Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných"

Transkript

1 Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Ostrava 8

2 Obsah Funkce dvou proměnných. Definice Graf funkce dvou proměnných Limita a spojitost funkce dvou proměnných Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 7. Parciální derivace Geometrický význam parciálních derivací Diferenciál Tečná rovina Implicitní funkce a její derivace Extrémy funkcí dvou proměnných 8. Lokální extrémy Vázané extrémy Globální extrémy

3 Kapitola Funkce dvou proměnných. Definice Definice: Bud M R, M = množina. Funkcí dvou proměnných na M rozumíme každé zobrazení f : M R, M [x, y] z = f (x, y) R. Množinu M nazýváme definičním oborem funkce f a značíme ji D f. Množina R je kartézským součinem množiny R se sebou, tedy R = R R, jejími prvky a také prvky její podmnožiny M jsou tzv. uspořádané dvojice. Poznámka: V analogii s označením používaným pro funkci jedné proměnné, y = f (x), budeme pro označení funkce dvou proměnných používat z = f (x, y). Proměnné x a y budeme nazývat nezávislé proměnné. Proměnnou z budeme nazývat závislou proměnnou. Není-li specifikován definiční obor, automaticky uvažujeme maximální přípustnou podmnožinu v R. Pro funkci tří a případně více proměnných máme zcela analogickou definici, přidáváme v podstatě pouze nezávislé proměnné. Prvek množiny M nazýváme bod z definičního oboru, obvykle se pro jeho označení používají velká písmena, tj. např. A M. Bod A je určen dvěma složkami, A = [x, y ]. Hodnota z = f (A) = f (x, y ) se nazývá funkční hodnota. Princip hledání definičního oboru pro funkci dvou proměnných je zcela analogický jako pro funkci jedné proměnné. Sestavíme a vyhodnotíme jednotlivé omezující podmínky. Příklad : Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce z = Sestavíme omezující podmínky na definiční obor. ln( x) 6 x y. Podmínka x > zaručí existenci logaritmu x <. Jedná se o polorovinu s hraniční přímkou o rovnici x =, která ovšem do definičního oboru nepatří, bude vyznačena čárkovaně. Podmínka 6 x y zajistí existenci druhé odmocniny, podmínka 6 x y = vyloučí možnost dělení nulou. Tyto dvě podmínky se dají sloučit do jediné podmínky, 6 x y > x + y < 4. Jedná se o kruh se středem v počátku a poloměrem 4. Hraniční kružnice do definičního oboru patřit nebude, bude vyznačena čárkovaně. Definičním oborem je pak průnik obou ploch, na obrázku žlutě vyznačená plocha.

4 4 x = x + y = Příklad : Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce z = y sin x. Sestavíme omezující podmínky na definiční obor. Podmínka y sin x zaručí existenci odmocniny. Součin y sin x je nezáporný, když jsou oba činitelé nezáporní, nebo jsou oba nekladní, tedy (y sin x ) (y sin x ). Ještě je nutné vyřešit nerovnici sin x resp. sin x, ptáme se, kdy je funkce sinus nezáporná a kdy je nekladná. sin x x + kπ, π + kπ k Z π π/ π π/ π/ π π/ π sin x x π + kπ, + kπ k Z π π/ π π/ π/ π π/ π π π/ π π/ π/ π π/ π

5 Příklady k procvičení: Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: a) z = x y + 8 x + y b) z = x + y c) z = y d) z = x + y y + x e) z = ln x + ln y f) z = ln(y(x + )) g) z = h) z = 6 x y arcsin x arccos x i) z = ln(xy 4) j) z = y x x y ) k) z = arccos (x + y 9 l) z = cos(x y). Graf funkce dvou proměnných Definice: Grafem funkce dvou proměnných rozumíme množinu G f = {[x, y, z = f (x, y)] [x, y] D f }. Poznámka: Množina G f je podmnožinou v R, G f R. Nejčastěji budeme pracovat s funkcemi, jejichž grafem je nějaká plocha v trojrozměrném prostoru. Nakreslit graf funkce dvou proměnných tzv. v ruce je poměrně obtížné, a často to vůbec není možné. Jednou z možností, kterou máme k dispozici, je využít průsečnice grafu zadané funkce se souřadnicovými rovinami, především s půdorysnou rovinou. K vizualizaci grafů se používá výpočetní technika, existuje řada komerčních i volně šiřitelných programů (Gnuplot, Maple, Matematika, Matlab, Wolfram atd.). Grafem funkce tří proměnných je plocha v R 4, tzv. nadplocha. Nelze ji ovšem graficky znázornit. Definice: Řezy grafu funkce z = f (x, y) rovinami rovnoběžnými s půdorysnou rovinou se nazývají vrstevnice. Vrstevnicovým grafem rozumíme průměty vrstevnic do půdorysné roviny z =. Vrstevnice je množina bodů se stejnou funkční hodnotou. S vrstevnicemi se můžeme setkat především na turistických mapách, kde vrstevnice (obvykle šedé křivky) reprezentují množiny bodů se stejnou nadmořskou výškou. Na obrázku se nachází turistická mapa okolí Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava.

