem t. Rovina,y, která je vedená počátkem souřadnic a která odděluje horní a dolní poloprostor s odlišnými fyikálními parametry, se naývá Rovina rohraní. Vlnové vektory dopadající, odražené a prostupující vlny jsou pro jednoduchost matematického popisu položeny do roviny,. Tato rovina se naývá Rovina dopadu a vlnoplochy se v ní obraí jako přímky. Úhly dopadu, odrau a prostupu jsou v tomto geometrickém uspořádání definovány tak, že to jsou úhly, které svírají vlnové vektory a kolmice k rohraní. 9

30 Obr.15 Základní geometrické uspořádání pro studium dopadů vln na rohraní Pro chování elektromagnetické vlny, která dopadá na rohraní, je velice důležitá orientace vektorů intenity elektrického a magnetického pole v prostoru. Podmínky na rohraní jsou totiž dány bilancí tečných složek vektorů k rohraní. Intenita elektrického a magnetického pole jsou na sebe kolmé vektory ležící na vlnoploše. Ve vtahu k rovině dopadu může být dvojice těchto vektorů natočena libovolně. Pro jednoduchost matematického popisu uvažujeme dva mení případy. V prvním případě je intenita elektrického pole rovnoběžná s rovinou dopadu a hovoříme o rovnoběžné polariaci. Na obráku Obr.16 a u všech dalších odvoených veličin je tato polariace onačena symbolem. Intenita magnetického pole je v tomto případě na rovinu dopadu kolmá. Ve druhém mením případě je intenita elektrického pole kolmá na rovinu dopadu a hovoříme o kolmé polariaci. V dalším tetu bude onačena symbolem. Obecný případ natočení vektoru intenity elektrického pole je možné v případě potřeby posuovat jako superpoici těchto meních případů. Obr.16 Kolmá a rovnoběžná polariace 3

31 .6 Šikmý dopad rovnoběžně polariované vlny na rohraní dvou prostředí Na obráku Obr.17 je rovnoběžně polariovaná rovinná harmonická elektromagnetická vlna, která dopadá na rohraní dvou prostředí pod úhlem i. V této části budou stanoveno, jaká část této vlny se odraí a jaká prostoupí a rovněž pod jakým úhlem. Obr.17 Šikmý dopad rovnoběžně polariované vlny S ohledem na.4 le fáory vektorů intenity elektrického pole dopadající vlny popsat ve tvaru: j k 1(sin i,,cos i ) (,y,) i(, y,) i(cos i,, sin i)e (.38) Po roepsání do složek: j k 1( sin i cos i ) (, y, ) (cos,, sin )e (.39) i i i i Pro fáory vektorů intenity magnetického pole dopadající vlny bude platit: j k 1(sin i cos i ) H i(, y,) H i(,1,)e (.4) Orientace odražené a prostupující vlny na Obr.17 je stanovena takto: Aby ůstaly splněné podmínky na rohraní, odražená a prostupující vlna nemůže měnit svoji polariaci. To namená, že intenita elektrického pole ůstane rovnoběžná s rovinou dopadu, intenita magnetického pole kolmá. Při achování orientace vektorů a H s ohledem na směru odražené a prostupující vlny a tok výkonu ( H), připadají například pro orientaci odražené vlny dvě možnosti natočení vektorů a H (vi Obr.18). Podle konvence se však volí orientace na levé straně obráku, toho vyplynou běžně používané vtahy pro činitel odrau a prostupu. Takto volené natočení vektorů je nutné chápat jako 31

32 referenční kladnou volbu smyslu. Při interpretaci výsledků je potom nutné tuto kladnou volbu respektovat. Zcela stejně to je s volbou orientace vektorů prostupující vlny. Obr.18 Volba kladné oreintace vektorů odražené vlny Pro fáor vektoru intenity elektrického pole odražení vlny bude tedy platit: j k 1(sin r,, cos r ) (,y,) r(, y,) r(cos r,,sin r )e (.41) Po roepsání do složek bude j k 1(sin r cos r ) (, y, ) (cos,,sin )e (.4) r r r r Pro fáor intenity magnetického pole bude platit analogický vtah se shodným eponenciálním členem: j k 1(sin r cos r ) H r(, y,) H r(, 1,)e (.43) Pro fáor vektoru intenity elektrického pole prostupující vlny bude platit: j k (sin t,,cos t ) (,y,) t(, y,) t(cos t,, sin t )e (.44) Po roepsání do složek bude platit pro fáor inenity elektrického a magnetického pole j k (sin t cos t ) (, y, ) (cos,, sin )e (.45) t t t t j k (sin t cos t ) t (, y,) H t(,1,)e H (.46) Z podmínek, které musí být na rohraní splněny, vyplývá, že se musí rovnat tečně složky intenity elektrického a magnetického pole jedné i druhé strany rohraní. Tečné složky k rohraní jsou v našem případě složky a y. Intenita elektrického pole má ale tečnou složku poue ve směru, intenita magnetického pole poue ve směru y. Nad rohraním se nacháí dopadající a odražená vlna, pod rohraním je prostupující vlna. Rohraní je popsáno libovolnými body,y pro =. Při pohledu na rovnice (.39),(.4),(.4),(.43),(.45),(.46) je patrné, že musí platit pro _ové složky intenity elektrického pole: cos cos cos (.47) i i r r t t Pro y-ové složky intenity magnetického pole H H H (.48) i r t Rovnici (.48) je možné ještě přepsat pomocí vlnových impedancí prostředí nad a pod rohraním: 3

33 Z Z Z i r t 1 1 (.49) Aby uvedené podmínky navíc platily na celé rovině rohraní (,y,=), musí pro argumenty eponenciálních členů platit: k sin k sin k sin (.5) 1 i 1 r t To je důležitý Snellův ákon odrau a lomu, podle kterého je úhel dopadu a odrau shodný: sin i sin (.51) r Pro úhel dopadu a prostupu platí: k 1 sin i k sin (.5) t Vtahy (.47) a (.49) představují soustavu dvou rovnic o nenámých veličinách řešením dostáváme pro fáor intenity elektrického pole odražené vlny: Z cos( t ) Z1 cos( i ) r i R i Z cos( ) Z cos( ) t 1 i Ê r, Ê t. Jejím R je činitel odrau pro rovnoběžně polariovanou vlnu: R R e Z cos( ) Z cos( ) Z cos( ) Z cos( ) j r t 1 i R i t 1 i (.53) Činitel odrau, jako komplení veličina, udává svojí absolutní hodnotou podíl amplitudy intenity elektrického pole odražené a dopadající vlny. r m R (.54) svým argumentem udává fáový posuv dopadající a odražené vlny R i m Řešení uvedené soustavy pro fáor intenity elektrického pole prostupující vlny dostaneme: Z cos( ) T (.55) i t i i Z cos( t ) Z1 cos( i) T je činitel prostupu pro rovnoběžnou polariaci: j T t Z cos( i ) T T e (.56) Z cos( ) Z cos( ) i t 1 i Činitel prostupu, jako komplení veličina, udává svojí absolutní hodnotou podíl amplitudy intenity elektrického pole prostupující a dopadající vlny. t m T (.57) svým argumentem udává fáový posuv dopadající a prostupující vlny T i m 33

34 Pro dielektrické prostředí má komplení impedance poue reálnou složku. Ẑ 1 1 (.58) r1 Ẑ 1 (.59) r Pro činitel dorau při rovnoběžné polariaci bude v tomto případě platit: Pro činitel prostupu: j R r1 cos( t ) r cos( i) R R e (.6) cos( ) cos( ) r1 t r i j T r1 cos( i) T T e (.61) cos( ) cos( ) r1 t r i.7 Šikmý dopad rovnoběžně polariované vlny na rohraní dvou prostředí Na obráku Obr.19 je rovnoběžně polariovaná rovinná harmonická elektromagnetická vlna, která dopadá na rohraní dvou prostředí pod úhlem i. Obr.19 Šikmý dopad kolmo polariované elektromagnetické vlny V případě kolmé polariace je odvoení všech veličin analogické s rovnoběžnou polariací. Rodíl je v tom, že má intenita elektrického pole poue složku y a ta je současně tečná k rohraní. Intenita magnetického pole má složky a. K rohraní je tečně poue složka, je nutné provádět průměty do roviny rohraní. 34

