Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Transkript

1 Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad. Nechť f systémů sdílí omezeé možství N jedotek ějaké veličiy, kterou si mohou vzájemě vyměňovat. Ve statistické fyzice se typicky zkoumá výměa eergie, jejíž celkové možství se zachovává. Pricip odvozeí je však uiverzálí, můžeme třeba uvažovat situaci, kdy f živostíků má celkem N dukátů, kterými si vzájemě platí za služby ci za výrobky. Systém je uzavřeý a celkové možství peěz se eměí; každý živostík může kdykoliv získat dukát od jiého živostíka a stejě tak může kdykoliv dukát utratit pokud tedy ějaký zrova má. Dluhy aše hypotetická ekoomika epřipouští. Jaká bude pravděpodobost toho, že v áhodý okamžik bude mít daý živostík právě dukátů? Jak tato pravděpodobost bude vypadat v limitě velkého počtu dukátů i živostíků s tím, že počet dukátů a jedoho živostíka = N/f je kostatí? Ač se dá úloha řešit moha přístupy, pro áš přístup bude vhodé vypočítat ejprve, kolika růzými způsoby lze mezi f živostíků rozdělit N dukátů. Ozačme toto číslo C(f, N). Můžeme se sado přesvědčit, že teto počet se rová C(f, N) = (N + f 1)!. (1) N!(f 1)! Proč? Představme si peěžeky živostíků jako jakési krabičky, do ichž umisťujeme dukáty. Krabičky spolu sousedí celkem f 1 přepážkami (viz obr. 1). Rozděleí dukátů mezi živostíky se realizuje jako vložeí f 1 přepážek do řádky N micí. N micí a f 1 přepážek lze seřadit celkem (N + f 1)! způsoby; mezi imi však N! permutací dukátů a (f 1)! permutací přepážek evede k ovému rozděleí. Celkový počet růzých rozděleí je tedy (1). Obrázek 1: Jedo z možých rozděleí osmi dukátů mezi pět živostíků. Vyzkoušejte si to a jedoduchých případech kolika způsoby lze rozdělit čtyři dukáty mezi dva obchodíky? A kolika způsoby tři dukáty mezi tři obchodíky? Nyí lze sado zjistit, jaká bude pravděpodobost P toho, že daý živostík bude mít u sebe právě dukátů. V takovém případě se totiž f 1 zbývajících živostíků musí podělit o N zbývajících dukátů, čehož lze dosáhout C(f 1, N ) růzými způsoby. Pravděpodobost je tedy C(f 1, N ) (N + f )!N!(f 1)! P = = C(f, N) (N )!(f )!(N + f 1)! N(N 1)... (N + 1) = (f 1) (N + f 1)(N + f )... (N + f 1). () Teto výsledek se zjedoduší, pokud uvažujeme velký počet živostíků i velké možství peěz, N 1, f 1 tak, že možství peěz a hlavu = N/f je kostatí. V tom případě f 1 f a N N 1... N + 1 f a podobě N + f 1 N + f... N + f 1 f( + 1). Pro pravděpodobost P pak dostáváme (f ) P f [f( + 1)] +1 =. (3) ( + 1) +1 To je expoeciálí rozděleí; výraz (3) lze totiž zapsat i v ekvivaletích tvarech P = 1 Z q = 1 Z e β, () 1

2 kde a q = , β = l q (5) Z = = q = 1 1 q = + 1. (6) Tyto výsledky je možé otestovat i jedoduchou počítačovou simulací viz obr.. V ašem modelu se během každé iterace vybere áhodý plátce a áhodý příjemce. Pokud má plátce alespoň jede dukát, uskutečí se trasakce: počet dukátů plátce se o jede síží a příjemci jede dukát přibude. Pokud trasakci elze uskutečit, provádí se ové losováí plátce i příjemce. Když po velkém počtu iterací spočítáme, kolikrát se stalo, že daý živostík měl u sebe právě dukátů, dostaeme relativí četosti zázorěé a obr. a. Pro srováí jsou zde uvedey i relativí četosti odpovídající expoeciálímu rozděleí se stejým středím počtem dukátů a jedoho živostíka, = N/f = 3. Proč se tyto hodoty liší? Jedak jsme uskutečili pouze koečý počet iterací při dalších provedeí experimetu dostaeme poěkud jié histogramy relativích četostí, které budou určitým způsobem fluktuovat kolem expoeciálího rozděleí. Druhá odlišost vyplývá z toho, že dukátů i živostíků je koečý počet (expoeciálí rozděleí je limitím případem pro N, f ). V ašem případě to třeba zameá, že emůže být větší ež 15, zatímco expoeciálí rozděleí dává eulové hodoty P i pro libovolě velká. Jak vypadal průběh velikosti majetku jedoho živostíka v čase (během prvích pěti tisíc iterací) ukazuje obr. b. Je vidět, že většiu času trávil jako epříliš zámožý a větší možství peěz mu patřilo zřídkakdy. I když jsme v ašem příkladu používali peíze a živostíky, stejou úvahu lze provést i pro eergii a soubor kvatových harmoických oscilátorů, které si mohou kvata eergie vyměňovat. Je vidět, jak se při růstu počtu stupňů volosti rozděleí eergie blíží Bolzmaovu-Gibbsovu rozděleí. P (a) N = 5 iter 1 (b) iter Obrázek : Počítačová simulace časového vývoje rozložeí N = 15 dukátů mezi f = 5 živostíky. (a) relativí četosti případů, kdy daý živostík měl dukátů výsledky získaé středováím přes N iter = 5 1 iterací. Úzké sloupce slouží pro srováí s expoeciálím rozděleím se stejou středí hodotou = 3. (b) ukázka kokrétího časového vývoje počtu dukátů u jedoho živostíka během prvích iterací.

