Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy
|
|
- Bohumila Brožová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = P(A) = Naejvýš l kostek: m... maximum A = [m l], [m = l] = [m l] \ [m l ], P(A) = ( l 6 )4 Úloha: Jaká je pravděpodobost, že ve skupiě lidí existuje dvojice s arozeiami ve stejý de? (rok = 365 dí) Řešeí: Jev A Ω Ω \ A = A C doplňkový jev A Zde je sazší zjistit P(A C ) = P(A). Ω = 365, A = 365! (365 )!, P(AC ) = ! Úloha: Mějme N jediců {,..., N}. Z ich vybíráme : {s,..., s }. Jaká je pravděpodobost, že bude vybrá i-tý jediec? Řešeí: Ω = ( ) N = N! (N )!!, (365 )! A = ( ) N (, P(A) = N ) = ( N ) N Jaká je pravděpodobost, že budou vybrái oba i-tý a j-tý jediec? Řešeí: Ω = ( ) N, Ai j = ( ) N Jaká je pravděpodobost, že bude vybrá i-tý ebo j-tý jediec? Řešeí: A i j = A i A j, P(A i j ) = P(A i A j ) = P(A i ) + P(A j ) P(A i j ) Pojem: Maxwellovo schéma. Máme r rozlišitelých prvků, přihrádek. r/ λ; p k = λk k! e λ Cviˇceí 7..9 Úloha: Mějme obec o r = 5 lidech, = 365 dí v roce. λ = Jaká je pravděpodobost, že dva lidé mají arozeiy ve stejý de? Řešeí: p.5
2 Úloha: B i = i-tá přihrádka je prázdá. Řešeí: P( B i ) = i= P(B i ) P(B i B j ) + P(B i B j B k )... + ( ) + P( B i ) i= i j i j k i= P(B i ) = ( )r... (všechy ostatí možosti kromě B i) r (všechy možosti) ; P(B i B j ) = ( )r (ostatí kromě B i,b j ) r (všechy možosti) P( i B i ) = ( )r ( ) r ( ) r + ( ) r 3 ( 3) r... r Pojem: Bose-Eistei Máme r erozlišitelých prvků, přihrádek. (s,..., s r ), s i {,..., } jsou prvky, (t,..., t ), i= t i = r jsou přihrádky. Úloha: Kolika způsoby lze rozdělit prvky a příčky? } {{ } přihrádek příček Řešeí: ( ) ( ) r + r + = r } {{ } = Ω symetrie kombiačích čísel Pravděpodobost, že v přihrádce je k prvků. Řešeí: p k = (r k+ ) r k ) ( r+ r ostatí ež k prvků možosti Pravděpodobost, že eexistuje prázdá přihrádka = p (za předpokladu r ). Řešeí: p = ((r )+ ) ( r+ ) Pojem: Geometrická pravděpodobost. Obrázek P(A) = U(A) Y(Ω) v každé přihrádce alespoň jede prvek zbývá r prvků všechy možosti Úloha: Mějme přístav, každý de připlují dvě lodi v áhodý čas, jeda setrvá hodiu, druhá dvě hodiy. Jaká je pravděpodobost, že se ebudou blokovat? Řešeí: Obrázek p blok = ( +3 ) eblokováí 4 všechy časy p A = p blok Úloha: x, y [, ], chceme pravděpodobost { x+y< x y<.9 Řešeí: Obrázky S + S + S 3 =. y = x; y = 9 x P(A) = S =. +.O9 l x dx = 9 [l x]..9 S = 9 l 9 Pojem: Podmíěá pravděpodobost. A P(A); B P(A B) = P(A B) P(B)
3 Příklad: P(A) =.5, P(B) =.3. Pak P(B A C ) =.3.5 =.6 Pojem: Úplý systém jevů. Necht (A i ) i=, i j : A i A j =, i= A i = Ω, P(A i ) >, pak P(B) = i= P(B A i ) P(A i ) Úloha: Semifiále: P(K > F) =.7, P( > R) =.55, fiále: P( > K) =.6, P( > F) =.75. Opakováí: Jevy A, B jsou ezávislé, pokud P(A B) = P(A) P(B) P(B A) = P(A B) P(A) }{{} = = P(B) ez. (A i ) i= ezávislé ( j,..., j ) : P( k= A jk ) = k= P(A jk ) Úloha: Mějme ezávislé jevy A, B, C tž. P(A) = P(B) = P(C) =.. Chceme P(A B C) Cviˇceí 4..9 Řešeí: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) = Úloha: Mějme lovce A, B, C, kteří zároveň vystřelí