STATISTIKA. Základní pojmy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATISTIKA. Základní pojmy"

Transkript

1 Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci v úvahu přicházejících statisticých jedote výběrové statisticé soubory obsahují část jedote záladího statisticého souboru Poud sledujeme ějaé jevy a malém počtu objetů, mohou být zísaé údaje začě zreslující, s jejich rostoucím počtem tedy roste vypovídací schopost statisticých údajů Statisticé zjišťováí úplé (vyčerpávající) zaměřeé a všechy jedoty záladího souboru, výběrové používá se, poud je záladí soubor příliš rozsáhlý Při áhodém výběru pa můžeme použít teorii pravděpodobosti dostatečě spolehlivým a přesým úsudům o charateru záladího souboru Statisticé jedoty prvy statisticého souboru, prvy možiy M Rozsah statisticého souboru počet prvů možiy M, M = Statisticý za - ohodoceí statisticé jedoty (je předmětem zoumáí), začí se x - jedotlivé údaje zau se azývají hodoty zau, začí se x, x,, x zay vatitativí hodoty zaů jsou vyjádřey čísly, zay valitativí hodoty zau jsou vyjádřey zpravidla slovím popisem Vždy je uté dopředu staovit (byť pouze ituitivě), jaých hodot mohou tyto zay abývat (taé tím usadíme zpracováí zísaých údajů) Př : Uvažujme statisticý soubor žáů třídy, sledovaé zay jejich tělesou výšu, počet sourozeců a barvu očí Prví dva zay jsou vatitativí, posledí je valitativí K jedotlivým zaům musíme ejdříve staovit možiy přípustých hodot: tělesá výša v celých cm, tedy přirozeá čísla; počet sourozeců přirozeá čísla a ula; barva očí hědá (H), modrá (M), zeleá (Z), šedá (Š), ostatí (O) Za/jedota ( Petr) (Pavel) 3(Eva) (Mila) 5(Klára) Tělesá výša Počet sourozeců 0 3 Barva očí H Z O H M Četosti a jejich rozděleí Uvažujme statisticý za, jež abývá hodot x, x,, x, de je rozsah uvažovaého statisticého souboru Nechť celový počet růzých hodot zau x je Absolutí četost hodoty zau x j počet statisticých jedote, jimž přísluší stejá hodota zau x j pro j =,,,, - ozačujeme ji j j= j = Relativí četost hodoty zau x j - podíl četosti j hodoty zau x j a rozsahu souboru, - ozačujeme ji ν j, - v praxi se vyjadřuje v procetech j= j =

2 Statistia /7 Př : Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly zísáy tyto výsledy:,, 0,, 3,,,, 3, 0,,,,, 3, 3, 0,,,,,, 0,,,,, 3, 3, Uspořádejte zísaé údaje do tabuly rozděleí četostí, vypočítejte relativí četosti a vyjádřete je v procetech Řešeí: Tabula rozděleí četostí a relativích četostí j 3 5 součet x j sledovaý za - počet dětí j ν j ν j [%] abs četost hodoty zau x j relat četost hodoty zau x j relat četost hodoty zau x j v procetech Supiové rozděleí četostí - používá se, poud je počet zjištěých hodot vatitativího statisticého zau začý Proto se blízé hodoty zau sdružují do supi (tříd) tvořeých obvyle itervaly (třídími itervaly) Hodoty zau, jež se dostaly do téhož itervalu, lze potom reprezetovat jediou hodotou středem itervalu (třídím zaem) Poz: K určeí vhodého počtu itervalů se užívá apřílad tzv Sturgesův vzorec: 3,3 log, de je rozsah statisticého souboru Př 3: Byly aměřey výšy 300 osob v mezích od 53 do 97 cm Navrhěte jejich rozděleí do supi (itervalů) a sestavte tabulu supiového (itervalového) rozděleí četostí Řešeí: Tabula supiového rozděleí četostí Itervaly výšy x (v cm) součet četostí Středy itervalů Četost (absolutí) Graficá zázorěí rozděleí četostí Pro velou ázorost a přehledost se pro zázorěí četostí používají ejrůzější grafy Uvedeme si ěoli ejběžějších typů (s dalšími se lze sezámit prostředictvím tabulových procesorů, apř MS Excel) Pro všechy uvedeé grafy budeme uvažovat ásledující datovou tabulu, ve teré je zazameáo rozložeí záme z matematiy: Záma z matematiy 3 5 Počet žáů Výsečový graf 8 Paprsový graf Počet žáů 5 3