35 Pro fáory vektorů intenity elektrického a magnetického pole platí : i H (, y, ) (,1,)e i j k (sin cos ) i i i i 1 i i (, y, ) H ( cos,,sin )e j k ( sin cos ) 1 i i (.6) Podobně pro vektory fáorů odražené vlny (, y, ) (,1,) e r r j k (sin cos ) 1 r r H r (, y, ) H r(cos r,,sin r )e a vektory fáorů prostupující vlny: H (, y,) H ( cos,,sin )e j k ( sin cos ) 1 r r j k ( sin t cos t ) t t t t j k (sin t cos t ) t (, y, ) t(,1,) e (.63) (.64) Argumenty v eponenciálních členech jsou cela stejné jako u rovnoběžné polariace. Jsou ávislé poue na směru postupu vlny. Z rovnosti těchto členů na rohraní ( pro =) opět vyplyne podmínka, která musí být splněna: sin i sin r (.65) k 1 sin i k sin t (.66) Z rovnosti tečných složek intenity elektrického pole po obou stranách rohraní vyplyne: (.67) i r t Z rovnosti tečných složek intenity magnetického pole H cos H cos H cos (.68) i i r r t t Po vyjádření pomocí fáorů intenity elektrického pole: i r t cos i cos r cos t Z Z Z (.69) 1 1 Vtahy (.67),(.69) představují opět soustavu dvou rovnic o dvou nenámých. Řešením této soustavy dostaneme vtahy pro činitel odrau a prostupu pro kolmou polariaci. R R e j r i 1 t R Z cos( ) Z cos( ) Z cos( ) Z cos( ) i i 1 t (.7) T T e j t i T Z cos( ) Z cos( ) Z cos( ) i i 1 t (.71) Vtahy pro činitel odrau kolmé i rovnoběžné polariace jsou dle očekávání formálně velice podobné. Jsou v nich poue prohoeny členy cos( i) a cos( T). Fyikální výnam těchto činitelů je rovněž stejný. Pro dielektrické prostředí, ve kterém má komplení impedance poue reálnou složku, le pro činitele odrau a prostupu kolmo polariované vlny psát: 35

36 R R e cos( ) cos( ) j r r1 i r t R (.7) Ê cos( ) cos( ) i r1 i r t T T e cos( ) j t r1 i T (.73) Ê cos( ) cos( ) i r1 i r t.8 Kolmý dopad vlny na rohraní jako speciální případ šikmého dopadu Pokud dopadne rovinná elektromagnetická vlna kolmo na rohraní, bude pro úhel dopadu, odrau a prostupu platit: i r t (.74) V tomto případě přejde vtah pro činitel odrau rovnoběžné polariace (.53) a vtah pro činitel dorau kolmé polariace (.7) do společného vtahu pro činitel odrau kolmého dopadu vlny: Z Z R R R R e 1 Z Z1 j R (.75) U kolmého dopadu vlny na polariaci neáleží, vektory intenity elektrického i magnetického pole jsou vždy tečné k rohraní. Absolutní hodnota činitele odrau opět udává podíl amplitud odražené a dopadající vlny: Argument činitele odrau vlny. Pro činitel prostupu bude platit: R r m R (.76) i m udává fáový posun intenity elektrického pole odražené a dopadající Z T T T T e Z Z j T (.77) 1 Absolutní hodnota činitele odrau udává podíl amplitud prostupující a dopadající vlny: t m T (.78) Argument činitele prostupu prostupující a dopadající vlny. i m T udává fáový posun intenity elektrického pole Vtahy pro činitel odrau a prostupu se velice jednoduší v případě nevodivých dielektrických prostředí po obou stranách rohraní. V tomto případě bude pro impedance prostředí platí: 1 Ẑ (.79) Po dosaení do vtahu pro činitel dorau potom: Ẑ 1 r1 1 (.8) r 36

37 R r1 j r r1 r1 r R R e r Pro absolutní hodnotu činitele odrau bude platit R r1 r Argument činitele odrau je ávislý na velikosti permitivit obou prostředí: r1 r1 Pro r1 r je hodnota vtahu pro činitel odrau kladná, což načí, že úhel fáového posunu R Pro r1 r je hodnota činitele odrau áporná, což načí, že je úhel fáového posunu R r r (.81) (.8) Pro činitel prostupu bude platit podobně: 1 j T r r1 T T e 1 1 r1 r r1 r (.83) Komplení činitel prostupu je kladné reálné číslo, fáový posun mei dopadající a prostupující vlnou je tedy vždy nulový. Pro správnou interpretaci výsledků při výpočtech s činitelem odrau a prostupu je i v případě kolmého dopadu vlny nutné mít na paměti kladné referenční volby natočení vektorů, jak byly stanoveny při odvoení obecných vtahů pro šikmý dopad. Kladný smysl natočení vektorů bude jako na Obr.. To například namená, že při áporné hodnotě počítaného činitele odrau budou vektory intenity elektrického pole natočeny naopak proti sobě a vektory intenity magnetického pole budou ve stejném směru. Obr. Kolmý dopad vlny 37

38 .8.1 Bilance činných výkonů dopadající, odražené a prostupující vlny Plošná hustota výkonu dopadající vlny je Plošná hustota výkonu odražené vlny: 1 1 im Si imh im (.84) Z R 1 1 rm 1 im 1 im S r rmh rm R Si R Z1 Z1 Z1 Poměr odraženého a dopadajícího výkonu je tedy roven: (.85) i Plošná hustota výkonu prostupující vlny: 1 Sr R S (.86) T im 1 1 tm 1 1 im r tm tm Z Z Z 1 im Z1 Z T S 1 i T Z1 Z Z S H T (.87) Součet výkonu odražené a prostupující vlny je roven výkonu dopadající vlny S 1 r S t Si R T Si Z V rovnici (.88) platí skutečně, že: Z1 Z Z1 Z Z1 Z Z1 4Z1 Z Z Z1 Z Z1 Z Z Z1 R T 1 Z (.88) (.89).8. Stojaté vlnění, poměr stojatých vln V prostoru nad rohraním docháí k superpoici dopadající a odražené vlny. Vnikne částečné, nebo úplné, stojaté vlnění. Stojaté vlnění se vynačuje tím, že se nad rohraním vytvoří charakteristická místa, kde harmonické průběhy kmitají s růnými amplitudami. Můžeme nalét místo, kde například intenita elektrického kmitá s největší amplitudou, takové místo le navat kmitna, a místo kde kmitá s nejmenší amplitudou, takové místo le navat uel. 38

39 Obr.1 Vnik stojatého vlnění Intuitivně le vnik stojatého vlnění posoudit na časovém a prostorovém roložení intenity elektrického pole, podobně jako na obráku Obr.1. Na tomto obráku je náorněno prostorové roložení pro 4 postupné časové okamžiky ( t, t /, t, t 3/ ). Červeně je náorněno roložení intenity elektrického pole dopadající vlny, modře intenity elektrického pole odražené vlny. Pro prostorové roložení na obráku se předpokládá, že je činitel odrau áporný. Na rohraní jsou tedy intenity elektrického pole orientovány v protifái. Pokud se bude v počátečním okamžiku t předpokládat, že se na rohraní právě setká maimální hodnota intenity dopadající vlny i m a odražené vlny R i m, bude výsledná amplituda intenit dána jejich rodílem i m R. Výsledná hodnota na obráku je vynačena elenou šipkou. Místa, kde se v tomto i m okamžiku setkaly nulové hodnoty, jsou vynačena elenými kroužky. Uvedená místa se ve směru od rohraní periodicky opakují. V časovém okamžiku t / se modrá dopadající vlna posunula v kladném směru osy o / 4. To je pro náornost vynačeno modrou tečkou na sinusovce. O stejnou vdálenost, ale v opačném směru, se posunula odražená vlna. V tomto případě se na rohraní setkají nulové hodnoty a je tam výsledná nula. Ve vdálenosti / 4 před rohraním se ale setkají amplitudy ve fái a bude tam výsledná hodnota i m R i m. Uvedená místa se ve směru od rohraní opět periodicky opakují. Pokud se podobným působem vysleduje roložení intenity elektrického pole i pro časové okamžiky ( t, t 3/ ), je vidět, že na rohraní, a ve všech bodech posunutých v áporném směru osy o /, se intenita elektrického pole harmonicky mění s minimální hodnotou amplitudy: R min i m i m V bodech / 4 a ve všech dalších opět dále posunutých v áporném směru osy o / kmitá intenita s maimální hodnotou: 39

40 R ma i m i m Průběhy kmitající s maimální a minimální hodnotou jsou fáově posunuty o /. Při praktickém měření je možné eperimentálně nalét maima a minima periodických průběhů, jejich vdálenosti stanovit vlnovou délku a poměru jejich velikostí stanovit tv Poměr stojatých vln (PSV): ma i m R i m 1 R PSV R 1 R min i m i m Z poměru stojatých vln je potom v případě potřeby možné vyčíslit i velikost činitele odrau a parametry prostředí. Odraženou vlnu a činitel odrau přímo měřit nele. Poměr stojatých vlny nabývá hodnoty od 1 do. Pro R k žádnému odrau nedojde, před rohraním bude poue dopadající vlna, v růných místech budou sice harmonické průběhy fáově posunuté, ale se stejnou amplitudou maima a minima budou stejná. Jejich podíl a tedy i poměr stojatých vln je jdnotkový. Ve druhém etrémním případě pro R 1 dojde k odrau celé vlny. V prostoru před rohraním budou maima kmitající s dvojnásobnou amplitudou a budou tam i minima s trvale nulovou hodnotou. Výsledkem podílu maimální a minimální hodnoty je potom hodnota poměru stojatých vln, která limituje k nekonečnu. V tomto případě se hovoří o úplném stojatém vlnění. Poměry vniklé při odrau vlny a vniku stojatého vlnění le eaktněji vysvětlit pomocí fáorových diagramů dopadající a odražené vlny. Pro opakování je fáor vlny postupující v kladném směru osy popsán rovnicí: () e e e k jk j j( j ) m Pokud budeme uvažovat dielektrické, elektricky nevodivé prostředí, bude mít konstanta šíření poue reálnou hodnotu a bude platit: k= c Pro fáor intenity elektrického pole bude platit: j k () e Ve všech vtaích s podobným výnamem le udělat velice důležitou áměnu a s velkou výhodou nahradit skutečnou vdálenost poměrnou vdáleností, která je vtažena k vlnové délce. Platí totiž: Po této úpravě se ve vaích objeví poměrná vdálenost r k (.9) k, která je neávislá na konkrétních parametrech pro daný kmitoče. Mužeme například mluvit o vdálenosti lambda půl, lambda čtvrt a skutečnou vdálenost vůbec nemusíme vyčíslovat. Pro fáor intenity elektrického pole bude tedy platit: j j k () e e (.91) 4

