EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
|
|
- Peter Bureš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální ) hodnota f na U D(f). Funkce f má v C lokální extrém, jestliže má v C lokální maximum nebo lokální minimum. Absolutní maximum funkce f na množině A D(f) je hodno ta max{f(x, y); (x, y) A}. Podobně se definuje absolutní minimum, dohromady se nazývají absolutní extrémy. Nahradí-li se v definici lokálních extrémů slovo maximální slovem největší (resp. slovo minimální slovem nejmenší ), dostává se definice ostrých lokálních extrémů. Vrátil jsem se do mládí... VĚTA. Funkce f definovaná na polootevřené množině A může mít lokální extrém pouze v následujících bodech: 1. v hraničním bodě A, patří-li do definičního oboru; 2. ve vnitřním bodě A, ve kterém f nemá některou z parciálních derivací 1.ř.; 3. ve vnitřním bodě A, kde má f všechny parciální derivace 1.ř. rovny 0. Jde o jednoduché odvozování pomocí výsledků pro funkce jedné proměnné (proved te to). Body popsané v předchozí větě se nazývají kritické body (pro lokální extrémy). 1
2 Na mém starém klobouku byly taky kritické body. z y x DU SLEDEK. Necht v otevr ené množine G má funkce f všechny parciální derivace 1.r. Má-li f v bode C G lokální extrém, anulují se v tomto bode parciální derivace 1.r. (tedy i sme rové derivace). Stejne jako u funkcí jedné prome nné OPAK NEPLATÍ! Uved te pr íklad. Napr íklad moje staré sedlo. VE TA. Necht má funkce f (x, y) spojité parciální derivace 2.r. v otevr ené množine G a pro P G je f x (P ) = f y (P ) = 0. + k )2 f (P ), což je kvadratická forma prome nných h, k. Oznac me F (h, k) druhý diferenciál (h x y Potom 2
3 1. Je-li F pozitivne definitní, nabývá f v P ostré lokální minimum. 2. Je-li F negativne definitní, nabývá f v P ostré lokální maximum. 3. Je-li F indefinitní, nenabývá f v P lokální extrém. 4. Je-li F semidefinitní, nelze o lokálním extrému f v P pomocí F rozhodnout. Du kaz. Podmínky tvrzení umožn ují napsat Tayloru v vztah do r ádu 2 pro bod Q blízko bodu P : f (Q) = f (P ) + df (P ) d f (T ), 2 kde bod T leží mezi body P a Q. První diferenciál df (P ) je roven 0. Nyní je du kaz již jasný. Jde o kvadratickou aproximaci funkce. Tedy nahradíme funkci jakýmsi paraboloidem. Pokud je funkce ve tší než paraboloid procházející grafem funkce, jde o minimum. Ted to jenom spoc ítat... Pomocný paraboloid hlídající graf funkce zespodu ukazuje na lokální minimum: 3 3
4 To, kam kouká kvadratická forma druhých parciálních derivací, poznáme podle uvedených testů. U funkce x 7 + y 6 nic nepoznáme. Ten test je jenom kvadratický. Následující tvrzení je známé z algebry a dokáže se snadno,,úpravou na čtverec". VĚTA. Kvadratická forma F z předchozí věty je 1. pozitivně definitní právě když f xx (P ) > 0 a f xx (P ) f yy (P ) > f 2 xy(p ); 2. negativně definitní právě když f xx (P ) < 0 a f xx (P ) f yy (P ) > f 2 xy(p ); 3. indefinitní právě když f xx (P ) f yy (P ) < f 2 xy(p ); 4. semidefinitní právě když f xx (P ) f yy (P ) = f 2 xy(p ); Takže nemusím přemýšlet. Pokud si tedy tohle budu pamatovat... 4