6 Příklad : Nalezněte vrstevnicový graf funkce z = Dosadíme do zadané funkce z = k, kde k R, tedy k = 5x x + y + x + y + = 5x k 5x x + y +. x 5x k + y + = Výraz x 5x k jsme doplnili na úplný čtverec, x 5x ( k = x 5 ) 5 k 4k. Nyní je třeba diskutovat konkrétní hodnoty k.. Pro k = (řez grafu funkce z půdorysnou rovinou) dostáváme = osa y. ( x 5 ) + y 5 k 4k + =. 5x x + y + x =, vrstevnicí je (. Pro k = dostáváme x 5 ) + y = 5. Vrstevnicemi budou kružnice pouze v případě, kdy k 4k pravá strana rovnice bude větší než. 5 4k > 5 4k > 5 > 4k k < 5 4 k < 5 k ( 5 ) (,, 5 ). Pro k = ± 5 platí (x ± ) + y =. Jedná se o dvě singulární kružnice (body). Vrstevnicemi jsou dva body, [, ] a [, ]. 4 4 k = k = ± 5 k = ± 5 4 k = ± 5 6 k = ± 5 8 z x y Hledáme průniky grafu funkce s rovinami rovnoběžnými s půdorysnou rovinou, tj. dosazujeme z = k, k R. Číslo k je možné volit libovolně. Ovšem může se stát, že při nevhodné volbě se plochy neprotnou Příklady k procvičení: Sestrojte vrstevnicový graf funkce: a) z = x + y 4 b) z = y x + 4

7 . Limita a spojitost funkce dvou proměnných Limita s spojitost funkce dvou proměnných je definována úplně stejně, jako v případě funkcí jedné proměnné. Definice: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v hromadném bodě P = [x, y ] limitu a R, jestliže ɛ > existuje δ > takové, že X Oδ(P) platí f (X) a < ɛ. Pojem okolí bodu je zobecněn, v případě funkcí jedné proměnné se jedná o otevřený interval, pro funkce dvou proměnných se jedná o otevřený kruh (kruh bez hraniční kružnice). Okolí Oδ(P) je tzv. deltové prstencové okolí v bodě P, jedná se o otevřený kruh se středem v bodě P bez bodu P o poloměru δ. Definice: Bud U R, bod P R se nazývá hromadný bod množiny U, jestliže každé jeho prstencové okolí O(P) má s množinou U neprázdný průnik, O(X) U =. y Y U X Z x Body X a Y jsou hromadné body množiny U. Bod Z není hromadným bodem množiny U. V případě funkcí jedné proměnné vyšetřujeme chování funkce (počítáme limitu) na levé resp. pravé části okolí (otevřeného intervalu). Zkoumáme pouze dva případy. Problém u funkcí dvou proměnných je ten, že k limitnímu bodu se můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby. Limity funkcí dvou proměnných řešíme většinou přímým dosazením limitního bodu. Řeší se spíše jiný typ úlohy, dokazuje se, že limita v daném bodě neexistuje. Používaná notace: lim f (X) = a, lim X P f (x, y) = a. [x,y] [x,y ] Definice: Řekneme, že funkce z = f (x, y) je spojitá v bodě P = [x, y ] D f, jestliže platí lim f (x, y) = f (x, y ). [x,y] [x,y ] Funkce je spojitá v bodě, jestliže existuje limita v tomto bodě, kterou určíme přímým dosazením limitního bodu, tj. jako funkční hodnotu v tomto bodě. Funkce je spojitá, je-li spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Příklad 4: Vypočítejte limitu funkce z = v bodě [, ] neexistuje. Řešíme první část úlohy, y(x + ) x + v bodě [, ] a dokažte, že limita funkce z = x + x xy + y yx + y lim [x,y] [,] x + = = lim [x,y] [,] y(x + ) (x + )(x x + ) = lim [x,y] [,] y x x + =. 5

8 Ve druhé části úlohy musíme dokázat, že limita neexistuje. Na rozdíl od funkcí jedné proměnné, kdy se k limitnímu bodu můžerme blížit pouze ze dvou stran (zleva a zprava), v případě funkcí dvou i více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby. Limita neexistuje v případě, že její hodnota závisí na volbě přibližování, či se pro různé volby přibližování mění. Pokud ovšem limita na konkrétní volbě přibližování nezávisí, pak to ještě neznamená, že existuje. Zkusme se k limitnímu bodu blížit po přímkách prochazejících počátkem, tj. volíme y = kx, k R. Dosadíme y = kx do funkce z = x + x xy + y, x + x lim [x,y] [,] xy + y = y=kx = lim x x + x kx + kx = lim x x + x k(x + x) = lim x k, limita závisí na parametru k, pro různé volby parametru k vyjde různě. Tzn. limita funkce z = x + x xy + y v bodě [, ] neexistuje. z y - R \{[, ]} Příklady k procvičení: Vyřešte: z = yx + y x + [, ] x z z = x + x xy + y y = x = x - y R xy + x y a) lim [x,y] [,] x b) lim [x,y] [ π, 5π 6 ] sin(x + y) x + c) lim [x,y] [,4] y(x + ) 6

9 Kapitola Diferenciální počet funkcí dvou proměnných. Parciální derivace Definice: Řekneme, že má funkce z = f (x, y) parciální derivaci podle x (prvního řádu) v bodě A = [x, y ], jestliže existuje vlastní limita (A) = lim x h Analogicky definujeme parciální derivaci podle y, (A) = lim h f (x + h, y ) f (x, y ). h f (x, y + h) f (x, y ). h V obou případech se počítá limita z funkce proměnné h, h se mění, zbytek je fixován. Jedná se tedy o limitu funkce jedné proměnné. Poznámka: Označení parciálních derivací: z (A), x x (A), f x(a), f x(a), atd. Parciální derivace v obecném bodě, tj. x resp. jsou opět funkce dvou proměnných. Zcela analogicky se definují parciální derivace funkce tří a více proměnných. Když určujeme parciální derivaci podle x, pak vše co není x ve funkci z = f (x, y) chápeme jako konstantu. Tzn. derivujeme takovou funkci jako funkci jedné proměnné, proměnné x. U parciálních derivací podle y postupujeme stejně, co není y chápeme jako konstantu. Počítat parciální derivace funkce dvou proměnných znamená ve skutečnosti výpočet derivací funkcí jedné proměnné. Pro derivování používáme stejné formule a pravidla jako v případě funkcí jedné proměnné.. (c) = 8. (cos x) = sin x u = u(x) v = v(x). (x n ) = nx n 9. (tan x) = cos x. (e x ) = e x. (cot x) = sin x 4. (a x ) = a x ln a. (arcsin x) = x 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a. (arccos x) = x 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v. (arctan x) = + x 9. [u(v)] = u (v) v 7. (sin x) = cos x 4. (arccot x) = + x v 7