41 Obr. Fáory vlny postupující v kladném směru osy Pokud budeme předpokládat, že fáor intenity elektrického pole pro leží na reálné ose, odpovídá mu časový průběh pro na Obr.3. Pro další body v kladném směru osy se fáor natočí o následující úhel v áporném směru ( proti směru hodinových ručiček): Tomu budou odpovídat fáově posunuté (požděné) harmonické průběhy podle obráku Obr.3. Obr.3 Časové průběhy intenity elektrického pole Pokud se dané skutečnosti použijí pro popis dopadající vlny, která jde v kladném směru osy, budou fáory míst před rohraním jako na obráku Obr.4. Při takto natočených fáorech se předpokládá maimální hodnota intenity elektrického pole na rohraní v bodě = a čase t=. 41

42 Obr.4 Fáory dopadající vlny v prostoru před rohraním Fáory intenity elektrického pole odražené vlny, která se pohybuje v áporném směru osy, budou před rohraním a předpokladu áporného činitele odrau podle obráku Obr.5. Obr.5 Fáory odražené vlny v prostoru před rohraním Výsledný fáor intenity elektrického pole na rohraní a v růných místech před rohraním dostaneme sečtením fáorů dopadající a odražené vlny. Výslednému fáoru bude odpovídat i časový průběh veličin, jak je náorněno na následujících obracích. Fáor a časový průběh dopadající vlny je vynačen modrou barvou, odražené vlny červenou barvou, výsledný fáor a časový průběh elenou barvou. Obr.6 Fáory a časové průběhy na rohraní v místě 4

43 Obr.7 Fáory a časové průběhy před rohraním v místě 4 Obr.8 Fáory a časové průběhy před rohraním v místě Obr.9 Fáory a časové průběhy před rohraním v místě

44 .8.3 lektromagnetická vlna kolmo dopadající dielektrika na rohraní s ideálním dokonalým elektrickým vodičem, úplné stojaté vlnění Pro činitel odrau a prostupu platí i v tomto případě univerální vtahy: Z Z 1 R (.9) Z Z1 Z T (.93) Z Z1 Pokud budeme předpokládat, že druhým prostředím je vodič s relativně velkou vodivostí, bude impedance v druhém prostředí podstatně menší, než v prvním: j Z Z Z Z jω (.94) Ve vtaích (.9), (.93) le Ẑ vůči Ẑ 1 anedbat. Činitel odrau se potom bude blížit jedné: R 1 (.95) Činitel prostupu bude naopak relativně malý: T (.96) Ze áporného a jednotkového činitele odrau vyplývá, že intenity elektrického pole dopadající a odražené vlny budou na rohraní stejně veliké a budou orientovány proti sobě. Výsledná intenita elektrického pole těsně nad rohraní bude téměř nulová: 1 i r i R i Intenita elektrického pole pod rohraním, kde je jen prostupující vlna, musí být stejná, jako nad rohraním t 1 Úplně stojaté vlnění, které vnikne nad rohraním, bude mít tedy na rohraní uel (nulovou hodnotu) pro intenitu elektrického pole. Kdybychom ale postoupili o vdálenost nad rohraní, bude 4 tam mít intenita elektrického pole svoji kmitnu o dvojnásobné hodnotě, než je dopadající vlna. Ze áporného a jednotkového činitele odrau dále vyplývá, že intenity magnetického pole dopadající a odražené vlny budou na rohraní stejně veliké a budou orientovány ve stejném směru: Výsledná intenita magnetického pole na rohraní tedy bude: H 1 H i Magnetické pole má na rohraní svoji kmitnu o dvojnásobné hodnotě intenity magnetického pole dopadající vlny. Kdybychom postoupili o vdálenost nad rohraní, bude tam mít intenita 4 magnetického pole nulovou hodnotu, bude tam mít uel. Pod rohraním, kde je poue prostupující vlně, musí být stejná hodnota intenity magnetického pole, jako nad rohraním H H t H (.97) i Z téměř nulové hodnoty činitele prostupu by se mohlo jevit, že se jedná o určitou nesrovnalost s elektromagnetickým polem prostupující vlny a podmínkami na rohraní obou stran. Platí sice: t T (.98) i 44

45 Činitel prostupu je malý a toho vyplývá relativně malá hodnota intenity elektrického pole prostupující vlny. Po vydělení impedancí v druhém prostoru, která je také poměrně malá, bude pro intenitu magnetického pole skutečně platit: t T i Z 1 (.99) H t i i Z Z Z Z1 Z Z Z1 Při uvažování Z 1 Z potom opravdu: Ẑ (.1) Ê i Ĥ t H Ẑ 1 Na následujících obrácích jsou fáory intenity elektrického a magnetického pole v růných místech nad rohraním. Modrou barvou jsou onačeny veličiny dopadající vlny, červenou barvou veličiny odražené vlny, elenou barvou výsledné fáory stojatého vlnění nad rohraním. Intenita elektrického a magnetického pole výsledného elektromagnetického pole (stojatého vlnění) nad rohraním má uly a kmitny v růných bodech a jejich harmonické průběhy jsou navájem fáově posunuty. Na rohraní je nulová hodnota intenity elektrického pole a kmitna intenity magnetického pole: i Ve vdálenosti má kmitnu intenita elektrického pole a nulu intenita magnetického pole 4 4 Ve vdálenosti má nulu intenita elektrického pole a kmitnu intenita magnetického pole 45

46 Ve vdálenosti 3 má kmitnu intenita elektrického pole a nulu intenita magnetického pole lektromagnetická vlna kolmo dopadající dielektrika na rohraní s reálným elektrickým vodičem, proud a tráty ve spodním vodivém poloprostoru (povrchový jev) Při dopadu vlny dielektrického prostředí kolmo na reálný elektrický vodič bude impedance ve spodním poloprostoru podstatně menší, než v horním poloprostoru, nebude však nulová jako při idealiaci v.8.3. Činitel prostupu nebude rovněž nulový. Do spodního poloprostoru prostoupí elektromagnetická vlna a tímto poloprostorem poteče elektrický proud (vi Obr.3.). Dále bude ukááno, že je fáor celkového proudu ve vymeeném pásu pod rohraním roven složce intenity magnetického pole těsně pod rohraním. Dále, že je možné počítat tráty působené tímto proudem jako tráty v ekvivalentní vtstvičce o tloušťce rovné hloubce vniku, do které se početně soustředí celý proud pod rohraním. 46

47 Obr.3 Proud tekoucí spodním poloprostorem Pro impedanci ve spodním vodivém poloprostoru obecně platí: Z j j (.11) Pokud však bude pro dobře vodivé prostředí platit: le impedanci vyjádřit pomocí činitele útlumu ve vodivém prostředí a dále lépe ukáat její fyikální výnam v tomto problému: j 1 j (.1) Z 1 j 1 j 1 j V dobrém vodiči je totiž mají měrný útlum i fáová konstanta stejnou velikost: (.13) Takto apsaná impedance se někdy onačuje termínem povrchová a pomocí hloubky vniku ve spodním vodivém poloprostoru je možné ji vyjádřit takto: 1 1 Z j j R ef jl ef (.14) Reálná část impedance je onačena R ef a naývá se efektivní odpor. Je to pomyslný odpor vrstvičky o tloušťce rovné hloubce vniku a roměrech 1 1 m. Bude ukááno, že má pro popis uvedeného problému a výpočet trát velký výnam. 47

48 Obr.31 lement vodivého poloprostoru pod rohraním Činitel prostupu nebude nulový, jako v idealiovaném případě podle.8.3, ale bude poměrně malý: Z T (.15) Z Z 1 Do spodního poloprostoru prostoupí elektromagnetická vlna, která bude mít těsně pod rohraním intenitu elektrického pole: t T i (.16) Pro intenitu magnetického pole bude podobně jako v idealiovaném případě.8.3 platit na rohraní: t T i Z 1 H t i i Z Z Z Z Z Z Z Ẑ 1 1 (.17) Ê i H t H i Ẑ1 Ve směru od rohraní do spodního poloprostoru bude fáově natáčet a menšovat její amplituda podle rovnice: jk ()=.e (.18) Ve vtahu je konstanta šíření ve spodním poloprostoru: t t k j j (.19) Spodním poloprostorem poteče proud, který bude mít proudovou hustotu největší na rohraní a její velikost bude postupně klesat a fáe se natáčet podle rovnice: jk jk J ()=J.e.e (.11) t t t Pokud se ve spodním poloprostoru vytkne pás široký h=1 (vi Obr.3), poteče tímto pásem pod rohraním celkový proud: jk I J () ds h 1.e d t t S jk t t t t e d H t jk (1 j) Z (.111) Ve spodním prostoru pod rohraním, pásem širokým 1m, tedy teče stejně velký proud, jako je intenita magnetického pole těsně pod rohraním. Že to tak musí být, je patrné přímo pomocí aplikace Ampérova ákona celkového proudu na uavřené dráe obemykající celkový proud v vymeeném pásu podle obráku Obr.3: 48

