Grafové algoritmy. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. pondělí 4. listopadu verze: :26

Transkript

1 Grové loritmy Mtmtiké loritmy (MAG) Jn Přikryl. přnášk MAG ponělí 4. listopu 2013 vrz: :26 Osh 1 Úvo o tori rů Záklní ini Por Isomorismus Zvláštní typy rů Orintovné ry Implmnt rů Eulrovské ry Záklní rové úlohy 3.1 Proházní rm Hlání njkrtší sty Dijkstrův loritmus Aloritmus A* Kostry rů Krusklův loritmus Prim-Jrníkův loritmus Sollinův-Borůvkův loritmus Úvo o tori rů Tori rů j mtmtiká inormtiká isiplín zývjíí s stuim mtmtikýh struktur popisujííh párové rk mzi ojkty onýh rů.gry jsou jnou z klíčovýh 1

2 F K 22 H Orázk 1: Gr popisujíí možné sty MHD mzi jnotlivými uovmi ČVUT FD: F oznčuj uovu N Florni, H Horskou K Konvikt. Ohononí hrn j njryhljší st v komini pěšky MHD v minutáh. olstí, ktrou stuuj iskrétní mtmtik. K oliě rů v inžnýrskýh isiplínáh přispívá široká olst možnýh plikí: Oné ry lz použít k molování mnoh typů vzthů ynmikýh jvů v yzi, ioloii, soiálníh věáh či inormčníh systémh. Něktré plik rů jsou zl zjvné [1]: ný prolém z život njprv přormulujm n rovou úlohu, ty tk, y lý prolém popisovl nějký typ oného ru (viz npříkl Orázk 1) nějkou záklní opri n tomto ru o tom, jké znám záklní typy onýh rů jké úlohy n nih typiky řším, si povím pozěji. Příslušný r, molujíí konkrétní situi, potom nkrslím no zám vhoným způsom o počítč, rovou úlohu nějkým známým postupm (jnž v tomto kontxtu um nzývt rovým loritmm) vyřším získné řšní opět z řči rů přložím zpět o ěžné mluvy. Čsto jsou všk plik rů skryté: nik s žáný r xpliitně npoužij, r zůstává skrytý v pozí, l použitý postup řšní má svou prllu v světě rů lz jj pomoí rů zůvonit. Nějký příkl? Umění plikovt ry zhrnuj vě ílčí ovnosti [1]: 1. Musím ýt shopni zkonstruovt r, jnž moluj nou situi (ty tkový r, n němž jsou zhyny vzthy, o něž s zjímám). Něky to j zl triviální (npříkl při ormuli rozhooví úlohy, jkým způsom s njryhlji přmístit z mé pržské knlář n výuku v Děčíně), jiny to vyžuj znčné úsilí. Příkl? 2. Musím ýt shopni řšit lspoň záklní rové úlohy musím věět, ktré z nih jsou snno ryhl řšitlné ktré jsou nopk komplikovné výpočtně složité. S úspěhm můžm využít i shopnost přvést nějkou nznámou rovou úlohu n jinou, ktrou již ovm vyřšit (toto umění přváět úlohy má mnoho spolčného s uměním njít vhoný rový mol). Náslujíí txt j stručným výthm z pulikí pn Hliněného [3], pn Dml [1] pánů Mtoušk Nštřil [4]. První txt j spíš prktiky změřn, poslní v txty povžuji záklní čskou litrturu o rh oporučuji j k stuiu v přípě, ž s o rh rovýh loritmh potřujt ozvěět ví. 1.1 Záklní ini [ Záklní poučk n úvo] Záklní poučk n úvo zní: Nplt t si oný r s rm unk! 2