a kace k. Pravděpodobosti zásahu jsou P(A) =., P(B) =.4, P(C) =.6. Jaká je pravděpodobost zásahu k jedotlivými lovci právě jedou kulkou? Řešeí: P(lovec []) ejdříve potřebujeme P([]) = P(A B C C C ) + P(A C B C C ) + P(A C + B C + C) = P(A) P(B C ) P(C C ) + P(A C ) P(B) P(C C ) + P(A C ) P(B C ) P(C) P(A []) = P(A []) P([]) = P(A B C C C ) = P(A) P(B C ) P(C C ), etc. Opakováí: Bayesova věta. Mějme (A i ) i=, P(A i) >, B, P(B) >. Pak P(A j B) = P(B A j) P(A j ) i= P(B A i ) /(A i ). Úloha: Mějme třídu, kde je P(C C ) = 3% dívek a P(C) = 7% chlapců. Víme, že P(D C C ) = 8% dívek a P(D C) = % chlapců má dlouhé vlasy. Když áhodě vybereme žáka s dlouhými vlasy, jaká je pravděpodobost P(C C D), že půjde o dívku? Řešeí: P(C C D) = P(D C C ) P(C C ) P(D C C ) P(C C )+P(D C) P(C) Úloha: V populaci se vyskytuje emoc D. Pravděpodobost pozitivího výsledku u emocého člověka (sezitivita) je P(+ D) =.999, u zdravého člověka je P(+ D C ) =. (a tedy P( D C ) =.99). Nemocí trpí setia populace, P(D) =.. Chceme zát pravděpodobost akažeí při pozitivím testu P(D +). Řešeí: P(D +) = P(+ D) P(D) P(+ D) P(D)+P(+ D C ) P(D C )=.5 Pojem: Náhodá veličia. Biomické rozděleí Bi(, p). Máme pokusů a úspěch astae s pravděpodobostí p. X počet úspěchů v pokusech B i (, p) P(X = k) = ( ) k pk ( p) k x... k= p k = ( ) k= k pk ( p) k = (p + p) = Úloha: X Bi(4, 3 ), Y = (X ). Určit rozděleí veličiy Y a spočítat její středí hodotu. 3
4 Řešeí: Obecě E[Z] = k= k P(Z = k). X : 34 Y : 44 q = P(Y = ) = p ; q = p + p 3 ; q 4 = p + p 4 Část chybí! p = ( p) 4 = ( p) 4 ; p = 4 p( p) 3 ; p 3 = 6 p ( p) Úloha: X Bi(, p), chceme E[X] = k= k P(X = k) = k = k ( k) pk ( p) k = p l = k l= (l + )! ( (l+))! (l)! pl+ ( p) l = p l= aebo: Bi(, p) Alt(p) Část chybí! Úloha: Viz. foto z tabule - doplit! ( l ) { }} { Pojem: Geometrické rozděleí. Udává počet eúspěchů před prvím úspěchem. X Ge(p); q = p; p k = P(X = k) = q k p ( )! ( l)! l! pl ( p) l = (p + ( p)) Úloha: a, x N, máme a eúspěchů a chceme zát pravděpodobost, že bude x dalších. Řešeí: P(X a + x x a) = P(X a+x X a) P(X a) = P(X a+x) P(X a) = qa+x q a = q x = P(X x) Vlastosti geometrického rozděleí. Vytvořující fukce f (s) = k= p k s k f (s) = k= k p k s k = E[X]. f (s) = k= k (k ) p k s k ; f () = k= k (k ) p k = E[X(X )] E[X ] = E[X(X )] + E[X] = f () + f () var[x] Úloha: Vytvořující fukce pro Ge(p) Řešeí: f (s) = k= q k p s k = p k= (q s) k f (s) = p q s = p ( q s) f (s) = p q Postup: Obecě, E[X] = { E[X] = f () = E[g(X)] = { p q ( q) = p q x dfx (x) spojitý případ i=... x i P(X=x i ) diskrétí případ g(x) f (x) dx i= g(x i ) P(X=x i ) Úloha: Viz předchozí, rozptyl. Řešeí: f (s) = p q ( q s) 3 f () = p q = q = E[X(X )] p 3 p E[X ] = q + q p p var[x] = f () + f () ( f ()) = E[X ] E[X] q p + q p q p = q +q p p = q (q+p) p = q p ( q s) Cviˇceí..9 4
