1) ČÍSLA a VÝRAZY Teorie
|
|
- Antonie Matějková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1) ČÍSLA VÝRAZY Teorie číselné obory: roztřiďte čísl podle oborů: -,8; -. 5 ; 1 ; 1,1; ; 5, sin60 ; ; - 4 7; 0; 1; ; 17;,1 ; 0,001; -1; 7 ; 0, I ) Přirozená čísl znky dělitelnosti, násobek dělitel krácení rozšiřování zlomků, slovní úlohy II) Celá čísl operce se zápornými čísly, bsolutní hodnoty III) Rcionální čísl krácení, sčítání, odčítání, násobení, dělení zlomků, složené zlomky převod desetinných čísel n zlomky nopk IV) Ircionální čísl mocniny, odmocniny I ) Přirozená čísl 1) Vypište všechny dělitele čísl: 6; 48; 10; 4; 11; 54; 7; 150; 68; 78 ) Njděte n D dvojice čísel: (64,10); (4,10); (10,168); (81,7); (54,70) II) Celá čísl ).(4-5) ) [.(4-5) ]. 8 5).[(4-5) ] 6).[(4-5) ]. 8
2 7) (-4)(-5)(-) : (-10) 8) [(-5).(-6) : 15] : (-) 9) - - {- [ - - ( )]} 10)1 - { [ - - ( 5 )]} 11) [ - - ( 5 )] 1)1 [ ( 5 )] 1) [ - 5.( - ) + 4 ]( ) 14)[ - 5.( - + ) 4 ]( ) 15) [ - 5.( - + ) ] 4.( ) 16)- 5.( - ) + 4.( ) 17) ) (-) - (-). (-1.5) 19) 0) 1) ) ) 4) 5) [ ( ) ] 6)[ ( ) ] III) Rcionální čísl 7) 1 5 (1 + 4 ) : ) 16 ( 11 6 ) 8 0)18 6 8)14 6 : (1 4 8 ) 1 19 ( 9 ) : ) ( 0 1 ) (8 9 : 4 6 ) ) 1 ( ) ( ) 4 ) ) ) 7) 9) ( ) 7 11 : 1 6 ( : 6 14 ) : (9 8 1) ) ( 5 4 ) ( 5 14 ) 4 8) ) ( ) ( 9 11 ) ) rozkld n prvočinitele, ) 8 960; 4 10; 4 840; 9 648; ) 44 4) -40 5) 100 6) 16 7) 4 8) -1 9) 0 10) 6 11) -4 1) 0 1) 18 14) ) ) 5 17) 18) ) 14 0) 17 1) -9 ) 11 ) -17 4) 6 5) 1 6) -7 7) 5 / 5 8) 9) - 16 / 11 0) 487 / 54 1) - 7 / 18 ) 8 / 0 ) -5 4) 0 5) 6 / 7 6) 1 / 6 7) 9 / 8 8) -10 9) 4 / 1 40) -0
3 Některá čísl je dobré znát:
4 Příkldy 1) (9 0,) = Výsledky: 6 684,4 ) = ) ( 4 4 ) = ) Porovnej hodnoty > ) 0,04: 5 = 0,04 6) ( 4 ) 0,008 = 0 = 0,15 7) Částečně odmocni ) Zpiš číselným výrzem urči hodnotu: Podíl podílu čísel rozdílu čísel druhé mocniny dvou. 4,5 9) Urči hodnotu výrzu ( b + 1) c pro hodnoty proměnných 1 = 1 1 ; b = ; c = 6. = ) Zjednoduš výrz: ( 5x 4 + 0,x 0,10x + 0,4x +,6) (0,7x 5 + x 4 1,x ) (1,07x 5 5,4x 4 ) (0,x x 0,4x + 4). 1,77x 5,6x 4 +,098x + 0,8x 1,4 11) 4uv ( u v 5 + uv ) = 4u v + 4u v 5 1) Pro která x se hodnot zlomku rovná nule? x 9 x+4. ± 1) Pro která x se hodnot součinu (6x 1) bude rovnt ); b)-; c)0? 14) Užitím vzorců uprv: c 4 5 = (u ) = (x 5) (x + 5) = ) 1 ; b) 5 ; c) 1 6 (c + 5)(c + 5)(c 5); u 4u + 4; x 45 15) Uprvte n součin: x 10xy + 5y = ( x 5y) 16) Pro které hodnoty proměnné má výrz smysl? u u 1 ; x 4 5 ; 1+4 ) u ± ; b) vždy; c) > 17) Pro jké x je výrz 5x x 4 smysl? 18) k 7 Zjednoduš lomený výrz: ) b) x x x x (x 0,5). 19) Vynásob: ) rs 5s 5s r 0) Vyděl: ) u 4 u +u u ; ) kldný, b) záporný, c) roven nule, d) nemá r+6s s+r ; 1) 1 ( m +m + 1 m ) ) 1 ( 5 1 ) 4 ) 5b c 9 5b c : 4b c ) ( 5) k + k ; k k+ k 9 b)( xy y x x). x y x b) (1+ b + 1+ b ) (+1 b ). b) ( ) + ( 1 ) ( 5 ) ) ( ; 0) (4; ); b) (0; 4); c) 0; d) 4 ) k 1 k 9 ; b) x (x 0,5) ; x 0,5 ) s; r s; r 5s; b) x; x y; x 0 ) u ; u 0; u ; b) b; 0; b 0; 1 16, m , ± 5 ) c 9,,b,c 0 b) 44 00