3 Pozámky Náš model popisoval majetek ve velice zjedodušeém ekoomickém systému. Jak vypadá rozděleí majetku ve skutečé společosti? Empiricky se ukazuje, že ejblíže pravdě může být tzv. Paretovo rozděleí (Vilfredo Pareto, , italský ekoom) P (x) = a/x a+1 pro x 1, a >, tedy mocié rozděleí (x je v ašem případě spojitá proměá, pro diskrétí proměou se uvádí též ázev Zipfovo rozděleí). To s rostoucím x klesá k ule mohem pomaleji ež expoeciálí čili předpovídá větší zastoupeí bohatých ež expoeciálí rozděleí. Kokrétě pro a, 17 z ěj plye tzv. 8/ pravidlo: 8% celkového majetku patří % ejbohatším příslušíkům společosti. Náš ekoomický model byl přece je příliš zjedodušeý. Lze úvahu s eregií či s peězi použít i a jié veličiy či objekty? Uvažujme třeba těsto s rozikami, ze kterého se upečou váočky. Víme, že když váočku akrájíme, vyjdou a jede krajíček v průměru tři roziky. Jak bude vypadat pravděpodobost P toho, že v áhodě vybraém krajíčku bude roziek? Očekávali byste expoeciálí rozděleí () jako pro kvata eergie či dukáty? Zřejmě e častěji arazíme a krajíc se třemi rozikami ež s žádou a skutečost ejlépe popisuje Poissoovo rozděleí (viz obr. 3) Proč? Čím podstatým se eergie ebo peíze odlišují od roziek? P = e!. (7) P (a) N = 5 iter (b) iter Obrázek 3: Počítačová simulace časového vývoje rozložeí N = 15 roziek mezi f = 5 krajíčků váočky. Během každé iterace byla áhodě zvolea rozika, která přeskočila do áhodě zvoleého krajíčku. (a) relativí četosti počtu roziek v krajíci získaé středováím přes N iter = 5 1 iterací. Úzké sloupce slouží pro srováí s poissoovským rozděleím se stejou středí hodotou = 3. (b) ukázka kokrétího časového vývoje počtu roziek v jedom krajíci během prvích iterací. Eergie versus roziky - další pozámky Odpověď a otázku, čím podstatým se v ašich modelech liší kvata eergie (a případě peíze) od roziek je, že kvata eergie jsou v pricipu erozlišitelá, kdežto roziky si můžeme očíslovat. Rozlišitelost či erozlišitelost částic hraje ve statistické fyzice podstatou roli, proto je užitečé těmto pojmům co ejlépe porozumět a jedoduchých příkladech. Pokud se v daém krajíčku achází roziek z celkového počtu N, dá se tato situace realizovat celkem ( N ) způsoby, zatímco s erozlišitelými kvaty eergie jde pouze o jediou realizaci s kvaty. Jiak řečeo, situaci s rozikami odpovídá větší počet mikrostavů ež situaci s kvaty eergie. Pokud je áš systém ergodický, pobude během časového vývoje v každém mikrostavu zhruba stejě dlouho. Jestliže ěkteré situaci odpovídá větší počet mikrostavů ež jié, bude se v í systém acházet odpovídajícím způsobem častěji. 3