5 DŮSLEDEK. Necht má funkce f(x, y) spojité parciální derivace 2.ř. v otevřené množině G a pro P G je f f x (P )= y (P )=0. Jestliže f xx (P ) f yy (P ) > fxy(p 2 ), pak f má v bodě P ostrý lokální extrém (maximum pro f xx (P ) < 0, minimum pro f xx (P ) > 0). Poznámky 1: 1. Stejně jako u funkcí jedné proměnné lze do množiny kritických bodů přidat další body, aniž se tím poruší výsledné tvrzení. 2 Absolutní extrémy. Zřejmě je každý absolutní extrém i lokálním extrémem. Opak neplatí. Pro vyhledání absolutních extrémů spojité funkce na kompaktní množině stačí vzít hodnoty funkce ve všech kritických bodech a najít největší a nejmenší hodnotu. Dalšího ověřování není třeba, protože spojitá funkce na kompaktní množině má vždy oba absolutní extrémy. Na nekompaktních množinách je třeba být opatrný. I když je nekompaktní množina uzavřená (obsahuje tedy svou hranici, ale není omezená), mohou hodnoty funkce na nějaké posloupnosti jdoucí do nekonečna být větší (nebo menší) než maximum (nebo minimum) z hodnot v kritických bodech. Je-li množina, na které se hledá extrém, otevřená a omezená, je disjunktní se svou hranicí a opět mohou hodnoty funkce na nějaké posloupnosti konvergující k bodu hranice být větší (nebo menší) než maximum (nebo minimum) z hodnot v kritických bodech. Pokud se funkce dá spojitě rozšířit i na hranici, dostane se spojitá funkce na kompaktní množině, pokud je původní množina omezená. Pak lze použít postup uvedený výše ve druhém odstavci. Pokud je množina, na které se hledají extrémy neomezená, je nutné uvažovat i limity funkce na posloupnostech z dané množiny konvergující k nekonečnu. 3 Kvadratické formy. Připomeňte si, že kvadratická forma K(x) = n i,j=1 a ij x i x j (matice (a ij ) je symetrická) se nazývá pozitivně definitní (nebo negativně definitní), jestliže pro jakoukoli volbu hodnot x = (x 1,..., x n ) různou od (0,.., 0) je K(x) > 0 (nebo K(x) < 0, resp.). Nazývá se indefinitní, jestliže nabývá jak záporných, tak kladných hodnot. Nazývá se semidefinitní, jestliže nabývá pouze nezáporných nebo pouze nekladných hodnot a hodnoty 0 v nějakém nenulovém bodě. Definitnost kvadratické formy lze zjistit převedením matice (a ij ) na diagonální tvar. Jsou-li všechny prvky diagonály kladné (nebo záporné), je forma pozitivně (resp. negativně) definitní, obsahujeli diagonála prvky záporné i kladné, je forma indefinitní a ve zbývajícím případě (diagonála obsahuje 0 a čísla stejného znaménka) je semidefinitní. U kvadratické formy dvou proměnných je zjištění definitnosti zvláště jednoduché (viz Otázky). 5
6 4. Je-li kvadratická forma druhých parciálních derivací funkce f v nějakém bodě indefinitní, má f v tomto bodě tzv. sedlový bod. Tento případ nemúže nastat u funkcí jedné proměnné. Ostatní případy jsou u funkcí jedné proměnné obdobné: druhá derivace je bud kladná (minimum) nebo záporná (maximum) nebo nulová (nelze rozhodnout). 4. Stejně jako u funkcí jedné proměnné bývá někdy jednodušší rozhodovat o druhu extrému nikoli pomocí druhých derivací, ale úsudkem. Bývá to v případech, kdy jsou druhé derivace komplikované. Konec poznámek 1. Příklady 1: 1. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce x 3 6x 6xy + 6y + 3y 2 na R 2. Jsou dva kritické body (0, 1), (2, 1). V prvním je příslušná kvadratická forma indefinitní a ve druhém je pozitivně definitní. Absolutní extrémy nejsou. Proved te podrobnosti. 