5 ) ROVNICE, NEROVNICE, SLOVNÍ ÚLOHY Příkldy 1) 6(x + ) 5( x) = (x 4) Výsledky 4 ) 7 [5 ( x)] = (1 x) NŘ ) x 7[x 6(x 5)] = 6(6x 5) R 4) 5(x 1) (x + ) = (x + ) 7(6x 1) 4 5) 5x + 1 7x = 1 x ) x + 5 x = x x 7) x + 1 x x x 8 = 11 8 x 8) x 1 + x + 1 = 5x + 4 x 1 9) x x 9 = 1 x + 1 x 1 NŘ NŔ R { ; } 10) x y = 18; 6x + 5y = [ ; 4] 11) x + 7y 4 x + 8y = 1; x + 4y 4x 5y = 4 7 [ 5; ] 1) (x ) (x + ) = y + 5, 6 x y+5 5 = [x, 5x 5] 1) (5x 6) (x 4) (4x ) + 8x(x ) 44 (, ) 14) x x > x x 5 15) x 5x 8 < x ) Tři zákldní školy nvštěvuje celkem 678 žáků. Do první dochází o 1 žáků více do třetí o 108 méně než do druhé školy. Kolik žáků nvštěvuje jednotlivé školy? 17) Klkulčk byl nejprve zlevněn o 10%, potom ještě 14%. Po dvojím zlevnění stál 87 Kč. Jká byl původní cen? 18) Z Brn do Hlinsk je 117 km. Z obou měst vyjel ve stejné době po téže trse proti sobě dvě ut. Auto z Brn jelo rychlostí 75 km/h uto z Hlinsk rychlostí 55 km/h. Z jkou dobu se ut potkl? 19) Nádrž se nplní dvěm přívody součsně z 4 hodiny. Prvním přívodem by se nplnil z 1 hodin. Z jk dlouho by se nplnil druhým přívodem? 0) Kolik litrů 60% roztoku soli kolik litru 40% roztoku soli je třeb k vytvoření litrů 55% roztoku NŘ R 76, 55, Kč 54 minut 6 hodin 1,5 litru 60% roztoku
6 Slovní úlohy ) o pohybu zápis formou tbulky rychlost dráh čs zkoušk!!! objekt A objekt B objekt C, přípdně dlší Porovnání, sestvení rovnice, kontrol jednotek Z měst vyrzil cyklist rychlostí 0km/h 10 minut po něm z ním vyjel utomobil rychlostí 60km/h. Jk dlouho jel cyklist, než ho utomobil dohonil jk dleko od měst to bylo? (0 min., 10km) rychlost dráh čs cyklist 0 km/h 0x (km) x (hod) utomobil 60 km/h 60 (x 1/6) (km) x 1/6 (hod) pohyb z sebou rovnjí se dráhy Z míst A do míst B vyjel cyklist rychlostí 0km/h z 10 minut vyjel z míst B do míst A druhý cyklist stejnou rychlostí. Z jk dlouho od výjezdu prvního cyklisty se potkli, jestliže vzdálenost mezi místy A B je 55 km? (z 1 hodinu) rychlost dráh čs 1. cyklist 0 km/h 0x (km) x (hod). cyklist 0 km/h 0 (x 1/6) (km) x 1/6 (hod) vzdálenost AB pohyb proti sobě celkem 55 km součet drh se rovná celkové vzdálenosti b) společná práce zápis formou tbulky čs nutný n odvedení celé práce díl práce z jednotku čsu skutečná dob práce objekt A objekt B objekt C (příp. dlší) podíl n splnění celé práce, skutečně odprcovný díl, zkoušk!!! sestvení rovnice buď ve. nebo 5. sloupci: kontrol jednotek!!! součet je roven části práce odpovídjící jednotce čsu součet = 1 při účsti škodiče použít odčítání Prvním přítokem se bzén nplní z 1 hodin, druhým z 8 hodin. Z jk dlouho nplníme bzén, jestliže druhý přítok otevřeme ž po dvou hodinách práce prvního přítoku? ( 6 hodin) potřebuje k nplnění z jednu hodinu skutečná dob podíly n práci