49 Obr.3 Ampérův ákon pro vyčíslení celkového proudu H dl I (.11) Na horní vodorovné hraně vymeené uavřené dráhy je intenita magnetického pole Ĥ t, na spodní vodorovné hraně ležící v hloubce,kde se vlna utlumila, je nulová. Na levé a právě hraně je intenita kolmá na dráhu, příspěvek k integrálu je tedy nulový: H 1 1 H I (.113) t t Ztráty ve spodním poloprostoru v kvádru s jednou se spodní hranou v a čelní plochou na rohraní l=1,h=1 ( vi Obr.3) le spočítat třemi výsledkově rovnocennými působy. Pokud proniká elektromagnetická vlna kolmo do spodního prostoru, bude výkon vnikající jednotkovou plochou roven střední hodnotě Poyntingova vektoru. Pokud budeme předpokládat, že se pronikající vlna celá ve spodním prostoru utlumí, bude tento výkon současně roven výkonu, který se přemění na teplo. Jsou to tedy současně i tráty v dané oblasti spodního poloprostoru. t m t m t m S stř t mh t m cos( ) cos Z 4 4 t m P Sstř 4 (.114) (.115) Ztráty je možné alternativně počítat pro danou proudovou hustotu objemové hustoty trát: 49

50 t m m t m (.116) V P d V e d Nejajímavější výpočet trát, e kterého současně vyplývá výnam hloubky vniku, efektivního odporu (.14). je pomocí Amplituda celkového proudu, který teče pod rohraním je: t m I t m I H t (.117) fektivní odpor podle (.14), jako odpor vrstvičky o tloušťce rovné hloubce vniku, je: 1 R (.118) Ztráty potom: ef t m t m P R ef I t m 4 (.119).8.5 Snellův ákon odrau a lomu a jeho důsledky 5

51 Snellův ákon ( vi (.51), (.5) vyplývá podmínek na rohraní. Pro splnění podmínek na rohraní musí být úhel odrau roven úhlu dopadu, pro úhel prostupu musí platit rovnice: k 1 sin i k sin t (.1) Z rovnice (.1) le pro adaný úhel dopadu vypočítat úhel prostupu: k 1 t arcsin sin i k (.11) Konstanty šíření k 1, k jsou obecně komplení. Úhel dopadu je reálný úhel, pod jakým vlna dopadá na rohraní a nabývá hodnoty v intervalu, /. Hodnota sin i je tedy také čistě reálná a pohybuje se v intervalu,1. Ze vtahů (.1) a (.11) je ale patrné, že hodnota sin t a samotný úhel t reálné být nemusí. Nebude se tedy jednat vždy o čistě geometrický úhel. V takovém případě je potřebné najít správnou interpretaci takto vypočtené hodnoty úhlu prostupu a charakteru prostupující vlny, která je matematicky popsána rovnicí: ( vi (.45), (.64) ) j k ( sin cos ) t t (.1) t (, y,) e t.8.6 Šikmý dopad vlny na rohraní dvou dielektrických (elektricky nevodivých) materiálů Konstanty šíření budou mít v tomto případě čistě reálnou hodnotu k1 1 r1 k r (.13) c c Vtah pro úhel prostupu (.1) přejde do jednoduchého tvaru: t arcsin Počítaný úhel prostupu ávisí na poměru permitivit r1 r sin i r1 r a hodnotě (.14) sin i. Poměr permitivit může nabývat hodnoty menší nebo i větší než jedna. Hodnota sin i je číslo vždy menší než jedna. Za určitých okolností může argument funkce arcsin nabýt hodnoty, která je větší než jedna. Úhel prostupu vyjde i v tomto případě komplení..8.6.a Vstup prostředí elektricky řidšího do prostředí elektricky hustšího lom ke kolmici Pokud bude platit podmínka, že r r1, budou oba členy v ávorce ve vtahu (.14) menší než jedna. 51

52 t arcsin r1 sin i r 1 1 Výsledkem je reálná hodnota úhlu s přímou geometrickou interpretací. Bude navíc platit: t t Úhel prostupu je menší, než úhel dopadu. V této souvislosti můžeme hovořit o lomu ke kolmici. Vi Obr.33. i Obr.33 Lom ke kolmici.8.6.b Vstup prostředí elektricky hustšího do prostředí elektricky řidšího lom od kolmice Pokud bude platit podmínka, že r r1, bude první člen v ávorce ve vtahu (.14) větší než jedna a druhý menší než jedna. t arcsin r1 sin i r Pokud však bude výsledný argument funkce arcsin menší než jedna, bude úhel t stále ještě reálný s přímou geometrickou interpretací úhlu prostupu. V tomto případě bude platit: t i Úhel prostupu je větší, než úhel dopadu. V této souvislosti můžeme hovořit o lomu od kolmice. Vi Obr.34. 5

53 Obr.34 Lom od kolmice.8.6.c Dopad vlny pod kritickým úhlem totální odra Pokud bude platit podmínka: r r1, bude první člen v ávorce ve vtahu (.14) větší než jedna a druhý menší než jedna. t arcsin r1 sin i (.15) r Pokud bude výsledný argument funkce arcsin roven právě jedné, jedná se o mení bod, do kterého bude úhel ještě reálný s přímou interpretací geometrického úhlu prostupu. t r1 r sin 1 V tomto případě hovoříme o tom, že vlna dopadla na rohraní pod kritickým úhlem tohoto kritického úhlu bude: r ikr arcsin r1 Pro úhel prostupu potom bude platit: t i kr i kr. Velikost (.16) 53

54 Obr.35 Kritický úhel dopadu Podél rohraní ve spodním poloprostoru se bude šířit vlna se speciálními vlastnostmi. Naývá se evanescentní a její vlastnosti budou popsány ve vláštní části. Na tomto jevu je však podstatné, že od tohoto úhlu bude činitel odrau pro kolmou i rovnoběžnou polariace v absolutní hodnotě roven jedné. Docháí tak k celkovému odrau vlny. Tento jev se naývá totální odra. Pro činitel dorau ( vi (.6)) při rovnoběžné polariaci skutečně platí: r1 cos r cos( ikr ) j R j R R e 1 1e r1 cos r cos( i kr ) Pro činitel odrau při kolmé polariaci (vi (.7)): r1 cos( ikr ) r cos j R j R R e 1 1e r1 cos( ikr ) r cos Pro dopad vlny pod kritickým úhlem je činitel odrau v absolutní hodnotě roven jedné be ohledu na polariaci vlny. R R 1 Dá se jednoduše ukáat, že to bude platit rovněž pro libovolný úhel dopadu, který bude větší, než kritický. i ikr Argument funkce arcsin je v tomto případě větší než jedna. V reálném oboru není pro takové hodnoty funkce definována, le ji ale rošířit do oboru kompleních čísel. Výsledkem bude komplení hodnota úhlu, pro kterou bude nutné najít správnou interpretaci. t t arcsin r1 sin i (.17) r Pro další úvahy však není nutné přímo počítat úhel, pro dosaení do vtahů stačí nát hodnoty sin t, cos t. Pro t sin bude platit přímo e Snellova ákona: t 54

55 sin r1 t sin i p (.18) r Je to hodnota větší než jedna a v (.18) je onačena jako veličina p. Pro cos t le s uvážením rovnosti, která platí pro goniometrické funkce i v komplením oboru: sin t cos t 1 psát cos 1 sin 1 sin (.19) t t r1 i r Pod odmocninou se objeví áporné číslo, vytknutím (-1) a odmocněním le napsat výslednou komplení hodnotu, která je onačena jako q: r1 cos t j sin i 1 j q Po dosaení do vtahu pro činitel odrau při kolmé polariaci bude: R R e r cos( ) j q j r1 i r (.13) R (.131) cos( ) j q r1 i r Jedná se o lomek, který má v čitateli a jmenovateli kompleně sdružená čísla. Jejich absolutní hodnota je stejná: a úhel natočení čitatele (jmenovatele): r1 i r A cos( ) q (.13) arctan q r1 r cos( ) Činitel odrau bude mít jednotkovou absolutní hodnotu a bude natočený o úhel. R j i (.133) A e j 1 e j (.134) A e Docháí tedy vždy k úplnému odrau vln (1% amplitudy) s tím, že dopadající a odražená vlna obecně fáově posunuta. Superpoicí dopadající a odražené vlny se nad rohraním vytvoří elektromagnetické pole, které bude mít v kolmém směru povahu stojatého vlnění a v podélném směru podél rohraní povahu postupující vlny. Na tomto principu jsou aloženy dielektrické vlnovody..8.6.d vanescentní vlna Z dalšího roboru vyplyne, že při dopadu vlny na rohraní pod úhlem, který je roven kritickému úhlu nebo větší, se bude pod rohraním šířit vlna se speciálními vlastnostmi. Tato vlna se naývá evanescentní a její vlastnosti budou předmětem následujícího roboru. Pro prostupující vlnu le psát obecnou rovnici ( vi (.45), (.64)): (, y, ) e t t j k ( sin cos ) t t Po dosaení (.18),(.13)) se ohledněním toho, že je nutné vít s ohledem na fyikální realitu rovnice (.13) alternativně druhý kořen se naménkem mínus, bude platit: 55

