Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ / /0016

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Šárk Hošková Jromír Kuben Pvlín Rčková Vytvořeno v rámci projektu Operčního progrmu Rozvoje lidských zdrojů CZ.4../..5./6 Studijní opory s převžujícími distnčními prvky pro předměty teoretického zákldu studi. Tento projekt je spolufinncován Evropským sociálním fondem státním rozpočtem České republiky ESF - ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

2 Hošková Šárk, Kuben Jromír, Rčková Pvlín Integrální počet funkcí jedné proměnné c Šárk Hošková, Jromír Kuben, Pvlín Rčková 6 ISBN X

3 Obsh Předmluv vi Úvod. Co je to integrální počet čím se zbývá Co budete po prostudování tohoto tetu umět Orientce v tetu Neurčitý integrál 5. Primitivní funkce neurčitý integrál Zákldní integrční metody Tbulkové integrály Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Metod per prtes Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Substituční metod Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Rozkld n prciální zlomky Integrce rcionální lomené funkce Integrce prciálních zlomků s reálnými kořeny ve jmenovteli Integrce prciálních zlomků s kompleními kořeny ve jmenovteli Integrce prciálních zlomků s reálnými kompleními kořeny ve jmenovteli Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Integrce některých speciálních typů funkcí Integrály obshující goniometrické funkce Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Integrály obshující odmocniny Závěrečné poznámky iii

4 .6. Dostneme integrcí elementární funkce opět elementární funkci? Využití systémů počítčové lgebry při výpočtu integrálů Technik slepování Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Závěrečná cvičení ke kpitole Klíč k příkldům k procvičení Autotest Klíč k utotestu Určitý integrál 96. Od výpočtu obshů objemů k integrálnímu počtu Konstrukce určitého integrálu Eistence určitého integrálu Zákldní vlstnosti určitého integrálu Výpočet určitého integrálu Metod per prtes pro určitý integrál Substituční metod pro určitý integrál Určitý integrál jko funkce mezí Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Aplikce určitého integrálu Geometrické plikce Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Fyzikální plikce Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Počátky infinitezimálního počtu Autotest Klíč k utotestu Nevlstní integrál 7 4. Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Nevlstní integrál z neohrničené funkce Zobecnění nevlstního integrálu Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení Kritéri konvergence nevlstních integrálů Kritéri konvergence nezáporných funkcí Absolutní reltivní konvergence Příkldy k procvičení Klíč k příkldům k procvičení iv

5 Autotest Klíč k utotestu Numerické metody řešení určitého integrálu 4 5. Obdélníková metod Lichoběžníková metod Simpsonov metod Cvičení ke kpitole Klíč k příkldům k procvičení Litertur 6 Rejstřík 8 v

6 Předmluv STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu, který uspěl v rámci první výzvy Operčního progrmu Rozvoj lidských zdrojů. Projekt je spolufinncován státním rozpočtem ČR Evropským sociálním fondem. Prtnery projektu jsou Regionální středisko výchovy vzdělávání, s. r. o. v Mostě, Univerzit obrny, Brno Technická univerzit v Liberci. Projekt byl zhájen bude ukončen Cílem projektu je zprcování studijních mteriálů z mtemtiky, deskriptivní geometrie, fyziky chemie tk, by umožnily především smosttné studium tím minimlizovly počet kontktních hodin s učitelem. Je zřejmé, že vytvořené tety jsou určeny studentům všech forem studi. Studenti kombinovné distnční formy studi je využijí k smostudiu, studenti v prezenční formě si mohou doplnit získné vědomosti. Všem studentům tety pomohou při procvičení ověření získných vědomostí. Neznedbtelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvlifikce širokému spektru osob, které nemohly ve studiu n vysoké škole z různých důvodů (sociálních, rodinných, politických) pokrčovt bezprostředně po mturitě. V rámci projektu jsou vytvořeny jednk stndrdní učební tety v tištěné podobě, koncipovné pro smosttné studium, jednk e-lerningové studijní mteriály, přístupné prostřednictvím Internetu. Součástí výstupů je rovněž bnk testových úloh pro jednotlivé předměty, n níž si studenti ověří, do jké míry zvládli prostudovné učivo. Bližší informce o projektu můžete njít n drese Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu budeme mít rdost, pokud vám předložený tet pomůže při studiu bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto tetu objevit nejsnosti chyby. Předem se z ně omlouváme budeme vám vděčni, pokud nás n ně upozorníte. ESF - ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY vi

7 Kpitol Úvod.. Co je to integrální počet čím se zbývá Integrál je jedním z ústředních pojmů mtemtické nlýzy mtemtiky vůbec. Jeho vznik motivovly mimo jiné dvě úlohy:. určení funkce, je-li znám její derivce,. výpočet plochy, která je vymezen grfem funkce f n intervlu, b osou nezávislé proměnné. Tyto dvě úlohy vedou k pojmu neurčitého určitého integrálu. Vyšetřování vlstností výpočet těchto spolu souvisejících podob integrálu je obshem integrálního počtu. S rozvojem mtemtiky v souvislosti s potřebmi přírodních věd techniky se pojem integrálu vyvíjel, byl předmětem mnoh zobecnění prošel řdou změn. Postupně vznikl řd neustále obecnějších integrálů, které čím dál tím lépe řešily dvě výše uvedené úlohy. Podíváme-li se do dnešních učebnic diferenciálního integrálního počtu, většinou výkld zčíná seznámením s reálnými čísly, následuje pojem limit, pomocí limity se definuje derivce, pk neurčitý integrál nkonec integrál určitý. Historicky ovšem tyto pojmy nevznikly v tomto pořdí. Ve skutečnosti se nejdříve vyvíjel pojem určitého integrálu (výpočty obshů objemů), pk derivce neurčitý integrál (v 7. stol.), které byly zloženy n intuitivním chápání nekonečně mlé velké veličiny tudíž limitního procesu, o let později se upřesňovl pojem limity teprve v 9. století byl vybudován teorie reálných čísel... Co budete po prostudování tohoto tetu umět Obshem skript je výkld integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné, který společně s diferenciálním počtem tvoří zákld mtemtického vzdělání inženýr. Znlost integrálního počtu funkcí jedné proměnné je nezbytným předpokldem pro studium dlších mtemtických prtií, jko diferenciálních rovnic, integrálního počtu funkcí více proměnných, vektorové nlýzy, integrálních trnsformcí řdy dlších. Neobejde se bez něho ni mechnik, fyzik mnoho dlších technických disciplín.