7 1. přítok 1 hod. 1/1 (bzénu) x (hod.) x/1. přítok 8 hod. 1/8 X - (x-)/8 x/1 + (x-)/8 = 1 První přítok npustí bzén z 10 hodin, druhý z 1 čerpdlo vyčerpá bzén z 15 hodin. Jk dlouho budeme npouštět bzén oběm přítoky, jestliže je pustíme součsně z dvě hodiny potom omylem zpneme odčerpávání? (si 7 hodin 5 minut) potřebuje k nplnění z jednu hodinu skutečná dob podíly n práci 1. přítok 10 hod. 1/10 (bzénu) x (hod.) x/10. přítok 1 hod. 1/1 x x/1 čerpdlo 15 hod. 1/15 - (x )/15 x/10 + x/1 (x-)/15 = 1 c) směsi zápis formou tbulky celkov obsh látky A obsh látky B totéž pro é mn. dlší složky v % v kg, l, v % v kg, l, směsi směsí zkou šk!!! směs I. směs II. směs III. (příp. dlší) výsledná směs porovnt součty pro jednu (pro kontrolu obě) látky kontrol jednotek Kolik grmů 90procentního roztoku soli kolik grmů 50procentního roztoku soli je třeb smícht, bychom získli 100 grmů roztoku, ve kterém je 60 grmů soli? (5 75 grmů) celkem (v grmech) obsh soli obsh vody Zkoušk!!! v % v g v % v g roztok I. x 90 0,9 x 10 0,1 x roztok II x 50 0,5 (100-x) 50 0,5 (100-x) výsledný rovnice buď 0,9x + 0,5 (100-x) = 60 nebo 0,1 x + 0,5 (100-x) = 40 Mořská vod má 5% soli. Kolik destilovné vody přidáme k 40 kg mořské vody, by obsh soli klesl n %? (60 kg) celkem obsh soli obsh vody Zkoušk!!! (v kg) v % v kg v % v kg mořská vod , , destilovná v. x x výsledek 40 + x 0,0 (40 + x) 98 0,98 (40 + x) rovnice buď 0, = 0,0 (40 + x) nebo 0, x = 0,98 (40 + x)
8 ) GEOMETRIE V ROVINĚ (podrobněji n )
9
10
11 ostroúhlý, tupoúhlý Mnohoúhelníky (podrobněji n webu.. ) obecný b c + b c - b c + + = 180 výšky v vb vc ortocentrum V těžnice t tb tc těžiště T, : 1 osy strn o ob oc kruž. opsná střed So, r n = trojúhelník osy úhlů o o o kruž. vepsná střed Sv, V, T, So, Sv vzájemně různé body rovnormenný = b c v = vb vc vzorce: v b v c v b c S = s s s s b s c s = 1 /. ( + b + c ) S = 1 / b sin = 1 / c sin = 1 / b c sin = t = tb tc v c = t c = o c = o = o (os souměrnosti) V, T, So, Sv o řešení: rozdělení n dv shodné prvoúhlé trojúhelníky rovnostrnný: = b = c = = = 60 v = vb = vc, t = tb =tc splývjí v, t obě osy V = T = So = Sv existují osy souměrnosti vzorce: v =, r =, = 6, S = 4
12 právě 1 dvojice rovnoběžných strn prvoúhlý nerovnormenný odvěsny b přepon c úseky n přeponě c, cb c = c + cb úhly:, = 90 -, = 90 výšky: v = b, vb =, vc vzorce: Pyth. vět Euklidovy věty vc = c.. cb c = + b = c. c b = c. cb goniometrické funkce sin = cos = /c ( = c / = vc /b ) sin = cos = b /c ( = vc / = cb /b ) tg = cotg = /b ( = c /vc = vc /cb ) tg = cotg = b / ( = cb /vc = vc /c ) rovnormenný obsh S = b / ( = 90 ) = b c c =. = = 45 v c = t c = o c = o = o (os soum. dlší rr prv. tr.) V, T, So, Sv o Thletov kr. kr. vepsná: CT S vt b je čtverec pol. kružnice vepsné: tc = + = c / = c /.( -1) = (1- /) n =4 čtyřúhelník obecný ( různoběžník žádná dvojice rovnoběžných strn ) b c d + + = 60 lichoběžník zákldny c, c rmen b d, b d vnitřní úhly + = + = 180 přilehlé střední příčk s = ( + c ) / obsh S = s.v = ( + c ). v / lichoběžník rovnormenný zákldny c, c rmen b d, b = d vnitřní úhly =, = osově souměrný o = oc = o lichoběžník prvoúhlý pod rovnoběžníky AD = BC = ( c ) /
