Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Transkript

1 Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary. Pa řeěme, že zova prohraješ, ta příště vsadíš 4 dolary. A dyž zas prohraješ, ta příště vsadíš 8 dolarů. Řeěme, že už oečě padla barva, terou jsi vsadil. Casio ti dá e tvým vsazeým 8 dolarům svých 8, taže máš teď 6 dolarů. Spočítej si, oli jsi vsadil: dolarů, taže - vydělal jsi dolar! Pa začeš sázet zova dolar Náhoda při i hřeh Pravděpodobost výhry při sázce a barvu: p 8/37 0,486 Průměrý zis při sázách částy č: -.č +.č..p.č.(-0,07) Dlouhodobý zis asia je,7% ze vsazeýchčáste.

2 Co to je pravděpodobost? podobost? je matematicá disciplía, popisující záoitosti týající se jevů, teré (přiejmeším z hledisa pozorovatele) mohou a emusí astat, resp. jejichž výsledá hodota eí předem jistá. Příladem může být výslede hodu ostou ještě předtím, ež hodíme, aebo veoví teplota zítra v polede. Laplaceova def. pravděpodobosti Může-li áhodý pous vyázat oečý počet růzých, vzájemě se vylučujících, stejě možých výsledů a jestli m z těchto výsledů má za áslede událost A, pa pravděpodobost události A položíme rovou číslu m/ P ( A) m Pravděpodobost Subjetiví pravděpodobost (teorie her schéma sázaí je založeé a tom, že odhadujeme pst výsledu) Náhoda při hře Matematicá teorie pravděpodobosti - relativíčetost dlouhodobá pravidelost v áhodých událostech Bayesovsý přístup měří věrohodost určitého výsledu v podmíách eúplé iformovaosti o daém jevu. Existující doměy jsou modifiováy ovými iformacemi

3 Losovací zaříze zeí 0 pousů oli je možých výsledů? Výsl Kód čet absol relat A ABC I I I 3 0, B ACB I I 0,0 C BAC BCA 3 4 I I I I I I I I 4 4 0,0 0,0 CAB I I I I I 0, CBA 6 I I 0,0 cel 0,00 Záladí pojmy Náhodý pous -výsledy závisí eje a předepsaých podmíách, ale taé a áhodě. Náhodý jev - aždý výslede (elemetárí jev) ebo supia výsledů áhodého pousu. Jaéoliv tvrzeí o výsledu áhodého pousu, o terém lze (po provedeí pousu) rozhodout, zda je pravdivé. Prostor elemetárích jevů S - možia všech možých výsledů pousů jsme schopi je všechy předem vyjmeovat (ve sš matematice oečá), jsou vzájemě eslučitelé (žáeé dva emohou astat současě), jede z ich astae vždy (emůže astat žádý jiý ež jede z jmeovaých), 3

4 Přílad Odlište áhodé pousy (NP) od áhodých jevů (NJ) vylosováíčísla vypěstováí rostliy vybráí losu s číslem hod ostou vyrobeí výrobu. jaosti padutí šesty při hodu ostou arozeí chlapce (NP) (NP) (NJ) (NP) (NJ) (NJ) (NJ) Axiomaticá defiice pravděpodobosti podobosti Je dá eprázdý prostor elemetárích jevů S. Možia áhodých jevů Π(S) musí splňovat ásledující vlastosti: S Π( S) A Π( S) A Π( S) A, A,..., A Π( S) Ai Π( S) U i Např. všechy podmožiy S Každému jevu A Π(S) je přiřazea pravděpodobost P(A), taová že: P( θ ) 0 A B P( A) P( B) A B P( B A) P( B) P( A) 4

5 Vytvořte te doplňy áhodých jevů A: Vybraé lísty ebudou mít stejou barvu. A : Vybraé lísty budou mít stejou barvu. B: Ve supiě ebudou pouze dívy. B : Ve supiě budou pouze dívy. C:... budou alespoň tři uličy červeé. C :... budou ejvýše dvě uličy červeé. D:... budou maximálěčtyři dívy. D :... bude miimálě pět díve. Hra dvěma ostami Při hře dvěma ostami vyhrajeme, pade-li šesta alespoň a jedé z ich. S NJ: A

