Diferenciál a Taylorův polynom

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciál a Taylorův polynom"

Renata Vaňková
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11

2 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci chceme v okoĺı daného bodu nahradit (aproximovat) jednodušší funkcí. Lineární aproximace: Funkci nahradíme lineární funkcí tečnou v daném bodě. Aproximace pomocí Taylorova polynomu: Funkci nahradíme polynomem stupně n, který má v daném bodě stejnou funkční hodnotu i hodnotu derivací až do řádu n. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 2 / 11

3 Lineární aproximace Necht f má v bodě x 0 vlastní derivaci. Pak nejlepší lineární aproximací funkce f v okoĺı bodu x 0 je tečna ke grafu funkce f v bodě x 0, tj. pro x dostatečně bĺızká k x 0. f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 3 / 11

4 Geometrický význam diferenciál Pro funkční hodnotu v bodě x 0 + h platí: y f(x 0 + h) τ(h) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f(x 0 ). Přírůstek funkce f(x 0 ) lze vyjádřit: f(x 0 ) df(x 0 ) f(x 0 ) = df(x 0 ) + τ(h), kde df(x 0 ) je tzv. diferenciál funkce f v bodě x 0 (= přírůstek na tečně), tedy x 0 x 0 + h x df(x 0 ) = f (x 0 )h. Je-li h dostatečně malé (bod x 0 + h je bĺızko bodu x 0 ), pak τ(h) je mnohem menší než diferenciál. Hodnotu τ(h) tedy zanedbáme a skutečný přírůstek funkce vyjádříme přibližně pomocí diferenciálu: f(x 0 + h). = f(x 0 ) + f (x 0 )h. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 4 / 11

5 Taylorův polynom Necht f má v bodě x 0 derivace až do řádu n. Chceme najít polynom stupně n, který aproximuje co nejlépe funkci f v okoĺı bodu x 0. Požadujeme, aby hledaný polynom měl v bodě x 0 stejnou funkční hodnotu a hodnotu derivací až do řádu n jako funkce f. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 5 / 11

6 Příklad (Motivace) Necht f(x) = 1 x, x 0 = 2. Najděte polynom druhého stupně, který má v bodě x 0 stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu první a druhé derivace jako funkce f. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 6 / 11

7 Příklad (Motivace) Necht f(x) = 1 x, x 0 = 2. Najděte polynom druhého stupně, který má v bodě x 0 stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu první a druhé derivace jako funkce f. Hledaný polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2) 2. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 6 / 11

8 Příklad (Motivace) Necht f(x) = 1 x, x 0 = 2. Najděte polynom druhého stupně, který má v bodě x 0 stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu první a druhé derivace jako funkce f. Hledaný polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2) 2. Spočítáme derivace: P (x) = b + 2c(x + 2), f (x) = 1 x 2 P (x) = 2c, f 2 (x) = x 3 c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 6 / 11

9 Příklad (Motivace) Necht f(x) = 1 x, x 0 = 2. Najděte polynom druhého stupně, který má v bodě x 0 stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu první a druhé derivace jako funkce f. Hledaný polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2) 2. Spočítáme derivace: P (x) = b + 2c(x + 2), f (x) = 1 x 2 P (x) = 2c, f 2 (x) = x 3 Porovnáním funkčních hodnot a hodnot derivací polynomu P a funkce f v bodě x 0 = 2: 1 2 = a, 1 4 = b, 1 4 = 2c. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 6 / 11

10 Příklad (Motivace) Necht f(x) = 1 x, x 0 = 2. Najděte polynom druhého stupně, který má v bodě x 0 stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu první a druhé derivace jako funkce f. Hledaný polynom je tvaru: P (x) = a + b(x + 2) + c(x + 2) 2. Spočítáme derivace: P (x) = b + 2c(x + 2), f (x) = 1 x 2 P (x) = 2c, f 2 (x) = x 3 Porovnáním funkčních hodnot a hodnot derivací polynomu P a funkce f v bodě x 0 = 2: 1 2 = a, 1 4 = b, 1 4 = 2c. Tedy P (x) = (x + 2) 1 8 (x + 2)2. Polynom P (x) je tzv. Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x) = 1 x se středem x 0 = 2. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 6 / 11