8 Úvod.. Orientce v tetu Tet je rozdělen do čtyř kpitol. První je věnován neurčitému integrálu druhá Riemnnovu určitému integrálu. Z hledisk výkldu je tento přístup snzší přehlednější. Pro výuku je všk možné probrt pouze první dvě sekce první kpitoly, pk zvést určitý integrál, vysvětlit jeho zákldní vlstnosti Newtonovu-Leibnizovu formuli, potom se vrátit ke zbytku první kpitoly n závěr dokončit druhou kpitolu, zejmén různé plikce. Zvolený přístup umožní dojít n cvičeních dříve k určitému integrálu průběžně procvičovt i jeho výpočet. Třetí kpitol je pk týká zobecnění n nevlstní integrál. Čtvrtá, nejkrtší, uvádí informtivně zákldní numerické metody výpočtu určitého integrálu. Vzhledem k tomu, pro koho je tet určen, není řd tvrzení dokzován. Prkticky vše je dokázáno v první kpitole, kde důkzy nejsou příliš obtížné. Nopk ve druhé kpitole důkzy téměř nejsou, protože jsou technicky většinou dost obtížné. Ve zbývjících kpitolách jsou dokázán jen některá jednodušší tvrzení. V dnešní době totiž klesá význm drilování mechnického integrování, protože nám mohou podsttně pomocí tzv. progrmy symbolické neboli počítčové lgebry. Pro jejich správné používání je ovšem třeb dobře rozumět pojmům, se kterými tyto progrmy prcují, jink nedokážeme odhlit chyby, které nutně tyto progrmy při nesprávném použití děljí. Proto je věnován velká pozornost důkldnému zvádění pojmů, jejich správnému pochopení přesné formulci mtemtických vět. Pro větší názornost je tet doplněn řdou obrázků. Skriptum obshuje spoustu velmi podrobně řešených příkldů, které by čtenáři měly pomoci porozumět probírné látce. Z jednotlivými temtickými celky jsou dále zřzen cvičení. Smosttné řešení v nich obsžených příkldů tvoří nedílnou součást studi. Jen tk mohou studenti získt potřebné početní návyky hlouběji si osvojit nové pojmy. Pro usndnění kontroly jsou všechn cvičení optřen výsledky. Pro lepší orientci v tetu jsou konce důkzů oznčeny symbolem konce cvičení symbolem. Eistuje řd učebnic skript, které jsou věnovány problemtice integrálu funkcí jedné proměnné. V tetu [8] nleznete všechny důkzy neuvedené v těchto skriptech, pokud není eplicitně uveden jiný prmen. Mezi klsické české učebnice ptří [8]. Poučné je číst rovněž knihu [9], která byl první moderní českou učebnicí integrálního počtu. Přestože její jzyk zstrl, její obsh je pozoruhodný je zjímvé srovnt, n co se kldl při výkldu této prtie důrz před téměř sto lety n co se klde dnes. Rovněž lze doporučit učebnici [6] pro ty, kteří hovoří rusky, tké klsickou knihu [5]. Z S V Průvodce studiem J Prostřednictvím průvodce studiem vás chceme seznámit s tím, co vás v dné kpitole čeká, které části by měly být pro vás opkováním, n co je třeb se obzvláště změřit td. Cíle V části cíle se dozvíte, co všechno zvládnete budete umět po prostudování dné kpitoly.

9 . Orientce v tetu Příkld Touto ikonou jsou oznčeny všechny řešené příkldy. Konec řešených příkldů je oznčen plným trojúhelníčkem. Pojmy k zpmtování Pojmy zde uvedené jsou většinou nové zcel zásdní pojmy, které je třeb umět přesně definovt. To znmená pojem nejen pochopit umět ilustrovt n příkldech, le tké umět vyslovit jeho přesnou definici. Kontrolní otázky Těmito otázkmi si ověříte, zd jste dným pojmům porozuměli, zd si uvědomujete rozdíly mezi zdánlivě podobnými pojmy, zd dovedete uvést příkld ilustrující dnou situci td. Příkldy k procvičení Tyto příkldy slouží k tomu, byste si důkldně procvičili probrnou látku. Autotest Pomocí utotestu si otestujete své znlosti početní dovednosti z určitého objemu učiv.?! Pro zájemce Tto část obshuje komentáře, příp. rozšíření učiv. Je nepovinná je od osttního tetu odlišen menším typem písm. Klíč k příkldům k procvičení Z kždým oddílem s příkldy k procvičení je uveden klíč ke cvičením, který obshuje výsledky neřešených příkldů. Litertur Jedná se o literturu použitou utory při vytváření tohoto studijního mteriálu, nikoliv o literturu doporučenou k dlšímu studiu. Pokud některou z uvedených publikcí doporučujeme zájemcům, pk je to v tetu spolu s odkzem n dný titul jsně uvedeno.

10 4 Úvod Rejstřík Rejstřík, uvedený n konci skript, poslouží ke sndné orientci v tetu. Závěrem Celý tet vychází z koncepce výuky mtemtické nlýzy pro první ročník n Fkultě elektrotechniky informtiky VŠB TU v Ostrvě n Fkultě vojenských technologií Univerzity obrny. Jko podkld k vytvoření tohoto tetu posloužil skript [7]. Výkld i grfická podob byly uzpůsobeny potřebám studentů v distnční kombinovné formě studi. Tet eistuje ve dvou verzích tištěné interktivní. U interktivní verze se jedná o multimediální výukový tet obshující nimce interktivní testy. Ob studijní mteriály byly vytvořeny v rámci projektu Operčního progrmu Rozvoje lidských zdrojů CZ.4../..5./6 Studijní opory s převžujícími distnčními prvky pro předměty teoretického zákldu studi. Tento projekt je spolufinncován Evropským sociálním fondem státním rozpočtem České republiky Děkujeme recenzentům prof. RNDr. Josefu Diblíkovi, DrSc. z Ústvu mtemtiky deskriptivní geometrie FAST VUT v Brně doc. RNDr. Zdeňku Šmrdovi, CSc. z Ústvu mtemtiky FEKT VUT v Brně z řdu připomínek, které npomohly ke zlepšení tetu. Dále bychom chtěli tké poděkovt prof. RNDr. Štefnu Schwbikovi, DrSc. z MÚ AV ČR RNDr. Petře Šrmnové, Ph.D. z FEI VŠB TU Ostrv z poskytnutí mteriálu týkjícího se historie integrálního počtu. Z pomoc se zřzením nimcí do interktivní verze vytvoření úvodních stránek výukového CD děkujeme Ing. Mgr. Michlovi Hleckému. Tet byl připrven sázecím systémem pdf TEX ve formátu LATEX ε, většin obrázků byl vytvořen progrmem METAPOST s použitím blíku TEXovských mker mfpic. Dv obrázky byly připrveny v progrmu Mple. Brno, září 6 Autoři

11 5 Kpitol Neurčitý integrál Průvodce studiem V předcházejícím studiu jste se seznámili s důležitým pojmem, to derivcí funkce. Funkci f byl přiřzen jistým způsobem definovná nová funkce f. Přitom pro konkrétní hodnotu číslo f () mohlo mít různou interpretci podle toho, co vyjdřovl funkce f. Npř. geometricky hodnot f () měl význm směrnice tečny ke grfu funkce f v bodě [, f ()], tj. byl to tngent úhlu, který svírl tečn s kldnou částí osy. Vyjdřovl-li funkce f polohu bodu pohybujícího se po přímce v závislosti n čse, udávlo číslo f () okmžitou rychlost tohoto bodu v čse, vyjdřovl-li funkce f okmžitou rychlost tkového bodu v závislosti n čse, udávlo číslo f () okmžité zrychlení tohoto bodu v čse, td. Obecně hodnot f () vyjdřovl míru velikosti změny funkce f v závislosti n změně nezávisle proměnné. Čím větší byl hodnot f (), tím prudčeji funkce f nrůstl v okolí bodu nopk. Úloh, kterou se v této kpitole budeme zbývt, je v podsttě opčná. K zdné funkci f budeme hledt funkci F tkovou, by pltilo F = f. Budeme se tedy ptát, jkou funkci je nutné derivovt, bychom dostli zdnou funkci f. Tudíž ze znlosti směrnic tečen ke grfu funkce budeme chtít njít tuto funkci, ze znlosti okmžité rychlosti bodu budeme chtít zjistit polohu tohoto bodu, ze znlosti okmžitého zrychlení bodu budeme chtít určit jeho okmžitou rychlost pod. V této kpitole si mimo jiného postupně všimneme zejmén následujících otázek: Z S J V Zd vůbec tková funkce F eistuje. Zd tkových funkcí může být více. Jk nějkou tkovou funkci njít ke konkrétně zdné elementární funkci f. Ztímco odpovědi n první dvě otázky budou mít teoretičtější chrkter, u třetí otázky, které bude věnováno nejvíc míst, nám půjde o prktické nlezení tkové funkce F.