2. Najděte absolutní extrémy funkce sin x + sin y + sin(x + y) na otevřeném čtverci (0, π/2) (0, π/2). Uvnitř čtverce je jeden kritický bod (π/3, π/3) s hodnotou 3 3/2. Snadno se zjistí dosazováním hranice (y = 0, x = π/2, y = π/2, x = 0), že hodnoty funkce na hranici jsou menší než 3 3/2. V tomto bodě je tedy absolutní maximum, absolutní minimum neexistuje (proč?). 3. Najděte absolutní extrémy funkce x 3 + y 3 3xy na množině {(x, y); 0 < x < 3, 0 < y < 2x 2. Podobným postupem jako v předchozím příkladě zjistíte absolutní minimum v (1,1). Absolutní maximum neexistuje. Konec příkladů 1. 6
7 Otázky 1: 1. Uved te pr íklad funkce dvou prome nných, která má v ne jakém bode obe parciální derivace (spojité) nulové, ale nemá v onom bode lokální extrém. 2. Uved te pr íklad funkce dvou prome nných definované na vnitr ku jednotkového kruhu, která nemá žádný lokální extrém. 3. Uved te pr íklad funkce dvou prome nných definované na uzavr ené množine (otevr ená množina spolu s hranicí) která nemá žádný lokální extrém. 4. Ukažte, že kvadratická forma ax2 + 2bxy + cy 2 je pozitivne (nebo negativne ) definitní práve když ac > b2 a a > 0 (resp. a < 0). Je indefinitní práve když ac < b2 a je semidefinitní práve když ac = b2. Konec otázek 1. Cvic ení 1: Pr íklad. Spoc te te extrémy funkce f (x, y) = x2 + 2xy 4x + 8y na obdélníku 0 x 1, 0 y 2. R ešení. Oznac me si zkoumaný obdélník K. Spoc ítáme parciální derivace a urc íme, že jediný kritický bod funkce f neleží ve zkoumané množine K. Tedy f jako spojitá funkce na kompaktní množine K nabývá na K absolutního minima a maxima na hranici K. Tuto hranici budeme parametrizovat pomocí 4 kr ivek a budeme zkoumat extrémy funkce jedné prome nné na definic ním oboru te chto kr ivek. Napr íklad c ást hranice H1 ležící v ose x jde parametrizovat ϕ1 (t) = (t, 0) na intervalu [0, 1]. Tedy na intervalu [0, 1] zkoumáme extrémy funkce f (ϕ1 (t, 0) = t2 4t. Minima na H1 se nabývá v (1, 0), maxima v (0, 0). Podobne s dalšími úseky hranice K. Výsledek vznikne porovnáním hodnot v kandidátech na minimum a maximum. Obrázek grafu funkce y 4 x 6 8 Všimne me si jednoduchého faktu, že ve funkci f (x, y) = x2 + 2xy 4x + 8y máme pro pevné x na starost lineární funkci, pro pevné y kvadratickou a vždy otoc enou nahoru. 7
8 Tedy žádný bod roviny není bodem ostrého lokálního maxima. Aha. Pr íklad. Funkce f (x, y) = x2 + y 3 má v poc átku kritický bod. Zjiste te, zda se jedná o extrém. R ešení. Díky chování na ose y zde není lokální extrém. Na kubické parabole y 3 stojí funkce x2. Obrázek grafu funkce ±1 ±1 ± x y ±0.5 1 ±1 Pr íklad. Funkce f (x, y) = x2 + y 2 má v poc átku kritický bod. Zjiste te, zda se jedná o extrém. R ešení. Ove r íme podmínku pozitivní definitnosti formy druhých parciálních derivací pomocí ove r ení pod2 (P ) pro P = (0, 0). mínky fxx (P ) > 0 a fxx (P ) fyy (P ) > fxy V našem pr ípade jde o vztah 2 > 0 a 2 2 > 02, který platí. V poc átku má funkce ostré lokální maximum. Nezapomen te, že se jedná o kvadratický test a že nedovede všechno. 8
9 Navíc jsem si všiml, že jde použít jenou ve vnitřních bodech. Smůla. Pokud najdeme na hranici množiny bod, v němž se vzhledem k hranici nabývá extrému, nemusí to znamenat extrém vůči množině. Například počátek je pro funkci x 2 +sin y docela dobrým kandidátem na ostré lokální naximum na polorovině x 0, nicméně mu to ten sinus v libovolném okolí počátku bude škodolibě kazit. Na to se rád škodolibě podívám: Obrázek grafu funkce 9
