Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti"

Transkript

1 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto koečý (rozsah ozačujeme N) i ekoečý. Iformace o populaci získáváme prostředictvím statistického výzkumu (statistických studií). Rozlišujeme dva základí typy statistických studií - pokus a šetřeí. Při pokusu pláovitě měíme faktory a sledujeme jejich vliv. Typickým příkladem je komparativí experimet (kliický pokus), kdy sledovaé prvky rozdělíme do dvou skupi áhodě a každou skupiu vystavíme vlivu jiých faktorů (tzv. kotrolovaý pokus). Pokud avíc vyhodocující experimetátor ebo vyhodocující experimetátor i sledovaý subjekt eví, ve které skupiě je zařaze, jedá se o slepý pokus resp. dvojitě slepý pokus. V rámci šetřeí je výzkumý pracovík pouze pasivím pozorovatelem, který zasahuje co ejméě do průběhu šetřeí. Parametr populace (populačí charakteristika) je číselá charakteristika sledovaé vlastosti v populaci, apříklad průměrá výška desetiletých chlapců, variabilita doba léčeí kokrétího oemocěí a území ČR a podobě. Obvykle pokládáme teto parametr za pevé číslo, které je však obecě ezámé. Parametr obecě začíme Θ, pro ěkteré parametry je zavedeo kokrétí ozačeí µ, σ 2, ϕ,.... Výběr je koečá podmožia populace, kdy sledujeme a měříme požadovaé vlastosti pouze u ěkterých prvků populace. Výběr je vždy koečý (rozsah ozačujeme ) a pokud výběr dobře odráží strukturu celého zkoumaého souboru, azýváme jej reprezetativí výběr. Podle charakteru získáváí výběru prvků z populace rozlišujeme úplé šetřeí: sledujeme zaky všech prvků základího souboru; selektiví výběr; záměrý výběr: výběr se opírá o expertí staoviska ebo je ovlivě subjektivími hledisky experimetátora, přesost zobecňujících závěrů se opírá o expertí hledisko experimetátora a ikoliv o statistickou metodologii; áhodý výběr: prvky ze základího souboru vybíráme áhodě, ezávisle a úsudku experimetátora prostý áhodý výběr (simple radom sample) : provádí se růzými techikami losováí, které musí zaručit, aby každý prvek populace měl stejou možost být zařaze do výběru. Pokud jsou prvky populace jsou očíslováy, je možo provést výběr pomocí tabulek áhodých čísel. mechaický výběr: je založe a určitém, předem daém uspořádáí prvků populace, do výběrového souboru zařadíme všechy prvky, které jsou od sebe vzdáley o zvoleý výběrový krok, přičemž prví prvek vybereme prostým áhodým výběrem. Například 1