3 Oný r s skláá z vrholů hrn. Hrn vžy spojuj v vrholy j u orintovná, no norintovná. U hrn orintovnýh rozlišujm počátční konový vrhol říkám, ž hrn v z počátčního o konového vrholu. Norintovné hrny hápm jko symtriké spojní vou vrholů. Poku hrn spojuj nějký vrhol s sou smým, nzývám ji smyčkou. Orintovný r má všhny hrny orintovné, norintovný r má všhny hrny norintovné. Tortiky xistují i ry smíšné, v nihž s vyskytují o ruhy hrn, těmi s l num zývt. Zkusm to nyní popst ormálněji. Dini 1 (Norintovný r). Norintovný r j voji G = (V, E) tvořná npráznou končnou množinou V, jjíž prvky nzývám vrholy končnou množinou E, jjíž prvky nzývám orintovnými hrnmi. Kžá hrn množiny E j přitom vouprvkovou pomnožinou množiny V, ij E : ij = {v i, v j }, v i, v j V. Hrnu mzi vrholy i j ývá zvykm znčit {i, j} no krát ij. Množinu vrholů ru G oznčujm V (G), nloiky E(G) oznčuj množinu hrn tohoto ru. O hrně xy říkám, ž v z vrholu x o vrholu y tké, ž spojuj vrholy x y. O vrholh x y pk říkám, ž jsou inintní (no ž iniují) s hrnou xy tké nopk můžm říi, ž hrn xy j inintní s vrholy x y. O vrholy x y tké souhrnně nzývám krjními vrholy hrny xy. Vrhol, ktrý nní inintní s žánou hrnou, nzývám izolovným vrholm. Počt hrn, inintníh s nějkým vrholm v V (G) nzývám stupněm vrholu. Izolovný vrhol má stupň 0. Jstliž hrn spojuj vrhol s sou smým (ty npříkl hrn xx ), nzývám ji (orintovnou) smyčkou. Oně j možné, y několik hrn mělo stjné počátční konové vrholy, ty y pro různé hrny (pozor, musím změnit znční hrn) l 2 pltilo 1 = {x, y} zárovň 2 = {x, y}. O tkovýh hrnáh říkám, ž jsou rovnoěžné no též násoné. Množin hrn ru můž ýt i prázná. 1.2 Por Kžý r (ž n tn zl triviální s jním vrholm práznou množinou hrn) lz rozělit n pory. Por j, jnouš řčno, část ru. Avšk tto slov musím inovt poněku přsněji, yhom přšli situím, ky y nám zyly pouz hrny z opovíjííh vrholů. Dini 2 (Por). Porm ru G rozumím liovolný r H n pomnožině vrholů V (H) V (G), jnž má z hrny liovolnou pomnožinu hrn ru G mjííh o vrholy v V (H). Píšm H G, tj. stjně jko množinová inkluz (l význm j trohu jiný). Dini 3 (Inukovný por). Inukovným porm ru G rozumím tkový por H G, k pomnožin hrn E(H) zhrnuj všhny půvoní hrny mzi vrholy z V (H). Něky s mu tké říká plný por. 3

4 Orázk 2: O ry n orázku popisují to smé jsou izomorní Orázk 3: Kružni trojúhlník 1.3 Isomorismus Co kyž vzmm nějký r (tř tn n Orázku 2) nkrslím jj jnou tk, poruhé zs jink jná s o tntýž r no n? Přísně ormálně řčno, kžé nkrslní jistého ru, tř toho n Orázku 2, j jiným rm. l přitom yhom rái řkli, ž různá nkrslní téhož ru jsou kvivlntní už jn proto, ž ry mjí molovt vzthy mzi vojimi ojktů, l tyto vzthy př vů nzávisí n tom, jk si ry nkrslím. Pro tuto stjnost rů s vžil pojm isomorní ry. Pro správné pohopní využití tori rů j ty tř njprv oř hápt pojm isomorismu rů. Dini 4 (Izomorismus). Izomorismus rů G H j ijktivní (vzájmně jnoznčné) zorzní : V (G) V (H), pro ktré pltí, ž kžá voji vrholů (x, y) E(G) j spojná hrnou v G právě thy, kyž j voji (u), (v) V (H) spojná hrnou v H. Gry G H jsou izomorní, poku mzi nimi xistuj izomorismus. Znčím G H. Izomorní ry mjí stjný počt vrholů i hrn. Vrholu stupně k lz izomorismm přiřit pouz vrhol stjného stupně k. Dvojii sousníh vrholů můž ýt izomorismm přiřzn opět jn voji sousníh vrholů. 1.4 Zvláštní typy rů Něktré čsto s vyskytujíí typy rů j zvykm nzývt spiikými názvy. Njůlžitější jsou ptrně ty náslujíí: Dini (Kružni). Kružni C n élky n j r, jnž má n vrholů spojnýh o jnoho yklu n hrnmi, n 3. Poru H G, ktrý j isomorní nějké kružnii, říkám kružni v G. Kružnii élky 3 říkám trojúhlník. 4