12 6 Neurčitý integrál Cíle Po prostudování této kpitoly budete schopni: objsnit pojem primitivní funkce, objsnit pojem neurčitý integrál, prkticky integrovt některé jednoduché funkce, použít metodu per prtes substituční metodu, integrovt rcionální lomenou funkci, integrovt integrály obshující goniometrické funkce, integrovt integrály obshující odmocniny... Primitivní funkce neurčitý integrál Definice.. Necht funkce f () je definovná n intervlu I. Funkce F () se nzývá primitivní k funkci f () n I, jestliže pltí F () = f () pro kždé I. Množin všech primitivních funkcí k funkci f () n I se nzývá neurčitý integrál z funkce f () znčí se f () d. Tedy f () d = {F () : F () je primitivní k f () n I}. (.) Pokud v předchozí definici není intervl I otevřený, v krjních bodech máme n mysli jednostrnné derivce. Symbol pro neurčitý integrál vznikl protžením písmene S, kterým zčíná slovo sum (jkou to má souvislost, bude ptrné v kpitole ). Funkci f () nzýváme integrndem. Výrz d je diferenciál proměnné v tuto chvíli je jeho význm jen v tom, že nám říká, jk je oznčená proměnná. Později le uvidíme, že nám usndní npř. výpočetní mechnismus při tzv. substituční metodě. Zkusme nyní njít nějkou primitivní funkci npř. k funkci cos, R. Není těžké uhodnout, že tková funkce je npř. F () = sin, protože (sin ) = cos. Ale tké pro funkci sin + pltí (sin + ) = cos, tudíž i funkce sin + je primitivní k funkci cos. Podobně obecněji všechny funkce sin + c, kde c R je libovolná konstnt, jsou primitivní k funkci cos. Obecně pltí: Je-li F () primitivní k f () n intervlu I, jsou tké funkce F () + c, kde c R je libovolná konstnt, rovněž primitivní k f () n I. Má-li tedy funkce f () spoň jednu primitivní funkci, má jich pk nekonečně mnoho. Nskýtá se otázk, zd toto už jsou všechny primitivní funkce k funkci f (). Odpověd dává následující vět. Vět.. Necht funkce F () je primitivní k funkci f () n intervlu I. Pk kždá jiná primitivní funkce k funkci f () n I má tvr F () + c, kde c R.

13 . Primitivní funkce neurčitý integrál 7 Důkz. Necht F () G() jsou dvě primitivní funkce k f (). Tedy F () = G () = = f (). Protože I je intervl, pltí podle důsledku Lgrngeovy věty o střední hodnotě viz [, str. ], že tyto funkce se liší o konstntu, tj. eistuje c R tk, že G() = = F () + c, což jsme měli dokázt. Jinými slovy, předchozí vět říká, že známe-li jednu primitivní funkci, známe všechny. Rozdíl dvou tkových primitivních funkcí je n intervlu I konstntní. Pro zájemce: Zdůrzněme všk, že je podsttné, že I je intervl. Pokud I není intervl, může se stát, že F () = G (), le F () G() není n I konstntní. Npř. funkce F () = sgn uvžovná n množině R {} je rovn n intervlu (, ) n intervlu (, + ), má tedy v kždém bodě množiny R {} nulovou derivci viz obr... Jinou tkovou funkcí mjící všude nulovou derivci je npř. G() =. Přitom jejich rozdíl F () G() = sgn není n množině R {} konstntní. Je ovšem konstntní n kždém z intervlů (, ) resp. (, + ), jsou-li uvžovány smosttně, což je ve shodě s větou.. (Připomeňme, že pojem primitivní funkce jsme zvedli jen n intervlu.) Vzhledem k předchozí větě můžeme nyní uprvit vzorec (.). Je-li F () nějká primitivní funkce k f (), pk f () d = F () + c, kde c R. (.) Číslo c nzýváme integrční konstnt. Říkáme, že neurčitý integrál je určen ž n konstntu. Přesněji by výrz n prvé strně rovnosti (.) měl být ve složených závorkách, protože jde o množinu, le tento zápis se nepoužívá. Rovnost (.) tedy znmená, že všechny primitivní funkce k funkci f () mjí tvr F () + c, kde F () je jedn konkrétní pevně zvolená primitivní funkce k f () c je libovolná konstnt. Je-li npř. f () = cos, z pevně zvolenou primitivní funkci můžeme volit třeb F () = sin. Pk cos d = sin + c, kde c R. Situce je znázorněn n obr... Grfy jednotlivých primitivních funkcí jsou vůči sobě rovnoběžně posunuty ve směru osy y. Pro kždé pevně zvolené jsou tečny ke grfům funkcí F () + c v bodech [, F () + c] pro libovolné c R nvzájem rovnoběžné, tedy mjí stejné směrnice, což odpovídá tomu, že všechny primitivní funkce F ()+c mjí touž derivci f (). Situce je znázorněn n zmíněném obrázku pro konkrétní body. Joseph Louis Lgrnge (76 8) (čti lgrnž) význmný frncouzský mtemtik mechnik. Zbývl se mnoh oblstmi mtemtiky. Mimo jiné ovlivnil rozvoj mtemtické nlýzy položil zákldy vričního počtu.

14 8 Neurčitý integrál y y = F () +,5 y = F () +,5 y = F () = sin O y = F (),4 Obr..: Primitivní funkce k funkci cos y = sgn y O Nyní si všimneme otázky, zd k dné funkci f () vůbec nějká primitivní funkce eistuje. Obecně tomu tk není. Npř. o funkci sgn definovné vzthem pro <, sgn = pro =, pro >, jejíž grf je n obr.., lze ukázt, že k ní neeistuje primitivní funkce n intervlu (, + ). Tuto skutečnost Obr.. nebudeme dokzovt (funkce sgn není n R tzv. drbouovská viz npř. [4, str. 87]). Nštěstí le eistuje velmi jednoduchá postčující podmínk eistence primitivní funkce, která je obshem následující věty. Vět.. Je-li funkce f spojitá n intervlu I, pk n tomto intervlu eistuje lespoň jedn primitivní funkce k funkci f. Větu nebudeme dokzovt, protože k tomu nemáme potřebné nástroje. V kpitole se zmíníme, jk se tková primitivní funkce konstruuje (důsledek.9). Předchozí vět je typickým příkldem tzv. eistenční věty. Říká, že něco eistuje, le neříká, jk se to njde. (Ani důkz, který jsme neuvedli, není v tomto smyslu konstruktivní.) Později se o tomto problému, který znčně komplikuje situci kolem hledání primitivních funkcí, ještě zmíníme viz kpitol.6. N závěr uvedeme jednoduchou, le velmi důležitou větu, kterou budeme v dlším tetu při výpočtu neurčitých integrálů neustále používt.