10 Věta: Necht existují parciální derivace funkcí dvou proměnných f a g podle jednotlivých proměnných x = x a y = x na Q D f D g v bodě X = [x, x ]. Pak platí pro každé i =,, ( f ± g)(x) = (X) ± g (X), x i x i x i ( f g)(x) = (X) g(x) + f (X) g (X), x i x i x i x i ( ) f g (X) = x (X) g(x) f (X) g i g (X) x (X) i.. Geometrický význam parciálních derivací Geometrický význam parciálních derivací je úplně stejný, jako v případě obyčejné derivace funkce jedné proměnné. Jedná se o směrnici tečny sestrojené v daném bodě. Rovina σ určená rovnicí y = y je rovnoběžná s rovinou xz (rovina xz je určena rovnicí y = ). Průnikem roviny σ s grafem funkce z = f (x, y) je křivka κ. Parciální derivace x (A), A = [x, y ], je směrnice tečny (tan α) t κ ke křivce κ v bodě A = [x, y, z = f (x, y )]. Rovina ν určená rovnicí x = x je rovnoběžná s rovinou yz (rovina yz je určena rovnicí x = ). Průnikem roviny ν s grafem funkce z = f (x, y) je křivka λ. Parciální derivace (A), A = [x, y ], je směrnice tečny (tan β) t λ ke křivce λ v bodě A = [x, y, z = f (x, y )]. z ν σ A = [x, y, z ] x κ y A = [x, y ] λ t λ β y t κ α x Poznámka: Parciální derivace druhého a vyšších řádů jsou definovány pomocí parciálních derivací prvního řádu. Definice: Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: f x = ( ), x x = ( ), f x = ( ), x f x = ( ). x 8

11 Věta: (Schwarzova věta) Jsou-li smíšené parciální derivace x, f x spojité v bodě A = [x, y ], pak jsou si v tomto f bodě rovny, x (A) = x (A). Příklad 5: Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = x sin (xy ) v bodě [π, ]. Parciální derivace prvního řádu počítáme vzhledem k jednotlivým proměnným funkce z. Funkce z je funkcí dvou nezávislých proměnných, proměnné x a y. Parciální derivace tedy budeme počítat jak podle proměnné x, tak i podle proměnné y. Vzhledem k definici parciální derivace budeme postupovat tak, že s proměnnou, podle které se nederivuje, budeme pracovat jako s konstantou. To ale v konečném důsledku znamená, že ve funkci z zůstane pouze jedna nezávislá proměnná. Funkce z se stává funkcí jedné proměnné. Takovou funkci již umíme snadno zderivovat. Parciální derivace z funkce z podle proměnné x: x Funkci z derivujeme podle x, proto s proměnnou y budeme pracovat jako s konstantou. Úkolem je derivovat součin dvou funkcí proměnné x, funkce x a složené funkce sin (xy ), kterou derivujeme po jednotlivých složkách v pořadí: druhá mocnina, sinus, xy ; ve výrazu xy je y konstanta v součinu a proto se derivuje pouze x. z x = x (x ) sin (xy ) + x x (sin (xy )) = x sin (xy ) + x sin(xy ) cos(xy ) y = x sin (xy ) + x y sin(xy ) cos(xy ). Parciální derivace z funkce z podle proměnné y: Derivujeme zcela analogicky, v tomto případě budeme jako s konstantou pracovat s proměnnou x, derivujeme tedy složenou funkci; x je konstanta v součinu, proto se derivuje podle y pouze druhý činitel jako složená funkce v pořadí: druhá mocnina, sinus, xy ; ve výrazu xy je x konstanta v součinu a proto se derivuje pouze y, z = x z (sin (xy )) = x sin(xy ) cos(xy ) xy = 4x y sin(xy ) cos(xy ). Parciální derivace jsou opět funkce dvou proměnných a snadno je vyčíslíme na zadaném bodě přímým dosazením: z z (π, ) =, x (π, ) =. Příklad 6: Určete parciální derivace druhého řádu funkce z = x y v bodě [, ]. Nejdříve určíme parciální derivace prvního řádu, derivace podle x, derivujeme mocninou funkci derivace podle y, derivujeme exponenciální funkci z x z = yx y = x y ln x K určení parciálních derivací druhého řádu je třeba parciální derivace prvního řádu (opět se jedná o funkce dvou proměnných) derivovat jak podle x, tak i podle y, z x = x z x = z x = x z = ( ) z x ( ) z x ( ) z ( ) z = x (yxy ) = y(y )x y, = (yxy ) = x y + yx y ln x, = x (xy ln x) = yx y ln x + x y x, = (xy ln x) = x y ln x ln x = x y ln x. 9

12 Zdůrazněme, že v případě spojitých funkcí se spojitými parciálními derivacemi se smíšené parciální derivace podle Schwarzovy věty rovnají. Vskutku: z x = yxy ln x + x y x = yxy ln x + x y x = yx y ln x + x y = x y + yx y ln x = z x. Opět zbývá jednoduché vyčíslení parciálních derivací druhého řádu přímým dosazením zadaného bodu [, ], z (, ) =, x z (, ) =, x z (, ) =, x z (, ) =. 4 z Příklad 7: Určete parciální derivaci x funkce z = x e y + sin(xy ). Derivujeme funkci z postupně podle jednotlivých proměnných. Nejdříve derivujeme podle x, poté ještě jednou podle x a pak postupně dvakrát podle y. z x = 4xey + cos(xy ) y = 4xe y + y cos(xy ) z x = 4ey + y ( sin(xy ) y ) = 4e y y 4 sin(xy ) z x = 4ey [4y sin(xy ) + y 4 cos(xy ) xy] = 4e y 4y sin(xy ) xy 5 cos(xy ) 4 z x = 4ey [y sin(xy ) + 4y cos(xy ) xy] [xy 4 cos(xy ) + xy 5 ( sin(xy ) xy)] = 4e y y sin(xy ) 8xy 4 cos(xy ) xy 4 cos(xy ) + 4x y 6 sin(xy ) = 4e y y sin(xy ) 8xy 4 cos(xy ) + 4x y 6 sin(xy ) Příklady k procvičení: Nalezněte parciální derivace prvního řádu: a) z = x + y b) z = sin(x + y) c) z = (x + )y(x + ) d) z = xy + x y x xy e) z = ln(x y ) f) z = tan(ln(xy)) g) z = x x v bodě [, ] + y h) z = (x + y) x y v bodě [, ] i) z = ln arctan x v bodě [, ] y x Příklady k procvičení: Nalezněte parciální derivace druhého řádu: a) z = cot(x + y) y c) z = x b) z = xe (y+) d) z = x ln y v bodě [, ] e) z = ye xy v bodě [, ] Příklady k procvičení: Vypočítejte parciální derivaci 4 f x funkce z = ln(x + y).