3 Statistia 3/ Histogram - sloupcový graf Počet žáů Polygo - spojicový graf Počet žáů Polygo četosti eboli spojicový diagram zísáme spojeím bodů, jejichž prví (x-ová) souřadice je hodota zau, resp středu itervalu a druhá (y-ová) souřadice odpovídající četost Histogram četosti eboli sloupový diagram tvoří možia obdélíů (se záladami a ose x), jejichž obsahy jsou přímo úměré zázorňovaým četostem Je vhodý zejméa pro zázorěí supiového (itervalového) rozděleí četostí V ruhovém diagramu růzým hodotám zau odpovídají ruhové výseče, jejichž plošé obsahy jsou úměré četostem Př : Sestroj histogram a polygo četosti pro údaje z př 3 Charateristiy statisticého souboru A Charateristiy polohy (úrově) hodot zau eboli jeho středí hodoty - čísla, terá určitým způsobem charaterizují průměrou hodotu sledovaého zau Představují hodotu, olem íž je v jistém smyslu ejvíce soustředěo rozděleí četostí hodot zau - patří mezi ě aritmeticý průměr, mediá, modus, harmoicý průměr a geometricý průměr Aritmeticý průměr x hodot vatitativího zau x, x,, x určujeme jao podíl součtu hodot zau a jejich počtu (rozsahu souboru) x= x x x = x i Zvláštím případem je vážeý aritmeticý průměr, terý aždé hodotě zau přiřazuje určitou váhu (výzam), terá je reprezetováa oeficietem, jímž aždou hodotu ásobíme Často touto vahou bývá počet výsytů příslušé hodoty x= x x x = i x i Př 5: V laboratoři měřili apětí v eletricém obvodu s těmito výsledy (V):,7;,8; 3,0;,7; 3,0;,6;,8;,7;,7;,9 Určete průměrou hodotu apětí v obvodu x=,6,7,8,9 3,0 =,79 V 0 Př 6: Studet zísal v prvím pololetí z matematiy ásledující zámy: z průběžých testů,, 3, ; ze zoušeí, 5; ze čtvrtletích písemých prací, a za ativitu,, 5, 3, 5 Vyučující považuje zámy z průběžých testů a ze zoušeí dvarát výzamější ež za ativitu, zámy za čtvrtlety dvarát výzamější ež z průběžých testů Určete studetův studijí průměr x= =,76 5 Vlastosti aritmeticého průměru: přičteím, odečteím, vyásobeím ebo vyděleím všech hodot zau eulovým číslem se odpovídajícím způsobem změí taé aritmeticý průměr (apř zvětšíme-li všechy hodoty o, zvětší se aritmeticý průměr taé o ); rozdělíme-li soubor do supi, pa průměr celého souboru je vážeým průměrem supiových průměrů, přičemž jao váhy vystupují počty jedote v jedotlivých supiách