56 j k (sin cos ) j k p (, y, ) e e e j k j q t t t t t Po úpravě bude výsledná rovnice pro vlnu pod rohraním (evanescentní vlnu): j k p k q (, y, ) e e (.135) t t V této rovnici má argument prvního eponenciálního členu výnam fáové konstanty pro vlnu postupující ve směru rohraní (osa ): (.136) k r1 p k sin t k sin i r Vhledem k tomu, že je číslo p větší než jedna, bude výsledná fáová konstanta větší, než by odpovídalo rovinné harmonické vlně postupující v prostředí se stejnými fyikálními parametry a konstantou šíření k. Fáová rychlost evanescentní vlny podél rohraní bude dána vtahem: (.137) v f k p Fáová rychlost je tedy menší, než by odpovídalo elektromagnetické vlně ve volném prostoru s parametry ahrnutými v konstantě k. Vlnová délka evanescentní vlny bude (.138) k p Stejnou vlnovou délku a fáovou rychlost musí mít rovněž elektromagnetická vlna, která vnikne superpoicí dopadající a odražené vlny a která je vedena nad rohraním. Dielektrické vlnovody aložené na tomto principu se proto někdy onačují jako vlnovody s pomalou vlnou. Druhý eponenciální člen v rovnici (.135) má reálný argument: (.139) r1 k q k sin i 1 r Svým výnamem tento argument představuje menšování amplitudy vlny pod rohraním ve směru kolmo na rohraní (). Vlna v tomto směru postupně aniká, proto se naývá evanescentní. Zmenšování amplitudy však není jako u rovinné elektromagnetické vlny ve trátovém prostředí dáno tím, že by se energie nesená vlnou měnila na teplo. Jedná se o dielektrické, elektricky nevodivé prostředí obou stran rohraní. vanescentní vlna se naývá rovněž neuniformní. Takto jsou totiž obecně onačovány vlny, u kterých se v jiném směru mění fáe ( v našem případě směr osy ) a v jiném směru se snižuje amplituda (v našem případě směr osy ). Superpoicí dopadající a odražené vlny vnikne nad rohraním elektromagnetické pole, které bude mít charakter stojatého vlnění ve směru osy a postupující vlny nad rohraním ve směru osy. Vlastnosti evanescentní vlny pod rohraním le posoudit podle obráku Obr.36. Pokud bychom mohli jako poorovatelé sledovat harmonický průběh veličin pod rohraním na linii kolmé na rohraní pro konstantní hodnotu (vi body a,b,3,d,e), uvidíme průběhy se stejnou fáí, protože fáe se mění ve směru osy. Tyto průběhy by ale měly menšující se amplitudou, protože amplituda se mění ve směru osy. Pokud bychom sledovali harmonické průběhy na linii rovnoběžné s rohraním (body 1,,3,4,5) pro konstantní hodnotu na ose, viděli bychom průběhy se stejnou amplitudou, ale fáově posunuté, protože fáe se mění ve směru osy. 56

57 Obr.36 vanescentní vlna.8.7 lektromagnetická vlna dopadající šikmo dielektrického prostředí na rohraní s obecným trátovým prostředím rovnice pro prostupující vlnu, neuniformní vlna Pokud dopadne elektromagnetická vlna dielektrického prostředí na rohraní s obecným trátovým prostředím, bude pro prostupující vlnu opět platit ( vi (.45), (.64) ): Ve Snellově ákoně (, y,) e t t k sin k sin j k ( sin cos ) t 1 i bude konstanta k1 obecně reálná a k komplení: t t k k j j ( j ) 1 c r1 Člen k cos t bude mít rovněž komplení hodnotu: k 1 t t i 1 i k k cos k 1 sin k 1 sin k k sin q j q Po dosaení do rovnice pro prostupující vlnu: (, y, ) e e t t e t 1 i j k sin j k cos j k sin j (q j q ) e t t (.14) 57

58 Po ronásobení členů potom výsledný tvar: 1 i (, y,) e e t t j k sin q q (.141) Výsledná prostupující vlna ve trátovém prostředí bude mít opět charakter neuniformní vlny. Vlnoplochy jako roviny s konstantní fáí budou postupovat ve směru daném úhlem: k 1 sin arctan i q Amplituda se bude menšovat ve směru, který je kolmý na rohraní. Tlumící faktor bude q. Ponámka: Zpětným dosaením le pro kontrolu ověřit, že v případě beetrátového druhého prostředí bude platit: q j q k k 1 sin i r r1 sin i c q r r1 sin i q c Amplituda prostupující vlny se nebude měnit a vlnoplochy, jako roviny s konstantní fái, budou prostupovat pod úhlem, který přejde v úhel prostupu vypočtený e Snellova ákona pro dielektrická prostředí: k 1 sin i r1 sin i arctan arctan q r r1 sin i r1 sin i r sin T arctan arctan r1 cos T 1 sin i r T.8.8 Činitel odrau a prostupu při šikmém dopadu vlny na elektricky dobře vodivé prostředí Ve vtaích pro činitel odrau rovnoběžně i kolmo polariované vlny : j R r Z cos( t ) Z1 cos( i) R R e Z cos( ) Z cos( ) i t 1 i R R e j r i 1 t R Z cos( ) Z cos( ) Z cos( ) Z cos( ) i i 1 t le při šikmém dopadu na vodivé prostředí cela stejně jako při kolmém dopadu v.8.3 předpokládat: j Z Z 1 Z1 Z jω 1 58

59 Potom bude platit: R 1 R 1 R R 1 lektromagnetická vlna dopadající prakticky pod libovolným úhlem se cela odraí. Na tomto faktu jsou aloženy kovové vlnovody..8.9 lektromagnetická vlna prostupující dielektrického do dobře elektricky vodivého prostředí Pro prostupující vlnu platí opět standardní rovnice ( vi (.45), (.64) ): j k ( sin t cos t ) t (, y,) t e Pro konstanty šíření v prostředí nad a pod rohraním platí: k1 k j j ( j ) c r1 V případě relativně velké vodivosti druhého prostředí je možné předpokládat, že bude platit: Ze Snellova ákona potom: k k 1 k sin 1 t sin i k cos t 1sin t 1 j k ) j t (, y,) t e t e e Prostupující vlna bude v prostoru postupovat ve směru osy kolmo k rohraní a bude mít fáovou konstantu a činitel útlumu stejně velký, jako rovinná harmonická elektromagnetická vlna ve volném prostoru se stejnými fyikálními parametry..8.1 Polariace elektromagnetické vlny, Brewsterův polariační úhel Cílem je naleení takového úhlu dopadu elektromagnetické vlny na rohraní dvou dielektrik, pro který bude činitel odrau pro rovnoběžně polariovanou (alternativně kolmo polariovanou) složku elektromagnetické vlny nulový. Pro rovnoběžně polariovanou složku takový úhel reálně eistuje, naývá se polariační nebo někdy Brewsterův i i _ BR. Matematicky eistuje takový úhel i pro kolmo polariovanou složku elektromagnetické vlny, prakticky je to ale nerealiovatelné. Obecně polariovaná elektromagnetická vlna (vi.5) má vektor intenity elektrického pole natočen vůči rovině dopadu pod libovolným úhlem. Takovou vlnu je možné rodělit na složku s kolmou a 59

60 rovnoběžnou polariací. Pokud taková vlna dopadne na dielektrické rohraní pod polariačním úhlem, odraí se poue složka s kolmou polariací odražená vlna je polariovaná. Pon.: Činitel prostupu je obecně nenulový pro rovnoběžně i kolmo polariovanou složku vlny, to namená, že prostoupí vlna s oběma složkami, to není ale předmětem daného řešení. Pointa je v polariované odražené vlně. Pro naleení takového úhlu musí tedy podle (.6) platit: Pro čitatel lomku tedy: Po dosaení e Snellova ákona: Po dalších úpravách potom: cos( ) cos( ) (.14)? r1 t r ibr R r1 cos( t ) r cos( ibr ) r1 t r ibr? cos( ) cos( ) (.143) cos( ) 1 sin ( ) t cos( ) 1 sin ( ) ibr t ibr r1 r1 1 sin ibr r 1 sin ibr r r1 r1 1 sin ibr r 1 sin ibr r r1 r r1 r r sin ibr r (.144) (.145) (.146) r 1 ibr arcsin arcsin r1 r 1 r1 (.147) Pon.: Vtah (.147) byl odvoen pro rohraní dvou dielektrických materiálů, které jsou samořejmě i nemagnetické, platí r1 r 1. Zcela symetrický vtah le odvodit pro nulový odra složky s kolmou polariací. V tomto případě odvoení naopak vyplyne, že musí být stejné permitivity materiálů na rohraní: r1 r. Pro permeability by musela být splněna podmínka: 1 (.148) ibr arcsin 1 r1 Najít takové materiály je však prakticky nemožné. r 6