13 . Diferenciál Definice: Řekneme, že funkce z = f (x, y) je v bodě A = [x, y ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na okolí bodu A vyjádřit jako z = f (x + h, y + k) f (x, y ) = Ah + Bk + ρτ(h, k), kde A a B jsou konstanty, ρ = h + k a lim [h,k] [,] τ(h, k) =. Funkce z = f (x, y) se nazývá diferencovatelná, je-li diferencovatelná v každém bodě svého definičního oboru. Věta: Je-li funkce z = f (x, y) diferencovatelní v bodě A, pak v bodě A existují parciální derivace prvního řádu a platí A = x (A), B = (A). Poznámka: Číslo h představuje přírůstek na ose x, k je přírůstek na ose y a bývá zvykem tyto přírůstky značit h = dx resp. k = dy. Pro přírůstek na ose z v bodě A při známé hodnotně dx a dy pak dostáváme z = x (A)dx + (A)dy + ρτ(dx, dy). Definice: Je-li funkce z = f (x, y) diferencovatelná, nazývá se výraz diferenciál funkce z = f (x, y). dz = d f (x, y) = x dx + dy Věta: Je-li funkce z = f (x, y) diferencovatelná v bodě A, pak je v tomto bodě spojitá. Věta: Jsou-li parciální derivace prvního řádu funkce z = f (x, y) spojité v A, pak je funkce z = f (x, y) v bodě A diferencovatelná (a tedy i spojitá). Poznámka: Diferenciál funkce z = f (x, y) dz = x dx + dy. Diferenciál funkce z v bodě A = [x, y ] dz(a) = x (A) (x x ) + (A) (y y ). Diferenciál funkce z v bodě A = [x, y ] při známých přírůstcích dx, dy, Diferenciál druhého řádu funkce z = f (x, y) Přibližný výpočet funkčních hodnot dz(a)(dx, dy) = (A) dx + (A) dy R x d z = x dx + x dxdy + dy f (x, y) f (x, y ) + d f (x, y )(dx, dy)

14 Geometrický význam diferenciálu Diferenciál funkce z = f (x, y) v bodě A při známých přírůstcích dx a dy je přírůstek na tečné rovině ke grafu funkce f v bodě A. z f (A)(dx, dy) X = [x, y, z] z = f (x, y) X = [x, y, z] τ A = [x, y, z ] d f (A)(dx, dy) y dy = y y y y dx = x x x A = [x, y ] x x X = [x, y] Příklad 8: Vypočítejte diferenciál funkce z = f (x, y) = xy v bodě A = [, ]. Určete přibližně hodnotu f (, 4;, 99). Nejdříve určíme parciální derivace prvního řádu podle proměnných x a y, Sestavíme diferenciál funkce z, Dosadíme do diferenciálu dz bod A, dz = x = y xy, = x xy. y xy dx + x xy dy = (ydx + xdy). xy dz(a) = dz(, ) = ((x ) + (y )) = Všimněme si, že diferenciál v bodě je lineární funkce dvou proměnných. Pro přibližný vypočet funkčních hodnot použijeme vztah Určíme přírustky od bodu A = [, ] k bodu [, 4;, 99], f (x, y) f (x, y ) + d f (x, y )(dx, dy). (x + y 4). 4 dx = x x =, 4 =, 4; dy = y y =, 99 =,. Vypočteme funkční hodnotu f (A) = f (, ) = a určíme hodnotu diferenciálu dz(a)(dx, dy) při známých přírustcích, dz(a)(dx, dy) = dz(, )(, 4;, ) = (, 4, ) =, = =. Přibližná hodnota funkce f (, 4;, 99) pak bude f (, 4;, 99) f (A) + d f (A)(dx, dy) = + = ( + ).

15 Příklad 9: Vypočítejte diferenciál druhého řádu funkce z = f (x, y) = x + y x y. Nejdříve určíme parciální derivace prvního řádu podle proměnných x a y, (x y) (x + y) = x (x y) = y (x y), (x y) (x + y) ( ) = (x y) = x (x y). Určíme parciální derivace druhého řádu f x = ( ) = x x x ( y(x y) ) = y( )(x y) = 4y (x y), f x = ( ) = ( ) y x (x y) = (x y) ( y)(x y) ( ) (x + y) (x y) 4 = (x y), f x = ( ) = ( ) x x x (x y) = (x y) x (x y) (x + y) (x y) 4 = (x y), f = ( ) = (x(x y) ) = x( )(x y) ( ) = 4x (x y). Sestavíme diferenciál druhého řádu d 4y z = (x y) dx 4 x + y 4x dxdy + (x y) (x y) dy = 4 (x y) (ydx (x + y)dxdy + 4xdy ). Příklady k procvičení: Vypočítejte diferenciál funkce: a) z = tan(x + y ) x b) z = log(x + y) c) z = (x + y ) sin(xy) d) z = e x y 4 v bodě [, ] e) z = arcsin y v bodě [, ] x + Příklady k procvičení: Určete přibližně hodnotu funkce z = xy v bodě [, 8;, 99]. Příklady k procvičení: Vypočítejte diferenciál druhého řádu funkce: a) z = xy x + y b) z = sin(5x + y)