15 . Primitivní funkce neurčitý integrál 9 Vět.4. Necht n intervlu I eistují integrály f () d g() d. Pk n I eistují tké integrály (f ()±g()) d αf () d, kde α R je libovolná konstnt, pltí: (f ) () ± g() d = f () d ± g() d, (.) αf () d = α f () d. (.4) Důkz. Plyne přímo ze zákldních vlstností derivce. Je-li F () primitivní funkce k f () G() primitivní funkce ke g(), pltí (F () ± G()) = F () ± G () = f () ± g(), tkže F () ± G() je primitivní funkce k f () ± g() podobně pltí (αf ()) = = αf () = αf (), tkže αf () je primitivní funkce k αf (). Stručně říkáme, že neurčitý integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) neurčitých integrálů že konstntu, kterou se násobí (tzv. multipliktivní konstntu), smíme z neurčitého integrálu vytknout. První tvrzení lze pochopitelně sndno rozšířit ze dvou n libovolný konečný počet sčítnců. Všimněte si rovněž, že z hledisk eistence musíme číst vzorce (.) (.4) zprv dolev integrály n prvých strnách musí eistovt; pk eistují i integrály nlevo pltí příslušné rovnosti. Konečně ještě připomeňme, že přímo z definice neurčitého integrálu vyplývá pltnost rovností [ f () d] = f () F () d = F () + c, c R, tkže operce derivování integrce jsou nvzájem komplementární. O správnosti výsledku integrce se tudíž vždy můžeme přesvědčit derivováním výsledku musí nám vyjít zdná funkce. Poznámk.5. Všimněme si ještě vzthu (.). N jeho prvé strně stojí ve skutečnosti součet dvou nekonečných množin. Upřesníme si, co se tkovým součtem myslí. Sečteme libovolný prvek množiny f () d s libovolným prvkem množiny g() d. Výsledkem je množin všech tkových součtů. Avšk všechny prvky prvního neurčitého integrálu mjí tvr F () + c, c R, všechny prvky druhého neurčitého integrálu mjí tvr G() + c, c R. Zde F () G() jsou pevně zvolené primitivní funkce k f () g(). Tedy výsledná množin je tvořen funkcemi tvru F () + G() + c + c, kde c c probíhjí nezávisle všechn reálná čísl. Jde tedy o množinu tvořenou funkcemi F () + G() + c, kde c je libovolné reálné číslo. Ale to je přesně levá strn zmíněného vzthu. Podobně ve vzthu (.4) násobek množiny f () d konstntou α n prvé strně tohoto vzthu provedeme tk, že násobíme konstntou α kždý prvek této množiny. Prvky tkto vytvořené množiny jsou pk všechny funkce tvru αf () + αc, kde c je libovolné reálné číslo, což je (pro α = ) totéž, co všechny funkce tvru αf () + c.

16 Neurčitý integrál.. Zákldní integrční metody Z S J V Průvodce studiem Obshem tohoto oddílu bude nučit se prkticky integrovt některé jednoduché funkce, se kterými se v běžných plikcích setkáváme. Připomeňme, že tzv. elementárními funkcemi rozumíme mocninné funkce, eponenciální logritmické funkce, goniometrické cyklometrické funkce, hyperbolické hyperbolometrické funkce všechny dlší funkce, které z nich můžeme vytvořit konečným počtem ritmetických opercí sečítání, odčítání, násobení dělení skládáním.... Tbulkové integrály První skupinu vzorců dostneme, obrátíme-li zákldní vzorce pro derivování. Po mlých úprvách z nich dostneme vzorce č., následující tbulky, která je doplněn o dv užitečné vzorce 4. Vzorce z tbulky. se obvykle nzývjí tbulkové integrály. O správnosti všech následujících vzorců se lze sndno přesvědčit derivováním. Než si ukážeme použití vzorců n příkldech, uvedeme několik komentářů. i) Vzorec je zkráceným zápisem pro d. Podobně se ve vzorci 4 dlších obdobných integrálech používá místo d zápis d pod. ii) Vzorec umožňuje integrci obecné mocniny, tj. i nejrůznějších odmocnin. iii) Protože derivce funkcí rkustngens rkuskotngens se liší pouze znménkem totéž pltí pro rkussinus rkuskosinus, je možné ve vzorci 9 resp. psát + d = rccotg +c resp. d = rccos +c nlogicky v obecných verzích. iv) Ve všech vzorcích je nezávisle proměnná oznčená písmenem. Při prktickém použití tomu tk pochopitelně nemusí vždy být. Jk je proměnná oznčená, se dozvíme z diferenciálu. Pk je třeb vzorec dekvátně uprvit. Npř. cos d = sin + c, cos t dt = sin t + c, cos u du = sin u + c td. Tto jednoduchá záměn někdy dělá studentům problémy. Zkuste se proto učit vzorce z tbulky. bez proměnné (pokud je to spoň trochu možné). Npř. integrál ze sinu je mínus kosinus (vzorec 7), integrál z e n proměnnou je to smo (vzorec 5), integrál z jedn lomeno proměnná je přirozený logritmus bsolutní hodnoty proměnné (vzorec 4), integrál z proměnné n entou je proměnná n en plus prvou lomeno tím smým číslem (vzorec ). I když je to občs trochu krkolomné, uvidíte, že se vám to vypltí. v) Domluvíme se, že všude v dlším tetu bude c připsné n konci výpočtu neurčitého integrálu znment integrční konstntu. vi) Vzorce z předchozí tbulky byste měli umět bezpečně zpměti. V opčném přípdě, i když budete mít tbulku k dispozici, nedokážete u trochu složitějších přípdů vybrt

17 . Zákldní integrční metody d = c, d = + c, n d = n+ + c, kde n R, n =, n + d = ln + c, obecněji e d = e + c, obecněji d = + c, >, ln sin d = cos + c, cos d = sin + c, obecněji obecněji d = rctg + c, + obecněji d = rcsin + c, obecněji + d = ln c, cos d = tg + c, obecněji sin d = cotg + c, obecněji f () d = ln f () + c. f () d = ln + + c, + e d = e + c, sin d = cos d = cos + c, sin + c, + d = rctg + c, d = rcsin + c, cos d = sin d = tg + c, cotg + c, Tb..: Tbulk neurčitých integrálů V předchozí tbulce znmená s výjimkou vzorce 6 libovolné nenulové číslo, tj. R {}. Číslo c R je integrční konstnt. Vzorce pltí n intervlech, n nichž jsou vždy obě strny definovány.

18 Neurčitý integrál správný vzorec. U příkldů, kde je nutná nějká úprv, vás nenpdne, jkou zvolit, protože nebudete ve vzniklých výrzech vidět příslušné vzorce. Rozhodně nevěřte, že k úspěšnému integrování stčí mít tbulku vzorců před očim není třeb vzorce znát zpměti. Příkld.6. Vypočtěte následující neurčité integrály: ) d, b) d, c) d) d, e) e d, f) g) d, h) 4 7 d, i) d, + d, d. Řešení. K řešení prvních čtyř příkldů využijeme. vzorec. ) d = + c (zde bylo n = ), b) d = d = + c = + c (zde bylo n = ), c) d = / d = / / + c = + c (zde bylo n = / ), d) d = / d = / / + c = + c (zde bylo n = / ). e) Dlší příkld je n vzorec 5, kde =. Dostneme e d = e + c = e + c. f) V tomto příkldu použijeme vzorec 9. Zde je =, tedy = (mohli bychom volit i =, le proč si komplikovt život). Potom vyjde + d = rctg + c. g) V tomto příkldu použijeme vzorec. Zde je = 4, tedy =. Vyjde tudíž d = rcsin 4 + c. h) V tomto příkldu použijeme vzorec. Zde je = 7, tkže po doszení vyjde 7 d = ln c. i) V posledním příkldu použijeme vzorec 4. Není totiž těžké všimnout si, že derivce jmenovtele je ( + + ) = +, což je právě čittel. Tedy

19 . Zákldní integrční metody d = ln c. V dlších příkldech použijeme nvíc i větu.4, s jejíž pomocí převedeme složitější integrál n výpočet několik jednodušších. Příkld.7. Vypočtěte následující neurčité integrály: ( ) ) ( ) d, b) d, ( c) cos sin 5 + cos ) + + e/ d. Řešení. ) Jde o integrci mnohočlenu, což je s pomocí vzorce vzthu (.4) sndné: ( ) d = = 5 d 4 d + d d + d = = c = c. b) Integrál rozdělíme n dv použijeme vzorce. ( ) d = d 4 d 4 +. (.5) Protože před použitím zmíněných vzorců je třeb integrndy uprvit, spočítáme kždý integrál pro větší přehlednost smosttně (integrční konstntu doplníme ž n závěr): d = 4 d (4/ ) = d 4/ = = rcsin = rcsin = rcsin (ve vzorci bylo = 4/, tj. = / ) d = d 4 + (4/ + ) = d 4/ + = = ln + 4/ +.

