MA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz

Transkript

1 79 Kapitola 4 Vektorové funkce jedné reálné proměnné

2 80 Definice 4.1(vektorová funkce jedné reálné proměnné) Nechť D R.Zobrazení x: D R n se nazývá vektorová funkce jedné reálné proměnné t s definičním oborem D. Zápis: x=x(t)=(x 1 (t),...,x n (t)), t D, x:t x(t), t D. Poznámka Funkce x i : D R n pro i=1,...,nsenazývajísložky vektorovéfunkce x: D R n.

3 81 Poznámka(algebraické operace s vek. fcemi) Vektorové funkce lze 1. sčítat a odčítat: z(t)=x(t)±y(t) z i (t)=x i (t)±y i (t), i=1,...,n, 2. násobit skalární funkcí: α(t)x(t)=(α(t)x 1 (t),α(t)x 2 (t),...,α(t)x n (t)), 3. násobit skalárně mezi sebou: n (x(t),y(t))= x i (t)y i (t). i=1 Pro normu vektorové funkce platí vztah x(t) = (x(t),x(t)).

4 82 Definice 4.2(limita a spojitost vektorové funkce) Řekneme,ževektorováfunkce x:d R R n máv hromadnémbodě t 0 Dlimitu a R n,jestliže ε >0 δ >0: 0 < t t 0 < δ x(t) a < ε. Zapisujeme lim x(t)=a. t t 0 Je-li lim t t0 x(t)=x(t 0 ),řekneme,žefunkce x:d R n je spojitávbodě t 0.

5 83 Věta 4.3(limita a spojitost po složkách) Nechť x:d R R n, a R n, t 0 jehromadnýbod D. Potom platí lim x(t)=a i {1,...,n}: lim x i (t)=a i, t t 0 t t0 lim t t 0 x(t)=x(t 0 ) i {1,...,n}: lim t t0 x i (t)=x i (t 0 ).

6 84 Věta 4.4(algebra limit) Nechť D R, x, y:d R n, α:d Rat 0 jehromadnýbod D. Jestliže lim x(t)=a,lim y(t)=balim α(t)=c,potom t t0 t t0 t t0 platí 1.lim t t0 x(t) = a, 2.lim t t0 (x(t)+y(t))=a+b, 3.lim t t0 (α(t)x(t))=c a, 4.lim t t0 (x(t), y(t))=(a,b).

7 85 Definice 4.5(derivace a diferenciál vektorové funkce) Nechť x:d R R n a t 0 jevnitřníbod D.Jestliže existuje limita x(t) x(t 0 ) x(t 0 + h) x(t 0 ) ẋ(t 0 ):=lim =lim, t t0 t t 0 h 0 h potomtutolimitunazvemederivacífunkce xvbodě t 0. Říkáme,že xjediferencovatelnávbodě t 0 D,jestliže existujekonstantnívektor a Ravektorováfunkce ω: R R n tak,žeplatí x(t 0 + h) x(t 0 )=ah+ω(h), Vektorovou lineární funkci ω(h) lim h 0 h =0. dx(t 0, h):= ah=ẋ(t 0 )h=ẋ(t 0 )dt nazývámediferenciálemvektorovéfunkce xvbodě t 0.

8 86 Věta 4.6(o střední hodnotě) Nechť x:d R R n jespojitávintervalu a,b D adiferencovatelnáv(a,b).potomexistujebod ξ (a,b) takový, že x(a) x(b) (b a) ẋ(ξ).

9 87 Definice 4.7(vektorová primitivní funkce) Vektorovoufunkci X(t)takovou,že X(t)=x(t)pro t D, nazveme primitivní funkcí k vektorové funkci x(t). Pro interval a,b Djepotom ( b b ) b X(b) X(a) = x(t)dt= x 1 (t)dt,..., x n (t)dt. a a a

10 88 Definice4.8(křivkavR n ) Zobrazení γ: a,b R n nazývámejednoduchoukřivkou v R n,jestliže γjespojitéaprosté. Je-li γ(a) = γ(b), řekneme, že γ je jednoduchá uzavřená křivka(nebo též Jordanova křivka). Okřivce γřekneme,žejeregulární(hladká),je-linavíc γ spojitě diferencovatelné zobrazení v a, b. Jestliže γexistujeajespojitáv a,b ažnakonečnýpočet bodů,řekneme,že γjepočástechhladkákřivka.

11 89 Definice 4.9(rovnost křivek) O dvou křivkách γ 1 = γ 1 (t), t a 1, b 1, γ 2 = γ 2 (t), t a 2, b 2, řekneme, že jsou si rovny, jestliže platí rovnost množin {γ 1,t a 1,b 1 }={γ 2,t a 2,b 2 }.

12 90 Definice 4.10(orientovaná křivka) Buď γkřivkavr n.jestližejedensměrpohybuna γnazveme kladný a druhý záporný, řekneme, že jsme křivku orientovali. Je-li γ Jordanova křivka v rovině, pak její kladnou orientací rozumíme pohyb po γ proti směru hodinových ručiček a opačný směr zápornou orientací.

13 91 Věta 4.11(tečna ke křivce) Je-li γ= γ(t), t a,b,hladkákřivkavr n a t 0 a, b bod,pakparametrickérovnicetečnykekřivce γvbodě t 0 majítvar x(τ)=γ(t 0 )+τ γ(t 0 ), τ R.

14 92 Definice 4.12(diferenciál křivky) Je-li γ= γ(t), t a,b,regulárníkřivkavr n,pakvýraz dγ(t 0,dt)= γ(t 0 )dtnazývámediferenciálemkřivky γ a výrazds= γ(t 0 ) dtdiferenciálemobloukukřivky γ.

15 93 Věta 4.13(délka oblouku křivky) Je-li γ= γ(t), t a,b,počástechhladkákřivkavr n, pak pro délku s oblouku této křivky platí s= b a γ(t 0 ) dt.