5 Pojem: Poissoovo rozděleí. X Po(λ); p k = P(X = k) = λk k! e λ, k =,,... Úloha: E[X] Poissoova rozděleí. Řešeí: f (s) = λ k k= k! e λ s k = (λ s) k k= k! e λ f (s) = λ e λ (s ) f () = E[X] = λ = e λ s λ = e λ (s ) Úloha: Máme N = 4 koulí, z toho M = 8 bílých, vytáheme = 5 koulí a chceme zát rozděleí: X = # bílých. Koule vždy vracíme, pokusy jsou ezávislé. Řešeí: Počet úspěchů v ezávislých pokusech biomické rozděleí X Bi(, p), přičemž p = P(bílá) = M N. Pokud koule vracíme, pokusy a sobě závisí. Řešeí: P(Y = k) = k zbylých vybíráme z M zbylé evybraé {}}{ ( ) ({ }} {) M N M k ( ) k, přičemž předpokládáme k M. N }{{} možosti Hypergeometrické rozděleí. Úloha: Máme dva čtyřstěy se stěami O,,, 3, X = # bodů, které padou. Distribučí fukce. Řešeí: Obrázek. Pojem: R(, ) budiž rovoměré rozděleí a itervalu [, ]. Pozámky: F(x) = x f (z) dz; F F( ) = P(X ) = ; P(a < X b) = F(b) F(a) = b a R (x) = f (x) f (x) d(x) = f (x) dx E[X] = x f (x) dx f (x) = I[, ]... I[, ] dz = dz E[X ] = x f (x) dx dz = x; x (, ) E[X ] = x dx = 3 var[x] = E[X ] E[X] = 3 ( ) = F(X) = x Úloha: Mějme R(a, b). Chceme, aby c = b a byla hustota. Řešeí: f (x) = { b a prox (a,b) jiak F(x) = x f (z) dz = x x a a b a dz = b a E[X] = a+b, var[x] = fuj Cviˇceí
6 Pojem: Spojitá rozděleí. (): X F : F(x) = P(X < x) = x f (t) dt F = f ; f je hustota, vždy se itegruje a. E[X] = x f (x) dx E[g(x)] = g(x) f (x) dx E[X ] = x f (x) dx var[x] = E[X E[X]] = E[X X E[X]+E[X] ] = E[X ] E[X] E[X]+E[X] = E[X ] E[X] (): X Exp(λ) f (x) = λ e λ x ; x F(x) = X = e y dy = e y [ e λ x ] x = e λ x E[X] = var[x] = λ } λ {{ e λ x } y=λ t; dy=λ dt x λ e λ x dx = [ X e λ x ] } {{ } e λ x λ λ dx = λ [ e t ] = λ Úloha: P(x [, )) = F() F() = e λ + e λ = e λ e λ Pojem: Fukce přežití je H = F(x) = P(X x) = e λ x Pozámka: P(X x + y x y) = P(X x) Úloha: Mějme X životost v letech, f (x) = c e 3 x, x >, = c e 3 x dx = c 3. Určete c. Řešeí: = c 3 c = 3 P(X ) Řešeí: P(X ) = P(X < ) = ( e } {{ } 3 ) = e 6 F() Pojem: Normálí rozděleí. X N(, ) f (x) = e x, x R π Φ(x) = x e t dt π Y = a + b X Y N(a, b ) N(µ, σ ) f (x) = π σ Obrázek. Příklad: N(µ, ) (x µ) e σ E[X] = x π e (x µ) dx = + µ e (x µ) } π {{ } = } {{ } =µ dx =... }{{} x+=(x µ)+µ; x µ=y z=y ; dz= y dy (x µ) e (x µ) dx + π y y e dy Příklad: X N(, ); P( X < ) = P( < X < ) = Φ() Φ( ) 6
7 Příklad: Z N(, 4) σ N(, ) P(Z (, )) = P(Z < ) = P( Z < ) = P(N < ) = Φ( ) Příklad: < Z < (Z µ) P( < Z < ) = Φ( ) Φ( ) Pozámka: Φ( x) = Φ(x); Φ( x) + Φ(x) = Příklad: X N(µ, σ); E[ X µ ] = π σ Úloha: X R(, ), f = : x [,] : x [,]. Chceme objem E[X3 ]. Řešeí: E[g(x)] = g(x) f (x) dx E[X 3 ] = x3 dx = 4 [x4 ] = 4 = 5 Cviˇceí..9 Defiice: Náhodé veličiy X,..., X jsou avzájem ezávislé, když jejich sdružeá distribučí fukce F X (x) = P(X x,..., X x ) =Nekozistetí zápis. Pozámka: Učebicová defiice je ekvivaletí. Úloha: Mějme X,..., X se stejou distribučí fukcí F. Y = mi{x,..., X }, Z = max{x,..., X }. Chceme zát F Y, F Z. Řešeí: F Z (z) = P(Z z) = P(X z,..., X z) = F(z). F Y (y) = P(Y y) = P(Y > y) = ( F(y)). Úloha: T Exp(λ), λ >, f (t) = λ e λ t, f. Chceme zát pravděpodobost, že ejkratší doba zpracováí jedoho z pěti dotazů bude větší ež 3 sekud. Zpracováí jsou avzájem ezávislá. Spočítat středí hodotu a rozptyl. Řešeí: T i Exp(λ), i =,..., 5. P(mi(T,..., T 5 ) > 3 ) = (P(T > 3 ))5 = ( F( 3 ))5 = e 5 λ 3. Víme