20 4 Neurčitý integrál Všimněte si, že funkce se liší v jediném znménku, le jejich integrály jsou zcel odlišné. Doszením do (.5) dostneme ( ) d = rcsin ln + 4/ c. Integrční konstntu jsme doplnili ž k celkovému výsledku. c) Integrál rozdělíme n několik jednodušších použijeme (po přípdných mlých úprvách) potřebné vzorce. ( cos sin 5 + cos ) + + e/ d = d = cos sin 5 d + cos d + d ( ) d 7 d 4 d + / + e / d = cos 5 = tg + sin ( + ) 5 ln 7 ln 4 ln ln + / + e/ + c = = tg + 5 cos sin + ln ln ln ln + / + e/ + c. Všimněte si, že integrční konstntu při výpočtu neurčitého integrálu musíme npst v okmžiku, kdy byl určen poslední integrál. Při následujících úprvách ji pk opisujeme. Příkld.8. Vypočtěte následující neurčité integrály: ) tg u du, =, b) tg bs ds, b =, c) dt sin t. Řešení. Všechny tři příkldy převedeme vhodnými úprvmi n tbulkové integrály. Musíme dávt pozor, jk je oznčená proměnná, tentokrát to není. ) Úprv je velmi jednoduchá, použijeme vzth sin α +cos α =, pltný pro libovolné α R, vzorec. sin tg u cos u du = cos u du = u cos du = u ( ) ( ) = cos u cos u cos du = u cos u du = tg u u + c.

21 . Zákldní integrční metody 5 b) V tomto příkldu použijeme vzorec 4. Pltí tg bs = cos bs derivce (podle proměnné s) jmenovtele je (cos bs) = b sin bs. V čitteli nám tudíž chybí b. Protože jde o konstntu, sndno to nprvíme s ohledem n vzorec (.4). Vyjde tg bs ds = sin bs sin bs b sin bs cos bs ds = ds = b cos bs b ln cos bs + c. c) I tentokrát použijeme vzorec 4 (hned dvkrát), le ž po několik úprvách pomocí vzorců pro goniometrické funkce sin α + cos α = sin α = sin α cos α, které pltí pro libovolné α R. Přitom zvolíme α = t/. dt sin t sin t = + cos t ( sin t cos t dt = ( sin t = cos t = ln cos t sin t sin t cos t + cos t ) sin t dt = sin t cos t + cos t ) sin t cos t dt = cos t dt + sin t dt = + ln sin t sin + c = ln t tg cos t + c = ln t + c, kde jsme v průběhu úprv do čittele doplnili chybějící obdobně jko v předchozím příkldu. V dosud řešených příkldech jsme se úmyslně nezbývli definičním oborem, bychom neodváděli pozornost od vlstního integrování. V některých příkldech by bylo jeho určení jednoduché, v jiných složitější. Nikdy nesmíme zpomínt, že nše výsledky pltí jen n intervlech, n nichž jsou všechny funkce definovány. Upozorněme, že ve výsledcích všech cvičení týkjících se neurčitých integrálů v těchto skriptech pro stručnost nejsou uváděny integrční konstnty. Příkldy k procvičení. Integrujte dné funkce: ) d, b) d) 5 7 d, e) g),4,6 d, h) j),5 d, k) ( ) 4 + d, c) d, f) 4 4 d, i) (,4 + 6 ) d, l) d, ( + ) d, d, =, 4 u du.!

22 6 Neurčitý integrál. Integrujte dné funkce: ) d) g) j) 4 d, b) u 5 du, e) 5 dr, h) R6 dt, k) t d, c) z dz, f) 8m /5 dm, i) ( z + ) dz, l) 4 z z 4 dz, ρ dρ, t dt, ( 5 η 7η) dη.. Integrujte dné funkce: ) c) e) + d, b) 5 dy, d) y/7 ( ) d, f) 5 M dm, 4 d, gh dh, g =, g) i) k) (R + ) R dr, h) 5 dt, j) (5t) ( K + K + K + ) dk, l) K ( ) d, τ dτ, τ ( 4 u u 4 ) du. 5/ u 4. Integrujte dné funkce: ) ( + 4 7) d, b) ( 4 + ( ) ) d, c) e) g) i) ( 5) d, d) d, ( ) 4 + d, f) d, ( )( ) ( ) d, + + d, h) + ( ) d, j) ( ) d, k) d, l) + d.

23 . Zákldní integrční metody 7 5. Integrujte dné funkce: ) c) e) (8 cos α sin α) dα, b) ( sin cos ) d, d) dθ, f) b sin θ [ ( σ + ) σ cos d, cos φ,8 dφ, cos φ ] + cos σ dσ, g) i) k) 5 sin + cos tg d, h) d, sin cos cos R d, j) 4 λ dλ, (T ) d, T >, l),5 e ρ dρ. 6. Integrujte dné funkce: ) d) g) j) cotg d, b) cos ( ) e u + e u du, e) cos u 4 d, h) dt, k) t 8 τ dτ, c) e t e t dt, f) d sin cos, e ρ + e ρ + dρ, z dθ, i) dz, θ z d, l) ( + ) d. ln 7. Integrujte dné funkce: ) d) g) j) 7 d, b) ( ) e + e d, c) + e sin e d, e) d, f) e e ( 4 d, h) ) d, k) + 6 d, i) 4 ( u + ) du, l) ( ) + d, >, B d, B >, + 4 d, h h + dh. 8. Integrujte dné funkce: ) 4 d, b) + sin υ sin υ dυ, c) w ( + w ) dw,

24 8 Neurčitý integrál d) g) j) cos β dβ, e) sin β tg d, h) t dt, k) t + 4 dω, f) + cos ω dτ, i) sin τ + U du, l) U sin ( φ ) dφ, ( + ) ( + ) d, η + η dη. Klíč k příkldům k procvičení 4. ) ln, b) 4 ln + 5 4, c), d) 5 8 8, e), f) + 6 ln 4 4, g) 7,84, h), i), j),5 ln, k),7 + 8, l) 4 u.. ) 4, b) e) z + + ln, c) z 8, d) 4u 4, +, f) ρ/, g) R 5, h) 5m8/5, i) t ln, j) ln t, k) z + z, l) 5 η 6/5 7η.. ) +, b) M, c) 7 y 5/7, d) 4/, e) 6 + h 4 4 5, f) g, g) R + R5/ + 4 R/, 5 h) ln, i) 5 t, j), τ k) K K K + ln K + + K, l) 8u 5/ 5 + u / + 4 u. 4. ) , b) , c) 5, d) 5, e) ( ) +, f) 4( ), g) 5 5/ +, h) + 4 +, i) / + /, j) / 7/, k) ln 4 4, l).

25 . Zákldní integrční metody 9 5. ) 8 sin α + cos α, b) 4 ln σ 8 + tg σ, σ σ c) cos tg, d) tg, e) cotg θ, b f) sin φ,8 tg φ, 5 tg cotg R g), h) tg + cotg, i) ( ) ln, 4 λ T j) ln 4, k) ln T, l) e ρ. 8 τ 6. ) tg + cotg, b), c) tg cotg, ln 8 d) e u + tg u, e) e t + t, f) eρ e ρ + ρ, g) rcsin, h) rcsin θ, i) z + rcsin z, 5 j) 9 rctg t, k) ln ln, l) e ln 6 + 9e ln + e ln. 7. ) 7 ln 7, b) e + e 6, c) ln, d) e cos, e) e + e B, f) ( ln B, ) ( g) rccos, h) ), i) rcsin, ln j) + rctg, k) rctg u, l) h rctg h. 8. ) + rctg, b) sin υ, c) rctg w w, d) β tg β, e) tg ω, f) cos φ sin φ + φ, g) tg, h) tg τ, i) ln + rctg, j) t 4 ln t + 4, k) U 6 ln U, l) η + 5 ln η Metod per prtes Doposud jsme se nučili počítt tzv. tbulkové integrály integrály, které n ně lze převést vhodnou úprvou. Z předchozího tetu víme, že integrál ze součtu resp. rozdílu je součtem resp. rozdílem integrálů. Bohužel nic podobného všk nepltí pro součin resp. podíl. Rozhodně tedy není obecně prvd, že integrál ze součinu resp. podílu je roven součinu resp. podílu integrálů. To nás nemůže překvpit, protože ni derivce součinu resp. podílu není obecně součinem resp. podílem derivcí. Nicméně integrcí rovnosti ze vzorce pro derivci součinu dostneme velmi užitečný vzth pro integrci součinu.

26 Neurčitý integrál Vět.9. Necht funkce u() v() mjí derivci n intervlu I. Pk pltí u()v () d = u()v() u ()v() d, (.6) pokud spoň jeden z integrálů v předchozím vzthu eistuje. Důkz. Pro funkce u() v() mjící derivci pltí vzth (u()v()) = u ()v() + + u()v (). Jeho integrcí dostneme (u()v() ) d = u()v() + c = (u ()v() + u()v () ) d. Integrál (uv + u v) d tedy eistuje. Pokud eistuje spoň jeden z integrálů uv d, u v d, necht je to npř. uv d, musí podle věty.4 eistovt i integrál z rozdílu ( (uv + u v) uv ) d = u v d, což je druhý uvžovný integrál, tkže u()v() + c = odtud již dostáváme vzth (.6). u ()v() d + u()v () d V příkldech, které budeme řešit, budou mít funkce spojité derivce, tkže eistence integrálů bude zručen větou.. Integrční metod zložená n vzthu (.6) se nzývá metod per prtes (česky po částech). Stručně ji zpisujeme uv d = uv u v d. Hodí se n integrály, jejichž integrnd má tvr součinu. Abychom dokázli npst prvou strnu vzthu (.6), musíme jeden činitel v levé strně (v nšem oznčení u) umět derivovt (bychom získli u ), což nebývá problém, druhý činitel (v nšem oznčení v ) musíme umět integrovt (bychom získli v), což už může být problém. A konečně integrál n prvé strně by měl být jednodušší z hledisk dlší integrce. Postup si ukážeme n příkldu. Příkld.. Vypočtěte neurčitý integrál sin d, R. Řešení. Součin v zdání je zřejmý. Můžeme si zvolit bud u = v = sin, nebo nopk u = sin v =. Zkusíme nejprve první volbu. Je-li u =, bude u =. Dále v = sin, tedy v = sin d = cos (integrční konstntu volíme rovnu nule, stčí nám jedn konkrétní primitivní funkce). Ze vzorce (.6) dostneme sin d = ( cos ) ( cos ) d = = cos + cos d = cos + sin + c.

27 . Zákldní integrční metody Tto volb tedy vedl k cíli. Výpočet obvykle zpisujeme do jkési tbulky, tkže zápis vypdá následovně: sin d = u = u = v = sin v = cos = ( cos ) ( cos ) d = = cos + cos d = cos + sin + c. Při ručním zápisu píšeme tbulku bud pod integrál nebo vedle něho, zde budeme s ohledem n místo dávt přednost zápisu vedle integrálu od zbytku výpočtu ji oddělíme svislými črmi. Je dobré zvyknout si psát tuto pomocnou tbulku pořád stejně co do umístění u, u, v v. Tento návyk vám umožní vyhnout se zbytečným chybám. Tedy v levém sloupci jsou funkce u v ze zdného integrálu, n hlvní digonále tbulky máme u v v prvém sloupci máme funkce u v nového integrálu. Příslušné dvojice jsou ve vzorci (.6) spolu vždy vynásobeny. Zkusíme nyní ještě druhou volbu. Dostneme sin d = u = sin v = = sin u = cos v = = sin cos d. (cos ) d = Předchozí rovnost je sice správná, le nový integrál je očividně složitější než výchozí, tkže tto volb nevede k cíli. Než si ukážeme dlší příkldy, uvedeme si tbulku typických funkcí, jejichž neurčité integrály lze spočítt metodou per prtes. Zároveň bude řečeno, kterou funkci derivujeme kterou integrujeme. Výčet pochopitelně není vyčerpávjící, eistují i dlší integrály, které lze vyřešit pomocí metody per prtes. Nicméně je důležité tyto zákldní typy znát, byste se bez váhání dokázli správně rozhodnout. Integrály řešitelné metodou per prtes V následujících tbulkách je P () mnohočlen je nenulová konstnt. V prvním sloupci je uveden integrnd, ve druhém sloupci je uvedeno, kterou funkci budeme derivovt, ve třetím, kterou funkci budeme integrovt. Přehled rozdělíme do dvou částí. U první skupiny derivujeme mnohočlen integrujeme druhý činitel. Nový integrál bude součinem mnohočlenu, jehož stupeň bude o jedničku menší, druhé funkce, která bude obdobná jko ve výchozím integrálu (eponenciální funkce e se zchová, funkce sinus kosinus se prohodí). U druhé skupiny integrujeme mnohočlen derivujeme druhý činitel. Opčná volb by ni nebyl možná, protože logritmickou funkci, funkci rkussinus td. ni neumíme (ztím) integrovt. Derivcí se nopk těchto nepříjemných funkcí zbvíme. Jejich

28 Neurčitý integrál Integrnd u v P () e P () e P () sin P () sin P () cos P () cos Tb..: Metod per prtes první část Integrnd u v P () ln ln P () P () rcsin rcsin P () P () rccos rccos P () P () rctg rctg P () P () rccotg rccotg P () Tb..: Metod per prtes druhá část derivce jsou totiž pro integrci jednodušší ((ln ) = /, (rcsin ) = /, (rctg ) = /( + ) td.). Příkld.. Vypočtěte neurčitý integrál ( + ) e d, R. Řešení. Jde o funkci typu mnohočlen krát eponenciální funkce, kterou njdeme v tbulce.. Mnohočlen + tedy budeme derivovt eponenciální funkci e integrovt. Zároveň si v tomto příkldu ukážeme typický rys metody per prtes, to opkovné použití. Jk uvidíme, dostneme integrál obdobného typu mnohočlen krát eponenciální funkce, le mnohočlen bude mít nižší stupeň. Použijeme tedy metodu per prtes ještě jednou. Obecně u této první skupiny funkcí uvedené v tbulce. pokrčujeme tk dlouho, ž se derivováním mnohočlen převede n konstntu (je-li jeho stupeň n, bude to po n-té derivci). V nšem přípdě postupně dostneme ( + ) e d = u = + u = v = e v = e = = ( + )( e ) ( e ) d = = ( + ) e + e d = u = u = v = e v = e = [ = ( + ) e + ( e ) ] ( e ) d =

29 . Zákldní integrční metody = ( + ) e e + e d = = ( + ) e e e + c = ( + + ) e + c. Příkld.. Vypočtěte neurčitý integrál ( ) ln d, (, + ). Řešení. Jde o integrál z tbulky., mnohočlen tudíž budeme integrovt logritmickou funkci budeme derivovt. Následně vyjde u = ln u = ( ) ln d = v = v = = = (ln )( ) ( ) d = = ( ) ln ( ) d = ( ) ln + + c. Příkld.. Vypočtěte neurčitý integrál rccotg d, R. Řešení. Tento integrál zdánlivě nemá tvr součinu. Ale z druhý činitel si vždy můžeme předstvit jedničku, což je vlstně mnohočlen stupně nul. Jde tedy o integrál uvedený v tbulce.. Derivovt tudíž budeme funkci rkuskotngens integrovt jedničku. Vyjde tedy rccotg d = u = rccotg u = + = v = = (rccotg ) = rccotg + ( v = + K výpočtu posledního integrálu jsme použili vzorec 4. ) d = rccotg + + d = + d = rccotg + ln( + ) + c. V následujících příkldech si ukážeme dlší obrt, který se v souvislosti s metodou per prtes čsto používá. Tento obrt spočívá v tom, že po integrci per prtes (přípdně opkovné) úprvách se nám znovu objeví výchozí integrál, který máme určit. Tím dostneme pro tento integrál rovnici f () d = h() + α f () d, α R, α = (její levá strn je výchozí integrál prvá strn je závěrečný výrz), z níž ho můžeme vypočítt (pokud se nezruší, tj. pokud α = ).

30 4 Neurčitý integrál Příkld.4. Vypočtěte neurčitý integrál e sin d, R. Řešení. Nejde o žádný z typů uvedených v tbulkách... Použijeme postupně dvkrát metodu per prtes, přičemž vždy budeme eponenciální funkce derivovt druhý činitel integrovt (jink bychom se vrátili zpátky k smotnému zdnému integrálu). Dostneme e sin d = u = e u = e v = sin v = cos = = e ( cos ) e ( cos ) d = e cos + e cos d = = u = e u = e v = cos v = sin = e cos + e sin e sin d. Dostli jsme tedy rovnici e sin d = e cos + e sin e sin d, z níž již sndno vypočítáme, že e sin d = e cos + e sin + c, e sin d = e (sin cos ) + c. Někdo možná čekl ve výsledku hodnotu c, le je-li c libovolná konstnt, je c tké libovolná konstnt (vlstně jsme provedli přeznčení zlomku c pro novou hodnotu jsme použili totéž písmeno). V dlším tetu už tento obrt nebudeme komentovt. Příkld.5. Vypočtěte neurčitý integrál d, (, ). Řešení. Opět nlezneme rovnici pro hledný integrál. Z jeden činitel volíme jedničku. Vyjde tudíž u = u = d = v = v = = = = = = d = ( d + d + rcsin. ) d = d = d =

31 . Zákldní integrční metody 5 Dostli jsme rovnici d = d + rcsin, z níž po jednoduché úprvě obdržíme, že d = + rcsin + c. Tento příkld není typický pro použití metody per prtes lze použít i jiný postup viz příkld. tet pro zájemce n str. 77. Příkld.6. Vypočtěte neurčitý integrál cos d, R. Řešení. Opět njdeme rovnici pro hledný integrál. Z u i v budeme tentokrát volit kosinus. Dostneme cos d = u = cos u = sin v = cos v = sin = cos sin + sin d = = cos sin + ( cos ) d = = cos sin + d cos d = cos sin + cos d, což vede k rovnici cos d = cos sin + cos d, z níž vyjde cos d = cos sin + + c. Při úprvách jsme použili známý vzorec cos + sin =. I tento integrál se čsto počítá jiným způsobem viz příkld.46. Shrňme si návody, které se vyskytují v souvislosti s metodou per prtes: Eistuje jistá skupin neurčitých integrálů ze součinu dvou funkcí, pro jejichž výpočet je (spoň jko výchozí krok) typické použití metody per prtes viz tbulky... Z jeden z činitelů se volí jedničk. Pro hledný integrál získáme po použití metody per prtes následných úprvách rovnici, z níž lze tento integrál určit. Pomocí této metody se odvozují rekurentní vzorce viz npř. vzth (.5). Metod se čsto používá opkovně.

32 6 Neurčitý integrál Smozřejmě eistují i jiné integrály než typy uvedené v tbulkách.., které lze s úspěchem řešit metodou per prtes niž se použijí předchozí obrty. Ukázkou je následující příkld. Rozhodnout, kdy tuto metodu použít, je pochopitelně věcí cviku. Příkld.7. Vypočtěte neurčitý integrál cos d, ( π/, π/). Řešení. Budeme derivovt mnohočlen integrovt zlomek / cos. Vyjde cos d = u = u = v = v = tg = tg tg d = cos sin = tg + d = tg + ln cos + c. cos Absolutní hodnotu v logritmu je možné vynecht, protože funkce kosinus je n uvžovném intervlu kldná. Při výpočtu jsme použili vzorec 4 stejně jko v příkldu.8 b). Z S V Průvodce studiem J Uvědomte si, že předchozí příkld není typem uvedeným v tbulce.. Tm je zmíněn typ mnohočlen krát cos, kde je konstnt. V nšem přípdě máme mnohočlen lomeno cos. Místo součinu je tedy podíl nvíc kosinus je umocněn n druhou. Posluchči si čsto zmíněné typy pmtují jen přibližně, vědí, že je tm nějký mnohočlen nějký kosinus, změní součin podíl pod. To pk může vést k nprosto nevhodné volbě integrční metody. Npř. výrz e není typ z tbulky.. Jeden činitel je sice mnohočlen, le eponenciální funkce má být tvru e, kde je konstnt, což v tomto přípdě není prvd. Použití per prtes zde k ničemu nevede. V následujícím oddílu se dozvíme, že n integrál z tohoto výrzu je třeb použít zcel jiný postup.! Příkldy k procvičení. Integrujte dné funkce: ) rctg d, b) d) R R dr, e) g) B sin B db, h) j) e d, k) t e t dt, c) θ sin θ dθ, f) ε sin ε dε, i) cos d, l) cos d, (n + ) cos n dn, r sin r dr, t sin t dt.

33 . Zákldní integrční metody 7. Integrujte dné funkce: ) φ e φ dφ, b) T cos T dt, c) (ρ ρ + ) e ρ dρ, ln R d) V ln(v ) dv, e) m ln m dm, f) R dr, w g) ln w dw, h) H ln(h + ) dh, i) ln d, j) ln t t dt, k) 5V rctg V dv, l) ( ) ln K dk. K. Integrujte dné funkce: ) z rctg z dz, b) d) t rcsin t dt, e) g) sin φ dφ, e φ h) j) e sin d, k) 4 ln d, c) rcsin y dy, f) y ln K dk, i) K e r/ sin r dr, l) rctg θ dθ, e T cos T dt, e h sin h dh, e cos d. Klíč k příkldům k procvičení. ) ( + ) rctg, b) e t (t ), 4 c) sin + cos, d) Re R ln er ln, e) sin θ θ cos θ, f) cos n + (n + ) sin n, g) ( B + ) cos B + B sin B, h) 4 sin ε ε cos ε, r sin r i) 4 + r 4 cos r, j) e e + 6e 6e, 8 k) sin sin + cos, l) t cos t +. ) e φ T ( T 4 (φ + φ + ), b) c) e ρ (ρ 5ρ + 7), d) e) m ln m m R, f) ln 9 R R, cos t 4 + t sin t ) sin T + T 4 cos T, (V ) ln(v ) V 4 V,.