5 Orázk 4: Úplný r, jnž vznikl oplněním hr o kružni n Orázku 3 Dini 6 (Cst). Cst P n élky n má n+1 vrholů spojnýh z sou n hrnmi. Poru H G, ktrý j izomorní nějké stě, říkám st v G. Dini (Úplný r). Úplný r K n má n 2 vrholů, všhny nvzájm pospojovné. 1 Gry P 1 (st élky 1) C 3 (trojúhlník) jsou zárovň úplnými ry. Dini 8 (Klik). Poru H G, ktrý j isomorní nějkému úplnému ru, říkám klik v G. Něky s z kliku povžuj pouz tkový úplný por, ktrý j mximální vzhlm k inkluzi. 1. Orintovné ry V něktrýh příph (npříkl u toků v sítíh) potřujm u kžé hrny vyjářit jjí směr. To v n inii orintovného ru, v ktrém hrny jsou uspořáné voji vrholů. V orázíh krslím orintovné hrny s šipkmi. Dini (Orintovný r). Orintovný r j uspořáná voji D = (V, A), k A V V j množin orintovnýh hrn mzi vrholy ru. Orintovné ry opovíjí rlím, ktré nmusí ýt symtriké: Hrn {x, y} v orintovném ru D zčíná v vrholu x končí v vrholu v. Opčná hrn {y, x} nní totožná s hrnou {x, y}. Njprv yhom si měli přsně ujsnit, jk s pohyujm rm, ty o j vlstně proházkou v ru. Tnto pojm y měl postihnout záklní vě, ž v ru proházím hrnmi vžy z vrholu o sousního vrholu, přitom ponht osttk volnosti pro vrní s zyklní proházk. Dini 10 (Sl). Slm élky n v ru G rozumím posloupnost vrholů hrn v 0, 1, v 1, 2, v 2,..., n, v n, v ktré vžy hrn i má konové vrholy v i 1, v i, ty i = {v i 1, v i }. Sl j vlstně proházk po hrnáh ru z vrholu v x o vrholu v y. Příklm slu můž ýt průho IP pktu intrntm (včtně yklní). Vět. Poku mzi věm vrholy ru G xistuj sl, pk mzi nimi xistuj st. Důkz. Nht u = v 0, 1, v 1,..., n, v n = v j sl élky n mzi vrholy u v ru G. Zčnm uovt nový sl W z vrholu w 0 = u, ktrý už u stou: Přpoklájm, ž nový sl W už oshuj nějkou skvni vrholů hrn, w 0, 1, w1,..., w i (n zčátku pro i = 0 j pouz 1 Tkový r má lkm ( n 2) hrn.

6 o vrhol w 0 z hrn), k w i = v j pro něktré j {0, 1,..., n}. Njm njvětší inx k j tkový, ž v k = v j = w i, sl W pokrčujm krokm...,w i = v j = v k, k+1, w i+1 = v k+1. Zývá okázt, ž nový vrhol w i+1 = v k+1 s v slu W nopkuj. Poku y tomu l tk ylo w l = w i+1, l i, pk yhom n s n vrhol w i+1 ostli už řív z vrholu w l, ož j v rozporu z nším přpoklm, ž j o nový vrhol. Buování slu ukončím v okmžiku, ky w i = v. Dini 12 (Souvislý r). Gr G j souvislý poku j G tvořný njvýš jnou komponntou souvislosti, ty poku kžé v vrholy G jsou spojné stou. 2 Implmnt rů Mějm jnouhý r G n n vrholh znčm vrholy jnouš čísly V (G) = {0, 1,..., n 1}. Pro počítčovou implmnti ru G pomoí sttikýh tovýh struktur s nízjí v záklní způsoy: Mtií sousnosti G n n v ktré G ij = 1 znmná hrnu mzi vrholy i j. Mtii sousnosti implmntujm jko vourozměrné pol inárníh (no ločíslnýh) honot. Výčtm sousů S n m, k počt sloupů m j án njvypšším počtm sousííh vrholů ru C. Prvky S ij v tomto pojtí uávjí j-tý sousní vrhol vrholu i. Orázk G = S = Eulrovské ry Sn njstrší výslk vů v olsti tori rů pohází o Lonhr Eulr, jnž tk to položil zákl lému ooru. Jná s o slvný prolém smi mostů v Královi (půvoně Könisru, nšním ruském Klininrě). Toto pruské město lží n ř Prol, ktrá vytváří v ostrovy. Ostrovy yly s osttním městm spojny smi mosty, vyznčnými n Orázku. O jký prolém s thy jnlo? Městští rní htěli věět, z mohou suhou nohou přjít po kžém z smi mostů právě jnou. Eulr okázl, ž tomu tk nní, y ůkz mohl ormulovt, lý prolém přvl o strktní roviny z mostů vytvořil hrny z ostrovů pvniny uzly thy nznámé mtmtiké struktury, ns nzývné r. Eulrovo pozorování, 6