2 z abecedě uspořádaé kartotéky pacietů u praktického lékaře vybíráme s krokem dvacet. Prví kartu vylosujeme mez prvími dvaceti kartami, třeba devátou. Musíme dát pozor, aby uspořádáí prvků esouviselo se sledovaým zakem. oblastí výběr (stratifikovaý): studovaá populace je rozdělea do dílčích oblastí. Oblasti jsou vytvořey tak, aby byly uvitř homogeí (ve sledovaých zacích se příliš eliší) a mezi sebou heterogeí (sledovaé zaky se začě liší). Při šetřeí a obyvatelstvu jsou oblasti vytvořey apř. územími celky, věkovými skupiami ebo socioekoomickým statutem. Z každé oblasti vybereme vzorek metodou prostého áhodého výběru ebo mechaického výběru. Proceto vybraých prvků z oblastí může být bud pro všechy oblasti stejé, ebo se mezi oblastmi liší. Někdy máme pádé důvody vybírat z ěkteré oblasti relativě méě prvků, apř. při zvýšeých fiačích ákladech a šetřeí ebo obtížé dostuposti údajů. Koečý výběrový soubor vytvoříme spojeím vzorků ze všech oblastí. skupiový výběr: Pro velké rozsahy populace eprovádíme áhodý výběr, tj. evybíráme jedotlivé osoby, ýbrž celé skupiy osob, které tvoří bud přirozeé ebo umělé agregáty. Tyto skupiy mohou být malé i větší (rodia, škola, závod, zdravotí obvod) ebo i začě rozsáhlé (obce, okresy). Je žádoucí, aby skupiy byly pokud možo stejě velké a osoby uvitř každé skupiy růzorodé. Dále se požaduje, aby variabilita mezi skupiami byla co ejmeší, což je tedy obráceě, ež je tomu u oblastího výběru. Když byl provede výběr skupi, lze dále pokračovat dvojím způsobem: bud vyšetříme vyčerpávajícím způsobem všechy osoby vybraých skupi, ebo zvolíme metodu vícestupňového výběru. vícestupňový výběr: je založe a existeci určitého hierarchického popisu prvků základího souboru. K těmto prvkům se postupě dostáváme přes vyšší výběrové jedotky, apříklad: města - bloky - domy - domácosti; okresy - závody - díly - zaměstaci. Každá výběrová jedotka je skupiou výběrových jedotek ižšího řádu. Postupě vybíráme jedotky prvího stupě (primárí jedotky), z ich potom jedotky druhého stupě (sekudárí jedotky), z ich jedotky třetího stupě atd., až dojdeme k základím jedotkám statistického šetřeí. Postupé výběry provádíme často metodou prostého áhodého výběru, lze však uplatit i výběr mechaický ebo oblastí. Vícestupňový výběr je vhodý v situacích, kdy úplá opora výběru eí dostupá před začátkem výběrového postupu. Jeho výhody jsou především ekoomického charakteru. cezorovaý výběr je výběr, kdy emáme k dispozici přesou hodotu sledovaé charakteristiky, ale máme iformaci, že hodota bude větší ež kokrétí číslo (cezorováí zprava) ebo meší ež kokrétí číslo (cezorováí zleva), apříklad sleduje dobu přežití a v okamžiku ukočeí experimetu víme, že paciet přežil více ež 5 let, ale evíme přesou dobu přežití. Data je souhr kokrétích číselých údajů, reálých čísel (výsledek opakovaých pokusů ebo šetřeí), které máme k dispozici. Jedá se vždy o koečý počet dat, rozsah dat je a jedotlivé údaje začíme x 1, x 2, x 3,..., x, pokud máme data seřazea podle velikosti, používáme začeí x (1), x (2), x (3),..., x (). Výběrová charakteristika (statistika) je pojem používaý pro číselou charakteristiku výběru, 2

3 apř. aritmetický průměr z aměřeých dat, výběrový rozptyl,.... Pro růzé výběry je hodota téže statistiky obvykle růzá. 1.2 Základí typy statistických dat Podle toho, jaký charakter mají zaky ve výběru ebo v populaci rozlišujeme růzé typy dat. Nejápadější je rozdíl mezi proměými vyjádřeými slově a proměými, jejichž hodoty jsou vyjádřey číselě. Tomuto odpovídá základí děleí a kvalitativí a kvatitativí data. Pro zpracováí obvykle přiřazujeme slovím proměým jejich číselý ekvivalet, pokud můžeme přiřadit číselou hodotu v libovolém pořadí, mluvíme o datech omiálích. Pokud přiřazeím čísel zároveň posloupost uspořádáme, mluvíme o ordiálích datech. kvalitativí omiálí biárí data (alterativí, dichotomická) - data abývají pouze dvou hodot typu ANO - NE ebo 0-1; kvalitativí omiálí data (víceškálové) - (kategoriálí data) data mají původě sloví charakter, při přiřazováí číselých charakteristik elze rozumým způsobem zavést do dat uspořádáí, typickým případem jsou data vyjadřující apř. bydliště, růzé barvy sledovaého objektu a podobě; kvalitativí ordiálí data - data mají původě sloví charakter a při převodu do číselé škály je přirozeým způsobem zavedeo uspořádáí, apříklad maximálí dosažeé vzděláí, hodoceí zámkami, vyjádřeí užitečosti a podobě; kvatitativí diskrétí data - itervalová stupice data mají přirozeou číselou charakteristiku, čísla zároveň vyjadřují uspořádáí v ámi zvoleém smyslu, zároveň se můžeme ptát o kolik je jede zak lepší ež druhý, svůj praktický výzam má tedy i veličia x i x j, v rámci itervalové stupice má ulová hodota pouze relativí charakter, apříklad ulová teplota; kvatitativí diskrétí data - poměrová stupice data mají přirozeou číselou charakteristiku, čísla zároveň vyjadřují uspořádáí v ámi zvoleém smyslu, zároveň se můžeme ptát kolikrát je hodota jedoho zaku jiá (lepší) ež hodota druhého zaku, svůj praktický výzam má tedy i veličia x i x j, v rámci poměrové stupice má kokrétí výzam ulová hodota, apříklad ulová hmotost, ulová rychlost, ulový počet výskytu sledovaého jevu; kvatitativí spojitá data - data mají přirozeou číselou charakteristiku, ale tato charakteristika může abývat ekoečého počtu hodot, ejčastěji vzikají tato data měřeím a vážeím objektů, zachyceím času a podobě; data s eúplou iformací - do této kategorie spadají data, o kterých víme apříklad pouze to, zda jsou pod detekčím limitem,ev. data cezorovaá časem, ev. data mající itervalový charakter (víme pouze to, že hodota proměé leží v itervalu) a podobě. 3