34 8 Neurčitý integrál g) i) k). ) w / 7 (8 ln w 4 ln w + 6), h) (H + ) ln(h + ) H 4 + H, ln 4, j) t (ln t + ln t + 6 ln t + 6), 5 (V rctg V V + rctg V ), l) K (ln K + ln K + K). rctg z 4 (z 4 ) z z c) θ rctg θ ln(θ + ), d) e) rcsin y, f), b) 4 ln 4, g) 5 eφ cos φ eφ sin φ, h) ln K, t rcsin t + t t 4 et (cos T + sin T ), rcsin t 4 i) e h ( cos h + sin h), j) (sin cos ) e sin + e 5 5, k) ( e r/ cos r + sin r ) e ( ), l) (cos + sin ) cos Substituční metod V tomto oddílu se seznámíme s dlší význmnou metodou, která vznikne integrcí rovnosti ze vzorce pro derivci složené funkce. Připomeňme, že pltí ( F [ϕ()] ) = = F [ϕ()] ϕ () = f [ϕ()] ϕ (), kde jsme oznčili F (u) = f (u) u = ϕ(). Princip je popsán v následující větě. Vět.8. Necht funkce f (u) má n otevřeném intervlu J primitivní funkci F (u), funkce ϕ() má derivci n otevřeném intervlu I pro libovolné I je ϕ() J. Pk má složená funkce f [ϕ()] ϕ () n intervlu I primitivní funkci pltí f [ϕ()] ϕ () d = F [ϕ()] + c. (.7) Důkz. Vše bezprostředně plyne z výše připomenutého vzorce pro derivci složené funkce. Derivce prvé strny rovnosti (.7) totiž dává integrnd z levé strny této rovnosti. Integrční metod zložená n předchozí větě se nzývá první substituční metod. Popíšeme si, jk vypdá její prktické použití. Předpokld o eistenci primitivní funkce k funkci f (u) lze zpst tkto: f (u) du = F (u) + c.,

35 . Zákldní integrční metody 9 Tvrzení věty potom zpisujeme následovně: f [ϕ()] ϕ () d = f (u) du, (.8) kde do výrzu n prvé strně z u dosdíme ϕ(). Výpočet provádíme následovně: Oznčíme si substituci ϕ() = u (oznčení nové proměnné je nepodsttné, jen to musí být jiné písmeno než strá proměnná, tj. v nšem přípdě ). Rovnost ϕ() = u diferencujeme. (Připomeňme, že diferenciál nějké funkce h(z) je roven součinu derivce této funkce přírůstku dz, kde z je nezávisle proměnná této funkce, tj. dh(z) = h (z) dz.) V nšem přípdě je n levé strně nezávisle proměnná oznčen n prvé strně u, tudíž ϕ () = dϕ() d u = du du =. Dostneme tedy rovnost ϕ () d = du, tj. ϕ () d = du. V levém integrálu rovnosti (.8) tedy nhrdíme z funkci ϕ() proměnnou u z výrz ϕ () d diferenciál du. Prkticky výpočet zpisujeme podobně jko u metody per prtes do jkési tbulky. Vzorec (.8) pk vypdá tkto: f [ϕ()] ϕ () d = ϕ() = u ϕ () d = du = f (u) du, (.9) kde do výsledné prvé strny musíme dosdit původní proměnnou, tj. u = ϕ(). Opět je rozumné tento zápis dodržovt zmechnizovt si popsný postup. cos d Příkld.9. Vypočtěte neurčitý integrál + sin, R. Řešení. V zdání je zřetelně vidět složenou funkci / + sin. Její vnější složk je f (u) = / + u vnitřní složk je ϕ() = sin. Dále ϕ () = cos. Tedy f [ϕ()] ϕ () = + ϕ () ϕ () = + sin cos = cos + sin, což je zdný integrnd. Je proto možné použít substituční metodu. Substituci zvolíme sin = u diferencováním této rovnosti dostneme vzth cos d = du. Výpočet zpíšeme následovně: cos d + sin = sin = u cos d = du = du + u = = ln u + + u + c = ln sin + + sin + c. Při výpočtu jsme použili vzorec z tbulky..

36 Neurčitý integrál Z S J V Průvodce studiem Než si ukážeme dlší příkldy, zmyslíme se nd tím, jk musí integrnd vypdt, bychom mohli substituční metodu použít. Rozhodně to nemůže být libovolný výrz, nopk tvr integrndu je dost striktně vymezen. Musí jít o výrz, který je součinem nějké složené funkce derivce její vnitřní složky. Oznčme jko v předchozím vnější složku f (u) vnitřní složku ϕ(). Výrz pk musí mít tvr f [ϕ()] ϕ (). Uved me si v následující tbulce několik tkových funkcí. V prvním sloupci je dán složená funkce, ve druhém její vnější složk, ve třetím její vnitřní složk, ve čtvrtém derivce vnitřní složky v pátém pk, jk by měl integrnd vypdt. f [ϕ()] f (u) ϕ() ϕ () f [ϕ()] ϕ () u e e u e ( ) sin 6 u 6 sin cos sin 6 cos (4 7) u (4 7) ( 7) ( + ln ) 4 u 4 + ln ( + ln ) 4 ln rctg ln u rctg ln rctg + + Tb..4: Příkldy integrndů vhodných pro substituční metodu Nemůžeme ovšem vždy očekávt, že zdání bude nservírováno n tlíři tk, jk by se nám to nejvíce líbilo. Npř. poslední dv výrzy z předchozí tbulky by určitě byly zpsány spíše tkto: ( + ln ) 4 resp. ln rctg +. Podobně první dv výrzy by si spíše vypdly tkto: resp. e. Musíte být schopni vidět v zdném výrzu příslušnou složenou funkci hledt k ní v tomto výrzu derivci její vnitřní složky. Právě tto věc činí posluchčům největší potíže. Proto je důležité znát bezpečně zpměti derivce neurčité integrály zákldních funkcí, byste ihned věděli, co hledáte (máme n mysli derivci vnitřní složky), dokázt přehodit pořdí činitelů pod., byste zvážili, zd tm potřebný výrz je nebo není. Je to věc cviku. Musíte-li hledt derivce v nějké tbulce, sotv v zdném výrzu něco uvidíte. Konečně upozorněme ještě n jednu věc. Čsto se stne, že nám bude chybět multipliktivní konstnt. Npř. budeme mít zdný výrz, le my

37 . Zákldní integrční metody bychom potřebovli, jk jsme si právě vysvětlili,. To ovšem není problém, protože konstntu sndno doplníme díky vlstnosti (.4) z věty.4. Je totiž d = d, což jsme chtěli. Prkticky budeme postupovt tk, že v pomocné tbulce, v níž si znčíme substituci počítáme diferenciály, přidáme dlší řádek, který dostneme tk, že řádek udávjící rovnost mezi diferenciály vhodně uprvíme jko rovnici, bychom nlevo dostli přesně výrz, který máme k dispozici. Npř. v přípdě funkce by tbulk vypdl tkto: = u d = du d = du Zdůrzněme le, že tímto způsobem můžeme doplnit pouze multipliktivní konstntu (tj. konstntu, kterou se násobí). Pokud nám chybí skutečně (nekonstntní) funkce, tkto postupovt nelze. K tomu se ještě vrátíme níže. ( + ln ) 4 Příkld.. Vypočtěte neurčitý integrál d, (, + ). Řešení. Jde o předposlední výrz z tbulky.4. Substituce tedy bude u = + ln. Dostneme ( + ln ) 4 d = + ln = u d = du = u 4 du = 5 u5 + c = ( + ln )5 5 + c. O správnosti výpočtu se sndno můžeme přesvědčit derivcí. Příkld.. Vypočtěte neurčitý integrál sin cos 5 d, R. Řešení. Zde se nbízí složená funkce cos 5 s vnitřní složkou cos. Její derivce je sin, což je výrz, který v integrndu ž n násobek máme. Tedy sin cos 5 cos = u d = sin d = du sin d = du = u 5 ( ) du = u6 6 + c = cos6. 6 Bylo jen třeb uvědomit si, že sin cos 5 d = cos 5 sin d.