10 6 4 2 ±0.5 x x 0.4 y ±1 0.6 ± y V okolí takových bodu musíme nasadit 100 procent osobního kouzla. Budu se snažit takové záškodníky odhalit po pr ímkách, po parabolách a na ty nejzáludnéjší vytáhnu s ε. GOOD LUCK! Konec cvic ení 1. 10
11 Ted poradím, jak zkoumat extrémy funkcí více proměnných v praxi: Následujícím radám plně důvěřuji!!! 1. Při zkoumání extrémů na polootevřené množině A se postupuje podobně jako v jednorozměrném případě. Nejdříve se zjistí kritické body uvnitř A. 2. Na rozdíl od jednorozměrného případu, kde byly nejvýše dva hraniční body u intervalu, ve vícerozměrného případu jsou hranice nekonečné množiny. 3. Naštěstí však v praxi bývají tyto hranice většinou křivkami a tedy popsány spojitými funkcemi jedné proměnné. Dosazením těchto funkcí do zkoumané funkce se dostane funkce jedné proměnné a pro ni lze zjistit kritické body. 5. Je však nutné si uvědomit, že takto získané např. lokální minimum je lokálním minimem pouze pro hranici a nikoli pro množinu A. 6. V některých speciálních případech je možné zkoumáním funkce v okolí takového lokálního extrému vzhledem k hranici určit, zda je lokálním extrémem i vzhledem k A. 7. Nicméně, vždy lze srovnáním hodnot na všech získaných kritických bodech zjistit absolutní extrémy. V podstatě je tam řečeno, že se postupuje podle selského rozumu. 11
12 Ach jo, to není dobrá zpráva... Ukažte, že platí následující tvrzení. VĚTA. Necht A je polootevřená omezená množina v rovině a její hranice patřící k A je grafem parametricky zadané křivky x = ϕ(t), y = ψ(t), t I. Pak absolutní maximum (minimum) spojité funkce f definované na A je maximální (resp. minimální) hodnota f na kritických bodech f uvnitř A a na kritických bodech funkce f(ϕ(t), ψ(t)), t I.... jak již bylo řečeno. V případě, že je hranice zadána implicitně, není vždy možné dosadit do funkce f(x, y) za y funkci popisující hranici! 12
13 V tomto případě lze použít tzv. metodu Lagrangeových multiplikátorů. Jde o jemnou záležitost, dávejte na ty multiplikátory pozor. Já těm multiplikátorům říkam konstanty. BÚNO nuly ;-) VĚTA. Necht A je grafem implicitně zadané křivky g(x, y) = 0, funkce f je definována na nějaké otevřené množině U obsahující A a platí: 1. f, g mají spojité parciální derivace prvního řádu na U; 2. pro každý bod (x, y) A je bud g q x (x, y) 0 nebo y (x, y) 0. 13
14 Má-li f v bodě P A lokální extrém, pak existuje reálné číslo λ tak, že (f + λg) (P ) = 0, x (f + λg) (P ) = 0. y Důkaz. Za předpokladů předchozí věty se funkce F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) nazývá Lagrangeova funkce a parametr λ Lagrangeův multiplikátor. Tvrzení pak říká, že kritické body P funkce f na A odpovídají kritickým bodům (P, λ) funkce F na nějaké otevřené množině U (tj. grad(f + λg)(p, λ) = 0). Ukážeme použití na příkladě. Necht je A je grafem implicitně zadané křivky g(x, y) = x+y 2, funkce f(x, y) = x 2 +y 2 je definována na otevřené množině U = R 2. Hledáme extrémy f na A. Vidíme, že platí: 1. f, g mají spojité parciální derivace prvního řádu na U; 2. pro každý bod (x, y) A je q y (x, y) 0. Má-li f v bodě P A lokální extrém, pak existuje reálné číslo λ tak, že (f + λg) (P ) = 0, x (f + λg) (P ) = 0, g(p ) = 0. y 14
