x i y i. metrika: Provektor x IR n definujemejeho(euklidovskou)normujako x = x x2 n.
|
|
- Hynek František Král
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Funkce více proměnných Nechť n IN. Symbol IR n značíprostorvšech n-rozměrnýchvektorůsreálnýmisouřadnicemi značených x=(x 1,...,x n ),také xnebotřeba x.čísla x i IRjsousouřadnicečisložky. operace s vektory: Provektor x IR n askalár λ IRdefinujemenásobekjako λ x=(λx 1,...,λx n ). Provektory x, y IR n definujemejejichsoučetjako x+ y=(x 1 +y 1,...,x n +y n ). Pro x, y IR n definujemejejichskalárnísoučinjako x y= x 1 y 1 + +x n y n = n metrika: Provektor x IR n definujemejeho(euklidovskou)normujako x = x x2 n. n Provektory x, y IR n definujemejejich(euklidovskou)vzdálenostjako x y = (x i y i ) 2. i=1 x i y i. i=1 Věta. Nechť n IN. Euklidovská norma splňuje následující vlastnosti: (i)provšechna x IR n platí: x =0právětehdy,když x= o. (ii)provšechna x IR n a λ IRplatí λ x = λ x. (iii)provšechna x, y IR n platí x+ y x + y. (trojúhelníkovánerovnost) (iv)provšechna x IR n platí x = x x. (v)provšechna x, y IR n platí x y x y. (Cauchy-Schwarzovanerovnost) (vi)provšechna x IR n platímax x i x nmax x i. Fakt. Nechť n IN.Pro x, y IR n platí x y= x y cos(α),kde αjeúhelmezivektory xa y. Nechť Mjepodmnožina IR n. Řekneme,žejeomezená,jestližeexistuje K >0tak,aby x Kprovšechna x M. Definujemediametr Mjakodiam(M)=sup{ x y ; x, y M}. Nechť a IR n a ε >0.Definujeme ε-okolíbodu ajako U ε ( a)={ x IR n ; x a < ε}. prstencové ε-okolíbodu ajako P ε ( a)={ x IR n ;0 < x a < ε}. 1
2 Nechť Mjepodmnožina IR n,řekneme,že x IR n je vnitřníbod M,jestližeexistuje U= U ε ( x)takové,že U M. vnějšíbod M,jestližeexistuje U= U ε ( x)takové,že U M=. hraničníbod M,jestližeprokaždé U= U ε ( x)platí U M au M. izolovanýbod M,jestližeexistuje U= U ε ( x)takové,že U M= { x}. hromadnýbod M,jestližeprokaždé P= P ε ( x)platí P M. Nechť Mjepodmnožina IR n.definujemejejí vnitřek M O jakomnožinuvšechvnitřníchbodů M. hranici Mjakomnožinuvšechhraničníchbodů M. uzávěr Mjako M M. Nechť Mjepodmnožina IR n. Řekneme,že Mjeotevřená,jestliže M O = M. Řekneme,že Mjeuzavřená,jestliže M= M. Nechť M jepodmnožina IR n. Řekneme, žejenesouvislá, jestližeexistujíotevřenémnožiny G 1,G 2 IR n takové,že M G 1 G 2, G 1 M, G 2 M ag 1 G 2 =. Řekneme, že je souvislá, jestliže není nesouvislá. Množina M IR n senazýváoblast,jestližejeotevřenáasouvislá. Funkcívíceproměnnýchrozumímelibovolnézobrazení f: D IR, kde D = D(f)jenějaká podmnožina IR n. Není-li Dexplicitnědáno,pakjakodefiničníobor D(f)berememnožinuvšech x IR n,prokteroumá f( x)smysl. 2
3 Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Pro c IRdefinujemepříslušnouhladinu konstantnosti H c = { x D(f); f( x)=c}. 3
4 Nechť f: D(f) IRjefunkce, D(f) IR n. Nechť ajevnitřníbod D(f)a ujevektorzir n splňující u = 1. ) Řekneme,žefunkce fjediferencovatelnávbodě avesměru u,jestliželimitalim konverguje. Pakdefinujeme(směrovou)derivaci fvbodě avesměru ujako ( f( a+t u) f( a) ) D u f( a)=lim. t 0 t ( f( a+t u) f( a) t 0 t Alternativníznačení: D u f( a)= u f( a)= f u ( a)=f u ( a). Nechť f: D(f) IRjefunkce, D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). Pro i=1,...,ndefinujemeparciálníderivaci fvzhledemkx i jako f ( a)=d ei f( a),pokud tato existuje. Alternativní značení: f ( a)=d i f( a)=f xi ( a). 4
5 Nechť f: D(f) IRjefunkce, D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). Jestližeexistujívšechnyparciálníderivace f ( a)pro=1,...,n,pakdefinujemegradient fv a jako vektor f( a)= ( f ( a),..., f ) ( a). x 1 x n Alternativníznačení: f( a)= f( a)=grad(f)( a). Věta. Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). f Jestližeexistujenějakéokolí U = U( a)takové,žeprovšechna i=1,...,nexistují ( x)pro všechna x Uafunkce f jsouspojitév a,pakmá fv aderivacevevšechsměrechaprokaždé uplatí D u f( a)= f( a) u. Nechť Gjeotevřenápodmnožina IR n a f: G IR. Řekneme,že fmáspojitéparciálníderivacena G,jestližeprovšechna i=1,...,nexistují všechbodech Gajsoutospojitéfunkcena G. Množinuvšechtakovýchtofunkcíznačíme C 1 (G). Derivacevyššíchřádů: D v (D u f)=d v D u f.speciálnípřípad: x j ( f ) = x j. f ve 5