F(t) = e λ t, tedy E[T i ] = λ, var[t i] =. λ Chceme E[mi(T,..., T 5 )]. F mi (y) = e 5 t f mi (y) = F E[mi(T,..., T 5 )] = y f mi (y) dy, to je ovšem velmi pracé! Lepší je všimout si, že F mi (y) je distribučí fukce Exp(5 λ). Příklad: P(T a) =, určit a (= mediá) α (, ), α-kvatil. F(a) = α, je-li rostoucí, mootóí, prostá F (α). Pro espojitou F(x) defiujeme F (α) := if{x : F(x) α. e λ a = α a = log( α) α. P(T log(a λ) λ ) = α. Pozámka: Mediá je mohem lepší charakteristika ež průměr, eovliví jej tolik extrémí hodoty (typickým příkladem budiž tzv. průměrý plat). Téma: Rozděleí áhodých vektorů. X = (X,..., X ), položky vektoru mohou být avzájem závislé. E[X] = ( E[X ]... ). E[X ] 7
8 E[X E[X]][X E[X]] T Σ matice, kde a pozici Σ i, j je E[X i E[X i ]][X j E[X j ]] = cov(x i, X j ) (a a diagoále máme tedy rozptyl). cov(x cor(x i, X j ) = i,x j ) var[xi ] var[x. j ] Pro ezávislé X, Y(X Y) platí E[XY] = E[X] E[Y] cov(x, Y) =, tedy také X Y cor(x, Y) = (ovšem eplatí ). cor(a X + b, X) =, cor(x, Y) [, ]. Normálí rozděleí: X N(, ) f (x) = e x, x R, Y = X π E[XY] = E[X] E[Y] = E[X 3 ] = (itegrál liché fukce) cov(x, Y) = E[XY] E[X] E[Y] = cor(x, Y) =, ale závislé jevy! Příklad: P(X = x i ) = p i diskrétí rozděleí. P(X = x i,..., X = x i ) = p i, i p i =. X X = (. ) f (x,..., x ) P(X }{{} B ) = B f (x,..., x ) dx... dx. X iterval f (x, x ) = F x x. X X f (x, x ) = f X (x ) f X (x ). F(x, y) = x y f (a, b) da db. Příklad: Diskrétí ( Y X). Y\ X 3 P X P Y. X Y? Ověřit defiici, chceme P(X = a, Y = b) = P(X = a) P(Y = b), ale P(X =, Y = ) P(X = ) P(Y = O), SPOR.. cov(x, Y), potřebujeme tučě vyzačeé psti: E[XY] = = 7 3, E[X] = E[Y] = = 3 cov(x, Y) = 7 3 ( 3 ) =... Úloha: Jsou e X+Y a e X Y ezávislé? Řešeí: e emá vliv, stačí ověřit X + Y X Y tabulka pravděpodobostí... Cviˇceí 8..9 Úloha: X N(, 4), chceme P( X < 3). Řešeí: 3 < X < 3 3 < X P( < Z < ) = Φ() Φ( ). Pozámka: platí Φ( a) = Φ(a). }{{} Z N(,) < 3. Věta: Mějme (X i ) i ezávislé, stejé rozděleí, E[X ] = µ, var[x ] = σ k= X. Pak P( k µ < x) σ Φ(x) 8
9 Pozámky: (X µ), X σ = k= X k P( X µ < x) Φ(x) σ Úloha: Jede zákazík zabere T Exp() sekud, máme = 36 zákazíků T,..., T 3 6. Jaká je pravděpodobost, že zaberou dohromady méě ež? Řešeí: X = 3 i= 6T i P(X < )? f (x) = { λ e λ x : x> : x. E[X] = x f (x) dx = x }{{} G [ λ e λ x ] = + λ = λ. µ = E[T ] =, σ = var[t ] = 4. P(X < ) = P( 3 i= 6T i < ) = P( λ } {{ e λ x } f i T i 36 3 } {{ } X dx = [ x e λ x ] + e λ x dx = [ x e λ x ] < 36 3 } {{ } x ) Φ(x) = Φ( 3 ).75 Úloha: = krát házíme kostkou, chceme pravděpodobost, že součet hodů X = i= K i (3, 38). Řešeí: µ = E[K i ] = 3.5 E[X] = 35. σ = var[k i ] = E[Ki ] E[K i] = = 35. P(3 < X < 38) = P((X 35) < 3) = P( X < ) Φ( 3 35 ) Cviˇceí 5..9 Úloha: = lidí, ějaký z ich zemře s pravděpodobostí p =.. Pojisté čií a = 5kč a pojistka při úmrtí A = kč. S jakou pravděpodobostí bude mít pojišt ova ztrátu? Řešeí: Příjmy P = a, výdaje V = X A, X = i= X i. X i =, pokud i-tý člověk zemřel, jiak. X i Alt(p). Chceme zát P(V > P) = P(X A > a ) = P(X > a A }{{} y=5 ) = µ = E[X i ] = p, E[X ] = p