III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Transkript

1 Název školy Gymázium, Šterberk, Horí ám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Šabloa III/2 Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Ozačeí materiálu VY_32_INOVACE_Hor018 Vypracoval(a), de Mgr. Radek Horeský, Ph.D., Ověřeo (datum) Předmět Matematika Třída 3.A Téma hodiy Charakteristiky polohy Druh materiálu Prezetace v Powerpoitu Aotace Základí statistické charakteristiky polohy, průměry, odchylky

2 Kombiatorika, pravděpodobost, statistika Mgr. Radek Horeský, Ph.D. Charakteristiky polohy

3 Pro popis statistického souboru je tabulka četostí (apříklad zámek z písemky z matematiky) kompletí statistickou iformací, ale pro rychlou orietaci máme údajů příliš moho hledáme proto určitá čísla, která ám rychle řekou, jaké jsou typické hodoty souboru dat.

4 Nejčastějším statistickým údajem jsou průměré hodoty souboru. K ejpoužívaějším patří: Aritmetický příp. aritmetický vážeý Geometrický příp. geometrický vážeý Harmoický Kvadratický

5 Aritmetický průměr x je ejčastěji užívaou charakteristikou polohy a je dá vzorcem: x = x 1 + x x = 1 x i i=1 Součet zjištěých hodot zaku všech jedotek vydělíme počtem všech jedotek. Vážeý aritmetický průměr, kdy prvek x 1 má četost výskytu 1, prvek x 2 má četost výskytu 2, atd. až prvek x k má četost výskytu k, pak kde x = 1x x k x k k = 1 = k. k i=1 i x i,

6 Aritmetický průměr x v moha případech však dává zkresleé iformace o souboru. Vyskytuje-li se mezi srovávaými hodotami extrémě velký či extrémě malý prvek, dostáváme výsledý aritmetický průměr posuutý daým směrem. Pro lepší áhled a hodoty v souboru tyto extrémí hodoty ze souboru vyřadíme a aritmetický průměr vztáheme je a zbývající prvky. Pro velké soubory statistických dat jsou důležité další hodoty, a to: Modus x, resp. Mod(x) (prvek s ejvětší četostí) Mediá x, resp. Med(x) (prostředí prvek, resp. aritmetický průměr dvou prostředích prvků v uspořádaém souboru dat)

7 V případě souboru dat, který vyjadřuje apř. tempo růstu daé veličiy, zavádíme středí tempo růstu, které vystihuje geometrický průměr x g, který je dá vzorcem: x g = x 1 x 2... x = x i Vážeý geometrický průměr, kdy prvek x 1 má četost výskytu 1, prvek x 2 má četost výskytu 2, atd. až prvek x k má četost výskytu k, je pak i=1 x g = x 1 1 x x k k k = x i i, i=1 kde = k.

8 V případě souboru dat, který vyjadřuje apř. výko růzých strojů, zavádíme středí výko, který vystihuje harmoický průměr x h, jehož převráceá hodota je aritmetický průměr převráceých hodot jedotlivých výkoů, platí tedy: x h = = 1 x 1 x 2 x i=1 x i V případě souboru dat, který vyjadřuje apř. kietické eergie jedotlivých částic, je výhodé zavést kvadratický průměr x k, jehož hodota je: x k = x x x 2 = i=1 x i 2

9 Příklad: Písemka dopadla ásledujícím způsobem, 6 studetů dostalo výborou, 8 studetů chvalitebou, 9 studetů dobrou a 2 studeti dostatečou. Určete aritmetický, geometrický, harmoický a kvadratický průměr, modus a mediá souboru.

10 Tabulka četostí je: Aritmetický průměr je x = Geometrický průměr je 25 x g = = = 2,28. 2,07.

11 Harmoický průměr je 25 x h = Kvadratický průměr je 1,85. x k = ,46. Modus je ejčastější hodota, tj. x = Mod x = 3. Mediá je prostředí, tj. třiáctá hodota uspořádaého souboru, tj. x = Med x = 2.

12 Citace: Příklady (eí-li uvedeo jiak) a formulace defiic jsou vlastí, resp. všeobecě zámé, pouze tematicky vycházejí z ásledující učebice: CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymázia: kombiatorika, pravděpodobost, statistika. 4., upr. vyd. Praha: Prometheus, c2001, 170 s. Učebice pro středí školy (Prometheus). ISBN