4 1.3 Výběrové charakteristiky pro jedorozměrá data Výběrové charakteristiky polohy aritmetický průměr x = x 1 + x x je jedoduchý, založeý a všech hodotách, lze ho lieárě trasformovat tj. pokud y i = ax i +b pro i = 1, 2,...,, pak y = ax + b aritmetický průměr x je citlivý a hrubé chyby (př. 8, 12, 15, 23, 1500 x = 311.6) V programu EXCEL používáme pro výpočet aritmetického průměru fukci PRŮMĚR(číslo1;číslo2;... ) resp. PRŮMĚR(oblast dat) v aglické verzi se jedá o fukci MEAN(oblast dat). Při použití těchto fukcí jsou buňky obsahující textové hodoty z výpočtu vyecháy. Naproti to mu fukce AVERAGEA(hodota1;hodota2;... ) vrátí aritmetický průměr hodot v sezamu argumetů (argumety musí být čísla, ázvy, matice ebo odkazy). K číslům je avíc ve výpočtu zahrut i text (vyhodoceo jako 0) a logické hodoty PRAVDA (vyhodoceo jako 1) a NEPRAVDA (vyhodoceo jako 0). Aritmetický průměr z vybraých hodot lze také vypočítat jako podíl součtu a počtu buěk odpovídající kritériu. Použijeme fukce SUMIF(oblast;kritéria;součet), kde oblast jsou buňky obsahující kriteriálí hodotu, kritéria jsou zvoleé podmíky a součet je oblast buěk, které sčítáme a pro určeí počtu použijeme fukci COUNTIF(oblast;kritérium). Př. SUMIF(A2:A5; > ;B2:B5) sečte hodoty v těch buňkách B2:B5, pro které hodota v příslušé buňce A2:A5 je větší ež geometrický průměr (pro kladé hodoty x i ) x G = x 1.x x je vhodý pro průměrou hodotu idexů i k Př.: Necht x 0, x 1,..., x udávají počet prodaých výrobků v i- tém časovém období. Vývoj prodeje charakterizujeme pomocí tzv. řetězových idexů i 1 = x 1, i 2 = x 2,..., i = x. x 0 x 1 x 1 Pak lze vyjádřit x = x 0 i 1 i 2 i. V Excelu použijeme fukci GEOMEAN(oblast dat). 4

5 harmoický průměr (pro kladé hodoty x i ) x H = x x 1 Příklad použití: Auto x 1 jede do kopce rychlosti v 1 a po stejé dráze z kopce rychlosti v 2. Jaká je jeho průměrá rychlost? Délku tratě ozačme d, dobu jízdy do kopce t 1 = d/v 1, dobu jízdy z kopce t 2 = d/v 2. 2d 2 Průměrá rychlost je = t 1 + t 2 v1 1 + v2 1 = v H V Excelu použijeme fukci HARMEAN(oblast dat). další průměry mají obecý charakter kvadratický průměr x K = průměr stupě α, pro α 0 vzájemé vztahy průměrů x x x 2 x α = ( 1 x α i ) 1/α x (1) x H x G x x K x () rovost platí právě tehdy, když jsou všechy prvky x i shodé x (1) x α x () x 1 = x H x 1 = x x 2 = x K lim x α = x G α 0 lim α x α = x (1) lim α + x α = x () mediá je taková hodota, že v případě, že uspořádáme data podle velikosti, je přesě polovia hodot meší ež mediá x a polovia hodot je větší ež mediá. Největší výhoda mediáu spočívá v jeho robustosti, pod tímto termíem rozumíme malou citlivost a odlehlá, případě chybá data. Pokud jsou data rozložea symetricky vzhledem k průměru a eobsahují odlehlá pozorováí, je mediá rove aritmetickému průměru. V Excelu použijeme fukci MEDIAN(oblast dat). 5