61 .9 Vrstvené prostředí Při kolmém dopadu rovinné harmonické elektromagnetické vlny s fáorem i prostoru s fyikálními parametry 1 podle obráku Obr.37 na řadu a sebou umístěných vrstev s růnými fyikálními parametry, se vlna mnohačetně odráží a prostupuje. Výsledkem je vlna s fáorem t, která vystoupí na druhé straně do prostředí n a vlna s fáorem r, která se odraí pět do prostředí 1. Cílem řešení je stanovení vájemného vtahu mei dopadající, odraženou a prostupující vlnou, respektive: stanovení výsledného činitele odrau a prostupu. Obr.37 Vrstvené prostředí Toto geometrické uspořádání si le představit jako řadu po sobě jdoucích rohraní, na kterých docháí k odrau a prostupu, a řadu a sebou jdoucích vlastních vrstev, na kterých docháí k fáovým posunům prostupujících vln. Obr.38 Vrstvy a rohraní Logika následujícího odvoení spočívá v tom, že se nalenou a a sebou ařadí maticové vtahy, které budou udávat vájemnou ávislost veličin na jedné i druhé straně každého elementu rohraní i vrstvy. Výstup jednoho elementu je současně vstupem pro druhý element. Pro každé rohraní mei vrstvami podle Obr.39 bude v celkovém součtu všech odražených a prostupujících vln platit, že rohraním mei j-tou a k-tou vrstvou procháí jedna vlna leva doprava, která bude mít na rohraní v daných vrstvách fáory intenit elektrického pole j( ), k( ). V opačném směru vlna s fáory: j( ), k( ). Pro činitele odrau a prostupu pro vlnu procháející rohraním mei j tou a k tou vrstvou ve směru od j_té ke k_té vrstvě bude podle (.75), (.77) platit: Z k Z j Z R k j k T j k Z k Z j Z k Z j Pro činitele odrau a prostupu pro vlnu procháející v opačném směru: 61

62 Přičemž: R k j Z Z Z Z Z Z Z j k j Tk j j k j k R j k R k j Obr.39 Onačení veličin na rohraní Při hledání vájemných souvislostí je užitečné sledovat vlnu vstupující do rohraní v jednom i druhém směru. Tyto vlny se částečně odraí a částečně prostoupí. (vi Obr.4). Obr.4 Dílčí vlny vstupující do rohraní Výsledná hodnoty fáoru intenity pro vlnu postupující od rohraní doleva Ê j( ), i vlnu postupující od rohraní doprava k( ) Ê, musí být rovna součtu dílčích složek odražených a prostupujících vln v daném směru (vi Obr.41 ). 6

63 Obr.41 Dílčí složky vln Pro fáor vlny postupující od rohraní na pravou stranu bude tedy platit (vi Obr.41): T R (.149) k( ) j k j( ) k j k( ) Z tohoto vyplyne první hledaná rovnice pro jednu e složek na levé straně rohraní v ávislosti na složkách pravé strany rohraní: k( ) R k j k( ) 1 j( ) k( ) R j k k( ) (.15) Tj k Tj k Pro druhou hledanou složku, fáor vlny postupující od rohraní na levou stranu platí: T R (.151) j( ) k j k( ) j k j( ) Po pětném dosaení a Ê j( ) a s uvážením rovnosti složku na levé straně platit: 1 T R R j( ) k j k( ) j k k( ) j k k( ) T j k T T R 1 R T T R 1 j k k( ) k j j k j k k( ) R j k k( ) k( ) T j k T j k T j k k j j k j k, bude pro hledanou (.15) Odvoené vtahy le finálně apsat v maticové formě, v níž na levé straně rovnice bude vektor veličin nalevo od rohraní, na pravé straně rovnice vektor veličin napravo od rohraní: j( ) 1 1 R j k k( ) T j( ) j k R j k 1 k( ) (.153) Podobná situace nastává a rohraním na každé vlastní vrstvě. Zde se vlna, která postupuje v přímém i pětném směru, fáově požďuje a tlumí. 63

64 Cílem dalšího postupu je opět vyjádřit veličiny na jedné straně vrstvy (levé) v ávislosti na veličinách na druhé straně vrstvy (pravé). Užitečně je vyjádřit vtahy pro vlny postupující od rohraní. Pro vlnu postupující od rohraní vpravo platí: j k kd k k(p ) k(l ) e (.154) Po převedení do požadovaného tvaru platí pro jednu hledanou složku levé strany vrstvy: j k kd k k(l ) k(p ) e (.155) Pro vlnu postupující od rohraní v opačném směru a současně pro druhou hledanou složku platí přímo: j k kd k k( L) k( P) e (.156) Rovnice (.155),(.156) le opět apsat ve společném maticovém tvaru, ve kterém bude na levé straně rovnice vektor veličin na levé straně vrstvy a na pravé straně rovnice vektor veličin na pravé straně vrstvy: j k kd k k(l ) e k(p ) (.157) j k kd k k( L) e k( P) Při řešení problému, ve kterém je více růných vrstev, je možné jednotlivé maticové elementy řadit a sebou a ískat výslednou převodní matici mei vstupními a výstupními veličinami: 1( ) X 11 X 1 n( ) (.158) 1( ) X 1 X V rovnici (.158) je ve vektoru výstupních veličin ve výstupním prostoru n a vrstvami poue fáor vlny postupující v přímém směru jakožto prostupující vlna. Potom po provedení maticových operací v (.158) platí: 1( ) X 11 n( ) (.159) X 1( ) 1 n( ) Z těchto rovnic le potom vlastností prvků převodní matice odvodit přímo vtah pro výsledný činitel odrau a prostupu. Celkový činitel prostupu je: 1( ) 11 Podobně také podělením rovnic (.159) celkový činitel odrau : Ê n( ) 1 T (.16) X 64

65 1( ) X R 1 (.161) X 1( ) 11 Příklad: Na obráku Obr.4 jsou náorněny dvě vrstvy, které jsou onačeny jako prostředí s parametry a 3. Ze vstupního poloprostoru s parametry 1 dopadá rovinná harmonická elektromagnetická vlna a vystupuje do prostředí s parametry 4. Vtah mei veličinami ve vstupním a výstupním prostoru bude popsán rovnicí, ve které jsou a sebou řaeny maticové elementy pro všechna rohraní a všechny vrstvy. Ê Ê 1( ) 1( ) j k d j k 3d 3 1 R 1 e 1 R 3 e 1 R 34 j k d j k R d 1 1 e R 3 1 e R T 1 T3 3 3 T 34 Ê. 4( ) (.16) Na obráku Obr.4 je náorněna stejná rovnice s odkay na místo v obráku, ke kterému se dané Ê 4( ) místo v rovnici vtahuje. Výstupní vektor odpovídá situaci v oblasti 4 a vrstvami. Po 1 1 R 34 vynásobení tohoto vektoru leva maticí se například dostáváme na místo, které T 34 R 34 1 leží těsně před posledním rohraním mei vrstvou 3 a prostorem 4. Stejně tak další místa. Obr.4 Vrstvené prostředí složené dvou vrstev.9.1 Půlvlnná a čtvrtvlnná beodraová vrstva Vtahy uvedené v předchoí části je možné v případě jedné dielektrické vrstvy obklopené obou stran dielektrickým prostředím analyticky upravit a jednodušit. Při větším počtu vrstev by bylo analytické řešení nepřehledné a je nutné jej nahradit počítačovým. Při hledání jedné vrstvy, která by 65

66 se chovala jako beodraová (celkový činitel odrau bude nulový) je možné dospět k velmi jednoduchému a ajímavému řešení, jak bude ukááno dále. Maticovou rovnici, která udává vtah mei vstupními a výstupními veličinami, le v případě jedné vrstvy napsat v následujícím tvaru: k d 1( ) 1 1 R 1 e 1 1 R 3 3( ). k d 1( ) T 1 R 1 1 e T 3 R 3 1 (.163) Podobně jako v rovnici (.158) le po vynásobení všechny matice sloučit do jedné společné: 1( ) 1 A 11 A 1 3( ). T (.164) 1( ) 1T 3 A 1 A Po této úpravě bude dále platit pro první člen na levé straně rovnice:  (.165) 11 1( ) 3( ) T1T3 Z toho vyplyne pro celkový činitel prostupu: 4( ) T 1T 3 T (.166) 1( ) A11 Pro druhý člen bude platit podobně jako v (.161): A 1 A 1T 1T 3 A 1 1( ) 3( ) 1( ) 1( ) T T A A (.167) Z toho celkový činitel odrau: ( ) A R 1 (.168) A 1( ) 11 Pro požadované prvky  11 a  1 avedené matice bude platit: 66