16 .4 Tečná rovina Věta: Necht je funkce z = f (x, y) diferencovatelná v bodě A = [x, y ]. Pak v bodě A = [x, y, z = f (x, y )] existuje tečná rovina ke grafu funkce z = f (x, y) určená rovnicí τ : z z = x (A)(x x ) + (A)(y y ). Přímka n kolmá k tečné rovině procházející bodem A se ( nazývá normála grafu funkce z = f (x, y). Její směrový vektor je kolineární s normálovým vektorem roviny, s n = n = x (A), ). (A), Věta: Normála ke grafu funkce z = f (x, y) v bodě A je určena parametrickými rovnicemi n : x = x + x (A)t, y = y + (A)t, z = z t t R Věta: Necht je funkce z = f (x, y) na okolí bodu A D f alespoň (m + )-krát spojitě diferencovatelná. Pak v bodě X O(A) platí f (X) = f (A) + d f (A)! + d f (A)! + + dm f (A) m! R m = dm+ f (A + κ(x A)), κ (, ). (m + )! + R m, kde Definice: Výraz z předchozí věty nazýváme Taylorovým rozvojem funkce f na okolí bodu A. Hodnota R m se nazývá Lagrangeův zbytek Taylorova rozvoje. Polynom T m (X) = f (A) + d f (A)! + d f (A)! + + dm f (A) m! se nazývá Taylorův polynom m-tého řádu funkce f v bodě A. Je-li A = [, ], hovoříme o MacLaurionovu polynomu. Příklad : Nalezněte tečnou rovinu a normálu ke grafu funkce z = f (x, y) = x y x v bodě A = [,,?]. Bod A je bod dotyku, x =, y =, určíme jeho z-ovou složku, z = f (x, y ) = f (, ) =. Vypočítáme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A = [, ], x = x, = y, a tyto funkce dvou proměnných vyčíslíme na bodě A = [, ], Sestavíme rovnici tečné roviny rovnici převedeme na obecný tvar x (A) =, =. τ : z + = (x ) (y ), τ : x + y + z + =. Pro parametrické rovnice normály dostáváme x = t n : y = t, t R z = t 4

17 Příklad : Nalezněte Taylorův polynom druhého řádu funkce z = f (x, y) = x xy + y + x y + v bodě A = [, ]. Určíme hodnoty f (A), d f (A) a d f (A). Poté dosadíme do formule pro Taylorův polynom druhého řádu. Bod A = [x, y ] = [, ]. f (A) = 5 d f (A) = (4x y + ) [,] (x ) + ( x + 6y ) [,] (y ) = 4(x ) + 4(y ) = 4x + 4y 8 d f (A) = 4 [,] (x ) + ( ) [,] (x )(y ) + 6 [,] (y ) = 4x 8x + 4 xy + x + y + 6y y + 6 = 4x xy + 6y 6x y + 8 4x + 4y 8 T (A) = x xy + 6y 6x y + 8!! = 5 + 4x + 4y 8 + x xy + y x 5y + 4 = x xy + y + x y + Příklady k procvičení: a) Nalezněte tečnou rovinu τ a normálu n ke grafu funkce z = ln(x y) v bodě A = [,,?]. b) Nalezněte tečnou rovinu τ a normálu n ke grafu funkce z = x + xy + v bodě A = [, 4,?]. c) Nalezněte Taylorův polynom druhého řádu funkce z = x y + 4xy + x v bodě A = [, ]. d) Nalezněte Taylorův polynom druhého řádu funkce z = ln v bodě A = [, ]. xy.5 Implicitní funkce a její derivace Definice: Bud z = F(x, y) funkce dvou proměnných. Uvažujme křivku M = {[x, y] D F F(x, y) = }. Necht A = [x, y ] M je bod, O δ (A) R je deltové okolí bodu A, δ >. Jestliže je rovnicí F(x, y) = na intervalu (x δ, x + δ) určena funkce y = f (x) taková, že platí F(x, f (x)) = x (x δ, x + δ), pak říkáme, že funkce f je na okolí bodu A definována implicitně rovnicí F(x, y) =. y [x, f (x )] y = x x δ x x + δ x δ x x + δ x [x, f (x )] y = x 5

18 Na obrázku je kružnice se středem v počátku a poloměrem, x + y = y = x y = x, x,. Na intervalu (, ) jsou rovnicí určeny dvě implicitní funkce, y = x (horní půlkružnice) a y = x (spodní půlkružnice). V bodech [, ] a [, ] implicitní funkce neexistuje, každé okolí těchto bodů obsahuje body jak horní, tak spodní půlkružnice. Poznámka: Ne ke každé rovnici F(x, y) = existuje jediná implicitní funkce. Věta: Necht je funkce z = F(x, y) je spojitá na okolí bodu A = [x, y ] a F(A) =. Necht F má v A spojitou parciální derivaci (A) a platí (A) =. Pak existuje okolí bodu A, na kterém je rovnicí F(x, y) = definována jediná spojitá implicitní funkce y = f (x). Poznámka: Podmínka na nenulovost parciální derivace funkce F je pouze podmínkou postačující pro existenci implicitní funkce. Z rovnice y x = plyne F(x, y) = y x a v bodě [, ] platí F (, ) = y [,] =. Přesto na okolí bodu [, ] existuje jediná implicitní funkce y = x. Derivace implicitní funkce Věta: Necht jsou splněny předpoklady předchozí věty. Necht existují spojité parciální derivace funkce F. Pak má implicitní funkce f, která je na okolí bodu A dána rovnicí F(x, y) =, derivaci f v bodě x a platí f (x ) = F x (A). F (A) Věta: Tečna t resp. normála n k implicitní funkci y = f (x) dané rovnicí F(x, y) = v bodě A je určena rovnicí t : F x (A)(x x ) + F (A)(y y ) =, n : F (A)(x x ) F x (A)(y y ) =. Příklad : Oběma způsoby nalezněte derivaci implicitní funkce dané rovnicí x + y + y xy = v bodě A = [, ]. V našem případě platí Určíme parciální derivace Jedná se o spojité funkce, navíc F(x, y) = x + y + y xy. F x = x y, F = + y x. F (A) = + y x A=[, ] = =. Derivace implicitní funkce tedy existuje a je jediná. Dosadíme do formule pro derivaci implicitní funkce v bodě A = [x, y ] = [, ], f () = x y [, ] + y x [, ] = 5 = 5. Druhý způsob spočívá v předpokladu, že v rovnici F(x, y) = budeme předpokládat závislost y = y(x). Tzn., že v této rovnici zustává pouze jediná nezávislá proměnná, a to x. Rovnici poté derivujeme podle x, zvlášt pravou i levou stranu rovnice, d dx (x + y + y xy = ) x + y + yy y xy =. 6