7 1 2 4 Orázk : Sm mostů v Královi. Uprvná oová rytin. Přvzto z Wikipi Commons [] (vlvo). Opovíjíí r (vprvo) 3 ž záklm prolému j počt mostů umístění jjih konovýh oů z toho, yhom s musli zjímt o přsnou omtrikou polohu, j přzvěstí nástupu lšího nového mtmtikého ooru topoloi. Rozor prolému mostů v Královi vl Eulr k náslujíí inii opověi. Dini 13 (Otvřný uzvřný th). Th j sl v ru z opkování hrn. Uzvřný th j thm, ktrý končí v vrholu, v ktrém zčl. Otvřný th j thm, ktrý končí v jiném vrholu, nž v ktrém zčl. Njstrší výslk tori rů o Lonr Eulr poté zní: Vět 14 (Eulrovský th). Gr G lz nkrslit jním uzvřným thm právě thy, kyž G j souvislý všhny vrholy v G jsou suého stupně. Důslkm této věty j tké zjištění, ž r G lz nkrslit jním otvřným thm právě thy, kyž G j souvislý všhny vrholy v G ž n v jsou suého stupně. 3 Záklní rové úlohy 3.1 Proházní rm Zl záklní rovou úlohou j úloh, ky hm postupně nvštívit všhny uzly ru nějkým líž nspiikovným způsom ktulizovt či ověřit ohononí hrn či uzlů. Tuto úlohu nzývám úlohou proházní rm. Při proházní rm z vrholu v i si mám vě možnosti, jk postupovt: proházní o hlouky - př zprováním sousníh uzlů v j nvštívím všhny jjih nnvštívné potomky, projm ty njprv o njhlouěji to v ném ru j pk s postupně vrím zpět, proházní o šířky zprujm njřív všhny sousníh uzly v j ž poté pokrčujm s jjih potomky, proházím ty njprv o njširší množinu zprostřníh sousů.

