Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Transkript

1 Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k. = a k A + B = A + AB + B A B = A AB + B A B = A + B A B A + B 3 = A 3 + 3A B + 3AB +B 3 A B 3 = A 3 3A B + 3AB B 3 A 3 + B 3 = A + B A AB + B A 3 B 3 = A B A + AB + B Biomická věta a + b = 0 a + a b + a b + + b

2 Kvadratická rovice ax + bx + c = 0 P: a 0 Diskrimiat: D = b 4ac D > 0 x = b± D a D = 0 x = b a D < 0 x = b± D i a Vietovy vzorce: platí pro NORMOVANÝ TVAR!!! kvadratické rovice: x + px + q = 0 x. x = q x + x = p Logaritmy log a + log b = log(a b) log a log b = log a b log a x = x. log a log a x = log b x log b a a log a r = r log a x = y a y = x l x = log e x

3 Goiometrie tg x = si x cos x cotg x = cos x = tg x si x x 0 π π/6 π/4 π/3 π/ π 3. π/ si x 0 / / 3/ 0 - cos x 3/ / / 0-0 si x + cos x = si x =. si x. cos x cos x = cos x si x Komplexí čísla z = a + bi algebraický tvar komplexího čísla z = z cos φ + i si φ goiometrický tvar komplexího čísla z = a + b cos φ = a z si φ = b z z. z = z. z z z = z z Operace s komplexími čísly v goiometrickém tvaru: z. z = z. z. cos φ + φ + i si φ + φ z z = z z. cos φ φ + i si φ φ = cos φ + i si φ cos φ + i si φ Moivreova věta: z. cos φ + i si φ = z. cos( φ) + i si( φ) Biomická rovice: x k = a x = a α + kπ α + kπ. cos + i si k = 0; ; ; ;

4 Obecý trojúhelík Siová věta: Kosiová věta: α + β + γ = 80 a si α = b si β = c si γ = r c = a + b ab cos γ = π 80 rad r poloměr kružice opsaé rad = 80 π = S = a v a = ab si γ (CZ) Heroův vzorec: S = s s a s b (s c) s = a+b+c r = a b c 4S ρ = S s poloměr kružice opsaé poloměr kružice vepsaé Pravoúhlý trojúhelík Pythagorova věta: a + b = c Euklidova věta pro výšku: v c = c a c b Euklidova věta pro odvěsu: a = c c a Goiometrické vzorce: b = c c b si α = a c cos α = b a tg α = a b

5 Obvod, obsah, objem, povrch Trojúhelík: o = a + b + c Čtverec: S = a + v a o = 4 a S = a Kosočtverec: o = a + b + c + d S = a v a = a si α Obdélík: o = a + b S = a. b Krychle: V = a 3 S = 6 a Kvádr: V = a b c S = a b + a c + b c Hraol: V = S p v S = S p + S pl Jehla: V = S 3 p v S = S p + S pl Kosodélík: o = a + b + c + d Válec: V = πr v S = a. v a = a. b. si α Lichoběžík: o = a + b + c + d S = m středí příčka a + c v = m v Kužel: Koule: S = πr r + v V = 3 πr v S = πr r + s V = 4 3 πr3 Deltoid: o = a + b S = e f S = 4πr e,f úhlopříčky Kružice: o = πr S = πr

6 Aalytická geometrie Vektor: u = AB = b a ; b a ; b 3 a 3 Vzdáleost bodů: AB = b a + b a + b 3 a 3 Střed úsečky: S b +a ; b +a ; b 3+a 3 Skalárí souči: u. v = u v + u v + u 3 v 3 Vektorový souči: u v = w w = u v 3 v u 3 w = u v 3 v u 3 w 3 = u v v u Úhel dvou vektorů: cos φ = u v u v Obsah rovoběžíku: S = u v = w Obsah trojúhelíku: S = u v = w Objem rovoběžostěu: V = a b c Parametrické vyjádřeí přímky v roviě: x = a + t u y = a + t u Obecá rovice přímky v roviě: ax + by + c = 0 Směricový tvar přímky v roviě: y = kx + q rovoběžost dvou přímek: k = k kolmost dvou přímek: k. k = Úsekový tvar přímky v roviě: x p + y q = Vzdáleost bodu od přímky v roviě: v P; p = a.p +b.p +c a +b Parametrické vyjádřeí přímky v prostoru: x = a + t u y = a + t u z = a 3 + t u 3

7 Parametrické vyjádřeí roviy: x = a + t u + s v y = a + t u + s v z = a 3 + t u 3 + s v 3 Obecá rovice roviy: ax + by + cz + d = 0 Vzdáleost bodu od roviy: v P; ρ = a.p +b.p +cp 3 +d a +b +c Odchylka přímky od roviy: cos φ = u p ρ u p. ρ φ = 90 φ Odchylka dvou rovi: cos φ = ς ρ ς. ρ Kuželosečky Kružice: Středový tvar: x m + y = r Obecá rovice: x + y mx y + p = 0 Teča: x m. x 0 m + y. y 0 = r Elipsa e = a b Středový tvar: ) ) x m a + y b = x m b + y a = Teča: x m. x 0 m a + y. y 0 b =

8 Parabola p = v F; d V = S Fd Středový tvar: ) x m = p y ) x m = p y 3) y = p x m 4) y = p x m Tečy: ) x m x 0 m = ±p y ± p y 0 ) y y 0 = ±p x m ± p x 0 m Hyperbola e = a + b Rovice asymptot: y = ± b a x m Středový tvar: ) ) x m a y b = y a x m b = Tečy: ) ) x m. x 0 m a y. y 0 a y. y 0 b = x m. x 0 m b =

9 Kombiatorika Variace Bez opakováí:v k; =! k! S opakováím: V k; = k Permutace Bez opakováí: P =! S opakováím: P k ; k ; ; k = Kombiace k! k!k! k! Bez opakováí: C k; =! k!k! = k S opakováím: C k; = +k! k!! Kombiačí číslo: = = +k k = 0 = k = k k + k = + k + Pravděpodobost P A = m m. počet přízivých jevů počet všech jevů Průik dvou ezávislých jevů: P A B = P A P B Pravděpodobost, že astae alespoň jede z jevů: P A B = P A + P B P A B

10 Statistika Relativí četost: ν i = i počet všech prvků Aritmetický průměr: x = i= x i Geometrický průměr: x G = x. x x = x x 0 Harmoický průměr: x H = x + x + + x Modus: Mod x hodota s ejvyšší četostí Mediá: Med x = x + pro liché Med x = x Rozptyl: s x = + x + pro sudé i= x i x Směrodatá odchylka: s x = i= x i x Variačí koeficiet: v x = s x x Koeficiet korelace: r xy = i= x i x. y i y s x.s y r ;

11 Aritmetická posloupost Vzorec mezi a a a + : Vzorec pro -tý čle: a + = a + d a = a + d Vzorec mezi dvěma čley: a r = a s + r s d Součtový vzorec: s = a + a Geometrická posloupost Vzorec mezi a a a + : Vzorec pro -tý čle: a + = a q a = a q Vzorec mezi dvěma čley: a r = a s q r s Součtový vzorec: s = a q q Limita poslouposti lim a = a lim a ± b = lim a ± lim b lim a. b = lim a. lim b lim a lim a = b lim b lim c a = c lim a lim = 0 lim lim k = 0 + = e Nekoečá geometrická řada = a Podmíka kovergece: q < Součtový vzorec: s = a q