FUNKCE SINUS A KOSINUS

Transkript

1 203 FUNKCE SINUS A KOSINUS opis způsou použití: teorie k smostudiu (i- lerning) pro 3. ročník střední škol tehnikého změření, teorie ke konzultím dálkového studi Vprovl: Ivn Klozová Dtum vprování: 2. prosine 203 oužité zdroje: Zdeněk Vošiký, Vldimír Lnk, Miroslv Vondr: Mtemtik fzik, Nkldtelství Frgment, s. r. o. 2007, ISBN Do. RNDr. Oldřih Odvárko, DrS., RNDr. Jn Řepová: Mtemtik pro odorné škol studijní oor středníh odornýh učilišť, 3. část, rometheus, s. r. o. 985, ISBN Do. RNDr. Emil Cld, CS.: Mtemtik pro netehniké oor SOŠ SOU, 3. díl, rometheus, s. r. o. 998, ISBN

2 Argument: FUNKCE SINUS A KOSINUS Vtvořením orientovného úhlu v jednotkové kružnii máme možnost z velikost úhlu zvolit liovolné reálné číslo (tzn. úhel může mít i zápornou velikost). Kždý úhel vznčí svým konovým rmenem n jednotkové kružnii právě jeden od K, který má v soustvě O přesně dné souřdnie. Tím můžeme definovt předpis, který kždému úhlu (liovolně velkému) přiřdí právě jeden od K jednotkové kružnie..tj. z definie f u n k e. rotože ve funki se vsktují jen dvě neznámé (hlvní proměnná) (závislá proměnná), je nutné místo úhlu definovt jko hlvní neznámou rgument... závislá neznámá... některá ze souřdni konového odu K. eriod periodiká funke: Goniometriké funke ptří mezi periodiké funke. Funke je periodiká, pokud v ní eistuje period, že pro kždé pltí:. je-li funke definován v čísle, pk je definován i v jeho násoíh 2. pro kždé ( ) pltí ( ) ( ). Grfem je křivk složená ze stejnýh úseků, které se prvidelně opkují v elém definičním ooru. Goniometriké funke v prvoúhlém trojúhelníku: C. A B sin protilehlá odvěsn přepon sin os přilehlá odvěsn přepon os tg protilehlá odvěsn přilehlá odvěsn tg otg přilehlá odvěsn protilehlá odvěsn otg. /. ~ ~

3 Funke sinus kosinus oeného úhlu: rvoúhlý trojúhelník lze umístit do jednotkové kružnie zjistit, která souřdnie odu je přiřzen k určitému úhlu (resp. k rgumentu ). O. K[ ] V jednotkové kružnii otočením konového rmene o úhel vtvoříme prvoúhlý OK. řepon v tomto trojúhelníku má velikost, protože jde zároveň o poloměr jednotkové kružnie. Doszením do předpisu pro sinus získáme vzore: tj. Z orázku je vidět, že je druhá souřdnie odu K. Odoně jko u funke sinus vházíme z předpisu pro kosinus v prvoúhlém trojúhelníku získáme vzore Z orázku je vidět, že je první souřdnie odu K. Kždý od K jednotkové kružnie je ted zdán souřdniemi [ ] i souřdniemi v podoě goniometrikýh funkí: tj. [ ] [ ] Funke sinus její vlstnosti: definie: je kždá funke dná předpisem, kde je rgument funke, který je zdán ve stupníh neo v rdiáneh. grf : sinusoid její od se získávjí z jednotkové kružnie jko -ové souřdnie odů K odpovídjííh reálným rgumentům. 3 K K f : = sin O K sin sin K 0 K 5 K 5 - period K 5 ~ 2 ~

4 od grfu: vlstnosti: - definiční oor: ( ) - oor hodnot: ( ) - lihá funke: ( ) - omezená: dolní mez horní mez h - period: - etrém: mimum v odeh minimum v odeh resp. π kπ resp. π kπ - průsečík s osmi: [ ] [ ] period pro opkujíí se průsečík n ose je jen Funke kosinus její vlstnosti: definie: je kždá funke dná předpisem, kde je rgument funke, který je zdán ve stupníh neo v rdiáneh. grf : kosinusoid její od se získávjí z jednotkové kružnie jko -ové souřdnie odů K odpovídjííh reálným rgumentům. os K K 0 K period f : = os K 0 3 O 2 5 os 3 4 K 6 0 K 0 5 K K 5 K 6 K 5 od grfu: 0 - ~ 3 ~./.

5 vlstnosti: - definiční oor: ( ) - oor hodnot: ( ) - sudá funke: ( ) - omezená: dolní mez horní mez h - period: - etrém: mimum v odeh - průsečík s osmi: resp. kπ minimum v odeh resp. π kπ [ ] [ ] period pro opkujíí se průsečík n ose je jen Ekvivlentní úprv rovni:. Lze vměnit elou levou strnu rovnie z prvou strnu rovnie (ez změn znmének) kořen rovnie se nezmění. 2. Lze nhrdit liovolnou strnu rovnie výrzem, který se jí rovná v elém ooru řešení rovnie, kořen rovnie se nezmění. 3. K oěm strnám rovnie můžeme přičíst (odečíst) stejné číslo neo výrz, který je definovný v elém ooru řešení rovnie, kořen rovnie se nezmění. 4. Oě strn rovnie lze vnásoit (vdělit) stejným číslem různým od nul neo výrzem, který je definovný v elém ooru řešení je různý od nul, kořen rovnie se nezmění. 5. Celou rovnii (oě její strn) lze umonit přirozeným eponentem, pokud: )!!! oě strn rovnie nývjí kldnýh hodnot v elém ooru řešení rovnie, kořen rovnie se nezmění )!!! oě strn rovnie nývjí zápornýh hodnot v elém ooru řešení rovnie, kořen rovnie se nezmění ) oě strn rovnie nývjí hodnot nul v elém ooru řešení rovnie, kořen rovnie se nezmění. 6. Celou rovnii (oě její strn) lze odmonit přirozeným odmonitelem, pokud oě strn rovnie nývjí nezápornýh hodnot (tj. kldnýh hodnot neo nul) v elém ooru řešení rovnie, kořen rovnie se nezmění. 7. Celou rovnii (oě její strn) lze zlogritmovt logritmem stejného zákldu, pokud nývjí oě strn rovnie pouze kldnýh hodnot v elém ooru řešení rovnie. Kořen rovnie se tím nezmění. zpět (str. 5) ~ 4 ~

6 ř: Určete definiční oor funkí: os ) f Definiční oor určujeme z podmínek sin 2 pro výrz. : sin U zlomků pltí podmínk, že jmenovtel nesmí ýt roven nule. ) - p k resp. k π f: = sin p ) ) D f R\ k g os os 2,kde k Z os 2 (os ) (os ) : (os ) (os ) : os os 2 : os os f g os sin 2 os os 2 N grfu funke sinus nlezneme od, které podle podmínk (nerovnie) do řešení neptří (prázdná kolečk v grfu). Bod, které neptří do nerovnie se prvidelně opkují (mjí periodu) po. Definiční oor funke tvoří všehn reálná čísl kromě podmínk. Jmenovtele zlomku rozložíme n součin. Jmenovtel zlomku nesmí ýt nul. Nerovnii řešíme jko soustvu nerovni podle vzore A B 0 A 0 B 0 resp. nege A B 0 A 0 B 0 Kždou nerovnii dořešíme pomoí ekviv. úprv rovni. N grfu funke vznčíme od, které funki podle řešení nerovnie neptří ( 2). p f: = os p p : k 2 : k ro oě podmínk lze podle grfu funke kosinus nlézt společnou periodu p tím i společnou podmínku. k 2./. ~ 5 ~

7 0, 80, 360,... p p p 80 k D g R\ k,kde k Z K nlezení společné podmínk (period), pokud eistuje, postčí seřdit zjištěné od (vzestupně) z seou. okud se intervl mezi nimi prvidelně opkují, nšli jsme tím jejih společnou periodu. omoí prvního zkázného čísl period nlezneme společnou podmínku tím i definiční oor funke. Definiční oor ve stupníh. D g R\ k π,kde k Z Definiční oor v oloukové míře. Vzth mezi funkemi sinus kosinus: posunutí g os f sin Z grfů funkí vplývá pro rgument : Tento vzth pltil už pro funke v prvoúhlém trojúhelníku: C Mezi úhl. pltí: γ A Z oou vzorů odvodíme: ro rgument získáme: β B Kosinus je definován: Sinus je definován: ~ 6 ~ os ( ) v prvoúhlém trojúhelníku β β přilehlá odvěsn přepon sin protilehlá odvěsn přepon tj. pro sin β sin( os sin (90 ) os sin (90 ),resp. os sin os sin π 2 )