Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
|
|
- Petr Neduchal
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
2 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice. (Limita funkce) Řekneme,žefunkce f nproměnnýchmávbodě A E n limitu b,jestližeke každémuokolí V bodu bexistujeokolí Ubodu Atak,žeprovšechnybody X U, X A,je f(x) V. Píšeme pak lim f(x)=b. (funkce, která nemá limitu v počátku) Funkce f(x,y)= xy x 2 +y 2 definovanáve 2 \{O}nemávpočátku Olimitu. Věta 2.1. Funkce n proměnných má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
3 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Konstantnífunkcí nproměnnýchrozumímefunkci fdefinovanouna E n předpisem f(x)=a, kde a R. Je-li a=0,pakkonstantnífunkcí nproměnnýchnazvemenulovoufunkcí n proměnných. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
4 Limita a spojitost funkce n proměnných Věta 2.2. Je-li pak lim f(x)=b, lim g(x)=c, lim[f(x)+g(x)]=b+c, (1) lim[f(x) g(x)]=b c, (2) je-linavíc c 0,paktaké lim[f(x).g(x)]=b.c, (3) lim f(x) g(x) = b c. (4) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
5 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Polynomem nproměnnýchserozumífunkce,kterálibovolnémuboduze n přiřazuje součet součinů nějakých čísel a celých nezáporných mocnin jeho souřadnic, tj. součet výrazů tvaru ax k 1 1 xk xk n n zvaných členy polynomu, přitom k 1,k 2,...,k n jsoucelánezápornáčíslaačíslo asenazývákoeficient příslušného členu. f(x 1,x 2,...,x n )=x 1 +2x 2 2+3x nx n n g(x 1,x 2,...,x n )= x 1x 2 2x 3...x n n definovanéna E n jsoupolynomy nproměnných. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
6 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Racionální funkcí n proměnných je funkce, která vzniká dělením dvou polynomů, přičemždělitelnenínulováfunkce.jejímdefiničnímoboremje E n svýjimkoukořenů dělitele. f(x,y)= xy x 2 +y 2. Je-li f polynom n proměnných, pak lim f(x)=f(a) prokaždýbod A E n. Je-li f racionální funkce n proměnných definovaná v bodě A, pak lim f(x)=f(a). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
7 Limita a spojitost funkce n proměnných Vdefinicilimitymísto b Ružijemenevlastníbod nebo. Definice. (Nevlastní limita funkce) Řekneme,žefunkce f nproměnnýchmávbodě A E n nevlastnílimitu,resp.,jestližekekaždémuokolí V nevlastníhobodu,resp.,existujeokolí U bodu Atakové,žeprovšechnybody X U, X A,je f(x) V. Píšeme pak lim f(x)= resp. lim f(x)=. Nevlastní limity mají analogické vlastnosti jako limity. lim [x,y] [0,0] s-okolí, tj. V =(s, ) s >0 U 1 s (0). 1 x 2 +y 2=. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
8 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Nechť A D f,pakřekneme,žefunkce f nproměnnýchjespojitávbodě A,jestliže lim f(x)=f(a). Polynom nproměnnýchjespojitývkaždémbodě A E n. Racionálnífunkce nproměnnýchjespojitávkaždémbodě A E n,vněmžje definována. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
9 Limita a spojitost funkce n proměnných Věta 2.4. (o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu) Jsou-lifunkce fa g nproměnnýchspojitévbodě A,pakjsouvbodě Aspojitéi funkce f+g, f gaf.g,je-linavíc g(a) 0jevbodě Aspojitáifunkce f g. Věta 2.5. (o spojitosti složené funkce) Jsou-lifunkce g 1,g 2,...,g p nproměnnýchspojitévbodě Aaje-lifunkce h p proměnnýchspojitávbodě B=[g 1 (A),g 2 (A),...,g p (A)],paksloženáfunkce f= h(g 1,g 2,...,g p )jespojitávbodě A. Vyšetřetespojitostfunkce f(x,y)= x 2 +y 2 +1vbodě[0,0]. g(x)=x 2 +y 2 +1spojitávbodě[0,0] h(x)= xspojitávbodě1 tedydlevěty f= h(g)jespojitávbodě[0,0]. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
10 Derivace a diferenciály funkce n proměnných Definice. (Parciální derivace) fjefunkce nproměnnýchsdefiničnímoborem D(f), A=[a 1,...,a n ] D(f), jje některézčísel1,2,...,n. Definujemefunkcijednéproměnné g j sdefiničnímoborem a s funkčním předpisem D(g j )={x R;[a 1,a 2,...,a j 1,x,a j+1,...,a n ] D(f)} g j (x)=f(a 1,a 2,...,a j 1,x,a j+1,...,a n ). Má-lifunkce g j derivacivbodě a j,nazývámejiparciálníderivacífunkce fpodle proměnné x j vbodě Aaoznačíme f x j (A). Tedy f (A)=g x j(a j ). j Parciálníderivacífunkce fpodleproměnné x j rozumímefunkci nproměnných označenou f x j,kterákaždémubodu A D(f),vněmžexistujeparciálníderivace podleproměnné x j,přiřazujejejíhodnotu. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
11 Derivace a diferenciály funkce n proměnných Poznámka. Parciálníderivacípodleproměnné x j vypočítámetak,ževšechnyproměnnéažna j-tou považujeme zakonstantyastanovímederivacitaktovznikléfunkcejedné proměnné. Určete obě parciální derivace funkce dvou proměnných definovanéve 2. f(x,y)=x 2 +xy+2y 2 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
12 Derivace a diferenciály funkce n proměnných Věta 3.1. Má-li funkce f n proměnných v nějakém okolí bodu A omezené parciální derivace podlevšechproměnných,pakjevbodě Aspojitá. Poznámka. Samotná existence parciálních derivací podle všech proměnných v bodě A nezaručuje spojitost funkce v bodě A. Uvažujme funkci dvou proměnných f(x,y)= { 0 pro x 0asoučasně y 0, 1 pro x=0nebo y=0, definovanouna E 2. neníspojitávpočátku,ale f x =0a f y =0. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