4 Statistia /7 Př 7: V 6 ročíu ZŠ jsou čtyři třídy; počty žáů a třídí průměry záme z matematiy jsou uvedey v tabulce Určete průměrou zámu z matematiy celého ročíu Třída 6A 6B 6C 6D Průměrá záma z matematiy,,8,33, Počet žáů x=, 8,8,33 3, 30 = 3, =, Geometricý průměr x G hodot vatitativího zau x, x,, x určíme jao -tou odmociu ze součiu hodot: x G = x x x Geometricý průměr se ve statistice užívá apř výpočtu oeficietů růstu ebo řetězových idexů V časových řadách, de data vyazují určitý tred, je zajímavějším uazatelem průměrý přírůste (úbyte) během sledovaého období Te bychom určovali jao aritmeticý průměr přírůstů jedotlivých úseů x i x i = x x 0 V praxi je vša výzamějším uazatelem průměré tempo růstu, tedy geometricý průměr podílů hodot za dvě po sobě jdoucí období: x G = x x x = x 0 x x x x 0 Př 8: Nezaměstaost se v Česé republice (resp v ČSFR) vyvíjela podle ásledující tabuly Určete průměré tempo růstu míry ezaměstaosti v ČR v letech Ro Míra ezaměstaosti 0,7%,07%,59% 3,5% 3,%,96% 3,58% 5,5% 7,39% 9,3% x G = 0 0,7,07,59 3,5 3,,96 3,58 5,5 7,39 9,3= 3,56 Harmoicý průměr x H hodot vatitativího zau x, x,, x určíme jao podíl rozsahu souboru a součtu převráceých hodot zau: x H = =: x x i, vážeý harmoicý průměr H = =: i x x x x x x i x Harmoicý průměr se používá pro měřeí úrově poměrých čísel, jao je rychost, výo, produtivita práce apod Vážeý harmoicý průměr pa použijeme vždy, dyž jao váha vystupuje veličia, terá v poměrém čísle figuruje v čitateli zlomu (uražeá dráha, objem produce, objem tržeb) Př 9: V určité dílě, v íž vyrábějí stejé výroby, byly aměřey šesti dělíům tyto časy potřebé e zhotoveí jedoho výrobu: 3,, 5, 6, 0, miut Určete dobu, teré je v průměru třeba e zhotoveí jedoho výrobu Řešeí: Výoy jedotlivých dělíů jsou velmi rozdílé, apřílad prví vyrobí za tutéž dobu čtyřirát více výrobů ež posledí, proto postrádá věcý smysl počítat aritmeticý průměr aměřeých časů Avša součet jejich převráceých hodot udává celovou část produce všech dělíů za miutu a tedy průměrá doba potřebá e zhotoveí jedoho výrobu je dáa harmoicým průměrem x H =6: =6: = = 5,3 mi Modus zau je hodota s ejvětší četostí Začíme Mod(x) Modus lze vhodě použít apřílad při určováí hodiy s dopraví špičou Mediá je prostředí hodota zau, jsou-li hodoty uspořádáy podle veliosti Při sudém počtu hodot se bere aritmeticý průměr dvou prostředích hodot Začíme Med(x) Mediá je užívá zejméa tehdy, dyž jsou v souboru zastoupey prvy s hodotami zau mimořádě odlišými oproti ostatím hodotám zau V těchto případech je mediá lepší charateristiou polohy hodot zau ež aritmeticý průměr Př 0: Družstvo má 0 čleů s ročími příjmy podle ásledující tabuly Ročí příjem v tisících Kč Počet čleů družstva Řešeí: Aritmeticým průměrem bychom určili průměrý ročí příjem 89 tis Kč Avša romě jediého člea mají všichi příjem mohem ižší, taže použití této veličiy asi eí příliš vhodé Vhodější charateristiou je mediá Med x = x 0 x =50 tis Kč

5 Statistia 5/7 B Charateristiy variability (mělivosti, rozptýleí) - čísla, terá charaterizují, ja se hodoty zau prvů souboru liší od zvoleé charateristiy polohy ( středí hodoty), resp od sebe avzájem - patří mezi ě variačí rozpětí, průměrá absolutí odchyla, rozptyl, směrodatá odchyla a variačí oeficiet Ja uazuje ásledující přílad, charateristiy polohy mohou ědy být zavádějící ebo alespoň zreslující Př : Mějme dvě řady čísel: 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 a,,, 8, 8, 8, 8, 5, 5, 5 Obě mají aprosto stejý aritmeticý průměr, mediá i modus, avša prví má hodoty mohem vyrovaější Čím větší je variabilita hodot zau, tím méě reprezetativí je aritmeticý průměr či jiá charateristia polohy (Lze říci, že charateristiy variability určují spolehlivost charateristi polohy; čím jsou meší, tím charateristiy polohy výstižěji popisují celý soubor) Iformaci o rozptýleí hodot zau olem aritmeticého průměru podává průměrá absolutí odchyla ebo lépe rozptyl, resp směrodatá odchyla Rozdíl mezi hodotou zau x j a zvoleou středí hodotou, apř aritmeticým průměrem x, se azývá odchyla hodoty zau x j od středí hodoty Je-li charateristiou polohy aritmeticý průměr, pa za charateristiu variability volíme zpravidla rozptyl Rozptyl je aritmeticý průměr druhých moci odchyle hodot zau od aritmeticého průměru (průměrá čtvercová odchyla od aritmeticého průměru): s x = x i x = x i x Druhá mocia v uvedeém vzorci je utá, eboť součet odchyle od aritmeticého průměru je ulový: x i x =0 Resp pro supiové rozděleí četostí poz ve vážeém tvaru s x = i x i x = i x i x Nevýhodou rozptylu je, že jeho jedoty eodpovídají jedotám hodot zau, ale jsou jejich druhými mociami Teto edostate odstraňuje směrodatá odchyla Směrodatá odchyla s x je druhá odmocia z rozptylu Výhodou směrodaté odchyly je, že charaterizuje variabilitu hodot zau v měřicích jedotách zau s x = x i x = x i x, resp s x = i x i x = C Charateristiy variability relativí (poměré) i x i x Chceme-li porovávat ěoli statisticých souborů, vedou absolutí charateristiy jao rozptyl ebo směrodatá odchyla epřehledým závěrům Jao bezrozměrá charateristia se ejčastěji používá variačí oeficiet Variačí oeficiet x je defiová jao podíl směrodaté odchyly a aritmeticého průměru sledovaého zau x = s x x, respetive v procetech = s x x 00% má-li hodota x i četost i,, hodota x četost, i =