6 Záleží a pořadí příslušého hodu, proto jsou osty rozlišey barevě: [Modrá; Žlutá]. Ω [ ; ] [ ;] [ ;3 ] [ ;4 ] [ ; ] [ ;6 ] [ ; ] [ ;] [ ;3] [ ;4] [ ;] [ ;6] [ 3; ] [ 3;] [ 3;3] [ 3;4] [ 3;] [ 3;6] [ 4; ] [ 4;] [ 4;3] [ 4;4] [ 4;] [ 4;6] [ ; ] [ ;] [ ;3] [ ;4] [ ;] [ ;6] [ 6; ] [ 6;] [ 6;3] [ 6;4] [ 6;] [ 6;6] E Pravděpodobost výhry /36 Chevalier de Mere Hod jedou ostou Chevalier de Mere příjimal sázy a to, že hodí miimálě jedu šestu večtyřech po sobě ásledujících hodech. Pravděpodobost padutí šesty je v aždém hodu /6. Domíval se, že jeho šace a padutí šesty večtyřech hodech je tedy (/6) 4 /3. Správě: Vypočítáme pravděpodobost doplňového jevu počtu epřízivých možostí: P(A) (/6) 4 0, Hod dvěma ostami. Vyhrajeme, poud se ám alespoň jederát podaří hodit šesty ve 4 hodech. Pravděpodobost vrhutí dvou šeste v jedom hodu je /36. De Mere předpoládal, že jeho šace je tedy (/36) 4 a tedy opět /3. Správě: Pravděpodobost výhry bude: P(A) (3/36) 4 0,

7 Na pořadí prvů ve supiě záleží ezáleží VARIACE! V ( ) ( )! V ( ) PERMUTACE P ( )! P (,..., ) ( )! KOMBINACE C! ( )!( )! + C ( )!...!! V sérii 8 výrobů jsou 3 zmety. Jaá je pravděpodobost, že mezi 4 áhodě vybraými výroby bude ejvýše jede zmete? [0,948 ] Při hře 3 artami bylo rozdáo 6 aret. Jaá je pravděpodobost, že mezi imi budou alespoň dvě esa? [0,04] 7

8 Zálady teorie pravděpodobosti podobosti Prostor elemetárích jevů S možia všech možých jevů Náhodý jev A,B,... podmožia výběrového prostoru S aždý jev A je svázá s mírou možosti (pravděpodobosti) P(A) jeho výsytu při opaováí N( A) P( A) lim N N Vlastosti pravděpodobosti: 0 P( A) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A ) P( A) A B P( A) P( B) Závislé a ezávisl vislé jevy Jevy A, B jsou ezávislé P( A B) P( A). P( B) Přílady závislých jevů: A žá má výborý prospěch během studia B žá je úspěšý u SZZ A havaruje vozidlo starší let B při havárii dojde e smrtelému úrazu A příchozí záazí odejde z froty eobslouže (reziguje a frotu) B déla froty je záazíů 8

9 Podmíěá pravděpodobost podobost Pravděpodobost, že astal jev A za podmíy, že astal jev B, se azývá podmíěá pravděpodobost. Ozačujeme P(A/B) Házíme ostou. Náhodý jev A pade číslo B pade lichéčíslo Pravděpodobost, že pade číslo za podmíy, že padlo liché číslo P(A/B)/3 Podmíěá pravděpodobost podobost Pravděpodobost jevu A podmíěá výsytem jevu B P( A B) P( A/ B) P( B) Př: P( A) P( B) P( A/ B) P( B / A) P( A B) B(x) A (4 x 4) S (8 x 8) 9

10 Záo úplé pravděpodobosti, podobosti, Bayesův vztah Uvažujme jevy {B,B,...B } jao úplý systém eslučitelých jevů výběrového prostoru S. Pa U i ( ) A A B i P( A) P( A B ) P( A / B ) P( B ) i i i i i Aposteriorí psti P( A Bi ) P( A/ Bi ) P( Bi ) P( Bi / A) P( A) P( A/ B ) P( B ) i i i Apriorí psti Přílad M/M/ A příchozí záazí reziguje a obsluhu B systém je v oamžiu příchodu záazía obsaze záazíy 0,9 ( ) ( ) P B ρ ρ ; ρ < P ( A / B ) 8 pst 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0,3 0, 0, B P(A/B) počet záazíů. Určete pravděpodobost, že áhodě příchozí záazí reziguje a obsluhu. ρ ρ 7ρ P( A) P( A/ Bi ) P( Bi ) ( ρ ) ρ ( ρ ) ( ρ ) i ρ ρ 8 8. Určete pst, že je v systému záazíů, víme-li, že záazí rezigoval a obsluhu. P B ( ρ ) ρ P( A / B ) P( B ) P( A) 7ρ 3768 ρ 8 4 ( ρ ) ρ ( ρ ) ( / A) 8 0