13 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Definice. Řekneme, že funkce f n proměnných je diferencovatelná v bodě A, jestliže existují čísla c 1,c 2,...,c n taková,že lim f(x) f(a) c 1 (x 1 a 1 ) c 2 (x 2 a 2 ) c n (x n a n ) d(x, A) =0, přičemž d(x,a)jevzdálenostbodů A=[a 1,a 2,...,a n ], X=[x 1,x 2,...,x n ]. Věta 3.2. Je-lifunkce f nproměnnýchdiferencovatelnávbodě A,pakjevbodě Aspojitá,má v něm parciální derivace podle všech svých proměnných a platí c j = f x j (A) pro j=1,2,...,n. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
14 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Definice. Je-li funkce f n proměnných diferencovatelná v bodě A, definujeme diferenciál funkce fvbodě Ajakofunkci definovanouna E n. d fa (X)=c 1 (x 1 a 1 )+c 2 (x 2 a 2 )+ +c n (x n a n ) Věta 3.3. Má-li funkce f v bodě A spojité parciální derivace podle všech proměnných, pak je funkce f diferencovatelná v bodě A. Zjistěte, zda je funkce f(x,y)=x 2 +xy+2y 2 diferencovatelnávbodě A=[1,2],avkladnémpřípaděurčete d fa. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
15 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Nyní n=2, ffunkcedvouproměnnýchdiferencovatelnávbodě A=[a 1,a 2 ],pakjejí diferenciál v tomto bodě je tvaru d fa (X)= f x (A)(x a 1)+ f y (A)(y a 2) grafem je rovina z= f x (A)(x a 1)+ f y (A)(y a 2). rovina y=a 2 vnipřímka z= f x (A)(x a 1)rovnoběžnástečnou rovina x=a 1 vnipřímka z= f y (A)(y a 2)rovnoběžnástečnou Rovinaprocházejícíoběmatečnamiprůsečnicgrafufunkce fsrovinami x=a 1 a y= a 2 jetedyrovnoběžnásgrafemdiferenciálufunkce fvbodě A,márovnici z= f(a)+d fa (X)=f(A)+ f x (A)(x a 1)+ f y (A)(y a 2) anazývámejitečnourovinougrafufunkce fvbodě T=[a 1,a 2,f(A)]. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
16 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Určete tečnou rovinu plochy vbodě T=[1,2,11]. z= x 2 +xy+2y 2 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 24.10.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
VíceHelena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16
Limita funkce více proměnných Helena Říhová FBMI 26. září 2010 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září 2010 1 / 16 Obsah 1 Limita Definice limity Parciální derivace Tečná rovina, totální
VíceMatematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 3.0.06 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceKristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceObsah. 5 Diferenciál (Totální)diferenciálprvníhořádu Taylorůvvzorec Diferenciályvyššíchřádů Taylorovavěta...
Obsah 4 Parciální derivace funkce dvou proměnných 2 4.1 Parciálníderivaceprvníhořádu... 2 4.2 Derivacevesměru(směrovéderivace)... 4 4.3 Parciálníderivacevyššíchřádů... 5 4.4 Derivacesloženéfunkce.... 5
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceKomplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 5.12.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Více(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27
(1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 Proč studovat matematiku Zdroje: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/2018-10-02-prvni-prednaska-z-analyzy.pdf https://www.youtube.com/watch?v=6ec3ndnr86s
VíceDerivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Více2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce
2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceMA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
79 Kapitola 4 Vektorové funkce jedné reálné proměnné 80 Definice 4.1(vektorová funkce jedné reálné proměnné) Nechť D R.Zobrazení x: D R n se nazývá vektorová funkce jedné reálné proměnné t s definičním
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Vícex i y i. metrika: Provektor x IR n definujemejeho(euklidovskou)normujako x = x x2 n.
Funkce více proměnných Nechť n IN. Symbol IR n značíprostorvšech n-rozměrnýchvektorůsreálnýmisouřadnicemi značených x=(x 1,...,x n ),také xnebotřeba x.čísla x i IRjsousouřadnicečisložky. operace s vektory:
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceHelena R ˇ ı hova (CˇVUT) Funkce 5. rˇı jna / 28
Funkce Helena Říhová FBMI 5. října 2012 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 1 / 28 Obsah 1 Reálná funkce jedné reálné proměnné Limita funkce Věty o limitách Spojitost funkce Význačné limity Asymptoty
VíceKapitola 4. Limity a spojitost reálných funkcí Úvodní definice
Kapitola 4. Limity a spojitost reálných funkcí 4.1. Úvodní definice Definice 4.1: Funkce fjeshoraomezenánamnožině M R,jestližeplatí,že K R x M: f(x) K(tj.je-limnožina {f(x);x M}shoraomezená). Funkce fjezdolaomezenánamnožině
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Vícea = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceMatematika III - 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace
Matematika III - 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 9. 2007 Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných 9 Funkce
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VíceMatematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Více(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Vícef(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x
Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceDerivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Více12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceMATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více