8 3.2 Hlání njkrtší sty Prolém (Njkrtší st v ru). Njět tkovou stu C z vrholu u o v v ru G(V, E, w), jjíž ohononí j minimální možné. Pro nlzní njkrtší (vážné) sty mzi věm vrholy klně vážného ru s používá triční Dijkstrův loritmus či jho vhoná vylpšní (A*). Tkové loritmy s npříkl používjí při vyhlávání vlkovýh spojní. Prvěpooně s i vy něky ostnt o situ, ky ut njkrtší stu hlt, proto si popsný loritmus včtně jho vylpšní A* zpmtujt Dijkstrův loritmus Dijkstrův loritmus, popsný v Aloritmu 1, j vrintou n proházní ru o šířky (jk uviím, nj ovšm o čisté proházní o šířky), ky u kžému vrholu ru jště přiřím proměnnou, uávjíí vzálnost o výhozího ou sty (ty élku njkrtšího slu, ktrým jsm s o tohoto vrholu ztím ostli). V lším kroku loritmu proházím úshovnu nlznýh novýh vrholů z ní vžy vyírám vrhol s njmnší vzálností k nějkému z již nlznýh vrholů (o tkového vrholu s žánou krtší stou už ostt nlz, všhny osttní sty uou lší). N koni zprování tyto proměnné vzálnosti uávjí správně njkrtší vzálnosti z počátčního vrholu o všh osttníh vrholů. Poznmnjm, ž poku nhám tnto loritmus proěhnout ž o zprování všh vrholů, získám v vzl[i] njkrtší vzálnosti z počátčního vrholu o všh osttníh vrholů. Všimněm si ál, ž Aloritmus 1 počítá stjně oř njkrtší stu i v orintovném ru. Clkový počt kroků Dijkstrov loritmu nutný k nlzní njkrtší sty z uzlu o uzlu j přiližně O( V (G) 2 ), počt kroků ty rost kvrtiky s počtm vrholů ru. Při ktivnější implmnti úshovny nzprovnýh vrholů (můžm npříkl použít hlu inxovnou honotou vzálnosti) lz n říkýh rh, s nimiž čsto prujm, osáhnout i mnohm ryhljšího ěhu Aloritmus A* Aloritmus A* j rozšířní půvoního Dijkstrov loritmu, postvné n huristikém výěru náslujíího vrholu. Při vhoně zvolné huristi j A* loritmus výrzně ryhljší, nž Dijkstrův loritmus. Nht huristik h(x) uává liovolný olní oh vzálnosti z vrholu x o íl v. Kžá hrn xy = {x, y} ru G(V, E, w) ostn nové élkové ohononí w ( xy ) = w( xy )+h(y) h(x). Přípustná j tková huristik, k všhn uprvná ohononí jsou nzáporná, noli w( xy ) h(x) h(y). Všimnět si, ž vzhlm k tomu, ž s honoty h(x) h(y) v oném přípě liší,a* loritmus kžý r impliitně přváí n r orintovný w ( xy ) w ( yx ). Pro použití při nvii v mpě 3 můž huristik h(x) uávt npříkl Eukliovskou vzálnost oů x v. Tková huristik j pol trojúhlníkové nrovnosti vžy přípustná. Použijm-li n r G(V, E, w ) s tkto uprvným ohononím hrn půvoní Dijkstrův loritms, u tnto loritmus silně prrovt hrny vouí v směru k íli v ohononí 2 Uává s čs téměř úměrný počtu hrn prohlávného ru. 3 Vlmi čstá plik A* loritmu 8

9 Aloritmus 1 Dijkstrův pro njkrtší stu v ru. Tnto loritmus nlzn njkrtší stu mzi vrholy x y klně vážného ru G, ného sznmm sousníh vrholů. Rquir: G(V, E, w) n n vrholh popsný sznmm sousů s i,j élk hrn i,j Rquir: Počátční uzl x V (G), konový uzl y V (G) Ensur: Njkrtší st z x o y or i = 1 to n o i {ztím nlzná élk njkrtší sty o tohoto uzlu} z i ls {vrhol nyl ztím zprován} n or x 0 {výhozí uzl u oznčn jko zprovný v prvním yklu} whil z y tru o j n or i = 1 to n 1 o i z i = ls n i < j thn j i n i n or{z jsm nšli njližší nzprovný vrhol j, tn t zprujm} i j is thn rturn Mzi vrholy x y nní st. n i z j tru {oznčím jko zprovný} or k = 1 to s j o {projm všhny sousy k uzlu j} i j + j,k < sj,k thn { poku j st z x přs j krtší} sj,k = j {zpmtujm si to} sj,k j + j,k { uložím vzálnost o x} n i n or{zprovli jsm všhny sousy uzlu j} n whil rturn Cst élky y, uložná v poli.

10 tkovýh hrn u totiž vlmi nízké, ztímo ohononí hrn vouíh o ílového vrholu směrm k počátčnímu vrholu s téměř zvojnásoí. Výslkm u výrzně mnší počt prohlávnýh vrholů ru (o nlzní sty o íl v) tké mnší potřná vlikost úshovny vrholů. 3.3 Kostry rů Kromě stromů smotnýh s zývám i stromy, ktré jsou osžny jko pory v většíh rh. Dini 16 (Kostr ru). Kostrou souvislého ru G j por v G, ktrý j sám stromm oshuj všhny vrholy ru G. Prolém 1 (Prolém minimální kostry ru). J án (souvislý) ohononý r G = (V, E, w) s nzáporným ohononím hrn w. Otázkou j njít tkovou kostru T v G, jž má njmnší možné lkové ohononí Krusklův loritmus Aloritmus 2 Krusklův hlový loritmus hlání minimální kostry ru Rquir: G(V, E, w) s n hrnmi, souvislý, i : w( i ) 0 Ensur: minimální kostr ru T sřím hrny ru G vzstupně pol jjih ohononí {u w( 1 ) w( 2 ) w( n )} T = {} {kostr j prázná} or i = 1 to n o i T { i } nvytváří kružnii thn T T { i } n i n or množin T oshuj hrny minimální kostry Ukážm si nyní, jk tnto loritmus unuj:

11 Prim-Jrníkův loritmus Aloritmus j vlmi pooný Krusklovu, hrny l n zčátku nsřzujm, kostru zčnm vytvářt z jnoho náhoně vyrného vrholu v kžém kroku přiám njmnší z hrn, ktré vou z již vytvořného postromu o zytku ru. Tnto loritmus j vlmi vhoný pro prktiké výpočty j ons širo používný. Máloko v světě všk onávn věěl, ž pohází o známého čského mtmtik Vojtěh Jrník půvoní Jrníkov prá yl psán čsky v světové litrtuř s tk loritmus ovykl připisuj Amričnu Primovi, jnž jj nzávisl ojvil ž skoro 30 lt po Jrníkovi

12 Aloritmus 3 Prim-Jrníkův loritmus hlání minimální kostry ru Rquir: G(V, E, w) n n vrholh popsný sznmm sousů s i,j élk hrn i,j Ensur: Minimální kostr H W {x}, k x j liovolný prvk z V F {} j prázná množin hrn kostry whil W V o min or ll x W o or ll y (V \ W ) o i x,y < min thn min x,y z y ϕ {x, y} {zpmtujm si njližší prvk k komponntě} n i n or n or W W {z} F F {ϕ} n whil rturn Minimální kostr H(W, F, ω) Sollinův-Borůvkův loritmus Historiky vů první loritmus pro prolém minimální kostry (z roku 128) yl nlzn jiným čským (rněnským) mtmtikm potkl jj sn jště kurióznější osu, nž loritmus Jrníkův, yl totiž ojvn několikrát (v Polsku, v Frnii), l ž pn Sollin jj popsl nliky proto většinou ns jho jméno. Jná s o poněku složitější loritmus, hová s jko Jrníkův loritmus spuštěný zárovň z všh vrholů ru njnou. Dtily lz nlézt v litrtuř [4, Oíl 4..3]. 12

13 Aloritmus 4 Borůvkův loritmus hlání minimální kostry ru Rquir: G(V, E, w) n n vrholh popsný sznmm sousů s i,j élk hrn i,j Ensur: Minimální kostr H W {x}, k x j liovolný prvk z V F {} j prázná množin hrn kostry whil W V o min or ll x W o or ll y (V \ W ) o i x,y < min thn min x,y z y ϕ {x, y} {zpmtujm si njližší prvk k komponntě} n i n or n or W W {z} F F {ϕ} n whil rturn Minimální kostr H(W, F, ω). Komponnty: {},{},{},{},{},{},{} 8 8 Komponnty: {,,,},{,,} 8 Komponnty: {,,,,,,} Rrn [1] DEMEL, Jiří. Gry jjih plik. Vy. 1. Prh: Ami, 2002, 2 s. ISBN [2] [3] [4] JIROVSKÝ, Lukáš. Tori rů [onlin]. Prh, 2008 [it ]. Dostupné z: http: //tori-ru.z/ HLINĚNÝ, Ptr. Zákly tori rů [onlin]. Vy. 1. Brno: Msrykov univrzit, 2010 [it ]. Elportál. Dostupné z: ISSN X. MATOUŠEK, Jiří Jroslv NEŠETŘIL. Kpitoly z iskrétní mtmtiky. 4., upr. opl. vy. Prh: Krolinum, 200, 442 s. ISBN

14 [] Svn Bris o Könisr. In: Wikipi: th r nylopi [onlin]. Sn Frniso (CA): Wikimi Fountion, 2013 [it ]. Dostupné z: or/wiki/svn_bris_o_k%c3%b6nisr. 14