(y i Y ) 2 = N 2 1 f

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "(y i Y ) 2 = N 2 1 f"

Transkript

1 Posledí aktualizace: červa 05 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Podpůrý text shrující vzorečky z předášek a cvičeí Budu velmi vděčý každému, kdo mě v případě podezřeí a jakoukoliv chybu upozorí Základí začeí U celá populace obsahující jedotky, které si očíslujeme jako,,, tedy U {,, } y i s Y Y σ y hodota sledovaého zaku pro i-tou jedotku výběr z populace U populačí průměr, tj Y y i populačí úhr, tj Y y i Y populačí rozptyl, tj σy (y i Y Prostý áhodý výběr (PV rozsah výběru ȳ výběrový průměr, tj ȳ y i Sy (korigovaý populačí rozptyl, tj Sy s y výběrový rozptyl, tj s y (y i ȳ f koečostí ásobitel (y i Y Úhr odhademe pomocí vzorce Ŷ ȳ Teto odhad má rozptyl var(ŷ ( (y i Y f který odhadujeme pomocí var(ŷ f s y S y, Takže přibližý kofidečí iterval (pro úhr Y založeý a ormálí aproximaci je [ ] Ŷ u α/ var( Ŷ, Ŷ + u α/ var( Ŷ, kde u α je α-kvatil ormovaého ormálího rozděleí Pro opatrost eí od věci ahradit kvatil u α kvatilem t-rozděleí o ( -stupích volosti Cochraovo pravidlo: pro dobré fugováí ormálí aproximace se doporučuje (viz Cochra (977, str 4, aby rozsah výběru splňoval: > 5 G, kde G S 3 y (y i Ȳ 3

2 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ ějakou iformaci o (populačí šikmosti G můžeme získat a základě miulých výzkumů, či výzkumech a podobé populaci Z výběru pak můžeme G odhadout pomocí Odhad podílu v populaci g s 3 y (y i ȳ 3 Asymptotické přístupy echť hodoty y i abývají pouze hodot ula ebo jeda Ozačme y i a y i Potom populačí podíl P odhadujeme pomocí P Rozptyl tohoto odhadu var( P f P ( P odhadujeme pomocí var( P f P ( P Využijme-li ormálí aproximaci, pak můžeme sestavit přibližý kofidečí iterval pro P pomocí [ ] P u α/ var( P, P + u α/ var( P, kde u α je α-kvatil ormovaého ormálího rozděleí Pro opatrost eí od věci ahradit kvatil u α kvatilem t-rozděleí o ( -stupích volosti a přidat ještě tzv opravu a spojitost [ ] P t, α/ var( P, P + + t, α/ var( P Další možost, jak využít ormálí aproximaci, je založea a ásledující úvaze Asymptotická ormalita ám říká, že áhodá veličia P P var( P v kofidečím itervalu jsou taková P, která splňují erovosti má asymptoticky ormálí rozděleí Tedy u α/ f P P u α/ P ( P To vede a kvadratickou rovici, jejíž vyřešeím dostaeme kofidečí iterval tvaru [P, P ], kde P, P + C C ( 4 P ( P + C, C u α/ ( + C f Pro opravu a spojitost dosazujeme při výpočtu dolí meze P místo P a při výpočtu horí meze P + místo P

3 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 3 Přístup založeý a hypergeometrickém rozděleí V případě koečé populace a prostého áhodého výběru bez vraceí se jedá o přesý model Ozačme si X áhodou veličiu, která představuje počet jediček ve výběru Potom P (X k ( ( k k (, k max{0, + },, mi{, } Uvažujme test H 0 : 0 proti H : < 0 Proti H 0 svědčí, když apozorovaé je malé a jeho p-hodotu dostaeme jako sup P M (X P 0 (X, M 0 jelikož P (X k je pro pevé k klesající v Horí iterval spolehlivosti pro tedy obsahuje všechy 0 takové, pro která ezamítáme ulovou hypotézu, tj IS { M : P M (X α } Podobě se dá odvodit, že dolí iterval spolehlivosti by byl IS { M : P M (X α } Jako oboustraý iterval spolehlivosti pro se pak bere IS [ L, U ], kde L mi { M : P M (X α }, U max { M : P M (X α } Iterval spolehlivosti pro populačí podíl P pak je [ L, ] U Vzhledem k diskrétí povaze dat je zapotřebí počítat s tím, že teto iterval spolehlivosti bude mít zpravidla skutečé pokrytí větší ež α Přístup založeý a biomickém rozděleí (Clopper-Pearsoův iterval spolehlivosti Pokud je malé a a jsou velké, pak se dá hypergeometrické rozděleí úspěšě aproximovat biomickým Podobě jako v předchozím modelu si ozačme P p (X k ( k p k ( p k, k 0,,, Aalogicky jako pro hypergeometrický model se dá odvodit oboustraý iterval spolehlivosti pro parametr p jako IS [p L, p U ], kde p L mi { p : P p (Y y α }, p U max { p : P p (Y y α } Literatura: Thompso (0 str 60, Vorlíčková (985 str 4, Cochra (977 str 50 60, Aděl et al (004 str 0, Čermák (980 str 89 99