6 Statistia 6/7 Př : Deset opaovaých měřeí jedé fyziálí ostaty dalo tyto výsledy:,;,0;,09;,;,0;,03;,03;,0;,05;,05 Určete aritmeticý průměr, směrodatou odchylu a variačí oeficiet Řešeí: x=,06; s x =0,0036 s x =0,037 ;v x =,8% Př 3: Porovejte difereciaci (vaiabilitu) mezd pracovíů dvou podiů a záladě údajů o jejich příjmech v tabulce: podi podi Měsíčí příjem x i (v Kč) Počet pracovíů i Hodiová mzda x i (v Kč) Počet pracovíů i Řešeí: Sledovaý statisticý za x (příjem pracovía) je vyjádře v obou podicích v růzých jedotách (měsíčí a hodiová mzda) K porováí variability mezd užijeme proto variačí oeficiety Postupě dostáváme pro podi x=775, s x = 558,6, =0,0, pro podi x=6,, s x = 5,9056, =0,367 Závěr: Difereciace (variabilita) mezd v podiu je ižší ež ve podiu D Koeficiet orelace Koeficiet orelace r popisuje míru závislosti dvou zaů x a y Nechť x, x,, x jsou hodoty zau x, y, y,, y hodoty zau y, pa oeficiet orelace r zaů x a y je r =, de = s x s y x i x y i y, s x= x i x, s y = y i y V defiici oeficietu orelace vystupují ve jmeovateli směrodaté odchyly s x, s y Aby defiice měla smysl, musí být s x 0, s y 0, což astává právě tehdy, dyž za x i za y ejsou ostatí Koeficiet orelace je bezrozměré číslo Vždy platí x Čím více se hodota r blíží, tím považujeme závislost x a y za větší ( V případě r = s rostoucími hodotami zau x rostou i hodoty zau y, v případě r = - aopa s rostoucími hodotami zau x lesají hodoty zau y) Př : Na oci a ročíu byli v matematice žáci lasifiovái zámami, jež jsou uvedey v tabulce Vypočtěte oeficiet orelace mezi těmito zámami Počty žáů Záma a oci ročíu 3 Záma a oci ročíu Řešeí: Výpočtem podle uvedeého vzorce vychází r = 0,6