67 j k d A 11 A 1 1 R 1 e 1 R 3 j k A d 1 A R 1 1 e R 3 1 j k d j k d e R 1e 1 R R e e j k d j k d R j k d j k d R 1e Celkový činitel dorau bude tedy: e R R e A j k d j k d R 3e A 3 j k d j k d A R e R e R A e R R e j k d j k d Celkový činitel prostupu: T 1T 3 T 1T 3 T j k A d e R R e j k d (.169) (.17) (.171) Pokud má být činitel odrau nulový, musí platit: A (.17) a dále 1 j k d 1 3 j k d R e R e R 1 e j k d 1 R 3 R 1 e j k d 1 (.173) R 3 Pro splnění rovnice (.173) jsou možné dvě varianty, které budou následně popsány. První varianta je: R 1 j k d 1 e 1 R 3 Druhá varianta alternativně: R 1 j k d 1 e 1 R 3 Pro poměr činitelů odrau ve vtahu (.173) platí: R 1 Z Z1Z 3 Z Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z R 3 Z Z1Z 3 Z Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z (.174) R 1 j k d Pro první variantu řešení platí: 1 e 1 : R 3 Z poměru činitelů odrau vyplývá první podmínka, která musí být v tomto případě splněna: 67

68 1 Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z R R Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z (.175) Z Z 3 Z1Z Z Z 3 Z1Z Z1Z Z Z 3 Z1 Z 3 Z eponenciálního vtahu vyplývá druhá podmínka: j k d e cos(k d ) jsin(k d ) 1 (.176) k d n kde n,1,... Reálnou konstantu šíření ve vrstvě le apsat pomocí vlnové délky v této vrstvě: k (.177) k Potom dále platí (.176): d n (.178) d n První naleené řešeni le slovně hodnotit takto: Pokud elektromagnetická vlna vstupuje do vrstvy a vystupuje vrstvy do dielektrického prostoru se stejnými permitivitami ( Z1 Z 3 ) a současně je tloušťka vrstvy rovna pro daný kmitočet celým násobkům poloviny vlnové délky vlnění ve vrstvě: d n, chová se taková vrstva jako beodraová. Hovoříme o půlvlnné bedoraové vrstvě. R 1 j k d Pro druhou variantu řešení musí být splněny podmínky: 1 e 1 R 3 Z poměru činitelů odrau vyplývá prví podmínka: R 1 Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z 1 R 3 Z Z 3 Z Z1Z 3 Z1Z Z1Z 3 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 1 3 Uvedenou podmínku le vyjádřit rovněž pomocí permitivit: Z eponenciálního členu vyplývá druhá podmínka (.179) r r1 r3 (.18) 68

69 j k d e cos(k d ) jsin(k d ) 1 d n 1 4 k d n 1 kde n,1,... d n 1 (.181) Druhé naleené řešeni le slovně hodnotit takto: Pokud vlna vstupuje do vrstvy a rovněž vystupuje vrstvy do dielektrických prostorů s takovými parametry, že platí podmínka r r1 r3, a současně je tloušťka vrstvy rovna pro daný kmitočet lichým násobkům čtvrtiny vlnové délky vlnění ve vrstvě: d n 1, chová se 4 taková vrstva jako beodraová. Hovoříme o čtvrtvlnné bedoraové vrstvě nebo o čtvrtvlnném transformátru, protože vrstva transformuje parametry prostředí 1 na parametry prostředí 3 tak, že nedojde při průchodu elektromagnetické vlny k odrau. 3 Vlnovody a reonátory 3.1 Obdélníkový kovový vlnovod Pokud vybudíme v geometrickém uspořádání, které má tvar trubky určitého průřeu dokonale vodivého materiálu, elektromagnetickou vlnu, může být vlna a určitých podmínek touto strukturou vedena hovoříme o vlnovodu. Vlnovod může mít obecně růný příčný tvar, nejčastěji se používají vlnovody kruhového a obdélníkového průřeu. Intuitivně je možné funkci vlnovodu chápat tak, že vybuená vlna šikmo dopadá na vodivé stěny vlnovodu, od kterých se cela odráží, a postupnými odray se šíří v podélném směru vlnovodu. Superpoicí dopadajících a odražených vln vnikne výsledné pole, které má v podélném směru podobu postupné vlny a v příčném směru stojatého vlnění. Obr.43 Princip vlnovodu Při detailní analýe elektromagnetického pole ve vlnovodu se potom jedná o řešení parciální diferenciální vlnové rovnice s okrajovými podmínkami na stěnách vlnovodu, podle kterých musí mít intenita elektrického pole na rohraní s dokonalým vodičem poue normálovou složku (vstupuje kolmo do stěny) a intenita magnetického pole poue tečnou složku 69

70 H Obr.44 lektrické a magnetické pole nad vodičem Řešení vlnové rovnice není jednonačné, možných tvarů elektromagnetických polí, které tuto rovnici i podmínky na rohraní a určitých okolností splňují, je nekonečně mnoho. Jednotlivá řešení této rovnice a tomu odpovídající tvary elektromagnetického pole se naývají módy, starší onačení bylo vidy. To, jaké tvary pole (módy) se a daných podmínek skutečně vytvoří, ávisí na působu buení a konkrétních podmínkách ve vlnovodu, které budou popsány dále. Obdélníkový vlnovod je možné popsat v kartéské soustavě, ve které je položen příčný průře vlnovodu do roviny, y a vlna postupuje vlnovodem ve směru osy. Délky stěn vlnovodu jsou onačeny jako a,b. Předpokládá se relace a b. y b a Obr.45 Schématické náornění obdélníkového vlnovodu Ve vlnovodu le vybudit módy, tedy příslušné tvary elektromagnetického pole, které le rodělit na dvě ákladní skupiny: Módy typu T (transverálně elektrické), u kterých má vektor intenity elektrického pole složky ležící poue v příčné rovině ke směru šíření (transverální rovině). Intenita elektrického pole má tedy poue složky,y, vektor intenity magnetického pole může mít v tomto případě obecně všechny složky H,Hy,H. Módy typu TM (transverálně magnetické), u kterých má naopak vektor intenity magnetického pole poue složky ležící v příčné rovině ke směru šíření (transverální rovině) a jsou to složky H,Hy, vektor intenity elektrického pole může mít všechny složky,y, Stojaté vlnění v příčném směru Charakter stojatého vlnění v příčném průřeu je popsaný tv.příčnými konstantami k, k : y 7

71 k m, a k y n a (3.1) m,n... se naývají čísla módů. Jsou to celá čísla, které načí obecně počet půlvln vytvořeného stojatého vlnění na hraně vlnovodu a (ve směru osy ) a na hraně vlnovodu b (ve směru osy y). Pro tento celý počet půlvln stojatého vlnění jsou totiž na stěnách vlnovodu splněny podmínky na rohraní. Pro přesnou specifikaci tvaru pole ve vlnovodu se k onačení typu módu (T,TM) přidávají ještě čísla módů (m,n): T m,n, TM m,n. Onačení T,TM tedy udává charakter pole, čísla módů udávají konkrétní počet půlvln stojatého vlnění v příčném směru. (Například T 1, TM 11) Půlvlny stojatého vlnění na stěnách vlnovodu Jedna půlvlna stojatého vlnění intenity elektrického pole v příčném směru (pro módy T) na podélné hraně odpovídá hodnotě m=1. Vektory intenity elektrického pole mohou v růných časových okamžicích vypadat následovně: Obr.46 Jedna půlvlna stojatého vlnění na vodorovné hraně vlnovodu Intenita elektrického pole mění v ávislosti na čase periodicky svojí hodnotu se sinusovým prostorovým roložením podél stěny, uprostřed stěny nabývá největší hodnoty je de kmitna stojatého vlnění. Intenita elektrického pole musí mít ve styčném bodě se svislou hranou uel stojaté vlny (stále nulovou hodnotu). Jiná hodnota tam být nesmí, neboť by to namenalo tečnou složku intenity elektrického pole ke svislé stěně a to by bylo v roporu s okrajovými podmínkami. Vektory intenity elektrického pole pro jednu půlvlnu stojatého vlnění na svislé hraně, což by odpovídalo indeu n=1, by vypadaly takto: Obr.47 Jedna půlvlna stojatého vlnění na svislé hraně A například tři půlvlny stojatého vlnění na vodorovné hraně m=3: 71

72 Obr.48 Tři půlvlny stojatého vlnění na vodorovné hraně Módu T11 odpovídá jedna půlvlna elektrického pole na svislé i vodorovné hraně (Obr.49). Siločáry elektrického pole by do stěn vstupovaly kolmo, na obráku jsou vynačeny tučnými šipkami. Velikosti intenity na hranách v jednom časovém okamžiku jsou vynačeny schematickými diagramy jako v předchoích obrácích. Obr.49 Siločáry elektrického pole módu T1 Příčné elektrické pole ve vlnovodu (nikoliv však magnetické pole) může mít i nulový počet půlvln stojatého vlnění ve svislém směru (n=), nebo ve vodorovném směru (m=). Znamená to, že ve směru s nulovým počtem půlvln je intenita elektrického pole v daném okamžiku a místě všude konstantní. Na obráku je jedna půlvlna na vodorovné hraně na svislé linii je nulový počet půlvln. Intenita elektrického pole je podél této linie všude konstantní (uprostřed maimální, po stranách stále nulová). Tento obráek pole odpovídá módu T1. Šipky na tomto obráku představují vektory intenity elektrického pole, které v daném okamžiku vystupují e spodní stěny a vstupují do horní. Velikost je náorněna schématickým diagramem. konst Obr.5 lektrické pole módu T1 1půlv ln a stojatého vlnění půlvln stojatého vlnění Půlvlny stojaté vlny magnetického pole v příčném směru pro módy typu TM (Obr.51) vypadají tak, že je siločára magnetického pole tečná ke stěnám. Uprostřed stěny má intenita magnetického pole největší hodnotu (kmitnu) a její směr se cyklicky mění. Ve stykovém bodě svislé a vodorovné stěny musí být intenita magnetického pole nulová, protože na ákladě podmínek na rohraní nesmí mít k vodivé stěně v žádném bodě normálovou složku. Na obráku je náorněn tvar pole módu TM11 v růných časových okamžicích. (m=1,n=1), což je jedna půlvlna stojatého vlnění a nejnižší možné 7