σ = E[X ] E[X] = p p = p ( p) X Bi(, p) i= Alt(p) i. E[... ] = E[... ] = p a pokud jsou jevy, pak var[... ] = var[... ] = p ( p). i= X i p y p y p = P( > ) p ( p) p ( p) Φ( ).56 p ( p) Úloha: = hodů symetrickou micí (p =.5). Chceme zát pravděpodobost, že počet líců bude větší ež 4. Řešeí: P(X > 4), x = i= X i, X i Alt(.5), X Bi(, ). ) Φ( ) = Φ(). P( x µ σ > Úloha: Každé ráo a odpolede cesta metrem, čekáí až 3 miuty. Jaká je pravděpodobost, že během dů stráví cestující čekáím déle ež hodiu? Řešeí: X i U(, 3), X = 4 i= 4X i, chceme P(X > 6). E[X i ] = 3, E[X i ] = 3 x x3 3 dx = [ 9 ]3 = 3. var[x i ] = E[Xi ] E[X i] = 3 ( 3 ) = 3 4. P(X > 6) = P( X > ) = Φ( 6 33 ) = Φ( 6 33 ) 9
10 Úloha: Hody micí, V četost líců, chceme P( V.5).95 Řešeí : Čebyševova erovost: Pro X, ɛ platí P( X E[X] > ɛ) var[x] (omezuje pravděpodobost, ɛ že se X odchyluje od své středí hodoty o více ež ɛ). Pozámka, P = E[I[ X E[X] > ɛ]] E[ X E[X] I[... ]] X E[X] = var[x]. ɛ ɛ ɛ P( V >.5) =.5. 4 (.5) Řešeí : Cetrálí i= limití věta. X V = i, E[V ] =, var[v ] = 4 = 4. P( V >.5).95.5 P(... )... P( V.5 ) = P( V. ) = Pozámky: Pro N N(, ): P( N < U) =.95 P(N < U) =.95)... 95%-kvatil Φ(U)... U-kvatil (Φ(U.95 ) =.95, Φ(U.975 ) =.975, P(N > U.975 ) =.5... Pozámka: Shrutí pro písemku. E[X] = x f (x) dx. E[X ] = x f (x) dx. var[x] = E[X E[X]] = E[X ] E[X]. Rovoměré rozděleí (R, U). Cetrálí limití věta. X,..., X (iid) F, Y = mi(x,..., X ), Z = max(... ), G(y) = P(Y < y), H(z) = P(Z < z) = P(max(... ) < z) = [F(z)]. Vlastosti f, F, etc.
12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceCvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.
Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení
S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:
Víceb c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d
Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
Více1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceKlasická pravděpodobnost
NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I Klasická pavděpodobost 1. Házíme čtyřmi šestistěými hacími kostkami. Učete, jaká je pavděpodobost, že (a padou čtyři ůzá čísla, (b padou pouze lichá čísla,
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
Více( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VícePravděpodobnost a statistika - absolutní minumum
Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceRozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.
Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika
České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35
VíceEntropie, relativní entropie a sdílená (vazební) informace
Etroie, relativí etroie a sdíleá vazebí iformace Pojem iformace je říliš rozsáhlý a to, abchom jej komleě osali jedoduchou defiicí. Pro libovolou distribuci ravděodobosti můžeme defiovat tzv. etroii, jež
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:
Více9.1.12 Permutace s opakováním
9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Více1. Klasická pravděpodobnost
Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými
Více