19 Z rovnice vyjádříme y y + yy xy = x + y y ( + y x) = x + y y = x + y + y x = x y + y x. Kde se v rovnici po derivaci vzalo y? Musíme si uvědomit, že y závisí na x, y = y(x). Nevíme ale, jak konkrétně ta závislost vypadá. Derivujeme tedy pouze formálně, tj. nad y napíšeme čárku. Funkci y musíme ovšem derivovat jako složenou funkci, máme nějakou y závislost na x, na kterou působí druhá mocnina. Derivujeme nejdříve vnější složku (druhou mocninu) v tom samém bodě (v y) a poté násobíme derivací vnitřní funkce, derivací y podle x, což je formálně y. Výraz xy musíme derivovat jako součin dvou funkcí proměnné x. Příklad : Nalezněte tečnu a normálu k implicitní funkci y = f (x) dané rovnicí e xy = x + y v bodě A = [, ]. V našem případě je funkce F dána F(x, y) = e xy x y. Určíme parciální derivace funkce F v bodě A = [x, y ] = [, ], F x (A) = yexy [,] =, F (A) = xexy [,] =. Sestavíme rovnici tečny t ke grafu implicitní funkce, t : (x ) y = y = x +. Sestavíme rovnici normály n ke grafu implicitní funkce, n : (x ) + y = y = x. t n F(x, y) = Příklady k procvičení: a) Oběma způsoby nalezněte derivaci implicitní funkce dané rovnicí x + y + y xy =. b) Oběma způsoby nalezněte derivaci implicitní funkce dané rovnicí cot(y) = x y. c) Oběma způsoby nalezněte derivaci implicitní funkce dané rovnicí xy x+y = 4 v bodě A = [, ]. d) Nalezněte tečnu a normálu k implicitní funkci y = f (x) dané rovnicí x + y = v bodě A = [, ]. x y e) Nalezněte tečnu a normálu k implicitní funkci y = f (x) dané rovnicí xy = y ln + x ln v bodě A = [, ]. 7

20 Kapitola Extrémy funkcí dvou proměnných. Lokální extrémy Definice: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A D f lokální maximum, jestliže existuje okolí O(A) D f bodu A takové, že X O(A) platí f (X) f (A). Platí-li f (X) f (A), hovoříme o lokálním minimu v bodě A. V případě ostrých nerovností hovoříme o ostrém lokálním maximu resp. minimu. Definice: Řekneme, že bod A D f je stacionárním bodem funkce f, jestliže (A) =, x f (A) =. Fermatova věta - nutná podmínka existence extrému Věta: Necht má funkce f v bodě A lokální extrém a necht v A existují všechny parciální derivace prvního řádu. Pak je bod A stacionárním bodem funkce f. Poznámka: Fermatova věta nevylučuje možnost existence extrému v bodě, který není stacionárním bodem funkce f, protože některá z parciálních derivací neexistuje. Podmínka pro stacionární body je ekvivalentní s podmínkou d f (A) =, platí-li ovšem, že d f (A) =, pak lokální extrém v A neexistuje. Věta: Necht existují alespoň spojité parciální derivace druhého řádu funkce f ve stacionárním bodě A, pak platí-li d f (A) <, funkce f má v bodě A ostré lokální maximum, d f (A) >, funkce f má v bodě A ostré lokální minimum. Postačující podmínka pro existenci extrému Věta: Necht je funkce f na okolí bodu A dvakrát spojitě diferencovatelná. Necht A je stacionární bod. Jestliže pak má funkce f v A ostrý lokální extrém. Platí-li navíc ( D = x (A) (A) ) f x (A) >, D = (A) <, funkce f má v bodě A ostré lokální maximum, x D = (A) >, funkce f má v bodě A ostré lokální minimum. x Poznámka: Jestliže D =, nelze o existenci lokálního extrému rozhodnout. Toto lze v některých případech vyřešit prověřením lokálního chování funkce f na okolí bodu A. 8

21 Příklad 4: Nalezněte lokální extrémy funkce z = e x y (y + x ). Definičním oborem funkce z je množina R. Určíme parciální derivace prvního řádu a sestavíme rovnice pro stacionární body, x = e x y ( x)(y + x ) + e x y x = xe x y (y + x ) =, = e x y ( y)(y + x ) + e x y 4y = ye x y (y + x ) =. Exponenciální funkce e x y je kladná, tedy nikdy nemůže nabýt nulové hodnoty a lze ji z rovnic pro stacionární body vykrátit. Rovnice přejdou na tvar x(y + x ) =, y(y + x ) =. Předpokládejme nejdříve, že x =. Ze druhé rovnice y(y ) = dostaneme řešení y = a y = ±. Obdržíme tři různé stacionární body, A = [, ], A = [, ] a A = [, ]. Ve druhé rovnici předpokládejme, že y =. Z první rovnice x(x ) = dostaneme řešení x = a x = ±. Bod [, ] již máme vypočítaný, přibyly další dva nové stacionární body, bod A 4 = [, ] a A 5 = [, ]. Pokud x = i y =, řešíme následující soustavu rovnic, y + x =, y + x =. Pokud obě rovnice od sebe odečteme, dostaneme rovnici =, ale se nikdy nerovná. Soustava nemá žádné řešení. Určili jsme celkem pět stacionárních bodů: A = [, ], A = [, ], A = [, ], A 4 = [, ], A 5 = [, ]. Určíme matici druhých parciálních derivací a vyhodnotíme ji na jednotlivých stacionárních bodech A i, i =,,, 4, 5, ( ) (( + 4x )(y + x ) 4x )e x y 4xye x y (y + x ) Q = 4xye x y (y + x ) (( + 4y )(y + x ) 8y, )e x y ) ) Q(A ) = ( ) 4, Q(A ) = ( e 8 e, Q(A ) = ( e 8 e, Q(A 4 ) = ( ) 4 e e, Q(A 5 ) = ( ) 4 e e. V následující tabulce uvádíme souhrnný přehled klasifikace extrémů v jednotlivých bodech: Stacionární bod A i D D extrém o hodnotě z = f (A i ) A = [, ] > 8 > ostré lokální minimum z = A = [, ] e < 6 e > ostré lokální minimum z = e A = [, ] e < 6 e > ostré lokální minimum z = e A 4 = [, ] 4 e < 8 < e extrém neexistuje A 5 = [, ] 4 e < 8 e < extrém neexistuje A = [,, ] e A = [,, ] e A = [,, ]