73 hodnoty indeů. Nulový počet půlvln stojatého vlnění v jednom směru de není možný, siločára magnetického pole je vždy uavřená. Obr.51 Půlvlny stojatého vlnění na siločárách magnetického pole Siločáry magnetického pole v příčném směru pro m TM (m=,n=) by vypadaly následovně: Obr.5 Siločáry magnetického pole módu TM Postupná vlna v podélném směru Charakter postupné vlny vyjadřuje podélná konstanta šíření ve vlnovodu k. Pokud se vlnovod nacháí v režimu, kdy vede elektromagnetickou vlnu, má tato konstanta podobný výnam, jako fáová konstanta u vlny ve volném prostoru. Udává tedy fáový posuv mei veličinami elektromagnetického pole vedené vlny v podélném směru a potažmo i vlnovou délku a fáovou rychlost elektromagnetické vlny ve vlnovodu:, v f (3.) k k Při fáorovém popisu le obecně každou vektorovou veličinu elektromagnetického pole v každém bodě vlnovodu popsat funkcí, která má následující strukturu: jk H(, y, ), resp.(, y, ) f(k,k yy) e (3.3) m n Funkce f(k,k y y) s koeficienty k, k y udává roložení stojatého vlnění a a jk v příčném směru s daným počtem půlvln, člen e charakteriuje postupnou vlnu ve směru osy, stejně jako u rovinné vlny Podmínky pro vedení vlny příslušného tvaru elektromagnetického pole (módu) vlnovodem Pro posouení, da vlnovod s danými roměry a,b při daném kmitočtu f skutečně povede vlnu s příslušným tvarem pole a odpovídajícím počtem půlvln stojatého vlnění na hranách (módem), je nutné použít vájemný vtah mei příčnými a podélnými konstantami ve vlnovodu, který vyplyne řešení vlnové rovnice ve vlnovodu. 73

74 Pro konstanty v příčném a podélném směru musí platit: k k k y k (3.4) V tomto vtahu načí k konstantu šíření, která by odpovídala rovinné harmonické elektromagnetické vlně ve volném prostoru se stejnými fyikální parametry ( ), jako má materiál ve vlnovodu. f k r r r (3.5) c c Pokud si položíme otáku, da při daném kmitočtu ve vlnovodu s roměry a,b vnikne postupná vlna, která bude mít v příčném směru m a n půlvln stojatého vlnění, musí být v eponenciálním výrau jk e konstanta k reálné číslo. Potom bude mít tato konstanta skutečně výnam fáové konstanty jako u rovinné vlny a bude popisovat fáově se posouvající (požďujících se) veličin postupné vlny ve směru osy.. Postupná vlna ve směru osy bude mít vlnovou délku, fáovou a skupinovou rychlost: (3.6) k v f (3.7) k d v sk (3.8) d k Pokud by byla tato konstanta imaginární, v eponentu eponenciálního členu by výsledně vnikl áporný reálný koeficient, který by načil útlum amplitudy ve směru osy. Není to ale útlum ve smyslu, že by se energie elektromagnetického pole měnila na teplo. Znamená to fyikální skutečnost, že vlnovod takovou vlnu s daným obraem pole při daném kmitočtu nedokáže vést. Pokud bude konstanta k nulová, vnikne poue stojaté vlnění, vlna nebude postupovat. Pro adaný kmitočet f, adané roměry vlnovodu a,b, tvar pole se adaným počtem půlvln stojatého vlnění m,n bude platit: k k k k y f m n k ( f, m, n) r c a b Pokud má být konstanta k reálná, musí platit po dosaení: y k k k f m n r c a b r c m n f a b r (3.9) (3.1) Pro určitý kmitočet, který se naývá pro daný mód (pro danou dvojici čísel m,n a dané roměry vlnovodu) kritický, je konstanta k nulová, je to bod na hranici mei stavem, kdy vlnovod vlnu 74

75 příslušného tvaru vede a kdy nevede. V tomto případě vnikne ve vlnovodu poue stojaté vlnění a ne postupná vlna: f krit( m, n) c m n c m n a b a b r r (3.11) Aby vlnovod vlnu s daným obraem pole při daných roměrech vedl, musí být pracovní kmitočet větší, než kritický. Pro konstantu šíření k f f (3.1) krit ( m, n ) k ve vlnovodu le napsat upravený vtah (3.9) v podobě: f m n r c a b f f krit( m, n) r r r krit( m, n) (3.13) k f f c c c Konstanta šíření pro pracovní kmitočet, rovný kritickému kmitočtu, je podle výchoího předpokladu nulová, ve vlnovodu nevnikne postupná vlna, ale poue stojaté vlnění. Pro vlnovou délku ve vlnovodu le napsat: c 1 k f f r krit( m, n) (3.14) Pro fáovou rychlost: c 1 v f k r f krit( m, n) (3.15) 1 f Pro pracovní kmitočet rovný kritickému je vlnová délka i fáová rychlost nekonečně velká. To fyikálně odpovídá skutečnosti, že stojaté vlnění má po celé délce vlnovodu stejnou hodnotu se stejnou fáí. Pro skupinovou rychlost: k f f krit( m, n) r r r f krit( m, n) d k d c c c c r f krit( m, n) f krit( m, n) c f krit( m, n) (3.16) d c v sk 1 d k r r f Pro pracovní kmitočet rovný kritickému je skupinová rychlost nulová, stojatým vlněním ve vlnovodu se nepřenáší žádná energie. 75

76 3.1.5 Dominantní mód T1 Pokud budeme pro dané roměry vlnovodu a,b hledat čísla m,n taková, pro která bude hodnota kritického kmitočtu nejmenší, najdeme při uvažování relace a b hodnoty čísel módů m=1,n=. To je přípustné poue pro módy T, módy TM nemohou mít nulový počet půlvln a nejnižší možná kombinace je TM 11. Obě konstanty m,n o nulové velikosti nemají správný fyikální smysl ani pro módy T. Mód T1 ( m=1,n=), který má nejnižší kritický kmitočet, se naývá dominantní. Kritický kmitočet dominantního módu je: f krit( m1, n) c a r (3.17) Vlnovod tedy funguje jako horní propust, vlnu ačne vést až od kmitočtu, kdy je splněna podmínka pro vedení dominantního módu (módu s nejnižším kritickým kmitočtem). lektromagnetické pole má potom podobu T1 (vi následující obráky). Od určitého vyššího kmitočtu jsou splněny podmínky pro vedení i u dalších módů, které se k dominantnímu módu postupně přidruží (přičtou) a elektromagnetické pole má komplikovanější tvar. Vlnovody se velice často využívají pro pracovní kmitočet v tv. pásmu přenosu s jedním módem. To je kmitočtové pásmo, kdy eistuje poue dominantní mód T1 a ostatní módy ještě nevnikly. Pracovní kmitočet leží v tomto případě mei kritickým kmitočtem dominantního módu a kritickým kmitočtem dalších následujících vyšších módů. lektromagnetické pole dominantního módu je náorněno na následujících obrácích: Intenita elektrického a magnetického pole prostorový pohled T 1 y H Obr.53 Siločáry elektrického a magnetického pole módu T1 76

77 Intenita elektrického pole příčný ře a T 1 y b ( M N ) M Obr.54 Intenita elektrického pole v příčném řeu Intenita magnetického pole příčný ře a T 1 y b H ( M N ) M Obr.55 Intenita magnetického pole v příčném řeu 77

78 Intenita elektrického a magnetického pole podélný ře y / / T 1 b ( M N ) Obr.56 Intenita elektrického a magnetického pole v podélném směru 3. Vlna typu TM ve vlnovodu odvoení vtahů pro fáory složek elektromagnetického pole, impedance ve vlnovodu Obdélníkový kovový vlnovod má delší hranu příčného průřeu onačenou jako a a položenou do osy kartéské soustavy. Kratší hrana b je položena do osy y. lektromagnetická vlna se šíří vlnovodem ve směru osy. Obr.57 Obdélníkový kovový vlnovod v kartéské soustavě souřadnic Módy TM mohou mít složky vektorů intenity magnetického pole poue v příčné rovině,y. H,H y H Vektory intenity elektrického pole mohou mít obecně všechny tři složky:,, y Pro beetrátové prostředí a harmonické časové průběhy veličin platí pro fáory vektorů Mawellovy rovnice: rot H j (3.18) rot j H (3.19) Roepsáním rovnic do složek: 78