15 Tedy hledáme bod P = (x, y) A a λ tak, aby (f + λg) (P ) = 0, x (f + λg) (P ) = 0, g(p ) = 0. y Tedy řešíme soustavu Spočteme řešení x = 1, y = 1 a λ = 2. 2x + λ = 0 2y + λ = 0 x + y 1 = 0. Tedy bod, který je podezřelý z nabývání extrému f na A, je bod P = (1, 1). Vzhledem k tomu, že funkce f je na A zdola omezená a není zhora omezená, našli jsme bod absolutního minima. Tedy pro funkci f +λg = x 2 +y 2 2x 2y+2 = (x 1) 2 + (y 1) 2 je bod (1, 1) kritickým. Tak jsme přemístili paraboloid z počátku do (1, 1). Hle hle hle. Zjišt ování, zda v P opravdu lokální extrém nastane, lze opět přenést na zjištění, zda příslušný bod (P, λ) je lokálním extrémem funkce F = f + λg na otevřené množině. 15
16 To je opravdu důležitá informace. Protože derivace podle třetí proměnné funkce F (x, y, λ) v příslušné kvadratické formě vypadnou, dostanou se následující postačující podmínky: VĚTA. Za předpokladů předchozí věty se označí H(h, k) = (h + k) 2 F (P ). V kvadratické formě H se nahradí h nebo k druhou proměnnou z rovnice h g g x (P ) + k y (P ) = 0 a získá se kvadratická forma H(t) = at 2 jedné proměnné. 1. Je-li a > 0, nabývá f v P ostré lokální minimum. 2. Je-li a < 0, nabývá f v P ostré lokální maximum. 3. Je-li a = 0, nelze o lokálním extrému f v P pomocí H rozhodnout. Důkaz. Necht např. g gx(p ) y (P ) 0. Potom h = k g y(p ) a koeficient a z předchozí věty se rovná f xx 2f xy g x (P ) g y (P ) + f yy(p ) g2 x(p ) g 2 y(p ). V následující části bude předpokládáno, že všechny parciální derivace 1.ř. používaných funkcí existují a jsou spojité. Zkoumá-li se funkce tří proměnných, mohou pro vázané extrémy nastat dvě základní situace. Postupy jsou stejné, jako v předchozím případě a podrobnosti budou vynechány. I. Pro extrémy funkce tří proměnných f(x, y, z) na množině A určené rovnicí g(x, y, z) = 0 se hledají extrémy funkce F (x, y, z, λ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z). Předpokladem je nenulovost alespoň jedné z derivací g x, g y, g z v každém bodě A (tj., hodnost 1 matice gradg v každém bodě A). 16
17 Nutnou podmínkou, aby bod P byl lokálním extrémem f na A, je tedy rovnost gradf = 0. Postačující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H dvou proměnných, která vznikne z kvadratické formy tří proměnných H(h, k, l) = (h + k + l) 2 F (P ) dosazením za jednu proměnnou z rovnice h g g g x (P ) + k y (P ) + l z (P ) = 0. Jde o podobnou záležitost jako pro jednu podmínku. Pozor na podobnosti a ochylky! II. Pro extrémy funkce tří proměnných f(x, y, z) na množině A určené rovnicemi g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0 se hledají extrémy funkce F (x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z). Předpokladem je hodnost 2 matice s řádky gradg, gradh v každém bodě A. Nutnou podmínkou, aby bod P byl lokálním extrémem f na A, je tedy rovnost gradf = 0. Postačující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H jedné proměnné, která vznikne z kvadratické formy tří proměnných H(h, k, l) = (h + k + l) 2 F (P ) dosazením za dvě proměnné z rovnic Poznámky 2: h g g g (P ) + k (P ) + l x y z (P ) = 0, h h h h (P ) + k (P ) + l x y z (P ) = 0. 17