6 Nechť GjeoblastvIR n. Definujeme C k (G)jakomnožinuvšechfunkcí f: G IR,kterémajívšechnyparciálníderivaceaž pořád katyjsouspojiténa G. Věta. Nechť GjeoblastvIR n.jestliže f C 2 (G),pakpro a Gplatí x j ( a)= 2 f x j ( a). 6
7 Lokální a globální extrémy Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n.nechť ajevnitřníbod D(f). Řekneme,že f máv alokální maximumnebože f( a)jelokálnímaximum,jestližeexistuje U= U( a)takové,že f( a) f( x)provšechna x U. Řekneme, že f máv alokální minimumnebože f( a)jelokálníminimum, jestližeexistuje U= U( a)takové,že f( a) f( x)provšechna x U. Pokud jsou v definici maxima/minima ostré nerovnosti pro x a, pak se dotyčný extrém nazývá ostrý. Věta. Nechť GjeotevřenámnožinavIR n a f: G IR.Nechť a G. Jestližemá fv alokálníextrém,pak f ( a)=0provšechna i=1,...,nneboli f( a)= o. Nechť GjeotevřenámnožinavIR n a f C 1 (G). Body a G,prokteréplatí f( a)= o,se nazývají stacionární body. 7
8 Věta. (Sylvesterovo kritérium) Nechť GjeotevřenámnožinavIR n a f C 2 (G). Nechť a Gjestacionárníbod f a H jehessovamatice f v a. Nechť i jsoulevéhorní subdeterminanty H. Jestliže i >0provšechna i,pakje f( a)(ostré)lokálníminimum. Jestliže 1 <0, 2 >0, 3 <0atd.až( 1) n n >0,pakje f( a)(ostré)lokálnímaximum. Jestliže 2 <0,pakje f( a)sedlovýbod. 8
9 Věta. (Lagrangeova o multiplikátorech) Nechť GjeotevřenámnožinavIR n,nechť f,g 1,...,g p C 1 (G). g 1 g x x n Předpokládejme, že hodnost matice.. jena Gvždyrovna p. g p g x 1... p x n Nechť M= { x IR n ; g 1 ( x)= =g p ( x)=0}. Jestliže fnabývávbodě a MlokálníhoextrémuvzhledemkM,pakexistují λ 1,...,λ p IR takové,že f( a)= p λ i g i ( a). i=1 9
10 Nechť f je funkce diferencovatelná v bodě a. Tečná rovina: Aproximace, Taylor y f( a)= f x 1 ( a) (x 1 a 1 )+ f x 2 ( a) (x 2 a 2 )+ + f x n ( a) (x n a n ) = f( a) ( x a). Nechťje ffunkcedefinovanánanějakémokolíbodu a.řekneme,želineárnízobrazení L: IR n IR je(totální) diferenciál funkce f v a, jestliže ( f( a+ h) f( a) L[ h] ) lim h 0 =0. h Pakřekneme,že fjediferencovatelnáv a,aznačíme L=df( a)=df( a). Praktickýdopad: f( a+ h) f( a)+df( a)[ h]. Věta. Jestližemá fspojitéparciálníderivacenanějakémokolíbodu a,pakje fv adiferencovatelnáa platí df( a)[ h]= f( a) h=d h f( a). Nechť f má v bodě a všechny parciální derivace druhého řádu. Pak definujeme Hessovu matici či hessián jako H( a) = x ( 2 ) 1 x 1 ( a) f ( a) = x 2 x 1 ( a) x j i,j=1..n.. x n x 1 ( a) x 1 x 2 ( a)... x 2 x 2 ( a)..... x n x 2 ( a)... x 1 x n ( a) x 2 x n ( a)... x n x n ( a) 10
11 Nechťje fspojitědiferencovatelnánanějakémokolí Ubodu a.nechť x U.Označme h= x a a u= h h. Aproximace: Taylorův polynom: f( x) f( a)+df( a)[ x a]=f( a)+ f( a) ( x a) f( a+ h) f( a)+df( a)[ n f h]=f( a)+ ( a) h i f( a+ h) f( a)+ n i=1 f ( a) h i i=1 n i,j=1 f( a+ h) f( a)+ f( a) h T hh( a) h T f( a+ h) f( a)+df( a)[ h]+ 1 2 d2 f( a)[ h, h] T n ( x)=f( a)+df( a)[ h]+ 1 2 d2 f( a)[ h, h]+ + 1 n! dn f( a)[ h,..., h] x j ( a) h i h j = f( a)+df( a)[ u] x a d2 f( a)[ u, u] x a n! d2 f( a)[ u,..., u] x a n. Nechť Ajematice n n. Řekneme,že Ajepositivnědefinitní,jestliže xa x T >0provšechny x IR n { o}. Řekneme,že Ajenegativnědefinitní,jestliže xa x T <0provšechny x IR n { o}. 11
12 Integrály 12
13 Limita Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Nechť ajehromadnýbod D(f), L IR. Řekneme,že Ljelimita f pro xjdoucík a,značeno lim x a ( f( x) ) = L,jestliže U= U(L) P= P( a): f[p D(f)] U. Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Nechť ajehromadnýbod D(f), L IR. Nechť N IR n jetakovámnožina,že ajehromadný bod N D(f). ( ) Řekneme,že Ljelimita fpro xjdoucík avzhledemkn,značenolim f( x) = L,jestliže x a x N U= U(L) P= P( a): f[p N D(f)] U. Věta. Nechť f: D(f) IRjefunkce,kde D(f) IR n. Nechť ajehromadnýbod D(f), L IR. lim x a ( ) ( ) f( x) = Lprávětehdy, když lim f( x) = Lprolibovolnou N IR n takovou, že aje hromadnýbod N D(f). x a x N 13
14 14