4 Jak je to ale s peězi? Copak ejsou mice také odlišitelé? Proč bychom měli očekávat, že se peíze budou chovat spíše jako eergie ež jako roziky? Kdybychom vzali hrst micí a rozmíchali je v těstě místo roziek, eměly by akoec stejé rozděleí jako roziky? V případě peěz půjde zřejmě o to, jakým způsobem bude výměa probíhat. Pouze pro určité typy směy budeme oprávěi modelovat peíze eergií. Abychom mohli očakávat eergii podobé chováí, měli bychom dokázat, že při aší směě bude rozděleí peěz {1 3 7} stejě pravděpodobé jako třeba {3 3 3} (u rozlišitelých předmětů astae případ {3 3 3} 7 krát častěji ež {1 3 7}), a že tedy tvoří ty pravé mikrostavy. To v ašem modelu vyplývá ze skutečosti, že pravděpodobost přechodu z jedoho rozděleí do druhého jsou stejá jako pravděpodobost přechodu opačým směrem. V ašem případě platí P ({ 1,,..., k,... l,... f } { 1,,..., k 1,... l + 1,... f }) = P ({ 1,,..., k 1,... l + 1,... f } { 1,,..., k,... l,... f }). (8) Symbol P ({..., k,... l,...} {..., k 1,... l + 1, }) tu zameá podmíěou pravděpodobost toho, že systém přejde během dalšího kroku do kofigurace {..., k 1,... l + 1, } za podmíky, že se právě achází v kofiguraci {..., k,... l, }. Rovost (8) je obsažea v ašem způsobu losováí: kterýkoliv živostík se může se stejou pravděpodobostí stát příjemcem a kterýkoliv s eulovým majetkem se se stejou pravděpodobostí může stát plátcem. Skutečou pravděpodobost toho, že dojde k přechodu od jedé kofigurace ke druhé získáme vyásobeím podmíěé pravděpodobosti přechodu pravděpodobostí výchozí kofigurace, tedy ve tvaru P ({..., k,... l,...} {..., k 1,... l + 1, }) P ({..., k,... l,...}). (9) V ustáleém stavu se pravděpodobosti jedotlivých kofigurací ebudou v čase měit a můžeme očekávat, že pravděpodobost přechodu od jedé kofigurace ke druhé bude stejá jako pravděpodobost opačého přechodu, P ({..., k,... l,...} {..., k 1,... l + 1, }) P ({..., k,... l,...}) = P ({..., k 1,... l + 1,...} {..., k,... l, }) P ({..., k 1,... l + 1,...}) (1) (této podmíce se v teorii stochastických procesů říká podmíka detailí rovováhy). Protože platí rovost podmíěých pravděpodobostí (8), dostáváme rovost pravděpodobostí kofigurací P ({..., k,... l,...}) = P ({..., k 1,... l + 1,...}). (11) Pro rozlišitelé částice dostaeme jiý výsledek: podmíěé pravděpodobosti přechodu se od sebe budou odlišovat: P roz ({..., k,... l,...} {..., k 1,... l + 1,...}) = k l + 1 P roz ({..., k 1,... l + 1,...} {..., k,... l,...}). (1) Proč? V ašem rozikovém modelu má každá rozika stejou pravděpodobost, že bude vylosováa a změí polohu. Pravděpodobost toho, že odejde jeda rozika z krajíčku s k rozikami je tedy úměrá k. Využijeme-li opět podmíky detailí rovováhy (1), získáváme v ustáleé situaci vztah mezi pravděpodobostmi jedotlivých kofigurací ( l + 1)P roz ({..., k,... l,...}) = k P roz ({..., k 1,... l + 1,...}). (13) Jak se sado přesvědčíme, tuto rovost splňuje multiomické rozdělěí, pro ějž P roz ({..., k,... l,...}) 1 1!!... k!... l!... f!. (1) Celou věc lze ilustrovat a ejjedodušším možém příkladě, kdy dva objekty (mice, kvata eergie, roziky) sdílí dva účastíci, tedy N =, f =, viz obr.. Pokud jsou sdíleé objekty

5 p(a a) p(b b) p(c c) p(a b) p(c a) A B A B A B 1 1 p(b a) p(b c) a b c Obrázek : Dva objekty sdíleé dvěma účastíky A a B. Jedotlivé kofigurace { }, {1 1} a { } jsou ozačey jako a, b a c. erozlišitelé, je podmíěá pravděpodobost přechodu z kofigurace a do kofigurace b, P (a b) = 1/ stejá jako z b do a, P (b a) = 1/: to, že živostík A se dvěma dukáty bude vylosová jako plátce a dá dukát emajetému živostíkovi B je stejě pravděpodobé, jako to, že živostík B s jedím dukátem bude vylosová aby zaplatil živostíku A. Jiá je situace, pokud se losuje mezi rozlišitelými předměty. V tom případě bude P (a b) = 1/, ale P (b a) = 1/: aby kofigurace a přešla a kofiguraci b, může být vylosováa kterákoliv ze dvou roziek, ale a přechod z b do a musí být vylosováa pouze rozika vlastěá účastíkem B. 5