6 modus ejčetější hodota, tj. hodota, která se v souboru dat opakuje ejvícekrát, tato charakteristika emá výzamější uplatěí a poskytuje ám pouze doplňkové iformace o souboru dat. V Excelu použijeme fukci MODE(oblast dat). kvatily, kvartily, decily Zobecěím pojmu mediá dostaeme pojem α-procetí kvatil. α-procetí kvatil Q α je taková hodota, že v případě, že uspořádáme data podle velikosti, je α procet hodot meší ež kvatil Q α a 100 α procet hodot je větší ež kvatil. Hodotu Q 25 azýváme dolí kvartil, hodota Q 50 je mediá, hodotu Q 75 azýváme horí kvartil, aalogicky hodoty Q 10 resp.q 90 a Q 1 resp. Q 99 azýváme dolí (horí) decil a dolí (horí) percil. V Excelu použijeme fukce, které pracují s pořadím hodot buěk. Fukce RANK(číslo;oblast;pořadí) vrací hodotu pořadí číslo v rámci buěk ozačeých oblast dat, podle hodoty pořadí se jedá o pořadí ve smyslu sestupém (hodota 0 ebo ezadáo) ebo ve smyslu vzestupém (jakákoliv hodota růzá od uly). Př. RANK(A4;A1:A20;1) 3, odpovídá stavu, kdy hodota v buňce A4 vzhledem k hodotám v buňkách A1:A20 je třetí ejmeší. Pokud se v rámci dat ěkteré hodoty opakují, má hodota RANK eceločíselý charakter. Iverzí fukce k RANK jsou fukce LARGE(oblast;k) a SMALL(oblast;k), která vrací k-tou ejvětší (resp. ejmeší) hodotu z dat v oblasti dat. Speciálě LARGE(oblast;1)=SMALL(oblast;) je maximálí hodota z dat v oblasti a LARGE(oblast;)=SMALL(oblast;1) je miimálí hodota v oblasti. Pokud potřebujeme určit pořadí hodoty čísla vyjádřeé procetuálí částí oblasti, použijeme fukci PERCENTRANK(oblast;x;desetiy), kde v případě, že číslo eodpovídá žádé hodotě v oblasti, použije program iterpolaci. Hodota desetiy uvádí počet desetiých míst, které bereme v úvahu - stadardě 3. Př. PERCENTRANK(A1:A20;B4;3) 0.12, odpovídá stavu, kdy 12% hodot v buňkách A1:A20 je meší ež hodota v buňce B4. Iverzí fukcí k fukci PERCENTIL je fukce PERCENTIL(oblast;k), která vrací k-procetí kvatil (v českém Ecxelu je používá překlad percetil) z oblasti. Opět tato fukce pracuje s iterpolací. Tedy PERCENTIL(oblast,k)=Q k Př. Pokud v buňkách A1:A4 jsou hodoty 1,2,3,4, pak PERCENTIL(A1:A4;0,3) vrací hodotu 30-ti procetího kvatilu po iterpolaci, tj. PERCENTIL(A1:A4;0,3) 1.9 zameá, že 30% hodot v oblasti A1:A4 je meší ež 1.9. Speciálím případem fukce PERCENTIL je fukce QUARTIL(oblast;kvartil), 6