x i y i. metrika: Provektor x IR n definujemejeho(euklidovskou)normujako x = x x2 n.
1. Představení funkcí více proměnných 1.a Vícerozměrné prostory Značení: Nechť n IN. Symbol IR n značíprostorvšech n-rozměrnýchvektorůsreálnýmisouřednicemiznačených x=x 1,..., x n,také xnebotřeba x.čísla
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceKapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje
VíceMatematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceKristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
Více(,b)={x IR;x < b} (otevřenýinterval) a,b ={x IR;a x b} (uzavřenýinterval)
A definice a tvrzení 1 c phabala 2010 Definice a tvrzení Reálná osa Značení(populární číselné množiny. IN přirozenáčísla1,2,3,4,... IN 0 = IN {0}={0,1,2,3,4,...} Z celáčísla0,1,-1,2,-2,3,-3,... IQ racionální
Více12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VíceMatematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceMA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
79 Kapitola 4 Vektorové funkce jedné reálné proměnné 80 Definice 4.1(vektorová funkce jedné reálné proměnné) Nechť D R.Zobrazení x: D R n se nazývá vektorová funkce jedné reálné proměnné t s definičním
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
VíceHelena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16
Limita funkce více proměnných Helena Říhová FBMI 26. září 2010 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září 2010 1 / 16 Obsah 1 Limita Definice limity Parciální derivace Tečná rovina, totální
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceHome. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec
Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Více1 Funkce více proměnných
1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako
VíceMatematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceCHOVÁNÍ FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Z HLEDISKA EXTRÉMŮ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS CHOVÁNÍ FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Z HLEDISKA
VíceKomplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
VíceDiferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
VíceDRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
VíceF (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)
11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 3.0.06 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceDiferenciální a integrální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Učební text předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceDRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMatematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných
Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Ostrava 8 Obsah Funkce dvou proměnných.
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceZáznam o ústní zkoušce z předmětu 01MAB4 (akademický školní rok 2017/2018) Příjmení a jméno studenta Finální hodnocení Datum ústní zkoušky
hladká funkce na oblasti G E r 1. matematickým zápisem vystihněte geometrickou interpretaci abstraktního Lebesgueova integrálu Kam míří gradf( a)? Své tvrzení podpořte výpočtem. Jaký je rozdíl mezi symboly
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Vícese diferenciálního počtu více proměnných). Jeho cílem není, aby obsahoval vše,
Pár informací o diferenciálním počtu funkcí více proměnných (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 2) Pavel Řehák (verze 5. září 2014) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Více+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ
VíceMATEMATIKA II. (Učební text pro kombinovanou formu studia) ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA II (Učební text pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO 2002 PŘEDMLUVA Matematická analýza, která
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VíceMATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce
Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Více