7 Statistia 7/7 Průměr, modus, mediá, grafy P 75/68 V testu při zoušce dostalo 5 studetů zámu, dalších 35 studetů dostalo zámu, zámu 3 dostalo 30 studetů, 5 studetů dostalo zámu a zbylých 5 studetů dostalo zámu 5 Vypočítejte průměrou zámu z testu, modus, mediá Výsledy testu zázorěte graficy [průměr,6, modus, mediá,5] P 75/66 Ve třídě A je 5 chlapců Údaje o výšce chlapců udává ásledující tabula: Výša (cm) Počet žáů 5 3 Vypočítejte průměrou výšu žáa, určete modus, mediá [průměr 5/3 cm, modus 67 cm, mediá 7 cm] P 75/67 Pa Dvořá jel automobilem prvích 0 m rychlostí 80 m/h, dalších 30 m rychlostí 90 m/h Vypočítejte průměrou rychlost jeho jízdy [85,7 m/h] 7/33 Házíme micí, až pade poprvé líc; za x udává, v oliátém hodu se ta stalo Opaováí tohoto pousu 00 rát dalo ásledující rozděleí četostí: čeáí a líc četost a) Vypočítej aritmeticý průměr, modus a mediá [průměr,95, modus, mediá ] b) Porovej relativí četosti s příslušými pravděpodobostmi (Návod: Pravděpodobost, že líc pade hed v prvím hodu, je /, že pade až v druhém hodu, / atd) [relativí četosti: 0,53; 0,; 0,3; ; pravděpodobosti: 0,50; 0,5; 0,5; ] Pravděpodobost opaováí P 7/57 V tombole je 30 ce (vyhrává 30 losů) Bylo prodáo 500 losů Pa Nová si oupil 3 losy Jaá je pravděpodobost, že a) a všechy tři losy vyhraje, [0,0006] b) vyhraje alespoň jedu ceu? [0,7] P 70/ a) Jaá je pravděpodobost, že při třech hodech jedou micí pade alespoň dvarát líc? [/] b) Jaá je pravděpodobost, že při hodu třemi micemi ajedou pade alespoň a dvou micích líc? [/] P 7/0 S jaou pravděpodobostí pade při deseti hodech jedou ostou alespoň třirát šesta? [0,5] Průměr, modus, mediá, grafy P 75/68 V testu při zoušce dostalo 5 studetů zámu, dalších 35 studetů dostalo zámu, zámu 3 dostalo 30 studetů, 5 studetů dostalo zámu a zbylých 5 studetů dostalo zámu 5 Vypočítejte průměrou zámu z testu, modus, mediá Výsledy testu zázorěte graficy [průměr,6, modus, mediá,5] P 75/66 Ve třídě A je 5 chlapců Údaje o výšce chlapců udává ásledující tabula: Výša (cm) Počet žáů 5 3 Vypočítejte průměrou výšu žáa, určete modus, mediá [průměr 5/3 cm, modus 67 cm, mediá 7 cm] P 75/67 Pa Dvořá jel automobilem prvích 0 m rychlostí 80 m/h, dalších 30 m rychlostí 90 m/h Vypočítejte průměrou rychlost jeho jízdy [85,7 m/h] 7/33 Házíme micí, až pade poprvé líc; za x udává, v oliátém hodu se ta stalo Opaováí tohoto pousu 00 rát dalo ásledující rozděleí četostí: čeáí a líc četost a) Vypočítej aritmeticý průměr, modus a mediá [průměr,95, modus, mediá ] b) Porovej relativí četosti s příslušými pravděpodobostmi (Návod: Pravděpodobost, že líc pade hed v prvím hodu, je /, že pade až v druhém hodu, / atd) [relativí četosti: 0,53; 0,; 0,3; ; pravděpodobosti: 0,50; 0,5; 0,5; ] Pravděpodobost opaováí P 7/57 V tombole je 30 ce (vyhrává 30 losů) Bylo prodáo 500 losů Pa Nová si oupil 3 losy Jaá je pravděpodobost, že a) a všechy tři losy vyhraje, [0,0006] b) vyhraje alespoň jedu ceu? [0,7] P 70/ a) Jaá je pravděpodobost, že při třech hodech jedou micí pade alespoň dvarát líc? [/] b) Jaá je pravděpodobost, že při hodu třemi micemi ajedou pade alespoň a dvou micích líc? [/] P 7/0 S jaou pravděpodobostí pade při deseti hodech jedou ostou alespoň třirát šesta? [0,5]

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). Pedagogická praxe - jarí semestr 206 Statistické šetřeí V rámci pedagogické praxe proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2

Mod(x) = 2, Med(x) = = 2 Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymázium, Šterberk, Horí ám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šabloa III/2 Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Ozačeí materiálu VY_32_INOVACE_Hor018 Vypracoval(a), de Mgr. Radek

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Statistika Statistická jednotka, statistický soubor a statistické znaky Poznámka. (Rozd lení etností jednoho kvantitativního statistického znaku)

Statistika Statistická jednotka, statistický soubor a statistické znaky Poznámka. (Rozd lení etností jednoho kvantitativního statistického znaku) Statistia Tímto pomem většiou ozačueme: a) statisticé údae a eich ěteré fuce, b) statisticou čiost a istituce, teré tuto čiost provozuí, c) statisticou teorii. Statisticé údae eboli statisticá data sou

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh: Připrav se a státí maturití zoušu z MATEMATIKY důladě, z pohodlí domova a olie PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematicý oruh: KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effeberger eperta a olie

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

S k l á d á n í s i l

S k l á d á n í s i l S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru. Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Statistické charakteristiky (míry)

Statistické charakteristiky (míry) Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY Statitia věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatiticých údaů. Statiticé údae ou apř. údae o přirozeém přírůtu či migraci obyvateltva, obemu výroby průmylových podiů,

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY 7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

3.4.7 Můžeme ušetřit práci?

3.4.7 Můžeme ušetřit práci? 3.4.7 Můžeme ušetřit práci? Předpolady: 030404 Pomůcy: Pedaoicá pozáma: Hodia je oraizováa jao supiová práce. Třída je rozdělea a čtyřčleé supiy, aždý ze čleů má jedu možost ozultovat se mou ebo mě předat

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více