7 kde QUARTIL(oblast;0)=Q 0 je miimálí hodota, QUARTIL(oblast;1)=Q 25 je dolí kvartil, QUARTIL(oblast;2)=Q 50 je mediá, QUARTIL(oblast;3)=Q 75 je horí kvartil a QUARTIL(oblast;4)=Q 100 je maximálí hodota Výběrové charakteristiky variability rozptyl spočítáme pomocí vztahu σ 2 = 1 (x i x) 2, kde x je aritmetický průměr. Jedá se vlastě o průměrou kvadratickou odchylku hodot od aritmetického průměru a jeho fyzikálí rozměr je základí jedotka a druhou. Stejě jako aritmetický průměr je rozptyl citlivý a odlehlá pozorováí. výpočetí tvar rozptylu s 2 = 1 x 2 i (x) 2 echt a, b R a položme y i = ax i + b pro i = 1, 2,...,, pak s 2 y = a 2 s 2 x fukce S(a) = 1 (x i a) 2 abývá svého miima v bodě a = x Samuelsoova erovost: max x i x s 1 i s y = a s x V Excelu použijeme fukci VAR(oblast dat) případě VARPA(oblast dat), pokud chceme zahrout též buňky s logickou hodotou a buňky s textem. výběrový rozptyl výběrový rozptyl počítáme pomocí vztahu s 2 = 1 1 (x i x) 2, resp. s 2 = 1 σ2. Výběrový rozptyl má stejý výzam jako rozptyl, ale lepší statistické vlastosti, proto je v rámci dalších statistických metod používaější. V Excelu použijeme fukci VAR.VÝBĚR(oblast dat) případě VARA(oblast dat), pokud chceme zahrout též buňky s logickou hodotou a buňky s textem. 7

8 variačí rozpětí R = x () x (1) je rozdíl mezi maximálí a miimálí hodotou dat s 2 R2 4 ( ) x(1) + x () (k důkazu použiji vlastosti fukce S(x) S a 2 x i x (1) + x () 2 R 2 ) variačí rozpětí je vyjádřeo v jedotkách x i V Excelu použijeme pro alezeí maxima a miima fukce MAX(oblast dat) a MIN(oblast dat). kvartilové rozpětí je ejpoužívaější charakteristika variability, která epracuje s aritmetickým průměrem a je tedy robusí, tj. eí citlivá a odlehlá pozorováí. Kvartilové rozpětí určíme jedoduše jako rozdíl horího a dolího kvartilu R Q = Q 75 Q 25. Obdobě je defiováé decilové rozpětí R D = Q 90 Q 10 a variačí rozpětí R = Q 100 Q 0 = x () x (1) = max(x) mi(x). V Excelu použijeme pro alezeí horího kvartilu fukci QUARTIL(oblast dat;3) a pro alezeí hodot dolího kvartilu fukci QUARTIL(oblast dat;2). směrodatá odchylka a výběrová směrodatá odchylka je určea jako odmocia z rozptylu, začíme ji s. Nejčastěji je používáa výběrová směrodatá odchylka odvozeá z výběrového rozptylu. Fyzikálí rozměr směrodaté odchylky odpovídá fyzikálímu rozměru zpracovávaých dat. V Excelu použijeme fukci SMODCH(oblast dat) - odmocia z VAR, případě STDEVA(oblast dat)- odmocia z VARPA ebo ejlépe SMODCH.VÝBĚR(oblast dat) - odmocia z VAR.VÝBĚR. 8

9 variačí koeficiet použijeme pokud potřebujeme porovat variabilitu dvou souborů, které mají rozdílý aritmetický průměr. Variačí koeficiet spočítáme podle vztahu v = s x. koeficiet kvartilové variace je CQV = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1 průměrá absolutí odchylka je další z charakteristik variability, které zmírňuje vliv odlehlých hodot. Nejvíce používáy jsou průměrá absolutí odchylka od aritmetického průměru d x = 1 x i x a průměrá absolutí odchylka od mediáu d x = 1 x i x. V Excelu použijeme fukci PRŮMODCHYLKA(oblast dat) pro průměrou absolutí odchylku od aritmetického průměru Další výběrové charakteristiky obecé a cetrálí momety obecý momet k-tého řádu m k = 1 cetrálí momet k-tého řádu m k = 1 x k i (x i x) k momet kolem bodu a k-tého řádu m k (a) = 1 (x i a) k absolutí momet kolem bodu a k-tého řádu m abs k (a) = 1 m k = k j=0 speciálě platí ( ) k ( 1) j ( x ) j m k j j m 3 = m 3 3 m 2x + 2 ( x ) 3 x i a k m 4 = m 4 4 m 3x + 6 m 2 ( x ) 2 3 ( x ) 4 9