18 Úlohy, kde se hledají extrémy funkce splňující nějakou další podmínku, se často nazývají vázané extrémy protože jsou vázané danou podmínkou nebo podmínkami. Při hledání vázaných extrémů je možné v některých případech použít jak Lagrangeových multiplikátorů tak vypočítat z dané podmínky např. y a dosadit do zkoumané funkce (tím se podmínky zbavíte). Není obecně zřejmé, která z obou metod je v daném případě jednodušší. V Příkladech 2 takové situace najdete a můžete ozkoušet obě metody. Někdy bývá vhodné přejít k jiným souřadnicím, např. k polárním nebo sférickým. Mohou se tak značně zjednodušit rovnice křivek, které slouží jako podmínky, za kterých se extrémy hledají. Např. při hledání extrémů funkce xy za podmínky x 2 /8 + y 2 /2 = 1 je vhodné zadat x = 2 2 cos t, y = 2 sin t. Obecně se vyplatí při řešení nespat. Pro vyhledání kritických bodů není vždy nutné zjistit i hodnotu multiplikátoru λ. Pro zjišt ování druhu extrému pomocí kvadratické formy je však hodnota tohoto multiplikátoru potřeba. Geometricky znamená rovnost gradf(p ) = λ gradg(p ), že oba vektory jsou lineárně závislé, (mají stejný nebo opačný směr). Vektor gradg(p ) je směr normály ke křivce nebo ploše určené funkcí g v bodě P. Vektor gradf(p ) je směr největšího spádu na grafu f a současně normála ke křivce nebo ploše určené rovnicí f(x, y) = f(p ), resp. f(x, y, z) = f(p ). Má-li f v P lokální extrém, musí mít tyto vektory stejný nebo opačný směr a tedy křivky g(x, y) = 0, f(x, y, z) = f(p ) mají v P společnou tečnu. 18
19 To je podstata. Nastane dotyk g(x, y) = 0 s vlnoplochou f(x, y, z) = c pro vhodnou hodnotu c. Dík za ten dotyk. Na nalezení bodu nějaké plochy, který je nejblíže počátku, je vidět geometrický význam Lagrangeových multiplikátorů v případě o dimenzi vyšším. Jestliže se postupně zvětšují poloměry λ koulí se středem v počátku, až se koule dotkne plochy v bodě P, dá se očekávat, že tečné roviny obou ploch budou v P stejné. To opět znamená rovnost gradf(p ) = λ gradg(p ). Zkusím to s kopačákem... Konec poznámek 2. Příklady 2: 1. Najděte bod v rovině 2x + y z = 5 nejblíže počátku. Minimalizujete funkci x 2 + y 2 + z 2 při podmínce 2x + y z = 5. Vyjde bod (5/3, 5/6, 5/6). 2. Najděte absolutní extrémy funkce sin x + sin y + sin(x + y) na uzavřeném čtverci [0, π/2] [0, π/2]. (Pokračování příkladu z Příkladů 1.) Uvnitř čtverce je jeden kritický bod (π/3, π/3). Postupně se dosazují části hranice (y = 0, x = π/2, y = π/2, x = 0) a dostanou se kritické body pro hranici čtverce: čtyři vrcholy a body (π/2, π/4), (π/4, π/2). Srovnáním hodnot ve všech získaných bodech se dostane maximum funkce 3 3/2 v bodě (π/3, π/3) a minimum 0 v bodě (0, 0). 3. Najděte lokální a absolutní extrémy funkce x 3 + y 3 3xy na množině {(x, y); 0 x 3, 0 y 2x 2. (Pokračování příkladu z Příkladů 1.) 19