22 Příklad 5: Nalezněte lokální extrémy funkce z = f (x, y) = sin x + cos y + cos(x y), x, y π. Určíme parciální derivace prvního řádu a sestavíme rovnice pro stacionární body, Ze druhé rovnice dostáváme = cos x sin(x y) =, x sin(x y) = sin y. f = sin y + sin(x y) =. Protože jak x, tak y patří do intervalu, π, bude rozdíl x y patřit do intervalu π, π. Nicméně funkce sinus je jak na intervalu, π, tak i na intervalu π, π prostá, to ale znamená, že existuje funkce inverzní, arkussinus, kterou lze aplikovat na druhou rovnici, arcsin(sin(x y) = sin y) arcsin(sin(x y)) = arcsin(sin y) x y = y y = x. Tuto rovnici dosadíme do první rovnice, cos x sin(x y) = cos x sin ( x x ) = cos x sin x =. Využijeme goniometrické identity cos x = cos x sin x a cos x = sin x, cos x sin x sin x = sin x sin x sin x = sin x + sin x =. Použijeme substituci sin x = t, sin x + sin x = t + t = t =, t =. Vzhledem k omezení x na interval, π záporné řešení neuvažujeme, sin x = k = x, sin k = k = π 6 x = π y = π 6 stacionární bod A = [ π, π 6 Určíme matici druhých parciálních derivací a vyhodnotíme ji na bodě A, ( ) sin x cos(x y) A cos(x y) A Q(A) = = cos(x y) A cos y cos(x y) A Určíme determinanty D a D, D =, D = 9 4. ( ). Protože D >, v bodě A = [ π, π ] 6 extrém existuje. Protože D <, má funkce z = f (x, y) = sin x + cos y + cos(x y) v bodě A = [ π, π ] 6 ostré lokální maximum z =. ]. z A = [ π, π 6, ] y.5 π 6 A.5 π x.5

23 Příklady k procvičení: Nalezněte lokální extrémy funkce: a) z = x + 6x + y y + b) z = xy x + y c) z = x xy + x + y + d) z = (x + 4x)y + y.. Vázané extrémy Definice: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A = [x, y ] lokální extrém vázaný podmínkou g(x, y) =, jestliže X O(A) D f, které vyhovují uvedené podmínce. Platí Geometrický význam vázaných extrémů f (X) f (A), funkce f má v bodě A vázané lokální maximum, f (X) f (A), funkce f má v bodě A vázané lokální minimum. Vázaný extrém může nastat pouze v bodech z definičního oboru funkce f, které leží na křivce g(x, y) =. Těmto bodům odpovídají body na ploše z = f (x, y), které tvoří prostorovou křivku κ, průsečnici plochy s válcovou plochou g(x, y) =. Z geometrického hlediska se jedná o lokální extrémy prostorové křivky. z A κ g(x, y) = A y x Lagrangeova metoda Věta: Bud dána funkce z = f (x, y) a podmínka g(x, y) =. Jestliže má funkce Φ(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y), λ R, ve svém stacionárním bodě lokální extrém, má i funkce f v tomto bodě lokální extrém vázaný podmínkou g(x, y) =. Poznámka: Funkce Φ se nazývá Lagrangeova funkce, číslo λ Lagrangeův multiplikátor. Stacionární body určíme jako řešení soustavy lineárních rovnic, Φ x =, Φ =, g(x, y) =. Pokud lze jednoznačně z rovnice vyjádřit y = ϕ(x) resp. x = ψ(y), pak vázané lokální extrémy hledáme jako lokální extrémy funkce z = f (x, ϕ(x)) resp. z = f (ψ(y), y).