4 4 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 3 Obecá teorie výběrů s růzými pravděpodobostmi π i pravděpodobost zahrutí i-té jedotky π ij pravděpodobost zahrutí i-té a zároveň j-té jedotky, spec π ii π i Horvitz-Thompsoův odhad úhru : ( Ŷ HT π i y i Horvitz-Thompsoova formule pro rozptyl odhadu úhru : ( var ( ( πij Ŷ HT y i y j ( yi + π i π j π i j U Odhad rozptylu úhru založeý a H-T formuli (3 var ( y ( Ŷ HT i + π i π i i,j s, i j y i y j π ij i,j U, i j ( πij π i π j ( πij y i y j π i π j V případě výběru s pevým rozsahem je H-T formule pro rozptyl ( ekvivaletí Yates- Grudyho formuli pro rozptyl odhadu úhru : (4 var ( Ŷ HT j U Odhad rozptylu úhru založeý a Y-G formuli : (5 var ( Ŷ HT l s ( yi π i y j π j ( yi π i y j π j (π i π j π ij ( πi π j π ij Literatura: Vorlíčková (985 str 7, 48 49, 5 53 ěkteré druhy výběrů s růzými pravděpodbostmi Poissoovský výběr (Poisso samplig Každou jedotku vybíráme ezávisle a ostatích a vybereme ji s pravděpodobostí p i Rozsah výběru K(s je tedy áhodá veličia, pro kterou platí: E K(s p i, var(k(s p i ( p i, Jelikož pro Poissoův výběr platí π i p i a π ij π i π j p i p j, dostáváme dosazeím do obecých vzorečků pro výběr s estejými pravděpodobostmi ásledující: var ( Ŷ HT y i p i ( p i

5 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 5 Protože zde emáme pevý rozsah výběru, odhaduje se var ( Ŷ HT z H-T formule (3: var ( Ŷ HT yi p i ( p i Problémem H-T odhadu je, že ebere v potaz áhodost rozsahu výběru Proto se pro Poissoův výběr ěkdy doporučuje ásledující odhad Ŷ a E K(s K(s Jiou alterativí možostí je použít jako odhad úhru tzv Hájkův odhad: Ŷ Ha y i/π i Ṋ y i, kde /π i π i /π i y i π i a odhad Ŷa se můžeme také ekvivaletě dívat jako a vážeý odhad Ŷ a y i w i, kde w i (s /π i j s /π, i s j Odhad Ŷa sice eí desigově estraý, ale je apř ekvivariatí vůči posuutí Pokud jsme si však jisti, že π i ijak esouvisí s y i, tak se doporučuje použít stejý odhad úhru jako pro prostý áhodý výběr Ŷ a ȳ, kde ȳ K(s y i Beroulliho výběr (Beroulli samplig Speciálí případ Poissoovského výběru, kdy p p p Pro účely iferece (tj apř pro kostrukci itervalu spolehlivosti pro úhr se a ěj můžeme dívat jako a prostý áhodý výběr o rozsahu K(s Podmíěý poissoovský výběr Při tomto výběru provádíme obyčejý Poissoovský výběr tak dlouho, až se ám podaří vybrat předepsaý počet jedotek yí však již obecě eplatí, že π i P i a π ij π i π j p i p j Provádíme-li tedy podmíěý poissoovský výběr s pravděpodobostmi P,, P, je třeba vypočítat pravděpodobosti zahrutí π,, π Přesý výpočet je začě obtížý, proto můžeme využít ásledující aproximaci ( π i p i ( p p i ( p i d + o( d, kde d p i ( p i, p p i ( p i d

6 6 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Pro použití rozptylových vzorců (4 a (5 potřebujeme zát pravděpodobosti zahrutí dvojic π ij Opět ejsme schopi tyto hodoty přesě vypočítat Proto se používá ásledující aproximace (Vorlíčková, 985, str 8: (6 π ij π i π j [ ( π i ( π j + o( ], kde π i ( π i Zamítací výběr Provádíme výběr o rozsahu s estejými pravděpodobostmi (α (α,, α s vraceím Pokud emáme ve výběru všechy prvky růzé, výběr zamíteme a děláme úplě ový výběr Pokud pro i,, platí, že α i b p i p i, kde b je vhodá kostata, pak je zamítací výběr ekvivaletí s podmíěým poissoovským výběrem Tj zamítací výběr je pouze jiý způsob realizace podmíěého poissoovského výběru, který se hodí zejméa pro malé výběry z velkých populací Máme-li předepsáy pravděpodobosti zahrutí π (π,, π (0 < π i <, pak můžeme odpovídající pravděpodobosti vytažeí α aproximovat pomocí (Vorlíčková, 985, str 9, rce (46: [ ] α i λ ( + π π i π i + π i + o(, kde π i ( π i, π π i ( π i a λ je vhodá kostata, aby platila podmíka i α i Pro odhad var ( Ŷ HT pak pravděpodobosti zahrutí dvojic πij aproximujeme opět pomocí vzorce (6 Literatura: Vorlíčková (985 str 4 33, Särdal et al (99, str 6 65 Postupý výběr Postupě vybíráme jedotky s estejými pravděpodobostmi (α (α,, α s vraceím Pokud vytáheme již vybraou jedotku, tak tuto jedotku zamíteme a taháme zovu Máme-li předepsáy pravděpodobosti zahrutí π (π,, π (0 < π i <, pak můžeme vypočítat pravděpodobosti vytažeí α pomocí ásledující aproximace uvedeé a předášce α i λ π i ( + π i, kde λ určíme tak, aby α i Jiou možostí založeou a Větě 6 z Vorlíčková (985 je položit α i ( π i T, kde T řeší rovici i ( π i T i

7 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 7 Pro použití rozptylových vzorců (4 a (5 potřebujeme zát π ij Jelikož ejsme schopi tyto hodoty přesě vypočítat, můžeme použít ásledující aproximaci (Čermák (980, str 59, rce (39 π ij π i π j ( + π i + π j Literatura: Čermák (980 str 59, Vorlíčková (985 str Systematický výběr Kvalita odhadu záleží a uspořádáí populace Problematický je odhad rozptylu Pokud se dá předpokládat, že populace je uspořádaá áhodě, pak lze použít stejý vzoreček jako pro PV Pokud lze v populaci očekávat slabý tred, tak ěkteří autoři doporučují použít ( var(ȳ (y ( [i] y [i ], kde y [] y i0, y [] y i0 +k, y [3] y i0 + k,, y [] y i0 +( k, a i 0 je počátečí idex a k je výběrový krok 3 Odhad rozptylu založeý a modelu Předpokládejme, že data byla vygeerováa apř pomocí ásledujícího modelu i (7 y i β x i + x i e i, kde e,, e jsou ezávislé s rozptylem σ Potom var ( ȳ Y ( var(y i + var(y i σ [ ( x i + \s Teto rozptyl pak můžeme odhadout pomocí kde var ( ȳ Y σ [ ( x i + σ ( yi βx i, β x i l π l \s x i ], y i x i \s Vhodost tohoto odhadu rozptylu závisí a tom, jak dobře model (7 odpovídá realitě V kize Valliat et al (000 jsou odvozey odhady rozptylu, které by měly fugovat slušě, i když model (7 eodpovídá přesě realitě Literatura: Vorlíčková (985 str 37 40, Fuller (009 str 5, Cochra (977, str 05 3 x i ]

8 8 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Restricted radom samplig Mějme ějakou pomocou veličiu {x i, i U} jejíchž hodoty záme pro celou populaci již před provedeím výběru a o které můžeme předpokládat, že souvisí se zkoumaou veličiou {y i, i U} Základí myšleka restricted radom samplig je udělat takový výběr, který v hodotách x i je dobrou zmešeou kopií celé populace Většiou požadujeme balace v prvích dvou mometech veličiy x k Ispirovaí t-statistikou defiujme ( x X ( t (s, a t ( x s X ( (s, kde a kde a x ( s S x x i, X( S x x i, [ ( S x xi X ] / [ ] / (, S x x i X (, i i ( x X ( t (s, a t ( x s X ( (s, i x ( s S x x i, X( i S x x i, [ ( S x xi X ] / [ ] / (, S x x i X ( Provádíme prostý áhodý výběr tak dlouho, dokud veličiy t (s a t (s (defiovaé výše ejsou dostatečě malé Autoři kihy Valliat et al (000 doporučují jako rozumou volbu i i t (s < 0,5 a t (s < 0,5 Pro takovýto výběr elze dost dobře dělat desig-based iferece Je třeba zkusit dělat model-based iferece tak, aby to edopadlo katastrofou, i kdybychom přesě etrefili model Více o tomto přístupu lze ajít v kize Valliat et al (000 Důvody: Stratifikovaý (oblastí výběr kromě celkových (celorepublikových odhadů, chceme odhad také za jedotlivá strata (apř kraje, věkové skupiy, kategorie dle vzděláí, vytvořeí strat, která jsou uvitř homogeí, ale avzájem růzá, může začě sížit variabilitu odhadu,

9 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 9 růzá ákladost prošetřeí jedotek v růzých oblastech V dalším budeme předpokládat, že v každé oblasti děláme PV bez vraceí Začeí: L počet strat, U k k-té stratum o velikosti k, k rozsah výběru v k-tém stratu, f k k k výběrový podíl ve stratu k Odhad úhru: (8 Ŷ L k ȳ k, kde ȳ k k k je výběrový průměr v k-tém stratu Rozptyl tohoto odhadu je var ( Ŷ L k je rozptyl v k-tém stratu k Odhad rozptylu odhadu úhru pak bude (9 L var(ŷ k k je výběrový rozptyl v k-tém stratu k y i f k k S k, kde S k k k (y i ȳ k f k s k, kde s k (y i ȳ k k k k Itervalový odhad Pokud jsou všechy k dostatečě velké má veličia Ŷ Y přibližě var( Ŷ ormálí rozděleí Opatrější je však použít t-rozděleí eí však úplě zřejmé, kolik by mělo mít toto t-rozděleí stupňů volosti Vhodý počet stupňů volosti se tedy odhaduje pomocí ásledujícího postupu Spočteme počet stupňů volosti v jedotlivých oblastech ν k k, pro k,, L Dále spočteme podíly odhadů rozptylů odhadů úhrů v jedotlivých stratech a odhadu rozptylu celkového úhru T l l ( f l l Sl L k k ( f, pro l,, K k k Sk 3 Celkový počet stupňů volosti pak odhademe jako vážeý harmoický průměr stupňů volosti v jedotlivých oblastech ν L k Tk ν k

10 0 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Pozámka Pro odhad počtu stupňů volosti platí mi ν k ν k L L ν k k L ( k L, tedy stratifikace sižuje počet stupňů volosti oproti PV, pro který je počet stupňů volosti Speciálě pokud L, L a s s s L, pak k T T T L L a ν L ( L Pozámka Odhad stupňů volosti je založe a Satterthwaitově aproximaci rozděleí vážeého součtu ezávislých kvadratických forem pomocí χ -rozděleí, viz Satterthwaite (946 Stejá myšleka je využita v Satterthwaitově verzi dvouvýběrového t-testu v případě estejých rozptylů, viz Aděl (998, str 88 Optimálí alokace Chceme-li miimalizovat rozptyl odhadu úhru za předpokladu daých celkových ákladů a výběr C L k c k k, kde c k je cea prošetřeí jedé jedotky v k tém stratu, pak volíme rozsahy výběrů v jedotlivých oblastech pomocí vzorce k C ck k S k L g, k,, L g S g cg Speciálě pro c c L a C dostáváme k k S k L g g S g, k,, L Post-stratifikace PV se provede a celém souboru (tedy žádá ezávislé vybíráí ve stratech Pro odhad úhru však epoužiji ȳ, ale vzoreček (8 Ozačme teto odhad ŶP Přibližý rozptyl tohoto odhadu je (pro k / dostatečě velké [ (0 var(ŷp f L k S k + L ( ] k Sk k Teto vzorec se hodí pro zhodoceí pláu: PV + post-stratifkace Pokud však chceme pro kokrétí data odhadout rozptyl odhadu úhru ŶP, pak je lépe využít vzorce (9 Post-stratifikace může začě vylepšit áš odhad, pokud se průměry v růzých stratech výrazě liší Je však třeba dát pozor, aby apozorovaé rozsahy ve stratech byly dostatečě velké, aby odhady průměrů ȳ k ebyly příliš estabilí (variabilí Literatura: Vorlíčková (985 str 40 43, Fuller (009 str 5, Cochra (977, str 89 4 Thompso (0 str 4 5 k

11 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Model assisted estimatio Základí idea je ásledující: Předpokládejme, že pro každou jedotku dokážeme a základě pomocé veličiy, áhodého výběru,, sestavit odhad ŷ i zjišťovaé y i Potom můžeme rozepsat úhr Y jako ( Y y i (y i ŷ i + ŷ i Prví čle a pravé straě ( yí odhaděme pomocí HT-odhadu a dostáváme ( Ŷ MA y i ŷ i π i + ŷ i Rozdílový odhad Vychází z predikce ŷ i x i, kde {x i, i U} je pomocá veličia zámá již před výběrovým šetřeím Pro rovoměrý výběr π pak dostáváme odhad úhru Ŷ rozd X + (ȳ x, kde X x i Odhad Ŷrozd je desigově estraý Obecý regresí odhad (geeralized regressio estimator Pomocým modelem v tomto případě je (relativě obecý lieárí model (3 y i x T i β + σ i e i kde e,, e jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozptylem Odhad ŶMA daý vzorcem ( pak vede k ásledujícím odhadu úhru Ŷ GREG ŶHT + β T (X Σ X HT kde β a X Σ x i, X HT x i π i Odhad ŶGREG lze přepsat do tvaru lieárího odhadu ( x i x T i σ i π i ( x i y i σi π i (4 Ŷ GREG y i g i π i, kde g i + xt i σ i ( x i x T i σ i π i (XΣ X HT Čísla {g i, i s} se v odboré aglické literatuře azývají G-weights Tyto váhy se využívají ke kostrukci rozptylu a ke zjišťováí, zda ěkterá pozorováí emají příliš velkou váhu ve výsledém rozptylu Za povšimutí stojí, že se stadardě dá očekávat, že g i + O P (

12 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Ozačme B ( x i x T i σ i ( x i y i σi a z i y i B T x i Asymptotický rozptyl odhadu ŶGREG je (za určitých podmíek regularity totožý s rozptylem odhadu ẐHT z i π i S využitím ( (5 avar ( ( πij Ŷ GREG z i z j π i π j j U V případě pevého rozsahu výběru pak lze využít Yates-Grudyho formuli (4 (6 avar ( Ŷ GREG l s ( zi z j (π i π j π ij π i π j Pro odhad asymptotického rozptylu ŶGREG se doporučuje ahradit z i pomocí z i g i ẑ i g i ( yi ˆβ T x i Tedy z využitím H-T formule (3 dostáváme a dostáváme (7 avar ( Ŷ GREG j s g i ẑ i g j ẑ j π ij ( πij π i π j Pokud máme pevý rozsah výběru, pak lze použít Y-G formuli (5 a dostáváme odhad asymptotického rozptylu (8 avar ( Ŷ GREG ( gi ẑ i j s π i g ( jẑ j πi π j π j π ij Odhad ŶGREG eí obecě D-estraý Stadardě se však dá očekávat, že jeho vychýleí bude řádu O ( Jelikož (asymptotická směrodatá odchylka odhadu je stadardě O (, dá se toto vychýleí při ifereci zpravidla zaedbat Prostý áhodý výběr V případě prostého áhodého výběru dostáváme odhad Ŷ GREG ȳ + β T ( XΣ x ( (, kde β x i x T i x i y i Vzorec pro odhad asymptotického rozptylu (8 lze upravit do tvaru (9 avar ( Ŷ GREG ( (g i ẑ i gz, kde gz g i ẑ i Literatura: Särdal et al (99, str 9 39

13 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 3 Poměrové odhady Poměrový odhad (I typu Pomocým modelem je v tomto případě (heteroskedastický model lieárí regrese bez absolutího čleu, tj (0 y i β x i + x i e i, kde e,, e jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozptylem Pro π dává metoda vážeých ejmeších čtverců (MVČ odhad parametru β jako poměr ˆr ȳ x Odhad úhru ŶMA daý ( pak lze psát ve tvaru Ŷ R X ˆr X ȳ x, Ŷ R X ȳ x, kde X x i, X x i Teto odhad eí obecě D-estraý a jeho desigové vychýleí je pro PV přibližě bias(ŷ R ( ( f Y X X S X S XY ( f ( X R S Y X S XY, kde R X a S XY je populačí kovariace, tj S XY (y i Ȳ (x i X pro všecha i s, tak vzorec pro odhad asympto- Jelikož ẑ i y i ˆr x i a G-váhy g i X x tického rozptylu (9 dává ( var ( Ŷ R ( f ( X x (y i ˆrx i Odhad rozptylu založeý a Model-based iferece ejpřímočařejší odhad asi je var ( Ŷ R Y ( f X x U\s x (y i ˆrx i x i kde x U\s \s x i Ukazuje se však, že teto odhad podhodocuje skutečý rozptyl, pokud předpokládaý model eí úplě pravdivý Jako jeda z alterativ se avrhuje var ( Ŷ R Y ( f X x U\s (y i ˆrx i x ( xi x Poměrový odhad II typu (pro PV Pomocým modelem je v tomto případě (heteroskedastický model lieárí regrese bez absolutího čleu, tj ( y i β x i + x i e i, kde e,, e jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozptylem Pro π dává MVČ odhad parametru β jako průměrý poměr ˆr y i x i Poměrovým odhadem II typu se pak často rozumí Ŷ r X ˆr, kde ˆr y i x i

14 4 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Model assisted estimatio ( však vede a odhad Pro PV mají odhady Ŷr bias ( Ŷ r R X Y, a (přibližé rozptyly Ŷ (MA r a Ŷ (MA r var ( Ŷ r f X ˆr + (ȳ ˆr x ásledující (přibližé vychýleí bias ( Ŷ r (MA f X avar ( Ŷ r (MA f i ( y i x i R, i ( yi x i R ( xi X ( yi Ȳ R (x i X i Všiměme si, že ˆr je estraým odhadem R poměru R Y X Proto tedy vychýleí odhadu Ŷ r Ŷr směrodatou odchylku odhadu Ŷ R, která je řádu O ( y i x i, což je však obecě růzé od je obecě řádu O( a domiuje Tedy vychýleí asymptoticky ezmizí, ale aopak s rostoucím rozsahem výběru abývá a důležitosti Proto se zpravidla dává předost odhadu Ŷ r (MA Jeho rozptyl můžeme odhadout pomocí vzorce (9, kde g i + x i ( X x, ẑ i y i ˆr x i, gz ȳ ˆr x Výběry s růzými pravděpodobostmi V případě, že pro pravděpodobosti zahrutí platí x π i i j U x, pak Ŷr j je desigově estraý odhad úhru Literatura: Thompso (0 str 93 4, Cochra (977, str 50 6, Čermák (980 str Regresí odhad Pomocým modelem je v tomto případě (homoskedastický model lieárí regrese, tj (3 y i α + β x i + e i, se dá od- kde e,, e jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozptylem Pro π had ŶMA daý ( psát ve tvaru Ŷ regr (ȳ + β( X x, kde β (x i x y i (x i x ejpřímočařejší odhad rozptylu v případě PV by byl var(ŷregr f ( yi ȳ β(x i x,

15 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 5 Doporučuje se však využít tzv G-weights (viz Obecý regresí odhad Vzorec (9 se pak dá upravit a tvar kde g i + var(ŷregr f (x i x( X x j s (x j x pro i s Literatura: Cochra (977, str g i ( y i ȳ β(x i x, Mějme pomocou veličiu x i Kalibračí odhady (x i,, x ip T a předpokládejme, že záme populačí úhry X Σ ( x i,, x ip T Chceme ajít takové váhy {wi, i s}, že platí kalibračí rovice (4 x i w i X Σ Váhy {w i } se sažíme ajít tak, aby byly co ejblíže vahám z H-T odhadu d i π i Kalibrovaý odhad úhru pak bude ve tvaru ŶK y i w i ejčastější je hledat váhy {w i } jako váhy, které miimalizují (w i d i d i a i, za podmíky (4, kde a i je specifická váha pro i-té pozorováí Tato úloha vede pak k odhadu Ŷ K y i g i π i, kde g i + a i x T i ( a i x i x T i π i (XΣ X HT Volba a i pak dává, že σi ŶK je v tomto případě totožý s obecým regresím odhadem Y GREG, viz (4 Rakig Jedá se o sahu využít zámou strukturu populace dle kvalitativích zaků (apř pohlaví, ejvyšší dosažeé vzděláí, kraj trvalého bydliště, ejedá se však o úplou post-stratifikaci, ale o kalibraci takovou, aby seděly margiálí součty Za tímto účelem se hledají váhy {w i }, které miimalizují ( ( w i log wi d i w i + d i Při hledáí vah {w i } se pak s úspěchem využívá algoritmu IPF (iterative proportioal fittig Literatura: Deville ad Särdal (99

16 6 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Skupikový výběr (cluster samplig Populace se rozpadá a skupiky My vybereme ěkolik skupiek a ty prošetříme celé Důvody: eexistuje sezam elemetárích jedotek skupiky jedotek jsou rozptýley a velkém území Zásady: skupiky by měly být přibližě stejě velké Pokud ejsou stejě velké doporučuje se vybírat skupikami s pstmi úměrými jejich velikosti, skupiky jsou uvitř co ejvíce růzorodé, ale aveek co ejvíce podobé To je sice pěká zásada, ale v praxi bývá problém, že jedotky ze stejé skupiky bývají podobější ež jedotky z růzých skupiek Jedá se vlastě o speciálí případ dvoustupňového výběru (viz dále V dalším textu budeme předpokládat, že skupiky jsou vybráy pomocí PV Začeí: U M i U i rozklad populace a skupiky M celkový počet skupiek m počet vybraých skupiek s I sezam vybraých skupiek s I U i rozklad výběru a skupiky f I m M koečostí ásobitel Y r r y i celkový úhr v r té skupice Ȳ M M r Y r průměr úhrů a jedu skupiku Ȳ i y i populačí průměr a jedu jedotku Dále budeme uvažovat prostý áhodý výběr skupiek metoda Jelikož pst zahrutí je pro každou jedotku π i m M, pak H-T odhad má tvar Ŷ M Y i m M Ŷ, kde Ŷ Y i m I I Iterpretace: odhademe průměrý úhr připadající a jedu skupiku a vyásobíme počtem skupiek Výše uvedeý odhad má rozptyl a Ȳ M M i Y i var ( Ŷ M f I m S M, kde S M M M ( Yi Ȳ i

17 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 7 Teto rozptyl můžeme odhadout aalogicky jako u PV: var ( Ŷ M f I m s M, kde s M m r s I je výběrový rozptyl skupikových úhrů Pozámky: ( Y r Ŷ teto odhad je sice desigově estraý, ale evyužívá vztahu mezi velikostí skupiky a úhrem v této skupiě; při ezalosti celkového počtu jedotek elze odhadout průměr a jedu jedotku metoda Odhad průměru: Y m m r s I Y r r s I r Iterpretace: odhademe průměrý úhr připadající a jedu skupiku (Ŷ m r s I r Y r s I Y r a vydělíme průměrou velikostí vybraých skupiek m Y je vlastě poměrový odhad I typu (viz poměrové odhady My vlastě odhadujeme R ( M i y i/ M i x i, pomocí ȳ/ x, kde roli yi hrají skupikové úhry Y i a roli x i hrají rozsahy skupiek i ; Můžeme tedy využít vzorce ( a dostaeme, že Ŷ má asymptotický (desigový rozptyl a Ȳ M M i Y i avar ( Y f I m M M ( Yi Y i Odhad asymptotického (desigového rozptylu pak dostaeme upraveím ( Pozámky: i avar (Ŷ f I m ( ( Y r m Ŷ r r s I odhad eí obecě estraý, ale jeho vychýleí je zpravidla vzhledem ke směrodaté chybě tohoto odhadu zaedbatelé; při ezalosti celkového počtu jedotek elze odhadout celkový úhr 3 metoda Poměrový odhad II typu ( model based estimatio vede k odhadu průměru Y 3 ȳ + ˆr (, kde ˆr Y i, m i I M M i i

18 8 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Asymptotický (desigový rozptyl odhadu Ŷ 3 dostaeme upraveím vzorce (3 avar(ŷ 3 f I ( Yi Y Y m( 3 ( i M Asymptotický (desigový rozptyl odhadu průměru odhademe pomocí vzorce (9, kde Pozámky: g i + i (, ẑ i Y i Ŷ 3 i, gz Ŷ Ŷ 3 v případě, že místo PV vybíráme skupiky s pravděpodobostí zahrutí úměrou rozsahům skupiek,, M, pak ˆr by byl HT odhad (a tudíž by byl desigové estraý; Pokud ezáme a ahradíme jej pomocí, pak Ŷ 3 Ŷ Pokud bychom použili jako odhad Ŷ 3 ˆr, pak teto odhad je desigově vychýleý, pokud M M i Y i i Y ; Literatura: Särdal et al (99, str 9 33, Cochra (977, str Provádí se ve dvou krocích Dvoustupňový výběr ( Výběr větších, tzv primárích výběrových jedotek (PVJ ( V rámci PVJ vybírám meší, tzv sekudárí výběrové jedotky (SVJ Důvody pro teto typ výběru jsou tedy především admiistrativí (apř chybí opora výběru a ekoomické (apř bylo by drahé procestovat všechy kouty republiky Budeme předpokládat, že a obou stupích vybíráme jedotky pomocí PV Začeí: M celkový počet PVJ m počet vybraých PVJ f I m M koečostí ásobitel a I stupi výběru f IIr r r koečostí ásobitel a II stupi výběru Y r r y i celkový úhr v r té PVJ Y M M r Y r průměr úhrů a jedu PVJ Y i y i populačí průměr a jedu SVJ ȳ r výběrový průměr v r-té PVJ Ŷ r r ȳ r odhad úhru pro r-tou PVJ S r populačí rozptyl v r-té PVJ s r výběrový rozptyl v r-té PVJ

19 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 9 metoda Jelikož pro jedotku y k z i-té PVJ je pst zahrutí π i m M úhru má tvar Ŷ M m r s I r ȳ r M m r s I Ŷ r i i, pak H-T odhad Iterpretace: v každé PVJ odhademe úhr (Ŷr, spočteme průměr těchto odhadů úhru a vyásobíme počtem PVJ Rozptyl odhadu úhru Ŷ je var(ŷ M f I m S M + M m M r r f IIr r S r, kde SM bylo defiováo u skupikového výběru Výše uvedeý rozptyl můžeme odhadout pomocí (5 var ( Ŷ M f I m s M + M m r s I r f IIr r s r, kde s M m r s I (Ŷr Ŷ, Ŷ Ŷ k a s r m r k s I k s II r ( yk ȳ r metoda Odhad průměru: Y r si Ŷr r s I r r s I r ȳ r r s I, r Iterpretace: odhademe celkový úhr ve všech vybraých PVJ a vydělíme počtem všech jedotek v těchto PVJ Asymptotický (desigový rozptyl tohoto odhadu je avar (Ŷ f I m M M r Odhad tohoto (asymptotického rozptylu, pak je ( Y r r Y + mm M r r f IIr r S r (6 avar (Ŷ f I m( m r s I (Ŷr r Ŷ + mm( r s I r f IIr r s r, kde m m i i je průměrá velikost PVJ zahrutých ve výběru Odhad Ŷ eí desigově estraý, ale jeho vychýleí je mešího řádu, ež jeho směrodatá chyba, a proto toto vychýleí můžeme zpravidla zaedbat

20 0 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 3 metoda Odhad průměru: Y 3 ˆr + ( Ŷ ˆr /, kde ˆr m I Ŷ i i, M M i i Asymptotický (desigový rozptyl tohoto odhadu je (7 avar ( Ŷ 3 f I m( M M ( Yr Ȳ R ( r + kde R M M r Yr r Výše uvedeý (asymptotický rozptyl pak odhaduje pomocí r mm( M r r f IIr r S r (8 kde avar ( f I ( Ŷ 3 m( gr z r gz + m r s I mm ( r s I r g i + i (, ẑ i Ŷi Ŷ 3 i, gz Ŷ Ŷ 3 f IIr r s r, ěkteří autoři avrhují odhadovat populačí průměr pomocí ˆr Teto odhad však eí desigově estraý (a to ai asymptoticky, přičemž vychýleí je rové bias (ˆr R Y M M r Y r r Y Toto vychýleí může představovat závažý problém, pokud eí ve srováí se směrodatou odchylkou zaedbatelé Odhad rozptylů a druhém stupi výběru Jelikož se často stává, že výběry a druhém stupi ebývají příliš rozsáhlé, mohou být výběrové rozptyly s r ve vzorcích (5, (6 a (8 hodě variabilí Proto se v těchto vzorcích výběrové rozptyly s r ěkdy ahrazují pomocí průměrého výběrového rozptylu s w r s I ( r s r r s I ( r Literatura: Cochra (977, str 9 305, Thompso (0, str 7 8 Dvoufázový výběr V prví fázi uděláme rozsáhlý výběr s I o rozsahu I a a všech jedotkách zjistíme pomocou iformaci V druhé fázi děláme podvýběr s II o rozsahu z výběru s II a zjišťujeme odezvu y i V ásledujícím, pokud ebude řečeo jiak, budeme předpokládat prostý áhodý výběr v obou fázích

21 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Dvoufázový výběr za účelem stratifikace Účelem prví fáze je vytvořit L strat a základě těchto strat pak děláme v druhé fázi stratifikovaý výběr Začeí: s I k jedotky z si, které patří do k-tého strata I k počet jedotek v si k s II k jedotky vybraých z si k v druhé fázi k počet jedotek vybraých z s I k v druhé fázi W k k podíl k-tého strata a celé populaci w k I k podíl k-tého strata a výběru prví fáze I Populačí průměr odhadujeme pomocí Y Rozptyl tohoto odhadu je L w k ȳ k k var (Ŷ L k ( I S y I + I Teto rozptyl se dá odhadout apř pomocí var ( Ŷ kde s k k II k L k (y i ȳ k I k ȳ I k, kde ȳ k k L W k Sk k II k y i ( I k k ( I k I k wk s k + I k ( I L w k (ȳk Ŷ, Dvoufázový výběr a regresí odhad V prví fázi získáme u všech vybraých jedotek pomocou veličiu x i V druhé fázi děláme prostý áhodý výběr s II o rozsahu z s I Ozačme X I I i x i Potom jako odhad populačího průměru můžeme vzít Y ȳ + β ( X I x, kde ȳ II y i, k x x i, β II II (x i xy i II (x i x Asymptotický desigový rozptyl tohoto odhadu je avar ( Ŷ ( I S y ( I + ( yi I Ȳ B(x i X, kde B (x i Xy i (x i X Odhadout teto rozptyl pak můžeme pomocí ( avar(ŷ I s y ( I + I gi ri, II

22 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ g i + (x i x( X I x j s II (x j x a r i y i ȳ β (x i x pro i s II Literatura: Cochra (977, str , Thompso (0, str orespose Pravděpodobostí výběr idealisticky předpokládá, že dokážeme provést všechy ásledující kroky: ( Zkostruovat potřebou oporu výběru (frame pro cílovou populaci ( Vybrat soubor způsobem, který ám dává požadovaé pravděpodobosti zahrutí (3 U každé jedotky ve výběru apozorovat všechy sledovaé veličiy (4 Bezchybě zpracovat (tj zazameat, přeést z formulářů, data a připravit je k aalýze (5 Správě zpracovat data (tj použít metody vhodé pro daou situaci Jestliže výběrovou chybou rozumíme kolísáí (variabilitu odhadů v důsledku prováděí áhodého výběru, pak evýběrovou chybou se zpravidla rozumí chyba v důsledku porušeí jedoho či více předpokladů ( (5 Velmi často vzikají problémy u bodu (3 Jedotky buď eodpovídají správě záměrě, ebo otázku emusí správě pochopit, či mohou být ovlivěi způsobem položeí otázky atd V případě, že ám pro daou jedotku chybí zjišťovaá veličia, mluvíme o orespose V praxi se často rozlišuje tzv jedotková (uit orespose, kdy ám u jedotky chybí všechy zjišťovaé veličiy, ebo tzv položková (item orespose, kdy ám chybí pouze ěkteré ze zjišťovaých veliči Učebice ám říkají, že orespose je spíše pravidlem ež výjimkou V podstatě každé výběrové šetřeí obsahuje orespose Rozdíly mohou být pouze v míře této orespose echť s začí soubor vybraých jedotek a s r začí soubor skutečě prošetřeých jedotek ejjedodušší mírou orespose je λ r K(s, kde K(s je rozsah souboru s a r je rozsah souboru s r V případě, že jedotky emají shodé pravděpodobosti zahrutí, bývá zpravidla vhodější použit tzv vážeou míru orespose k s λ w r /π k k s /π k Hlavím problémem orespose je, že ám zpravidla vychyluje populaci Tj populace, ze které vybíráme se ve sledovaé veličiě liší od populace, o které bychom rádi proášeli ějaké úsudky Proto se doporučuje již při pláováí šetřeí myslet a to, jak miimalizovat orespose (školeí tazatelů, způsob získáváí údajů Pro citlivé otázky se může

23 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ 3 využít metoda záhoděého dotazováí Jiou metodou sižováí orespose je, že se ezastižeé jedotky pokoušíme opětově kotaktovat (callback, follow-ups Teprve po vyčerpáí těchto možostí prevece orespose (resp fiačích prostředků přistupujeme ke vhodým statistickým metodám V zásadě se využívá převážeí a imputace Převážeí echť p i je pravděpodobost, že od i-té jedotky, která je ve výběru získáme odpověď za předpokladu, že jsme ji zahruli do výběru Potom HT-odhad modifikujeme jako Ŷ HT r y i πi, π i π i p i V praxi však p i ezáme, takže je ahrazujeme odhady Ty se často získávají apř pomocí logistické regrese Pravděpodobost, že jediec odpoví, zde modelujeme s využitím pomocých veliči x i, které záme pro všechy vybraé jedotky Multiple imputatio ásti myšleky Předpokládejme, že se chceme odhadout apř úhr populace {y k, k U} a za tímto účelem provedeme výběr Y {y k, k s} Pokud by odpověděli všichi dotazovaí, tak bychom udělali odhad Ŷ f(y a zkostruovali odhad rozptylu var ( Ŷ V ašem výběru Ŷ f(y máme však chybějící data U těchto dat však záme pomocou áhodou veličiu {x k, k s} a doufáme, že by apř mohli platit model y k β T x k + e k, kde e k jsou ezávislé s rozděleím (0, σ a datech, která jsme apozorovali, tedy metodou ejmeších čtverců odhademe ezámé parametry tohoto modelu Potom pro j,, m (m je předem zvoleý počet imputací: ( Doplíme chybějící data pomocí modelu ỹ (j k ˆβ T x k + ˆσ (0,, k s \ s r ( Z takto doplěých dat spočteme odhad úhru pomocí Ŷj a rozptyl tohoto odhadu pomocí var ( Ŷ j Fiálí odhad úhru a odhad rozptylu úhru jsou kde Ŷ MI m V m m m Ŷ j, j m var ( Ŷ j, j Literatura: Särdal et al (99, str var ( Ŷ MI Vm + ( + m B m, Bm m m j (Ŷj ŶMI

24 4 VÝBĚRY Z KOEČÝCH POPULACÍ Použitá literatura Aděl, J (998 Statistické metody (vyd Matfyzpress, Praha Aděl, M, Čerý, R, Charamza, P, ad eustadt, J (004 Přehled metod odhadu statistické chyby ve výběrových šetřeích Iformačí Bulleti České statistické společosti, 5(-3: 48 Cochra, W G (977 Samplig Techiques Wiley, ew York Third Editio Čermák, V (980 Výběrové statistické zjišťováí STL Deville, J C ad Särdal, C E (99 Calibratio estimators i survey samplig Joural of the America Statistical Associatio, 87(48: Fuller, W A (009 Samplig statistics Wiley, ew York Särdal, C-E, Swesso, B, ad Wretma, J (99 Model Assisted Survey Samplig Spriger, ew York Satterthwaite, F E (946 A approximate distributio of estimates of variace compoets Biometrics Bulleti, :0 4 Thompso, S K (0 Samplig Wiley, ew York Third Editio Valliat, R, Dorfma, A H, ad Royall, R M (000 Fiite Populatio Samplig ad Iferece Wiley, ew York Vorlíčková, D (985 Výběry z koečých souborů Uiverzita Karlova Skripta

1.cvičení randomized response

1.cvičení randomized response POZNÁMKY K VÝBĚRŮM Z KONEČNÝCH SOUBORŮ Budu velmi vděčý každému, kdo mě v případě podezřeí a jakoukoliv chybu upozorí cvičeí radomized respose Warerova metoda viz Warer (965) Metoda ezávislé otázky viz

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michaela Kurková Dvouvýběrový T-test v případě estejých rozptylů Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedené materiály jsou doplňkem přednášek předmětu 154GP10

Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedené materiály jsou doplňkem přednášek předmětu 154GP10 Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedeé materiály jsou doplňkem předášek předmětu 154GP10 014 HLAVNÍ PROJEKČNÍ PRVKY Směr pokud možo volit přímý tuel. U siličích t. miimálí poloměr 300 m, u železičích

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

PoznÁmky k přednášce

PoznÁmky k přednášce NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více