20 Uvnitř množiny existuje jediný kritický bod (1, 1), ve kterém je příslušná kvadratická forma pozitivně definitní a tedy je v tomto bodě lokální minimum s hodnotou -1. Pro hranici y = 0 se dostane rostoucí funkce x 3. Na hranici x = 3 má funkce lokální minimum v bodě 3. Na zbývající hranici má funkce lokální minimum v 3 5/16. Všechny kritické body jsou (0, 0), (3, 0), (3, 18), (1, 1), (3, 3), ( 3 5/16, 2 3 (5/16) 2. Srovnáním hodnot v těchto bodech se dostane absolutní minimum v (1,1) a absolutní maximum v (3,18). Úvahami lze zjistit možnost lokálních extrémů v ostatních bodech. V bodě (0,0) není lokální extrém (funkce je tam na hranici rostoucí) a ani v bodě (3, 3) není lokální extrém (funkce tam klesá směrem k -1 v bodě (1,1) a stoupá směrem k vrcholům podobně v bodě ( 3 5/16, 2 3 (5/16) 2. V bodě (3,0) je lokální maximum. 4. Najděte lokální extrémy funkce x 2 + 2y 2 za podmínky x 2 2x + 2y 2 + 4y = 0. Vyjde lokální minimum v (0,0) a lokální maximum v (2,-2). Jsou to absolutní extrémy? 5. Najděte body na průniku ploch z 2 = x 2 + y 2 s z = 1 + x + y nejblíže počátku. Řešte pomocí Lagrangeových multiplikátorů. (Vyjdou body ( 1 ± 2/2, 1 ± 2/2, 1 ± 2).) 6. Obdélník o obvodu 2s se otáčí kolem jedné strany. Najděte délky jeho stran takové, aby objem vzniklého rotačního tělesa byl největší. (Vyjde (s/3, 2s/3).) Konec příkladů 2. Cvičení 2: Příklad. Nalezněte extrémy funkce f(x, y) = x 2 y 2 na množině U = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Řešení. Vidíme, že funkce f má v počátku sedlový bod. Extrémy na U tedy musí f nabývat na hranici A = U. Nasadíme metodu Lagrangeových multiplikátorů. Označme g(x, y) = x 2 + y 2 1. Tedy A je množina nulových bodů funkce g. Vidíme, že platí: 1. f, g mají spojité parciální derivace prvního řádu na R 2 ; 2. pro každý bod (x, y) B = (A \ {(1, 0), ( 1, 0)}) je q y (x, y) 0. 20
21 Má-li f v bodě P B lokální extrém, pak existuje reálné číslo λ tak, že (f + λg) (P ) = 0, x (f + λg) (P ) = 0, g(p ) = 0. y Tedy hledáme bod P = (x, y) B a λ tak, aby (f + λg) (P ) = 0, x (f + λg) (P ) = 0, g(p ) = 0. y Tedy řešíme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých 2x + λ2x = 0 2y + λ2y = 0 x 2 + y 2 1 = 0. Spočteme řešení jako trojice (x, y, λ), výsledek je (0, 1, 1), (0, 1, 1). Tedy body, které jsou podezřelé z nabývání extrému f na B, jsou body P 1 = (0, 1), P 2 = (0, 1). Podobně můžeme zkoumat chování v bodech (1, 0) a ( 1, 0). Zaměníme proměnné x a y ve větě o implicitních funkcích a dostaneme podezřelé body P 3 = (1, 0), P 4 ( 1, 0). Jako bychom otočili souřadnicové osy. Přesný důkaz toho, které body jsou body ostrého lokálního minima, se zjistí elementární úvahou. Celkově jsme tedy našli dvě lokální minima a dvě lokální maxima na A. Pokud bychom hledali extrémy pouze na B, mohli jsme například v bodě P 1 hledat extrémy funkce f + λg = 2x 2 1. Takto tedy dostaneme body (0, y), v nichž jsou lokální neostré extrémy. To potvrzuje existenci extrémů na B. Obrázek 21
22 ±1 ±0.5 ±0.5 ±1 0.5 ±0.5 ±1 Konec cvic ení
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceGlobální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
VícePoužití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.
V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Vícex 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
VíceNelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VícePříklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VícePoužití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital
V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
Více