24 Příklad 6: Nalezněte vázané extrémy funkce z = f (x, y) = 4x + y + 5 vzhledem k podmínce x y =. Určíme nejdříve definiční obor funkce z, funkce z bude existovat, pokud bude výraz pod odmocninou nezáporný, tj. 4x + y + 5 x 4 y 5 4. y 4x 5 4 A Z rovnice vazby x y = lze jednoznačně vyjádřit jak y, tak x. Vyjádříme y, y = x. Dosadíme vazbu do předpisu funkce z, z = 4x + (x ) + 5 = 4x + 4x x = 4x 8x + 4, dostaneme funkci jedné proměnné z = z(x, ϕ(x)) (proměnné x) a snadno se přesvědčíme, že D z = R. Určíme první derivaci, poté ji položíme rovnu nule a dostaneme rovnici pro stacionární body této funkce, z = dz dx = 8x 8 4x 8x + 4 = 4x 4 = 4x 4 = x =. 4x 8x + 4 Definičním oborem první derivace je D z = R. Na intervalu (, ) je první derivace z <, funkce z je na tomto intervalu klesající. Na intervalu (, ) je první derivace z >, tzn. funkce z je na tomto intervalu rostoucí. Ve stacionárním bodě x = se mění znaménko první derivace z na + což znamená, že v bodě x = má funkce z lokální minimum. Dosadíme bod x = do rovnice vazby, dostáváme y =. Snadno ověříme, že bod A patří do definičního oboru funkce z = 4x + y + 5, viz. obrázek vpravo. Funkce z = 4x + y + 5 má v bodě A = [, ] vázané lokální minimum z = f (, ) =. Zcela analogicky budeme postupovat v případě, kdy lze z rovnice vazby vyjádřit jednoznačně x. Příklad 7: Nalezněte vázané extrémy funkce z = f (x, y) = 8x + 6y 5 vzhledem k podmínce x + y =. Sestavíme Lagrangeovu funkci pro funkci f (x) = 8x + 6y 5 a g(x, y) = x + y, Φ(x, y, λ) = 8x + 6y 5 + λ(x + y ). Vypočítáme parciální derivace prvního řádu funkce Φ, které položíme rovny nule. Získáme tak rovnice pro stacionární body funkce Φ, Φ Φ = 8 + λx =, = 6 + λy =, x ke kterým přidáme rovnici vazby, řešíme následující soustavu rovnic 8 + λx = x = 4 λ 6 + λy = y = λ

25 dosadíme do rovnice vazby za x a y, x + y = ( ) 4 ( + ) = 6 λ λ λ + 9 λ = λ = 5 λ = 4 λ, = ±. Dopočítáme stacionární body A = [x, y] dosazením λ, λ = A = [8, 6], λ = A = [ 8, 6]. Sestavíme matici parciálních derivací druhého řádu a vyhodnotíme ji na stacionárních bodech, f Q = x f x f ( ) ( ) ( ) x λ f =, Q(A ) =, Q(A ) =. λ V bodě A = [8, 6] je D >, D >. Funkce z = f (x, y) má v bodě A = [8, 6] vázané lokální minimum z = 5. V bodě A = [ 8, 6] je D <, D >. Funkce z = f (x, y) má v bodě A = [ 8, 6] vázané lokální maximum z = 95. Příklady k procvičení: Nalezněte vázané extrémy funkce z = f (x, y) vzhledem k zadané podmínce g(x, y) = : a) z = 4x + y +, y = x + x + 4 b) z = x + y, y = x +. Příklady k procvičení: Nalezněte vázané extrémy funkce z = 4x + y 4 vzhledem k zadané podmínce (x ) + (y ) =.. Globální extrémy Definice: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A = [x, y ] globální extrém na uzavřeném definičním oboru D f, jestliže X D f platí f (X) f (A), funkce f má v bodě A globální maximum, f (X) f (A), funkce f má v bodě A globální minimum. Poznámka: V případě ostrých nerovností hovoříme o ostrých globálních extrémech. Množina D f se nazývá uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. Hraničním bodem množiny D f je takový bod, jehož každé okolí obsahuje body X takové, že X D f a současně obsahuje body Y takové, že Y D f. Na rozdíl od lokálních extrémů, které hledáme na okolích bodů, hledáme globální extrémy na celém D f. Postup určování globálních extrémů určíme definiční obor D f funkce z = f (x, y), nalezneme lokální extrémy této funkce na množině D f, ze které vyloučíme hranici g(x, y) =, určíme vázané extrémy této funkce vzhledem k podmínce g(x, y) =, porovnáme funkční hodnoty všech extrémů, bod s největší funkční hodnotou bude globálním maximem, bod s nejmenší funkční hodnotou bude globálním minimem.

26 Příklad 8: Nalezněte globální extrémy funkce z = f (x, y) = x y na čtverci s vrcholy [, ], [, ], [, ], [, ]. Definičním oborem funkce z je čtverec. 4 D C A B Určíme lokální extrémy funkce z, 4 z z : x =, x : =. Je zřejmé, že druhá rovnice nemá řešení, lokální extrémy neexistují. Určíme rovnice hraničních křivek, tyto rovnice reprezentují rovnice vazeb, AB : y =, x (, ), BC : x =, y (, ), CD : y =, x (, ), DA : x =, y (, ). Jednotlivé rovnice vazeb dosadíme do funkce z a nalezneme případné vázané extrémy, AB : z = x z = x = x = (, ) extrém neexistuje, BC : z = 9 y z = = rovnice nemá řešení extrém neexistuje, CD : z = x z = x = x = (, ) extrém neexistuje, DA : z = y z = = rovnice nemá řešení extrém neexistuje. Zbývá porovnat funkční hodnoty ve vrcholech čtverce, f (A) =, f (B) = 8, f (C) = 6, f (D) = f (D) < f (A) < f (C) < f (B). Funkce z má v bodě D globální minimum o hodnotě z =, v bodě B má globální maximum o hodnotě z = 8. Příklady k procvičení: a) Nalezněte globální extrémy funkce z = x y na čtverci s vrcholy v bodech [, ], [, ], [, ] a [, ]. b) Nalezněte globální extrémy funkce z = x + y na trojúhelníku s vrcholy v bodech [, ], [, ] a [, ]. c) Nalezněte globální extrémy funkce z = x y + y na kruhu x + y 6. 4

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Matematika II: Pracovní listy

Matematika II: Pracovní listy Matematika II: Pracovní listy Zuzana Morávková, Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava K M D G ISBN 978-80-48-334-8

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematika II: Pracovní listy

Matematika II: Pracovní listy Matematika II: Pracovní listy Zuzana Morávková, Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava K M D G Předmluva Studijní

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Globální extrémy (na kompaktní množině)

Globální extrémy (na kompaktní množině) Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

1 Funkce více proměnných

1 Funkce více proměnných 1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Matematika II: Řešené příklady

Matematika II: Řešené příklady Matematika II: Řešené příklady Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Řešené příklady Integrální počet funkcí jedné

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 8-9 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Funkce více proměnných Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Definice Necht M R n, M. Funkcí n proměnných je zobrazení

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více