10 šikmost je charakteristika, která ám pomáhá rozhodout o shodě ašich dat s modelem ormálího rozděleí z hlediska symetrie kolem průměru x. Pomocí obecých mometů lze šikmost vyjádřit jako α 3 = m 3 s 3. Nejčastěji počítáme šikmost podle vztahu α 3 = ( 1)( 2) ( ) 3 xi x. s Pokud je šikmost dat kladá, jsou data vychýleá ke kladým hodotám, pokud je hodota šikmosti záporá, jsou data vychýleá k záporým hodotám. V Excelu použijeme fukci SKEW(oblast dat) Obrázek 1: Šikmost kladá a záporá špičatost je charakteristika, která se zaměřuje a strmost dat v porováí s modelem ormálího rozděleí. Pomocí obecých mometů lze špičatost vyjádřit jako a 4 = m 4 s 4 ebo počítáme koeficiet špičatosti a 4 = m 4 s 4 3. Pokud je koeficiet špičatosti dat kladý, jsou data strmější oproti ormálímu rozděleí, pokud je hodota koeficietu špičatosti záporá, mají data plošší charakter. V Excelu použijeme fukci KURT(oblast dat) 10

11 Obrázek 2: Špičatost kladá a záporá 1.4 Výběrové charakteristiky pro třídě rozděleá data V případě, že data mají itervalový charakter, mluvíme o třídě rozděleých datech. V takovýchto situacích máme k dispozici iformace o itervalech (třídách) a počtu dat z výběru, které se achází v daé třídě. Typickým příkladem je rozděleí tříd podle věku, podle dojezdové vzdáleosti a podobě. Pokud potřebujeme sami rozdělit data do jedotlivých tříd, můžeme počet tříd k určit apříklad pomocí Sturgesova pravidla k log. Ukázka třídě rozděleých dat, kde kromě četosti je k dispozici též iformace o represetatech jedotlivých tříd (průměr ve třídě) a variabilitě uvitř jedotlivých tříd (směrodatá odchylka). Třída Hraice Tabulka 1: Třídě rozděleá data Četost Rel. četost Průměr Rozptyl Sm. odchylka j p j = j / x j s 2 j s j 1 ( ; ( 2; ( 1.5; ( 1; ( 0.5; ( 0; ( 0.5; ( 1; ( 1.5; ( 2; Celkem

12 Průměr pro třídě rozděleá data spočteme podle vztahu x = k j=1 x j j = k x j p j, kde x j je reprezetat j té třídy (průměr v j té třídě), j je četost prvků v j té třídě, k = j je celkový počet prvků ve výběru, k je počet tříd. j=1 j=1 Rozptyl pro třídě rozděleá data spočteme podle vztahu ( k s 2 = 1 k ( j 1) s 2 j + j (x j x) ), 2 1 j=1 j=1 kde x j je průměr j té třídy, j je četost prvků v j té třídě, = ve výběru, s 2 j je rozptyl v j té třídě a k je počet tříd. k j je celkový počet prvků j=1 12

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). Pedagogická praxe - jarí semestr 206 Statistické šetřeí V rámci pedagogické praxe proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/ Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a Státím rozpočtem ČR IoBio CZ..07/2.2.00/28.008 Připravil: Ig. Vlastimil Vala, CSc. Metody zkoumáí ekoomických jevů Kapitola straa 3 Metoda Z řeckého

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

11. P o p i s n á s t a t i s t i k a

11. P o p i s n á s t a t i s t i k a 11. P o p i s á s t a t i s t i k a 11.1. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

4. Základní statistické pojmy.

4. Základní statistické pojmy. 4. Základí statistické pojmy. 4. Úvodí iformace Statistika je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jim podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvisí se sběrem iformací o státu ( z latiského

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

Vyhledávání v tabulkách

Vyhledávání v tabulkách Vyhledáváí v tabulkách Tabulkou azveme možiu položek idetifikovatelých hodotou přístupového (idetifikačího) klíče (key, ID idetificator). Ve vodorovém směru se jedá o heterogeí pole, tz. že každá položka

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2 Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více