13 prvoúhelníky rovnoběžníky obě dvojice protějších strn jsou rovnoběžné shodné úsečky kosodélník ( b ) c = c b d b = d vnitřní úhly =, = + = + = 180 přilehlé výšky v = vc vb = vd úhlopříčky e, f : vzájemně se půlí, průsečík S je střed souměrnosti kosočtverec ( spec. přípd kosodélníku, má všechny jeho vlstnosti + : ) = b = c = d úhlopříčky e, f : jsou n sebe kolmé půlí úhly při vrcholech jejich průsečík je střed kružnice vepsné vzorce: Pyth. Eukl. věty v prvoúhlých tr., gon. funkce S =. v =. = e. f / obdélník ( spec. přípd kosodélníku, má všechny jeho vlstnosti + : ) vnitřní úhly všechny prvé výšky v = b vb = úhlopříčky e, f : stejně dlouhé e = f = u jejich průsečík je střed kr. opsné ( nejsou kolmé, nepůlí úhly ) vzorce: P. v., E. v., gon. f. u = b r = u / S =. b = 1 / u. sin čtverec ( spec. přípd obdélníku, má všechny jeho vlstnosti + : ) úhlopříčky: stejně dlouhé jsou kolmé půlí úhly úhly 45 mezi strnou úhlopř. jejich průsečík je střed kr. opsné i vepsné vzorce: u =. r =. / = / S = = u /
14 zvláštní čtyřúhelníky lichoběžník prvoúhlý zákldny c, c rmen b d vnitřní úhly = = 90 + = 180 deltoid = b c = d úhlopříčky e f e f e - os souměrnosti půlí úhly při vrcholech B, D skládá se ze dvou rovnormenných tr. čtyř prvoúhlých tr., dv dv shodné čtyřúhelník tětivový + = + = 180 obvodové Ptolemiov vět c + bd = e. f S = s s s b s c s d, s = 1 /. ( + b + c + d ) čtyřúhelník tečnový + c = b + d S =. s n 4 (konvexní) n-úhelník pro všechny pltí jen dv vzorce: součet velikostí vnitřních úhlů su = ( n - ). 180 počet úhlopříček pu = 1 /. n. ( n - ) prvidelný n-úhelník lze mu kružnici opst i vepst So = Sv lze jej rozložit n n shodných rovnormenných trojúhelníků A1AS,... středové úhly A1S A = = / n poloměr kr. opsné r = poloměr kr. vepsné = /. sin ( / n) /. tg ( / n)
15 Kružnice, kruh Kružnice k (S;r) je množin všech bodů X roviny, které mjí od bodu S vzdálenost r. S - střed kružnice r - poloměr kružnice AB = d - průměr kružnice; d =.r k (S, r) = kružnice k se středem v bodě S poloměrem r Množin všech bodů roviny, jejichž vzdálenost od bodu S je menší než r nebo se rovná r, se nzývá kruh. S - střed kruhu, r - poloměr kruhu AB = d - průměr kruhu; d =.r M, N - body kruhu, N vnitřní bod K (S, r) = kruh K se středem v bodě S poloměrem r Kružnice k(s, r) ohrničuje kruh K(S, r). Thletov vět Jestliže ABC je prvoúhlý s přeponou AB, pk vrchol C (prvý úhel) leží n kružnici k s průměrem AB (pltí pro libovolný ). (Tháles z Milétu si př. n. l., řecký filosof, mtemtik stronom) Thletov kružnice - kružnice opsná prvoúhlému Thletov kružnice je tková kružnice, která má střed uprostřed přepony prvoúhlého trojúhelníku poloměr rovný polovině přepony.
16
17
18 Příkldy 1) ) Existuje rovnormenný trojúhelník o strnách, cm 5 cm? b) Vypočítejte zbývjící vnitřní vnější úhly trojúhelník ABC : α = 7 41, β = c) Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelník ABC, jsou-li v poměru : 5 : 5. Jký je to tr.? d) Obvod trojúhelník A 1B 1C 1, který je tvořen středními příčkmi trojúhelník ABC, je 4,7 cm. Vypočtěte obvod trojúhelník ABC ) Odvěsny prvoúhlého trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrcholu C mjí délky 1 cm 18 cm. Vypočtěte velikost ostrých úhlů délku přepony trojúhelník ABC. ) V rovnormenném trojúhelníku ABC má zákldn c = 1 cm rmen délku 7 cm. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů tr. výšku n zákldnu. 4) V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrcholu C je úhel α = 8 délk přepony c = 18, cm. Vypočtěte délku odvěsny b. 5) Určete délky strn velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelník ABC s přeponou c, je-li obsh trojúhelník 4,46 cm strn = 5,8 cm. ) no, jeden b) α = 15 19, β = 100, = 5 17, = c) 0, 75, rr. d) x větší 40 ; ,6 cm 1 ;,6 cm 14,4 cm b = 17,4 m; c = 1,1 cm; α = 56, β = 4 1 6) Strny obdélníku mjí délky v poměru : 5. Jk velké úhly svírjí úhlopříčky se strnmi obdélník? 7) V lichoběžníku ABCD (AB CD) je dán delší zákldn = 56, cm, výšk v c = 6,7 cm b = = 0 cm, α = 60 β = 48, které svírjí rmen se zákldnou AB. 6,9 cm d =,1 Vypočítejte délku druhé zákldny CD velikost rmen BC AD. cm 8) Kosočtverec má obsh S = 867 cm, poměr jeho úhlopříček je e : f = : 4, 51, 0,6,. Vypočtěte velikosti úhlopříček, jeho strny výšky. 8, 9) Vypočítejte délku strny obsh prvidelného sedmiúhelníku, je-li délk 9,05cm, jeho nejkrtší úhlopříčky u = 16, cm. 97,5cm 10) Vypočtěte obsh kruhové úseče, jejíž tětivou je strn prvidelného 0,4cm osmiúhelník vepsného do kružnice o poloměru r =,5 cm. 11) Obsh kruhové výseče je S = 15, cm, délk jejího oblouku je l = 6 cm. 5,1, 67 Vypočítejte poloměr kruhu příslušný středový úhel. 1) Vypočtěte obsh plochy omezené třemi shodnými vzájemně se vně 1,45 cm dotýkjícími kružnicemi s poloměry r = cm. 1) Tětiv MN v kružnici k příslušná středovému úhlu MSN 1 má od středu 0 cm S kružnice vzdálenost 8 mm. Vypočítejte poloměr kružnice. 14) Vypočítejte velikost úhlu, který svírjí tečny vedené z bodu M ke kružnici k, 0 která má střed v bodě S poloměr 6 cm. SM = 1 cm. 15) Štít chty má tvr rovnormenného trojúhelník se zákldnou,1 m,95 m rmenem,8 m. Kolik čtverečných metrů prken je nutno koupit k zbednění dvou štítů, počítá-li se s 5,5 % odpdu? 16) Přímá železniční trť má stoupání 16 promile. Pod jkým úhlem stoupá? 1 17) Lnovk má přímou trť pod úhlem 40, její délk je 870 metrů. Jký je 559 m, 666 m výškový rozdíl mezi dolní horní stnicí jká je jejich vodorovná vzdálenost? 18) Kolik schodů je třeb n schodiště, které má sklon 6 0, je vysoké 15 metrů jednotlivé schody jsou široké 7 cm? 19) Fotblová brnk je široká 7 metrů vysoká metry. Znčk pokutového kopu je od brnky vzdálen 11 metrů. ) Jký střelecký úhel má k dispozici střelec, který kope pokutový kop? b) Pod jkým největším úhlem do výšky může vystřelit fotblist, který kope pokutový kop, by brnku nepřestřelil? c) Pod jkým úhlem musí vystřelit fotblist, který kope pokutový kop, by trefil prvý horní roh brány? d) Jk dleko od znčky je vzdálen roh brnky? 0) Z okn ležícího 8 m nd horizontální rovinou vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu 5 0 v hloubkovém úhlu Jk vysoká je věž? 75 ) 5 0, b) 10 10, c) 9 50 d) 11,7 m 50, m
19 4) KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Množiny bodů dné vlstností (podrobněji n ) Množinou M všech bodů dné vlstnosti V rozumíme tkový geometrický útvr G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Kždý bod útvru G má dnou vlstnost V ) obráceně, kždý bod, který má dnou vlstnost V, je bodem útvru G.
20
21 Příkldy (řešené úlohy 1) Sestrojte obdélník ABCD, je-li dán strn = 7 cm úhlopříčk AC = 8,5 cm. ) Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li AC =10 cm, BD =6 cm. ) Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li: = 7 cm, c = cm, = 75, v = 5 cm. 4) Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li: = 8 cm, c = 4 cm, d = 5 dm, = 75. 5) Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li: = 7 cm, c = cm, IBDI = 6 dm, ABD = 45. 6) Sestrojte prvidelný šestiúhelník o strně = 4 cm. 7) Sestrojte prvidelný osmiúhelník, který je vepsán kružnici o poloměru r = 4 cm. 8) Sestrojte trojúhelník ABC ( = 5 cm, b = 5,5 cm, c = 6 cm). Opište mu kružnici. 9) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40, b = 4 cm, c = 5 cm. 10) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40, = 60, c = 8 cm. 11) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 8 cm, v c = 4 cm, b = 5 cm. 1) Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže b= 6 cm, = 4,5 cm, v b= cm. 1) Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže c = 5 cm, v c = cm, t c = cm 14) Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 7 cm, = 60, t c = 4 cm. 15) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán délk strny b = 5 cm, v b = 4 cm poloměr kružnice opsné r =,5 cm. 16) Sestrojte prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem při vrcholu C, je-li c = 6,6 cm, v c = cm. 17) Sestrojte prvoúhlý trojúhelník ABC, ve kterém přepon c = 7 cm odvěsn b = 5,5 cm. 18) Je dán kružnice k(s; cm). N polopřímce SX zvolte bod M, tk by ISMI = 5 cm. Z bodu M sestrojte tečnu ke kružnici, njděte bod dotyku T. 19) Sestrojte trojúhelník, je-li dáno: ) = cm, b = 6 cm, = 0 b) c = 7,cm, = 60, = 15 c) c = 8 cm, = 45, = 70 0) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ) = 4, cm, v = 5 cm, = 0 b) c =,8 cm, b = 5,1 cm, t c = 5,1 cm c) * b = cm, t c =,5 cm, t = 4 cm (Návod: Využijte vlstnosti těžiště.)
22 5) ZNÁMÁ TĚLESA krychle (1 údj) čtverec obdélník trojúhelník prvoúhlý, rovnostrnný kvádr ( údje) u U u c obdélník, úhlopříčk v obdélníku trojúhelník prvoúhlý, Pythgorov vět u1 b prvidelný čtyřboký hrnol ( údje) u U v čtverec obdélník úhlopříčk čtverce, obdélníku trojúhelník prvoúhlý, Pythgorov vět u1 prvidelný trojboký hrnol ( údje) v trojúhelník rovnostrnný, rovnormenný obdélník úhlopříčk obdélníku prvidelný pětiboký hrnol ( údje) u u1 v prvidelný pětiúhelník trojúhelník rovnormenný prvoúhlý goniometrické funkce obdélníky
23 prvidelný šestiboký hrnol ( údje) us U1 U v prvidelný šestiúhelník trojúhelník rovnostrnný prvoúhlý obdélníky u = prvidelný čtyřboký jehln ( údje) v b čtverec trojúhelník rovnormenný prvoúhlý goniometrické funkce (odchylky) prvidelný trojboký jehln ( údje) b v trojúhelník rovnostrnný, rovnormenný, prvoúhlý prvidelný čtyřstěn (1 údj) vt rovnostrnný trojúhelník obsh výšk těžiště T vs prvidelný šestiboký jehln ( údje) v b trojúhelník rovnostrnný (obsh výšk) rovnormenný, prvoúhlý
24 r rotční válec ( údje) o v kružnice, kruh obdélník S d rotční kužel ( údje) s o v s kružnice, kruh, kruhová výseč trojúhelník rovnormenný, prvoúhlý d r řez koulí r1 koule (1 údj) h1 r d r h d v r O v S r1 kružnice, kruh, prvoúhlý trojúhelník
25 Přehled vzorců hrntá čtverec u =. r =. / = / S = = u / krychle S = 6 V = U =. čtverec (obdélník, prvoúh. rs. tr.) obdélník u = + b S = b = 1 / u. sin prvoúhlý tr. v c = c.. c b b = c. cb = c. c c = + b sin = /c sin = cos = b /c tg = /b kvádr S = (b + bc + c) V = bc U = + b + c obdélník (prvoúhlý trojúh.) S =.b rs. tr. obecný tr. rovnoběžník v = r = S= S = = 4 6 z v s s s = 1 /. ( + b + c ) S = 1 / b sin = 1 / c sin = 1 / b c sin S = z. v s s b s c S = d. sin S = 1 / ef. sin hrnol V = Sp. v S = Sp + Spl podstv: trojúhelník obecný, rr, rs, prvoúhlý čtverec, obdélník, rovnoběžník, kosočtverec, lichoběžníky prv. n-úhelník boční stěny: obdélník, čtverec kosočtverec lichoběžník ob. lichoběžník rr. = ( e ) + ( f ) S =. v =. = e.f S = +c. v = s. v s = +c S = +c. v b = d = v + ( c ) prv. n- úhelník n rr. trojúhelníků, = 60 n jehln Sp.v V = S = Sp + Spl podstv: trojúhelník obecný, rr, rs, prvoúhlý čtverec, obdélník, rovnoběžník, kosočtverec, lichoběžníky prv. n-úhelník boční stěny: trojúhelník většinou rr (rs, obecný, prvoúhlý)
26 kultá kružnice, kruh části kružnice, kruhu prvoúhlý tr. kružnice, kruh o = r S = r l = r 60. φ Sv = r 60. φ Sú = Sv St = r. φ r. sinφ 60 v c = c.. c b = c. c b = c. cb c = + b sin = /c sin = cos = b /c tg = /b S =.b o = r S = r válec kužel koule V = Sp. v V = r.v S = Sp + Spl S = r.(r+v) podstv: kruh (kr. výseč, úseč) plášť : obdélník (kruhový oblouk) Sp.v V = V = r.v S = Sp + Spl S = r + rs = r.(r+s) podstv: kruh plášť : kruhová výseč prvoúhlý trojúh. V = 4 πr S = 4 r části kružnice, kruhu prvoúhlý tr. l = r 60. φ Sv = r 60. φ Sú = Sv St = r. φ r. sinφ 60 c = + b sin = /c sin = cos = b /c tg = /b S =.b kulová ploch S = 4 r dutá koule V = 4 π(r 1 r )
27 Příkldy 1) Zmenšíme-li hrny krychle o 0 %, má krychle povrch cm. Vypočítejte původní délku hrny krychle její objem., ) Kolik čtverečních metrů plechu spotřebuje klempíř n výrobu expnzní nádoby ústředního vytápění tvru krychle nhoře otevřené s hrnou délky 75 cm? ) Podstv kvádru má tvr obdélníku s délkou,6 m šířkou, m. Výšk kvádru je jednou osminou obvodu podstvy. Vypočítejte objem kvádru povrch kvádru. 4) Nákldní uto o nosnosti 5t má ložnou plochu o rozměrech,9m,1m. Do jké výšky bychom ho mohli nložit mokrým pískem, by nebyl překročen nosnost, má-li 1m písku hmotnost 000kg? 5) Vypočítejte objem povrch prvidelného ) čtyřbokého b) trojbokého hrnolu, je-li dáno: Sp = 16cm, v = 10cm. 6) Vypočítejte hmotnost broušeného skleněného hrnolu o výšce 1 dm, jehož podstv je prvoúhlý rovnormenný trojúhelník s odvěsnmi délky cm. Hustot skl je 500 kg.m - 7) Hrnol s kosočtvercovou podstvou má jednu úhlopříčku podstvy 0cm podstvnou hrnu 6cm. Podst. hrn je s výškou hrnolu v poměru :. Vypočítejte objem hrnolu. 8) Povrch vody v bzénu tvoří obdélník o délce 50 m šířce 1m. Hloubk vody stoupá rovnoměrně od 1m n jednom konci bzénu do m n druhém konci bzénu (delší strny). Určete množství vody v bzénu v hektolitrech. 0 cm, cm,81 5 m 6,864 m,,96 m 0,m ) 160 cm, 19cm b) 160 cm, 14,6cm 9) Vypočtěte objem prvidelného trojbokého jehlnu ABCV, je-li dáno : Sp = dm, AV = 5 dm (nebo dm). Vyjádřete i v jiných jednotkách ) Střech n věži má tvr prvidelného šestibokého jehlnu. Jeho podstvná hrn měří 1,5 metru boční hrn má od roviny podstvy odchylku Kolik m plechu je třeb n její pokrytí, počítáme-li n odpd s 8 % nvíc? 11) Plášť rotčního válce, rozvinutý do roviny, je čtverec o obshu S = 0,81 m. Určete poloměr r výšku v. 1) Silniční válec má průměr podstvy 1, metru délku m. Při jízdě jedním směrem se otočí 100 krát. ) Jk dlouhou cestu tímto pohybem válec uválcuje? b) jk velkou plochu cesty tímto pohybem uválcuje? 1) Vypočtěte strnu rotčního kužele, je-li objem kužele 11,76 π cm poloměr podstvy,8 cm 14) Nákldní uto uveze 5 m písku. Vejde se n jeho korbu písek, který je složen n hromdě tvru kužele o průměru podstvy 4 metry výšce 1 metr? 15) Vypočtěte objem povrch koule, je-li: povrch koule v cm číselně roven objemu koule v cm. 16) Kolik stojí pochromování nádoby tvru polokoule o průměru 0 cm zevně i zevnitř, stojí-li 1 cm 4,50 Kč? ) tloušťku stěny znedbejte, b) počítejte přesně tloušťk stěny je mm. 17) Jk dlouhý vývlek čtvercového průřezu se strnou 180mm bude potřeb k vykování desky 50mm široké, 100mm tlusté 800mm dlouhé, počítáme-li s % odpdem? 18) Ze dvou koulí o poloměrech r 1 = 1 cm, r = 5 cm je ulit jedn koule. Určete její poloměr povrch. 19) Do koule o poloměru r = 14 cm je vepsán kvádr, jehož rozměry jsou v poměru 1::. Vypočítejte, jkou částí objemu koule je objem kvádru. 0) V rotčním válci je dutin tvru kužele, přičemž podstvy obou těles jsou společné výšky též. Vypočtěte objem tohoto těles, jestliže válec i kužel mjí stejné obshy plášťů poloměr podstvy válce je cm. 11,5 g 1870 cm 1 000hl 0,69 l nebo 1 / 6 l b = 5, m 5,1 m r = 0,14 m; v = 0,9 m ) 76,8 m; b) 75,6 m 5, cm no, protože písku je 4, m 11,097 cm, 11,097 cm ) 87,4 cm 17,45 Kč b) 808, Kč 65,8mm přibližně 5 cm, S = 16 cm 1,88% v =, V =,648 cm
9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
Více3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I
..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceGeometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny
VícePravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí
Prvoúhlý trojúhelník goniometrické funkce V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce úhlu : sin, cos, tg, cotg tkto: sin c cos c tg cot g protilehlá odvěsn ku přeponě přilehlá odvěsn ku přeponě
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceProjekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VícePojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),
Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
Více+ S pl. S = S p. 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) 9. ročník Tělesa
1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstavu tvaru n-úhelníku. Podle počtu vrcholů n-úhelníku má jehlan název. Stěny tvoří n rovnoramenných trojúhelníků se společným vrcholem
Více9.6. Odchylky přímek a rovin
9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
Více10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )
Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina
VícePovrch a objem těles
Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová
Více2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.