11 Stejným způsobem jako v předchozím příkladu je možné odvodit obecný tvar Taylorova polynomu: Definice (Taylorův polynom) Necht f je funkce, která má v bodě x 0 derivace až do řádu n. Pak polynom tvaru T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f se středem x 0. Připomeňme, že n! = n(n 1)(n 2) Střed x 0 je pevně daný, proměnná polynomu je x. Pro n = 1, dostáváme lineární polynom tj. tečnu ke grafu funkce f v bodě x 0. T 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 7 / 11

12 Poznámka Polynom T n a funkce f mají v bodě x 0 stejnou funkční hodnotu i hodnotu všech derivací až do řádu n, tj. T n (x 0 ) = f(x 0 ) T n(x 0 ) = f (x 0 ) T n (x 0 ) = f (x 0 ). T (n) n (x 0 ) = f (n) (x 0 ) c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 8 / 11

13 Věta (Taylorova) Necht f je funkce, která má v okoĺı O(x 0 ) bodu x 0 derivace až do řádu n + 1. Necht T n (x) je Taylorův polynom funkce f se středem x 0. Pak (1) f(x) = T n (x) + R n+1 (x) pro všechna x O(x 0 ), kde R n+1 (x) je tzv. zbytek, který lze vyjádřit ve tvaru kde c je nějaké číslo mezi x a x 0. R n+1 (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1, Zbytek R n+1 (x) lze vyjádřit i v jiných tvarech. Tvar zbytku uvedený v předchozí větě je tzv. Lagrangeův tvar zbytku. Vzorec (1) se nazývá Taylorův vzorec. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 9 / 11

14 Polynom T n (x) aproximuje funkci f(x) v okoĺı bodu x 0 s chybou R n+1 (x). Pokud je x dostatečně bĺızko k x 0, píšeme f(x) T n (x). Pokud n = 1, pak f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), tj. funkci f aproximujeme její tečnou v bodě x 0. Čím menší je okoĺı bodu x 0 a čím větší je n, tím je aproximace lepší. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 10 / 11

15 Příklad f(x) = 1 x, x 0 = 2 c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 11 / 11

16 Příklad f(x) = 1 x, x 0 = 2 f( 2) = 1 2 f (x) = 1 x 2, f ( 2) = 1 4 f (x) = 2 x 3, f ( 2) = 1 4 f (x) = 6 x 4, f ( 2) = 3 8 c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 11 / 11

17 Příklad T 1 (x) = (x + 2) f(x) = 1 x, x 0 = 2 2 y 0 x f( 2) = 1 2 f (x) = 1 x 2, f ( 2) = 1 4 f (x) = 2 x 3, f ( 2) = 1 4 f (x) = 6 x 4, f ( 2) = 3 8 S rostoucím stupněm Taylorova polynomu dostáváme lepší aproximaci ve větším okoĺı bodu. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 11 / 11

18 Příklad T 2 (x) = (x + 2) 1 8 (x + 2)2 f(x) = 1 x, x 0 = 2 2 y 0 x f( 2) = 1 2 f (x) = 1 x 2, f ( 2) = 1 4 f (x) = 2 x 3, f ( 2) = 1 4 f (x) = 6 x 4, f ( 2) = 3 8 S rostoucím stupněm Taylorova polynomu dostáváme lepší aproximaci ve větším okoĺı bodu. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 11 / 11

19 Příklad T 3 (x) = (x + 2) 1 8 (x + 2) (x + 2)3 f(x) = 1 x, x 0 = 2 2 y 0 x f( 2) = 1 2 f (x) = 1 x 2, f ( 2) = 1 4 f (x) = 2 x 3, f ( 2) = 1 4 f (x) = 6 x 4, f ( 2) = 3 8 S rostoucím stupněm Taylorova polynomu dostáváme lepší aproximaci ve větším okoĺı bodu. c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 11 / 11

Podobné dokumenty

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje