Mechanika kontinua poddajných těles

Transkript

1 I. ÚVOD Mechanka kontnua poddajných těles Mechanka kontnua je založena na objevných pracích Newtona, Eulera, Lagrangea a především Cauchyho. Aplkace počítačů umožnla řešt složté nelneární úlohy mechanky, které zace zpětně vyžadovaly hlubší teoretcké základy. Proto se v současné době pokračuje v ntenzvním bádání hledají se vztahy a závslost použtelné př formulac úloh s vysokým rychlostm zatěžování, vazby mez různým typy deformací a odpovídajcím růžně defnovaným napětím a pod. Mechanka kontnua je část mechanky, která se zabývá pohybem, deformací a napětí v těles a tekutnách. Pojem kontnuum je třeba chápat jako jeden z možných modelů hmoty a uvědomovat s přtom, že kontnuta spojtost prostředí je vlastně luze, která je v rozporu se skutečnou korpuskulární strukturou okolního světa. Předpokládá, že sledování prostředí je spojté. Má se zato, že všechny sledování vlastnost materálů obsaženého uvntř vytčeného nfntesmálního elementu jsou popsány spojtým funkcem prostorových souřadnc a navíc jsou stejné jako ty, které se dají expermentální zjstt u vzorků konečných velkos. Model kontnua, přjatý pro řešení určté třídy úloh, bude dávat správně výsledky pouze tehdy. Bude-l použt v rámc oboru své platnost. To však nelze matematcky dokázat. Jedným krterem je experment. Pokud výsledky expermentu nejsou v rozporu s tím, co model předpovídá, považuje se model za dobrý. Matematcký pops nelneárních dějů je složtý a pro úsporný a efektvní záps vyžaduje použtí tenzorového vyjádření vztahů. Proto jsou dále uvedeny stručné základy tenzorového a matcového počtu. II. NELINEÁRNÍ MECHANIKY KONTINUA. Skalár, vektor a tenzor [, ] Skaláry (tenzor nultého řádu) jsou jednoznačně určeny svým hodnotam a nezávsejí na souřadném systému. Příkladem skláru je teplota, hmotnost, hustota, apod. Vektory (tenzor prvního řádu) jsou určeny velkostí a směrem. Označují se polotučným stojatým písmeny, nebo kuznou ve složených závorkách ( v,v,v!, { v} ). Symbolem {v} označujeme sloupcový vektor. Operace s vektory Skalární součn je defnován vztahem n T T T T (.) = s = a b = ab = {}{} a b = {}{} a b = {}{} b a = {}{} b a Vektorový součn je defnován vztahem!!! j k c 0 a a!!! c= a b= a a a ; c a 0 a = ; c e a b = b b b c a a 0 jk j k (.)

2 Tenzory jsou velčny defnované transformačním vlastnostm. Kartézský tenzor.řádu je vektor se složkam a =α ja j ; a =α pa p (.)!!!!! kde α j = e.e j = cos( x,x j ),,j=,, jsou směrové kosny. e,e,e jsou jednotkové vektory souřadného systému x, x, x (obr.). x x x! P x e! O e! e! x x x Obr. Kartézský tenzor.řádu je určen se složkam a =α α a, a j p jq pq =α α a j p qj pq (.4) Symetrcký a antsymetrcký tenzor Operace s tenzory Násobení tenzorů j k kj T aj = aj T aj = aj [ ] [ ][ ] c = a b C=A B C = A B (.5) Skalární součn tenzorů vztahem s = A:B= tr n T ( ) j j j j = j= A B, kde operátor tr značí stopu. Tato operace je defnována n s= a b = a b (.6)

3 Invaranty tenzorů V mechance se př transformac souřadnc a určování hlavních hodnot tenzorů (jen dagonální prvky) setkáváme s koefcenty kubcké rovnce pro hlavní hodnoty tenzoru, které jsou nvarantam. Jsou tř I = a, I = aakk aka kj, (.7) I = aakkajj akakmam akaka jj, 6 + Invarant I lze vyjádřt jako determnant tenzoru a j, I = det a j Dervátor tenzoru je defnován d aj = aj akkδ j (.8) Druhý člen pravé strany představuje prvky tzv. kulového tenzoru. Hlavní hodnoty tenzorů Rovnce λ Iλ + I λ I = 0 (.9) určuje hlavní hodnoty tenzoru a j. Je-l a j symetrcký tenzor, jsou všechny tř nvaranty a hlavní hodnoty tenzoru reálná čísla. Prostřednctvím hlavních hodnot λ, λ, λ se nvaranty vyjádřují závslostm: I =λ +λ +λ, I =λλ +λλ +λλ, (.0) I =λλ λ,. Knematka přetvoření Knamatka studuje pohyb těles, anž se zábývá slam, které tento pohyb způsobují. Nejčastěj se použvá Lagrangeův pops pohybu [9]. To znamená závslost x = χ(x, t) (.) Na process deformace tělesa, popsaný funkc (.), se můžeme též dívat jako na transformační předps pro X x (Obr. ). Na obrázku je znázorněn pohyb tělesa z počáteční (referenční) konfgurace Ω 0 v čase t = 0 do okamžté konfgurace Ω v čase t. Tento pohyb bere v úvahu velká posunutí a velká přetvoření deformovaného tělesa. Význam jednotlvých velčn, kterým popsujeme deformac, je dobře patrný z obr. a z následujícího textu. Nejčastěj budeme označovat X materálové č lagrangeovské souřadnce. x prostorové č eulerovské souřadnce.

4 U, u posuvy t čas. Referenční konfgurace Okamžtá konfgurace X U(X,t) = u(x,t) χ x Ω 0 Ω tme t=0 X x tme t X, x e X, x O e e X, x Obr. Posuvy, deformační gradent Rozdl mez prostorovým a materálovým souřadncem defnuje posuv částce a nazývá se eulerovské formulace u(x, t) = x - X(x, t) (.) Lagrangeovská formulace je běžnější př popsu deformace poddajných těles U(X, t) = x(x, t) - X (.) Obě formulace př popsu jednoho a téhož deformačního procesu musejí dát stejné číselné výsledky, musejí tedy být vzájemně jednoznačně nvertovatelné. Podmínkou nvertovatelnost je nenulovost jacobánu transformace J = det F(X, t) (.4) kde x χ(x, t) F = = (.5) X X Skalární velčna J defnovaná vztahem (.4) se nazývá jacobán transformace. Tenzorová velčna, defnovaná vztahem (.5) je deformační gradent. Je defnovaná v konfgurac Ω, ale vztahuje se ke konfgurac Ω 0. Polární dekompozce (rozklad) 4

5 V každém bodu X Ω 0 a v čase t budeme mít následující polární dekompozce deformačního gradentu F = RU = VR, R T R = I, U = U T, V = V T (.6) kde R je ortogonální tenzor a U a V jsou poztvně defntní symetrcké tenzory dané vztahy U = F T F and V = F F T. Tenzor deformace Deformace tělesa, tj. změna jeho velkost a tvaru, se obvykle určuje stanovením posuvů jednotlvých částc a stanovením přetvoření v bezprostředním okolí částc. Míra deformace se nejlépe určuje posuvy vztaženým k celkovým rozměrům tělesa. Tyto míry jsou bez rozměrné a označují se přetvoření (stran), deformace nebo poměrné deformace. Míry přetvoření by neměly závset na zvolené soustavě souřadnc a na pohybu tělesa jako tuhého celku. Přpomeňme, že nfntesmální přetvoření, defnované vztahem (Cauchyův tenzor deformace) Tenzory deformace u ε = u + = u + u ( ) j j j j Xj X (.6) Tenzor deformace je vždy třosý. Může však v některých případech, kdy dochází k velkým deformacím (posuvům) v jedné rovně nebo ploše, být příčná změna rozměrů kontnua zanedbatelná. Greenova-Lagrangeova tenzoru deformace vyjádřeného v materálových souřadncích: G ε j = ( u j + u j + u k u kj ) (.7) Tenzor deformační gradent F zobrazuje vektor A v počáteční konfgurac na odpovídající vektor a v deformované konfgurac FA = a Deformac, která je výsledkem konečného pohybu, získáme ze změny délky tohoto vektoru a a A A = (FA) (FA) A A = A (F T F) A - A IA = A (C - I) A = A E A Z tohoto odvození vyplývají defnce pravého Cauchy-Greenova tenzoru deformace C a Green-Lagrangeova tenzoru deformace E. Uvádí se formálně jednodušší záps Greenova tenzoru deformace prostřednctvím materálového deformačního gradentů F ve tvaru E = (F T F - I) (.8) Formálně jednodušší záps Almansova tenzoru deformace prostřednctvím materálového deformačního gradentů F ve tvaru 5

6 A = (I - F -T F - ) (.9) Pravý Cauchyho-Greenyho deformační tenzor C C = F T F (.0) Levý Cauchyho-Greenyho deformační tenzor B B = F T F (.) Logartmcký tenzor přetvoření vztažený k materálním souřadncím je dán vztahem ε ol = lnu = lnc (.) Logartmcký tenzor přetvoření vztažený k prostorovým souřadncím je dán vztahem ε L = lnv = lnb (.) Deformační gradent a tenzory deformace mohou být rozloženy v součn sférské (dlatační) a zochorcké (dstorsní) část F = (J I) F (.4) C = F T F = J b = F F T = J E = (C - I) = J C, C = T F F (.5) b, b = F F T (.6) E + kde velčny s pruhem značí dstorsní část..4 Tenzory napětí ( J - ) I, E = ( C - I) (.7) Napětí je defnováno pomocí síl působících na elementární plošky. Síly rozdělujeme na vnější, působící na těleso z vnějšku, a na síly vntřní, udržující těleso kompaktní. Vnější síly mohou být objemové a povrchové. - Objemové síly působí jakoby na dálku na těleso nebo element. Jsou to síly gravtační, setrvačné, magnetcké a pod. Zpravdla se vztahují na jednotku objemu nebo hustoty (Nm -, Nkg - ). Ekvvalentní anglcký termín body forces. - Povrchové síly působí na krajovou část tělesa nebo elementu. Jsou to vlastně kontaktní síly. Tyto síly mají rozměr [N/m ]. Jejch anglcký název je surface forces nebo tracton forces. Povrchové síly jsou vlastně ty, které působí na vntřní povrch tělesa, obnažený v důsledku procesu uvolňování. Těmto slám se také říká vektory napětí jsou vztaženy na jednotku F plochy. Vektor napětí je obdobně jako výše defnován vztahem t = lm, kde F je S 0 S výslednce sl působících na plošku S. Vztah mez vektorem napětí a složkam tenzoru napětí je vyjádřen Cauchyho vztahem t = σ j n j nebo t = σ T n (.8) 6

7 Pro rovnnou napjatost můžeme Cauchyho vztah zobrazt. Po rozepsání dostaneme t =σ n+σ n t =σ n+σ n (.9) V matcovém tvaru je vztah (.8) vyjádřen t σ σ σ n t = σ σ σ. n (.0) t σ σ σ n Tenzor napětí σ j, tak jak zde bylo ukázáno, vyjádřuje okamžté síly vztažené ke geometr okamžté konfgurace. Označuje se Cauchyho skutečné napětí. V lneární mechance jsou deformace tělesa malé, a proto působící síly vztahují ke geometr počáteční konfgurace. To pak vede k pojmu nženýrského napětí. Použjeme-l horních levých ndexů pro rozlšení konfguračních vztahů, můžeme skutečný (Cauchyho) a nženýrský vektor napětí vyjádřt vztahy t t t Cauchy = t t = F t lm t t t eng = t 0 S 0 S t = F lm 0 0 S 0 S Těmto vektorům pak odpovídají tenzory skutečného a nženýrského napětí vztahy t = σ n t t t t t j j t t j j (.) t = σ n (.) Výhody použvání nženýrského napětí jsou nasnadě. Jejch výpočet je jednoduchý, vychází z geometre nezdeformované konfgurace a chyby tím vznkající jsou důsledku malých deformac zanedbatelné. Př řešení nelneárních úloh s velkým posuvy a s velkým deformacem nás však nženýrské napětí nechá na holčkách. Nebere v úvahu změnu geometre tělesa př jeho deformac. - První Polův-Krchhoffův tenzor napětí 0 t ρ t t T 0P= t 0F tσ ( P = J F σ σ = J PF ) (.) ρ - Druhý Polův-Krchhoffův tenzor napětí (symetrcký) ρ T S F F ( S= J F σf ρ 0 t t t t 0 = t 0 tσ0 T σ = J FSF ) (.4) Odvození obou zmíněných tenzorů je založeno na zákonu o zachování hmotnost a na matematcky konzstentních úvahách o přepočtu síly z jedné konfgurace do druhé (Fung 965, Okrouhlík 995,...). Tenzory jsou nezávslé na volbě souřadncového systému a nectlvé vůč pohybu tělesa jako tuhého celku. Nemají sce přímého fyzkálního významu, jsou však užtečným nástrojem př formulac přrůstkových metod vhodných pro řešení nelneárních úloh mechanky kontnua. Konjugované dvojce Míry deformace a míry napětí, jak je zřejmé z výše uvedeného, jsou rozdílné a proto je nutno zvolt vhodnou kombnac párů tenzoru deformace a tenzoru napětí. Je známo [], že pár : druhý Pola-Krchhoffa tenzor napětí a Greenův tenzor přetvoření jsou tzv. Energetcky konjugované. Energetcky konjugované pár je také Cauchyho tenzor napětí a nfntesmální 7

8 (nženýrský) tenzor přetvoření. O napětí a přetvoření říkáme, že jsou energetcky konjugované, jestlže jejch skalární součn davá mechankou prác. Mechanka práce povrchových a objemových sl v okamžté konfgurac je rovna (.5) W = σ jn juds + f judv S Použtím Gaussovy věty dostaneme W = V ( σju ) u σ j + fu dv = σ j + + f u dv (.6) x x x V j V j j Druhá část rovnce (.6) je levá část rovnce rovnováhy, a je tedy rovna nule. Využtím symetre tenzoru napětí může být mechancká práce výpočtena jako skalární součn Cauchyho tenzoru napětí a nfntesmálního přetvoření v okamžté konfgurac W = σ ju, jdv = σjε jdv = [ σ] :[ ε] dv (.7) V V V V referenční konfgurac se dá mechancká práce vyjádřt jako W = σε = (.8) V 0 j jdv SjEjd V 0 V Z hledska výkonové konjugovanost je známo [] pět dvojc. Uvedeme je v matcovém záps prostřednctvím Cauchyho tenzoru σ. První dvojc tvoří symetrcký druhý Pola-Krchhoffa tenzor napětí a Greenův tenzor přetvoření S= F F T J σ E = (F T F - I). Druhý dvojc tvoří Hllův symetrcký tenzor napětí a Almansův tenzor přetvoření T F J σf A = (I - F -T F - ). Třetí dvojc tvoří sdružený symetrcký tenzor napětí a Logartmcký tenzor přetvoření T R J σr ln ( = (F T F) / ) 4. Čtvrtou dvojc tvoří Boův symetrcký tenzor napětí a tenzor protažení ( T T F J σ R+R J σ F ) ( - I) 5. Pátou a poslední známou dvojc tvoří Černychův symetrcký tenzor napětí a nversní tenzor protažení ( F T J σ R+R T J σ F) (I - - ).5 Vztahy mez napětí a deformací Zobecněný Hookeův zákon můžeme vyjádřt v tenzorovém zápsu 8

9 σ j = Cjklε kl (, j, k, l =,, ) (.9) kde σ j a ε j jsou tenzory napětí a deformací druhého řádu a C jkl je tenzor čtvrtého řádu, jehož složky jsou konstanty tuhost materálu,, a jsou směry os souřadného systému. Všechny tyto tenzor jsou symetrcké, C jkl má nezavslých složek. Užjeme-l zkráceného zápsu, můžeme vztah mez napětím a deformacem zapsat v matcovému tvaru { σ} = [ C]{ ε} σ ε (.40) kde matce [ C ] je symetrcká matce 9x9. Můžeme nyní defnovat matc poddajnost a odpovídající vztah [ S ] = [ ] { ε} = [ S]{ σ} C (.50) ε σ (.5) Velčny všech jeho bodech shodné, budou hodnoty konstantní. Takové těleso nazýváme homogenním. C jkl jsou obecně funkcem místa (souřadnc). Jsou-l elastcké vlastnost tělesa ve C jkl společné všem bodům tělesa, budou tedy Jsou-l vlastnost prostředí v určtém bodě ve všech směrech stejné, říkáme o nch, že jsou v uvažovaném bodě zotropní. Je-l prostředí zotropní v každém bodě, mluvíme o zotropní prostředí. Jsou-l uvažované vlastnost v daném bodě prostředí v různých směrech různé, je prostředí v tomto bodě anzotropní a vztahuje-l se toto na celé prostředí, říkáme, že je celé prostředí anzotropní..6 Konsttutvní vztahy.6. Hyperelastcký materál Konsttutvní rovnce pro hyperelastcké materály vycházejí z postulátu exstence Helmholtzovy funkce volné energe Ψ, která je funkcí deformačního gradentu F. Napěťová odezva hyperelastckého materálu na deformac je odvozena z této skalární funkce deformační energe [9,] P = Ψ( F) F, (.5) T Ψ( F) T Ψ( F) σ= F = F J F J F, (.5) kde P je (nesymetrcký) první Pola-Krchhoffův tenzor napětí, σ je Cauchyho tenzor skutečných napětí a J je Jakobán deformačního gradentu. Alternatvní vztahy můžeme obdržet pro pravý Cauchy-Greenův tenzor deformace C, pro druhý (symetrcký) Pola- Krchhoffův tenzor napětí S a pro Green-Lagrangeův tenzor deformace E. Ψ( C) σ= F F C T J, (.54) ( ) P = Ψ C F C, (.55) 9

10 Ψ( C) Ψ( E) S = = C E, (.56) Funkce deformační energe musí být nvarantní př rotac tělesa jako tuhého celku. Pro zotropní hyperelastcký materál, jakým je kupř, pryž plněná sazem, lze vyjádřt Helmholtzův potencál v závslost na hlavních nvarantech jeho argumentů kupř. pravého Cauchy-Greenova tenzoru deformace C nebo jako funkcí prodloužení ( I ( ), I ( ), I ( )) Ψ=Ψ C C C, (.57) (,, ) Ψ=Ψ λ λ λ, (.58).6. Nestlačtelný hyperelastcký materál Celá řada polymerů př konečných deformacích téměr nemění svůj objem. Takové materály jsou považovány za nestlačtelné tj. deformace je zochorcká. Je to dealzace, která se v mechance kontnua často používá. Deformace je tedy stísněná a deformační podmínku lze vyjádřt jako J =. Obecnou konsttutvní rovnc pro nestlačtelný materál odvodíme z funkce deformační energe ve tvaru ( ) p( ) Ψ=Ψ F J (.59) kde p je neurčtý Lagrangeův násobtel, který lze považovat za hydrostatcký tlak. Jeho hodnotu lze určt z podmínek rovnováhy a z okrajových podmínek. Konsttutvní rovnce pak budou v obecném tvaru P = T Ψ( F) pf + F, (.60) Ψ( C) S = pc + C, (.6) Ψ( F) σ= pi+ F F T (.6).6. Stlačtelný hyperelastcký materál Pěnové elastomerské materály vykazují objemovou změnu př konečných deformací. Jednou podmínkou pro tyto materály je kladná hodnota objemové změny J. Protože se tyto materály chovají odlšně př objemové a smykové deformac, je třeba jejch deformac rozdělt na tzv. objemovou a zochorckou část. Deformační gradent F a pravý Cauchy- Greenův deformační tenzor C jsou podrobně jako v elastoplastctě rozloženy v součn složky odpovídají změně objemu (dlatační část) a složky zachovávající objem (dstorsní část) F = (J I) F (.6) C = F T F = (J I) C, C = T F F (.64) 0

11 Členy J I a (J I) jsou spojeny s deformací odpovídající změně objemu, zatímco členy F a C jsou modfkovaný deformační gradent a modfkovaný pravý Cauchy-Greenův tenzor deformace odpovídající dstors tvaru. Obdobně je rozložena funkce deformační energe Ψ ( ) =Ψ vol ( J) +Ψso ( ) kde vol ( J ) a so ( ) C C (.65) Ψ Ψ C jsou funkcí skalární hodnoty J a tenzory C, které popsují objemovou (dlatační) elastckou odezvu a zochorckou (dstorsní) elastckou odezvu materálu..6.4 Příčně zotropní materály Řada kompoztních materálů je složena z matce a vláknenné výztuže. Takový materál je anzotropní. Materál s výztuží pouze v jednom směru lze považovat za příčně zotropní s rovnou zotrope kolmou na směr vláken. Je-l tento materál schopen snášet konečné deformace, pak bude Helmholtzova volná energe funkcí dvou proměných pravého Cauchy- Greenova tenzoru deformace C a směrového vektoru vláken v nedeformované konfgurac a 0. Zavedeme-l tenzorový součn směrových vektorů A = a 0 a 0, pak deformační energ můžeme vyjádřt Ψ=Ψ( CA, ) (.66) Izotropní hyperelastcký materál může být reprezentován prvním třem nvaranty I, I a I pravého C č levého B Cauchy-Greenova tenzoru deformace, pro příčně zotropní materál je třeba přdat další dva nvaranty ( ) ( ) I Ca, = a.ca =λ, (.67) a I Ca, = a.ca, (.68) na kterých bude závset funkce deformační energe. Invarant I 4 je roven kvadrátu prodloužení ve směru vláken. Volná energe pro příčně zotropní materál, která je základem pro odvození konsttutvních rovnc, bude funkcí těchto pět nvarantů kde ( I ( ), I ( ), I ( ), I 4(, 0),I 5(, 0) ) Ψ=Ψ C C C C a C a (.69) Konsttutvní rovnce ve tvaru nvarantů 5 Ψ( ) ( ) Ia S = C, A Ψ = C, A C I C, (.70) I = I C, a= I = II-C C, a I = IC C I4 I5 = a0 a0, = a0 Ca 0 +a0c a0, C C Dosazením (.7) do (.70) dostaneme -, (.7) Ψ Ψ Ψ Ψ - Ψ Ψ S = + I I C+ I C + a0 a0 + a0 Ca 0 +a0c a 0, (.7) I I I I I4 I5

12 .6.5 Nestlačtelný příčně zotropní materál ) Předpokládejme, že matce příčně zotropního kompoztu je zotropní a nestlačtelná a že vlákna výztuže jsou schopna prodloužení. Z nestlačtelnost matrce vyplývá I = a ve vztahu pro volnou energ je nutné přdat člen s hydrostatckým tlakem Ψ=Ψ( I ( C), I ( C),I 4( C, a0), I 5( C, a0) )- ( ) p I, (.7) ) V případě zotropní a nestlačtelné matce a neprodlužtelných vláken máme I = a λ a = (I 4 = ) a do vztahu pro volnou energ přdáme neurčtý Lagrangeův násobtel q p I Ψ=Ψ( I ( C), I ( C), I 5( C, a0) )- ( )- ( 4 ).6.6 Kompoztní materál se dvěma skupnam výztužných vláken q I, (.74) Předpokládejme, že směrové vektory vláken v nedeformované konfgurac jsou a 0 a g 0. Analogcky můžeme defnovat dva tenzory A = a 0 a 0, G = g 0 g 0 (.75) A zavést funkc volné energe Ψ=Ψ( CA,G, ) (.76) K pět nvarantům v případu příčně zotropního materálu přídáme další tř ( ) ( ) ( ) ( ) I Cg, = g.cg =λ, g I Cg, = g.cg (.77) I Ca,, g = a.g a.cg Jsou-l skupny vláken navzájem kolmé, máme ortotropní materál. Za předpokladu, že matrce je zotropní a nestlačtelná a za předpokladu neprodlužtelnost vláken, můžeme Helmholtzovu funkcí volné energe zapsat ve tvaru p I q I Ψ=Ψ( I ( C), I ( C),I 5( C, a0),i 7( C, g0) )- ( )- ( 4 )- ( 6 ) r I, (.74) Jsou-l obě skupny vláken mechancky ekvvalentní pak, když nejsou nutně ortogonální, je materál v referenční konfgurac ortotropní..7 Funkce deformační energe V lteratuře lze najít celou řadu těchto funkcí pro stlačtelný nestlačtelný materál. Některé z nejčastěj užívaných (Neo-Hookean, Mooney-Rvln, Ogden, Blatz-Ko, ap.) jsou mplementovány do konečných prvků [9]..7. Funkce deformační energe pro zotropní materály a) Ogdenův model pro nestlačtelný materál (pryž, bomaterál ap.). Pryž je považována za nestlačtelnou (J = λ λ λ = ). Ogden zavádí deformační energ jako funkc hlavních prodloužení ve tvaru

13 N µ p αp αp αp Ψ = Ψ(λ, λ, λ ) = ( λ + λ + λ ) (.75) α p= p kde N je počet členů (větsnou N <=). Parametry µ p (smykové moduly) a bezrozměrné parametry α p je nutné určt expermentálně. Ogdenův model, který se v poslední době stal porpulární, má nekonstantní modul ve smyku a dává dobrou korelac v tahových zkouškách až do 700% deformace a je schopen zpevnění č změknutí př velkých deformacích. b) Mooney-Rvln, neo-hookeovský a Vargův model pro nestlačtelné materály. Tyto klascké modely pryžového materálu lze získat jako zvláštní případ Ogdenova modelu. Kupř. Mooney-Rvlnův model dostaneme položíme-l N =, α =, α = - Ψ = c ( λ + λ + λ - ) + c ( λ + λ + λ - ) = c (I ) + c (I ) (.76) kde ty konstanty c = µ / a c = µ / (µ = µ - µ ). Tento model dobře popsuje chován zotropní pryže př tahovém zatížení až do 00% deformace. Není adekvátní pro tlakové zatížení a není schopen posthnout zpevnění materálu př velkých deformacích. Pro N =, α = dostaváme neo-hookeovský model, který dává dobrou korelac s expermentálním daty do 40% deformace v tahu a do 90% deformace v čstém smyku Ψ = c ( λ + λ + λ - ) = c (I ) (.77) a Vargův model dostaneme pro N =, α = Ψ = c (λ + λ + λ ) (.78) c) Yeohův model U elastomerů vyztužených částcem sazí nebo křemíku se modul ve smyku výrazně mění s deformací nejprve se s rostoucí deformací snžuje a posléze opět stoupá př velkých deformacích. Ψ Expermenty ukazují, že je pro tyto materály blízké 0. Materálový model Yeohův I předpokládá deformační funkc, ve které chybí druhý nvarant Ψ = c (I ) + c (I ) + c (I ) (.79) Smykový modul obsahuje první a druhou mocnnu členu (I ) a aproxmuje expermentální závslost s dostatečnou přesností µ = c + c (I ) + c (I ) > 0 d) Blatz-Ko model pro pěnové elastomery Ve funkc deformační energe se kombnují teoretcké proměnné s expermentálním daty Ψ(I, I, I ) = f µ ( ) + ( β µ I β I I ) + ( f) + ( I ) β I β (.80)

14 ν kde β =, ν je Possonův poměr, µ je modul ve smyku a f [0,] je nterpolační ν parametr. e) Sant-Venant-Krchhoffův model Je to klascký nelneární model pro stlačtelné hyperelastcké materály. Je charakterzován funkcí deformační energe Ψ(E) = γ (tre) + µtre (.8) kde E je Green-Lagrangeův tenzor deformace, γ > 0 a µ > 0 jsou Lamého konstanty. Tento model je vhodný pro velké posuvy, ale nedoporučuje se pro velká stlačení..7. Funkce deformační energe pro anzotropní materály Funkce deformační energe (.66) a (.76) lze vyjádřt jako součet zotropní a anzotropní část Ψ = Ψ zo + Ψ anzo a) Příčně zotropní materál Bonet [5] použvá pro zotropní část deformační energe Sant-Venantův model (.8) pro malé deformace, pro nelneární deformace ho nahrazuje neo-hookeovským modelem (.77). Anzotropní část deformační energe je vyjádřena vztahem Ψ trn = [α + β(i ) + γ(i 4 )] (I 4 ) - α(i5 ) (.8) Je však nutné s uvědomt, že když je daný materál přčně zotropní v nedeformované konfgurac, nemusí to platt v deformované konfgurac. Vztah (.8) lze z tohoto důvodu upravt tak, že člen (I ), který je lneární funkcí C, nahradíme členem lnj. Ψ trn = [α + β lnj + γ(i 4 )] (I 4 ) - α(i5 ) (.8) b) Materál vyztužený dvěma skupnam vláken Holzapfel a kol. [6-8] používají k modelování zotropní část deformační energe neo- Hookeovský model (.77), který však může být nahrazen Ogdenovým (.75), nebo jným vhodným modelem. K modelování anzotropní část používají exponencální funkcí k k { [ ] } Ψ anzo = exp k ( I ) = 4,6 k >0 a k >0 jsou parametry materálů. III. VARIAČNÍ METODY MECHANIKY KONTINUA (.84) Složté problemy v mechance kontnua jsou těžké řešt přesně analytckou metodou. Proto se musíme uchýlt přblžné metody č numercké metody. Exstují v technce mnoho aplkace proměnných velčn hledat užtečný extrém. To je podstata varační metody. V nženýrských problémech a v problémech matematcké fyzky se velm často setkáváme s rovncem typu Ax = b (.) 4

15 kde b je prvek některého Hlbertova prostoru H a A je určtý operátor, nejčastější poztvní resp. poztvně defntní (defnční obor D A ) [0]. Řešením rovnce Ax = b pak rozumíme takový prvek x 0 D A, pro který platí Ax 0 = b (.) Je-l poztvní operátor A (poztvně defntní) úloha najít řešení x 0 rovnce Ax = b ekvvalentní úloze najít prvek x 0, mlmalzující kvadratcký funkconál Fx = (Ax, x) (b, x) (.) Pravě pro x = x 0 mnmální hodnoty na D A. Eulerova rovnce Funkce y(x), x (a, b). Řešt rovnc y(x) = 0, to znamená, že hledat mnmum funkconálu. Funkconál I(y) = b a F(x, y, y )dx Eulerova rovnce : Fy F " y' = 0, F y F F d F =, Fy' =, F" y' = y y' dx y '. Varační prncpy Tyto prncpy jsou vysvětleny ve vznkající Washzuově monograf [] spolu s celou řadou příkladů jejch užtí. Zde bude uveden jen jejch stručný přehled. Základem varačních prncpů je prncp vrtuálních prací, který lze formulovat následovně: Nechť mechancký systém s daným geometrckým vazbam je v rovnováze za působení soustavy sl. Pak součet všech vrtuálních prací δ W všech vnějších vntřních sl na lbovolných nekonečně malých vrtuálních posuvech vyhovujících daným geometrckým vazbám je roven nule: δ W = 0 (.5) Jestlže všechny vnější vntřní síly jsou konzervatvní, tj. mají potencál U, který je funkcí souřadnc, pak platí δ W = - δu (.6) a prncp vrtuálních prací vede k prncpu staconární hodnoty potencální energe U : Ze všech přípustných konfgurací soustavy je rovnovážných stav charakterzován staconární hodnotu potencální energe U: δu = 0. (.7) Tato formulace může být rozšířena na dynamcké problémy, kdy působí síly geometrcké vazby závsí na čase, použjeme-l d Alembertův prncp dynamcké rovnováhy a zahrneme-l vrtuální prác setrvačných sl: t t * δ Tdt + dwdt =0 (.8) t t 5

16 kde T je knetcká energe sytému, t a t je počáteční a konečný časový okamžk, ve kterých poloha systému odpovídá poloze př skutečném pohybu vrtuální posuvy jsou v těchto okamžcích rovny nule. Jestlže všechny vnější uvtřní síly mají potelcál U, pro který platí (.7), dostaváme Hamltonův prncp, který říká : Mez všem možných vrtuálním trajektorem systému je skutečná trajektore charakterzována staconární hodnotou funkconálu: t t ( ) T-U dt Zavedeme-l Lagrangeův knetcký potencál L = T U (.9) Pak Hamltonův prncp lze zapsat t t Ldt = 0 (.0) Varační metody mají šíroké použtí v pružností analyze za předpokladu malých deformací. Exstuje-l funkce energe napjatost a př varac posuvů zůstávají vnější síly nezměněné, pak prncp vrtuální práce vede k prncpu mnma deformační energe. Tento varační prncp spolu se zavedením Lagrangeových multplkatorů vede k celé řadě varačních prncpů včetně prncpu Hu-Washzuova, Hellnger-Ressnerova, prcpu mnma doplňkové energe a dalších. Defnujme funkc deformační energe A( ε j ) tak, že platí δa = σ j δε j, kde A= C jkl ε j ε kl (.) Dosadíme-l do (.) z Cauchyho vztahů pro deformace ε j = ( uj, + u, j ) (.) dostaneme funkc A(u ) a prncp vrtuální práce můžeme zapsat ve tvaru ( ) = 0 # δ Au dω XδudΩ pδud Γ (.) Ω Ω Γ p kde Ω je oblast, kterou zaujímá těleso, p # je vektor zatížení na část povrchu Γ p a X jsou hmotové síly. Defnujme funkc doplňkové deformační energe B ( ε j ) tak, že platí δb = ε δσ, kde B = S σσ (.4) j j jkl j kl potom prncp doplňkové vrtuální práce bude ve tvaru ( ) # j = 0 δ B σ dω uδ pd Γ (.5) Ω kde u # je vektor posuvu předepsaný na část povrchu Γ u a Γ u p = σ jn j. 6

17 Předpokládáme-l, že hmotové síly X, povrchová zatížení p # a posuvy u # jsou předpsány a př varacích se nemění, pak lze vyjádřt celkovou potencální energe a celku doplňkovou potencální energ jako: ( ) # Π= Au Xu dω pud Γ (.6) Ω a Π c = ( ) # Ω j Γ Γ p B σ dω u pd Γ (.7) u a prncp mnma celkové potencální energe a celkové doplňkové energe vyjádříme vztahy δπ = 0 a δπ c = 0 (.8) Platí-l lneárn vztah mez napětím a deformací, pak platí A = B, ve všech případech však platí A + B = σ j ε j. (.9) Hu-Washzův varační funkconál můžeme vyjádřt ve tvaru u u j H = A( ε ) + ( ) # # j Xu εj σj dω pud Γ u u pd Γ (.0) Ω xj x Γ p Γu kde εj, u, σj a p jsou vzájemně nezávslé velčny podrobené varacím, p # je vektor zatížení na část povrchu Γ p a u # je vektor posuvu předepsaný na část povrchu Γ u, A( ε j ) je energe napjatost a X jsou hmotové síly. Varací (.0) vzhledem k těmto osmnáct nezávslým velčnám dostáváme W u u σ j j δh = σ + + j δε j εj δσ j X δu dω Ω εj xj x xj + σ n p δudγ u u δ pdγ + σ n p δudγ = 0 ( # ) ( # ) ( ) j j j j Γ Γ Γ p u u (.) Staconární podmíky, které vyplývají z (.) jsou : Vztahy mez napětím a deformacem, Cauchyho vztahy, podmíky rovnováhy a okrajové podmínky na Γ u a Γ p. Fyzkální význam Lagrangeových multplkátorů p vyplývá z posledního výrazu v (.): jsou to povrchové síly na té část okraje, na které jsou předepsány posuvy. Funkconál Hellnger-Ressnerův lze odvodt z obecného funkconálu (.0). Velčny ε j jž nebudeme považovat za nezávslé a jejch varace δε j budou nulové, dále budeme předpokládat platnost Cauchyho vztahů (.) a lneární vztah mez napětí a deformací: ε j = S σ (.) jkl kl V takovém případě lze složky deformací zcela vyloučt z podntegrálního výrazu (.0) a získat funkconál: Π R = u u j σ + ( ) ( ) # # j Xu B σj dω pud Γ u u pd Γ Ω xj x Γ p Γu (.) kde u, σ a p jsou vzájemně nezávslé velčn podrobené varacím a funkce B plyne z (.4). j 7

18 Aplkujeme-l Hellnger-Ressnerův varační teorém spolu s Hamltonovým prncpem získáme funkconál: t t ( ) Φ= T-Π dt (.4) R a pohybové rovnce systému získáme z podmínky staconární hodnoty tohoto funkconálu: δφ = 0. (.5). Varační metody řešení okrajových úloh Uvažujeme soustavu m dferencálních rovnc y = f(x, y), x a, b (.6) s obecnou okrajovou podmínkou r(y(a), y(b)) = 0. (.7) Místo hledání řešení v určtých bodech, hledají varační metody řešení v jsté třídě funkcí, pokud je ϕ k (x) úplný systém funkcí, lze řešení napsat ( ) = ϕ ( ) y x a x (.8) k = k k a zbývá najít neznáme koefcenty a k. Samozřejmě se pak omezíme na konečný počet funkcí. Převedeme okrajové podmínky na homogenní a obyčejnou dferencální rovnc napíšeme ve tvaru A y(x) = f(x) (a) Lm y= 0 (b) Lm y= 0 kde A je dferencální operátor. Zvolíme bázové funkce ϕ k (x) takové, že splňují okrajové podmínky. V prostoru funkcí zavedeme skalární součn, často ( u,v) ( ) ( ) b = u x v x dx. Pozn. Většna metod je určena pro lneární operátory A, ale např. Galerknovu metodu lze užít pro nelneární operátory. Galerknova metoda Ay = f (Ay f, ϕ j ) = 0 j =,..., n Uvažujeme přblžné řešení ve tvaru n = ϕ y a n k k k = Po dosazení získáme systém rovnc pro koefcenty a k b b n Ayn f, ϕ j = Ayn f ϕ jdx = A a kϕk f, ϕ j dx = 0 a a k= ( ) ( ) Metoda konečných prvků (fnte element method) je varační metoda, která užívá specální bázové funkce, z nchž každá je nenulová jen v určtém krátkém ntervalu. Bázové funkce pro metodu konečných prvků mohou být například: a 8

19 ϕ = 0 pro x x ϕ= x x x x ϕ= x x x + x 0 pro x x x pro x x x + ϕ = pro x Uvedený tvar bázových funkcí lze použít, pokud dferencální rovnce obsahují maxmálně. dervac, jnak je třeba volt hladší bázové funkce (např. zvonové splny). + x 4. Metoda konečných prvků Metoda konečných prvků (FEM Fnte Element Method), se s výhodou používá pro řešení různých problémů v oblast mechanky poddajných těles. V metodě konečných prvků (MKP) vyplníme objem uvaženého tělesa mnoha náhradním částm jednoduchých geometrckých tvarů - ty nazýváme prvky a máme zato, že př vyplňování objemu nevznkly žadné umělé dutny a že prvky jsou pospojovány jen několka svým hrančním body. Konečným prvkem nazýváme zvolený element (objemu, plochy, délky) defnovaný uzly v rozích, popř. na hranách. Exstují mnohé způsoby jak vysvětlt a odvodt základní vztahy pro metodu konečných prvků. Jeden z nch, zde uvedený, je založen na prncpu vrtuálních prací. 4. Prncp vrtuálních prací Prncp vrtuálních prací hraje v mechance kontnua důležtou rol. Je též nazýván prncpem vrtuálnch posunutí. Duálním prncpem k prncpu vrtuálních posunutí je prncp vrtuálních sl []. Vrtuální práce je fktvní práce, kterou vykonají statcky přípustné síly a napětí př nfntesmálních knematky přístupných posunutí. Vrtuání práce δu, vykonaná vntřním slam, je rovna prác δw, vykonané vnějším slam δu = δw (4.) Vrtuání prác vnějších sl je dána vrtuání prác povrchových a objemových sl (4.) δw = δutds + δu fdv S V Vrtuání posuvy δu jsou myšlené, nkolv skutečné, nfntesmální posuvy udělené každé částc tělesa. Z výkonu vntřních sl podle (.5.76 []) se dá odvodt vrtuální práce sl ve tvaru δu = δεjσ jdv (4.) V Přpojíme-l vrtuální prác osamělých sl, se kterým se tak často pracuje v nženýrské prax dostaneme δ qq, (4.4) 9

20 můžeme celkovou blanc vrtuálních sl napsat ve tvaru, v něm se s ní často setkáváme v textech věnovaných metodě konečných prvků (Bathe, 996) u f dv + δ qq (4.5) δεjσ jdv = δutds + δ V S V Vyjádřeno slovy, vrtuální práce vntřních sl se rovná součtu vrtuální prácí sl obemových, povrchovývh a osamělých. Velčna δq, odpovdá předepsanému vrtuálnímu posunutí v místě působtě síly Q. 4. Soustavy nelnearních rovnc v MKP Se soustavam nelneárních rovnc se v metodě konečných prvků setkáváme často. 4.. Rovnce rovnováhy tělesa Statcká rovnce rovnováhy tělesa má po dskretzac tvar Ku = R (4.6) Kde K je matce tuhost, u vektor posunutí a R je vektor uzlových sl. Rovnc (4.6) lze přepsat do obecného tvaru g(u) = K(u)u R(u) = 0 (4.7) kde g(u) je gradent potencální energe, známy též jako rezduální vektor (out-of-balanceforce). 4.. Rovnce staconárního vedení tepla Rovnce staconárního vedení tepla vyjádřuje závslost mez přváděným výkonem Q a vektorem uzlových teplot T jako KT = Q (4.8) Tepelný tok Q na povrchu tělesa bývá nejčastěj popsán přestupem Q = α(t T 0 ), α = α(t) (9) kde T 0 je teplota okolí a α je součntel přestupu tepla. Protože α = α(t), bude matce tepelné vodvost K pravá strana Q funkcí teploty tělesa. Podobně jako (4.7) můžeme psát g(t) = K(T)T Q(T) = 0 (4.0) 4.. Konsttutvní vztahy Konsttutvní vztahy dávají do souvslost tenzor napětí σ s tenzorem deformace ε, např. Pro nelneárně pružný materál σ = Dε, kde D = D(ε), resp. D = D(σ) (4.) Můžeme považovat (4.) za soustavu nelneárních rovnc typu g(σ) = 0 nebo, což bude pro další účely výhodnější σ = f(σ), f(σ) = D(σ) ε, (4.) Základním algortmem řešsní soustav nelneárních rovnc na globální úrovní je Newtonova-Raphsonva (NR) metoda. 0

21 4. Newtonova-Raphsonova metoda Problém na globální úrovn můžeme formulovat následujícím způsobem: Hledáme řešení u, přčemž k dspozc máme jen aproxmac u n, tedy g(u n ) 0, g(u) = 0. (4.) Označme g n = g(u n ), u n+ = u n+ - u n (4.4) Defnujeme Jacoban (tangencální) matc g K j =, kde g = g (u j ),, j =,,...,N (4.5) u nebo stručně K n = g u j u n Dále defnujeme hessán (4.6) H jk = g u u j k, H n = g u u n (4.7) u n+ Rozvojem (4.) do Taylorovo řady v okolí bodu u n g(u) = g n + K n (u - u n ) + H n(u - u n ) + O(u - u n ) = 0 (4.8) Zanedbáním kvadratcké členy a členů vyšších řádů obdržíme výraz pro novou aproxmac K n (u n+ - u n ) = -g n (4.9) NR algortmus ) u 0 = 0 ) g n = g(u n ) = 0 ext ) sestavt K n = g/ u v bodě u n 4) K n u n+ = -g n 5) u n+ = u n + u n+ Nová aproxmac u n+ anuluje jen první dva členy řady (4.8). Zbytek, počítáme kvadratckým členem, představuje chybu aproxmace. Dá se tedy očekovat, že v následující terac, kdy bude elmnován rezduál H n(u - u n ) + O(u - u n ), vznkle chyba řádů O(u n+ - u n+ ) O(u n+ - u n ) 4 atd. Metoda bude zřejmě konvergovat kvadratcky.

22 LITERATURA [] Bohuslav Stříž, Mechanka textlí, část : Základy mechanky kontnua. Techncká unverzta v Lberc, 00. [] Bohuslav Stříž, Mechanka textlí, část : Aplkace mechanky kontnua. Techncká unverzta v Lberc, 00. [] Okrouhlík. M., Mechanka poddajných těles, numercká matematka a superpočítače. Ústav termomechanky, Praha 997. [4] Okrouhlík. M., Implementaton of Nonlnear Contunuum Mechancs n Fnte Element Codes. Insttute of Thermomechancs, Prague 995. [5] Bonet, J., Burton, A.J., A smple orthotropc, transversely sotropc hyperelastc consttutve equaton for large stran computatons, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 6, 998, [6] Holzapfel, G.A., Gasser, T.C., Ogden, R.W., A new consttutve framework for arteral wall mechancs and a comparatve study of materal models, J. of Elastcty, Nov., 000. [7] Gerhard A. Holzapfel & Thomas C. Gasser, A vscoelastc model for fber-renforced compostes at fnte strans: Contnuum bass, computatonal aspects and applcatons, BIOMECH (gasser.pdf) [8] G. A. Holzapfel. Bomechancs of sort tssue. Graz, November 000. [9] Gerhard A. Holzapfel. Nonlnear sold mechancs, John Wley & Sons Ltd, Baffns Lane, Chchester West Sussex PO9 UD, England, 000. [0] Karel Rektorys a spolupracovníc. Přehled užté matematky. Praha 995. [] Washzu. K., Varatonal methods n elastcty and plastcty. th New York, USA, 98. [] Bohdana Marvalová, Určení efektvních mechanckých vlastností kompoztů vyztužených tkannou plátnové vazby.