2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální
Víceje-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!
-----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4
VícePravidelný čtyřboký jehlan (se čtvercovou podstavou)
Prvidelný čtyřboký jehln (se čtvercovou odstvou) Jehln se čtvercovou odstvou je trojrozměrné těleso, jehož ovrch tvoří čtyři stejné trojúhelníky čtverec jko odstv. S = obsh odstvy vj v v = výšk trojúhelníku
VíceOpakování ke státní maturitě didaktické testy
Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..
VíceTrigonometrie trojúhelníku
1 Trojúhelníky Trigonometrie trojúhelníku Vypočítejte výšku v c v trojúhelníku, je-li úhel β = 59 strn = 14 cm. (Výsledek zokrouhlete n celé centimetry.) 9000121701 (level 1): Je dán trojúhelník, jehož
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceDoučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy
Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník
Více6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly
6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VíceZákladní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
VíceČíslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta
1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VíceMatematika Název Ročník Autor
Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VícePlanimetrie. Obsah. Stránka 668
Obsh 3. Plnimetrie... 669 3.. Úhel... 669 3.. Prvidelné mnohoúhelníky... 67 3.3. Pythgorov vět Eukleidovy věty konstruke úseček... 678 3.4. Euklidovy věty, prvoúhlý trojúhelník... 683 3.5. Obvody obshy
VíceÚsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.
Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
VícePříklady k opakování učiva ZŠ
Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceStereometrie metrické vlastnosti 01
Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek
VíceM - Řešení pravoúhlého trojúhelníka
M - Řešení pravoúhlého trojúhelníka Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
Vícea a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)
. Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního
VíceStereometrie metrické vlastnosti
Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceMatematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose
Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceŽák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.
STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, Trojúhelníky a čtyřúhelníky, Výrazy I, Hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
Vícen =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram
4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
VícePRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY
PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VíceVýraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují
. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
Vícematematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je
1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je a) 4:π, b) :π, c) :4π, d) :4π, e) π :,. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme o 0 %, zmenší
VíceZákladní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27.
Zákldní příkld 1) Stín věže je dlouhý 55 m stín tče vsoké 1,5 m má v tutéž dou délku 150 cm. Vpočtěte výšku věže. ) Určete měřítko mp, jestliže odélníkové pole o rozměrech 600 m 450 m je n mpě zkresleno
VíceMatematika - 6. ročník Vzdělávací obsah
Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá
VíceStereometrie pro učební obory
Variace 1 Stereometrie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Vzájemná poloha prostorových
VícePřípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro
Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.
VíceM - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl
6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,
Více- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů
- 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně
Více- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr
Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VícePředmět: MATEMATIKA Ročník: 6.
Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
VíceRovinné obrazce. 1) Určete velikost úhlu α. (19 ) 2) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. (99 )
Rovinné orze 1) Určete velikost úhlu α. (19 ) 32 103 2) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. (99 ) x d y x y 3) Vypočítejte osh orze znázorněného ve čtverové síti. (2 500 m 2 ) C A B
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné
VíceTémata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA
Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
Více5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky
5..8 Vzdálenost bodu od přímky ředpokldy: 507 edgogická poznámk: Tříd počítá smosttně. tnáct minut před koncem se sejdeme n příkld 4 ), který pk řešíme společně. Vzdálenost bodů, je rovn délce úsečky,
Více7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC
Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.
VíceStereometrie pro studijní obory
Variace 1 Stereometrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Vzájemné polohy prostorových
VícePříklady na 13. týden
Příklady na 13. týden 13-1 Kruhový záhon o průměru 10 m se má osázet begóniemi. Na jednu sazenici je zapotřebí 2 dm 2. 1g semena má 5 000 zrn, jejichž klíčivost je 85 %. Pěstební odpad od výsevu do výsadby
VíceSTEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceVzdálenosti přímek
5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy
VícePovrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3
y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceVzdálenosti přímek
5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy
VíceTest Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
VícePRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ
Více